静态电磁场分析43页PPT

解法的优缺点
分离变量法的优点是简单易行，适用于具有多个变量 的偏微分方程。但是，该方法要求边界条件和初始条
件相互独立，且解的形式较为复杂。
有限差分法的优点是简单直观，适用于各种形状的求 解区域。但是，该方法精度较低，且对于复杂边界条
件的处理较为困难。
有限元法的优点是精度较高，适用于各种形状的求解 区域和复杂的边界条件。但是，该方法计算量大，且
05 实例分析
实例一：简单电场的边值问题求解
总结词
通过一个简单的电场边值问题，介绍如 何运用数学方法求解静态场的边值问题 。
VS
详细描述
选取一个简单的电场模型，如平行板电容 器间的电场，通过建立微分方程和边界条 件，采用有限差分法或有限元法进行数值 求解，得出电场分布的解。
实例二：复杂电场的边值问题求解
恒定磁场与准静态场的定义与特性
恒定磁场
磁场强度不随时间变化的磁场。
准静态场
接近静态场的动态场，其特性随 时间缓慢变化。
特性
恒定磁场与准静态场均不产生电 磁波，具有空间稳定性和时间恒
定性。
恒定磁场与准静态场的边值问题
边值问题
描述场域边界上物理量（如电场强度、磁场强度）的约束条件。
解决边值问题的方法
静电屏蔽
在静电屏蔽现象中，静态 场用于解释金属屏蔽壳对 内部电荷或电场的隔离作 用。
高压输电
在高压输电线路中，静态 场用于分析电场分布和绝 缘性能。
02 边值问题的解法
定义与分类
定义
边值问题是指在一定的边界条件下，求解微分方程或积分方程的问题。在电磁场理论中，边值问题通常涉及到电 场、磁场和波的传播等物理量的边界条件。
特性
空间均匀性

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71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
电动力学静磁场解读
•
46、寓形宇内复几时，曷不委心任去 留。
Hale Waihona Puke •47、采菊东篱下，悠然见南山。
•
48、啸傲东轩下，聊复得此生。
•
49、勤学如春起之苗，不见其增，日 有所长 。
•
50、环堵萧然，不蔽风日；短褐穿结 ，箪瓢 屡空， 晏如也 。
谢谢你的阅读

说明：若参考点在无穷远处，则c=0。
若B点为参考点
B
A
E dl
A
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不同媒质分界面上的静电位
设P1和P2是介质分界面两侧紧贴界面的相邻两点，其电位分别为 1和2。当两点间距离⊿l→0时
1 2 E l 0 1 2
由 nˆ D1 D2 S 和 D E ，得
P1 △l P2
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孤立导体电容
孤立导体的电位与其所带的电量成正比。 孤立导体电容定义：孤立导体所带电荷量与其电位之比。即
CQ U
关于孤立导体电容的说明：
电容C只与导体几何性质和周围介质有关，与q 和 无关 空气中半径为a的孤立带电球，
=
Q
4 0 a
C
=
Q
=
4πε0 a
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双导体的电容
分布电荷静电场能量
空间电荷分布为 (r )，在空间中产生电位为(r )。空间中总电场
能量为：
We
1 2
(r )(r )dV
V
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点电荷系统的电场能量
对N个点电荷组成的系统，电荷体密度为 r qi r ri
i
We
1 2
V
r
r
dV
1 2
qi
i
V
r
r
ri
dV
We
U
ln b ln a
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静态电场问题
按电荷静止或 运动情况分类
静电场
静止
任 意
J 0
匀速运动
有限
J 0
恒定电流场
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3.2 导电媒质中的恒定电场分析

静电场
静止
任意
J 0
匀速运动
有限
J 0
恒定电流场
第三章 静态场及其边值问题的解
5
电磁场与电磁波
静态（恒定）磁场问题
出发点 Maxwell方程组
H J B 0
条件
本构关系
H B
边界条件 en (H1 H2) J s en (B1 B2) 0
2
2
ta1 nE 1/tE 1n1/D 1n1 ta2 n E 2/tE 2n 2/D 2n 2
导体情况
静电平衡

介质
en E 1 E
导体内部的电场为零
1, 1 0
导体en表 D面的边S 界条件或
en E 0

常取无限远作电位参考点。
同一个问题只能有一个参考点。问题求解过程中参
考点应是固定的。
第三章 静态场及其边值问题的解
20
电磁场与电磁波
例 均匀电场的电位分布。选择点O为电位参考点
例 求长度为2L、电荷线密度为 l 0 的均匀带电线的电位。 无限长直均匀线电荷产生的电位， 任选有限远处的某点为电位参考点，例如，ρ= a 点 例 点电荷（带电球）的电位。选择无限远处为电位参考点
0
介质2 2
E2 2
2
2

0
第三章 静态场及其边值问题的解
15
电磁场与电磁波
4. 利用电位求无限大均匀媒质空间中的问题
点电荷源情况： 2(r)q(rr)
Rrr
E ( r ) 4 qR R 3 4 q R 1 4 qR 1

(3) = 0
dl drdrer
a. r > a
P 2(r) P E 2• d l P E 2 d r3 0 a 0 3 rr 1 2d r 3 0 0 a r P 3
P2
(r) Q
40rP
0a3 30rP
b. r < a
P(r) E•dl
P
a
rP
0rdr0a3
30
a 30
0
P r E • dl P
工程上，以大地表面为电位参考面
大地 0
2.2.2 场分布：基于场量 E 的( r )分析
E (r) (r) V 4 r r rdV
r
V
4
1 rr
dV
1
4
V
Rr2eRdV
• dq = dV= dS= dl
(r )
(r )
E(r) 1
4
SRr2eRdS
1
4
V
r
r r
dV
Ar41V r ErrdV0
E(r) (r)
(r) E(r)
z
dV (x, y, z)
(r )
R r r eR
r
V
r
o
P(x, y, z) •
y
x
求任意场点 P 处的 E ( r ) 示意图
• 规定电位的参考点 Q 后，任一场点 P 处的电位为
Q
P r E • dl P
(4)画出球内外 E、 随 r 变化的分布图。
E
球状电荷分布 [解] (1) a. r<a
dS
a
(r) const 0 or
rP dl
0 P
S (高斯面) 0

5. 矢量磁位的泊松方程和拉普拉斯方程
1. 恒定磁场的矢量磁位 矢量磁位的定义
矢量磁位或称磁矢位
由 B 0
B A
即恒定磁场可以用一个矢量函数的旋度来表示。
3.利用矢量磁位A计算磁场
体电流分布:
A(r) 0 Jc (r' )dV '
4 V ' r r'
面电流分布:
A(r) 0 K (r' )dS '
4 S' r r'
线电流分布:
A(r) 0 I dl'
4 l' r r'
由于元电流矢量产生相同方向的元矢量磁位,故与基于B的分析计算相比，相 对较为简单，尤其在二维磁场(平行平面或轴对称磁场)。
dV
'
毕奥-萨伐尔定律（矢量积分关系式）
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3.3.4 毕奥-萨法尔定律（矢量磁位）
根据导体中电流分布的不同形态：
体电流密度矢量 Jc v 面电流密度矢量 K v 线电流密度矢量 I v
元电流密度矢量 dqv
JcdV KdS Idl dq
因此，面、线电流分布情况下的磁感应强度为：
Jc dS 0
S
J1n J2n
E dl 0
l
E1t E2t
对线性各向同性媒质， J1 1E1 J2 2E2 (2) 良导体与不良导体分界面上的边界条件
tg1 1 tg2 2
1 2 1 90 o
2 0o
J2
n
例如，钢的电导率 1 = 5106 S/m，周围
2
土壤的电导率2 = 10-2 S/m，1 = 89， 可知，2 8。
sin2
e

代入
(r ) S (r) dS
S 4 0 | r r |
得
(
4 0 0 0 z2 2
S [ a2 z2 z ] 20
第三章 静态电磁场
【例2】 求偶极矩为 p = ez q l 的电偶极子引起的电场分布。 解：电偶极子由两个相距很近（l << r）的等值异号的点电 荷构成，电偶极子引起的电位就是此两个点电荷引起的电 位的叠加。
)
第三章 静态电磁场
【例3】 求真空中无限长均匀带电直线周围的电位分布，设
带电线的线电荷密度为 l 。
解：以带电直线为轴线建立圆柱坐标系。取距离轴线有限远
= 0 处为电位的零点。
该带电直线引起的电场为
E()
e
l 2 0
于是距带电线为处的电位为
0
0
(z) Edl
l
d l ln 0
2 0
位为 (r) E dl P
例如，点电荷 q 位于无限大介质中 r′处，其在场点 r 处引
起的电场为 则电位分布为
E
(r,
r)
q (r
4π |
r) r r|3
(r)
q
4π
(r r)dl
r
| r r|3
q
4π
r
dR R2
q
4π
R
4π
q |r
r|
第三章 静态电磁场
根据电位叠加原理，体积 V 中的电荷分布在场点 r 处
得
2 (r
)
1
4
V
(r )
|
r r r r |3 dV
因为
r r
|r
r |3
0
第三章 静态电磁场

静电场分析典型例题
（续上例）故有： d1 0 c2a d2 0
c1b d1 c2b d2
解以上四式，最终可得：
c2
c1
S0 0
1 ( x)
2 (x)
S0(a 0a
S0b (a 0a
b) x x)
0 xb bxa
E1
(
x)
E2
(
x)
1 ( x)
ex
S0 (a 0a
2 (x)
ex
r2
J
σ
化的，电位 只是变量 的函数。
0
h
U Ed
U0 E0r
E U0
0r
r1
环形导电媒质块
J E U0 0r
I
r2 r1
U0 0r
hdr
U0h 0
(ln
r2
ln
r1)
R U0
0
I h(ln r2 ln r1)
第六讲 静态电磁场分析
d
21 ( x)
dx2
0
(0 x b)
d
22 (x)
dx2
0
(b x a)
12((xx))
c1x d1 c2 x d2
y
S0
1(x) 2 (x) a x
O
b
由电位边界条件：
1 xb
2 xb
2 (x) 1(x) S0
x
x xb
0
1 x0 0
2 xa 0
第六讲 静态电磁场分析
第六讲 静态电磁场分析
静电场分析典型例题
【例4】导体球壳，内径为b，外径为c，球壳球心为半径为a导体球，导
体球带电量Q，外导体接地。中间充满两种介质，介电系数分别为ε1和 ε2，介质分界面如图所示。 求：（1）空间场分布E(r)；

y
dx2
dx2
方程的解为：1x C1x D1;2 x C2x D2
有题设边界条件：
o
b
ax
x 0处，10 0;1 x a处，2a 0 2.
x b处，1b 2 b.
3
2 x
x
1x
x xb
s0 0
4
解得：C1
s0 b
0a
a,
D1 0
; C2
s0b 0a
,
D2
s0b . 0
1
x
s
意义：电荷量为0的点电荷的电位。
格林定理 泊松方程的积分公式
格林恒等式是矢量分析中的重要恒等式。
由散度定理 gAd Ñ AgndS
S
设 A
而 gA g 2 g
Agn gn n
得格林第一恒等式
同理，若设 A
格林第一恒等式表示为
2
g
d
Ñ
S
n
dS
2
g
d
Ñ
S
n
dS
◇ 于是位于 r r ' 处的点电荷q 的体密度为 q r r '
◇ 单位点电荷产生的电位满足的泊松方程 2 r r ' /0
满足的方程：2G r, r ' r r '
◇
定义格林函数
Gr,r ' 0 r,r '
无界空间中的解：G
r,
r
'
0
r,
r
'
4
1 r
r
'
格林函数的对称性：G r, r ' G r ', r
◇ 极化体电荷 p P ◇ 极化面电荷 p en P （en 为介质表面外法线方向的单位矢量）

通常有h >>a，此时b≈h，故
Cl
0 0 2h d
ln ln
aa
此外，对于h >>a的情况，也可以采用高斯定理计算。设均匀传输线单位长线电
荷密度为，则两导体轴心连线上距带正电荷导体x处的电场强度为
两导体间的电位差为
Ex 2 0 x 2 0 (d x)
U
d a a
E x dx
2
0
(ln
知
q0 + q1 + … + qk + … + qn = 0
选0号导体为电位参考点，即 0= 0，应用叠加原理，可得各个导
体电位与各个导体上电荷的关系为
第22页/共51页
1 11q1 12q2 1k qk `1n qn
k k1q1
k2q2
kkqk
knqn
n n1q1 n2q2 nk qk nn qn
d
q' R q d
q 1 R R
E p 4π 0 ( r 2 er dr12 er1 dr22 er2 )
第16页/共51页
同理，对呈电性的不接地导体球和位于导体球腔内的点电荷 的电场计算问题，也可以应用镜像法进行计算。
例2：图示为半径为a的接地导体球壳外置有一沿直径方向的线段电荷，线段的 一端距球心为d。求导体球壳上总的感应电荷。
EP
E P
E P
2 0 1
e1
2 0 2
e2
y D
P(x,y) 1
o 导体
b
+
•
介质0
y D
2 e2
P(x,y) 1 e1
-
x
•

磁场中的电流
恒定电流
磁场强度
电流的大小和方向保持不变的电流。
描述磁场强弱的物理量，与电流成正 比。
磁感应线
描述磁场分布的假想曲线，类似于电 场线。
磁场中的力
安培力
通电导线在磁场中受到的力，与电流和磁感应线的夹角有关 。
洛伦兹力
带电粒子在磁场中受到的力，与粒子的速度和磁感应线的夹 角有关。
霍尔效应
04
磁场基础
磁场的概念
磁场
是存在于磁体或电流周围的一种 特殊物质，能够传递磁力作用的
场。
磁力线
描述磁场分布的一种方式，磁力线 是闭合的曲线，表示磁场的方向和 强弱。
磁感应
当导体或电流在磁场中受到力的作 用时，会在导体或电流中产生电动 势或电流的现象。
磁感应线和磁感应强度
磁感应线
描述磁场分布的一种方式，磁感 应线是闭合的曲线，表示磁场的 方向和强弱。
磁感应强度
描述磁场强弱的物理量，表示单 位面积内的磁力线数量。
安培环路定律
安培环路定律
表示磁场与电流之间的关系，即磁场 对电流的作用力与电流成正比，与环 绕电流的导线的长度成正比，与导线 之间的距离成反比。
应用
安培环路定律是电磁学中的基本定律 之一，广泛应用于电磁场理论和电路 分析中。
05
恒定电流的磁场
欧姆定律和焦耳定律
总结词
欧姆定律是描述电路中电压、电流和电阻之间关系的定律，焦耳定律则是描述电路中热量产生与电流、电阻和时 间之间关系的定律。
详细描述
欧姆定律是电路分析中的基本定律之一，它指出在恒定温度下，电路中的电压（V）与电流（I）成正比，与电阻 （R）成反比，即 V=IR。焦耳定律则指出在电路中，电流通过导体时会产生热量，产生的热量（Q）与电流（I ）、电阻（R）和时间（t）的乘积成正比，即 Q=I²Rt。

处取一个体积元 dv， 该处体电荷密度为 (r)，则dv中的电量为： dq (r)dv
电子与通信工程系 通信教研室
静态场 — 2.1 静电场
dq可看作点电荷，它对点电荷 q 的作用力为：
dFq
(r)
q(r
4 0
r) r r
3
(r)dv
则根据叠加原理， V 内体电荷对 q 的作
用力为：
Fq (r)
3. 等位面 电位的等值面称为等位面。由梯度的性质以及 E(r) (r)
可知，电场强度处处垂直于等位面，并且指向电位下降最快的方 向。因此，电力线垂直于等位面。 4. 电偶极子
如果电荷在静电场中沿一闭合路径 l ：从 A 点出发经过 B 点
再回到 A 点，则电场力所做的功：
W
E dl qq0
l
4 0
rA rA
1 R2 dR
qq0
4 0
1 ( rA
1 rA
)
0
即在静电场中，沿闭合路径移动电荷，电场力所做的功恒为零。
也就是说，电场强度的环路线积分恒等于零。
所以有：
l E dl 0
q
W qq0 rB dR qq0 ( 1 1 )
40 R rA 2 40 rA rB
R RR
R R
R
可以看出，这个功只与路径的两端点有关，而与具体路径无
关。根据叠加定理可知，在由点电荷系和分布电荷产生的电场中，
电场力所做的功也是与路径无关的。
电子与通信工程系 通信教研室
静态场 — 2.1 静电场
最快的方向。
根据矢量恒等式
r r r r 3
1
r r 和电场强度的表达式，可以
得到点电荷、点电荷系、带电线、带电面和带电体产生的电位分