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数学物理方程答案谷超豪

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数学物理方程答案谷超豪【篇一：数学物理方程第二版答案(平时课后习题作业)】>第一章．波动方程1 方程的导出。

定解条件4. 绝对柔软逐条而均匀的弦线有一端固定，在它本身重力作用下，此线处于铅垂平衡位置，试导出此线的微小横振动方程。

解：如图2，设弦长为l，弦的线密度为?，则x点处的张力t(x)为t(x)??g(l?x)且t(x)的方向总是沿着弦在x点处的切线方向。

仍以u(x,t)表示弦上各点在时刻t沿垂直于x轴方向的位移，取弦段(x,x??x),则弦段两端张力在u轴方向的投影分别为?g(l?x)sin?(x);?g(l?(x??x))sin?(x??x)其中?(x)表示t(x)方向与x轴的夹角又sin??tg??于是得运动方程?u ?x.?u?2u?u??x2?[l?(x??x)]∣x??x?g?[l?x]∣?g?xx?x?t利用微分中值定理，消去?x，再令?x?0得?2u??u?g[(l?x)]。

?x?x?t25. 验证u(x,y,t)?1t2?x2?y2在锥t?x?y0中都满足波动方程222?2u?2u?2u1222证：函数在锥0内对变量t?x?y??u(x,y,t)?222222?t?x?y?x?yx,y,t有二阶连续偏导数。

且232?u??(t2?x2?y2)?t??t35??u(t2?x2?y2)2?3(t2?x2?y2)2?t22?t?(t2?x2?y2)?32?(2t2?x2?y2)?u?(t2?x2?y2)?x?32?x?2u?x2?t?x?22352?2222?22?y?3t?x?yx??????52??u同理 ??t2?x2?y2?2?t2?x2?2y2?2?y所以即得所证。

2 达朗贝尔公式、波的传抪3.利用传播波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题） 2??2u2?u?2?a2t?x??ux?at?0??(x) ??(0)??(0)? ?u??(x).?x?at?0?5??t2?x2?y22t2?2x2?y2??2u?x2?2u?y2?t?x??225?y22??2t2?x?y22???t2.?2u解：u(x,t)=f(x-at)+g(x+at) 令 x-at=0 得 ?(x)=f（0）+g（2x）令x+at=0 得 ?(x)=f（2x）+g(0) 所以 f(x)=?()-g(0). g（x）=?()-f(0). 且 f（0）+g(0)=?(0)??(0). 所以 u(x,t)=?(x2x2x?atx?at)+?()-?(0). 22即为古尔沙问题的解。

8．求解波动方程的初值问题??2u?2u???t2??x2?tsinx??u?u?0,|t?0?sinxt?0??t?x?ttx?(t??)解：由非齐次方程初值问题解的公式得11sin?d???sin?d?d? u(x,t)????2x?t20x?(t??)11=?[cos(x?t)?cos(x?t)]???[cos(x?(t??))?cos(x?(t??))]d?220tt=sinxsint?sinx?sin(t??)d??=sinxsint?sinx[?cos(t??)?sin(t??)]t0 =tsinx 即 u(x,t)?tsinx 为所求的解。

3混合问题的分离变量法 1. 用分离变量法求下列问题的解： (1)2??2u2?u?2?a2?t?x?3?x?u?u?sin,?t?0l?t??u(0,t)?u(l,t)?0??t?o?x(1?x)(0?x?l)解：边界条件齐次的且是第一类的，令u(x,t)?x(x)t(t)得固有函数xn(x)?sinn?x，且 lan?an?tn(t)?ancost?bnsint，(n?1,2?)ll于是 u(x,t)??(ancosn?1?an?an?n?t?bnsint)sinx lll今由始值确定常数an及bn，由始值得3?x?n?sin??ansinxlln?1x(l?x)??an?n?bnsinx lln?1?所以 a3?1,an?0,当n?32n?bn?x(l?x)sinxdx ?an?0l2?an???ln?l2n??xcosx?sin?l??lln2?2??n???l2n?x??xcosx ??l??n?l2l2xn?2l3n??22sinx?33cosxlln?n?因此所求解为??l4l3?44(1?(?1)n) an?3a?3?4l3u(x,t)?cotsix?lla?42??2u2?u?0?2?a2?t?x??(2) ?u(0,t)?0??u(x,0)?hx,?l?1?(?1)nan?n?sitsix ?4llnn?1??u(l,t)?0 ?t?u(x,0)?0?t解：边界条件齐次的，令 u(x,t)?x(x)t(t)得：??x????x?0(1)x?(l)?0?x(0)?0,2及t???a?x?0(2)。

求问题(1)的非平凡解，分以下三种情形讨论。

1? ??0时，方程的通解为x(x)?c1e??x?c2e???x由x(0)?0得c1?c2?0 由x?(l)?0得c1??e ??l?c2??e???l?0解以上方程组，得c1?0，c2?0，故??0时得不到非零解。

2? ??0时，方程的通解为x(x)?c1?c2x由边值x(0)?0得c1?0，再由x?(l)?0得c2?0，仍得不到非零解。

3???0时，方程的通解为x(x)?c1cosx?c2sinx由x(0)?0得c1?0，再由x?(l)?0得c2?cos?l?0 l?0，于是2为了使c2?0，必须 cos?2n?1????n???? (n?0,1,2?)?2l?且相应地得到xn(x)?sin2n?1?x (n?0,1,2?) 2l2n?12n?1a?t?bnsina?t(n?0,1,2?) 2l2l将?代入方程(2)，解得tn(t)?ancos?于是 u(x,t)?再由始值得n?0?(ancos2n?12n?12n?1a?t?bnsina?t)sin?x 2l2l2l?2n?1?hx?asin?x?n??l2ln?0??2n?12n?1?0??a?bnsin?x?2l2ln?0?容易验证?sinl??2n?1??x?(n?0,1,2?)构成区间[0,l]上的正交函数系： 2l??2m?12n?1?0当m?nsin?xsin?xdx??l?当m?n2l2l?0?2【篇二：数学物理方程第一章部分答案】>1 方程的导出。

定解条件1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x点处的点在时刻t离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明u(x,t)满足方程???u????u????x????e? ?t??t??x??x?其中?为杆的密度，e为杨氏模量。

证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为 x与x??x。

现在计算这段杆在时刻t的相对伸长。

在时刻t这段杆两端的坐标分别为：x?u(x,t);x??x?u(x??x,t)其相对伸长等于令[x??x?u(x??x,t)]?[x?u(x,t)]??x?ux(x???x,t)?x?x?0，取极限得在点x的相对伸长为ux(x,t)。

由虎克定律，张力t(x,t)等于t(x,t)?e(x)ux(x,t)其中e(x)是在点x的杨氏模量。

设杆的横截面面积为s(x),则作用在杆段(x,x??x)两端的力分别为e(x)s(x)ux(x,t);e(x??x)s(x??x)ux(x??x,t).于是得运动方程?(x)s(x)??x?utt(x,t)?esux(x??x)|x??x?esux(x)|x?(esux) ?x利用微分中值定理，消去?x，再令?x?0得?(x)s(x)utt?若s(x)?常量，则得?u?2u??(x)2=(e(x))?x?x?t即得所证。

2．在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由，(3)端点固定在弹性支承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。

解：(1)杆的两端被固定在x?0,x?l两点则相应的边界条件为u(0,t)?0,u(l,t)?0.(2)若x?l为自由端，则杆在x?l的张力t(l,t)?e(x)的边界条件为?u|x?l等于零，因此相应?x?u|=0 ?xx?l同理，若x?0为自由端，则相应的边界条件为?u∣?0 ?xx?0(3)若x?l端固定在弹性支承上，而弹性支承固定于某点，且该点离开原来位置的偏移由函数v(t)给出，则在x?l端支承的伸长为u(l,t)?v(t)。

由虎克定律有e?u∣??k[u(l,t)?v(t)] ?xx?lk?u??u)∣x?l?f(t) 其中??e?x其中k为支承的刚度系数。

由此得边界条件(特别地，若支承固定于一定点上，则v(t)?0,得边界条件(?u??u)∣x?l?0。

?x同理，若x?0端固定在弹性支承上，则得边界条件?u∣?k[u(0,t)?v(t)] ?xx?0?u??u)∣x?0?f(t). 即 (?xe?x2?ux2?2u[(1?)]??(1?)3. 试证：圆锥形枢轴的纵振动方程为 e 2?xh?xh?t其中h为圆锥的高(如图1)证：如图，不妨设枢轴底面的半径为1，则x 点处截面的半径l为： l?1?所以截面积s(x)??(1?x hx2)。

利用第1题，得 hx2?2u?x2?u?(x)?(1?)?[e?(1?)]h?t2?xh?x若e(x)?e为常量，则得?x2?ux2?2ue[(1?)]??(1?) ?xh?xh?t24. 绝对柔软逐条而均匀的弦线有一端固定，在它本身重力作用下，此线处于铅垂平衡位置，试导出此线的微小横振动方程。

解：如图2，设弦长为l，弦的线密度为?，则x点处的张力t(x)为 t(x)??g(l?x)且t(x)的方向总是沿着弦在x点处的切线方向。

仍以u(x,t)表示弦上各点在时刻t沿垂直于x轴方向的位移，取弦段(x,x??x),则弦段两端张力在u轴方向的投影分别为?g(l?x)sin?(x);?g(l?(x??x))sin?(x??x)其中?(x)表示t(x)方向与x轴的夹角又sin??tg??于是得运动方程?u ?x.?u?2u?u??x2?[l?(x??x)]∣x??x?g?[l?x]∣?g?xx?x?t利用微分中值定理，消去?x，再令?x?0得?2u??u?g[(l?x)]。

2?x?x?t7. 验证u(x,y,t)?1t2?x2?y2在锥t?x?y0中都满足波动方程222?2u?2u?2u ???t2?x2?y2证：函数u(x,y,t)?1t2?x2?y2在锥t?x?y0内对变量x,y,t有3222??u2222??(t?x?y)?t 二阶连续偏导数。

且?t ?2u?t235???(t2?x2?y2)2?3(t2?x2?y2)2?t2 ?32?(t2?x2?y2)??(2t2?x2?y2)?u?(t2?x2?y2)?x?32?x35???u?t2?x2?y22?3t2?x2?y22x2 22 ?x???????5??2u同理 ??t2?x2?y2?2?t2?x2?2y2? 2?y所以即得所证。

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数学物理方程(谷超豪)-第三、四章 课后习题答案

数学物理方程(谷超豪)-第三、四章 课后习题答案

第三章调和方程§1建立方程定解条件1．设)(),,,(21r f x x x u n = )(221n x x r ++=是n 维调和函数（即满足方程022212=∂∂++∂∂nx ux u），试证明221)(-+=n rc c r f )2(≠n rInc c r f 1)(21+=)2(=n 其中21,c c 为常数。

证：)(r f u =,rx r f x rr f x u i i i ⋅=∂∂⋅=∂∂)()(''32''22"22)(1)()(r x r f r r f rx r f x ui i i ⋅-⋅+⋅=∂∂312''212"122)()()(rx r f r nr f rx r f x uni i ni i ni i∑∑∑===⋅-⋅+⋅=∂∂)(1)('"r f rn r f -+=即方程0=∆u 化为0)(1)('"=-+r f rn r f rn r f r f 1)()('"--=所以)1(1')(--=n r A r f 若2≠n ，积分得1212)(c r n A r f n ++-=+-即2≠n ，则221)(-+=n r c c r f 若2=n ，则rA r f 1')(=故Inr A c r f 11)(+=即2=n ，则rInc c r f 1)(21+=2．证明拉普拉斯算子在球面坐标),,(ϕθr 下，可以写成sin 1)(sin sin 1(12222222=∂∂⋅+∂∂∂∂⋅+∂∂∂∂⋅=∆ϕθθθθθur u r r u r r r u 证：球坐标),,(ϕθr 与直角坐标),,(z y x 的关系：ϕθcos sin r x =，ϕθsin sin r y =，θcos r z =（1）222222z u yu xu u ∂∂+∂∂+∂∂=∆为作变量的置换，首先令θρsin r =，则变换（1）可分作两步进行ϕρcos =x ，ϕρsin =y （2）θρsin r =，θcos r z =（3）由（2）⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫∂∂+-∂∂=∂∂∂∂+∂∂=∂∂)cos ()sin (sin cos ϕρϕρϕϕϕρy ux u u y u x u u 由此解出⎪⎭⎪⎪⎬⎫⋅∂∂+∂∂=∂∂⋅∂∂-∂∂=∂∂ρϕϕϕρρϕϕϕρcos sin sin cos u u y u u u x u （4）再微分一次，并利用以上关系，得)sin cos (22ρϕϕϕρ⋅∂∂-∂∂∂∂=∂∂u u x xu)sin cos (sin )sin cos (cos ρϕϕϕρϕρϕρϕϕϕρρϕ⋅∂∂-∂∂∂∂⋅-⋅∂∂-∂∂∂∂=u u u u +∂∂⋅+∂∂∂⋅-∂∂=22222222sin cos sin 2cos ϕρϕϕρρϕϕρϕuu u ρρϕϕρϕϕ∂∂⋅+∂∂⋅+u u 22sin cos sin 2cos sin (22ρϕϕϕρ⋅∂∂+∂∂∂∂=∂∂u u y yu)cos sin (cos )cos sin (sin ρϕϕϕρϕρϕρϕϕϕρρϕ⋅∂∂+∂∂∂∂++⋅∂∂+∂∂∂∂=u u u u ρρϕϕρϕϕϕρϕϕρρϕϕρ∂∂⋅+∂∂⋅--∂∂⋅+∂∂∂+∂∂=u u uu u2222222222cos cos sin 2cos cos sin 2sin 所以ρρϕρρ∂∂⋅+∂∂⋅+∂∂=∂∂+∂∂uu u yu xu 11222222222（5）ρρϕρρ∂∂⋅+∂∂⋅+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂uuz uu z u y u x u112222222222222再用（3）式，变换2222zu u ∂∂+∂∂ρ。

数学物理方程第二版(谷超豪)前三章习题答案

数学物理方程第二版(谷超豪)前三章习题答案


由 (1), (2) 两式解出
其中 F,G 为任意的单变量可微函数,并由此求解它的初值问题:
1 1 h d c F x h x x 2 2a x 2
o
x
t 0 : u x ,
解：令 h x u v 则
u x . t
即为初值问题的解散。 ２．问初始条件 ( x) 与 ( x) 满足怎样的条件时，齐次波动方程初值问题的解仅由右传播波
3
组成？ 解：波动方程的通解为 u=F(x-at)+G(x+at) 其中 F，G 由初始条件 ( x) 与 ( x) 决定。初值问题的解仅由右传播组成，必须且只须对 于任何 x,
x h
u x u [ E (1 ) 2 ] 2 x h x t
2
二阶连续偏导数。且
u (t 2 x 2 y 2 ) 2 t t
3
x u x 2u E [(1 ) 2 ] (1 ) 2 2 x h x h t
4. 绝对柔软逐条而均匀的弦线有一端固定，在它本身重力作用下，此线处于铅垂平衡位置， 试导出此线的微小横振动方程。 解：如图 2，设弦长为 l ，弦的线密度为 ，则 x 点处的张力 T ( x) 为
利用微分中值定理，消去 x ，再令 x 0 得
u u g [(l x) ] 。 2 x x t
2
5. 验证
u ( x, y , t )
1 t x y
2 2 2
在锥 t x y >0 中都满足波动方程
2 2 2
u ,故 x, x x 上所受摩阻力为 t u b px sx x t
其中 E ( x) 是在点 x 的杨氏模量。
数学物理方程_谷超豪_第二章答案

数学物理方程_谷超豪_第二章答案

数学物理方程谷超豪第二章答案1. 引言本文档是《数学物理方程》一书中第二章的答案。

该章节主要涵盖了偏微分方程的分类和解法。

在本文中，我们将解答课后习题和深入讨论相关概念，以帮助读者更好地理解和应用这些知识。

2. 偏微分方程的分类在第二章中，我们学习了偏微分方程的分类方法。

根据方程中未知函数的阶数和自变量的个数，偏微分方程可以分为以下几类：1.一阶偏微分方程：只涉及一阶导数的方程，如线性一阶波动方程和拟线性一阶方程等。

2.二阶偏微分方程：涉及二阶导数的方程，如线性二阶波动方程和拉普拉斯方程等。

3.高阶偏微分方程：涉及高阶导数的方程，如线性高阶波动方程和椭圆方程等。

根据自变量的个数，偏微分方程还可以分为以下两类：1.单自变量偏微分方程：只含有一个自变量的方程，如一维波动方程和一维热传导方程。

2.多自变量偏微分方程：含有多个自变量的方程，如二维波动方程和三维热传导方程。

3. 课后习题答案3.1 第一题题目：求解一维波动方程 $\\frac{\\partial^2 u}{\\partial t^2} = c^2 \\frac{\\partial^2 u}{\\partial x^2}$，其中c为常数。

解答：我们可以使用分离变量法求解这个一维波动方程。

首先，假设c=c(c)c(c)，代入原方程得到：$$\\frac{T''(t)}{c^2T(t)} = \\frac{X''(x)}{X(x)}$$两边同时等于一个常数 $-\\lambda^2$，即：$$\\begin{cases} T''(t) + \\lambda^2 c^2 T(t) = 0 \\\\ X''(x) + \\lambda^2 X(x) = 0 \\end{cases}$$解这个常微分方程得到：$$\\begin{cases} T(t) = A\\cos(\\lambda c t) +B\\sin(\\lambda c t) \\\\ X(x) = C\\cos(\\lambda x) +D\\sin(\\lambda x) \\end{cases}$$其中c,c,c,c都是常数。

数学物理方程(谷超豪)第三章调和方程习题解答

数学物理方程(谷超豪)第三章调和方程习题解答


∆u
=
1 r2
⋅
∂ ∂r
(r 2
∂u ) ∂r
+
r2
1 sin θ
⋅
∂ ∂θ
(sin θ
∂u ∂θ
)
+
r2
1 sin
2
θ
⋅
∂2u ∂ϕ 2
=0
证：球坐标 (r,θ ,ϕ) 与直角坐标 (x, y, z) 的关系：
x = r sinθ cosϕ ， y = r sin θ sin ϕ ， z = r cosθ
f
(r)
=
−
A1 n+
2
r −n+2
+
c1
即 n ≠ 2 ，则
f
(r)
=
c1
+
c2 r n−2
若 n = 2 ，则 即 n = 2 ，则
f ' (r) = A1 故 f (r) = c1 + A1Inr r
f (r) = c1 + c2 In 1 r
2． 证明拉普拉斯算子在球面坐标 (r,θ ,ϕ) 下，可以写成
⋅
∂u ∂ρ
（5）
∂ 2u ∂x 2
+
∂2u ∂y 2
+
∂2u ∂z 2
=
∂2u ∂ρ 2
+
∂2u ∂z 2
+
1 ρ2
⋅
∂2u ∂ϕ 2
+
1 ρ
⋅
∂u ∂ρ
∂2u 再用（3）式，变换 ∂ρ 2
+
∂ 2u ∂z 2
。这又可以直接利用（5）式，得
∂2u ∂ρ 2