数学物理方程-谷超豪

解: 参见第二节. 7. 验证u (x, y, t) =
t2
1 − x2
−
在锥t2 y2
−
x2
−
y2
>
0中满足波动方程
∂2u ∂t2
=
∂2u ∂x2
+
∂2u ∂y2
.
解: 显然,
∂u ∂t
=
− (t2
−
t x2 −
y2)3/2 ,
∂2u ∂t2
=
(t2
3t2 − x2 − y2)5/2
−
t2 − x2 − y2 −3/2
1.2 习题选讲
§1. 方程的导出、定解条件
1. 细杆(或弹簧)受某种外界原因而产生纵向振动,以u(x, t) 表示静止时在x 处的点在时刻t 离开
原来位置的偏移.假设振动过程中所发生的张力服从胡克定律,试证明u(x, t) 满足方程
∂ ∂t
ρ
(x)
∂u ∂t
=
∂ ∂x
E
∂u ∂x
,
其中 ρ 为杆的密度,E 为杨氏模量.
ρ
(x)
∂u ∂t
=
∂ ∂x
E
∂u ∂x
,
2. 在杆纵向振动时,假设(1)端点固定,(2)端点自由,(3)端点固定在弹性支承上,试分别导出这三种 情况下所对应的边界条件.
解: 设杆的两个端点坐标分别为0 和l .
(1) 端点固定：此时两个端点无位移,即 u(0, t) = u(l, t) = 0 ;
+
∆x)
∂u ∂x
(x + ∆x, t) S(x + ∆x) −
E(x)
∂u ∂x
(x,
t)
S(x),且正向与坐标轴相同.
图 1-1 图示
设x¯
为微元重心,则重心处加速度为
∂2u ∂t2
(x¯,
t),由牛顿第二定律得,
ρ
(x¯)
S
(x¯)
∆x
∂2u ∂t2
(x¯,
t)
=
E
(x
+
∆x)
S
(x
+
∆x)
∂u ∂x
(2)
端点自由：此时两个端点无约束,根据上题,拉力E(x)
∂u ∂x
(x,
t)
S
=
0
,即
∂u ∂x
(0, t)
=
∂u ∂x
(l, t)
=
0;
(3) 端点固定在弹性支承上：此时端点所受外力与弹性支承的变形成比例.若支承的弹性系数为k
,则支承对杆的左端点x
=
0
处的作用力为E(0)
∂u ∂x
(0,
t) S
证明:
如图建立坐标系,选取杆上一段微元(x, x + ∆x)
,则微元两端的相对伸长分别为
∂u ∂x
(x,
t)
和
∂u ∂x
(x
+
∆x,
t)
.
假设杆的横截面面积为S
,则微
元两端
所受拉
力分别为E(x)
∂u ∂x
(x, t) S(x)
和E(x
+
∆x)
∂u ∂x
(x
+
∆x, t) S(x + ∆x)
.
因此所受合力为E(x
类似的,
∂2u ∂x2
=
(t2
−
3x2 x2 −
y2)5/2
+
t2 − x2 − y2 −3/2 ,
∂2u ∂y2
=
(t2
−
3y2 x2 −
y2)5/2
+
t2 − x2 − y2 −3/2 ,
代入即得所证.
§2. 达朗贝尔公式、波的传播
1. 证明方程
∂ ∂x
1
−
x h
2 ∂u ∂x
=
1 a2
1
−
x h
t
=
0
:
v
=
(h
−
x)ϕ(x),
∂v ∂t
=
(h
−
x)ψ(x)
因此
v(x, t)
=
1 2
((h
−
x
+
at)ϕ(x − at) + (h
−
x
−
at)ϕ(x + at))
+
1 2a
x+at
(h − ξ)ψ(ξ)dξ,
x−at
从而
u(x, t)
=
1 2(h − x)
((h
−
x
+
at)ϕ(x
−
at)
+
(h
−
第二章 热传导方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1 学习要求 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 习题选讲 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
(2) 在x轴区间[x1, x2]上所给的初始条件唯一地确定区间[x1, x2]的决定区域中解的数值.
证明: (1) 根据非齐次问题解的表达式可知,影响区域为
{(x, t) |t 0, x1 − at x x2 + at }
1.1 学习要求 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 习题选讲 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
,且其正向与x
轴方向相反,因此有
E(0)
∂u ∂x
(0,
t)
S
=
ku(0,
t),
或写为
−
∂u ∂x
+
σu
= 0;
x=0
其中σ = k/ES.
类似的,对x = l 端,有
−
∂u ∂x
+
σu
= 0.
x=l
3. 试证：圆锥形枢轴的纵振动方程为
E
∂ ∂x
1
−
x h
2 ∂u ∂x
=ρ
1
−
x h
2
∂2u ∂t2
第三章 调和方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.1 学习要求 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.2 习题选讲 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
,
其中h 为圆锥的高.
证明: 此时S(x) = S0
1
−
x h
2
,其中S0为圆锥枢轴的底面积.根据第1题的推导,即得所证.
图 1-2 图示
4. 绝对柔软而均匀的弦线有一端固定,在它自身重力的作用下,此线处于铅垂的平衡位置,试导出 此线的微小横振动方程.
-2-
第一章 波动方程
解: 根据弦的微小横振动方程,有
u|x−at=0 = F (0) + G (2x) = ϕ (x)
u|x+at=0 = F (2x) + G (0) = ψ (x)
从而F (x) = ψ
x 2
− G (0) , G (x) = ϕ
x 2
− F (0) , 又因为u(0, 0) = ϕ(0) = ψ(0),于是F (0) +
G(0) = ϕ(0) = ψ(0).因此
2
∂2u ∂t2
,
的通解可以写成
u(x, t)
=
F (x
−
at) h
+ −
G(x x
+
at)
其中h > 0为常数, F , G为任意的具有二阶连续导数的单变量函数，并由此求解它的初值问题:
t
=
0
:
v
=
(h
−
x)ϕ(x),
∂v ∂t
=
(h − x)ψ(x)
解: (1) 令v(x, t) = (h − x)u(x, t),则 v(x, t) 满足方程