成都石室中学高2019届11月份同步月考-数学(文科)试卷解析

四川省成都石室中学2019届高三下学期 “三诊”模拟考试数学（文）试题一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.请将你认为正确的选项答在指定的位置上）1.已知集合{}2=10M x x -≤，1124,2x N x x Z +⎧⎫=<<∈⎨⎬⎩⎭，则M N =I （ ） A. {}1,0,1- B. {}1,0-C. [)1,1-D. []1,0-【答案】B 【解析】 【分析】解出集合M 、N ，利用交集的定义可得出集合M N ⋂. 【详解】∵集合{}{}2=1011M x x x x -≤=-≤≤，{}{}1112124,222,112,2x x N x x Z x x Z x x x Z +-+⎧⎫=<<∈=<<∈=-<+<∈⎨⎬⎩⎭{}{}21,1,0x x x Z =-<<∈=-，因此，{}1,0M N ⋂=-， 故选：B.【点睛】本题考查交集的运算，涉及一元二次不等式与指数不等式的解法，考查计算能力，属于基础题. 2.设1z i =-（i 是虚数单位），则2z z+=（ ） A. 22i - B. 22i +C. 3i -D. 3i +【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法运算、共轭复数的定义可计算出2z z+的值. 【详解】1z i =-Q ，1z i =+，则()()()()2122112122111i z i i i i z i i i ++=++=++=+=+--+， 故选：B.【点睛】本题考查复数的计算，考查复数的除法、共轭复数的相关计算，考查计算能力，属于基础题.3.经过圆22(1)(2)4x y ++-=的圆心且斜率为1的直线方程为 （）A. 30x y -+=B. 30x y --=C. 10x y +-=D. 30x y ++=【答案】A 【解析】依题意可得直线经过点(1,2)-且斜率为1，则其方程为21y x -=+，即30x y -+=，故选A 4. 一个几何体的三视图如右图所示,且其左视图是一个等边三角形,则这个几何体的体积为( )A.(4)3π+ B.(8)3π+C.(8)3π+ D. (43π+【答案】B 【解析】试题分析：该几何体是圆锥的一半与一四棱锥的组合体．圆锥底半径为1，四棱锥的底面是边长为2的正方形，高均为2×32，所以几何体体积为(8)36π+B ．考点：本题主要考查三视图，几何体的体积计算．点评：基础题，三视图是高考必考题目，因此，要明确三视图视图规则，准确地还原几何体，明确几何体的特征，以便进一步解题． 5.设0x >，0y >，且1142x y+=，422log log z x y =+，则z 的最小值是（ ） A. 4- B. 3-C. 2log 6-D. 232log 8【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式可求出xy 的最小值，利用换底公式以及对数的运算律可得出z 的最小值.【详解】0x Q >，0y >，且1142x y +=，11111422222x y x y xy ∴=+≥⋅=，122xy ∴≤， 18xy ∴≥，当且仅当2x y =时取等号.42222212log log log log log log 38z x y x y xy =+=+=≥=-，则z 的最小值是3-. 故选：B.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，同时也考查了换底公式以及对数运算性质的应用，考查计算能力，属于基础题.6.若A 为不等式组0{02x y y x ≤≥-≤所示的平面区域，则当a 从-2连续变化到1时，动直线x+ y =a 扫过A 中的那部分区域面积为（ ） A. 2 B. 1 C.34 D.74【答案】D 【解析】试题分析：如图，不等式组0{02x y y x ≤≥-≤表示的平面区域是,动直线在轴上的截距从变化到1,知是斜边为3等腰直角三角形，是直角边为1的等腰直角三角形,所以区域的面积,故选D.考点：二元一次不等式（组）与平面区域点评：平面区域的面积问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，然后结合有关面积公式求解．7.函数()()sin 0y x πϕϕ=+>的部分图象如图所示，设P 是图象的最高点，A ，B 是图象与x 轴的交点，记∠APB=θ，则sin2θ的值是( )A.1665B.6365C. 1665-D. 1663-【答案】A 【解析】 【分析】由周期公式可知函数周期为2，∴AB =2，过P 作P C ⊥AB 与C ，根据周期的大小看出直角三角形中直角边的长度，解出∠APC 与∠BPC 的正弦和余弦，利用两角和与差公式求出sinθ，进而求得sin2θ． 【详解】. ,BAP a PBA β∠=∠=()a θπβ=-+P C ⊥AB 与C115||,||||142AC T AP PC ====||255sin ||PC a a AP ===3313||,||42BC T PB ===13313sin ,cos 1313ββ==16sin 22sin cos 2sin()cos()2(sin cos cos sin )(cos cos 65=a a a θθθβαβαβββ=-++=-+=, 故选：A.【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，考查了两角和的正弦公式以及二倍角的正弦公式，属于综合题.8.下列命题中：①若“x y >”是“22x y >”的充要条件；②若“x R ∃∈，2210x ax ++<”，则实数a 的取值范围是()(),11,-∞-+∞U ； ③已知平面α、β、γ，直线m 、l ，若αγ⊥，m γα=I，l γβ=I ，l m ⊥，则l α⊥；④函数()13xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭. 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C 【解析】 【分析】利用充分条件与必要条件的关系判断①的正误；根据特称命题成立的等价条件求实数a 的取值范围，可判断②的正误；由面面垂直的性质定理可判断③的正误；利用零点存在定理可判断④的正误.【详解】①由x y >，可知0x >，所以有22x y >，当0x y <<时，满足22x y >，但x y >不成立，所以①错误；②要使“x R ∃∈，2210x ax ++<”成立，则有对应方程的判别式>0∆，即2440a ->，解得1a <-或1a >，所以②正确；③因为αγ⊥，m γα=I ，l γβ=I ，所以l γ⊂，又l m ⊥，所以根据面面垂直的性质定理知l α⊥，所以③正确；④因为111332111103333f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，111222111102332f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-< ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且函数()y f x =连续，所以根据零点存在定理可知在区间11,32⎛⎫⎪⎝⎭上，函数()y f x =存在零点，所以④正确.所以正确的是②③④，共有三个. 故选：C.【点睛】本题考查命题的真假判断．正确推理是解题的关键．要求各相关知识必须熟练，考查推理能力，属于中等题.9.已知数列{n a }的前n 项和n S 满足：n m n m S S S ++=，且1a ＝1，那么10a ＝( )A. 1B. 9C. 10D. 55【答案】A 【解析】a 10＝S 10－S 9＝(S 1＋S 9)－S 9＝S 1＝a 1＝1，故选A.10.已知函数()21log 3xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设0a b c <<<，且满足()()()··0f a f b f c <，若实数0x 是方程()0f x =的一个解，那么下列不等式中不可能成立的是（ ）A. 0x a <B. 0x c >C. 0x c <D. 0x b >【答案】B 【解析】由指数函数与对数函数的特点易得，f(x)=21 log 3xx ⎛⎫- ⎪⎝⎭在（0，+∞）上是连续的减函数. 由f(a)·f(b)·f(c)＜0，得f(a)＜0，f(b)＜0，f(c)＜0或f(a)＞0，f(b)＞0，f(c)＜0， ∴x 0＜a 或b ＜x 0＜c. 故选B.点睛：本题考查函数零点问题.函数零点问题有两种解决方法，一个是利用二分法求解，另一个是化原函数为两个函数，利用两个函数的交点来求解.二、填空题（本题共5道小题，每题5分，共25分；将答案直接答在答题卷上指定的位置）11.从1、2、3、4、5中任取2个不同的数，事件A =“取到的2个数之和为偶数”，则()P A 等于______. 【答案】25【解析】 【分析】列举出所有的基本事件，并确定事件A 所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可计算出()P A . 【详解】由于从1、2、3、4、5中任取2个不同的数，所有的基本事件有：()1,2、()1,3、()1,4、()1,5、()2,3、()2,4、()2,5、()3,4、()3,5、()4,5，共10种，其中事件A 包含的基本事件有：()1,3、()1,5、()2,4、()3,5，共4种，由古典概型的概率公式可得()42105P A ==. 故答案为：25. 【点睛】本题属于简单的古典概型的问题，属于基础题．关键是找准基本事件以及所求事件包含的基本事件总数．12.下图给出了一个程序框图,其作用是输入x 的值,输出相应的y 值．若要使输入的x 值与输出的y 值相等,则这样的x 值有________个.【答案】3 【解析】试题分析：该程序框图是计算分段函数的函数值，从自变量的取值情况看，由三种情况，故应考虑1x x=，224,x x x x -==所得x 值，有3个．考点：本题主要考查程序框图的功能识别，简单方程的求解．点评：简单题，注意到应考虑1x x=，224,x x x x -==所得x 值，一一探讨． 13.已知在平面直角坐标系中，()2,0A -，()1,3B ，O 为原点，且OM OA OB αβ=+u u u u r u u u r u u u r，（其中1αβ+=，α，β均为实数），若()1,0N ，则MNu u u u v 最小值是_____.【答案】322【解析】 【分析】根据OM OA OB αβ=+u u u u r u u u r u u u r 可化简为BM BA α=u u u u r u u u r，可得出A 、B 、M 三点共线，求出直线AB 的方程，然后利用点到直线的距离公式可计算出MN u u u u v的最小值.【详解】OM OA OB αβ=+u u u u r u u u r u u u rQ （其中1αβ+=，α、β均为实数），()1OM OA OB αα=+-u u u u v u u u v u u u v ，即()OM OB OA OB α-=-u u u u v u u u v u u u v u u u v ，即BM BA α=u u u u r u u u r ，//BM BA ∴u u u u r u u u r ，A ∴、B 、M 三点共线，MN ∴u u u u v的最小值即为点N 到直线AB 的距离， 直线AB 的方程为23012y x +=-+，即20x y -+=， 因此，MN u u u u v的最小值为2d ==. 故答案为：2【点睛】本题考查利用向量判断三点共线，同时也考查了点到直线距离公式计算线段长度的最小值，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.14.椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F 1，F 2．若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为___________ 【解析】本题着重考查等比中项的性质，以及椭圆的离心率等几何性质，同时考查了函数与方程，转化与化归思想. 利用椭圆及等比数列的性质解题.由椭圆的性质可知：1AF a c =-，122F F c =，1F B a c =+.又已知1AF ，12F F ，1F B 成等比数列，故2()()(2)a c a c c -+=，即2224a c c -=，则225a c =.故c e a ==.即椭圆【点评】求双曲线的离心率一般是通过已知条件建立有关,a c 的方程，然后化为有关,a c 的齐次式方程，进而转化为只含有离心率e 的方程，从而求解方程即可. 体现考纲中要求掌握椭圆的基本性质.来年需要注意椭圆的长轴，短轴长及其标准方程的求解等. 15.给出下列五个命题：①已知直线a 、b 和平面α，若//a b ，//b α，则//a α；②平面上到一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹是一条抛物线；③双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，则直线b y x m a =+()m R ∈与双曲线有且只有一个公共点；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直；⑤过()2,0M 的直线l 与椭圆2212x y +=交于1P 、2P 两点，线段12PP 中点为P ，设直线l 斜率为1k ()0k ≠，直线OP 的斜率为2k ，则12k k 等于12-. 其中，正确命题的序号为_______. 【答案】④⑤ 【解析】 【分析】利用线面平行的判定定理可判断①的正误；结合抛物线的定义及条件可判断②的正误；利用双曲线渐近线的性质可判断③的正误；利用反证法结合线面垂直的定义可判断④的正误；利用点差法可判断⑤的正误. 【详解】①线面平行的前提条件是直线a α⊄，所以条件中没有a α⊄，所以①错误；②当定点位于定直线上时，此时点到轨迹为垂直于直线且以定点为垂足的直线，只有当点不在直线时，轨迹才是抛物线，所以②错误； ③因为双曲线的渐近线方程为by x a=±，当直线与渐近线平行时直线与双曲线只有一个交点，当直线与渐近线重合时，没有交点，所以③错误；④若αβ⊥，a αβ⋂=，l α⊂，且l 与a 不垂直，假设l β⊥，由于a β⊂，则l a ⊥，这与已知条件矛盾，假设不成立，则l 与β不垂直，所以④正确；⑤设()111,P x y 、()222,P x y ，中点()00,P x y ，则12112y y k x x -=-，0122012y y y k x x x +==+，把()111,P x y ，()222,P x y 分别代入椭圆方程2212x y +=， 得221122222222x y x y ⎧+=⎨+=⎩，两式相减得()2222121220x x y y -+-=， 整理得1212121212y y y y x x x x +-⋅=-+-，即1212k k =-，所以⑤正确. 所以正确命题的序号为④⑤. 故答案为：④⑤.【点睛】本题考查空间线面平行与垂直的判断以及直线与圆锥曲线位置关系的判断，考查学生的运算能力与推理能力，属于中等题.三、解答题（本大题共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）；16.已知向量()sin ,1a x =-r，1,2b x ⎫=-⎪⎭r ，函数()()2f x a b a =+⋅-r r r .（1）求函数()f x 的最小正周期T 及单调减区间；（2）已知a 、b 、c 分别为ABC ∆内角A 、B 、C 的对边，其中A为锐角，a =4c =，且()1f A =.求A 、b 的长和ABC ∆的面积.【答案】（1）T π=，递减区间是()5,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）3A π=，2b =，ABC S ∆=【解析】 【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标运算得出()()2f x a b a =+⋅-v v v，并利用三角恒等变换思想化简函数()y f x =的解析式为()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用正弦函数周期公式及其单调性即可得到函数()y f x =的最小正周期T 及单调减区间；（2）利用（1）即可得到A ，再利用正弦定理即可得到C ，利用三角形内角和定理即可得到B ，利用直角三角形含6π角的性质即可得出边b ，进而得到三角形的面积. 【详解】（1）()sin ,1a x =-vQ，1,2b x ⎫=-⎪⎭v ，()()233sin ,sin ,1sin cos 22a b a x x x x x x ⎛⎫∴+⋅=-⋅-=++⎪⎝⎭v vv 1cos 2312cos 22sin 222226x x x x π-⎛⎫==-+=-+ ⎪⎝⎭， ()()2sin 26f x a b a x π⎛⎫∴=+⋅-=- ⎪⎝⎭v v v ，所以，22T ππ==，由()3222262k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，解得536k x k ππππ+≤≤+()k Z ∈，所以，函数()y f x =的单调递减区间是()5,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦； （2）()1f A =Q ，sin 216A π⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭，A Q 为锐角，即02A π<<，52666A πππ∴-<-<，262A ππ∴-=，解得3A π=. 由正弦定理得sin sin a c A C=，4sin sin 3sin 123c A C a π⨯∴===， ()0,C π∈Q ，2C π∴=，6B AC ππ∴=--=，122b c ∴==， 因此，ABC ∆的面积为1223232ABC S ∆=⨯⨯=. 【点睛】本题综合考查了向量数量积的坐标运算、正弦函数的单调性及其性质、正弦定理、直角三角形的边角关系及其面积等基础知识与基本技能，考查了推理能力和计算能力．17.如图，AB 为圆O 的直径，点E 、F 在圆O 上，矩形ABCD 所在的平面和圆O 所在的平面互相垂直，且2AB =，1AD EF ==.（Ⅰ）求证：AF ⊥平面CBF ； （Ⅱ）求三棱锥C OEF -的体积. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）312【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）平面ABCD ⊥平面ABEF ，CB AB ⊥, 平面ABCD I 平面ABEF AB =，CB ∴⊥平面ABEF ，∵AF 在平面ABEF 内，∴AF CB ⊥， 又AB 为圆O 的直径，∴AF BF ⊥， ∴AF ⊥平面CBF .（Ⅱ）由（1）知CB ABEF ⊥面即CB OEF ⊥面， ∴三棱锥C OEF -的高是CB ， ∴1CB AD ==,连结OE 、OF ，可知1OE OF EF === ∴OEF ∆为正三角形，∴正OEF ∆的高是32， ∴1113311332212C OEF OEF V CB S -∆=⨯=⨯⨯⨯⨯=， 18.某学校为准备参加市运动会，对本校甲、乙两个田径队中30名跳高运动员进行了测试，并用茎叶图表示出本次测试30人的跳高成绩（单位：cm ）.跳高成绩在175cm 以上（包括175cm ）定义为“合格”，成绩在175cm 以下（不包括175cm ）定义为“不合格”.鉴于乙队组队晚，跳高成绩相对较弱，为激励乙队队队，学校决定只有乙队中“合格”者才能参加市运动会开幕式旗林队.（1）求甲队队员跳高成绩的中位数；（2）如果用分层抽样的方法从甲、乙两队所有的运动员中共抽取5人，则5人中“合格”与“不合格”的人数各为多少；（3）若从所有“合格”运动员中选取2名，用X 表示所选运动员中能参加市运动会开幕式旗林队的人数，试求1X =的概率.【答案】（1）177cm ；（2）“合格”有2人，“不合格”有3人；（3）1633. 【解析】 【分析】（1）将数据从小到大排列，找到中间的两个数，再求平均数即得中位数；（2）根据茎叶图，有“合格”12人，“不合格”18人，求出每个运动员被抽中概率，然后根据分层抽样可求得结果；（3）根据茎叶图，确定甲队和乙队“合格”的人数，利用古典概型的概率公式可求出1X =的概率. 【详解】（1）甲队队员跳高的成绩由小到大依次为157、168、169、173、175、176、178、181、182、184、186、191（单位：cm ），中位数为1761781772cm +=； （2）根据茎叶图，有“合格”12人，“不合格”18人，用分层抽样的方法，每个运动员被抽中的概率是51306=，所以选中的“合格”有11226⨯=人，“不合格”有11836⨯=人； （3）由题意得，乙队“合格”有4人，分别记为A 、B 、C 、D ，甲队“合格”有8人，分别记为a 、b 、c 、d 、e 、f 、g 、h ，从这12人中任意挑选2人，所有的基本事件有：(),A B 、(),A C 、(),A D 、(),A a 、(),A b 、(),A c 、(),A d 、(),A e 、(),A f 、(),A g 、(),A h 、(),B C 、(),B D 、(),B a 、(),B b 、(),B c 、(),B d 、(),B e 、(),B f 、(),B g 、(),B h 、(),C D 、(),C a 、(),C b 、(),C c 、(),C d 、(),C e 、(),C f 、(),C g 、(),C h 、(),D a 、(),D b 、(),D c 、(),D d 、(),D e 、(),D f 、(),D g 、(),D h 、(),a b 、(),a c 、(),a d 、(),a e 、(),a f 、(),a g 、(),a h 、(),b c 、(),b d 、(),b e 、(),b f 、().b g 、(),b h 、(),c d 、(),c e 、(),c f 、(),c g 、(),c h 、(),d e 、(),d f 、(),d g 、(),d h 、(),e f 、(),e g 、(),e h 、(),f g 、(),f h 、(),g h ，共66种，其中，事件1X =包含的基本事件有：(),A a 、(),A b 、(),A c 、(),A d 、(),A e 、(),A f 、(),A g 、(),A h 、(),B a 、(),B b 、(),B c 、(),B d 、(),B e 、(),B f 、(),B g 、(),B h 、(),C a 、(),C b 、(),C c 、(),C d 、(),C e 、(),C f 、(),C g 、(),C h 、(),D a 、(),D b 、(),D c 、(),D d 、(),D e 、(),D f 、(),D g 、(),D h ，共32个，因此，()321616633P X ===. 【点睛】本题考查统计知识：求中位数、分层抽样等，同时也考查了古典概型概率的计算，难度不大．19.各项均为正数的数列{}n a 前n 项和为n S ，且2421n n n S a a =++，n ∈+N .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）已知公比为()q q N +∈的等比数列{}n b 满足11b a =，且存在m N +∈满足m m b a =，13m m b a ++=，求数列{}n b 的通项公式.【答案】（1）21n a n =-；（2）17n n b -=或13n n b -=.【解析】 【分析】（1）令1n =，利用数列递推式求出1a 的值，由2421n n n S a a =++得出2111421n n n S a a +++=++，两式相减，结合数列{}n a 各项均为正数，可得数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，从而可求数列{}n a 的通项公式；（2）利用m m b a =，13m m b a ++=，求出公比q ，即可求得数列{}n b 的通项公式．【详解】（1）当1n =时，211114421S a a a ==++，整理得()2110a -=，11a ∴=. 2421n n n S a a =++Q ，2111421n n n S a a +++∴=++，两式相减得22111422n n n n n a a a a a +++=-+-，即2211220n n n n a a a a ++---=，即()()1120n n n n a a a a +++--=，Q 数列{}n a 各项均为正数，10n n a a ++>∴，12n n a a +∴-=，∴数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，故()12121n a n n =+-=-；（2）111b a ==Q ，111n n n b b q q --=∴=，依题意得12125m m q m q m -⎧=-⎨=+⎩，相除得25612121m q N m m ++==+∈-- 211m ∴-=或213m -=，所以17m q =⎧⎨=⎩或23m q =⎧⎨=⎩， 当1m =时，17n n b -=；当2m =时，13n n b -=. 综上所述，17n n b -=或13n n b -=.【点睛】本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>(1)求椭圆C 的标准方程;(2)设不过原点O 的直线l 与椭圆C 交于两点M 、N ，且直线OM 、MN 、ON 的斜率依次成等比数列，求△OMN 面积的取值范围.【答案】(1)2214x y +=；(2) (0,1)．【解析】【详解】(1)由已知得222222{2a bc a c a b =⨯==-⇒2{1a b ==∴C 方程：2214x y += (2)由题意可设直线l 的方程为：y kx m =+(0,0)k m ≠≠联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理，得：222(14)84(1)0k x kmx m +++-= 则△22226416(14)(1)k m k m =-+-2216(41)0k m =-+>,此时设11(,)M x y 、22(,)N x y ∴212122284(1),1414km m x x x x k k-+=-=++ 于是2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++又直线OM 、MN 、ON 的斜率依次成等比数列，∴2221211121212()y y k x x km x x m k x x x x +++⋅==⇒22228014k m m k-+=+ 由0m ≠得：214k =⇒12k =±.又由△0>得：202m << 显然21m ≠（否则：120x x =，则12,x x 中至少有一个为0，直线OM 、ON 中至少有一个斜率不存在，矛盾！）设原点O 到直线l 的距离为d ,则1212OMN S MN d x ==-V 12== 故由m 得取值范围可得△OMN 面积的取值范围为(0,1) 21.已知函数()22ln f x x x =-+．（1）求函数()f x 的最大值； （2）若函数()f x 与()ag x x x=+有相同极值点． ①求实数a 的值；②若对于121,,3x x e ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦（e 为自然对数的底数），不等式()()1211f xg x k -≤-恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】（Ⅰ）()11f =-；（Ⅱ）（ⅰ）1； （ⅱ）()34 ,2ln31,3⎛⎤-∞-+⋃+∞ ⎥⎝⎦． 【解析】试题分析：（1）求导函数，确定函数的单调性，从而得函数()f x 的最大值；（2）（ⅰ）求导函数，利用函数()f x 与()ag x x x=+有相同极值点，可得1x =是函数()g x 的极值点，从而求解a 的值；（ⅱ）先求出1[,3]x e ∀∈，min max ()(3)92ln 3,()(1)1f x f f x f ==-+==-，1[,3]x e∀∈，min ()(1)2g x g ==，max 10()(3)3g x g ==，再将对于121,[,3]x x e ∈，不等式12()()11f xg x k -≤-恒成立，等价变形，分类讨论，即可求解实数k 的取值范围． 试题解析：（1）22(1)(1)()2(0)x x f x x x x x+-'=-+=->， 由()0{0f x x >>'得01x <<，由()0{0f x x <>'得1x >，∴()f x 在(0,1)上为增函数，在(1,)+∞上为减函数， ∴函数()f x 的最大值为(1)1f =-； （2）∵()a g x x x =+，∴2()1a g x x=-'， （Ⅰ）由（1）知，1x =是函数()f x 的极值点，又∵函数()f x 与()ag x x x=+有相同极值点， ∴1x =是函数()g x 的极值点，∴(1)10g a =-='，解得1a =， 经检验，当1a =时，函数()g x 取到极小值，符合题意；（ⅱ）∵211()2f ee =--，(1)1f =-，(3)92ln 3f =-+， ∵2192ln 321e-+<--<-， 即1(3)()(1)f f f e <<，∴1[,3]x e∀∈，min max ()(3)92ln 3,()(1)1f x f f x f ==-+==-，由（ⅰ）知1()g x x x =+，∴21()1g x x =-'，当1[,1)x e∈时，()0g x '<，当(1,3]x ∈时，()0g x '>，故()g x 在1[,1)e 减函数，在(1,3]上为增函数，∵11110(),(1)2,(3)333g e g g e e =+==+=，而11023e e <+<，∴1(1)()(3)g g g e <<，∴1[,3]x e ∀∈，min max 10()(1)2,()(3)3g x g g x g ====，①当10k ->，即1k >时，对于121,[,3]x x e ∀∈，不等式12()()11f xg x k -≤-恒成立 12max 1[()()]k f x g x ⇔-≥-12max [()()]1k f x g x ⇔≥-+，∵12()()(1)(1)123f x g x f g -≤-=--=-，∴312k ≥-+=-，又∵1k >，∴1k >， ②当10k -<，即1k <时，对于121,[,]x x e e ∀∈，不等式12()()11f xg x k -≤-，12min 1[()()]k f x g x ⇔-≤-12min [()()]1k f x g x ⇔≤-+，∵121037()()(3)(3)92ln 32ln 333f x g x f g -≥-=-+-=-+，∴342ln 33k ≤-+，又∵1k <， ∴342ln 33k ≤-+．综上，所求的实数k 的取值范围为34(,2ln 3](1,)3-∞-+⋃+∞．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的恒成问题的求解．【方法点晴】本题主要考查了导数在求解函数的最大值、最小值等问题中的应用积极函数的恒成立问题的求解，着重考查了分类讨论的数学思想方法，属于难度较大的试题，本题的第2解答中，求出1[,3]x e∀∈，min max ()92ln 3,()1f x f x =-+=-，min ()2g x =，max 10()3g x =，将对于121,[,3]x x e∈，不等式12()()11f xg x k -≤-恒成立，转化为1k >时，12max [()()]1k f x g x ≥-+；1k <时，12min [()()]1k f x g x ≤-+，分别求解实数k 的取值范围．。

成都石室中学2024～2025学年度上期高2025届十一月月考数学试卷一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.2.已知为单位圆的内接正三角形，则（ ）A. B.C.1D.3.已知角的终边上一点（ ）A. B. C. D.4.巴黎奥运会期间，旅客人数（万人）为随机变量，且.记一天中旅客人数不少于26万人的概率为，则的值约为（ ）（参考数据：若，有，，）A.0.977B.0.9725C.0.954D.0.6835．已知非零向量，满足，且向量在向量上的投影向量是，则与的夹角是（ ）A ．B ．C ．D ．6.关于的方程在上有（ ）个实数根．A.1B.2C.3D.47.已知，是定义域为R 的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数a 的取值范围是（ ）(){}ln 1A xy x ==-∣{}xB y y e -==∣A B = ()0,1()1,2()1,+∞()2,+∞ABC V O B B C O ⋅=32-321-α()1,2M -32=⎪⎝⎭22-44-X ()2~30,2X N 0p 0p ()2~,X Nμσ()0.683P X μσμσ-<≤+≈()220.954P X μσμσ-<≤+≈()330.997P X μσμσ-<≤+≈a b ()()22a b a b +⊥- a b 14b a bπ6π3π22π3x 2sin sin2cos cos 222x x xx x =(,)ππ-()f x ()g x ()f x ()g x ()()22f x g x ax x +=++1212x x <<<()()12123g x g x x x ->--A. B. C. D.8.已知，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是（ ）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A.的图象关于直线对称B.在上单调递增C.是奇函数D.将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象10.已知为函数的一个零点，则（ ）A.的图象关于对称 B.的解集为C.时， D.时，，则的最大值为411.已知函数与及其导函数f ′(x )与的定义域均为.若为奇函数，，，则（ ）A. B.[)0,∞+3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3,4∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭3,4∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭0,a b >∈R x ()()2110ax x bx -+-≥()0,∞+5b a+48()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭()f x 5π12x =-()f x π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦2π3f x ⎛⎫-⎪⎝⎭()f x π2sin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1-3()3f x x x a =-+()f x (0,2)-()0f x <(,2)-∞(0,1)x ∈()2()f xf x <[,]x m n ∈()[4,0]f x ∈-n m -()f x ()g x ()g x 'R ()f x ()()22f x g x +-=()()12f x g x '+'+=()()264g g -+=()00f '=C.曲线关于点中心对称D.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．12.若复数满足，则__________.13.已知某次数学期末试卷中有8道四选一的单选题，学生小万能完整做对其中4道题，在剩下的4道题中，有3道题有思路，还有1道完全没有思路，有思路的题做对的概率为，没有思路的题只能从4个选项中随机选一个答案．若小万从这8个题中任选1题，则他做对的概率为______．14.已知数列{a n }满足，，其中为函数的极值点，则______．四、解答题：共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题13分）为提高学生的数学应用能力和创造力，石室中学打算开设“数学建模”选修课，为了解学生对“数学建模”的兴趣度是否与性别有关，学校随机抽取该校30名高中学生进行问卷调查，其中认为感兴趣的人数占70%.感兴趣不感兴趣合计男生12女生5合计30(1)根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表判断，依据小概率值α=0.15的独立性检验，分析学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别是否有关?(2)若感兴趣的女生中恰有4名是高三学生，现从感兴趣的女生中随机选出3名进行二次访谈，记选出高三女生的人数为X ，求X的分布列与数学期望附：，其中.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82816．（本小题15分）如图所示，在四棱锥中，，，．(1)若平面，，证明：(2)若底面，，，二面角的长．()y f x ='1,12⎛⎫⎪⎝⎭2025120252k k g =⎛⎫= ⎪⎝⎭'∑z 33i1iz -=+1z +=23()1*1e n a n a n ++=∈N 2303aa x +=0x y =()12e 1x x x +->123a a a +-=()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++n a b c d =+++αx αP ABCD -2AC =1BC =AB =//AD PBC AD ⊥PA PB AD ⊥PA ⊥ABCD AD CD ⊥AD =A CP D --PA17．（本小题15分）设的内角，，所对的边分别为，且.(1)求(2)若,求的周长;(3)如图，点是外一点，设且，记的面积，求关于的关系式，并求的取值范围.18．已知抛物线的焦点为，直线过点交于，两点，在，两点的切线相交于点，的中点为，且交于点．当垂直于轴时，长度为4；(1)求的方程；(2)若点的横坐标为4，求；(3)设在点处的切线与，分别交于点，，求四边形面积的最小值．19．（本小题17分）已知函数，.(1)当时，函数恒成立，求实数的最大值；(2)当时，若，且，求证：；(3)求证：对任意，都有.ABC V A B C ,,a b c ()()sin ()(sin sin ),a c B C b c B C -⋅+=-⋅+b =;B 3BA BC +=ABC V D ABC V BAC DAC θ∠=∠=2π3ADC ∠=BCD △S S θS 2:2(0)C x py p =>F l F C A B C A B P AB Q PQ C E AB y AB C P QE C E PA PB M N ABNM ()21ln 2f x x x ax =+-()0a >[)1,x ∈+∞()32f x ≥-a 2a =()()123f x f x +=-12x x ≠122x x +>*N n ∈()2112ln 1ni i n n i =-⎛⎫++> ⎪⎝⎭∑成都石室中学2024-2025学年度上期高2025届11月半期考试数学参考答案双向细目表题号题型分值难度预估内容具体内容1单项选择题50.95集合集合运算2单项选择题50.9向量数量积3单项选择题50.8三角函数诱导公式、倍角公式4单项选择题50.75正态分布正态分布5单项选择题50.7向量投影向量6单项选择题50.7三角函数三角函数图象分析7单项选择题50.5函数性质函数奇偶性及单调性分析8单项选择题50.4不等式不等式9多项选择题60.8三角函数正弦函数图象特点分析10多项选择题60.5函数三次函数图象分析11多项选择题60.3函数性质函数奇偶性、对称、周期性分析12填空题50.8复数复数计算13填空题50.5概率概率计算14填空题50.3函数数列及函数零点15（1）解答题60.8检验15（2）解答题70.7概率统计分布列16（1）解答题30.8线线垂直证明16（2）解答题40.7立体几何二面角17（1）解答题40.7正余弦定理应用17（2）解答题50.6解斜三角形求周长17（3）解答题60.4解斜三角形解斜三角形求面积18（1）解答题50.6抛物线方程18（2）解答题60.6切线问题18（3）解答题60.4解析几何四边形面积19（1）解答题50.7函数恒成立问题19（2）解答题60.5利用函数单调性证明自变量大小19（3）解答题60.3导数数列不等式证明答案及解析1.【参考答案】C【解题思路】由题意可知，，2K (){}ln 1{10}{1}A x y x x x x x ==-=->=>∣∣∣，所以.故选C.2.【参考答案】B【解题思路】如图，延长交于点.因为单位圆半径为，为单位圆的内接正三角形，所以.又因为是正的中心，所以，，所以.设的边长为.由勾股定理，得，即，解得（负值已舍去），所以，易得,的夹角为，所以.故选B.3.【参考答案】C【解题思路】由三角函数定义知，，，所以.故选C.4.【参考答案】A【解题思路】因为，所以，，所以.根据正态曲线的对称性可得，.故选A.5.【参考答案】B【解题思路】因为，所以，所以.因为向量在向量上的投影向量是，所以，即，所以.又因为，所以与的夹角是.故选B.6.【参考答案】C【解题思路】当时，，原方程化为.令{}e{0}xB y y y y-===>∣∣()1,A B=+∞AO BC D O1ABC△O1OA OB OC===O ABC△AD BC⊥1122OD OA==32AD OA OD=+=ABC△a222AB AD BD=+2223122a a⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a=1BO=BC=BOBC6π3cos62BO BC BO BCπ⋅=⋅⋅=2tan21α==--cos0α<2sin2tan43cos2ααα===-=-⎪⎝⎭()230,2X N~30μ=2σ=()26340.954P X<≤≈()()()10.954262634340.9540.9772p P X P X P X-=≥=<≤+>≈+=()()22a b a b+⊥-()()222240a b a b a b+⋅-=-=2b a=a b14b1cos,4ba ab bb⋅=11cos,24a b b b⋅=1cos,2a b=[],0,a bπ∈a b3π(),xππ∈-cos02x≠1tan sin2sin2223xx x xπ⎛⎫==-⎪⎝⎭，，则原方程的解的个数即为函数与的图象在上的交点个数.作出函数和的大致图象如图，在上单调递增，，，，由图可知函数和在上有3个交点，即原方程在上有3个实数根.故选C.7.【参考答案】D【解题思路】由题意可得，.因为是奇函数，是偶函数，所以.联立解得.又因为对于任意的，都有成立，所以，即成立.构造，所以在上单调递增.若，则对称轴，解得；若，则在上单调递增，满足题意；若，则对称轴恒成立.综上所述，.故选D.8.【参考答案】A【解题思路】设，.因为，所以在上单调递增.当时，；当时，.因为的图象开口向上，，所以方程有一正根一负根，即函数在上有且仅有一个零点，且为异号零点.由题意可得，，则当时，；当时，，所以是方程的根，则，即，且，所以，当且仅当时等()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭()tan 2x g x =()f x ()g x (),ππ-()f x ()g x ()tan2xg x =(),ππ-tan 124g ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭5sin 1122f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭5122ππ<()f x ()g x (),ππ-(),ππ-()()22f x g x ax x -+-=-+()f x ()g x ()()22f x g x ax x -+=-+()()()()222,2,f xg x ax x f x g x ax x ⎧+=++⎪⎨-+=-+⎪⎩()22g x ax =+1212x x <<<()()12123g x g x x x ->--()()121233g x g x x x -<-+()()112233g x x g x x +<+()()2332h x g x x ax x =+=++()232h x ax x =++()1,2x ∈0a <0322x a =-≥304a -≤<0a =()32h x x =+()1,2x ∈0a >0312x a =-≤3,4a ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭()1f x ax =-()21g x x bx =+-0a >()f x ()0,+∞10x a <<()0f x <1x a>()0f x >()g x ()01g =-()0g x =()g x ()0,+∞()()0f x g x ≥10x a <<()0g x ≤1x a >()0g x ≥1a210x bx +-=2110b a a +-=1b a a=-0a >544b a a a +=+≥=2a =号成立.故选A.9.【参考答案】ACD【解题思路】由图象可得，，，故，代入点，易得，所以.因为，所以当时函数取得最小值，即直线为函数的一条对称轴，故A 正确；由对称性可知，在上单调递减，上单调递增，故B 错误；为奇函数，故C 正确；将的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，故D 正确.故选ACD.10.【参考答案】AD【解题思路】因为，即，所以，所以，所以的图象关于（0，-2）对称，故A 正确；当时，且，故B 错误；当时，，而，所以在（0，1）上单调递减，所以，故C 错误；，，所以在区间，上，即单调递增；在区间（-1，1）上，即单调递减，，，，画出的大致图象如图.因为当时，，所以由图可知，的最大值为，故D 正确.故选AD.11.【参考答案】ACD【解题思路】令，得；令，得.因为为奇函数，所以，则，故A 正确；因为为奇函数，所以为偶函数，则求2A =4312T πππ⎛⎫=-=⎪⎝⎭2ω=,212π⎛⎫⎪⎝⎭3πϕ=()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭521232πππ⎛⎫⋅-+=- ⎪⎝⎭512x π=-()f x 512x π=-()f x ()f x 7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦713,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦()22sin 22sin23f x x x ππ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭()f x 2sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()1130f a -=-++=2a =-()()()233212f x x x x x =--=+-()()4f x f x +-=-()f x ()()()2120f x x x =+-<1x ≠-2x <01x <<201x x <<<()2330f x x =-<'()f x ()()2f x f x >()332f x x x =--()()()233311f x x x x =-=+-'(),1-∞-()1,+∞()0f x '>()f x ()0f x '<()f x ()10f -=()14f =-()24f -=-()f x [],x m n ∈()[]4,0f x ∈-n m -()224--=4x =()()422f g +-=4x =-()()462f g -+=()f x ()()f x f x =--()()264g g -+=()f x ()f x '不出，故B 错误；因为，所以.又，所以，则关于中心对称.因为，所以结合函数图象平移可得，关于点中心对称，故C 正确；由为偶函数，点为对称中心，得的周期为2，且，.又，所以，所以.因为，所以，所以，故D 正确.故选ACD.12.【解题思路】由题意知，，所以.13.【参考答案】【解题思路】设小万从这8道题中任选1道题且作对为事件，选到能完整做对的4道题为事件，选到有思路的3道题为事件，选到完全没有思路的题为事件，则，，.由全概率公式，得.14.【参考答案】【解题思路】因为，所以，.因为，，所以.因为在上单调递增，所以，，，所以.又因为，所以，所以.()00f '=()()22f x g x +-=()()20f x g x '--='()()12f x g x '++='()()122g x g x '++-='()g x '3,12⎛⎫⎪⎝⎭()2(1)f x g x '=-+'()f x '1,12⎛⎫⎪⎝⎭()f x '1,12⎛⎫⎪⎝⎭()f x '()()12f x f x '+-='11122f f ''⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()12g x f x +='-'()()21g x f x =-'-'2025202520251112140501222k k k k k k g f f ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭'''∑∑∑()()41111014222k k f f f f f =⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭'''''∑202512025202311450612024202420252222k k f f f f =⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯+-=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭''⎭'⎝'⎭⎝∑2025120252k k g =⎛⎫= ⎪'⎝⎭∑()()()()33133333331112i i i i i z i i i i ------====-++-131z i +=-+=2532A B C D ()4182P B ==()38P C =()18P D =()()()()()()()132112512838432P A P B P A B P C P A C P D P A D =++=⨯+⨯+⨯=∣∣∣ln2-1e2x y x +=-'010e 2x x +=01x >11e n a n a ++=2303a a x +=021120000e 32e x a a x x x x +++==+=+1e x y x +=+R 20a x =302a x =120ln 1ln 1a a x =-=-12300ln 1a a a x x +-=--010e 2x x +=0001ln2ln2ln x x x +==+12300ln 1ln2a a a x x +-=--=-15.解：（1）列联表如下：感兴趣不感兴趣合计男生12416女生9514合计21930零假设为：学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别无关，……5分依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别无关.……6分（2）由题意可知，的取值可能为0，1，2，3，……7分则，，，，……11分故的分布列如下：0123.……13分16.（1）证明：因为，，，即，所以，即.因为平面，平面，面面，所以，……3分所以.因为，，所以平面，所以.……6分（2）解：因为底面，，底面，所以，.又，所以，以点为原点，以，所在的直线为，轴，过点作的平行线为轴，建立空间直角坐标系如图所示.令，则，，，，，，，.设平面的法向量为，0H ()223012549200.4082 2.072.161421949K⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯0.15α=0H 0H X ()35395042CP X C ===()12453910121C C PX C ===()2145395214C C P X C ===()34391321CP X C ===X X P5421021514121()5105140123422114213E X =⨯+⨯+⨯+⨯=2AC =1BC =AB =222BC AB AC +=90ABC ∠=BC AB ⊥AD ∥PBC AD ⊂ABCD ABCD PBC BC =AD BC ∥AD AB ⊥AD PA ⊥PA AB A = AD ⊥PAB PB AD ⊥PA ⊥ABCD CD AD ⊂ABCD PA CD ⊥PA AD ⊥AD CD ⊥CD ==D DA DC x y D PA z PA t =)A)Pt ()0,0,0D ()C ()AC =()0,0,AP t = DC =)DP t =ACP ()1111,,n x y z =所以即令，则，，所以.……9分设平面的法向量为，所以即令，则，，所以.……11分因为二面角，二面角为锐角，，解得，所以.……15分17.解：（1）由正弦定理可知，，所以，所以，即.由余弦定理，所以.……4分（2）因为，所以等号两边同时平方可得，.又由（1）知，所以，即，所以，所以的周长为.……7分（3）由正弦定理可得，，即，110,0,n AC n AP ⎧=⎪⎨=⎪⋅⎩⋅1110,0,tz ⎧=⎪⎨=⎪⎩11x =11y =10z =()11,1,0n =CPD ()2222,,n x y z =220,0,n DP n DC ⎧=⎪⎨=⎪⋅⎩⋅ 2220,0,tz +==2z =2x t =-20y =(2n t =-A CP D --121212cos ,n n n n n n ⋅===2t =2PA =sin sin sin a b cA B C==()()sin sin sin sin sin sin sin sin sin B C A A a b cB CB CB C b c a cπ+--====++++-222a acbc -=-222a cb ac +-=2221cos 222a c b ac B ac ac +-===3B π∠=3BA BC += 229a c ac ++=223a c ac +-=226a c +=3ac =a c ==ABC △a b c ++=2sin sin BC ACABCθ∠===2sin BC θ=，即.因为四边形的内角和为，且，所以，所以.……11分（可以有多种表达形式，化简正确都得分），记，令，则.因为在中，所以，所以，所以当时，恒成立.当，即时，；当，即时，，则……15分18.解：（1）由题意可知，直线的斜率必存在.当垂直于轴时，点，，此时，即，所以抛物线的方程为.……5分（2）设直线的方程为，，.联立得，所以，，则.将代入直线，得，则的中点.因为，所以，则直线的方程为，即.同理可得，直线的方程为，所以，，所以.因为，则，所以，此时，，所以直线的方程为，代入，得，所以，所以2sin sin CD ACADCθ∠===2sin CD θ=ABCD 2πABC ADC ∠∠π+=2BCD πθ∠-=()211sin 2sin 2sin sin 22sin sin222S BC CD BCD ∠θθπθθθ=⋅=⨯⨯⨯-=⨯()22sin sin21cos2sin2sin2sin2cos2S θθθθθθθ=⨯=-=-2x θ=()sin sin cos f x x x x =-()()()()222cos cos sin 2cos cos 12cos 1cos 1f x x x x x x x x =-'-=-++=+-+ACD △03πθ<<203x π<<1cos 12x -<<1cos 12x -<<()0f x '>1cos 2x =-23x π=23f π⎛⎫= ⎪⎝⎭cos 1x =0x =()00f =()0f x <<0S <<l AB y ,2p A p ⎛⎫ ⎪⎝⎭,2p B p ⎛⎫- ⎪⎝⎭24AB p ==2p =C 24x y =l 1y kx =+()11,A x y ()22,B x y 21,4,y kx x y =+⎧⎨=⎩2440x kx --=124x x k +=124x x =-2Q x k =2Q x k =1y kx =+221Q y k =+AB ()22,21Q k k +24x y =2x y '=PA ()1112x y y x x -=-2111124y x x x =-PB 2221124y x x x =-()2212121211442122P x x x x x k x x -+===-21212111112244P x x x x y x x +=⋅-==-()2,1P k -4P x =24k =2k =()4,9Q ()4,1P -PQ 4x =24x y =4y =()4,4E.……10分（3）由（2）知，，，所以直线的方程为，代入，得，所以，所以为的中点.因为抛物线在点处的切线斜率，所以抛物线在点处的切线平行于.又因为为的中点，所以.因为直线的方程为，所以.又到直线的距离.，当且仅当时取“”，所以，所以四边形的面积的最小值为3.……17分19.（1）解：当时，恒成立，即恒成立，只需即可.令，，则.令，，则，当时，恒成立，即在上单调递增，所以，所以在上恒成立，即在上单调递增，所以，945QE =-=()22,21Q k k +()2,1P k -PQ 2x k =24x y =2y k =()22,E k k E PQ C E 22ky k '==C E AB E PQ 34ABP ABNM S S =△四边形AB 1y kx =+()()()2121212112444AB y y p kx kx k x x k =++=++++=++=+()2,1P k -AB h 1122ABP S AB h =⋅=△()()322244414kk +⋅=+≥0k ==334ABP ABNM S S =≥△四边形ABNM 1x ≥213ln 022x x ax +-+≥ln 1322x a x x x ≤++min ln 1322x a x x x ⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭()ln 1322x g x x x x =++1x ≥()22221ln 132ln 1222x x x g x x x x -'--=+-=()22ln 1h x x x =--1x ≥()22222x h x x x x-=-='1x ≥()0h x '≥()h x [)1,+∞()()10h x h ≥=()0g x '≥[)1,+∞()g x [)1,+∞()()min 12g x g ==所以，即实数的最大值为2.……5分（2）证明：因为当时，，，所以，即在上单调递增.又，，且，所以不妨设.要证，即证明.因为在上单调递增，即证.因为，即证.设，，令，，则，.因为，所以，即在（0，1）上单调递增，所以，即，所以成立，所以.……11分（3）证明：由（2）可知，当时，在上单调递增，且.由，得，即.令，则，即，所以，，，，，相加得.……17分2a ≤a 2a =()21ln 22f x x x x =+-0x >()()21120x f x x x x-=+-=≥'()f x ()0,+∞()312f =-()()123f x f x +=-12x x ≠1201x x <<<122x x +>212x x >-()f x ()0,+∞()()212f x f x >-()()123f x f x +=-()()1123f x f x +-<-()()()()()()221123ln 2ln 2222322F x f x f x x x x x x x =+-+=+-+-+---+=()()()2ln 221ln 221x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤-+-+=---+⎣⎦⎣⎦01x <<()2t x x =-01t <<()ln 1t t t ϕ=-+()111tt t tϕ-=-='01t <<()0t ϕ'>()t ϕ()()10t ϕϕ<=()()()230F x f x f x =+-+<()()1123f x f x +-<-122x x +>2a =()f x ()1,+∞()()312f x f >=-213ln 2022x x x +-+>22ln 430x x x +-+>()22ln 21x x +->1n x n +=2112ln 21n n n n ++⎛⎫+-> ⎪⎝⎭2112ln 1n n n n +-⎛⎫+> ⎪⎝⎭22112ln 111-⎛⎫+> ⎪⎝⎭23122ln 122-⎛⎫+> ⎪⎝⎭24132ln 133-⎛⎫+> ⎪⎝⎭ 2112ln 1n n n n +-⎛⎫+> ⎪⎝⎭()2112ln 1ni i n n i =-⎛⎫++> ⎪⎝⎭∑。

四川省成都市石室中学(北湖校区)2019年高二数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 中，，则形状是（）A. 正三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形或直角三角形D. 等腰直角三角形参考答案：B2. 若在上是减函数，则b的取值范围是（）A． B． C．D．参考答案：C略3. 在ΔABC中，若,则=( )A. B. C. D.参考答案：B略4. 直线与圆C：切于点p（-1,2），则a+b的值为（） A.1 B.-1 C.3 D.-3参考答案：C5. 若复数是纯虚数，则实数a的值为（）A．1 B．2 C．1或2 D．-1参考答案：B6. 甲、乙、丙、丁四位同学各自对A、B两变量的线性相关性做实验，并用回归分析方法分析求得相关系数r与残差平方和m如下表：则哪位同学的实验结果体现A、B两变量有更强的线性相关性（）A、甲B、乙C、丙D、丁参考答案：D7. 在1，2，3，4，5的排列中，满足条件的排列个数是（）A．10； B．12； C．14；D．16.参考答案：B提示：由已知条件知只可能或，且.当时,则或当时,有!=种排列:当时,有!=种排列,即共有8种排列.同理,当时,也有8种排列. 故应选 B.8. 结论为：能被整除，令验证结论是否正确，得到此结论成立的条件可以为（）Ａ．Ｂ．且Ｃ．为正奇数Ｄ．为正偶数参考答案：C9. 已知a=，b=log2，c=log，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a参考答案：C【考点】对数的运算性质．【分析】利用指数式的运算性质得到0＜a＜1，由对数的运算性质得到b＜0，c＞1，则答案可求．【解答】解：∵0＜a=＜20=1，b=log2＜log21=0，c=log=log23＞log22=1，∴c＞a＞b．故选：C．10. △ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a=3，A=60°，b=，则B=（）A．45°B．30°C．60°D．135°参考答案：A【考点】正弦定理．【分析】由正弦定理可得sinB==，由a=3＞b=，即可根据大边对大角求得B 的值．【解答】解：由正弦定理可得：sinB===，∵a=3＞b=，∴B为锐角．∴B=45°故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设、是平面直角坐标系（坐标原点为）内分别与轴、轴正方向相同的两个单位向量，且，，则的面积等于 .参考答案：12. （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，若过点且与极轴垂直的直线交曲线于、两点，则；参考答案：解析：过点(1,0)作x轴的垂线，与圆(x－2)2＋y2＝4交于点A,B，；13. 若x＞0，y＞0，且log2x+log2y=2，则的最小值为．参考答案：14. 在各项都是正数的等比数列{a n}中，若a2a8+2a5a3+a2a4=16,则a3+ a5=_______;参考答案：4略15. 若原点在直线上的射影为A，则的方程为____________________参考答案：略16. 设f(x) = 且参考答案：17. 已知直线2x+my+1=0与直线y=3x-1平行，则m= _______.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。

成都石室中学高2019届十二月份一诊模拟试卷数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.A B C．23D．32【答案】A【解析】由题意2,3c b e a ===；【解析】由题意2,3cb e a===；【答案】A【解析】分析知()f x 周期为4，(13)(1)(1)f f f ==--，(7)=(1)f f -，因为(13)2(7)1f f =+所以(1)=2(1)1f f ---+，从而1(1)3f -=-，当(2,0)x ∈-时，2()log (3)f x x a =++，【解析】如图所示，可以将三棱柱补体为长方体1111ABCD A B C D -，易得11//B D AC ,所以异面直线1B A 与1A C 所成角为1DB A ∠，因为115,B D B A AD ===所以22211111cos 2B D B A AD DB A B D B A +-∠==⋅. 10.已知函数()3cos f x x x =+，且()f x 分别在1x ，2x 处取得最大值和最小值，则12x x +的最小值为A.3π B.23π C.π D.43π【答案】B 【解析】()23sin()3f x x π=+分别在1x ，2x 处取得最大值和最小值，111232x k k πππ∴+=+∈Z （）即11126=x k k ππ+∈Z （） 222232x k k πππ+=-∈Z （）即222526=x k k ππ-∈Z （） 则121222()3x x k k ππ+=+-12,k k ∈Z （）当120k k +=时，12x x +取得最小值23π. 故答案选B. 11. 已知抛物线2:C y ax =的焦点坐标为(0,1)，点(0,3)P ，过点P 作直线l 交抛物线C 于,A B 两点，过,A B 分别作抛物线C 的切线，两切线交于点Q ，且两切线分别交x 轴于,M N 两点，则QMN ∆面积的最小值为A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】抛物线2:4,C x y =221212(,),(,),44x x A x B x 由AB 过（0，3），过211(,)4x A x 的切线方程为：21124x x x y =-；过B 的切线方程为：22224x x x y =-,两切线交点：1212(,)24x x x x Q +，将直线AB : 3y kx =+与抛物线联立：122212344120124y kx x x k x kx x x x y=++=⎧⎧⇒--=⇒⎨⎨=-=⎩⎩，(2,3)Q k -， 又因为12,0,(,0)22x x M N ⎛⎫⎪⎝⎭，1211322QMN S x x ∆=⋅-⋅=（当AB 斜率为0时取得最值）；选C【解析】可行区域如图所示，当直线5y x z =-+过图中点(2,2)A 时，z 最大为12；14. 执行如图所示的程序框图，若输入12x =，则输出y 的值为______. 【答案】98-【解析】当12x =时，5y =，此时||7y x -=；当5x =时，32y =，此时7||2y x -=； 当32x =时，14y =-，此时7||4y x -=；【解析】由121n n a a +=-可得112(1)n n a a +-=-，111a -=，{1}n a ∴-是公比为2，首项为1的等比数列，121n n a -∴=+，21n n S n =-+，232nn k -≥，令232n n n b -=， 则11252n n n n b b ++-+-=，{}nb ∴前3项递增，从第3项起单调递减，n b ∴最大值为38， k ∴的最小值为38.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17－21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分 17.（本题满分12分）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知6C π=，2a =，ABC ∆F 为边AC 上一点. （1）求c ； （2）若CF =，求sin BFC ∠.【答案】（1）2c =（2）sin 4BFC ∠=【解析】（1）11sin 2sin 226S ab C b π==⨯⨯⨯=b ∴=···········3分2222cos 41222cos46c a b ab C π=+-=+-⨯⨯=，2c ∴= ···········6分（2）由（1）得2a c ==，6A C π∴==, 23ABC A C ππ∠=--=···········7分 在BCF ∆中由正弦定理sin sin CF BFCBF BCF=∠∠得sin6sin CF CBF BFπ⋅∠=2CF =sin 2CBF ∴∠=···········9分 23CBF π∠≤4CBF π∴∠= ···········10分 ()sin sin sin 464BFC CBF BCF ππ⎛⎫∴∠=∠+∠=+=⎪⎝⎭···········12分18. （本题满分12分）如图，在四棱锥E ABCD -中，底面为菱形,已知60DAB BAE ∠=∠=︒，2AD AE ==，DE =2AB =.（1）求证：平面ABE ⊥平面ABCD ；（2）求点B 到平面AED 的距离． 【答案】（1）略；（2）5【解析】（1）如图，过D 作DO AB ⊥，连接EO60,2,DAB EAB AD AE AO AO ∠=∠=︒===DAO EAO ∴∆≅∆ ···········2分90,DOA EOA DO EO ∴∠=∠=︒==6DE =222DO EO DE ∴+=由勾股定理逆定理得90DOE ∠=︒，即DO EO ⊥ ···········4分,,DO AB AB EO O AB ABE EO ABE ⊥⋂=⊂⊂面，面，DO ABE ∴⊥面DO ABCD ⊂面，∴平面ABE ⊥平面ABCD ···········6分（2）设B 到AED 的距离为d ，由（1）可知AEB OD OE S ∆===在等腰AED ∆中，2,AE AD DE ===2AED S ∆=···········8分 由等体积法可得B AED D AEB V V --= ···········9分1133AED AEB d S OD S ∆∆∴⨯⨯=⨯⨯， 5d ∴=，故B 到AED 的距离为5. ···········12分 19．（本题满分12分）基于移动互联技术的共享单车被称为“新四大发明”之一，短时间内就风靡全国，带给人们新的出行体验．某共享单车运营公司的市场研究人员为了解公司的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，结果如下表：（1）请用相关系数说明可用线性回归模型拟合月度市场占有率y 与月份代码x 之间的关系； （2）求y 关于x 的线性回归方程，并预测该公司2018年12月份的市场占有率；（3）根据调研数据，公司决定再采购一批单车扩大市场，现有采购成本分别为1000元/辆和800元/辆的A ，B 两款车型报废年限各不相同．考虑到公司的经济效益，该公司决定先对两款单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命频数表如下：经测算，平均每辆单车每年可以为公司带来收入500元．不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，且用频率估计每辆单车使用寿命的概率，分别以这100辆单车所产生的平均利润作为决策，如果你是该公司的负责人，你会选择采购哪款车型？回归直线方程为ˆˆˆybx a =+，其中【答案】（1）略；（2）ˆ29y x =+，市场占有率为23%；（3）应选择B 款车型．【解析】（1所以两变量之间具有较强的线性相关关系，···········3分 故可用线性回归模型拟合两变量之间的关系．（2···········4分···········5分∴回归直线方程为ˆ29y x =+．···········6分2018年12月的月份代码7x =，∴27923y =⨯+=， 所以估计2018年12月的市场占有率为23%．···········7分答案：（3）用频率估计概率，这100辆A 款单车的平均利润为：1(5001003050040100020)350100-⨯+⨯+⨯+⨯=（元）···········9分 这100辆B 款单车每辆的平均利润为：1(300152004070035120010)400100-⨯+⨯+⨯+⨯=（元）···········11分 以每辆单车产生的平均利润为决策依据，故应选择B 款车型．········12分20. （本题满分12分）已知点P 是椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>上一点， 1F 、2F 分别是椭圆的左右焦点，且120PF PF ⋅=.（1）求曲线E 的方程；（2）若直线:l y kx m =+（不与坐标轴重合）与曲线E 交于,M N 两点，O 为坐标原点，设直线OM 、ON 的斜率分别为1k 、2k ，对任意的斜率k ，若存在实数λ，使得12()0k k k λ++=，求实数λ的取值范围.【答案】（1）22162x y +=；（2【解析】（1）设12(,0),(,0)F c F c -，212(1)(1)40,2PF PF c c c c ⋅=--⋅-=-==， ……………………2分； 由2222223116,24a b a ba b ⎧+=⎪⇒==⎨⎪-=⎩， 曲线E 的方程为：22162x y +=；……………………5分； （2）设,M N 两点坐标为：1122(,),(,),x y x y ,M N 两点满足：12222222212222631136(13)6360623112(26)0km x x k x y m k x kmx m x x k y kx m m k -⎧+=⎪+⎪⎧+=-⎪⎪⇒+++-=⇒=⎨⎨+⎪⎪=+⎩⎪∆=-+>⎪⎩……………………………………………………………………………………………………………………………………………7分；121212)))1212(((0y y kx m kx m k k k k k x x x x λλλ++++=⨯++=⨯++=，1212()[2]0m x x k k x x λ+⨯++=， ①当0k =时，R λ∈②当0k ≠时，23612m λ-= ……………………10分由2212(26)0m k ∆=-+>对任意k 恒成立，则2222602m k m <+⇒≤<，(标注：对于任意的k ，直线:l y kx m =+均与椭圆相交，直接得到点(0,)m 位于椭圆内部，也可得202m ≤<)102λ⇒-≤< 综上：1[,0)2λ∈-………………………12分 21.（本题满分12分） 已知函数()=ln 1f x a x -，其中0a ≠，()2=1g x x -，()()()h x f x g x =+. （1）若23y x =-是()f x 的一条切线，求a 的值；（2）在（1）问的前提下，若存在正实数12,x x 使得()1212()h x h x x x +=+，求12x x +的取值范围.【答案】（1）2a =；（2）[3+)∞，．【解析】（1）设23y x =-与()f x 相切于点00(,)x y ，则1分 所以000ln 10x x x -+= （*） ………………2分令()ln 1F x x x x =-+，()ln F x x '=，当(0,1)x ∈时，()0F x '<， 当(1,+)x ∈∞时，()0F x '>，所以()F x 在=1x 时取得最小值(1)=0F ，所以（*）式有唯一解01x = ………………4分 所以2a = ………………5分（注：如果未讨论解的唯一性，直接猜出答案，扣2分）（2）由题知()1212()h x h x x x +=+，即221212122ln 4x x x x x x ++-=+， 212121212()()422ln x x x x x x x x +-+-=- ………………7分设12=0x x t >，令()22ln m t t t =-， 当(0,1)t ∈时，()0m t '<，当(1,+)t ∈∞时，()0m t '>，所以()(1)2m t m ≥=，……………10分 21212()()42x x x x +-+-≥，解得123x x +≥或122x x +≤-（舍去） …………11分 当且仅当12==1x x t 时，12=3x x +等号成立. 综上，12x x +的取值范围是[3+)∞， …………12分 (注：未验证等号成立条件，扣1分.)（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22. 选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线1C 的参数方程为:2cos (1sin x t t y t αα=+⎧⎨=-+⎩为参数），在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为：=6cos 8sin ρθθ-，直线1C 与曲线2C 交于,A B 两点，（1）求曲线2C 的普通方程及AB 的最小值；（2）若点(2,1)P -，求22PA PB +的最大值.【答案】（1）22(3)(4)25x y -++=；（2）70；【解析】（1）222=6cos 8sin =6cos 8sin +=68x y x y ρθθρρθρθ-⇒-⇒-曲线2C 的普通方程为：22+=68x y x y -（或22(3)(4)25x y -++=）………………...2分；AB AB 最小为=分；（2）法1：设直线1C 上点,A B 对应参数方程:2cos (1sin x t t t y αα=+⎧⎨=-+⎩为参数）的参数分别为12,,t t 将直线1C 与曲线2C 方程联立方程组：222(1)(3)252cos sin cos 6sin 150t t t t t αααα+--++=⇒=-………………...6分；12co 6in 2s s t t αα⇒+=-，1215,t t =-2222212(cos 26sin )30PA PB t t αα⇒+=+=-+ ……………………………8分； 22cos 36sin 24sin cos 3003416(1cos 2)12sin 24αααααα=+-+=+--435020sin(2)70,(sin ,cos )(sin(2)=-1)55αϕϕϕαϕ=-+≤==+当时取得最大值 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………10分； 法2：由数形结合，圆相关问题往圆心转化，过圆心2C 作2C H AB ⊥于H ,设圆心距2||C H d =，2222(||||)(||||)PA PB HA PH HA PH +=-++ 222222222(||||||||)C A C H C P C H =-+-22(2510)82d ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯=-⋯⋯⋯+分；270270d =-≤（当1C 过圆心为直径时，取得最大值）………………………………………10分；23. 选修4-5：不等式选讲（1）当2a =时，解不等式()2f x x +<；（2的解集非空，求b 的取值范围.【答案】（1（2【解析】（1）当2a =时，所以1221x x x -<+<-，解得………4分（2 ，解集非空等价于max ()b g x ≤,…………6分分所以b的取值范围分.。

成都石室中学2018～2019学年度上期高2020届10月月考文科数学试卷★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。

7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的. 1.已知集合(){}(){}22,10,,1A x y x y B x y xy A B =+-==+=⋂=，则 （ ）A.()(){}0110，，，B. {}01，C.(){}01，D.(){}10，2.下列函数中，与函数3y x =的单调性和奇偶性一致的函数是（ ） A.y x =B.tan y x =C.1y x x=+D.x x y e e -=-3.己知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸(单位：cm )， 可得这个几何体的体积是（ ）A.383cm B.343cm C. 323cm D. 313cm 4.过原点且倾斜角为30︒的直线被圆()2224x y +-=所截得的弦长为（ ）A. 2B. 3C. 2D. 15.当曲线24y x =--与直线240kx y k -+-=有两个相异的交点时,实数k 的取值范围是 （ ） A. 30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. 53,124⎛⎤⎥⎝⎦C. 3,14⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭6.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为32，直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，且线段AB 的中点为()2,1M -，则直线l 的斜率为（ ）A.13B.32C.12D.17.设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，P 是C 上的点，212PF F F ⊥，1230PF F ∠=︒，则C 的离心率为（ ）A.36 B.13 C.12 D.338.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 的左右焦点分别为12,F F ，以12FF 为直径的圆与双曲线渐近线的一个 交点为()1,2 ，则此双曲线为 （ ）A.2214x y -=B.2214y x -=C.2212x y -=D.2212y x -=9.平行四边形内接于椭圆，直线的斜率，则直线的斜率( )A. B. C ． D.10.已知双曲线E ：22221x y a b-= ()0,0a b >>，点1F 为E 的左焦点，点P 为E 上位于第一象限内的点，P 关于原点O 的对称点为Q ，OP b =，113PF QF =，则E 的离心率为（ ）A.2B.3C.2D.511.数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线．已知ABC ∆的顶点()()2,0,0,4A B ，若其欧拉线的方程为20x y -+=，则顶点C 的坐标为（ ） A.()4,0- B.()3,1-- C.()5,0- D.()4,2--12.已知三棱锥ABC D -四个顶点均在半径为R 的球面上，且22===AC BC AB ，，若该三棱锥体积的最大值为1，则这个球的表面积为（ ）A. 81500πB. π4C. 925πD.9100π二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.等比数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若2nn S a =+，则实数a 的值为 ．14. 直线l ：()25y x =-过双曲线C ：22221x y a b-= ()0,0a b >>的右焦点F 且与双曲线C 只有一个公共点，则C 的离心率为 ．15.已知圆()223100C x y ++=：和点()3,0B ,P 是圆上一点，线段BP 的垂直平分线交CP 于M 点，则M 点的轨迹方程是 ．16.在平面直角坐标系xOy 中，点Q 为圆1)4()3(22=-++y x 上的一动点，直线02:1=+-k y kx l 与直线02:2=-+ky x l 相交于点P ．则当实数k 变化时，线段PQ 长的最大值是 ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.(本小题满分10分)已知公差不为0的等差数列{}n a 的前三项和为12，且248,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n an b 2=，求数列{}n b 的前n 项和n S .18.(本小题满分12分)已知曲线C 上的动点(),P x y 满足到定点()1,0A -的距离与到定点()1,0B 距离之比为2． （Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）过点()1,2M 的直线l 与曲线C 交于两点,M N ，若4MN =，求直线l 的方程．19.(本小题满分12分)如图，在三棱柱111C B A ABC -中，底面ABC 为正三角形，侧棱1AA ⊥底面ABC ．已知D 是BC 的中点，12AB AA ==．（Ⅰ）求证：平面1AB D ⊥平面11BB C C ；（Ⅱ）求证：C A 1∥平面D AB 1； （Ⅲ）求三棱锥11A AB D -的体积．ACBB 1C 1A 1D20.（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos 2a C c b -=． （Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）若6ABC π∠=，AC 边上的中线BD 的长为35，求ABC ∆的面积．21.(本小题满分12分)直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)x ya b a b+=>>的焦距为23，过点13,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知点()2,1P ，不经过原点的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，线段AB 被直线OP 平分，且0PA PB ⋅=.求直线l 的方程.22.(本小题满分12分)设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12e =，椭圆C 上一点M 到左、右两个焦点12,F F 的距离之和是4.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知过2F 的直线与椭圆C 交于,A B 两点，且两点与左、右顶点不重合，若111FM F A F B =+，求四边形1AMBF 面积的最大值.高二数学文科1.已知集合(){}(){}22,10,,1A x y x y B x y xy A B =+-==+=⋂=，则 （ A ）A.()(){}0110，，，B. {}01，C.(){}01，D.(){}10，2.下列函数中，与函数3y x =的单调性和奇偶性一致的函数是（ D ） A.y x =B.tan y x =C.1y x x=+D.x x y e e -=-3.己知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸(单位：cm )，可得这个几何体的体积是（ B ）A.383cm B.343cm C. 323cm D. 313cm4.过原点且倾斜角为30︒的直线被圆()2224x y +-=所截得的弦长为（ A ）A. 2B. 3C. 2D. 15.当曲线24y x =--与直线240kx y k -+-=有两个相异的交点时,实数k 的取值范围是 （ C ） A. 30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. 53,124⎛⎤⎥⎝⎦C. 3,14⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭6.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为32，直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，且线段AB 的中点为()2,1M -，则直线l 的斜率为（ C ）A.13B.32C.12D.17.设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，P 是C 上的点，212PF F F ⊥，1230PF F ∠=︒，则C 的离心率为（ D ）A.36 B.13 C.12 D.338.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 的左右焦点分别为12,F F ，以12FF 为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为()1,2 ，则此双曲线为 （ B ）A.2214x y -=B.2214y x -=C.2212x y -=D.2212y x -=9.平行四边形内接于椭圆，直线的斜率，则直线的斜率( B )A. B.C ．D.10.已知双曲线E ：22221x y a b-= ()0,0a b >>，点1F 为E 的左焦点，点P 为E 上位于第一象限内的点，P 关于原点的对称点为Q ，且满足113PF QF =，若O 为双曲线E 的中心，OP b =，则E 的离心率为（ B ）A.2B.3C.2D.511.数学家欧拉在1765年提出，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知ABC ∆的顶点()()2,0,0,4A B ，若其欧拉线的方程为20x y -+=，则顶点C 的坐标为（A ）A.()4,0-B.()3,1--C.()5,0-D.()4,2--12.已知三棱锥ABC D -四个顶点均在半径为R 的球面上，且22===AC BC AB ，，若该三棱锥体积的最大值为1，则这个球的表面积为（ D ）A. 81500πB. π4C. 925πD.9100π13.等比数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若2nn S a =+，则实数a 的值为 1-14. 直线l ：()25y x =-过双曲线C ：22221x y a b-= ()0,0a b >>的右焦点F 且与双曲线C 只有一个公共点，则C 的离心率为 5 ．15.已知圆()223100C x y ++=：和点()3,0B ,P 是圆上一点，线段BP 的垂直平分线交CP 于M 点，则M 点的轨迹方程是______2212516x y +=____．16.在平面直角坐标系xOy 中，点Q 为圆1)4()3(22=-++y x 上的一动点，直线02:1=+-k y kx l 与直线02:2=-+ky x l 相交于点P ．则当实数k 变化时，线段PQ 长的最大值是 8 .17.(本小题满分10分)已知公差不为0的等差数列{}n a 的前三项和为12，且248,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n an b 2=，求数列{}n b 的前n 项和n S .解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d .依题意有123242812,.a a a a a a ++=⎧⎨=⎩即1214,0.a d d a d +=⎧⎨-=⎩ 由0d ≠，解得12,2.a d =⎧⎨=⎩所以2n a n =. ………………………6分（Ⅱ）所以2224n a n nn b ===.因为11144,44n n n n b b b ++===，……………8分 所以数列{}n b 是以4为首项，4为公比的等比数列.所以4(14)4(41)143n nn S -==--. ………………10分18. (本小题满分12分)已知曲线C 上的动点(),P x y 满足到定点()1,0A -的距离与到定点()1,0B 距离之比为2． （Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）过点()1,2M 的直线l 与曲线C 交于两点,M N ，若4MN =，求直线l 的方程． 解：（Ⅰ）由题意得2PA PB =……2分故2222(1)2(1)x y x y ++=-+ ……3分化简得：22610x y x +-+=（或22(3)8x y -+=）即为所求． ……5分 （Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1x =， 将1x =代入方程22610x y x +-+=得2y =±，所以4MN =，满足题意。

成都石室中学2018～2019学年度上期高2020届10月月考文科数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1.已知集合（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】联立中的方程组成方程组，求出解即可确定出两集合的交集【详解】联立集合可得：，解得或则故选【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题。

2.下列函数中，与函数的单调性和奇偶性一致的函数是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】函数即是奇函数也是上的增函数，对照各选项：为非奇非偶函数，排除；为奇函数，但不是上的增函数，排除；为奇函数，但不是上的增函数，排除；为奇函数，且是上的增函数，故选D.3.己知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸(单位：)，可得这个几何体的体积是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意可得此几何体是三棱锥，其底面是等腰三角形，根据体积公式求解即可【详解】由题意可得：此几何体是三棱锥，其底面是等腰三角形，底边是，高为此三棱锥的高为，则其体积为：故选【点睛】本题主要考查了由三视图求几何体的体积，还原三视图得到几何体，然后运用公式求出结果。

4.过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据题意求出直线方程，再由圆的方程求出圆心和半径，求出圆心到直线的距离，最后根据求解出弦长的一半，乘以2得到结果【详解】直线的倾斜角为，则其斜率则过原点且斜率为的直线方程为由圆可得:圆心坐标为，半径为2则圆心到直线的距离为：故所截得的弦长为故选【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，牢记弦长的计算公式及点到直线的距离公式，较为基础。

5.当曲线与直线有两个相异的交点时,实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】曲线是以O（0，0）为圆心，以2为半径的圆的y轴下半部分，直线kx-y+2k-4=0过定点D（-2，-4），结合图形得，当曲线与直线kx-y+2k-4=0有两个相异的交点时，实数k的取值范围．【详解】如图，曲线是以O（0，0）为圆心，以2为半径的圆的y轴下半部分，A（-2，0），B（2，0），直线kx-y+2k-4=0过定点D（-2，-4），故若直线kx-y+2k-4=0与圆相切时，圆心O（0，0）到直线的距离：解得结合图形，当曲线与直线kx-y+2k-4=0有两个相异的交点时，实数k的取值范围是故选C.【点睛】本题考查直线和圆相交的交点个数问题，一般有两种解法：几何法，代数法.6.已知椭圆的离心率为，直线与椭圆交于两点，且线段的中点为，则直线的斜率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由椭圆的离心率可得a，b的关系，得到椭圆方程为x2+4y2=4b2，设出A，B的坐标并代入椭圆方程，利用点差法求得直线l的斜率【详解】由得∴a2=4b2，则椭圆方程为x2+4y2=4b2，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-4，y1+y2=2，把A，B的坐标代入椭圆方程得，两式相减得：（x1-x2）（x1+x2）=-4（y1-y2）（y1+y2），则∴直线l的斜率为故选C【点睛】本题考查直线和椭圆相交的中点弦问题，解题时一般利用点差法和线段中点的概念以及根与系数的关系，设而不求.7.设椭圆的左、右焦点分别为、，是上的点，，，则的离心率为（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】由可知，点横坐标为，代入椭圆方程求的点坐标为，在直角三角形中，，故，由椭圆性质可知：，故，，．故选．8.已知双曲线的左右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为，则此双曲线为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵双曲线的左右焦点分别为，以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（1，2），∴由题意知c==，∴a2+b2=5，①又点（1，2）在y=x上，∴，②由①②解得a=1，b=2，∴双曲线的方程为．故选：B．9.平行四边形内接于椭圆，直线的斜率，则直线的斜率( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设直线的方程为，，，利用椭圆与平行四边形的对称性可得：，联立直线与椭圆方程根据韦达定理求得，即可求得结果【详解】设直线的方程为，，，利用椭圆与平行四边形的对称性可得：联立，可化为，，解得（时不能构成平行四边形），则直线的斜率故选【点睛】本题考查了平行四边形与椭圆的关系，设直线方程和点坐标，结合椭圆的对称性，联立直线方程与椭圆方程来求解，理解并掌握解题方法。

2019-2020学年四川省成都市石室中学高三（上）月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M＝{x|（x﹣1）（x﹣2）≤0}，N＝{x|x＞0}，则（）A．N⊆M B．M⊆N C．M∩N＝∅D．M∪N＝R2．已知i为虚数单位，则i+i2+i3++i2019等于（）A．i B．1C．﹣i D．﹣13．已知命题p：∀x∈（﹣∞，0），2x2﹣3x+1＞0，命题q：若x≥0，则2x2﹣3x+1≤0，则以下命题正确的为（）A．p的否定为“∃x∈[0，+∞），2x2﹣3x+1≤0”，q的否命题为“若x＜0，则2x2﹣3x+1＞0”B．p的否定为“∃x∈（﹣∞，0），2x2﹣3x+1≤0”，q的否命题为“若x＜0，则2x2﹣3x+1＞0”C．p的否定为“∃x∈[0，+∞），2x2﹣3x+1≤0”，q的否命题为“若x≥0，则2x2﹣3x+1＞0”D．p的否定为“∃x∈（﹣∞，0），2x2﹣3x+1≤0”，q的否命题为“若x≥0，则2x2﹣3x+1＞0”4．已知{a n}是公差为的等差数列，S n为{a n}的前n项和，若a2，a6，a14成等比数列，则S5＝（）A．B．35C．D．255．中国古代数学著作《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．意思是现有松树高5尺，竹子高2尺，松树每天长自己高度的一半，竹子每天长自己高度的一倍，问在第几天会出现松树和竹子一般高？如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的x＝5，y＝2，输出的n为4，则程序框图中的中应填（）A．y＜x B．y≤x C．x≤y D．x＝y6．设函数f（x）＝，则满足2f（f（a））＝f（a）的a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．[0，2]C．[2，+∞）D．（﹣∞，0]∪[2，+∞）7．若直线y＝k（x﹣2）+4与曲线y＝有两个交点，则k的取值范围是（）A．[1，+∞）B．C．D．（﹣∞，﹣1] 8．已知a＝2ln3，b＝3ln2，，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a9．已知α∈（0，），2sin2α＝cos2α+1，则sinα＝（）A．B．C．D．10．函数f（x）＝x2+x﹣（x+1）sin x的零点的个数是（）A．1B．2C．3D．411．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的焦距为4，其与抛物线E：y2＝交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB为正三角形，则C的离心率为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ），其中ω＞0，|φ|≤，为f（x）的零点：且f（x）≤|f（）|恒成立，f（x）在区间（﹣）上有最小值无最大值，则ω的最大值是（）A．11B．13C．15D．17二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知数列{a n}满足a1＝1，，则a5＝．14．已知α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}，若幂函数f（x）＝xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，则α＝．15．已知球O的内接圆锥体积为，其底面半径为1，则球O的表面积为．16．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，且F到准线l的距离为2，直线与抛物线C交于P，Q两点（点P在x轴上方），与准线l交于点R，若|QF|＝3，则＝．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，sin C＝2sin B．（1）求；（2）若AD＝AC＝1，求BC的长．18．随着经济的发展，个人收入的提高，自2018年10月1日起，个人所得税起征点和税率的调整．调整如下：纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减除5000元后的余额为应纳税所得额．依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法如表：（1）假如小李某月的工资、薪金等所得税前收入总和不高于8000元，记x表示总收入，y表示应纳的税，试写出调整前后关于x的函数表达式；（2）某税务部门在小李所在公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入，并制成下面的频数分布表：先从收入在[3000，5000）及[5000，7000）的人群中按分层抽样抽取7人，再从中选2人作为新纳税法知识宣讲员，求两个宣讲员不全是同一收入人群的概率；（3）小李该月的工资、薪金等税前收入为7500元时，请你帮小李算一下调整后小李的实际收入比调整前增加了多少？19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，，G是PB的中点，△P AD 是等边三角形，平面P AD⊥平面ABCD．（1）求证：CD⊥平面GAC；（2）求三棱锥D﹣GAC与三棱锥P﹣ABC的体积之比．20．已知函数（e为自然对数的底数）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）求证：当a≥3﹣e时，对∀x∈[0，+∞），f（x）≥﹣1．21．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）过点A（0，1），且椭圆的离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）斜率为1的直线l交椭圆C于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，且x1＞x2．若直线x＝3上存在点P，使得△PMN是以∠PMN为顶角的等腰直角三角形，求直线l的方程．22．在平面直角坐标系xOy中，圆C：x2+（y﹣4）2＝4．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（Ⅰ）求圆心C的极坐标；（Ⅱ）过原点O作圆C的弦，求弦的中点轨迹的极坐标方程．2019-2020学年四川省成都市石室中学高三（上）月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M＝{x|（x﹣1）（x﹣2）≤0}，N＝{x|x＞0}，则（）A．N⊆M B．M⊆N C．M∩N＝∅D．M∪N＝R【解答】解：已知集合M＝{x|（x﹣1）（x﹣2）≤0}＝{x|1≤x≤2}，N＝{x|x＞0}，则由集合的运算和集合的关系可得：M⊆N，B正确；故选：B．2．已知i为虚数单位，则i+i2+i3++i2019等于（）A．i B．1C．﹣i D．﹣1【解答】解：i+i2+i3++i2019＝＝．故选：D．3．已知命题p：∀x∈（﹣∞，0），2x2﹣3x+1＞0，命题q：若x≥0，则2x2﹣3x+1≤0，则以下命题正确的为（）A．p的否定为“∃x∈[0，+∞），2x2﹣3x+1≤0”，q的否命题为“若x＜0，则2x2﹣3x+1＞0”B．p的否定为“∃x∈（﹣∞，0），2x2﹣3x+1≤0”，q的否命题为“若x＜0，则2x2﹣3x+1＞0”C．p的否定为“∃x∈[0，+∞），2x2﹣3x+1≤0”，q的否命题为“若x≥0，则2x2﹣3x+1＞0”D．p的否定为“∃x∈（﹣∞，0），2x2﹣3x+1≤0”，q的否命题为“若x≥0，则2x2﹣3x+1＞0”【解答】解：因为命题的否定只要否定结论，故p的否定为“∃x∈（﹣∞，0），2x2﹣3x+1≤0”，否命题既要否定条件又要否定结论，故q的否命题为“若x＜0，则2x2﹣3x+1＞0”．故选：B．4．已知{a n}是公差为的等差数列，S n为{a n}的前n项和，若a2，a6，a14成等比数列，则S5＝（）A．B．35C．D．25【解答】解：∵{a n}是公差为的等差数列，S n为{a n}的前n项和，a2，a6，a14成等比数列，∴＝（）（），解得a1＝，∴S5＝5×+＝．故选：C．5．中国古代数学著作《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．意思是现有松树高5尺，竹子高2尺，松树每天长自己高度的一半，竹子每天长自己高度的一倍，问在第几天会出现松树和竹子一般高？如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的x＝5，y＝2，输出的n为4，则程序框图中的中应填（）A．y＜x B．y≤x C．x≤y D．x＝y【解答】解：模拟程序的运行，可得x＝5，y＝2，n＝1x＝，y＝4不满足条件，执行循环体，n＝2，x＝，y＝8，此时，x＞y，不满足条件，执行循环体，n＝3，x＝，y＝16，此时，x＞y，不满足条件，执行循环体，n＝4，x＝，y＝32，此时，x＜y，由题意，此时，应该满足条件，退出循环，输出n的值为4．可得程序框图中的中应填x≤y？故选：C．6．设函数f（x）＝，则满足2f（f（a））＝f（a）的a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．[0，2]C．[2，+∞）D．（﹣∞，0]∪[2，+∞）【解答】解：作出y＝f（x）的图象，可得f（x）的最小值为，2f（f（a））＝f（a），设t＝f（a），可得t≥，即有2f（t）＝t，当t＞1时，2•＝t成立，即有a＞2或a＜0；当≤t≤1时，21﹣t＝t，即有t＝1，可得a＝0或a＝2．综上可得a的范围是a≥2或a≤0．故选：D．7．若直线y＝k（x﹣2）+4与曲线y＝有两个交点，则k的取值范围是（）A．[1，+∞）B．C．D．（﹣∞，﹣1]【解答】解：直线y＝k（x﹣2）+4，当x＝2时，y＝4，可得此直线恒过A（2，4），曲线y＝为圆心在坐标原点，半径为2的半圆，根据题意作出相应的图形，如图所示：当直线y＝k（x﹣2）+4与半圆相切（切点在第二象限）时，圆心到直线的距离d＝r，∴＝2，即4k2﹣16k+16＝4+4k2，解得：k＝，当直线y＝k（x﹣2）+4过点C时，将x＝﹣2，y＝0代入直线方程得：﹣4k+4＝0，解得：k＝1，则直线与曲线有2个交点时k的范围为（，1]．故选：C．8．已知a＝2ln3，b＝3ln2，，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a【解答】解：∵a＝2ln3＝ln9，b＝3ln2＝ln8＜ln9＝a，c＝，∴c＞a＞b，故选：C．9．已知α∈（0，），2sin2α＝cos2α+1，则sinα＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵2sin2α＝cos2α+1，∴可得：4sinαcosα＝2cos2α，∵α∈（0，），sinα＞0，cosα＞0，∴cosα＝2sinα，∵sin2α+cos2α＝sin2α+（2sinα）2＝5sin2α＝1，∴解得：sinα＝．故选：B．10．函数f（x）＝x2+x﹣（x+1）sin x的零点的个数是（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：令x2+x﹣（x+1）sin x＝0，则x（x+1）＝（x+1）sin x，显然x＝﹣1为方程的一个根，当x≠﹣1时，有x﹣sin x＝0，令g（x）＝x﹣sin x，则g′（x）＝1﹣cos x≥0，即函数g（x）在定义域上为增函数，而g（0）＝0，∴函数g（x）＝x﹣sin x只有一个零点x＝0，即方程x﹣sin x＝0只有唯一解x＝0，综上，函数f（x）＝x2+x﹣（x+1）sin x有2个零点．故选：B．11．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的焦距为4，其与抛物线E：y2＝交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB为正三角形，则C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：由抛物线和双曲线关于x轴对称，可设A（m，n），B（m，﹣n），（m，n＞0），可得|AB|＝|OA|＝2n，即有＝n，又n2＝m，解得m＝，n＝1，则﹣＝1，且c＝2，即a2+b2＝4，可得a＝b＝，则e＝＝．故选：C．12．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ），其中ω＞0，|φ|≤，为f（x）的零点：且f（x）≤|f（）|恒成立，f（x）在区间（﹣）上有最小值无最大值，则ω的最大值是（）A．11B．13C．15D．17【解答】解：由题意知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x＝为y＝f（x）图象的对称轴，x＝﹣为f（x）的零点，∴•＝，n∈Z，∴ω＝2n+1．f（x）在区间（﹣，）上有最小值无最大值，∴周期T≥（+）＝，即≥，∴ω≤16．∴要求ω的最大值，结合选项，先检验ω＝15，当ω＝15时，由题意可得﹣×15+φ＝kπ，φ＝﹣，函数为y＝f（x）＝sin（15x﹣），在区间（﹣，）上，15x﹣∈（﹣，，），此时f（x）在x＝﹣时取得最小值，∴ω＝15满足题意．则ω的最大值为15，故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知数列{a n}满足a1＝1，，则a5＝100．【解答】解：∵，∴{lga n}是以lga1＝0为首项，为公差的等差数列，∴，∴，∴，故填100．14．已知α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}，若幂函数f（x）＝xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，则α＝﹣1．【解答】解：∵α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}，幂函数f（x）＝xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，∴a是奇数，且a＜0，∴a＝﹣1．故答案为：﹣1．15．已知球O的内接圆锥体积为，其底面半径为1，则球O的表面积为．【解答】解：由圆锥体积为，其底面半径为1，可求得圆锥的高为2，设球半径为R，可得方程：R2﹣（2﹣R）2＝1，解得R＝，∴＝，故答案为：．16．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，且F到准线l的距离为2，直线与抛物线C交于P，Q两点（点P在x轴上方），与准线l交于点R，若|QF|＝3，则＝．【解答】解：如图所示：∵抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F（，0），准线方程为x＝﹣，F到准线l的距离为2，可得p＝2．∴抛物线的方程为y2＝4xF（1，0），准线为x＝﹣1，则|QF|＝3＝x Q+1，解得x Q＝2．联立，化为x2﹣（4m2+2）x+5＝0．∴2x P＝5，解得x P＝，过P，Q作准线的垂线，交于M，N，则＝＝＝＝＝．故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，sin C＝2sin B．（1）求；（2）若AD＝AC＝1，求BC的长．【解答】解：（1）由正弦定理可得在△ABD中，，（2分）在△ACD中，，又因为∠BAD＝∠CAD，（2）sin C＝2sin B，由正弦定理得AB＝2AC＝2，（7分）设DC＝x，则BD＝2x，则（9分）因为∠BAD＝∠CAD，所以，解得（11分）18．随着经济的发展，个人收入的提高，自2018年10月1日起，个人所得税起征点和税率的调整．调整如下：纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减除5000元后的余额为应纳税所得额．依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法如表：（1）假如小李某月的工资、薪金等所得税前收入总和不高于8000元，记x 表示总收入，y 表示应纳的税，试写出调整前后关于x 的函数表达式；（2）某税务部门在小李所在公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入，并制成下面的频数分布表： 先从收入在[3000，5000）及[5000，7000）的人群中按分层抽样抽取7人，再从中选2人作为新纳税法知识宣讲员，求两个宣讲员不全是同一收入人群的概率；（3）小李该月的工资、薪金等税前收入为7500元时，请你帮小李算一下调整后小李的实际收入比调整前增加了多少？【解答】解：（1）调整前y关于x的表达式为y ＝，调整后y 关于x 的表达式为y ＝；（2）由频率分布表可知从[3000，5000）及[5000，7000）的人群中按分层抽样抽取7人，其中[3000，5000）中占3人，分别记为A，B，C，[5000，7000）中占4人，分别记为1，2，3，4，从这7人选2人的所有基本事件有AB，AC，A1，A2，A3，A4，BC，B1，B2，B3，B4，C1，C2，C3，C4，12，13，14，23，24，34共21种情况，其中不在同一收入人群的有A1，A2，A3，A4，B1，B2，B3，B4，C1，C2，C3，C4种，所以所求概率为P＝＝，（3）由于工资、薪金等税前收入为7500元，按调整起点前应交纳个税为1500×3%+2500×10%＝295元，按调整起点后应交纳个税为2500×3%＝75元，由此可知，调整后应交纳个税少交220元，所以小李的实际收入增加了220元．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，，G是PB的中点，△P AD 是等边三角形，平面P AD⊥平面ABCD．（1）求证：CD⊥平面GAC；（2）求三棱锥D﹣GAC与三棱锥P﹣ABC的体积之比．【解答】证明：（1）取AD的中点为O，连接OP，OC，OB，设OB交AC于H，连接GH．∵AD∥BC，，∴四边形ABCO与四边形OBCD均为菱形．∴OB⊥AC，OB∥CD．∴CD⊥AC．∵△P AD为等边三角形，O为AD中点，∴PO⊥AD．∵平面P AD⊥平面ABCD且平面P AD∩平面ABCD＝AD，PO⊂平面P AD且PO⊥AD，∴PO⊥平面ABCD．∵CD ⊂平面ABCD ，∴PO ⊥CD ．∵H ，G 分别为OB ，PB 的中点，∴GH ∥PO ．∴GH ⊥CD ． 又∵GH ∩AC ＝H ，∴CD ⊥平面GAC ．（2）三棱锥D ﹣GAC 与三棱锥P ﹣ABC 的体积之比为：＝．20．已知函数（e 为自然对数的底数）．（1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）求证：当a ≥3﹣e 时，对∀x ∈[0，+∞），f （x ）≥﹣1． 【解答】解：（1）＝，由f '（x ）＝0得x ＝1或x＝a ．当a ＝1时，f '（x ）≥0，函数f （x ）在（﹣∞，+∞）内单调递增．当a ＜1时，函数f （x ）在（﹣∞，a ），（1，+∞）内单调递增，在（a ，1）内单调递减． 当a ＞1时，函数f （x ）在3，（a ，+∞）内单调递增，在（1，a ）内单调递减． （2）证明：要证∀x ∈[0，+∞），f （x ）≥﹣1，即证x ∈[0，+∞），f （x ）min ≥﹣1． ①由（1）可知，当a ＞1，x ∈[0，+∞）时，f （x ）min ＝min {f （0），f （a ）}．f （0）＝﹣1，．设，a ＞1，则，∴g （a ）在（1，+∞）单调递增，故，即f （a ）＞﹣1．∴f （x ）min ＝﹣1．②当a ＝1时，函数f （x ）在[0，+∞）单调递增，f （x ）min ＝f （0）＝﹣1．③当3﹣e≤a＜1时，由（1）可知，x∈[0，+∞）时，f（x）min＝min{f（0），f（1）}．又∵f（0）＝﹣1，，∴f（x）min＝﹣1．综上，当a≥3﹣e时，对∀x∈[0，+∞），f（x）≥﹣1．21．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）过点A（0，1），且椭圆的离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）斜率为1的直线l交椭圆C于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，且x1＞x2．若直线x＝3上存在点P，使得△PMN是以∠PMN为顶角的等腰直角三角形，求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）因为椭圆C：+＝1（a＞b＞0）过点A（0，1），且椭圆的离心率为．所以由题意得解得a2＝3．所以椭圆C的方程为+y2＝1．（Ⅱ）设直线l的方程为y＝x+m，P（3，y P），由，得4x2+6mx+3m2﹣3＝0．（7分）令△＝36m2﹣48m2+48＞0，得﹣2＜m＜2．，．（9分）因为△PMN是以∠PMN为顶角的等腰直角三角形，所以NP平行于x轴．过M做NP的垂线，则垂足Q为线段NP的中点．设点Q的坐标为（x Q，y Q），则．由方程组，解得m2+2m+1＝0，解得m＝﹣1．而m＝﹣1∈（﹣2，2），所以直线l的方程为y＝x﹣1．22．在平面直角坐标系xOy中，圆C：x2+（y﹣4）2＝4．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（Ⅰ）求圆心C的极坐标；（Ⅱ）过原点O作圆C的弦，求弦的中点轨迹的极坐标方程．【解答】解：（Ⅰ）∵在平面直角坐标系xOy中，圆C：x2+（y﹣4）2＝4．∴圆心直角坐标为C（0，4），∴＝4，，∴圆心C的极坐标为C．（Ⅱ）当直线与圆相切时，设切点A（ρ，θ），连结AC，则AC⊥OA，△OAC中，|OA|＝|OC|cos（）＝|OC|sinθ，∴ρ＝4sinθ，|OC|＝4，|AC|＝2，|OA|＝2，|OA|＝，∴，∴θ＝，∴弦的中点轨迹的极坐标方程为ρ＝4sinθ.．。