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地球物理计算方法 第四章方程求根的迭代法

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计算方法4方程求根的迭代法

计算方法4方程求根的迭代法

计算方法4方程求根的迭代法四方程求根的迭代法是一种用于解决非线性方程的数值方法。

在计算方法中，非线性方程指的是形如f(x)=0的方程，其中f(x)包含x的非线性项。

在实际中，非线性方程的求解是非常常见的问题，因此有很多不同的迭代法可以用于解决这些问题。

以牛顿迭代法为例，它是一种基于线性近似的迭代方法。

该方法的基本思想是将非线性方程转化为线性方程，通过不断迭代来逼近方程的根。

具体而言，牛顿迭代法的步骤如下：1.选择初始估计值x0作为方程的根，并计算f(x0)的值。

2.计算f(x)的导数f'(x)，并计算方程的线性近似式x-x0=-f(x0)/f'(x0)。

3.计算下一个近似值x1，即x1=x0-f(x0)/f'(x0)。

4.判断，x1-x0，是否小于给定的收敛条件，如果是则停止迭代，否则转到步骤55.将x1作为新的近似值x0，转到步骤2牛顿迭代法具有快速收敛的特点，尤其适用于具有单根的方程。

然而，该方法也存在一些限制，如在计算f'(x)时需要知道方程的导数，当方程的导数不易计算时，该方法可能不适用。

除了牛顿迭代法，还有其他一些常用的四方程迭代方法，如割线法、弦截法等。

每种方法都有其特点和适用范围，选择合适的方法对于求根问题的解决至关重要。

总结起来，四方程求根的迭代法是一种用于解决非线性方程的数值方法。

牛顿迭代法是其中一种常用的方法，通过不断迭代来逼近方程的根。

根据方程的特点和计算条件，选择合适的迭代方法是解决求根问题的关键。

希望以上的介绍可以帮助您更好地理解和应用这一方法。

第四章 方程求根的迭代法

第四章 方程求根的迭代法

例5 已知方程 e − x = 0 在 x0 = 0.5 附近有一实根， 讨论迭代 x0 = 0.5 , xn+1 =ϕ(xn) = e−x 的敛散性.并计算结 ε = 10−5 果，取 .
−x
n
f (x) = e−x − x ，则 f (0.4) = 0.27 > 0, f (0.6) =−0.05 < 0 解：令
（c）
ϕ ′( x* ) < −1
（d）
定理2 定理 设函数 ϕ ( x ) 在[a,b]上具有连续的一阶导 上具有连续的一阶导 数, 且满足 对所有的x∈ （1）封闭性条件 ） 对所有的 ∈[a,b] 有 ) ] 推论: 若方程 x = ϕ ( x在区间 [ a, b内有根 x * ϕ ( x) ∈[a,b] 且 ϕ ′( x) ≥ 1 , ∀x ∈ [ a, b ] （2）压缩性条件 ） 存在 0 < L< 1 ,使所有的 使所有的 则迭代 xk +1 = ϕ ( xk ) , ∀x0 ∈ [ a, b ]均发散 x∈[a,b]有 ∈ 有
（1）一个迭代若是整体收敛的，则一 ）一个迭代若是整体收敛的， 定局部收敛；反之则不成立． 定局部收敛；反之则不成立． 对初值的要求比较高， （2）定理 对初值的要求比较高，一般 ）定理3对初值的要求比较高 用对分法找出较满意的初值，定理2对初 用对分法找出较满意的初值，定理 对初 值的要a ) xk +1 − a = 2 xk
x k +1 +
x k +1 − x k +1 +
2
( xk + a ) 2 a = 2 xk
a xk − =( a xk + a 2 ) a

Newton迭代法

Newton迭代法

Newton迭代法第四章一元方程求根/非线性方程组数值解法初步4．3 Newton 迭代法 1. Newton 迭代法解一元非线性方程组0)(=x f （4.3.1）的Newton 迭代法是不动点迭代法的一种特殊形式。

可从不同途径导出Newton 迭代公式，这里采用T aylor 展开。

设方程0)(=x f 的根*x 的一个近似值0x ,将)(x f 在0x 附近展开得20000)(!2)(''))((')()(0x x f x x x f x f x f -+-+==ξ 或表示为 200000)()('2)('')(')(x x x f f x f x f x x ---=ξ （4.3.2）其中设0)('0≠x f ，''f 存在、连续，而ξ在x 与0x 之间。

忽略上式最后一项*x 的一个新近似值)(')(0001x f x f x x -= 把1x 代替上式右端的0x ，并设0)('1≠x f ，于是又得新近似值)(')(1112x f x f x x -=如此继续，可知当),2,1,0(0)(' =≠k x f k 可得),2,1,0()(')(1 =-=+k x f x f x x k k k k （4.3.3）这就是著名的Newton （牛顿）迭代公式。

在迭代序列收敛的情况下，取一定精度的迭代值kx 作为方程0)(=x f 的根*x 的近似值，这就是解方程组0)(=x f 的Newton 迭代法。

显然，它以在*x 附近函数0)(=x f 线性化为基础，并以),2,1,0(0)(' =≠k x f k 为前提。

例 4.3.1 用Newton 迭代法求下列方程的近似根：1-x xe =0解令 1)(-=x xe x f ,则x x xe e x f +=)(',于是迭代公式为),1,0(11 =+--=+k ex e e x x x kkkxk x x k k k 整理得),1,0(11 =+--=-+k x e x x x kxk k k k取5.00=x 请同学们自己动手完成2．Newton 迭代法的收敛性Newton 迭代公式作为不动点迭代，其迭代函数为 )(')()(x f x f x x -=? 从而有222)]('[)('')()]('[)('')()]('[1)('x f x f x f x f x f x f x f x =--=? 可见，如果在方程0)(=x f 的根*x 的某个邻域内0)('0≠x f (从而有0)('*≠x f ，即*x 是单根的情况)，''f 存在并连续（从而有界），则只要x 足够靠近*x ，(从而|)(|x f 足够靠近0)，就有1|)('|<≤L x,于是根据定理4.2.1的推论，Newton 迭代公式收敛于*x ，并且0)(*=x f 导致 0)('*=x ?，于是又根据收敛阶的判定定理4.2.4 ，可知Newton 迭代公式在单根附近至少是2阶的。

方程求根的迭代法

方程求根的迭代法

方程求根的迭代法一、考核知识点：区间二分法，弦位法（单点弦法、双点弦法）、切线法、一般迭代法，收敛性。

二、考核要求：1．熟练掌握用区间二分法求方程近似根的方法。

2．熟练掌握用单点弦法、双点弦法求方程近似根的方法。

了解其收敛性。

3．熟练掌握用切线性求方程近似根的方法。

了解其收敛性。

4．掌握用一般迭代法求方程的方法近似根的方法。

了解其收敛性。

三、重、难点分析例1 证明计算)0(>a a 的切线法迭代公式为：,1,0),(211=+=+n x a x x nn n 并用它求2的近似值（求出1x 即可）解 （1）因计算a 等于求02=-a x 正根，a x x f -=2)(，x x f 2)(=' 代入切线法迭代公式得)(21221nn n n n n x a x x x x x +=-=+ ,1,0=n (2) 设2)(2-=x x f ，因,0121)1(2<-=-=f 025.1)5.1(2>-=f 所以 []5.1,12*∈=x在[]5.1,1上 02)(>='x x f 02)(>=''x f由 0)()(0≥''x f x f ，选5.10=x用上面导出的迭代公式计算得 4167.11217)2(21001≈=+=x x x例2用单点弦法求方程 0153=+-x x 的最小正根(计算出1x ) 解：由于0375.1)5.0(,01)0(<-=>=f f 则]5.0,0[*∈x 在[0，0.5]，,06)(,053)(2≥=''<-='x x f x x f 由,0)()(≥''x f c f 取5.0,00==x c 则单点弦法迭代公式 ,1,0)15(51),15(151032331=+--+=+--+---=+n x x x x x x x x x x x n n n n n n n n n n n 计算得 21.075.4375.15.01≈-=x 例3 用双点弦法，一般迭代法求0243=-+x x 的最小正根（求出2x 即可）。

方程求根的迭代法

方程求根的迭代法

§4.1 引 言绪论中讲到方程求根得二分法，但二分法收敛速度慢，有必要掌握新的方法。

§4.1.1迭代法的思想迭代法是一种逐次逼近法，使用某个固定公式（迭代公式）反复校正，逐步精确，直到满足精度。

迭代法求根分两步： 1） 猜测初值 2）迭代如求解初值问题00')(),,(y x y y x f y ==用梯形公式111[(,)(,)2n n n n n n h y y f x y f x y +++≈++ （1）看作关于1+n y 的函数方程，按欧拉公式提供猜测值),()0(1n n n n y x hf y y +=+，代入（1）得)],(),([2)0(11)1(1+++++=n n n n n n y x f y x f h y y若)1(1+n y 仍不满足要求，则将它代入（1）式，继续得到校正值)2(1+n y ，写成迭代公式)],(),([2)(11)1(1k n n n n n k n y x f y x f h y y ++++++= （2）一般地，为了求一元非线性方程0)(=x f 的根，可以先将其转换为如下的等价形式()x x ϕ= （3）式（3）中连续函数()x ϕ称为迭代函数，其右端含未知数，不能直接求解。

先用根的某个猜测值0x 代入（3），构造迭代公式：()k k x x ϕ=+1。

如果迭代值k x 有极限，则称迭代收敛，极限值k k x x ∞→=lim *就是方程（3）的根。

几何意义P127图4-1为使迭代法有效，必须保证它的收敛行，()x ϕ满足什么条件，才能保证收敛？以最简单的线性迭代()d kx x +=ϕ，可以看出收敛的充分必要条件()1'<=k x ϕ。

几何意义P127图4-2,3,4,5。

§4.1.3 压缩映像原理设*x 是方程()x x ϕ=的根，则由微分中值定理))(()()(*'*1*k k k x xx x x x-=-=-+εϕϕϕ，如果存在10<≤L ，使得],[b a x ∈有()k k x x L x x L x -≤-⇒≤+*1*'ϕ，则迭代误差0e L e kk ≤，由于10<≤L ，故0→k e ，即迭代收敛。

方程求根的迭代法.ppt

方程求根的迭代法.ppt
在科学研究和工程设计中，经常需要求解非线性方程f(x)=0的根。当方程复杂难以求得精确解时，可以采用迭代法这一数值解法来逼近真实根。迭代法的基本思想是通过构造迭代公式，从某个初始值出发，反复校正根、确定根的分布范围，以及通过迭代公式逐步精确化根的近似值。其中，不动点迭代法是一种常用的迭代方法，它将原方程转化为等价形式x=φ(x)，然后通过迭代公式xk+1=φ(xk)来逼近真实根。通过选择合适的迭代函数φ(x)和初始值x0，可以确保迭代序列的收敛性，从而得到满足精度要求的近似根。文档还通过示例展示了不动点迭代法的具体应用过程，包括迭代公式的构造、初始值的选取、迭代步骤的执行以及迭代结果的收敛性判断。最后，文档强调了迭代法收敛性的重要性，并指出不同的迭代公式可能具有不同的收敛性态，需要根据具体情况进行选择和设计。

第04章 方程求根的迭代法

其中：n—正整数，x—复变量， a0—an为实、复常数。
定理2：n
次代数方程有 n 个根。
10/74
计算方法——
§4.0 引言
2.

根的分布（有根区间）
求根的隔离区间，定一个[a, b]，使[a, b]内有 且只有一个x*使f(x*)=0 定理3：设函数f(x)在[a, b]内连续，严格单调， 且f(a)*f(b)<0，则在[a, b]内f(x)=0有且仅有一 个实根。 通常有两种做法来确定隔离区间： （1）作y = f(x)的草图，看f(x)在x轴的交点位 臵来定区间[a, b] （2）逐步搜索，在连续区间[a, b]内，选取适 当的x1，x2(a, b)，若f(x1)*f(x2)<0，则[x1, x2] 内有根。
3 2 1 1 3 2 (c ) x g 3 ( x ) 10 x ; 2 1 2


10 (d ) x g4 ( x ) ; 4 x
1 2
x 3 4 x 2 10 (e ) x g5 ( x ) x 3x2 8x
计算方法——
计算方法——
7/74
（3）若f (x)=(x-x*)m
§4.0 引言

例： 代数方程 f ( x ) a n x n a n 1 x n 1 ... a1 x a0 0， n1 超越方程 f ( x ) e x sin x 0
计算方法——
8/74
§4.0 引言
线性的（一次解）
单个方程 代数方程 非线性 多项式（n个解）
超越的（解的数目不定）
线性（一组解） 方程组
非线性（多组解）
f (x)=0根或 f (x)零点，当 f (x)复杂时，很难求

方程求根的迭代法1

方程求根的迭代法--------------牛顿法和弦截法实验目的：实际问题中碰到的函数f(x)是各种各样的，有的表达是很复杂，这时求解函数方程f(x)=0的根就会变得很困难，而工程应用中，对计算的结果只要保证在某个误差范围之内就足够了，这就要求我们设计一种方法能够求解复杂函数方程的根，迭代法就是这样一种求解复杂函数方程的根的方法。

又由于通常对某些函数方程的根要求比较精确，误差要控制在一定的范围之内，所以计算过程比较复杂，这就要求这种算法能够便于利用计算机编程实现，牛顿法和弦截法为我们提供了一种既能够利用迭代法求解复杂方程的根，又能够便于利用计算机实现，从而方便我们求解，节省我们时间的求解方法。

本实验的目的就在于熟练掌握利用牛顿法和弦截法编程求解方程根，并且比较牛顿法和弦截法的收敛速度，比较两者的不同之处，进而加深对牛顿法和弦截法这两种方法的数学原理的理解。

实验编程实现方程f=@(x)x-exp(-x)及f=@(x)x*exp(x)-1分别利用牛顿法和弦截法求解，并且比较牛顿法和弦截法各自迭代多少次才能达到要求的某一精度，并且理解二者的差别和各自的优缺点。

本实验中要注意在牛顿法的迭代过程中，分母上会出现f(x)的导数项，所以在编程过程中，一定要在程序的一开始就先判断f'(x)是否等于0，如果等于0，则直接跳出，只有在其不为0的情况下才继续执行程序。

另外某些函数可能会发散或者是迭代过程收敛的非常慢，这时用牛顿法就是不合适的，所以这就要求我们另取其他方法。

所以在用牛顿法求解方程根的过程中，要设置一个最大的迭代次数，以免造成电脑资源不足，系统崩溃。

在弦截法的迭代过程中，除了与牛顿法相同的一些注意事项之外，还要注意在计算之前必须要先提供两个开始的值x0，x1。

实验原理： 迭代法的设计思想：迭代法是一种逐次逼近法，这种方法使用某个固定公式，即所谓的迭代公式，反复校正根的近似值，使之逐步精确化，直到得出满足精度要求的结果。

第4章方程求根的迭代方法

数值分析简明教程
引论 2+0
第一章 插值方法
第二章 数值积分
8+4
8+2
第三章 常微分方程的差分解法
第四章 方程求根的迭代法
8+4
8+2
第五章 线性方程组的迭代法
第六章 线性方程组的直接法
6+2
8+2
48+16
基本概念
线性方程：未知数都是一次的方程。 非线性方程：高次代数方程和超越方程。 代数方程：由未知数的代数式所组成的方程。
2x
是方程 f ( x) e 1 2 x 2 x 0 的 3 重根。
2x 2
第四章
方程求根的迭代法
4.1 迭代过程的收敛性 4.2 4.3 4.4 迭代过程的加速 牛顿法 弦截法
4.1
4.1.1
迭代过程的收敛性
迭代法的设计思想
有根区间
介 值 定 理 若 函 数 f ( x) 在 [ a , b ] 连 续 ， 且 f ( a ) f ( b ) 0 ，则方程 f ( x ) 0 在 ( a , b ) 内至 少有一个实根。将 [ a , b ] 称为 f ( x ) 的有根区间。
ab )。 2
（4）反复执行第二步与第三步，直到区间长缩小到允许误差范围 之内，此时区间中点即可作为所求的近似解。
例：证明方程 x 3 3 x 2 6 x 1 0 在区间（ 0，1）内有唯一的实根，并 用二分法求这个根的近似值，使误差不超过 0.01 。 解 设 f ( x ) x 3 x 6 x 1, x [0,1] 。因为 f ( x ) 在 [0， 1]连续，且
单根和重根
定理 若 f ( x ) 满足 f ( x ) ( x x )

第4章 方程求根的迭代法


' ( x) L
则迭代过程对任意初值x0∈[a,b]均收敛于方程的根x*,且有 下列误差估计式 只要相邻两次 1 x * xk xk 1 xk 迭代值的偏差 1 L 充分小，就能 k L 保证迭代值足 x * xk x1 x0 1 L 够准确。
第4章 方程求根的迭代法
k 2 3 4 5 6 xk 0.54524 0.57970 0.56006 0.57117 0.56486 |xk-xk-1| 0.06129 0.03446 0.01964 0.01111 0.00631 k 7 8 9 10 xk 0.56844 0.56641 0.56756 0.56691 |xk-xk-1| 0.00358 0.00203 0.00115 0.00065
1.89328947 1.89328925 1.89328921 1.89328920 1.89328920 ……
第4章 方程求根的迭代法
2.迭代法收敛的条件 定理1 设 ( x) 在[a,b]上具有连续的一阶导数,且满足下列 两项条件： (1) 对于任意x∈[a,b],总有 ( x)∈[a,b]; (2) 存在0≤L<1,使对于任意x∈[a,b],成立
容易验证，上例迭代18次得到的精度为10-5的结果 为0.56714，本例只要迭代3次即可得到，加速效果明 显.
第4章 方程求根的迭代法
2.埃特金算法 设xk是根x*的某个近似值，用迭代公式校正一次得
xk 1 ( xk )
再迭代一次，得
~ xk 1 ( xk 1 ) x * xk 1 L( x * xk ) x * ~ xk 1 L( x * xk 1 )
1 xk xk 1 (e 0.6 xk ) 1.6
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定理3. 设 在 φ 的根 ∗邻近有连续的二阶导数，且
| ′ ∗ |<1
则 ’ ∗ 0时迭代过程 =
为线性收敛；而当 ( ∗) 0, ( ∗) 0
为平方收敛.
4.2 迭代过程的加速
4.2.1 迭代公式的加工(加速迭代过程) 设xk是根 ∗的某个近似值，用迭代公式校正一次得到 = 假设 在所考察的范围内改变不大，其估值为 ，则有 ∗- ̅
4.1.5 迭代过程的收敛性
一种具有实用价值的迭代方法，不但要收敛，还需要较快的收敛速度。所谓迭代过 程的收敛速度，是指在接近收敛时迭代误差的下降速度。
如果迭代误差
∗
当 → ∞时成立
→
（ 0常数）
则称迭代过程是p阶收敛的.特别地，p=1时称线性收敛， p=2时称平方收敛。
对于在根 ∗邻近收敛的迭代公式
，由于 ∗
∗
式中 介于 与 ∗之间，故有
→ ′ ∗ ， →∞
这样，若 ′ ∗ 0，则该迭代过程仅为线性收敛. 若 ′ ∗ 行泰勒展开有，
0，将
在 ∗处进
4.1 迭代过程的收敛性
4.1.5 迭代过程的收敛性
注意到 由上式知，
∗
∗
2
,∗
∗
∗
→
， →∞
这表明， ( ∗) 0, ( ∗) 0时迭代过程为平方收敛.
此时解得 ∗
̅
其实质是将 与 加权平均得到第k+1次迭代表达式
=̅
总结起来，加工后的计算过程为：
迭代 ̅
改进 = ̅
以上迭代公式可以合并为： 1
例3.[自己阅读并理解]
1
∗
[4.2.9]
[4.2.10]
4.2 迭代过程的加速
4.2.2 埃特金算法
目的：消除求导数的弊端(L的实质是导数值).
设将迭代值 ̅
此时，求方程的根x*只能借助数值方法给出满足一定精度的近似解。 问题2. 115 ? （教材第137页 例6，牛顿法） 迭代法是一种逐次逼近法，它使用一个固定的迭代公式反复修改根的近似 值，使其不断精确化，直至得到满足精度要求的解。 迭代法求根的过程分为两步，第一步先提供根的某个猜测值，即迭代初 值，然后利用迭代公式将其逐步加工成满足精度要求的解。
数值分析简明教程
引言
以二分法为例
设函数f(x)在[a,b]上连续,f(a)f(b)<0,根据连续函数性质，f(x)在[a,b]内一定有实的零 点，即方程f(x)=0在[a,b]内一定有实根。现假定它在[a,b]内有唯一单实根x*。
二分法实现思路（板书）
二分法的基本思想：逐步将有根区间分半，通过 判别函数值的符号，进一步搜索有根区间，使其 充分小，从而求出满足精度的根x*的近似值。
y
f(b)
f(x0)
a x1
b1
a1 f(x1) x0
f(a)
x b
数值分析简明教程
4.1 迭代过程的收敛性
f(x)=0的根。
数值分析简明教程
图4-1 迭代过程的几何图形解释
4.1 迭代过程的收敛性
4.1.2 线性迭代函数启示 具有收敛性的方法才具有实际应用的价值，那么如何才能保证迭代的收敛性呢？
图4-7 埃特金加速方法计算流程
4.2 迭代过程的加速
4.2.3 一点注记
可以是多样的，例如令
，此时对应的迭代公式是
，一般说此种迭代公式不一定会收敛，或者收敛速度慢。
运用此加速技术，该迭代函数
，此时公式（10）
]
可以化简为：
，
1 是导数
该简化式是牛顿迭代公式的一种简化形式。
的某个估计值。
4.3 牛顿法
第4章 方程求根的迭代法
1 迭代过程的收敛性
迭代法的思想 压缩映像原理 迭代收敛速度
2 迭代过程加速
迭代公式的改进 埃特金（Aitken）加速算法
3 牛顿法及牛顿下山法 4 弦截法 5 例题选讲
数值分析简明教程
引言
问题1. 设多项式函数 f(x)=anxn+an-1xn-1++a1x+a0,其中an,an-1,…,a0均为实 数，且an 0.当 n5 时人们已经不能用解析表达式给出方程f(x)=0的解。
|x*-xk+1|≤L|x*-xk| 据此反复递推，对于迭代误差ek=|x*-xk|则有： ek ≤Lke0 由于0≤L<1，因而ek0(k ∞),即迭代收敛.
需要指出的是上述推导过程，应该保证一切迭代值xk全部落在区间[a,b]内，为此要 求对于任意x[a,b]总有(x) [a,b].
4.1 迭代过程的收敛性
在实际应用迭代法时，通常首先在根 ∗的邻近考察。如果存在邻域
:
∗ ，使迭代过程对于任意初值 ∗ 均收敛，则这种在根的邻域所具有的
收敛性被称为局部收敛性。
定理 2. 设(x)在x=(x) 的根 ∗邻域内有连续的一阶导数，且| ′ ∗ | 1成立，则
迭代过程
在 ∗邻域具有局部收敛性。[证明见板书]
4.1 迭代过程的收敛性
4.1.3 压缩映像原理
定理1. 设(x)在[a, b]上具有连续的1阶导数，且满足下列两项条件， (1) 对于任意x [a, b]，总有(x) [a, b].
(2) 存在0≤L<1,使对于任意x[a,b]都有| ′ | L，
则迭代过程 误差估计式，
对任意初值 ∈ , 均收敛于方程
|∗
|
1 |
|
1
的根 ∗.且有下列 (7)
再迭代一次，又得
̅
由于
∗
∗− ̅
将它与[4.2.9]联立，消去未知的L，则有
∗− ̅
∗−
∗
∗− ̅
由此得
∗
̅
2̅
可以看出以上新改进的公式不再含有导数信息，但需
要每次迭代需要计算两次迭代中间值 ̅ 和 。
具体计算公式如下：
迭代 ̅
迭代
̅ 改进
̅ 2̅
4.2.2 埃特金算法
4.2 迭代过程的加速
例4. 见教材
|∗
|
|
|
(8)估计式(7)，只要相邻两次迭代值 ， 的偏差充分小，就能保证
确，因此可用|
| 来控制迭代过程。
足够准
4.1.3 压缩映像原理
4.1 迭代过程的收敛性
例1 求方程的
1 0唯一正根.
[见板书]
是 否
图4-6 迭代法的算法流程
4.1 迭代过程的收敛性
4.1.4 迭代过程的局部收敛性
以线性迭代函数(x)为例来进行考察。可以看出，图4-2和4-4中迭代收敛，图4-3和45迭代发散。
迭代收敛的充要条件： | | || .
4.1 迭代过程的收敛性
4.1.3 压缩映像原理 设x*为方程x=(x)的根，则依据微分中值定理有，
x*-xk+1= (x*)- (xk)=’()(x*-xk) 式中 是x*与xk之间的一点。若存在0≤L<1使得对于任意x[a,b]，都有| ’(x)|≤L,则有