平面解析几何初步

数
学 必 修 ②
＋12)2＝52，即 x2＋y2－3x＋y＝0.
人 教 B
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第二章 平面解析几何初步
3．圆 x2＋y2－2y－1＝0 关于直线 y＝x 对称的圆的方程是 导学号 92434785
(A) A．(x－1)2＋y2＝2 C．(x－1)2＋y2＝4
B．(x＋1)2＋y2＝2 D．(x＋1)2＋y2＝4
第二章 平面解析几何初步
命题方向1 ⇨二元二次方程表示圆的条件
典例 1 m 是什么实数时，关于 x、y 的方程(2m2＋m－1)x2＋(m2－m＋2)y2 ＋m＋2＝0 表示一个圆？ 导学号 92434788
[解析] 由题意，得2m2＋m－1＝m2－m＋2，
数
即m2＋2m－3＝0，
学
必 修
解得m＝－3或m＝1.
[解析] ∵方程 x2＋y2－2x＋4y＋m＝0 表示圆，
∴(－2)2＋42－4m>0，
∴m<5.
数
又∵圆与 x 轴相切，∴ －22＋2 42－4m＝2，
学
必 修
∴m＝1.
②
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第二章 平面解析几何初步
5．(2016·浙江文，10)已知 a∈R，方程 a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0 表示 圆，则圆心坐标是__(－__2_，__－__4_)____，半径是____5___. 导学号 92434787
②
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第二章 平面解析几何初步
当 m＝1 时，原方程化为 2x2＋2y2＋3＝0.
不合题意舍去；
当 m＝－3 时，原方程化为 14x2＋14y2－1＝0，

平面解析几何初步引言平面解析几何是数学中的一个重要分支，它研究了平面上点、直线、曲线的性质和相互关系。

本文将从平面上的点、直线以及曲线这三个方面，初步介绍平面解析几何的基本概念和方法。

一、平面上的点在平面解析几何中，点是最基本的概念之一。

点可以用坐标表示，常用的表示方法有直角坐标和极坐标两种。

1. 直角坐标系直角坐标系是平面上最常用的坐标系之一。

在直角坐标系中，平面被分成四个象限，每个象限有一个唯一的坐标表示。

点的坐标表示为(x, y)，其中x表示横坐标，y表示纵坐标。

2. 极坐标系极坐标系是另一种常用的坐标系。

在极坐标系中，点的位置由极径和极角来确定。

极径表示点到原点的距离，极角表示点与正半轴的夹角。

二、平面上的直线直线是平面解析几何中的另一个重要概念。

直线可以用多种方式表示和描述，例如点斜式、一般式和截距式等。

1. 点斜式点斜式是一种常用的直线表示方法。

它通过给定直线上一点的坐标和直线的斜率来确定直线的方程。

点斜式的一般形式为y - y1 = k(x - x1)，其中(x1, y1)为直线上的一点，k为直线的斜率。

2. 一般式一般式是另一种常用的直线表示方法。

它通过直线的一般方程来描述直线的性质。

一般式的一般形式为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，且A和B不同时为0。

3. 截距式截距式是直线的另一种表示方法。

它通过直线与坐标轴的交点来确定直线的方程。

截距式的一般形式为x/a + y/b = 1，其中a和b分别表示直线与x轴和y轴的截距。

三、平面上的曲线曲线是平面解析几何中的另一个重要概念。

曲线可以通过方程或参数方程来表示和描述。

1. 方程曲线的方程是最常用的表示方法之一。

通过给定曲线上点的坐标满足的方程来确定曲线的性质。

常见的曲线方程有圆的方程、椭圆的方程、双曲线的方程等。

2. 参数方程参数方程是曲线的另一种表示方法。

通过给定曲线上点的坐标与参数之间的关系来确定曲线的性质。

平面解析几何初步解析几何是几何学和代数学的交叉领域，它研究平面内的点、线、圆等形状及其相互关系，利用代数方法进行分析和计算。

在平面解析几何中，我们将重点讨论直线、圆和二次曲线及其性质。

本文将介绍平面解析几何的基本概念和常见问题，以及一些解题技巧。

一、直线的方程在平面解析几何中，直线是最基本的几何元素之一。

一条直线可以由其上的两个点确定，我们可以通过计算斜率和截距来表示直线的方程。

直线的方程有多种形式，常见的有点斜式和截距式。

1. 点斜式方程点斜式方程形如 y-y₁ = k(x-x₁)，其中 (x₁, y₁) 是直线上的一点，k 是直线的斜率。

通过给定一点和斜率，我们可以轻松写出直线的方程。

例如，已知直线上的点 A(2,3) 和斜率 k=2，我们可以得到直线的点斜式方程为 y-3=2(x-2)。

点斜式方程的优点在于直接给出了直线的一般形式，但不适用于垂直于 x 轴的直线。

对于垂直于 x 轴的直线，我们可以使用斜截式。

2. 截距式方程斜截式方程形如 y=mx+b，其中 m 是直线的斜率，b 是直线在 y 轴上的截距。

斜截式方程适用于所有类型的直线，包括垂直于 x 轴的直线。

例如，有一条直线经过点 B(3,4) 且斜率为 1/2，我们可以得到直线的斜截式方程为 y=(1/2)x+2。

二、圆的方程圆是解析几何中的另一个重要概念，它由平面上与固定点的距离等于常数的点构成。

在平面解析几何中，圆的方程一般形式为 (x-a)² + (y-b)² = r²，其中 (a,b) 是圆的圆心坐标，r 是圆的半径。

根据圆的方程，我们可以计算圆心和半径，以及圆上的点。

例如，对于方程 (x-2)² + (y+3)² = 9，我们可以得到圆的圆心坐标为 (2,-3)，半径为 3。

利用这些信息，我们可以描绘出圆的几何形状。

三、二次曲线的方程除了直线和圆，二次曲线也是平面解析几何中的重要对象。

第七章平面解析几何初步§7.1直线和圆的方程一、知识导学1．两点间的距离公式:不论A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)在坐标平面上什么位置，都有d=|AB|=221221)()(y y x x -+-，特别地，与坐标轴平行的线段的长|AB|=|x 2－x 1|或|AB|=|y 2-y 1|.2．定比分点公式:定比分点公式是解决共线三点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，P(x ，y )之间数量关系的一个公式，其中λ的值是起点到分点与分点到终点的有向线段的数量之比.这里起点、分点、终点的位置是可以任意选择的，一旦选定后λ的值也就随之确定了.若以A为起点，B 为终点，P 为分点，则定比分点公式是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=λλλλ112121y y y x x x .当P 点为AB 的中点时，λ=1，此时中点坐标公式是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=222121y y y x x x .3．直线的倾斜角和斜率的关系（1）每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率.（2）斜率存在的直线，其斜率k 与倾斜角α之间的关系是k =tan α.4．确定直线方程需要有两个互相独立的条件。

直线方程的形式很多，但必须注意各种形式的直线方程的适用范围.5．两条直线的夹角。

当两直线的斜率1k ,2k 都存在且1k ·2k ≠ -1时，tan θ=21121k k k k +-，当直线的斜率不存在时，可结合图形判断.另外还应注意到：“到角”公式与“夹角”公式的区别.6．怎么判断两直线是否平行或垂直？判断两直线是否平行或垂直时，若两直线的斜率都存在，可以用斜率的关系来判断；若直线的斜率不存在，则必须用一般式的平行垂直条件来判断.（1）斜率存在且不重合的两条直线l 1∶11b x k y +=， l 2∶22b x k y +=，有以下结论： ①l 1∥l 2⇔1k =2k ，且ｂ1＝ｂ2 ②l 1⊥l 2⇔1k ·2k = -1（2）对于直线l 1∶0111=++C y B x A ，l 2 ∶0222=++C y B x A ，当A 1，A 2，B 1，B 2都不为零时，有以下结论：①l 1∥l 2⇔21A A =21B B ≠21C C②l 1⊥l 2⇔A 1A 2+B 1B 2 = 0 ③l 1与l 2相交⇔21A A ≠21B B ④l 1与l 2重合⇔21A A =21B B =21C C 7．点到直线的距离公式.（1）已知一点P （00,y x ）及一条直线l ：0=++C By Ax ，则点P 到直线l 的距离d =2200||BA C By Ax +++；（2）两平行直线l 1: 01=++C By Ax ， l 2: 02=++C By Ax 之间的距离d=2221||BA C C +-.8．确定圆方程需要有三个互相独立的条件。