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《数值分析》实验报告实验一方程求根一、实验目的:掌握二分法、Newton法、不动点迭代法、弦截法求方程的根的各种计算方法、并实施程序调试和运行，学习应用这些算法于实际问题。
二、实验内容:二分法、Newton法、不动点迭代法、弦截法求方程的根、程序的调试和运行，给出实例的计算结果。
观察初值对收敛性的影响。
三、实验步骤：①、二分法：定义：对于区间[a，b]上连续不断且f（a）·f（b）<0的函数y=f（x），通过不断地把函数f（x）的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法。
实现方法：首先我们设一方程400*(x^4)-300*(x^3)+200*(x^2)-10*x-1=0，并求其在区间[0.1,1]上的根，误差限为e=10^-4。
PS：本方法应用的软件为matlab。
disp('二分法')a=0.1;b=1;tol=0.0001;n0=100;fa=400*(a.^4)-300*(a.^3)+200*(a.^2)-10*a-1;for i=1:n0 p=(a+b)/2;fp=400*(p.^4)-300*(p.^3)+200*(p.^2)-10*p-1;if fp==0||(abs((b-a)/2)<tol)disp('用二分法求得方程的根p=')disp(p)disp('二分迭代次数为：')disp(i)break;end;if fa*fp>0 a=p;else b=p;end;end;if i==n0&&~(fp==0||(abs((b-a)/2)<tol)) disp(n0) disp('次二分迭代后没有求出方程的根')end;程序调试：运行结果：用二分法求得方程的根p=0.1108二分迭代次数为：14②Newton法定义：取定初值x0，找到函数对应的点，然后通过该点作函数切线，交x轴，得到新的横坐标值，然后找函数对应的点，做切线，得到新的横坐标值,重复上述步骤，多次迭代，直到收敛到需要的精度。
数值分析第三章线性方程组迭代法线性方程组是数值分析中的重要问题之一，涉及求解线性方程组的迭代法也是该领域的研究重点之一、本文将对线性方程组迭代法进行深入探讨。
线性方程组的一般形式为AX=b，其中A是一个n×n的系数矩阵，x和b是n维向量。
许多实际问题，如电路分析、结构力学、物理模拟等，都可以归结为求解线性方程组的问题。
然而，当n很大时，直接求解线性方程组的方法计算量很大，效率低下。
因此，我们需要寻找一种更高效的方法来求解线性方程组。
线性方程组迭代法是一种基于迭代思想的求解线性方程组的方法。
其基本思想是通过构造一个序列{xn}，使得序列中的每一项都逼近解向量x。
通过不断迭代，可以最终得到解向量x的一个近似解。
常用的线性方程组迭代法有雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法和逐次超松弛迭代法等。
雅可比迭代法是其中的一种较为简单的迭代法。
其基本思想是通过分解系数矩阵A，将线性方程组AX=b转化为x=Tx+c的形式，其中T是一个与A有关的矩阵，c是一个常向量。
然后，通过不断迭代，生成序列xn，并使序列中的每一项都逼近解向量x。
高斯-赛德尔迭代法是雅可比迭代法的改进方法。
其核心思想是利用当前迭代步骤中已经求得的近似解向量的信息。
具体而言，每次迭代时，将前一次迭代得到的近似解向量中已经计算过的分量纳入计算，以加速收敛速度。
相比于雅可比迭代法，高斯-赛德尔迭代法的收敛速度更快。
逐次超松弛迭代法是高斯-赛德尔迭代法的改进方法。
其核心思想在于通过引入一个松弛因子ω，将高斯-赛德尔迭代法中的每次迭代变为x[k+1]=x[k]+ω(d[k+1]-x[k])的形式，其中d[k+1]是每次迭代计算得到的近似解向量的一个更新。
逐次超松弛迭代法可以根据问题的特点调整松弛因子的值，以获得更好的收敛性。
除了以上提到的三种迭代法，还有一些其他的线性方程组迭代法，如SOR迭代法、共轭梯度法等。
这些方法都具有不同的特点和适用范围，可以根据问题的具体情况选择合适的迭代法。
《数值分析》第六讲方程求根数值分析是研究用数值方法解决数学问题的一门学科，其中方程求根是其中重要的内容之一、方程求根是指找到一个或多个满足方程条件的根。
在实际生活中，方程求根的问题是非常常见的，比如求解物理学中的运动方程、电路中的电流方程等等。
本文将简要介绍几种常用的方程求根方法。
首先介绍最简单的试位法。
试位法是通过选择一个初始值，然后逐步逼近根的位置。
具体来说，首先选择一个初始点x0，然后根据函数的性质来选择一个适当的步长h。
然后计算f(x0)和f(x0+h)，如果它们符号相同，则说明根在区间(x0,x0+h)内；如果符号不同，则说明根在区间(x0-h,x0)内。
通过这样的逐步逼近，最终可以找到方程的根。
然而，试位法的精度依赖于所选择的初始值和步长，如果选择不当，可能会导致找不到根。
其次介绍割线法。
割线法也是一种逼近法，它的思路是通过不断连接两个初始点来逼近根的位置。
具体来说，选择两个初始点x0和x1，计算f(x0)和f(x1)，然后通过割线的斜率来计算下一个点的位置，即x2=x1-(f(x1)*(x1-x0))/(f(x1)-f(x0))。
重复这个过程，可以逐步逼近根的位置。
割线法相较于试位法的优势是可以更快地逼近根的位置，但同样也依赖于所选择的初始点。
还有一种非常常用的方程求根方法是二分法。
二分法是通过不断将问题划分为两个子问题来逼近根的位置。
具体来说，选择一个初始区间[a,b]，计算f(a)和f(b)。
如果f(a)和f(b)符号相同，则说明根不在此区间内，需要重新选择区间。
如果f(a)和f(b)符号不同，则说明根在此区间内。
然后根据区间中点的位置，划分出两个新的子区间，再次进行判断。
通过这样的逐步划分，最终可以找到方程的根。
二分法是一种十分稳定和可靠的方法，但是它的收敛速度相对较慢。
最后介绍牛顿法。
牛顿法是一种迭代法，通过不断进行线性逼近来逼近根的位置。
具体来说，选择一个初始点x0，然后通过计算函数f在该点的斜率来计算下一个点的位置，即x1=x0-f(x0)/f'(x0)。
数值分析--第三章--迭代法迭代⼀般⽅程：本⽂实例⽅程组：⼀.jacobi迭代法从第i个⽅程组解出xi。
线性⽅程组Ax=b，先给定⼀组x的初始值，如[0,0,0]，第⼀次迭代，⽤x2=0，x3=0带⼊第⼀个式⼦得到x1的第⼀次迭代结果，⽤x1=0,x3=0,带⼊第⼆个式⼦得到x2的第⼀次迭代结果，⽤x1=0,x2=0带⼊第三个式⼦得到x3的第⼀次迭代结果。
得到第⼀次的x后，重复第⼀次的运算。
转化成⼀般的形式：（其中L是A的下三⾓部分，D是A的对⾓元素部分，U 是上三⾓部分）得到迭代公式：其中的矩阵B和向量f如何求得呢？其实，矩阵B的计算也很简单，就是每⾏的元素/该⾏上的对⾓元素⼆.Gauss-Seidel迭代法【收敛速度更快】这个可以和jacobi法对⽐进⾏理解，我们以第⼆次迭代为例（这⾥的第⼀次迭代结果都⽤⼀样的，懒得去换）从上表对⽐结果可以看出，Jacobi⽅法的第⼆次迭代的时候，都是从第⼀次迭代结果中，获取输⼊值。
上⼀次迭代结果[2.5,3.0,3.0]，将这个结果带⼊上⾯式⼦1，得到x1=2.88，；将[2.5,3.0,3.0]替换成[2.88,3.0,3.0]带⼊第⼆个式⼦的运算，这⾥得到x2=1.95，所以把[2.88,3.0,3.0]替换成[2.88,1.95,3.0]输⼊第三个式⼦计算X3=1.0.这就完成了这⼀次的迭代，得到迭代结果[2.88,1.95,1.0],基于这个结果，开始下⼀次迭代。
特点：jacobi迭代法，需要存储，上⼀次的迭代结果，也要存储这⼀次的迭代结果，所以需要两组存储单元。
⽽Gauss-Seidel迭代法，每⼀次迭代得到的每⼀个式⼦得到的值，替换上⼀次迭代结果中的值即可。
所以只需要⼀组存储单元。
转化成⼀般式：注意：第⼆个式⼦中的是k+1次迭代的第⼀个式⼦的值，不是第k次迭代得值。
计算过程同jacobi迭代法的类似三.逐次超松弛法SOR法上⾯仅仅通过实例说明，Jacobi和Seidel迭代的运算过程。
迭代法求方程的根c语言迭代法求方程的根是数学中一种非常实用的方法，它通过反复逼近来得到方程的根。
对于许多复杂的方程，迭代法可以提供一种更加简单有效的求解方式。
在计算机中，使用C语言可以轻松地实现迭代法求方程的根。
迭代法基础迭代法是一种数值分析中常用的计算方法，它通过在初始条件下反复施加同一运算，来逐渐逼近目标值的过程。
简单的迭代法可以用下面的公式进行表示：Xn+1 = f(Xn)其中，Xn是第n次迭代的结果，Xn+1是下一次迭代的结果，f(Xn)是在当前值下计算得到的函数值。
这个公式可以反复使用，以达到逐步逼近目标值的效果。
例如，在求解方程f(x) = 0时，可以使用下面的迭代公式：Xn+1 = Xn - f(Xn)/f’(Xn)其中，f’(Xn)表示f(Xn)的导数，也就是函数在Xn 处的切线斜率。
这个公式可以通过在Xn处求出函数值和导数，计算出下一次迭代的Xn+1值。
实现迭代法求方程的根要使用迭代法求解方程的根，需要首先定义迭代函数f(x)以及其导数f’(x)。
这里我们以求解方程x^2 - 2x -1 = 0为例，f(x) = x^2 - 2x - 1，f’(x) = 2x - 2。
在C语言中，我们可以使用以下代码定义迭代函数和其导数：double f(double x) { return x*x - 2*x -1; }double fder(double x) { return 2*x - 2; }接下来，我们可以使用以上定义的迭代函数和导数，使用下面的代码实现迭代法求方程的根：double iterative(double x0, int n){ double x = x0; int i = 0; while(i<n) { x = x - f(x)/fder(x); i++; } return x; }其中x0为迭代的初始值，n为迭代的次数。
在迭代过程中，我们可以使用while循环来反复使用迭代公式，来一步一步逼近方程的根。
数值分析中的牛顿迭代法在现代科学技术领域中，数值计算是一项不可忽视的内容。
牛顿迭代法是数值计算中的一种重要方法，被广泛应用于数学、物理、化学、航空航天等领域。
下面就让我们来了解一下什么是牛顿迭代法，以及它的原理、特点和应用。
1. 概述牛顿迭代法又称为牛顿-拉夫逊迭代法，是一种求解非线性方程组的数值计算方法。
它的基本思想是：从已知函数的一个近似解出发，借助函数的切线逼近函数的零点，直到达到指定的精度要求为止。
牛顿迭代法的应用非常广泛，如求解函数的根、优化问题、最小二乘拟合、时间依赖问题等。
2. 原理假设$f(x)$是一个在$x0$处有连续二阶导数的函数。
如果要找到它在$x0$处的零点，那么牛顿迭代法的基本公式为：$$ x_{n+1} = x_n -\frac{f(x_n)}{f'(x_n)} $$其中，$n$表示迭代的次数，$x_{n+1}$表示迭代后的值，$x_n$表示当前的值，$f(x_n)$表示函数在$x_n$点的值，$f'(x_n)$表示函数在$x_n$点的导数。
公式的物理意义是：先用当前的$x$值求出函数值$f(x)$，然后用当前的$x$值求出函数的导数$f'(x)$，接着用$f(x)$和$f'(x)$计算出一个斜率，最后用当前的$x$值减去这个斜率，得到一个新的近似解$x_{n+1}$。
迭代过程如下：（1）选取初始值$x_0$；（2）计算出第一个近似值$x_1$，即$x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}$；（3）计算出第二个近似值$x_2$，即$x_2=x_1-\frac{f(x_1)}{f'(x_1)}$；（4）依此类推，直到$f(x_n)$的值小到满足预设的精度为止。
3. 特点牛顿迭代法具有以下几个特点：（1）收敛速度快。
迭代公式是二阶收敛的，收敛速度远远超出了线性迭代法和高斯-赛德尔迭代法。
（2）精度高。
根据牛顿迭代法的收敛次数和精度估计定理，只要初值足够接近所求的跟，牛顿迭代法就能收敛，并且有二阶精度。
数值分析——二分法及迭代法数值分析是研究用数值方法解决数学问题的一门学科。
在数值分析中，二分法和迭代法是两种常用的数值求解方法。
本文将对二分法和迭代法进行详细介绍，并比较它们的特点和适用范围。
一、二分法二分法是一种通过将问题分解为两个子问题，并选择其中一个子问题进行求解的方法。
它适用于解决连续函数的求根问题。
二分法的基本思想是利用中值定理，通过不断缩小区间来逼近根的位置。
具体步骤如下：1.选取一个初始的区间[a,b]，确保f(a)和f(b)的符号相反。
2.计算区间的中点c=(a+b)/23.判断f(c)的符号，并更新区间。
若f(c)与f(a)符号相反，则更新区间为[a,c]；否则更新区间为[c,b]。
4.重复步骤2和步骤3，直到满足停止准则（例如满足一定精度要求，或达到最大迭代次数）。
5.最后得到的近似根为区间的中点c。
二分法的优点是收敛速度快，且能够保证收敛到根的位置。
然而，二分法的缺点是每次迭代只能减少一半的区间长度，所以其收敛速度相对较慢。
此外，二分法需要事先确定区间，并且要求f(a)和f(b)的符号相反，这对于一些问题来说可能并不容易实现。
因此，二分法主要适用于单峰函数求根问题。
二、迭代法迭代法是一种通过迭代逐步逼近解的方法。
它适用于一般的数值求解问题。
迭代法的基本思想是通过不断迭代的过程，将原始问题转化为一个具有相同解的等价问题，并通过逐步逼近来求解。
具体步骤如下：1.选取一个初始的近似解x_0。
2.根据迭代公式x_{k+1}=g(x_k)，计算下一个近似解x_{k+1}，其中g(x)是一个适当的函数。
3.判断迭代是否达到停止准则（例如满足一定精度要求，或达到最大迭代次数）。
若满足停止准则，则停止迭代；否则返回步骤2继续迭代。
4.最终得到的近似解为迭代过程中的最后一个近似解x_k。
迭代法的优点是适用范围广，可以求解一般的数值问题。
此外，迭代法的迭代公式可以根据具体问题的特点进行选择，使得迭代过程更加高效。
