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§3.1 导数的概念及运算1．下列求导运算正确的是( )A.⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1＋1x 2 B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(5x )′＝5x log 5xD ．(x 2cos x )′＝－2x sin x 2．(2021·安徽江南十校联考)曲线f (x )＝1－2ln x x在点P (1，f (1))处的切线l 的方程为( ) A ．x ＋y －2＝0 B ．2x ＋y －3＝0 C ．3x ＋y ＋2＝0 D ．3x ＋y －4＝03．(2020·广元模拟)已知函数f (x )＝14x 2＋cos x ，则其导函数f ′(x )的图象大致是( )4．设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，则曲线在点P 处切线的倾斜角α的取值范围为( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π2∪⎣⎡⎭⎫5π6，π B.⎣⎡⎭⎫2π3，π C.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π D.⎝⎛⎦⎤π2，5π6 5.(多选)已知函数f (x )的图象如图，f ′(x )是f (x )的导函数，则下列结论正确的是( )A ．f ′(3)>f ′(2)B ．f ′(3)<f ′(2)C ．f (3)－f (2)>f ′(3)D ．f (3)－f (2)<f ′(2)6．(多选)已知函数f (x )及其导函数f ′(x )，若存在x 0使得f (x 0)＝f ′(x 0)，则称x 0是f (x )的一个“巧值点”．下列选项中有“巧值点”的函数是( )A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝e －xC ．f (x )＝ln xD ．f (x )＝tan x7．已知函数y ＝f (x )的图象在x ＝2处的切线方程是y ＝3x ＋1，则f (2)＋f ′(2)＝ .8．已知函数f (x )＝1ax －1＋e x cos x ，若f ′(0)＝－1，则a ＝ . 9．我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正n 边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算．设f (x )＝ln(1＋x )，则曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为________，用此结论计算ln 2 022－ln 2 021≈________.10．(2021·山东省实验中学四校联考)曲线y ＝x 2－ln x 上的点到直线x －y －2＝0的最短距离是 ．11．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值；(2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围．12．设函数f (x )＝ax －b x，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；(2)证明曲线f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．13．(2020·青岛模拟)已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2 022(x )等于( )A ．－sin x －cos xB ．sin x －cos xC ．－sin x ＋cos xD ．sin x ＋cos x14．已知函数f (x )＝x ＋a 2x，若曲线y ＝f (x )存在两条过(1,0)点的切线，则a 的取值范围是 ．15．已知曲线f (x )＝x 3＋ax ＋14在x ＝0处的切线与曲线g (x )＝－ln x 相切，则a 的值为 ． 16．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R )的图象为曲线C . (1)求在曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．§3.2 导数与函数的单调性课时精练1．函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )2．下列函数中，在(0，＋∞)上单调递增的是( )A ．f (x )＝sin 2xB ．g (x )＝x 3－xC ．h (x )＝x e xD ．m (x )＝－x ＋ln x3．(2020·甘肃静宁一中模拟)已知函数f (x )＝x 2＋a x ，若函数f (x )在[2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，8)B ．(－∞，16]C ．(－∞，－8)∪(8，＋∞)D ．(－∞，－16]∪[16，＋∞)4．已知函数f (x )＝sin x ＋cos x －2x ，a ＝f (－π)，b ＝f (2e )，c ＝f (ln 2)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >c >bB ．a >b >cC ．b >a >cD ．c >b >a5．(多选)若函数f (x )＝ax 3＋3x 2－x ＋1恰好有三个单调区间，则实数a 的取值可以是( )A ．－3B ．－1C ．0D ．26．(多选)若函数 g (x )＝e x f (x )(e ＝2.718…，e 为自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增，则称函数f (x )具有M 性质．下列函数不具有M 性质的为( )A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝x 2＋1C ．f (x )＝sin xD ．f (x )＝x7．函数y ＝2ln x －3x 2的单调递增区间为________．8．若函数f (x )＝ln x ＋e x －sin x ，则不等式f (x －1)≤f (1)的解集为________．9．若函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax 在⎣⎡⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间，则a 的取值范围是________． 10．(2020·济南质检)若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是________．11．函数f (x )＝(x 2＋ax ＋b )e －x ，若f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为6x －y －5＝0.(1)求a ，b 的值；(2)求函数f (x )的单调区间．12．讨论函数f (x )＝(a －1)ln x ＋ax 2＋1的单调性．13．(多选)若0<x 1<x 2<1，则( )A ．x 1＋ln x 2>x 2＋ln x 1B ．x 1＋ln x 2<x 2＋ln x 1C ．1221e e x x x x >D ．1221e e x xx x < 14．已知函数f (x )(x ∈R )满足f (1)＝1，f (x )的导数f ′(x )<12，则不等式f (x 2)<x 22＋12的解集为____________．15．已知函数f (x )＝x sin x ＋cos x ＋x 2，则不等式f (ln x )＋f ⎝⎛⎭⎫ln 1x <2f (1)的解集为________． 16．已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R )．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋x 2·⎣⎡⎦⎤f ′(x )＋m 2在区间(t ,3)上总不是单调函数，求实数m 的取值范围．§3.3 导数与函数的极值、最值课时精练1．函数f (x )＝(x 2－1)2＋2的极值点是( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝1或－1或0D ．x ＝02．函数y ＝x e x 在[0,2]上的最大值是( ) A.1e B.2e 2 C ．0 D.12e3．已知函数f (x )＝2ln x ＋ax 2－3x 在x ＝2处取得极小值，则f (x )的极大值为( )A ．2B ．－52C ．3＋ln 2D ．－2＋2ln 24．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx 的图象如图所示，则x 21＋x 22等于( )A.23B.43C.83D.1635．(多选)函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，则以下命题错误的是( )A ．－3是函数y ＝f (x )的极值点B ．－1是函数y ＝f (x )的最小值点C ．y ＝f (x )在区间(－3,1)上单调递增D ．y ＝f (x )在x ＝0处切线的斜率小于零6．(多选)(2021·烟台模拟)已知函数f (x )＝x 2＋x －1e x，则下列结论正确的是( ) A ．函数f (x )存在两个不同的零点B ．函数f (x )既存在极大值又存在极小值C ．当－e<k ≤0时，方程f (x )＝k 有且只有两个实根D ．若x ∈[t ，＋∞)时，f (x )max ＝5e2，则t 的最小值为2 7．函数f (x )＝2x －ln x 的最小值为________．8．若函数f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有两个极值点，则实数c 的取值范围为______________．9．已知函数f (x )＝sin x －13x ，x ∈[0，π]，cos x 0＝13，x 0∈[0，π]． ①f (x )的最大值为f (x 0)； ②f (x )的最小值为f (x 0)；③f (x )在[0，x 0]上是减函数； ④f (x 0)为f (x )的极大值．那么上面命题中真命题的序号是________．10．已知不等式e x －1≥kx ＋ln x 对于任意的x ∈(0，＋∞)恒成立，则k 的最大值为________．11．已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )．(1)当a ＝12时，求f (x )的极值； (2)讨论函数f (x )在定义域内极值点的个数．12．已知函数f (x )＝x ln x .(1)求函数f (x )的极值点；(2)设函数g (x )＝f (x )－a (x －1)，其中a ∈R ，求函数g (x )在区间(0，e]上的最小值(其中e 为自然对数的底数)．13．已知函数f (x )＝x ＋2sin x ，x ∈[0,2π]，则f (x )的值域为( )A.⎣⎡⎦⎤4π3－3，2π3＋3 B.⎣⎡⎦⎤0，4π3－3 C.⎣⎡⎦⎤2π3＋3，2π D ．[0,2π]14．(2020·邢台模拟)若函数f (x )＝12x 2＋(a －1)x －a ln x 存在唯一的极值，且此极值不小于1，则实数a 的取值范围为________．15．已知函数f (x )＝x ln x ＋m e x (e 为自然对数的底数)有两个极值点，则实数m 的取值范围是__________．16．(2019·全国Ⅲ)已知函数f (x )＝2x 3－ax 2＋2.(1)讨论f (x )的单调性；(2)当0<a <3时，记f (x )在区间[0,1]的最大值为M ，最小值为m ，求M －m 的取值范围．高考专题突破一 高考中的导数综合问题第1课时 利用导数研究恒(能)成立问题1．设函数f (x )＝ln x ＋a x(a 为常数)．(1)讨论函数f (x )的单调性； (2)不等式f (x )≥1在x ∈(0,1]上恒成立，求实数a 的取值范围．2．已知函数f (x )＝x ln x (x >0)．(1)求函数f (x )的极值；(2)若存在x ∈(0，＋∞)，使得f (x )≤－x 2＋mx －32成立，求实数m 的最小值．3．已知函数f (x )＝x 2＋(a ＋1)x －ln x ，g (x )＝x 2＋x ＋2a ＋1.(1)若f (x )在(1，＋∞)上单调递增，求实数a 的取值范围；(2)当x ∈[1，e]时，f (x )<g (x )恒成立，求实数a 的取值范围．4．已知函数f (x )＝x －(a ＋1)ln x －a x (a ∈R )，g (x )＝12x 2＋e x －x e x . (1)当x ∈[1，e]时，求f (x )的最小值；(2)当a <1时，若存在x 1∈[e ，e 2]，使得对任意的x 2∈[－2,0]，f (x 1)<g (x 2)成立，求a 的取值范围．5．(2020·衡水中学检测)设函数f (x )＝1－a 2x 2＋ax －ln x (a ∈R )． (1)当a ＝1时，求函数f (x )的极值；(2)若对任意a ∈(4,5)及任意x 1，x 2∈[1,2]，恒有a －12m ＋ln 2>|f (x 1)－f (x 2)|成立，求实数m 的取值范围．第2课时利用导函数研究函数的零点1．已知函数f(x)＝e x(ax＋1)，曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝bx－e.(1)求a，b的值；(2)若函数g(x)＝f(x)－3e x－m有两个零点，求实数m的取值范围．2．已知f(x)＝ax2(a∈R)，g(x)＝2ln x.(1)讨论函数F(x)＝f(x)－g(x)的单调性；(2)若方程f(x)＝g(x)在区间[1，e]上有两个不相等的解，求a的取值范围．3．已知函数f(x)＝e x＋ax－a(a∈R且a≠0)．(1)若函数f(x)在x＝0处取得极值，求实数a的值，并求此时f(x)在[－2,1]上的最大值；(2)若函数f(x)不存在零点，求实数a的取值范围．4．(2020·潍坊检测)已知函数f(x)＝ln x－x2＋ax，a∈R.(1)证明：ln x≤x－1；(2)若a≥1，讨论函数f(x)的零点个数．5．已知函数f(x)＝e x＋1－kx－2k(其中e是自然对数的底数，k∈R)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当函数f(x)有两个零点x1，x2时，证明x1＋x2>－2.第3课时利用导数证明不等式1．(2021·莆田模拟)已知函数f(x)＝x e x－1－ax＋1，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线l的斜率为3e－2.(1)求a的值及切线l的方程；(2)证明：f(x)≥0.2．(2021·沧州七校联考)设a为实数，函数f(x)＝e x－2x＋2a，x∈R.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当a>ln 2－1且x>0时，e x>x2－2ax＋1.3．已知函数f(x)＝eln x－ax(a∈R)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a＝e时，证明：xf(x)－e x＋2e x≤0.4．已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )．(1)讨论函数f (x )在(0，＋∞)上的单调性；(2)证明：e x －e 2ln x >0恒成立．5．(2018·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝1x－x ＋a ln x . (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )存在两个极值点x 1，x 2，证明：f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<a －2.。
导数概念练习题导数是微积分的一个重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率，即函数在该点处的斜率。
导数的概念在许多学科中都有广泛的应用，如物理学、工程学、经济学等。
下面是一些导数概念的练习题，帮助大家更好地理解这个概念。
已知函数f(x) = x^2 + 2x + 1，求f'(x)。
已知函数f(x) = sin(x)，求f'(x)。
已知函数f(x) = log(x)，求f'(x)。
已知函数f(x) = e^x，求f'(x)。
已知函数f(x) = x^n，求f'(x)。
已知函数f(x) = x/ln(x)，求f'(x)。
解：f'(x) = (ln(x)-1)/(ln(x))^2已知函数f(x) = arctan(x)，求f'(x)。
已知函数f(x) = e^(arctan(x))，求f'(x)。
解：f'(x) = e^(arctan(x))*(1/(1+x^2))已知函数f(x) = sin(e^x)，求f'(x)。
解：f'(x) = cos(e^x)*e^x已知函数f(x) = x^sin(x)，求f'(x)。
解：f'(x) = sin(x)x^(sin(x)-1)(cos(x)-1)以上练习题可以帮助大家理解导数的概念，并掌握一些常见的导数计算方法。
导数是数学中一个非常重要的概念，它描述了一个函数在某一点处的变化率。
求导数是数学分析中的一个基本技能，也是解决许多实际问题中必不可少的工具。
下面是一些求导数的练习题，供大家参考。
(1)θ=sinx,y=cosx。
(x)=3xx=0为函数的极值点。
随着素质教育的不断推进，高中数学课程中引入了越来越多的抽象概念，其中导数概念便是之一。
导数概念作为微积分的核心概念之一，对于高中生而言，是一个极具挑战性的知识点。
因此，本文旨在探讨高中学生对导数概念的理解情况，为教师提供有益的教学参考，从而提高学生对导数概念的理解和掌握程度。
课题2导数的四则运算法则一、复习基本初等函数的导数公式用定义只能求出一些较简单的函数的导数（常函数、幂函数、正、余弦函数、指数函数、对数函数），对于比较复杂的函数则往往很困难。
本节我们就来建立求导数的基本公式和基本法则，借助于这些公式和法则就能比较方便地求出常见的函数——初等函数的导数，从而是初等函数的求导问题系统化，简单化。
二、导数的四则运算法则设函数)(x u u =、)(x v v =在点x 处可导，则函数)(x u ±)(x v ，)()(x v x u ⋅，)0)(()()(≠x v x v x u 也在点x 处可导，且有以下法则： （1） [])()()()(x v x u x v x u '±'='±推论：[]'±±'±'±'='±±±±n n u u u u u u u u 321321 （2） [])()()()()()(x v x u x v x u x v x u '+'='， 推论1： [])()(x u C x Cu '='（C 为常数）； 推论2：此法则可以推广到有限个函数的积的情形． 例 w uv w v u vw u uvw '+'+'=')(（3） )0(2≠'-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡v v v u v u v u ， 三、例题分析例：求 的导数解：例：已知x x y ln 3=，求y '解：)1ln 3(ln 3)(ln ln )()ln (222333+=+='+'='='x x x x x x x x x x x y例： 解：例：求的导数x x x x y ln cos sin 2⋅+⋅= 解3ln 11cos )(3++-=x x x x f ()()'+'⎪⎭⎫ ⎝⎛+'⎪⎭⎫ ⎝⎛-'='3ln 11cos )(3x x x x f 0131sin 234+-+-=-x x x x xx x sin 13123--=(x)f ,1)(2'+=求设x xx f 22222)1()1()1()()1()(x x x x x x x x f +'+-+'='+='2222222)1(1)1(21x x x x x +-=+-+=x x x x x x xx x x x x x x x x x x x cos ln sin cos 2sin )(ln cos ln )(cos )(sin 2sin )(2)ln (cos )sin x 2y +-+='⋅+⋅'+'+'='⋅+'='（附加练习：求下列函数的导数（1）x x y 33log = （2）x x xy sin cos 41+-=，（3）π+-=x x y 32（4）xx y +=41（5） （6）设4sin cos 4)(3π-+=x x x f ，求)(x f '及)2(πf '（7）x x x y cos )ln 2(-=四、导数的应用 例1 [电流]电路中某点处的电流i 是通过该点处的电量q 关于时间的瞬时变化率，如果一电路中的电量为t t t q +=3)(，（1）求其电流函数i (t ) ？(2)t =3时的电流是多少？ 解：（1）13)()(23+='+==t t t t i ，（2）i(3)=28例2 [电压的变化率]一个电阻为 Ω6，可变电阻R 为的电路中的电压由下式给出： ，求在R=Ω7电压关于可变电阻R 的变化率 解例3[气球体积关于半径的变化率]现将一气体注入某一球状气球，假定气体的压力不变．问当半径为2cm 时，气球的体积关于半径的增加率是多少？解：气球的体积V 与半径r 之间的函数关系为气球的体积关于半径的变化率为 半径为2cm 时气球的体积关于半径的变化率为小结导数的四则运算作业 上册 p57 1—6),1()11)(1()(22f xx x f '-+=求3256++=R R V 26256333R R R V R R +++''==++（）-（625）（）（）07.01007)7(-=-='V 334r V π=24r V π=')/(1624/322cm cm dtdVr ππ=⋅==课题3复合函数的导数一、复习导数公式 导数的四则运算法则 二、复合函数的求导法则因为x x cos )(sin ='，是否可以类似写出x x 2cos )2(sin ='呢？ 由三角函数的倍角公式可知x x x cos sin 22sin = ])(cos sin cos )[(sin 2)2(sin '+'='x x x x x )sin (cos 222x x -= x 2c o s 2=显然x x 2cos )2(sin ≠'，因为x 2sin 不再是基本初等函数而是一个复合函数，对于求复合函数的导数给出如下法则．定理：如果函数)(x u ϕ=在点x 处可导，而函数)(u f y =在对应的u 处可导，则复合函数[])(x f y ϕ=也在x 处可导，且有dxdudu dy dx dy ⋅= 或 )()(]))(([x u f x f ϕϕ''='， 简记为 x u x u y y ''='证明：当)(x u φ=在x 的某邻域内不等于常数时, ∆u ≠0, 给自变量x 一增量x ∆，相应函数有增量y u ∆∆,因为0y 0x )()(→∆→∆==时，处连续，固有在处可导，可知在x x u x x u φφ)()(lim lim lim lim0000x u f xu u y x u u y x y x u x x ϕ'⋅'=∆∆∆∆=∆∆⋅∆∆=∆∆→∆→∆→∆→∆即 )()(]))(([x u f x f ϕϕ''=' 或 dxdudu dy dx dy ⋅= 当)(x u φ=在x 的某邻域内为常数时, y =f [ϕ(x )]也是常数, 此时导数为零, 结论自然成立. 说明：（1）复合函数对自变量的导数等于它对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数。
导数的基本公式14个例题一、导数的基本公式。
1. 常数函数的导数：若y = C（C为常数），则y^′=0。
- 例如：y = 5，求y^′。
- 解析：根据常数函数导数公式，y^′ = 0。
2. 幂函数的导数：若y=x^n，则y^′ = nx^n - 1。
- 例如：y=x^3，求y^′。
- 解析：根据幂函数导数公式，n = 3，所以y^′=3x^2。
- 例如：y = x^(1)/(2)，求y^′。
- 解析：n=(1)/(2)，根据公式y^′=(1)/(2)x^(1)/(2)-1=(1)/(2)x^-(1)/(2)=(1)/(2√(x))。
3. 正弦函数的导数：若y = sin x，则y^′=cos x。
- 例如：y=sin x，求y^′。
- 解析：根据正弦函数导数公式，y^′=cos x。
4. 余弦函数的导数：若y=cos x，则y^′ =-sin x。
- 例如：y = cos x，求y^′。
- 解析：根据余弦函数导数公式，y^′=-sin x。
5. 指数函数y = a^x的导数（a>0,a≠1）：y^′=a^xln a。
- 例如：y = 2^x，求y^′。
- 解析：根据指数函数导数公式，a = 2，所以y^′=2^xln2。
6. 对数函数y=log_ax的导数（a>0,a≠1,x>0）：y^′=(1)/(xln a)。
- 例如：y=log_2x，求y^′。
- 解析：根据对数函数导数公式，a = 2，所以y^′=(1)/(xln2)。
- 特别地，当a = e时，y=ln x，y^′=(1)/(x)。
- 例如：y=ln x，求y^′。
- 解析：根据自然对数函数导数公式，y^′=(1)/(x)。
7. 正切函数的导数：若y=tan x=(sin x)/(cos x)，则y^′=sec^2x=(1)/(cos^2)x。
- 例如：y = tan x，求y^′。
- 解析：根据正切函数导数公式，y^′=sec^2x=(1)/(cos^2)x。
第八周习题课一．导数的计算----隐函数、反函数、参数函数1.求由方程22ln(1)0x y x y ++++=确定的隐函数()y y x =在0x =点的二阶导数。
解：有上式对x 求导得：1+y ′+2x +2yy ′1+x +2yy =0整理得：y ′(x )= −(x +1)2+y 2x 2+(y +1)2继续求导得到y′′(x),然后在上面三个式子中带入x =0,解得y ′′(0)= −4 2.求函数ln(1)y x x =++反函数的二阶导数。
解：由式子对y 求导得：dx dy = (1+x)(2+x)二阶导数为：d dy (dx dy )= dx/dy (x +2)= x +1(x +2)3.求参数函数ln(1)tx t e y t t ⎧=+⎨=++⎩的二阶导数。
解：先求解x ′(t )=1+e t ;y’(t) = (t +2)/(t +1); 则可以求出：dy dx = y′(t)x′(t)由d 2y dx 2= d dx (dydx )= (y ′(t )x ′(t ))′x′(t),带入后解得：d dx (dydx )= −(t 2+3t +3)e t +1(t +1)2(e t +1)3二．高阶导数 例.1 )1ln()1()(2x x x f -+=，求)1()(-n f解：2ln 2)1(,0)1(,0)1()0(=-''=-'=-f f f记 )1ln()(,)1()(2x x v x x u -=+=，当2>n 时，()()()()02(2)(2)1(1)()2(2)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)12(1)nn k n k k n k n n n n nn n n n n n n fC u v C u v C u v C u v C v -=-------=--'=--+--+--=-∑ 而mm m x x v x x v x x v )1()1()(,,)1(1)(,11)(1)(2--=--=''-='- 232)()2()1(2)1(-----=-n n n nn Cf注意这里的结果2>n 时候的结果，我们还需要在说明其余情况，经过计算：f ′(−1)=0 f ′′(−1)=2ln2例.2 求221ax y -=的n 阶导数。
第五章一元函数的导数及其应用《5. 2导数的运算》教学设计习题课1．理解基本初等函数的导数公式，掌握导数的四则运算法则，会求简单函数的导数．2．理解复合函数的求导法则，能求简单的复合函数的导数．教学重点：求简单函数的导数教学难点：求简单复合函数的导数PPT课件．【新课导入】问题1：你能画出本节的知识结构图吗？师生活动：学生思考后画出结构图并展示，教师完善．预设的答案：设计意图：通过画本节知识结构，让学生对本节知识有个系统的认识，进一步搭建本节学习内容的框架．◆教学过程◆课前准备◆教学重难点◆◆教学目标问题2：你能说出本节的主要知识吗？ 师生活动：学生回顾并回答，教师完善． 预设的答案：（1）基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式1. 若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=；2. 若()(f x x αα=∈Q ，且0)α≠，则1()f x x αα-='；3. 若()sin f x x =，则()cos f x x ='；4. 若()cos f x x =，则()sin f x x '=-；5. 若()(0x f x a a =>，且1)a ≠，则()ln x f x a a ='； 特别地，若()e x f x =，则()e x f x '=；6. 若()log (0a f x x a =>，且1)a ≠，则1()ln f x x a='； 特别地，若()ln f x x =，则1()f x x'=； （2）导数的四则运算法则[()()]()()f x g x f x g x +='+''；[()()]()()f x g x f x g x -='-''；[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x ''='+；2()()()()()(()0)()[()]f x f x g x f x g x g x g x g x '⎡⎤-''=≠⎢⎥⎣⎦. 特别地[()]()cf x cf x '='. （3）复合函数的求导法则一般地，对于由函数y ＝f (u )，u ＝g (x )复合而成的函数y ＝f (g (x ))，它的导数与y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为x u x y y u '''=⋅．设计意图：通过复习本节主要知识内容，让学生对本节知识有个更为系统的理解和掌握，为正确求解函数的导数打下坚实的基础．【巩固练习】例1 求下列函数的导数．（1）sincos 22x xy x =-⋅；（2）cos y x x =； （3）sin 2cos 2y x x =-． 师生活动：学生完成，教师完善．预设的答案：（1）∵1sin cos sin 222x x y x x x=-⋅=-，∴1cos 2y x '=-． （2）∵()1sin cos cos cos 2x x x x x x x x y xx '-⋅-⋅''⋅'===∴2y x x'=.（3）2cos 22sin 222)4y x x x π'=+=-．设计意图：通过该题，让学生进一步熟悉利用导数公式、导数的四则运算法则以及复数函数的导数求解．发展学生的数学运算素养．方法总结：（1）先化简y ，然后根据基本初等函数的导数公式以及导数的减法法则求解出y '； （2）根据基本初等函数的导数公式以及导数的除法法则求解出y '.（3）先根据复合函数的求导法则求解出y '，然后再利用辅助角公式化简得到结果.其中（3）的答案也可以为22)4y x π'=+．例2已知函数f(x)=−12x 2+2xf ′(2021)+2021lnx ，则f ′(2021)= ________. 2020师生活动：学生分组讨论，派代表发言，教师完善． 预设的答案：∵f(x)=−12x 2+2xf ′(2021)+2021lnx ， ∴f ′(x)=−x +2f ′(2021)+2021x ，∴f ′(2021)=−2021+2f ′(2021)+1，∴f ′(2021)=2020． 故答案为2020．设计意图：通过该题，进一步熟悉导数公式及导数的四则运算法则，需要注意f ′(2021)是常数．例3 记f ′(x)、g ′(x)分别为函数f(x)、g(x)的导函数，把同时满足f(x 0)=g(x 0)和f ′(x 0)=g ′(x 0)的x 0叫做f(x)与g(x)的“Q 点”.（1）求f(x)=2x 与g(x)=x 2−2x +4的“Q 点”； （2）若21()2f x ax =+与g(x)=lnx 存在“Q 点”，求实数a 的值. 师生活动：学生分组讨论，每组派一代表回答．教师完善．预设的答案：因为f ′(x)=2,g ′(x)=2x −2， 设x 0为函数f(x)与g(x)的一个“ Q ”点.由f(x 0)=g(x 0)且f ′(x 0)=g ′(x 0)得20000224222x x x x ⎧=-+⎪⎨=-⎪⎩，解得x 0=2 .所以函数f(x)与g(x)的“ Q ”点是2. （2）解：因为f ′(x)=2ax ，1()g x x'=， 设x 0为函数f(x)与g(x)的一个“ Q ”点.由f(x 0)=g(x 0)且f ′(x 0)=g ′(x 0)得000201ln 212a a x x x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩①②，由②得0212a x =，代入①得lnx 0=1，所以x 0=e .所以221a e=.设计意图：通过该题，进一步熟悉导数公式及导数的四则运算法则，让学生学会处理新定义问题．发展学生的数学运算、数学抽象以及逻辑推理素养． 例4（1）函数()()1sin f x x x =+的导数为()f x '，求2f π⎛⎫' ⎪⎝⎭； （2）设l 是函数1y x=图象的一条切线，证明:l 与坐标轴所围成的三角形的面积与切点无关．师生活动：学生自主分析，派代表板演，教师完善． 预设的答案：（1）()()1sin f x x x =+，则()()1sin f x x x ''=+⎡⎤⎣⎦()()1sin 1sin cos 1sin x x x x x x x ''=+++=++，所以cos 1sin 22222f ππππ⎛⎫'=++=⎪⎝⎭； （2）设切点为001,x x ⎛⎫⎪⎝⎭，∵1y x =，21y x'∴=-，∴切线l 的斜率201k x =-，∴切线l 的方程为：()020011y x x x x -=--， 令0x =，得02y x =， 令0y =，得02x x =，所以l 与坐标轴所围成的三角形的面积0012222S x x =⋅⋅=， 因此l 与坐标轴所围成的三角形的面积与切点无关．设计意图：通过该题，进一步熟悉导数公式、导数的四则运算法则以及导数的几何意义．发展学生的数学运算、数学抽象以及逻辑推理素养．方法总结：涉及到曲线的切线问题，一般设出切点坐标，利用切点在曲线上以及切线的斜率为函数在该点处的导数列式求解． 练习：教科书P 81 习题5.2 6、7设计意图：通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养．【课堂总结】1． 板书设计：5. 2导数的运算（习题课）巩固练习 例1例22．总结概括：导数公式、导数的四则运算法则、简单复合函数的求导法则 师生活动：学生总结，老师适当补充．3．课堂作业：教科书P 81 习题5.2 8、9、10、11【目标检测设计】1．已知f x x e =+，则()0f =（）A ．0B ．4-C ．2-D ．1设计意图：进一步巩固利用导数公式及导数的四则运算法则求导数值． 2．下列求导结果正确的是（）A ．()21224x x '⎡⎤-=-⎣⎦B ．cos sin 55ππ'⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()1ln 33x x'⎡⎤=⎣⎦D ．()cos cos sin x x x x x '⋅=-设计意图：进一步巩固导数公式、导数的四则运算法则以及复合函数的求导法则． 3．若函数f (x )满足321()(1)3f x x f x x '=--，则(1)f '的值为( ) A ．1B ．2C ．0D ．－1设计意图：进一步巩固利用导数公式及导数的四则运算法则，注意1的导数是常数． 4．函数ln 1xy x =+的图象在点()1,0P 处的切线方程为______. 设计意图：进一步巩固利用导数公式、导数的四则运算法则以及导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程． 参考答案：1．D 由题意，得()2xf x x e =+'，则()01f '=，故选D ．2．D 对于A 选项，()()221244184x x x x ''⎡⎤-=-+=-⎣⎦，A 选项错误；对于B 选项，cos05π'⎛⎫= ⎪⎝⎭，B 选项错误；对于C 选项，()()1ln 3ln 3ln x x x''⎡⎤=+=⎣⎦，C 选项错误； 对于D 选项，()()cos cos cos cos sin x x x x x x x x x '''⋅=+⋅=-，D 选项正确. 故选D.3．C 依题意2()2(1)1f x x f x ''=--，令1x =得()()11211f f ''=--，解得(1)0f '=，故选C.4．210x y --=∵()211ln 1x x y x +-'=+，∴112x y ='=， 所以切线为：()112y x =-， 即：210x y --=.故填210x y --=．。
第四次习题课（导数与微分）
一、内容提要
1.导数定义，函数可导与函数连续的关系，
2.导数四则运算、反函数的导数、复合函数求导法则、对数求导方法，
3.导数基本公式，
4.高阶导数概念、高阶导数莱布尼茨公式，参数方程的导数。
一、客观题
1. 设)100)(99()2)(1()(----=x x x x x x f ，则).()0('=f
2.若2)(0-='x f ，则=+--→)
21ln()()2(lim 000h x f h x f h （ ）； 3.设)()()(bx a g bx a g x f --+=，其中)(x g 在),(+∞-∞有定义，且在a x =可导，则)0(f '=（ ）；
4.已知xdx x df 2cos )(= ，则)(x f =（ ）
)(A x 2cos ； )(B x 2sin 2-； )(C x 2sin ； )(D x 2sin 2
1； 5.设⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0
,00 ,1)(1x x e x x f x
，求)0(-'f 及)0(+'f ，又)0(f '是否存在？ 二、解答题
1.设函数设⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+=1
,1 ,12)(2x b ax x x x f 在1=x 处可导，求b a ,的值
2.设函数)sin(ln 3x x y -=，求y '
3.设函数x x y tan = ()0>x ，求dy
4.设)(x f 是定义在R 上的函数，且对任何R x x ∈21,都有12()f x x +)()(21x f x f =，若2)0(='f ，试求)(x f '.
5.设()()
21ln 1arctan x x x x f +++=，求()x f '． 6.已知)(x ϕ可导，)](arctan[)(2x x f ϕ=，求)(x f '，)(x f ''
7.求分段函数()⎪⎩
⎪⎨⎧>-≤≤<=1,210,0,23x x x x x x x f 的导数()x f '。
8.设参数方程为()⎩
⎨⎧-=+=t t y t x arctan 1ln 2 ，求22dx y d ． 9.)
1(1x x y -=,求)(n y 10.用微分近似计算公式求05.0e 的近似值．
11. 设arctan .y x =
（1）证明它满足方程2'''(1)20;x y xy ++=（2）求()
0.n x y =
12.（1）举出一个连续函数，它仅在点12,,n a a a 处不可导；（2）举出一个函数，它仅在点12,,n a a a 处不可导.
13.设ψϕ,为可导函数，)
()(arctan x x y ψϕ=，求y '。
