用二次函数解决几何问题(选讲)

二次函数与几何交点问题1(2023·黑龙江大庆·中考真题)如图，二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于A ，B 两点，且自变量x 的部分取值与对应函数值y 如下表：x ⋯-101234⋯y⋯-3-4-35⋯备用图(1)求二次函数y =ax 2+bx +c 的表达式；(3)若将线段AB 先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的线段与二次函数y =1t(ax 2+bx +c )的图象只有一个交点，其中t 为常数，请直接写出t 的取值范围．【详解】(1)解：由表格可知，二次函数y =ax 2+bx +c 的图象经过点-1,0 ，0,-3 ，1,-4 ，代入y =ax 2+bx +c 得到a -b +c =0c =-3a +b +c =-4 ，解得a =1b =-2c =-3，∴二次函数y =ax 2+bx +c 的表达式为y =x 2-2x -3；(3)由表格可知点A -1,0 、B 3,0 ，将线段AB 先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到A 0,3 、B 4,3 ，由题意可得，二次函数y =1t (x 2-2x -3)=1t x -1 2-4t ，与线段A B 只有一个交点，当t >0时，抛物线y =1t (x 2-2x -3)=1t x -1 2-4t 开口向上，顶点1,-4t在A B 下方，当x =4时，1t(x 2-2x -3)≥y B ，即-3t<3，解得t ≤53，∴t ≤53，当x =0时，1t (x 2-2x -3)<y A，即-3t<3，解得t >-1，∴0<t≤53，此时满足题意，当t<0时，抛物线y=1t(x2-2x-3)=1tx-12-4t开口向下，顶点1,-4t在A B 上时，-4t=3，解得t=-4 3，此时满足题意，将点A 0,3代入y=1t(x2-2x-3)得到3=-3t，解得t=-1，将点B 4,3代入y=1t(x2-2x-3)得到3=1t(16-8-3)，解得t=53，∴-1<t<0，此时满足题意，综上可知，-1<t≤53且t≠0或t=-43．2(2023·四川德阳·中考真题)已知：在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A(-4,0)，B(2,0)，与y 轴交于点C(0,-4)．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，如果把抛物线x轴下方的部分沿x轴翻折180°，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象．当平面内的直线y=kx+6与新图象有三个公共点时，求k的值；【详解】(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，∵C(0,-4)，∴c=-4，y=ax2+bx-4，把A(-4,0)，B(2,0)代入y=ax2+bx+c，得：16a-4b-4=0 4a+2b-4=0，解得：a=12 b=1，∴抛物线的解析式为y=12x2+x-4(2)∵直线表达式y=kx+6，∴直线经过定点0,6，∴将过点0,6的直线旋转观察和新图象的公共点情况∵把抛物线x轴下方的部分沿x轴翻折180°，抛物线的解析式为y=12x2+x-4，∴新图象表达式为：-4<x<2时，y=-12x2-x+4；x≤-4或x≥2时，y=12x2+x-4，如下图当直线y=kx+6与翻折上去的部分抛物线相切时，和新图象有三个公共点，联立y=-12x2-x+4y=kx+6，得：-12x2-x+4=kx+6，整理得：x2+21+kx+4=0Δ=0，41+k2-16=0，41+k2=16，1+k=±2，k=±2-1，k1=2-1=1时，即如上图所示，符合题意，k2=-2-1=-3时，如下图所示，经过点B，不符合题意，故舍去，如下图，当直线y=kx+6经过点A时，和新图象有三个公共点，把A (-4,0)代入y =kx +6，得：-4k +6=0，解得：k =32，综上所述，当平面内的直线y =kx +6与新图象有三个公共点时，k 的值为1或323(2023·山东济南·中考真题)在平面直角坐标系xOy 中，正方形ABCD 的顶点A ，B 在x 轴上，C 2,3 ，D -1,3 ．抛物线y =ax 2-2ax +c a <0 与x 轴交于点E -2,0 和点F ．(1)如图1，若抛物线过点C ，求抛物线的表达式和点F 的坐标；(2)如图2，在(1)的条件下，连接CF ，作直线CE ，平移线段CF ，使点C 的对应点P 落在直线CE 上，点F 的对应点Q 落在抛物线上，求点Q 的坐标；(3)若抛物线y =ax 2-2ax +c a <0 与正方形ABCD 恰有两个交点，求a 的取值范围．【答案】(1)y =-38x 2+34x +3，F 4,0 ；(2)-4,-6 ；(3)-13<a <0或-35<a <-38【分析】(1)将点C 2,3 ，E -2,0 代入抛物线y =ax 2-2ax +c ，利用待定系数法求出抛物线的表达式，再令y =0，求出x 值，即可得到点F 的坐标；(2)设直线CE 的表达式为y =kx +b ，将点C 2,3 ，E -2,0 代入解析式，利用待定系数法求出直线CE 的表达式为：y =34x +32，设点Q t ,-38t 2+34t +3 ，根据平移的性质，得到点P t -2,-38t 2+34t +6 ，将点P 代入y =34x +32，求出t 的值，即可得到点Q 的坐标；(3)根据正方形和点C 的坐标，得出BC =3，OB =2，OA =1，将E -2,0 代入y =ax 2-2ax +c ，求得y =ax 2-2ax -8a =a x -1 2-9a ，进而得到顶点坐标1,-9a ，分两种情况讨论：①当抛物线顶点在正方形内部时，②当抛物线与直线BC 交点在点C 上方，且与直线AD 交点在点D 下方时，分别列出不等式组求解，即可得到答案．【详解】(1)解：∵抛物线y =ax 2-2ax +c 过点C 2,3 ，E -2,0 ∴4a -4a +c =34a +4a +c =0 ，解得：a =-38c =3 ，∴抛物线表达式为y =-38x 2+34x +3，当y =0时，-38x 2+34x +3=0，解得：x 1=-2(舍去)，x 2=4，∴F 4,0 ；(2)解：设直线CE 的表达式为y =kx +b ，∵直线过点C 2,3 ，E -2,0 ，∴2k +b =3-2k +b =0 ，解得：k =34b =32，∴直线CE 的表达式为：y =34x +32，∵点Q 在抛物线y =-38x 2+34x +3上，∴设点Q t ,-38t 2+34t +3 ，∵C 2,3 ，F 4,0 ，且PQ 由CF 平移得到，∴点Q 向左平移2个单位，向上平移3个单位得到点P t -2,-38t 2+34t +6 ，∵点P 在直线CE 上，∴将P t -2,-38t 2+34t +6 代入y =34x +32，∴34t -2 +32=-38t 2+34t +6，整理得：t 2=16，解得：t 1=-4，t 2=4(舍去)，当x =-4时，y =-38×-4 2+34×-4 +3=-6∴Q 点坐标为-4,-6 ；(3)解：∵四边形ABCD 是正方形，C 2,3 ，∴BC =AB =3，OB =2，∴OA =AB -OB =1，∴点A 和点D 的横坐标为-1，点B 和点C 的横坐标为2，将E -2,0 代入y =ax 2-2ax +c ，得：c =-8a ，∴y =ax 2-2ax -8a =a x -1 2-9a ，∴顶点坐标为1,-9a ，①如图，当抛物线顶点在正方形内部时，与正方形有两个交点，∴-9a <3-9a >0，解得：-13<a <0；②如图，当抛物线与直线BC 交点在点C 上方，且与直线AD 交点在点D 下方时，与正方形有两个交点，∴a ×22-2a ×2-8a >3a ×-1 2-2a ×-1 -8a <3 ，解得：-35<a <-38，综上所述，a 的取值范围为-13<a <0或-35<a <-38．4(2023·山东日照·中考真题)在平面直角坐标系xOy 内，抛物线y =-ax 2+5ax +2a >0 交y 轴于点C ，过点C 作x 轴的平行线交该抛物线于点D ．(1)求点C ，D 的坐标；(3)坐标平面内有两点E 1a,a +1,F 5,a +1 ，以线段EF 为边向上作正方形EFGH ．①若a =1，求正方形EFGH 的边与抛物线的所有交点坐标；②当正方形EFGH 的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x 轴的距离之差为52时，求a 的值．【分析】(1)先求出C 0，2 ，再求出抛物线对称轴，根据题意可知C 、D 关于抛物线对称轴对称，据此求出点D 的坐标即可；(3)分图3-1，图3-2，图3-3三种情况，利用到x轴的距离之差即为纵坐标之差结合正方形的性质列出方程求解即可．【详解】(1)解：在y=-ax2+5ax+2a>0中，当x=0时，y=2，∴C0，2，∵抛物线解析式为y=-ax2+5ax+2a>0，∴抛物线对称轴为直线x=-5a-2a =52，∵过点C作x轴的平行线交该抛物线于点D，∴C、D关于抛物线对称轴对称，∴D5，2；(3)解：①当a=1时，抛物线解析式为y=-x2+5x+2，E1，2，F5，2，∴EH=EF=FG=4，∴H1，6，G5，6，当x=1时，y=-12+5×1+2=6，∴抛物线y=-x2+5x+2恰好经过H1，6；∵抛物线对称轴为直线x=52，由对称性可知抛物线经过4，6，∴点4，6时抛物线与正方形的一个交点，又∵点F与点D重合，∴抛物线也经过点F5，2；综上所述，正方形EFGH的边与抛物线的所有交点坐标为1，6，4，6，5，2；②如图3-1所示，当抛物线与GH、GF分别交于T、D，∵当正方形EFGH的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为52，∴点T的纵坐标为2+2.5=4.5，∴5-1a+a+1=4.5，∴a2+1.5a-1=0，解得a=-2(舍去)或a=0.5；如图3-2所示，当抛物线与GH 、EF 分别交于T 、S ，∵当正方形EFGH 的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x 轴的距离之差为52，∴5-1a=2.5，解得a =0.4(舍去，因为此时点F 在点D 下方)如图3-3所示，当抛物线与EH 、EF 分别交于T 、S ，∵当正方形EFGH 的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x 轴的距离之差为52，∴-a ⋅1a 2+5a ⋅1a+2=a +1+2.5，∴7-1a=a +3.5，∴a 2-3.5a +1=0，解得a =7+334或a =7-334(舍去)；当x =52时，y =-ax 2+5ax +2=6.25a +2，当a =7+334时，6.25a +2>7-1a ，∴a =7+334不符合题意；综上所述，a =0.5．5(2022·吉林长春·中考真题)在平面直角坐标系中，抛物线y =x 2-bx (b 是常数)经过点2,0 ．点A 在抛物线上，且点A 的横坐标为m (m ≠0)．以点A 为中心，构造正方形PQMN ，PQ =2m ，且PQ ⊥x 轴．(1)求该抛物线对应的函数表达式：(2)若点B 是抛物线上一点，且在抛物线对称轴左侧．过点B 作x 轴的平行线交抛物线于另一点C ，连接BC ．当BC =4时，求点B 的坐标；(3)若m >0，当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y 随x 的增大而增大时，或者y 随x 的增大而减小时，求m 的取值范围；(4)当抛物线与正方形PQMN 的边只有2个交点，且交点的纵坐标之差为34时，直接写出m 的值．【答案】(1)y =x 2-2x (2)B -1,3(3)0<m ≤12或m ≥3(4)m =-38或m =12或m =32．【分析】(1)将点2,0 代入y =x 2-bx ，待定系数法求解析式即可求解；(2)设B m ,m 2-2m ，根据对称性可得C 2-m ,m 2-2m ，根据BC =4，即可求解；(3)根据题意分两种情况讨论，分别求得当正方形PQMN 点Q 在x 轴上时，此时M 与O 点重合，当PQ 经过抛物线的对称轴x =1时，进而观察图像即可求解；(4)根据题意分三种情况讨论，根据正方形的性质以及点的坐标位置，即可求解．【详解】(1)解：∵抛物线y =x 2-bx (b 是常数)经过点2,0 ∴4-2b =0解得b =2∴y =x 2-2x (2)如图，由y =x 2-2x =x -1 2-1则对称轴为直线x =1，设B m ,m 2-2m ，则C 2-m ,m 2-2m ∵BC =2-m -m =4解得m =-1∴B -1,3(3)∵点A 在抛物线上，且点A 的横坐标为m (m ≠0)．以点A 为中心，构造正方形PQMN ，PQ =2m ，且PQ ⊥x 轴∴MN =PQ =2m ，且M ,N 在y 轴上，如图，①当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，如图，当正方形PQMN点Q在x轴上时，此时M与O点重合，∵PN=PQ∴OP的解析式为y=x∴A m,m代入y=x2-2x，将A m,m即m2-2m-m=0解得m1=0,m2=3∵m>0∴A3,3观察图形可知，当m≥3时，抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大；②当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而减小时，当PQ经过抛物线的对称轴x=1时，∵MQ=PQ=2m ,m>0∴2m=1解得m=1 2，观察图形可知，当0<m≤12时，抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大；综上所述，m的取值范围为0<m≤12或m≥3(4)①如图，设正方形与抛物线的交点分别为E,F，当y E-y F=34时，则MN=3 4∵A是正方形PQMN的中心，A m,m2-2m∴x A =12MN=38即m=-3 8②如图，当A点在抛物线对称轴左侧，y轴右侧时，∵A m,m2-2m∴MN=2m∴y E=y A+12MN=y A+m=m2-2m+m=m2-m∵交点的纵坐标之差为34，∴F的纵坐标为m2-m-34∵F的横坐标为MQ=PQ=2m∴F 2m ,m 2-m -34∵F 在抛物线y =x 2-2x 上，∴m 2-m -34=2m 2-2×2m 解得m =12③当A 在抛物线对称轴的右侧时，正方形与抛物线的交点分别为O ，S ，设直线AM 交x 轴于点T ，如图，则y N =y S =34∴OM =OT =34即M 0,34 ,N 34,0 设直线MN 解析式为y =kx +b ，则34k +b =0b =34，解得k =-1b =34 ∴直线MN 解析式为y =-x +34联立y =x 2-2x解得x 1=32,x 2=-12(舍去)即A 的横坐标为32，即m =32，综上所述，m =-38或m =12或m =32．【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，二次函数的对称性，正方形的性质，掌握二次函数图像的性质是解题的关键．6(2022·湖南永州·中考真题)已知关于x 的函数y =ax 2+bx +c ．(1)若a =1，函数的图象经过点1,-4 和点2,1 ，求该函数的表达式和最小值；(2)若a =1，b =-2，c =m +1时，函数的图象与x 轴有交点，求m 的取值范围．(3)阅读下面材料：设a >0，函数图象与x 轴有两个不同的交点A ，B ，若A ，B 两点均在原点左侧，探究系数a ，b ，c 应满足的条件，根据函数图像，思考以下三个方面：①因为函数的图象与x 轴有两个不同的交点，所以Δ=b 2-4ac >0；②因为A ，B 两点在原点左侧，所以x =0对应图象上的点在x 轴上方，即c >0；③上述两个条件还不能确保A ，B 两点均在原点左侧，我们可以通过抛物线的对称轴位置来进一步限制抛物线的位置：即需-b 2a<0．综上所述，系数a ，b ，c 应满足的条件可归纳为：a >0Δ=b 2-4ac >0c >0-b 2a <0请根据上面阅读材料，类比解决下面问题：若函数y =ax 2-2x +3的图象在直线x =1的右侧与x 轴有且只有一个交点，求a 的取值范围．【答案】(1)y =x 2+2x +1或y =x +1 2，0(2)m ≤0(3)-1<a ≤0或a =13【分析】(1)利用待定系数法即可求得函数解析式，然后化顶点式即可求得最小值；(2)利用函数的图象与x 轴有交点△≥0，即可得出结论；(3)根据a >0、a =0、a <0，分别讨论，再利用△，x =1处函数值的正负、函数对称轴画出草图，结合图象分析即可．【详解】(1)根据题意，得1+b +c =-44+2b +c =1a =1解之，得a =1b =2c =-7，所以y =x 2+2x -7=x +1 2-8函数的表达式y =x 2+2x -7或y =x +1 2-8，当x =-1时，y 的最小值是-8．(2)根据题意，得y =x 2-2x +m +1而函数的图象与x 轴有交点，所以Δ=b 2-4ac =-2 2-4m +1 ≥0所以m ≤0．(3)函数y =ax 2-2x +3的图象图1：a <0-2 2-12a >0--22a <1a -2+3>0即a <0a <13a >1a >-1 ，所以，a 的值不存在．图2：a <0-2 2-12a >0--22a >1a -2+3>0即a <0a <13a <1a >-1 的值-1<a <0.图3：a <0-2 2-12a =0--22a >1a -2+3<0即a <0a =13a <1a <-1 所以a 的值不存在图4：a >0-2 2-12a >0--22a >1a -2+3<0即a >0a <13a <1a <-1 所以a 的值不存在．图5：a >0-2 2-12a =0--22a >1a -2+3>0即a >0a =13a <1a >-1所以a的值为1 3图6：y=-2x+3函数与x轴的交点为 1.5,0所以a的值为0成立．综上所述，a的取值范围是-1<a≤0或a=1 3．【点睛】本题考查二次函数的应用．(1)中掌握待定系数法是解题关键；(2)中掌握二次函数与x轴交点个数与△的关系是解题关键；(3)中需注意分类讨论，结合图象分析更加直观．7(2022·湖南衡阳·中考真题)如图，已知抛物线y=x2-x-2交x轴于A、B两点，将该抛物线位于x 轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W”，图象W交y轴于点C．(1)写出图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式；(2)若直线y=-x+b与图象W有三个交点，请结合图象，直接写出b的值；(3)P为x轴正半轴上一动点，过点P作PM∥y轴交直线BC于点M，交图象W于点N，是否存在这样的点P，使△CMN与△OBC相似？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=-x2+x+2-1<x<2(2)b=2或b=3(3)存在，1,0或1+172,0或1+5,0【分析】(1)先求出点A、B、C坐标，再利用待定系数法求解函数关系式即可；(2)联立方程组，由判别式△=0求得b值，结合图象即可求解；(3)根据相似三角形的性质分∠CNM=90°和∠NCM=90°讨论求解即可．【详解】(1)解：由翻折可知：C0,2.令x2-x-2=0，解得：x1=-1，x2=2，∴A-1,0，B2,0，设图象W的解析式为y=a x+1x-2，代入C0,2，解得a=-1，∴对应函数关系式为y=-x+1x-2=-x2+x+2-1<x<2．(2)解：联立方程组y=-x+by=-x2+x+2 ，整理，得：x2-2x+b-2=0，由△=4-4(b-2)=0得：b=3，此时方程有两个相等的实数根，由图象可知，当b=2或b=3时，直线y=-x+b与图象W有三个交点；(3)解：存在．如图1，当CN∥OB时，△OBC∽△NMC，此时，N与C关于直线x=12对称，∴点N的横坐标为1，∴P1,0；如图2，当CN∥OB时，△OBC∽△NMC，此时，N点纵坐标为2，由x2-x-2=2，解得x1=1+172，x2=1-172(舍)，∴N的横坐标为1+172，所以P1+172,0 ；如图3，当∠NCM=90°时，△OBC∽△CMN，此时，直线CN的解析式为y=x+2，联立方程组：y=x+2y=x2-x-2，解得x1=1+5，x2=1-5(舍)，∴N的横坐标为1+5，所以P1+5,0，因此，综上所述：P点坐标为1,0或1+172,0或1+5,0．【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及翻折性质、待定系数法求二次函数解析式、二次函数与一次函数的图象交点问题、相似三角形的性质、解一元二次方程等知识，综合体现数形结合思想和分类讨论思想的运用，属于综合题型，有点难度．。

第八讲 二次函数与几何图形的运用一、知识梳理二次函数与三角形的综合运用：1、求面积及最值2、与三角形的综合运用3、与相似三角形的综合运用4、与四边形的综合运用二、例题例1：如图，已知抛物线y=﹣x 2+mx+3与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点B 的坐标为（3，0）（1）求m 的值及抛物线的顶点坐标．（2）点P 是抛物线对称轴l 上的一个动点，当PA+PC 的值最小时，求点P 的坐标．变式 1 如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0). （1）求该抛物线的解析式；（2）动点P 在x 轴上移动，当△PAE 是直角三角形时，求点P 的坐标.例2、如图，已知点A（0，2），B（2，2），C（﹣1，﹣2），抛物线F：y=x2﹣2mx+m2﹣2与直线x=﹣2交于点P．（1）当抛物线F经过点C时，求它的表达式；（2）设点P的纵坐标为y P，求y P的最小值，此时抛物线F上有两点（x1，y1），（x2，y2），且x1＜x2≤﹣2，比较y1与y2的大小；（3）当抛物线F与线段AB有公共点时，直接写出m的取值范围．例3：在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+2过B（﹣2，6），C（2，2）两点．（1）试求抛物线的解析式；（2）记抛物线顶点为D，求△BCD的面积；（3）若直线y=﹣x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B、C）部分有两个交点，求b的取值范围．例4：已知二次函数y=ax2﹣2ax+c（a＞0）的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交于A、B 两点，与y轴交于点C，它的顶点为P，直线CP与过点B且垂直于x轴的直线交于点D，且CP：PD=2：3（1）求A、B两点的坐标；（2）若tan∠PDB=，求这个二次函数的关系式．例5、如图1，二次函数y1=（x﹣2）（x﹣4）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），其对称轴l与x轴交于点C，它的顶点为点D．（1）写出点D的坐标．（2）点P在对称轴l上，位于点C上方，且CP=2CD，以P为顶点的二次函数y2=ax2+bx+c （a≠0）的图象过点A．①试说明二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点B；②点R在二次函数y1=（x﹣2）（x﹣4）的图象上，到x轴的距离为d，当点R的坐标为时，二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于2d；③如图2，已知0＜m＜2，过点M（0，m）作x轴的平行线，分别交二次函数y1=（x﹣2）（x ﹣4）、y2=ax2+bx+c（a≠0）的图象于点E、F、G、H（点E、G在对称轴l左侧），过点H 作x轴的垂线，垂足为点N，交二次函数y1=（x﹣2）（x﹣4）的图象于点Q，若△GHN∽△EHQ，求实数m的值．三、课堂练习1、如图，在Rt∠AOB的平分线ON上依次取点C，F，M，过点C作DE⊥OC，分别交OA，OB于点D，E，以FM为对角线作菱形FGMH.已知∠DFE＝∠GFH＝120°，FG＝FE.设OC＝x，图中阴影部分面积为y，则y与x之间的函数关系式是 ( )A．y＝32x2 B．y＝3x2 C．y＝23x2 D．y＝33x22、已知抛物线y=2x2+bx+c与直线y=﹣1只有一个公共点，且经过A（m﹣1，n）和B（m+3，n），过点A，B分别作x轴的垂线，垂足记为M，N，则四边形AMNB的周长为．3、直线y=kx+b与抛物线y=x2交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，当OA⊥OB时，直线AB 恒过一个定点，该定点坐标为．4、如图，抛物线y=ax2+bx﹣经过点A（1，0）和点B（5，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）以点A为圆心，作与直线BC相切的⊙A，请判断⊙A与y轴有怎样的位置关系，并说明理由；（3）在直线BC上方的抛物线上任取一点P，连接PB、PC，请问：△PBC的面积是否存在最大值？若存在，求出这个值和此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．5、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点坐标为（2，9），与y 轴交于点A （0，5），与x 轴交于点E 、B ． （1）求二次函数y=ax 2+bx+c 的表达式；（2）过点A 作AC 平行于x 轴，交抛物线于点C ，点P 为抛物线上的一点（点P 在AC 上方），作PD 平行与y 轴交AB 于点D ，问当点P 在何位置时，四边形APCD 的面积最大？并求出最大面积；（3）若点M 在抛物线上，点N 在其对称轴上，使得以A 、E 、N 、M 为顶点的四边形是平行四边形，且AE 为其一边，求点M 、N 的坐标．六、课后作业1、已知抛物线y=ax 2﹣3x+c （a ≠0）经过点（﹣2，4），则4a+c ﹣1= ．2、a 、b 、c 是实数，点A （a+1、b ）、B （a+2，c ）在二次函数y=x 2﹣2ax+3的图象上，则b 、c 的大小关系是b c （用“＞”或“＜”号填空）3、已知二次函数n mx x y ++=2的图像经过点()1,3-P ，对称轴是经过()0,1-且平行于y轴的直线。

二次函数在几何问题中的应用解析二次函数是一种常见的数学函数形式，它在几何问题中扮演了重要的角色。

本文将探讨二次函数在几何问题中的应用，并对其解析进行分析。

1. 抛物线的性质抛物线是二次函数的图像，其标准形式为y = ax² + bx + c。

在几何中，抛物线具有以下性质：- 对称轴：抛物线的对称轴是一个垂直于x轴的直线，过抛物线的顶点。

对称轴的方程可以通过求抛物线的顶点坐标得到。

- 顶点：抛物线的顶点是曲线的最高点或最低点，可以通过求导数等方法求得。

- 开口方向：抛物线的开口方向由二次项的系数决定。

若a>0，则抛物线开口向上；若a<0，则抛物线开口向下。

- 零点：抛物线与x轴的交点称为零点，可以通过解方程求得。

2. 抛物线在几何中的应用抛物线在几何问题中的应用广泛，以下是其中几个典型的应用示例。

2.1 求解最值问题抛物线的顶点即为其最值点，可通过二次函数的最值性质求解几何问题。

例如，在确定水平距离为d的情况下，求抛物线y = ax² + bx + c的最大值或最小值。

我们可以通过求导数找到使得导数为0的x坐标，再代入函数得到对应的y坐标。

2.2 确定几何形状抛物线的开口方向可以用来确定几何形状。

若抛物线开口向上，则形状类似一个U；若开口向下，则形状类似一个倒置的U。

这在建模物体的运动轨迹、桥梁设计等问题中有广泛的应用。

2.3 优化问题二次函数可以被用于解决优化问题。

例如，当我们需要绘制一个围起来面积最大的矩形时，可以通过分析矩形的边长与面积的关系，建立二次函数模型，并通过求解最值问题得到最大面积。

3. 示例分析假设有一块长为L的铁板，要制作一个没有顶盖的长方体盒子，使得盒子的体积最大。

设长方体的底边宽度为x，高度为h，由此可以得到体积函数V(x) = x( L - 2x )h。

我们可以通过建立函数模型并求解最值问题来解决这个几何问题。

对于函数V(x)，我们首先计算其导数V'(x)，然后令导数为0，解得x = L/4。

二次函数与几何的动点及最值、存在性问题目录题型01平行y轴动线段最大值与最小值问题题型02抛物线上的点到某一直线的距离问题题型03已知点关于直线对称点问题题型04特殊角度存在性问题题型05将军饮马模型解决存在性问题题型06二次函数中面积存在性问题题型07二次函数中等腰三角形存在性问题题型08二次函数中直角三角形存在性问题题型09二次函数中全等三角形存在性问题题型10二次函数中相似三角形存在性问题题型11二次函数中平行四边形存在性问题题型12二次函数中矩形存在性问题题型13二次函数中菱形存在性问题题型14二次函数中正方形存在性问题二次函数常见存在性问题：(1)等线段问题：将动点坐标用函数解析式以“一母式”的结构表示出来，再利用点到点或点到直线的距离公式列出方程或方程组，然后解出参数的值，即可以将线段表示出来.【说明】在平面直角坐标系中该点在某一函数图像上，设该点的横坐标为m，则可用含m字母的函数解析式来表示该点的纵坐标，简称“设横表纵”或“一母式”.(2)平行y轴动线段最大值与最小值问题：将动点坐标用函数解析式以“一母式”的结构表示出来，再用纵坐标的较大值减去较小值，再利用二次函数的性质求出动线段的最大值或最小值.(3)求已知点关于直线对称点问题：先求出直线解析式，再利用两直线垂直的性质(两直线垂直，斜率之积等于-1)求出已知点所在直线的斜率及解析式，最后用中点坐标公式即可求出对称点的坐标.(4)“抛物线上是否存在一点，使其到某一直线的距离为最值”的问题：常常利用直线方程与二次函数解析式联立方程组，求出切点坐标，运用点到直线的距离公式进行求解.(5)二次函数与一次函数、特殊图形、旋转及特殊角度综合：图形或一次函数与x 轴的角度特殊化，利用与角度有关知识点求解函数图像上的点，结合动点的活动范围，求已知点与动点是否构成新的特殊图形.2.二次函数与三角形综合(1)将军饮马问题:本考点主要分为两类：①在定直线上是否存在点到两定点的距离之和最小;②三角形周长最小或最大的问题，主要运用的就是二次函数具有对称性.(2)不规则三角形面积最大或最小值问题:利用割补法将不规则三角形分割成两个或以上的三角形或四边形，在利用“一母式”将动点坐标表示出来，作线段差，用线段差来表示三角形的底或高，用面积公式求出各部分面积，各部分面积之和就是所求三角形的面积.将三角形的面积用二次函数的结构表示出来，再利用二次函数的性质求出面积的最值及动点坐标.(3)与等腰三角形、直角三角形的综合问题:对于此类问题，我们可以利用两圆一线或两线一圆的基本模型来进行计算.问题分情况找点画图解法等腰三角形已知点A ，B 和直线l ，在l 上求点P ，使△PAB 为等腰三角形以AB为腰分别以点A ，B 为圆心，以AB 长为半径画圆，与已知直线的交点P 1，P 2，P 4，P 5即为所求分别表示出点A ，B ，P 的坐标，再表示出线段AB ，BP ，AP 的长度，由①AB =AP ；②AB =BP ；③BP =AP 列方程解出坐标以AB 为底作线段AB 的垂直平分线，与已知直线的交点P 3即为所求分别表示出点A ，B ，P 的坐标，再表示出线段AB ，BP ，AP 的长度，由①AB =AP ；②AB =BP ；③BP =AP 列方程解出坐标问题分情况找点画图解法直角三角形已知点A ，B 和直线l ，在l 上求点P ，使△PAB 为直角三角形以AB为直角边分别过点A ，B 作AB 的垂线，与已知直线的交点P 1，P 4即为所求分别表示出点A ，B ，P 的坐标，再表示出线段AB ，BP ，AP 的长度，由①AB 2=BP 2+AP 2；②BP 2=AB 2+AP 2；③AP 2=AB 2+BP 2列方程解出坐标以AB 为斜边以AB 的中点Q 为圆心，QA 为半径作圆，与已知直线的交点P 2，P 3即为所求注：其他常见解题思路有：①作垂直，构造“三垂直”模型，利用相似列比例关系得方程求解；②平移垂线法：若以AB 为直角边，且AB 的一条垂线的解析式易求(通常为过原点O 与AB 垂直的直线)，可将这条直线分别平移至过点A 或点B 得到相应解析式，再联立方程求解．(4)与全等三角形、相似三角形的综合问题:在没有指定对应点的情况下，理论上有六种情况需要讨论，但在实际情况中，通常不会超过四种，要注意边角关系，积极分类讨论来进行计算.情况一探究三角形相似的存在性问题的一般思路：解答三角形相似的存在性问题时，要具备分类讨论思想及数形结合思想，要先找出三角形相似的分类标准，一般涉及动态问题要以静制动，动中求静，具体如下：①假设结论成立，分情况讨论．探究三角形相似时，往往没有明确指出两个三角形的对应点(尤其是以文字形式出现求证两个三角形相似的题目)，或者涉及动点问题，因动点问题中点的位置的不确定，此时应考虑不同的对应关系，分情况讨论；②确定分类标准．在分类时，先要找出分类的标准，看两个相似三角形是否有对应相等的角，若有，找出对应相等的角后，再根据其他角进行分类讨论来确定相似三角形成立的条件；若没有，则分别按三种角对应来分类讨论；③建立关系式，并计算．由相似三角形列出相应的比例式，将比例式中的线段用所设点的坐标表示出来(其长度多借助勾股定理运算)，整理可得一元一次方程或者一元二次方程，解方程可得字母的值，再通过计算得出相应的点的坐标．情况二探究全等三角形的存在性问题的思路与探究相似三角形的存在性问题类似，但是除了要找角相等外，还至少要找一组对应边相等．3.二次函数与四边形的综合问题特殊四边形的探究问题解题步骤如下：①先假设结论成立；②设出点坐标，求边长；③建立关系式，并计算．若四边形的四个顶点位置已确定，则直接利用四边形边的性质进行计算；若四边形的四个顶点位置不确定，需分情况讨论：a.探究平行四边形：①以已知边为平行四边形的某条边，画出所有的符合条件的图形后，利用平行四边形的对边相等进行计算；②以已知边为平行四边形的对角线，画出所有的符合条件的图形后，利用平行四边形对角线互相平分的性质进行计算；③若平行四边形的各顶点位置不确定，需分情况讨论，常以已知的一边作为一边或对角线分情况讨论．b.探究菱形：①已知三个定点去求未知点坐标；②已知两个定点去求未知点坐标，一般会用到菱形的对角线互相垂直平分、四边相等的性质列关系式．c.探究正方形：利用正方形对角线互相垂直平分且相等的性质进行计算，一般是分别计算出两条对角线的长度，令其相等，得到方程再求解．d.探究矩形：利用矩形对边相等、对角线相等列等量关系式求解；或根据邻边垂直，利用勾股定理列关系式求解.题型01平行y轴动线段最大值与最小值问题1(2023·广东东莞·一模)如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC =3，顶点为D．(1)求此函数的关系式；(2)在AC 下方的抛物线上有一点N ，过点N 作直线l ∥y 轴，交AC 与点M ，当点N 坐标为多少时，线段MN 的长度最大？最大是多少？(3)在对称轴上有一点K ，在抛物线上有一点L ，若使A ，B ，K ，L 为顶点形成平行四边形，求出K ，L 点的坐标．(4)在y 轴上是否存在一点E ，使△ADE 为直角三角形，若存在，直接写出点E 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1)y =x 2+2x -3(2)当N 的坐标为-32,-154 ，MN 有最大值94(3)K -1，4 ，L -1，-4 或K -1，12 ，L -5，12 或K -1，12 ，L 3，12(4)存在，点E 的坐标为0,32 或0,-72或0,-1 或0,-3【分析】(1)由OA =OC =3求得A -3,0 ,C 0，-3 ,再分别代入抛物线解析式y =x 2+bx +c ，得到以b ，c 为未知数的二元一次方程组，求出b ，c 的值即可；(2)求出直线AC 的解析式，再设出M 、N 的坐标，把MN 表示成二次函数，配方即可；(3)根据平行四边形的性质，以AB 为边，以AB 为对角线，分类讨论即可；(4)设出E 的坐标，分别表示出△ADE 的平分，再分每一条都可能为斜边，分类讨论即可．【详解】(1)∵抛物线y =x 2+bx +c 经过点A ，点C ，且OA =OC =3,∴A -3,0 ,C 0，-3 ,∴将其分别代入抛物线解析式，得c =-39-3b +c =0，解得b =2c =-3 ．故此抛物线的函数表达式为：y =x 2+2x -3；(2)设直线AC 的解析式为y =kx +t ，将A -3,0 ,C 0，-3 代入，得t =-3-3k +t =0 ，解得k =-1t =-3 ，∴直线AC 的解析式为y =-x -3，设N 的坐标为n ，n 2+2n -3 ，则M n ，-n -3 ，∴MN =-n -3-n 2+2n -3 =-n 2-3n =-n +32 +94，∵-1<0，∴当n =-32时，MN 有最大值，为94，把n =-32代入抛物线得，N 的坐标为-32,-154，当N 的坐标为-32,-154 ，MN 有最大值94；(3)①当以AB 为对角线时，根据平行四边形对角线互相平分，∴KL 必过-1,0 ，∴L 必在抛物线上的顶点D 处，∵y =x 2+2x -3=x +1 2-4，∴K -1，4 ，L -1，-4②当以AB 为边时，AB =KL =4，∵K 在对称轴上x =-1，∴L 的横坐标为3或-5，代入抛物线得L -5,12 或L 3,12 ，此时K 都为-1，12 ，综上，K -1，4 ，L -1，-4 或K -1，12 ，L -5，12 或K -1，12 ，L 3，12 ；(4)存在，由y =x 2+2x -3=x +1 2-4，得抛物线顶点坐标为D -1,-4 ∵A -3，0 ，∴AD 2=-3+1 2+0+4 2=20，设E 0，m ，则AE 2=-3-0 2+0-m 2=9+m 2，DE 2=-1-0 2+-4-m 2=17+m 2+8m ，①AE 为斜边，由AE 2=AD 2+DE 2得：9+m 2=20+17+m 2+8m ，解得：m =-72，②DE 为斜边，由DE 2=AD 2+AE 2得：9+m 2+20=17+m 2+8m ，解得：m =32，③AD 为斜边，由AD 2=ED 2+AE 2得：20=17+m 2+8m +9+m 2，解得：m =-1或-3，∴点E 的坐标为0,32 或0,-72或0,-1 或0,-3 ．【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象与性质，平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，会运用待定系数法列方程组，两点间距离公式求MN 的长，由平行四边形的性质判定边相等，运用勾股定理列方程．2(2023·河南南阳·统考一模)如图，抛物线与x 轴相交于点A 、B (点A 在点B 的左侧)，与y 轴的交于点C 0，-4 ，点P 是第三象限内抛物线上的一个动点，设点P 的横坐标为m ，过点P 作直线PD ⊥x 轴于点D ，作直线AC 交PD 于点E ．已知抛物线的顶点P 坐标为-3，-254．(1)求抛物线的解析式；(2)求点A 、B 的坐标和直线AC 的解析式；(3)求当线段CP =CE 时m 的值；(4)连接BC ，过点P 作直线l ∥BC 交y 轴于点F ，试探究：在点P 运动过程中是否存在m ，使得CE =DF ，若存在直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y =14x 2+32x -4(2)A -8，0 ，B 2，0 ，y =-12x -4(3)-4(4)存在，m =2-25或m =-4【分析】(1)运用待定系数法即可求得抛物线的解析式；(2)令y =0，解方程即可求得点A 、B 的坐标，再运用待定系数法即可求得直线AC 的解析式；(3)过点C 作CF ⊥PE 于点F ，根据等腰三角形的性质可得点F 是PE 的中点，设P m ,14m 2+32m -4 ，则E m ，-12m -4 ，可得F m ，18m 2+12m -4 ，再由点F 与点C 的纵坐标相同建立方程求解即可；(4)过C 作CH ⊥PD 于H ，设P m ,14m 2+32m -4 ，由PF ∥BC ，可得直线PF 解析式为y =2x +14m 2-12m -4，进而可得OF =14m 2-12m -4 ，再证得Rt △CHE ≅Rt △DOF HL ，得出∠HCE =∠FDO ，进而推出∠FDO =∠CAO ，即tan ∠FDO =tan ∠CAO ，据此建立方程求解即可．【详解】(1)解：∵抛物线的顶点坐标为-3，-254∴设抛物线的解析式为y =a x +3 2-254，把点C 0，-4 代入，得：-4=9a -254，解得：a =14，∴y =14x +3 2-254=14x 2+32x -4，∴该抛物线的解析式为y =14x 2+32x -4．(2)解：令y =0，得14x 2+32x -4=0，解得：x 1=-8，x 2=2，∴A -8，0 ，B 2，0 ，，设直线AC 的解析式为y =kx +b ，则-8k +b =0b =-4 ，解得：k =-12b =-4 ，∴直线AC 的解析式为y =-12x -4．(3)解：如图，过点C 作CF ⊥PE 于点F ，∵CP =CE ，∴EF =PF ，即点F 是PE 的中点，设P m ,14m 2+32m -4 ，则E m ，-12m -4 ，∴F m ，18m 2+12m -4 ，∵PE ∥y 轴，CF ⊥PE ，∴CF ∥x 轴，∴18m 2+12m -4=-4，解得：m =-4或m =0(不符合题意，舍去)，∴m =-4．(4)解：存在m ，使得CE =DF ，理由如下：如图：过C 作CH ⊥PD 于H ，设P m,14m2+32m-4，由B2，0，C0，-4，由待定系数法可得直线BC解析式为y=2x-4，根据PF∥BC，设直线PF解析式为y=2x+c，将P m,14m2+32m-4代入得：1 4m2+32m-4=2m+c，∴c=14m2-12m-4，∴直线PF解析式为y=2x+14m2-12m-4，令x=0得y=14m2-12m-4，∴F0,14m2-12m-4，∴OF=14m2-12m-4，∵∠CHD=∠PDO=∠COD=90°，∴四边形CODH是矩形，∴CH=OD，∵CE=DF，∴Rt△CHE≅Rt△DOF HL，∴∠HCE=∠FDO，∵∠HCE=∠CAO，∴∠FDO=∠CAO，∴tan∠FDO=tan∠CAO，∴OF OD =OCOA，即14m2-12m-4-m=48=12，∴1 4m2-12m-4=-12m或14m2-12m-4=12m，解得：m=-4或m=4或m=2-25或m=2+25，∵P在第三象限，∴m=2-25或m=-4．【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式、二次函数综合应用、等腰三角形性质、矩形判定及性质、相似三角形判定及性质、解直角三角形等知识点，解题的关键是用含m的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．3(2023·山东聊城·统考三模)抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A3,0，与y轴交于点C0,3，点P 为抛物线上的动点．(2)若P 为直线AC 上方抛物线上的动点，作PH ∥x 轴交直线AC 于点H ，求PH 的最大值；(3)点N 为抛物线对称轴上的动点，是否存在点N ，使直线AC 垂直平分线段PN ？若存在，请直接写出点N 的纵坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)b =2，c =3(2)PH 取得最大值为94(3)存在，2-2或2+2【分析】(1)将坐标代入解析式，构建方程求解；(2)设PH 交y 轴于点M ，P m ,-m 2+2m +3 ，则PM =m ；待定系数法确定直线AC 的解析式为y =-x +3，从而确定PH =m -m 2-2m =-m 2+3m =-m -32 2+94，解得PH 最大值为94；(3)如图，设PN 与AC 交于点G ，可设直线PN 的解析式为y =x +p ，设点N (1,n )，求得y =x +(n -1)；联立y =-x +3y =x +(n -1) ，解得x =-n 2+2y =n 2+1，所以点P 的横坐标为2×-n 2+2 -1=-n +3，纵坐标为2×n2+1 -n =2，由二次函数解析式构建方程-(-n +3)2+2(-n +3)+3=2，解得n =2±2；【详解】(1)∵抛物线y =-x 2+bx +c 与x 轴交于点A 3,0 ，与y 轴交于点C 0,3 ，∴-9+3b +c =0c =3，解得：b =2c =3 ，∴b =2，c =3；(2)设PH 交y 轴于点M ，P m ,-m 2+2m +3 ，∴PM =m ，∵PH ∥x 轴，∴点H 的纵坐标为-m 2+2m +3，设直线AC 的解析式为y =kx +n ，∴3k +n =0n =3 ，解得：k =-1n =3 ，∴直线AC 的解析式为y =-x +3．∴-m 2+2m +3=-x +3，∴x =m 2-2m ，∴H m 2-2m ,-m 2+2m +3 ，∴PH =m -m 2-2m =-m 2+3m =-m -322+94，∴当m =32时，PH 取得最大值为94(3)存在点N ，使直线AC 垂直平分线段PN ，点N 的纵坐标为2-2或2+2如图，设PN 与AC 交于点G ，∵AC 垂直平分PN ，直线AC 的解析式为y =-x +3∴可设直线PN 的解析式为y =x +p 设点N (1,n )，则n =1+p ∴p =n -1，∴y =x +(n -1)联立y =-x +3y =x +(n -1) ，解得x =-n 2+2y =n 2+1∴点P 的横坐标为2×-n 2+2 -1=-n +3，纵坐标为2×n 2+1 -n =2∴-(-n +3)2+2(-n +3)+3=2，解得n =2±2∴点N 的纵坐标为2-2或2+2．【点睛】本题考查利用二次函数解析式及点坐标求待定参数、待定系数法确定函数解析式、二次函数极值及其它二次函数综合问题，利用直线间的位置关系、点线间的位置关系，融合方程的知识求解坐标是解题的关键．题型02抛物线上的点到某一直线的距离问题1(2023·广东梅州·统考二模)探究求新：已知抛物线G 1:y =14x 2+3x -2，将抛物线G 1平移可得到抛物线G 2:y =14x 2．(1)求抛物线G 1平移得到抛物线G 2的平移路径；(2)设T 0,t ，直线l ：y =-t ，是否存在这样的t ，使得抛物线G 2上任意一点到T 的距离等于到直线l 的距离？若存在，求出t 的值；若不存在，试说明理由；(3)设H 0,1 ，Q 1,8 ，M 为抛物线G 2上一动点，试求QM +MH 的最小值．参考公式：若点M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 为平面上两点，则有MN =x 1-x 22+y 1-y 2 2．【答案】(1)将G 1向左平移-6个单位，向上平移11个单位(2)存在，1(3)9【分析】(1)设G 1向左平移a 个单位，向上平移b 个单位得到函数G 2，列方程组即可求解；(2)设P x 0,x 204为抛物线G 2上的一点，根据题意列方程即可；(3)点H 坐标与(2)中t =1时的T 点重合，过点M 作MA ⊥l ，垂足为A ，如图所示，则有MH =MA ，当且仅当Q ,M ,A 三点共线时QM +MA 取得最小值．【详解】(1).解：设G 1向左平移a 个单位，向上平移b 个单位得到函数G 2，由平移法则可知14(x +a )2+3(x +a )-2+b =14x 2，整理可得14x 2+3+12a x +14a 2+3a -2+b =14x 2，可得方程组3+12a =014a 2+3a -2+b =0，解得a =-6b =11 ；∴平移路径为将G 1向左平移-6个单位，向上平移11个单位；(2)解：存在这样的t ，且t =1时满足条件，设P x 0,x 204为抛物线G 2上的一点，则点P 到直线l 的距离为x 204+t ，点P 到点T 距离为(x 0-0)2+x 204-t2，联立可得：x 204+t =(x 0-0)2+x 204-t2，两边同时平方合并同类项后可得x 20-x 20t =0解得：t =1；(3)解：点H 坐标与(2)中t =1时的T 点重合，作直线l ：y =-1，过点M 作MA ⊥直线l ，垂足为A ，如图所示，则有MH =MA ，此时QM +MH =QM +MA ，当且仅当Q ,M ,A 三点共线时QM +MA 取得最小值即QM +MA =QA =8-(-1)=9∴QM +MH 的最小值为9；【点睛】本题考查二次函数综合题，涉及到线段最小值、平移性质等，灵活运用所学知识是关键．2(2023·湖北宜昌·统考一模)如图，已知：点P 是直线l ：y =x -2上的一动点，其横坐标为m (m 是常数)，点M 是抛物线C ：y =x 2+2mx -2m +2的顶点．(1)求点M 的坐标；(用含m 的式子表示)(2)当点P 在直线l 运动时，抛物线C 始终经过一个定点N ，求点N 的坐标，并判断点N 是否是点M 的最高位置？(3)当点P 在直线l 运动时，点M 也随之运动，此时直线l 与抛物线C 有两个交点A ，B (A ，B 可以重合)，A ，B 两点到y 轴的距离之和为d ．①求m 的取值范围；②求d 的最小值．【答案】(1)M -m ,-m 2-2m +2(2)N (1,3)，点N 是点M 的最高位置(3)①m ≤-52或m ≥32；②d 取得最小值为2【分析】(1)将抛物线解析式写成顶点式即可求解；(2)根据解析式含有m 项的系数为0，得出当x =1时，y =3，即N (1,3)，根据二次函数的性质得出-m 2-2m +2=-m +1 2+3的最大值为3，即可得出点N 是点M 的最高位置；(3)①根据直线与抛物线有交点，联立方程，根据一元二次方程根的判别式大于等于0，求得m 的范围，即可求解；②设A ,B 的坐标分别为x 1,y 1 ,x 2,y 2 ，其中x 1<x 2，由①可知x 1,x 2是方程x 2+2mx -x -2m +4=0的两根，根据x 1+x 2=-2m +1，分情况讨论，求得d 是m 的一次函数，进而根据一次函数的性质即可求解．【详解】(1)解：y =x 2+2mx -2m +2=x +m 2-m 2-2m +2，∴顶点M -m ,-m 2-2m +2 ，(2)解：∵y =x 2+2mx -2m +2=x 2+2+2m x -1 ，∴当x =1时，y =3，抛物线C 始终经过一个定点1,3 ，即N (1,3)；∵M -m ,-m 2-2m +2 ，-m 2-2m +2=-m +1 2+3，∴M 的纵坐标最大值为3，∴点N 是点M 的最高位置；(3)解：①联立y =x -2y =x 2+2mx -2m +2 ，得x 2+2mx -x -2m +4=0，∵直线l 与抛物线C 有两个交点A ，B (A ，B 可以重合)，∴Δ=b 2-4ac =2m -1 2-4-2m +4 ，=4m 2+4m -15≥0，∵4m 2+4m -15=0，解得m 1=-52,m 2=32，∴当4m 2+4m -15≥0时，m ≤-52或m ≥32，②设A ,B 的坐标分别为x 1,y 1 ,x 2,y 2 ，其中x 1<x 2，由①可知x 1,x 2是方程x 2+2mx -x -2m +4=0的两根，∴x1+x 2=-2m +1，当m =-3时，如图所示，y A =0，当-3≤m ≤-52时，y 1≥0,y 2≥0，则d =x 1+x 2 =-2m +1 ，∵-2<0，∴当m =-52时，d 取得最小值为-2×-52 +1=5+1=6，当m ≥32时，d =-x 1+x 2 =--2m +1 =2m -1，∴当m =32时，d 取得最小值为2×32-1=2，综上所述，d 取得最小值为2．【点睛】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程与二次函数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．3(2023·云南楚雄·统考一模)抛物线y =x 2-2x -3交x 轴于A ，B 两点(A 在B 的左边)，C 是第一象限抛物线上一点，直线AC 交y 轴于点P ．(1)直接写出A ，B 两点的坐标；(2)如图①，当OP =OA 时，在抛物线上存在点D (异于点B )，使B ，D 两点到AC 的距离相等，求出所有满足条件的点D 的横坐标；(3)如图②，直线BP 交抛物线于另一点E ，连接CE 交y 轴于点F ，点C 的横坐标为m ，求FP OP 的值(用含m 的式子表示)．【答案】(1)A (-1,0)，B (3,0)(2)0或3-41或3+41(3)13m 【分析】(1)令y =0，解方程可得结论；(2)分两种情形：①若点D 在AC 的下方时，过点B 作AC 的平行线与抛物线交点即为D 1．②若点D 在AC 的上方时，点D 1关于点P 的对称点G (0,5)，过点G 作AC 的平行线交抛物线于点D 2，D 3，D 2，D 3符合条件．构建方程组分别求解即可；(3)设E 点的横坐标为n ，过点P 的直线的解析式为y =kx +b ，由y =kx +b y =x 2-2x -3 ，可得x 2-(2+k )x -3-b =0，设x 1，x 2是方程x 2-(2+k )x -3-b =0的两根，则x 1x 2=-3-b ，推出x A ⋅x C =x B ⋅x E =-3-b 可得n =-1-b 3，设直线CE 的解析式为y =px +q ，同法可得mn =-3-q 推出q =-mn -3，推出q =-(3+b )-1-b 3 -3=13b 2+2b ，推出OF =13b 2+b ，可得结论．【详解】(1)解：令y =0，得x 2-2x -3=0，解得：x =3或-1，∴A (-1,0)，B (3,0)；(2)∵OP =OA =1，∴P (0,1)，∴直线AC 的解析式为y =x +1．①若点D 在AC 的下方时，过点B 作AC 的平行线与抛物线交点即为D 1．∵B (3,0)，BD 1∥AC ，∴直线BD 1的解析式为y =x -3，由y =x -3y =x 2-2x -3，解得x =3y =0 或x =0y =-3 ，∴D 1(0,-3)，∴D 1的横坐标为0．②若点D 在AC 的上方时，点D 1关于点P 的对称点G (0,5)，过点G 作AC 的平行线l 交抛物线于点D 2，D 3，D 2，D 3符合条件．直线l 的解析式为y =x +5，由y =x +5y =x 2-2x -3 ，可得x 2-3x -8=0，解得：x =3-412或3+412，∴D 2，D 3的横坐标为3-412，3+412，综上所述，满足条件的点D 的横坐标为0，3-412，3+412．(3)设E 点的横坐标为n ，过点P 的直线的解析式为y =kx +b ，由y =kx +b y =x 2-2x -3，可得x 2-(2+k )x -3-b =0，设x 1，x 2是方程x 2-(2+k )x -3-b =0的两根，则x 1x 2=-3-b ，∴x A ⋅x C =x B ⋅x E =-3-b∵x A =-1，∴x C =3+b ，∴m =3+b ，∵x B =3，∴x E =-1-b 3，∴n =-1-b 3，设直线CE 的解析式为y =px +q ，同法可得mn =-3-q∴q =-mn -3，∴q =-(3+b )-1-b 3 -3=13b 2+2b ，∴OF =13b 2+2b ，∴FP OP=13b +1=13(m -3)+1=13m ．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，一元二次方程的根与系数的关系等知识，解题的关键是学会构建一次函数，构建方程组确定交点坐标，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．题型03已知点关于直线对称点问题1(2023·辽宁阜新·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y =-x 2+bx -c 的图象与x 轴交于点A (-3,0)和点B (1,0)，与y 轴交于点C ．(1)求这个二次函数的表达式．(2)如图1，二次函数图象的对称轴与直线AC :y =x +3交于点D ，若点M 是直线AC 上方抛物线上的一个动点，求△MCD 面积的最大值．(3)如图2，点P 是直线AC 上的一个动点，过点P 的直线l 与BC 平行，则在直线l 上是否存在点Q ，使点B 与点P 关于直线CQ 对称？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y =-x 2-2x +3；(2)S △MCD 最大=98；(3)Q 1-5，-5 或1+5，5 ．【分析】(1)根据抛物线的交点式直接得出结果；(2)作MQ ⊥AC 于Q ，作ME ⊥AB 于F ，交AC 于E ，先求出抛物线的对称轴，进而求得C ，D 坐标及CD 的长，从而得出过M 的直线y =x +m 与抛物线相切时，△MCD 的面积最大，根据x +m =-x 2-2x +3的△=0求得m 的值，进而求得M 的坐标，进一步求得CD 上的高MQ 的值，进一步得出结果；(3)分两种情形：当点P 在线段AC 上时，连接BP ，交CQ 于R ，设P (t ，t +3)，根据CP =CB 求得t 的值，可推出四边形BCPQ 是平行四边形，进而求得Q 点坐标；当点P 在AC 的延长线上时，同样方法得出结果．【详解】(1)解：由题意得，y =-(x +3)(x -1)=-x 2-2x +3；(2)解：如图1，作MQ ⊥AC 于Q ，作ME ⊥AB 于F ，交AC 于E ，∵OA =OC =3，∠AOC =90°，∴∠CAO =∠ACO =45°，∴∠MEQ =∠AEF =90°-∠CAO =45°，抛物线的对称轴是直线：x =-3+12=-1，∴y =x +3=-1+3=2，∴D (1,2)，∵C (0,3)，∴CD =2，故只需△MCD 的边CD 上的高最大时，△MCD 的面积最大，设过点M 与AC 平行的直线的解析式为：y =x +m ，当直线y =x +m 与抛物线相切时，△MCD 的面积最大，由x +m =-x 2-2x +3得，x 2+3x +(m -3)=0，由△=0得，32-4(m -3)=0得，m -3=94，∴x 2+3x +94=0，∴x 1=x 2=-32，∴y =--32 2-2×-32 +3=154，y =x +3=-32+3=32，∴ME =154-32=94，∴MQ =ME ⋅sin ∠MEQ =ME ⋅sin45°=94×22=928，∴S △MCD 最大=12×2×928=98；(3)解：如图2，当点P 在线段AC 上时，连接BP ，交CQ 于R ，∵点B 和点Q 关于CQ 对称，∴CP =CB ，设P (t ，t +3)，由CP 2=CB 2得，2t 2=10，∴t 1=-5，t 2=5(舍去)，∴P -5，3-5 ，∵PQ ∥BC ，∴CR =BR =1，∴CR =QR ，∴四边形BCPQ 是平行四边形，∵1+(-5)-0=1-5，0+(3-5)-3=-5，∴Q 1-5，-5 ；如图3，当点P 在AC 的延长线上时，由上可知：P 5，3+5 ，同理可得：Q 1+5，5 ，综上所述：Q 1-5，-5 或1+5，5 ．【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，一元二次方程的解法，平行四边形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是分类讨论．2(2023·四川甘孜·统考中考真题)已知抛物线y =x 2+bx +c 与x 轴相交于A -1，0 ，B 两点，与y 轴相交于点C 0，-3 ．(1)求b ，c 的值；(2)P 为第一象限抛物线上一点，△PBC 的面积与△ABC 的面积相等，求直线AP 的解析式；(3)在(2)的条件下，设E 是直线BC 上一点，点P 关于AE 的对称点为点P ，试探究，是否存在满足条件的点E ，使得点P 恰好落在直线BC 上，如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)b =-2,c =-3.(2)y =x +1(3)存在，点P 的坐标为1+21,-2+21 或1-21,-2-21【分析】(1)由待定系数法即可求解；(2)S △PBC =S △ABC 得到AP ∥BC ，即可求解；(3)由题意的：∠AEP =∠AEP ,P E =PE ，即可求解．【详解】(1)由题意，得1-b +c =0,c =-3.∴b =-2,c =-3.(2)由(1)得抛物线的解析式为y =x 2-2x -3．令y =0，则x 2-2x -3=0，得x 1=-1，x 2=3．∴B 点的坐标为3，0 ．∵S △PBC =S △ABC ，∴AP ∥BC ．∵B 3，0，C 0，-3 ，∵AP∥BC，∴可设直线AP的解析式为y=x+m．∵A(-1，0)在直线AP上，∴0=-1+m．∴m=1．∴直线AP的解析式为y=x+1．(3)设P点坐标为m，n．∵点P在直线y=x+1和抛物线y=x2-2x-3上，∴n=m+1，n=m2-2m-3．∴m+1=m2-2m-3．解得m1=4，m2=-1(舍去)．∴点P的坐标为4，5．由翻折，得∠AEP=∠AEP ,P E=PE．∵AP∥BC，∴∠PAE=∠AEP '．∴∠PAE=∠PEA．∴PE=PA=4+12=52．2+5-0设点E的坐标为t，t-3，则PE2=t-42．2+t-3-52=52∴t=6±21．当t=6+21时，点E的坐标为6+21,3+21．设P (s,s-3),由P E=AP，P E=PE=52得：s-6-212，2=522+s-3-3-21解得：s=1+21，则点P 的坐标为1+21,-2+21．当t=6-21时，同理可得，点P 的坐标为1-21,-2-21．综上所述，点P 的坐标为1+21,-2+21．或1-21,-2-21【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，二次函数的性质，此题题型较好，综合性比较强，用的数学思想是分类讨论和数形结合的思想．3(2023·江苏连云港·连云港市新海实验中学校考二模)如图，“爱心”图案是由抛物线y=-x2+m的一部分及其关于直线y=-x的对称图形组成，点E、F是“爱心”图案与其对称轴的两个交点，点A、B、C、D是该图案与坐标轴的交点，且点D的坐标为6,0．(1)求m 的值及AC 的长；(2)求EF 的长；(3)若点P 是该图案上的一动点，点P 、点Q 关于直线y =-x 对称，连接PQ ，求PQ 的最大值及此时Q 点的坐标．【答案】(1)m =6，AC =6+6(2)52(3)2542，Q -234,-12【分析】(1)用待定系数法求得m 与抛物线的解析式，再求出抛物线与坐标轴的交点坐标，进而求得A 的坐标，根据对称性质求得B ，C 的坐标，即可求得结果；(2)将抛物线的解析式与直线EF 的解析式联立方程组进行求解，得到E ，F 的坐标，即可求得结果；(3)设P (m ,-m 2+6)，则Q (m 2-6,-m )，可得PQ =2×m -12 2-252 ，即求m -12 2-252的最值，根据二次函数的最值，即可得到m 的值，即可求得．【详解】(1)把D 6,0 代入y =-x 2+m 得0=-6+m解得m =6∴抛物线的解析式为：y =-x 2+6∴A 0,6根据对称性可得B -6,0 ，C 0,-6∴AC =AO +OC =6+6(2)联立y =-x y =-x 2+6解得x =3y =-3 或x =-2y =2 ∴E -2,2 ，F 3,-3∴EF =-2-3 2+2+3 2=52(3)设P (m ,-m 2+6)，则Q (m 2-6,-m )∴PQ =m -m 2-6 2+-m 2+6--m 2整理得PQ =2×m -12 2-254 ∵m -12 2≥0∴当m -12 2=0时，即m =12时，m -12 2-254 有最大值为254∴PQ 的最大值为2542∴12 2-6=-234故Q -234,-12【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，两点间的距离公式，求抛物线与一次函数的交点坐标，二次函数的最值等知识，解题的关键是掌握关于直线y =-x 对称的点坐标的关系．题型04特殊角度存在性问题1(2023·山西忻州·统考模拟预测)如图，抛物线y =18x 2+34x -2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ．P 是直线AC 下方抛物线上一个动点，过点P 作直线l ∥BC ，交AC 于点D ，过点P 作PE ⊥x 轴，垂足为E ，PE 交AC 于点F ．(1)直接写出A ，B ，C 三点的坐标，并求出直线AC 的函数表达式；(2)当线段PF 取最大值时，求△DPF 的面积；(3)试探究在拋物线的对称轴上是否存在点Q ，使得∠CAQ =45°？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)A -8,0 ，B 2,0 ，C 0,-2 ．y =-14x -2(2)85(3)存在，-3,3 或-3,-253【分析】(1)对于直线y =18x 2+34x -2，当x =0时，y =-2，即点C 0,-2 ，令18x 2+34x -2=0，则x =2或-8，则点A ，B 的坐标分别为-8,0 ，2,0 即求出三个点的坐标，设直线AC 的表达式为y =kx +b ，利用待定系数法求解即可；(2)设点P 的横坐标为m ，则P m ,18m 2+34m -2 ，F m ,-14m -2 ，表示出PF =-18m 2-m ，求出PF max =2，再表示出点D 到直线PF 的距离d =85，利用S △DPF =12⋅PF ⋅d 进行求解即可；(3)由抛物线的表达式知，其对称轴为x =-3，当点Q 在x 轴上方时，设抛物线的对称轴交x 轴于点N ，交AC 于H ，故点Q 作QT ⊥AC 于点T ，在△AQH 中,∠CAQ =45°，tan ∠QHA =4，用解直角三角形的方法求出QH =174，即可求出Q 点坐标，当点Q Q 在x 轴上方时，直线AQ 的表达式为y =35x +8 ，当∠CAQ =45°时，AQ ⊥AQ ，即可求解．【详解】(1)解：对于抛物线y =18x 2+34x -2，当x =0时，y =-2，即点C 0,-2 ，令18x 2+34x -2=0，则x =2或-8，则点A ，B 的坐标分别为-8,0 ，2,0 ，即点A ，B ，C 三点的坐标分别为-8,0 ，2,0 ，0,-2 ，设直线AC 的表达式为y =kx +b ，则-8k +b =0b =-2 ，解得k =-14b =-2 ，∴直线AC 的函数表达式为y =-14x -2；(2)设点P 的横坐标为m ，则P m ,18m 2+34m -2 ，F m ,-14m -2 ，PF =-14m -2 -18m 2+34m -2 =-18m 2-m ，当m =--12×-18 =-4时，PF 最大，PF max =-18×(-4)2--4 =2，此时，P -4,-3 ，由B 2,0 ，C 0,-2 ，可得直线BC 的函数表达式为y =x -2，设直线l 的函数表达式为y =x +p ，将P -4,-3 代入可得p =1，∴直线l 的函数表达式为y =x +1，由y =-14x -2y =x +1 ，解得x =-125y =-75，∴D -125,-75 ，点D 到直线PF 的距离d =-125--4 =85，∴S △DPF =12⋅PF ⋅d =12×2×85=85．(3)存在，理由：由抛物线的表达式知，其对称轴为x =-3，当点Q 在x 轴上方时，如下图：设抛物线的对称轴交x 轴于点N ，交AC 于H ，故点Q 作QT ⊥AC 于点T ，则∠ACO =∠QHA ，则tan ∠ACO =tan ∠QHA =4，当x =3时，y =-14x -2=-54，则点H -3,-54 ，由点A ，H 的坐标得，AH =5174，在△AQH 中，∠CAQ =45°，tan ∠QHA =4，设TH =x ，则QT =4x ，则QH =17x ，则AH =AT +TH =5x =5174，则x =174，则QH =17x =174，则174-54=3，则点Q -3,3 ；当点Q Q 在x 轴上方时，直线AQ 的表达式为y =35x +8 ，当∠CAQ =45°时，AQ ⊥AQ ，则直线AQ 的表达式为y =-53x +8 ，当x =-3时，y =-5x +8 =-25，。

专项12 二次函数与几何综合-特殊三角形存在问题等腰三角形的存在性问题【方法1 几何法】“两圆一线”（1）以点A 为圆心，AB 为半径作圆，与x 轴的交点即为满足条件的点C ，有AB=AC ；（2）以点B 为圆心，AB 为半径作圆，与x 轴的交点即为满足条件的点C ，有BA=BC ；（3）作AB 的垂直平分线，与x 轴的交点即为满足条件的点C ，有CA=CB ．注意：若有重合的情况，则需排除．以点 C 1 为例，具体求点坐标：过点A 作AH ⊥x 轴交x 轴于点H ，则AH=1， 又32121131311==-=∴=HC AC ，()03211，坐标为故点-C 类似可求点 C 2 、C 3、C 4 ．关于点 C 5 考虑另一种方法．【方法2 代数法】点-线-方程表示点：设点C 5坐标为(m ,0)，又A （1,1）、B （4,3），表示线段：11-m 225+=）（AC 94-m 225+=）（BC 联立方程：914-m 1-m 22+=+）（）（，623m =解得：，），坐标为（故点06232C直角三角形的存在性【方法1 几何法】“两线一圆”（1）若∠A 为直角，过点 A 作 AB 的垂线，与 x 轴的交点即为所求点 C ；（2）若∠B 为直角，过点 B 作 AB 的垂线，与 x 轴的交点即为所求点 C ；（3）若∠C 为直角，以 AB 为直径作圆，与 x 轴的交点即为所求点 C ．（直径所对的圆周角为直角）如何求得点坐标？以C 2为例：构造三垂直．），坐标为（故代入得：坐标得、由易证0213232222C C C BN AM B A N MBBN AM BN AMB ===∆≈∆()），坐标为（，，坐标为故或故又即代入得：，设，坐标得、由易证求法相同，如下：、040231a ,4a ,3ab ,3ab 1N a,31,4333333343C C C C C C C C C C b bM BN AM B A NBM N AMNB AM ==+=======∆≈∆【方法2 代数法】点-线-方程23m 20352235110,m 135-m 1-m 35-m 11-m 22222122111=+=+=+=+==，解得：）代入得方程（，，，）表示线段：（）；，（）、，（），又坐标为（）表示点：设（：不妨来求下）（）（）（）（BC C C C A AB B A【考点1 等腰角形的存在性】【典例1】（2020•泰安）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c交x轴于点A （﹣4，0）、B（2，0），交y轴于点C（0，6），在y轴上有一点E（0，﹣2），连接AE．（1）求二次函数的表达式；（2）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝，（2）m＝时，△ADE的面积取得最大值为（3）点P坐标为：（﹣1，1），（﹣1，），（﹣1，﹣2）【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c经过点A（﹣4，0）、B（2，0），C（0，6），∴，解得，所以二次函数的解析式为：y＝，（2）y＝的对称轴为x＝﹣1，设P（﹣1，n），又E（0，﹣2），A（﹣4，0），可求P A2＝9+n2，PE2＝1+（n+2）2，AE2＝16+4＝20，当P A2＝PE2时，9+n2＝1+（n+2）2，解得，n＝1，此时P（﹣1，1）；当P A2＝AE2时，9+n2＝20，解得，n＝，此时点P坐标为（﹣1，）；当PE2＝AE2时，1+（n+2）2＝20，解得，n＝﹣2，此时点P坐标为：（﹣1，﹣2）．综上所述，P点的坐标为：（﹣1，1），（﹣1，），（﹣1，﹣2）．【变式1-2】（2020•贵港）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与线段BC 交于点M，连接PC．当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3 （2）①n＝时，PM最大＝②P（3﹣，2﹣4）或（2，﹣3）．【解答】解：（1）将A，B，C代入函数解析式，得，解得，这个二次函数的表达式y＝x2﹣2x﹣3；（2）解法一：当PM＝PC时，（﹣n2+3n）2＝n2+（n2﹣2n﹣3+3）2，解得n1＝n2＝0（不符合题意，舍），n3＝2，n2﹣2n﹣3＝﹣3，P（2，﹣3）．当PM＝MC时，（﹣n2+3n）2＝n2+（n﹣3+3）2，解得n1＝0（不符合题意，舍），n2＝3﹣，n3＝3+（不符合题意，舍），n2﹣2n﹣3＝2﹣4，P（3﹣，2﹣4）．综上所述：P（3﹣，2﹣4）或（2，﹣3）．解法二：当PM＝PC时，∵BC：y＝x﹣3∴∠ABC＝45°∵PH⊥AB∴∠BMH＝∠CMP＝45°∴PM＝PC时，△CPM为等腰直角三角形，CP∥x轴设P（n，n2﹣2n﹣3），则CP＝nMP＝﹣n2+3n∴n＝﹣n2+3n解得n＝0（舍去）或n＝2，∴P（2，﹣3）当PM＝CM时，设P（n，n2﹣2n﹣3），则＝﹣n2+3n＝﹣n2+3n∵n＞0∴n＝﹣n2+3n解得n＝3﹣∴P（3﹣，2﹣4）综上所述：P（3﹣，2﹣4）或（2，﹣3）【变式1-2】（2022•澄海区模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点C坐标为（0，3），对称轴为x＝1．点M为线段OB上的一个动点（不与两端点重合），过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC 于点Q．（1）求抛物线及直线BC的表达式；（2）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线对称轴为x＝1，点B与A（﹣1，0）关于直线x＝1对称，∴B（3，0），设y＝a（x﹣3）（x+1），把C（0，3）代入得：﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，∴y＝﹣（x﹣3）（x+1）＝﹣x2+2x+3，设直线BC的解析式为y＝kx+d，则，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，故抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，直线BC的解析式为y＝﹣x+3；（2）存在，设Q（m，﹣m+3）（0＜m＜3），∵A（﹣1，0），C（0，3），∴AC2＝OA2+OC2＝12+32＝10，AQ2＝（m+1）2+（﹣m+3）2＝2m2﹣4m+10，CQ2＝m2+m2＝2m2，∵以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形，∴AC＝AQ或AC＝CQ或AQ＝CQ，当AC＝AQ时，10＝2m2﹣4m+10，解得：m＝0（舍去）或m＝2，∴Q（2，1）；当AC＝CQ时，10＝2m2，解得：m＝﹣（舍去）或m＝，∴Q（，3﹣）；当AQ＝CQ时，2m2﹣4m+10＝2m2，解得：m＝，∴Q（，）；综上所述，点Q的坐标为（2，1）或（，3﹣）或（，）．【考点2 直角三角形的存在性】【典例2】（2021秋•建华区期末）抛物线y＝x2+bx+c经过A、B（1，0）、C（0，﹣3）三点．点D为抛物线的顶点，连接AD、AC、BC、DC．（1）求抛物线的解析式；（2）在y轴上是否存在一点E，使△ADE为直角三角形？若存在，请你直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过B（1，0）、C（0，﹣3），∴，解得，∴抛物线的解析式为：y＝x2+2x﹣3．（4）在y轴上存在点E，使△ADE为直角三角形，理由如下：∵抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴D（﹣1，﹣4），设E点坐标为（0，m），∴AE2＝m2+9，DE2＝m2+8m+17，AD2＝20，当∠EAD＝90°时，有AE2+AD2＝DE2，∴m2+9+20＝m2+8m+17，解得m＝，∴此时点E的坐标为（0，）；当∠ADE＝90°时，DE2+AD2＝AE2，m2+8m+17+20＝m2+9，解得m＝﹣，∴此时点E的坐标为（0，﹣）；当∠AED＝90°时，AE2+DE2＝AD2，m2+9+m2+8m+17＝20，解得m＝﹣1或m＝﹣3，∴此时点E的坐标为（0，﹣1）或（0，﹣3）．综上所述，符合题意的点E的坐标为（0，）或（0，﹣）或（0，﹣1）或（0，﹣3）．【变式2-1】（2022•灞桥区校级模拟）如图，抛物线与x轴交于点A（1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．（1）求二次函数的表达式及顶点坐标；（2）连接BC，在抛物线的对称轴上是否存在一点E，使△BCE是直角三角形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3），将点C（0，3）代入y＝a（x﹣1）（x﹣3），∴3a＝3，∴a＝1，∴y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3，∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴顶点为（2，﹣1）；（2）存在一点E，使△BCE是直角三角形，理由如下：∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的对称轴为直线x＝2，设E（2，t），∵△BCE是直角三角形，∴BE⊥CE，∵B（3，0），C（0，3），∴BC＝3，BE＝，CE＝，①当BC为斜边时，∴18＝（）2+（）2，解得t＝，∴E点坐标为（2，）或（2，）；②当BE为斜边时，∴18+（）2＝（）2，解得t＝5，∴E点坐标为（2，5）；③当CE为斜边时，∴18+（）2＝（）2，解得t＝﹣1，∴E点坐标为（2，﹣1）；综上所述：E点坐标为（2，）或（2，）或（2，5）或（2，﹣1）．【变式2-2】（2022•碑林区校级四模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝ax2+bx+c 交x轴于点A（﹣5，0），B（﹣1，0），交y轴于点C（0，5）．（1）求抛物线C1的表达式和顶点D的坐标．（2）将抛物线C1关于y轴对称的抛物线记作C2，点E为抛物线C2上一点若△DOE是以DO为直角边的直角三角形，求点E的坐标．【解答】解：（1）将点A（﹣5，0），B（﹣1，0），C（0，5）代入y＝ax2+bx+c，∴，解得，∴y＝x2+6x+5，∵y＝x2+6x+5＝（x+3）2﹣4，∴顶点D（﹣3，﹣4）；（2）设抛物线C2上任意一点（x，y），则（x，y）关于y轴对称的点为（﹣x，y），∵点（﹣x，y）在抛物线C1上，∴抛物线记作C2的解析式为y＝x2﹣6x+5，设E（t，t2﹣6t+5），过点D作DG⊥x轴交于点G，过点E作EH⊥x轴交于点H，∵∠DOE＝90°，∴∠GOD+∠HOE＝90°，∵∠GOD+∠GDO＝90°，∴∠HOE＝∠GDO，∴△GDO∽△HOE，∴＝，∵DG＝4，GO＝3，HE＝﹣t2+6t﹣5，OH＝t，∴＝，∴t＝4或t＝，∴E（4，﹣3）或E（，﹣）．【变式2-3】（2022•武功县模拟）如图，经过点A（2，6）的直线y＝x+m与y轴交于点B，以点A为顶点的抛物线经过点B，抛物线的对称轴为直线l．（1）求点B的坐标和抛物线的函数表达式；（2）在l右侧的抛物线上是否存在点P，使得以P、A、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵直线y＝x+m经过点A（2，6），∴2+m＝6，解得m＝4，即y＝x+4．令x＝0，得y＝4，即点B的坐标为（0，4）．∵点A（2，6）为抛物线的顶点，∴可设抛物线的函数表达式为y＝a（x﹣2）2+6（a≠0），将点B（0，4）代入，得4＝4a+6，解得，∴抛物线的函数表达式为．∴点B的坐标为（0，4），抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+2x+4；（2）∵点A（2，6）为抛物线的顶点，∴抛物线的对称轴l：x＝2．①当AB为该等腰三角形的底边时：如图，点P在P2的位置．过点A作AC⊥y轴于点C，过点P2作P2D⊥AC交CA的延长线于点D，作P2E⊥y轴于点E，连接P2A，P2B，则P2A＝P2B，∠D＝∠P2EB＝90°．∵A（2，6），B（0，4），AC⊥BC，∴AC＝BC＝2，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAB＝∠CBA．∵P2A＝P2B，∴∠P2AB＝∠P2BA，∴180°﹣∠CAB﹣∠P2AB＝180°﹣∠CBA﹣∠P2BA，即∠P2AD＝∠P2BE．在△P2AD和△P2BE中，∠D＝∠P2EB，∠P2AD＝∠P2BE，P2A＝P2B，∴△P2AD≌△P2BE（AAS），∴P2D＝P2E．设，则P2E＝m，，∴，解得（舍去）或，∴；②当AB为该等腰三角形的腰时，作点B关于l的对称点P1，由抛物线的对称性可知，AB＝AP1．∵B（0，4），抛物线的对称轴为直线x＝2，∴P1（4，4）．综上可知，在l右侧的抛物线上存在点P，使得以P、A、B为顶点的三角形是等腰三角形，点P的坐标为（4，4）或．【考点3 等腰直角三角形的存在性】【典例3】（2022•黔东南州一模）抛物线y＝ax2+bx﹣经过点（1，﹣1），现将一块等腰直角三角板ABC（∠ACB＝90°）按照如图的方式放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A、C坐标分别为（0，2）、（﹣1，0）．B点在抛物线y＝ax2+bx﹣图象上．（1）求点B的坐标：（2）求抛物的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）过点B作BD⊥x轴，垂足为D．∵∠BCD+∠ACO＝90°，∠ACO+∠CAO＝90°，∴∠BCD＝∠CAO，又∵∠BDC＝∠COA＝90°，CB＝AC，∴△BCD≌△CAO（AAS），∴BD＝OC＝1，CD＝OA＝2，∴点B的坐标为（﹣3，1）；（2）抛物线y＝ax2+bx﹣经过点（1，﹣1），点B（﹣3，1），则，解得，所以抛物线的解析式为y＝x2+x﹣；（3）假设存在点P，使得△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形：①若以点C为直角顶点；则延长BC至点P1，使得P1C＝BC，得到等腰直角三角形△ACP1，过点P1作P1M⊥x轴，∵CP1＝BC，∠MCP1＝∠BCD，∠P1MC＝∠BDC＝90°，∴△MP1C≌△DBC（AAS），∴CM＝CD＝2，P1M＝BD＝1，∵OC＝1，∴OM＝1，∴P1（1，﹣1）；②若以点A为直角顶点；则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2＝AC，得到等腰直角三角形△ACP2，过点P2作P2N⊥y轴，同理可证△AP2N≌△CAO，∴NP2＝OA＝2，AN＝OC＝1，∴点P2（2，1），③以A为直角顶点的等腰Rt△ACP的顶点P有两种情况．即过点A作直线L⊥AC，在直线L上截取AP＝AC时，点P可能在y轴右侧，即现在解答情况②的点P2；点P也可能在y轴左侧，即还有第③种情况的点P3．因此，然后过P3作P3G⊥y轴于G，同理：△AGP3≌△CAO，∴GP3＝OA＝2，AG＝OC＝1，∴P3为（﹣2，3）；经检验，点P1（1，﹣1）与在抛物线y＝x2+x﹣上，点P2（2，1）点P3（﹣2，3）都不在抛物线y＝x2+x﹣上．综上，存在，点P的坐标为（1，﹣1）．【变式1-1】（2022•兴宁区校级模拟）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点C（2，﹣3），且与x轴交于原点及点B（8，0），点A为抛物线的顶点．（1）求二次函数的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM是等腰三角形？如果存在，请求出点M的坐标．如果不存在，请说明理由；【解答】解：（1）由题意，解得：，∴二次函数的表达式为y＝x2﹣2x；（2）过点A作直线AF⊥x轴于点F，由（1）得y＝（x﹣4）2﹣4，∴抛物线的顶点A（4，﹣4），①AM＝BM，∵B（8，0），∴BF＝4，∵∠AFB＝90°，AF＝BF＝4，∴△ABF是等腰直角三角形，∴M在点F处，△ABM是等腰直角三角形，此时M为（4，0），②AB＝AM，由①得△ABF是等腰直角三角形，BF＝4，∴AB＝＝＝4，∴M为（4，﹣4﹣4）或（4，﹣4+4），③AB＝BM，∵AB＝BM，BF⊥AM，∴MF＝AF，∴M为（4，4），综上所述，M为（4，0），（4，﹣4﹣4）或（4，﹣4+4）或（4，4）；【变式3-2】（2022•禅城区二模）如图，抛物线经过原点O，对称轴为直线x＝2且与x轴交于点D，直线l：y＝﹣2x﹣1与y轴交于点A，与抛物线有且只有一个公共点B，并且点B在第四象限，直线l与直线x＝2交于点C．（1）连接AD，求证：AD⊥AC．（2）求抛物线的函数关系式．（3）在直线l上有一点动点P，抛物线上有一动点Q，当△PBQ是以PQ为斜边的等腰直角三角形时，直接写出此时点P的坐标．【解答】解：（1）如图1，过点C作CE⊥y轴于点E，则∠AEC＝∠DOA＝90°，∵直线y＝﹣2x﹣1与y轴交于点A，与直线x＝2交于点C，∴A（0，﹣1），C（2，﹣5），∴E（0，﹣5），∴OA＝1，OD＝2，CE＝2，AE＝4，∴＝，＝＝，∴＝，∵∠AEC＝∠DOA，∴△AEC∽△DOA，∴∠CAE＝∠ADO，∵∠ADO+∠DAO＝90°，∴∠CAE+∠DAO＝90°，∴∠DAC＝180°﹣（∠CAE+∠DAO）＝180°﹣90°＝90°，∴AD⊥AC．（2）设抛物线的函数关系式为y＝ax2+bx，∵对称轴为直线x＝2，∴＝2，∴b＝﹣4a，∴y＝ax2﹣4ax，由ax2﹣4ax＝﹣2x﹣1，整理得ax2+（2﹣4a）x+1＝0，∵直线y＝﹣2x﹣1与抛物线有且只有一个公共点B，∴Δ＝（2﹣4a）2﹣4a＝0，解得：a1＝，a2＝1，当a＝时，抛物线解析式为y＝x2﹣x，联立得x2﹣x＝﹣2x﹣1，解得：x1＝x2＝﹣2，∴B（﹣2，3）与点B在第四象限矛盾，故a＝不符合题意，舍去，当a＝1时，y＝x2﹣4x，联立得x2﹣4x＝﹣2x﹣1，解得：x1＝x2＝1，∴B（1，﹣3），点B在第四象限符合题意，∴a＝1，∴该抛物线的函数关系式为y＝x2﹣4x．（3）如图2，过点B作BQ⊥AB交抛物线于点Q，作GH∥x轴交y轴于点G，过点Q 作QH⊥GH，则∠AGB＝∠BHQ＝∠ABQ＝90°，∴∠ABG+∠QBH＝∠ABG+∠BAG＝90°，∴∠QBH＝∠BAG，∴△ABG∽△BQH，∴＝，设Q（t，t2﹣4t），∵A（0，﹣1），B（1，﹣3），∴AG＝2，BG＝1，BH＝t﹣1，QH＝t2﹣4t+3，∴＝，解得：t＝1（舍去）或t＝，∴BH＝﹣1＝，QH＝（）2﹣4×+3＝，过点B作EF∥y轴，过点P1作P1E⊥EF，过点P2作P2F⊥EF，∵△PBQ是以PQ为斜边的等腰直角三角形，∴P1B＝BQ＝P2B，∵∠P1BE+∠EBQ＝∠EBQ+∠QBH＝90°，∴∠P1BE＝∠QBH，∵∠BEP1＝∠BHQ＝90°，∴△BEP1≌△BHQ（AAS），∴EP1＝QH＝，BE＝BH＝，∴P1（﹣，﹣），同理可得：P2（，﹣），综上，点P的坐标为P1（﹣，﹣），P2（，﹣）．1．（2022•榆阳区一模）如图，已知抛物线y＝mx2+4x+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．直线y＝x﹣3经过B，C两点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）抛物线的顶点为M，在该抛物线的对称轴l上是否存在点P，使得以C，M，P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）y＝x﹣3中，令x＝0，则y＝﹣3，∴C（0，﹣3），令y＝0，则x＝3，∴B（3，0），将C（0，﹣3），B（3，0）代入y＝mx2+4x+n中，∴，解得，∴y＝﹣x2+4x﹣3；（2）存在点P，使得以C，M，P为顶点的三角形是等腰三角形，理由如下：∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，∴M（2，1），对称轴为直线x＝2，设P（2，t），∴MP＝|t﹣1|，MC＝2，CP＝，①当MP＝MC时，|t﹣1|＝2，∴t＝2+1或t＝﹣2+1，∴P（2，2+1）或（2，﹣2+1）；②当MP＝CP时，|t﹣1|＝，解得t＝﹣，∴P（2，﹣）；③当MC＝CP时，2＝，解得t＝1（舍）或t＝﹣7，∴P（2，7）；综上所述：P点坐标为（2，2+1）或（2，﹣2+1）或（2，﹣）或（2，7）．2．（2022•岚山区一模）已知抛物线y＝ax2+bx+8与x轴交于A（﹣3，0），B（8，0）两点，交y轴于点C，点P是抛物线上一个动点，且点P的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，将直线BC沿y轴向下平移5个单位，交x轴于点M，交y轴于点N．过点P作x轴的垂线，交直线MN于点D，是否存在一点P，使△BMD是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的m的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+8与x轴交于A（﹣3，0），B（8，0）两点，∴，解得，，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+8；（3）易证线BC的解析式为y＝﹣x+8，向下平移5个单位得到y＝﹣x+3，当y＝0时，x＝3，∴M（3，0），当x＝0时，y＝3，∴N（0，3），由题意得PD⊥MB，∵MB＝8﹣3＝5，D（m，﹣m+3），∴MD2＝（m﹣3）2+（﹣m+3）2，BD2＝（8﹣m）2+（﹣m+3）2，若△BMD是等腰三角形，可分三种情况：①当MB＝MD时，∴（m﹣3）2+（﹣m+3）2＝25，解得m1＝3+，m2＝3﹣，②当MB＝BD时，∴（8﹣m）2+（﹣m+3）2＝25，解得，m1＝3（舍去），m2＝8（舍去），③当MD+BD时，∴（8﹣m）2+（﹣m+3）2＝（m﹣3）2+（﹣m+3）2，解得，m＝5.5．综上所述，m的值为3+或3﹣或5.5时，△BMD是等腰三角形．3．（2022•兴宁区校级模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A、B，抛物线的对称轴交x 轴于点D，直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，且．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）对于直线y＝﹣x+3，令y＝0，即﹣x+3＝0，解得：x＝3，令x＝0，得y＝3，∴B（3，0），C（0，3），∵A为x轴负半轴上一点，且OA＝OB，∴A（﹣1，0）．将点A、B的坐标分别代入y＝﹣x2+bx+c中，得，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（3）存在．如图2，∵点P在x轴上，∴设P（m，0）．∵C（0，3），D（1，0），∴由勾股定理，得：CD2＝OC2+OD2＝32+12＝10，PD2＝（m﹣1）2，CP2＝OP2+OC2＝m2+32＝m2+9，分为三种情况讨论：①当CD＝PD时，CD2＝PD2，即10＝（m﹣1）2，解得m1＝1+，m2＝1﹣，此时点P的坐标为（1+，0）或（1﹣，0）；②当CD＝CP时，CD2＝CP2，即10＝m2+9，解得m1＝﹣1，m2＝1（不符合题意，舍去），此时点P的坐标为（﹣1，0）；③当PC＝PD时，PC2＝PD2，即m2+9＝（m﹣1）2，解得m＝﹣4，此时点P的坐标为（﹣4，0）．综上所述，在x轴上存在点P，使得△PDC为等腰三角形，满足条件的点P的坐标为（1+，0）或（1﹣，0）或（﹣1，0）或（﹣4，0）．4．（2022•鞍山模拟）抛物线与坐标轴交于A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，4），连接AC、BC．（1）求抛物线的解析式；（3）如图2，点E是抛物线上第一象限内对称轴右侧的一点，连接EC，点D是抛物线的对称轴上的一点，连接ED、CD，当△CED是以点E为顶点的等腰直角三角形时，直接写出点E的横坐标．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，∵抛物线y＝ax2+bx+c过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，4）三点，∴．解得：．∴抛物线对应的二次函数的解析式为y＝﹣x2+3x+4；（2）设G（x，﹣x2+3x+4），∵S△BHG＝S△ABG﹣S△ABH，S△AHC＝S△ABC﹣S△ABH，△BHG与△AHC的面积差为1，∵A（﹣1，0）、B（4，0），∴AB＝5，（3）∵y＝﹣x2+3x+4，∴抛物线对称轴为x＝﹣＝，，点E分别作EM⊥y轴于M，作EN⊥EM，过点D作DN⊥EN，垂足为N，∴∠CME＝∠DNE＝90°，∠MEN＝90°，∵△CED是以点E为顶点的等腰直角三角形，∴∠CED＝90°，∴∠CEM+∠MED＝∠DEN+∠MED＝90°，CE＝DE，∴∠CEM＝∠DEN，∴△EMC≌△END（AAS），∴CM＝DN，设E（m，﹣m2+3m+4）（m＞），∴4﹣（﹣m2+3m+4）＝m﹣，∴m＝或（不合题意，舍去），∴点E的横坐标为．5．（2022•渭滨区模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．（1）求抛物线的表达式；（2）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将A（﹣3，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+4，∴，解得，∴抛物线的表达式为：；（2）存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形，理由如下：令x＝0，则y＝4，∴点C（0，4），∵A（﹣3，0）、C（0，4），∴AC＝5，设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝﹣x+4，设点M（m，0），则点Q（m，﹣m+4），①当AC＝CQ时，过点Q作QE⊥y轴于点E，连接AQ，∵CQ2＝CE2+EQ2，即m2+[4﹣（﹣m+4）]2＝25，解得：舍去负值），∴点；②当AC＝AQ时，则AQ＝AC＝5，在Rt△AMQ中，由勾股定理得：[m﹣（﹣3）]2+（﹣m+4）2＝25，解得：m＝1或m＝0（舍去0），∴点Q（1，3）；③当CQ＝AQ时，则2m2＝[m﹣（﹣3）]2+（﹣m+4）2，解得：舍去）；综上所述，点Q的坐标为（1，3）或．31。

二次函数背景下的几何问题——线段最值问题线段最值问题是在二次函数背景下的一种几何问题，主要是求解一个线段的最大值或最小值。

这个问题可以通过二次函数的图像和相关的数学理论来解决。

在解决这类问题时，我们可以利用二次函数的性质和相关的数学技巧来找到线段的最值点，从而得出最值。

首先，我们来回顾一下二次函数的一般形式：f(x) = ax^2 + bx+ c，其中a、b、c都是常数且a不等于0。

根据二次函数的图像特点，我们知道它是一个抛物线，可以是开口向上（a>0）或开口向下（a<0）的。

对于线段最值问题，我们通常要确定线段的端点，然后找出其中的最大值或最小值点。

这可以通过以下步骤来完成：1.确定二次函数的图像形状：根据二次函数的参数a的值，确定抛物线是开口向上还是开口向下。

2.确定线段的端点：线段的端点可以是给定的数值，也可以通过求解二次函数的解来确定。

根据二次函数的性质，它的两个解（也就是x的值）对应着抛物线与x轴的交点，即抛物线的顶点和x轴的两个交点。

3.求解最值点：对于线段的最大值点，我们需要找到抛物线的顶点，并通过计算确定它的y坐标值。

通过二次函数的解析式，我们可以知道抛物线的顶点坐标是(-b/2a, f(-b/2a))。

同样的，对于线段的最小值点，我们也可以通过类似的方法来解决。

4.判断最值点是否在线段上：在找到最值点之后，我们需要判断它是否在给定的线段上。

这可以通过将最值点的x坐标值与线段的端点的x坐标值进行比较来实现。

如果最值点的x坐标值位于线段的端点之间，则最值点就在线段上。

通过以上步骤，我们可以很容易地求解线段的最值问题。

当然，在实际应用中，可能会碰到更复杂的情况，例如线段与其他二次函数曲线的交点等。

但是，通过理解二次函数的性质和运用相关的数学知识，我们可以应对这些情况并解决问题。

总结而言，线段最值问题是在二次函数背景下的一种几何问题，通过确定二次函数的图像形状、线段的端点、求解最值点和判断最值点是否在线段上，我们可以解决线段的最值问题。

专项11 二次函数与几何综合-面积问题【方法1直接法】一般以坐标轴上线段或以与轴平行的线段为底边【方法2 铅锤法】铅锤高水平宽⨯=21S 【方法3 其他面积方法】如图1，同底等高三角形的面积相等．平行线间的距离处处相等．如图2，同底三角形的面积比等于高的比．如图3，同高三角形的面积比等于底的比．如图1 如图2 如图3【方法4 利用相似性质】利用相似图形，面积比等于相似比的平方。

【方法1 铅锤法求面积】【典例1】（聊城）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0），点B（4，0），与y轴交于点C（0，8），连接BC．又已知位于y轴右侧且垂直于x轴的动直线l，沿x轴正方向从O运动到B（不含O点和B点），且分别交抛物线、线段BC以及x轴于点P，D，E．（1）求抛物线的表达式；（2）作PF⊥BC，垂足为F，当直线l运动时，求Rt△PFD面积的最大值．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+8 （2）【解答】解：（1）将点A、B、C的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+8；（2）在Rt△PFD中，∠PFD＝∠COB＝90°，∵l∥y轴，∴∠PDF＝∠OCB，∴Rt△PFD∽Rt△BCO，∴，∴S△PDF＝•S△BOC，而S△BOC＝OB•OC＝＝16，BC＝＝4，∴S△PDF＝•S△BOC＝PD2，即当PD取得最大值时，S△PDF最大，将B、C坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的表达式为：y＝﹣2x+8，设点P（m，﹣m2+2m+8），则点D（m，﹣2m+8），则PD＝﹣m2+2m+8+2m﹣8＝﹣（m﹣2）2+4，当m＝2时，PD的最大值为4，故当PD＝4时，∴S△PDF＝PD2＝【变式1-1】（娄底）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，且过点D（2，﹣3）．点P、Q是抛物线y＝ax2+bx+c上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在直线OD下方时，求△POD面积的最大值．【答案】（1）：y＝x2﹣2x﹣3 （2）①﹣m2+m+3 ②【解答】解：（1）函数的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3），将点D坐标代入上式并解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3…①；（2）设点P（m，m2﹣2m﹣3），①当点P在第三象限时，设直线PD与y轴交于点G，设点P（m，m2﹣2m﹣3），将点P、D的坐标代入一次函数表达式：y＝sx+t并解得：直线PD的表达式为：y＝mx﹣3﹣2m，则OG＝3+2m，S△POD＝×OG（x D﹣x P）＝（3+2m）（2﹣m）＝﹣m2+m+3，②当点P在第四象限时，设PD交y轴于点M，同理可得：S△POD＝×OM（x D﹣x P）＝﹣m2+m+3，综上，S△POD＝﹣m2+m+3，∵﹣1＜0，故S△POD有最大值，当m＝时，其最大值为；【变式1-2】（2021秋•龙江县校级期末）综合与探究如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式，连接BC，并求出直线BC的解析式；（2）请在抛物线的对称轴上找一点P，使AP+PC的值最小，此时点P的坐标是（，）；（3）点Q在第一象限的抛物线上，连接CQ，BQ，求出△BCQ面积的最大值．（4）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使得以A、C、M、N四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+4，得到，解得，∴y＝﹣x2+3x+4；在y＝﹣x2+3x+4中，令x＝0，则y＝4，∴C（0，4），设BC的解析式为y＝kx+b，∵B（4，0），C（0，4），∴，∴，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4；（2）如图1中，由题意A，B关于抛物线的对称轴直线x＝对称，连接BC交直线x＝于点P，连接P A，此时P A+PC的值最小，最小值为线段BC的长＝＝4，∵直线BC的解析式为y＝﹣x+4，∴x＝时，y＝﹣+4＝，∴此时P（，）．故答案为：（，）；（3）设Q（m，﹣m2+3m+4）过Q作QD⊥x轴，交BC于点D，则D（m，﹣m+4），∴QD＝（﹣m2+3m+4）﹣（﹣m+4）＝﹣m2+4m，∵B（4，0），∴OB＝4，，当m＝2时，S△BCQ取最大值，最大值为8，∴△BCQ面积的最大值为8；【变式1-2】（2022春•南岸区月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x 轴交于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴于点C，且OC＝3．（1）求该抛物线的解析式；（2）点P为直线BC下方抛物线上的一点，连接AC、BC、CP、BP，求四边形PCAB 的面积的最大值，以及此时点P的坐标；【解答】解：（1）∵OC＝3，∴C（0，﹣3），将点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c，得，解得，∴y＝x2﹣2x﹣3；（2）∵S四边形PCAB＝S△ABC+S△PBC，∴当S△PBC面积最大时，S四边形PCAB的面积最大，设BC的直线解析式y＝kx+b，∴，解得，∴y＝x﹣3，过点P作PQ⊥x轴交BC于点Q，设P（t，t2﹣2t﹣3），则Q（t，t﹣3），∴当PQ最大时，S△PBC面积最大，∴PQ＝t﹣3﹣t2+2t+3＝﹣t2+3t＝﹣（t﹣）2+，当t＝时，PQ取最大值，∴P（，﹣），∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），∴AB＝4，∴S四边形PCAB＝S△ABC+S△PBC＝×4×3+××3＝；【方法2 其他方法】【典例2】（深圳）如图抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），点C（0，3），且OB ＝OC．（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBP A的面积分为3：5两部分，求点P的坐标．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3 ；x＝1（2）P的坐标为（4，﹣5）或（8，﹣45）【解答】解：（1）∵OB＝OC，∴点B（3，0），则抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3）＝ax2﹣2ax﹣3a，故﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3…①，函数的对称轴为：x＝1；（2）如图，设直线CP交x轴于点E，直线CP把四边形CBP A的面积分为3：5两部分，又∵S△PCB：S△PCA＝EB×（y C﹣y P）：AE×（y C﹣y P）＝BE：AE，则BE：AE＝3：5或5：3，则AE＝或，即：点E的坐标为（，0）或（，0），将点E的坐标代入直线CP的表达式：y＝kx+3，解得：k＝﹣6或﹣2，故直线CP的表达式为：y＝﹣2x+3或y＝﹣6x+3…②联立①②并解得：x＝4或8（不合题意值已舍去），故点P的坐标为（4，﹣5）或（8，﹣45）．【变式2-1】（2021秋•合川区）如图，抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（6，0），与y轴交于点C，点P为第一象限内抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点D，交x轴于点E，连接PB．（1）求该抛物线的解析式；（2）当△PBD与△BDE的面积之比为1：2时，求点P的坐标；【答案】（1）y＝﹣x2+5x+6 （2）P（，）【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（6，0），∴，∴，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+5x+6；（2）∵抛物线y＝﹣x2+5x+6过点C，∴C（0，6），设直线BC的解析式为y＝kx+n，∴，∴，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+6，设P（m，﹣m2+5m+6），则D（m，﹣m+6），∴PE＝﹣m2+5m+6，DE＝﹣m+6，∵△PBD与△BDE的面积之比为1：2，∴PD：DE＝1：2，∴PE：DE＝3：2，∴3（﹣m+6）＝2（﹣m2+5m+6），解得，m2＝6（舍去），∴P（，）；【典例3】（淮安）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，D为顶点，其中点B的坐标为（5，0），点D的坐标为（1，3）．（1）求该二次函数的表达式；（2）试问在该二次函数图象上是否存在点G，使得△ADG的面积是△BDG的面积的？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝﹣（x﹣1）2+3（2）G的坐标为（0，）或（﹣15，﹣45）．【解答】解：（1）依题意，设二次函数的解析式为y＝a（x﹣1）2+3将点B代入得0＝a（5﹣1）2+3，得a＝﹣∴二次函数的表达式为：y＝﹣（x﹣1）2+3（2）存在点G，当点G在x轴的上方时，设直线DG交x轴于P，设P（t，0），作AE⊥DG于E，BF⊥DG于F．由题意：AE：BF＝3：5，∵BF∥AE，∴AP：BP＝AE：BF＝3：5，∴（﹣3﹣t）：（5﹣t）＝3：5，解得t＝﹣15，∴直线DG的解析式为y＝x+，由，解得或，∴G（0，）．当点G在x轴下方时，如图2所示，∵AO：OB＝3：5∴当点G在DO的延长线上时，存在点G使得S△ADG：S△BDG＝3：5，此时，DG的直线经过原点，设直线DG的解析式为y＝kx，将点D代入得k＝3，故y＝3x，则有整理得，（x﹣1）（x+15）＝0，得x1＝1（舍去），x2＝﹣15当x＝﹣15时，y＝﹣45，故点G为（﹣15，﹣45）．综上所述，点G的坐标为（0，）或（﹣15，﹣45）．【变式3】（2021秋•南阳）如图，对称轴为x＝﹣1的抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x 轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0）．（1）求点B的坐标．（2）已知a＝1，C为抛物线与y轴的交点．①求抛物线的解析式．②若点P在抛物线上，且S△POC＝4S△BOC，求点P的坐标．【答案】（1）点B的坐标为（1，0）（2）①y＝x2+2x﹣3②点P的坐标为（4，21）或（﹣4，5）【解答】解：（1）∵对称轴为直线x＝﹣1的抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，∴A、B两点关于直线x＝﹣1对称，∵点A的坐标为（﹣3，0），∴点B的坐标为（1，0）；（2）①a＝1时，∵抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，∴＝﹣1，解得b＝2，将B（1，0）代入y＝x2+2x+c，得1+2+c＝0，解得c＝﹣3，∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3；②∵抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3，∴抛物线与y轴的交点C的坐标为（0，﹣3），OC＝3，设P点坐标为（x，x2+2x﹣3），∵S△POC＝4S△BOC，∴×OC×|x|＝4××OC×OB，即×3×|x|＝4××3×1，∴|x|＝4，解得x＝±4，当x＝4时，x2+2x﹣3＝16+8﹣3＝21，当x＝﹣4时，x2+2x﹣3＝16﹣8﹣3＝5，∴点P的坐标为（4，21）或（﹣4，5）；1.（2021秋•日喀则市月考）如图，二次函数y＝﹣x2+4x+5的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，M为抛物线的顶点．（1）求M点的坐标；（2）求△MBC的面积；【解答】解：（1）y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，∴M（2，9）；（2）令y＝0，得﹣x2+4x+5＝0，解得x＝﹣1或x＝5，∴A（﹣1，0），B（5，0），令x＝0，得y＝﹣x2+4x+5＝5，∴C（0，5），过点M作ME⊥y轴于点E，∴S△MBC＝S四边形MBOE﹣S△MCE﹣S△BOC＝＝15；2．（2022•东方二模）如图，抛物线y＝x2+bx+c经过B（3，0）、C（0，﹣3）两点，与x 轴的另一个交点为A，顶点为D．（1）求该抛物线的解析式；（2）点E为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），当点E在直线BC的下方运动时，求△CBE的面积的最大值；【解答】解：（1）将B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c得：，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）连接CE、BE，经过点E作x轴的垂线FE，交直线BC于点F，设直线BC的解析式为y＝kx+m，将B，C两点的坐标代入得：，解得：，∴直线BC的解解析式为y＝x﹣3，设点F（x，x﹣3），点E（x，x2﹣2x﹣3），∴EF＝（x﹣3﹣x2+2x+3）＝﹣x2+3x，∴S△CBE＝S△CEF+S△BEF＝EF•OB＝（﹣x2+3x）＝﹣（x﹣）2+，∵a＝﹣＜0，且0＜x＜3，∴当x＝时，S△CBE有最大值，最大值是，此时E点坐标为（，﹣）；3．（2022•广东）如图，抛物线y＝x2+bx+c（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B 两点，A（1，0），AB＝4，点P为线段AB上的动点，过P作PQ∥BC交AC于点Q．（1）求该抛物线的解析式；（2）求△CPQ面积的最大值，并求此时P点坐标．【解答】（1）∵抛物线y＝x2+bx+c（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，A（1，0），AB＝4，∴B（﹣3，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3；（2）过Q作QE⊥x轴于E，过C作CF⊥x轴于F，设P（m，0），则P A＝1﹣m，∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴C（﹣1，﹣4），∴CF＝4，∵PQ∥BC，∴△PQA∽△BCA，∴，即，∴QE＝1﹣m，∴S△CPQ＝S△PCA﹣S△PQA＝P A•CF﹣P A•QE＝（1﹣m）×4﹣（1﹣m）（1﹣m）＝﹣（m+1）2+2，∵﹣3≤m≤1，∴当m＝﹣1时S△CPQ有最大值2，∴△CPQ面积的最大值为2，此时P点坐标为（﹣1，0）．4．（2022春•青秀区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c，与y 轴交于点A，与x轴交于点E、B．且点A（0，5），B（5，0），抛物线的对称轴与AB 交于点M．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P是直线AB上方抛物线上的一动点，连接PB，PM，求△PMB面积的最大值；【解答】解：（1）∵点A（0，5），B（5，0）在抛物线y＝﹣x2+bx+c上，∴，∴，∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+4x+5；（2）如图，∵A（0，5），B（5，0），∴直线AB的解析式为y＝﹣x+5，∵点M是抛物线的对称轴与直线AB的交点，∴M（2，3），由（1）知，二次函数的解析式为y＝﹣x2+4x+5，过点P作PH∥y轴交AB于H，设P（m，﹣m2+4m+5）（0＜m＜5），∴H（m，﹣m+5），∴PH＝﹣m2+4m+5﹣（﹣m+5）＝﹣m2+5m，∴S△PMB＝PH（x B﹣x M）＝（﹣m2+5m）（5﹣2）＝﹣（x﹣）2+，∴当x＝时，S△PMB最大＝，即△PMB面积的最大值为；5．（2022春•南岸区月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A （﹣1，0），B（3，0），交y轴于点C，且OC＝3．（1）求该抛物线的解析式；（2）点P为直线BC下方抛物线上的一点，连接AC、BC、CP、BP，求四边形PCAB 的面积的最大值，以及此时点P的坐标；【解答】解：（1）∵OC＝3，∴C（0，﹣3），将点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c，得，解得，∴y＝x2﹣2x﹣3；（2）∵S四边形PCAB＝S△ABC+S△PBC，∴当S△PBC面积最大时，S四边形PCAB的面积最大，设BC的直线解析式y＝kx+b，∴，解得，∴y＝x﹣3，过点P作PQ⊥x轴交BC于点Q，设P（t，t2﹣2t﹣3），则Q（t，t﹣3），∴当PQ最大时，S△PBC面积最大，∴PQ＝t﹣3﹣t2+2t+3＝﹣t2+3t＝﹣（t﹣）2+，当t＝时，PQ取最大值，∴P（，﹣），∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），∴AB＝4，∴S四边形PCAB＝S△ABC+S△PBC＝×4×3+××3＝；6．（2022•兴宁区校级模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A、B，抛物线的对称轴交x 轴于点D，直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，且．（1）求抛物线的解析式；（2）点M（t，0）是x轴上的一个动点，点N是抛物线对称轴上的一个动点，当DN＝2t，△MNB的面积为时，求出点M与点N的坐标；【解答】解：（1）对于直线y＝﹣x+3，令y＝0，即﹣x+3＝0，解得：x＝3，令x＝0，得y＝3，∴B（3，0），C（0，3），∵A为x轴负半轴上一点，且OA＝OB，∴A（﹣1，0）．将点A、B的坐标分别代入y＝﹣x2+bx+c中，得，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）由（1）知：A（﹣1，0），B（3，0），D（1，0），∴BM＝|3﹣t|，∵S△MNB＝BM•DN＝，即•|3﹣t|•2t＝，当t＜3时，•（3﹣t）•2t＝，化简得：4t2﹣12t+15＝0，∵Δ＝（﹣12）2﹣4×4×15＝﹣96＜0，∴方程无解；当t＞3时，•（t﹣3）•2t＝，解得t1＝，t2＝（舍），∴DN＝2t＝3+2，∴点M的坐标为（，0），点N的坐标为（1，3+2）；7．（2022•烟台）如图，已知直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1．（1）求抛物线的表达式；（2）D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S 的最大值及此时D点的坐标；【解答】解：（1）当x＝0时，y＝4，∴C（0，4），当y＝0时，x+4＝0，∴x＝﹣3，∴A（﹣3，0），∵对称轴为直线x＝﹣1，∴B（1，0），∴设抛物线的表达式：y＝a（x﹣1）•（x+3），∴4＝﹣3a，∴a＝﹣，∴抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣1）•（x+3）＝﹣x2﹣x+4；（2）如图1，作DF⊥AB于F，交AC于E，∴D（m，﹣﹣m+4），E（m，m+4），∴DE＝﹣﹣m+4﹣（m+4）＝﹣m2﹣4m，∴S△ADC＝OA＝•（﹣m2﹣4m）＝﹣2m2﹣6m，∵S△ABC＝＝＝8，∴S＝﹣2m2﹣6m+8＝﹣2（m+）2+，∴当m＝﹣时，S最大＝，当m＝﹣时，y＝﹣＝5，∴D（﹣，5）；。

第11讲用二次函数解决问题（3大考点）考点考向二次函数综合应用主要考察学生灵活运用二次函数解析式及图像性质解决实际问题、代数问题和几何问题的综合能力，难点在于不同知识点的融会贯通，是最近中考压轴题主要的考察题型之一．二次函数的综合应用在中考中经常出现，常考的主要有以下几种类型：（1）二次函数的生活应用问题，即实物抛物线型问题，若题目中未给出坐标系，则需要建立坐标系求解，建立的原则：①所建立的坐标系要使求出的二次函数表达式比较简单；②使已知点所在的位置适当（如在x轴，y轴、原点、抛物线上等），方便求二次函数丶表达式和之后的计算求解 .（2）二次函数的实际应用问题，即最值问题. 解决最值应用题要注意两点：①设未知数，在“当某某为何值时，什么最大（最小）”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；②求解最值时，一定要考虑顶点（横、纵坐标）的取值是否在自变量的取值范围内.（3）二次函数的纯几何面积问题：由于面积等于两条边的乘积，所以几何问题的面积的最值问题通常会通过二次函数来解决.同样需注意自变量的取值范围.（4）二次函数与一次函数相结合的应用型问题：分析问题中的数量关系，列出函数关系式；研究自变量的取值范围；确定所得的函数；检验 x的值是否在自变量的取值范围内，并求相关的值；解决提出的实际问题.（5）二次函数的综合型问题，此类问题是每年中考必考题目，综合性非常强，常涉及等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、矩形、菱形、线段以及面积的最值问题.考点精讲一．根据实际问题列二次函数关系式（共3小题）1．（2021秋•通州区期末）某商场第1年销售计算机5000台，如果每年的销售量比上一年增加相同的百分率x，第3年的销售量为y台，则y关于x的函数解析式为（）A．y＝5000（1+2x）B．y＝5000（1+x）2C．y＝5000+2x D．y＝5000x22．（2021秋•阜宁县期末）一台机器原价50万元，如果每年的折旧率是x，两年后这台机器的价格为y万元，则y与x的函数关系式为．3．（2021秋•亭湖区校级期末）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是．二．二次函数的应用（共6小题）4．（2022•无锡）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）．（1）若矩形养殖场的总面积为36m2，求此时x的值；（2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？5．（2022秋•如皋市校级月考）为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植，经过试验，其平均单株产量y千克与每平方米种植的株数x（2≤x≤8，且x为整数）构成一种函数关系．每平方米种植2株时，平均单株产量为4千克；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克．（1）求y关于x的函数表达式．（2）每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少千克？6．（2022•淮安）端午节前夕，某超市从厂家分两次购进A、B两种品牌的粽子，两次进货时，两种品牌粽子的进价不变．第一次购进A品牌粽子100袋和B品牌粽子150袋，总费用为7000元；第二次购进A品牌粽子180袋和B品牌粽子120袋，总费用为8100元．（1）求A、B两种品牌粽子每袋的进价各是多少元；（2）当B品牌粽子销售价为每袋54元时，每天可售出20袋，为了促销，该超市决定对B品牌粽子进行降价销售．经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋．当B品牌粽子每袋的销售价降低多少元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润最大？最大利润是多少元？7．（2022•淮阴区校级一模）近年来，电动车驾驶安全越来越被重视．某商店销售头盔，每个进价50元．经市场调研，当售价为60元时，每月可销售300个；售价每增加1元，销售量将减少10个．为了提高销售量，当售价为80元时，启用网络主播直播带货，此时售价每增加1元，需支付给主播300元．物价局对此头盔规定：售价最高不超过110元．如图中的折线ABC表示该品牌头盔的销售量y（单位：个）与售价x（单位：元）之间的函数关系．（1）直接写出点B的坐标，并求线段BC对应的函数表达式；（2）启用网络主播直播带货后，当售价为多少元时，该商家获得的利润最大？最大利润是多少元？8．（2022•如皋市二模）某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如表：售价x（元/件）60 70 80周销售量y（件）100 80 60周销售利润w（元）2000 2400 2400（1）求y关于x的函数解析式；（2）直接写出该商品的进价，并求出该商品周销售利润的最大值；（3）由于某种原因，该商品进价提高了m元/件（m＞0），物价部门规定该商品售价不得超过70元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是2000元，求m的值．9．（2022春•江阴市校级月考）据统计，某景区仅有A，B两个景点，售票处出示的三种购票方式如表所示：购票方式甲乙丙可游玩景点A B A和B门票价格100元/人80元/人160元/人据预测，六月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有2万、3万和2万．并且当甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降1元，将有600人原计划购买甲种门票的游客和400人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票．①若丙种门票价格下降10元，求景区六月份的门票总收入；②问：将丙种门票价格下降多少元时，景区六月份的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？三．二次函数综合题（共7小题）10．（2022秋•启东市校级月考）已知二次函数y＝x2+x﹣（m为常数）．（1）若该二次函数的图象经过点（1，2m），求m的值；（2）求证：无论m取何值，二次函数y＝x2+x﹣的图象与x轴必有两个交点；（3）若平行于x轴的直线与该二次函数的图象交于点A，B，且点A，B的横坐标之和大于1，求m的取值范围．11．（2022秋•启东市校级月考）定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P（x，y）的纵坐标y与其横坐标x的差y﹣x称为P点的“坐标差”，记作Zp，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G 的“共享值”．（1）①点A（5，﹣1）的“坐标差”为；②求抛物线y＝﹣x2+7x的“共享值”；（2）某二次函数y＝﹣x2+bx+c（c≠0）的“共享值”为﹣1，点B（m，0）与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等．①直接写出m＝；（用含c的式子表示）②求此二次函数的解析式．（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为原点，点D（4，0），以OD为直径作⊙M，直线y＝x+b与⊙M 相交于点E，F．请直接写出⊙M的“共享值”为．12．（2022•淮安）如图（1），二次函数y＝﹣x2+bx+c的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），直线l经过B、C两点．（1）求该二次函数的表达式及其图像的顶点坐标；（2）点P为直线l上的一点，过点P作x轴的垂线与该二次函数的图像相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图像相交于另一点N，当PM＝MN时，求点P的横坐标；（3）如图（2），点C关于x轴的对称点为点D，点P为线段BC上的一个动点，连接AP，点Q为线段AP 上一点，且AQ＝3PQ，连接DQ，当3AP+4DQ的值最小时，直接写出DQ的长．13．（2022•钟楼区校级模拟）如图，已知抛物线y＝ax2+2ax+c（a＜0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AO＝CO，过点B的直线l与抛物线交于点D，与y轴交于点F．该抛物线的对称轴EG交直线l于点E，与x轴交于点G，且DE：EF：FB＝1：1：1．（1）求该抛物线的解析式；（2）点M为抛物线上一点，∠MDB＝2∠BCO，求点M的坐标；（3）已知点P为抛物线对称轴上的点，满足在直线BD上存在唯一的点Q，使得∠PQG＝45°，求点P的坐标．14．（2022秋•通州区校级月考）平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2+2m+2与x轴有两个交点．（1）当m＝﹣2时，求抛物线与x轴交点的坐标；（2）过点P（0，m﹣1）作直线l⊥y轴，抛物线的顶点A在直线l与x轴之间（不包含点A在直线l上），求m的范围；（3）在（2）的条件下，设抛物线的对称轴与直线l相交于点B，求△ABO的面积最大时m的值．15．（2022秋•通州区校级月考）定义：若两个函数的图象关于某一点Q中心对称，则称这两个函数关于点Q互为“对称函数”．例如，函数y＝x2与y＝﹣x2关于原点O互为“对称函数”．（1）函数y＝﹣x+1关于原点O的“对称函数”的函数解析式为，函数y＝（x﹣2）2﹣1关于原点O的“对称函数”的函数解析式为；（2）已知函数y＝x2﹣2x与函数G关于点Q（0，1）互为“对称函数”，若函数y＝x2﹣2x与函数G的函数值y都随自变量x的增大而减小，求x的取值范围；（3）已知点A（0，1），点B（4，1），点C（2，0），二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0），与函数N关于点C互为“对称函数”，将二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与函数N的图象组成的图形记为W，若图形W与线段AB恰有2个公共点，直接写出a的取值范围．16．（2022•天宁区校级二模）如图1，抛物线y＝x2+bx+c，点A（4，﹣3），对称轴是直线x＝2．顶点为D．抛物线与y轴交于点C，连接AC，过点A作AB⊥x轴于点B，点E是线段AC上的动点（点E不与A、C两点重合）．（1）求抛物线的函数解析式和顶点D的坐标；（2）若直线DE将四边形OBAC分成面积比为1：3的两个四边形，求点E的坐标；（3）如图2，连接BE，作矩形BEFG，在点E的运动过程中，是否存在点G落在y轴上的同时点F也恰好落在抛物线上？若存在，求出此时AE的长；若不存在，请说明理由．巩固提升一、单选题1．（2021·江苏省天一中学三模）为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具生产，这样有时企业会被迫停产，经过调研预测，某塑料玩具生产公司一年中每月获得的利润y（万元）和月份n之间满足函数关系式y＝﹣n2+14n﹣24，则没有盈利的月份为（）A．2月和12月B．2月至12月C．1月D．1月、2月和12月2．（2021·江苏·吴江经济技术开发区实验初级中学九年级月考）如图，正方形ABCD边长为4，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，且AE BF CG DH===．设A、E两点间的距离为x，四边形EFGH的面积为y，则y与x的函数图象可能是（）A．B．C．D．3．（2021·江苏·苏州市振华中学校九年级月考）苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑，“门”的造型是东方之门的立意基础，“门”的内侧曲线呈抛物线型，如图1，两栋建筑第八层由一条长60m的连桥连接，在该抛物线两侧距连桥150m处各有一窗户，两窗户的水平距离为30m，如图2，则此抛物线顶端O到连桥AB距离为（）A．180m B．200m C．220m D．240m4．（2021·江苏吴中·二模）用一段长为20m的篱笆围成一个矩形菜园，设菜园的对角线长为x m，面积为y m2，则y与x的函数图象大致是（）A． B．C． D．5．（2021·江苏吴江·二模）用一段长为20m的篱笆围成一个矩形菜园，设菜园的对角线长为x m，面积为y2m，则y与x的函数图像大致是（）A．B．C．D．6．（2021·江苏昆山·九年级期中）如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80米，高度为200米．则离地面150米处的水平宽度（即CD的长）为（）A．40米B．30米C．25米D．20米BC=，动点P，Q同时从点A出发，7．（2021·江苏海安·九年级期中）如图，在矩形ABCD中，4AB=，3点P沿A→B→C的路径运动，点Q沿A→D→C的路径运动，点P，Q的运动速度相同，当点P到达点C时，PQ为y，则y关于x的函数图象大致是（）点Q也随之停止运动，连接PQ．设点P的运动路程为x，2A ．B ．C ．D ．二、填空题8．（2017·江苏·创新外国语学校九年级月考）某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x 元（2030x ≤≤，且x 为整数）出售，可卖出(30)x -件，若使利润最大，则每件商品的售价应为_______元．9．（2021·江苏昆山·九年级期中）如图，长为9cm ，宽为6cm 的大矩形被分割为7个小矩形，除矩形A ，B （阴影部分）外，其余5块是形状、大小完全相同的小矩形则矩形A 与矩形B 面积和的最小值是____．10．（2021·江苏昆山·一模）如图，矩形ABCD 中AB ＝2，AD ＝5，动点P 从点A 出发，以1 cm/s 的速度沿AD 向终点D 移动，设移动时间为t （s ）．连接PC ，以PC 为一边作正方形PCEF ，连接DE 、DF ，则DEF ∆面积最小值为_________．11．（2021·江苏邗江·二模）定义：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设点P 的坐标为(),x y ，当x <0时，点P 的变换点P '的坐标为(),x y -；当0x ≥时，点P 的变换点P '的坐标为(),y x -．抛物线()22y x n =-+与x 轴交于点C ，D （点C 在点D 的左侧），顶点为E ，点P 在该抛物线上．若点P 的变换点P '在抛物线的对称轴上，且四边形ECP ′D 是菱形，则满足该条件所有n 值的和为________．12．（2021·江苏海安·九年级期中）如图，小球从长度为8m 的斜面顶端由静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加1m/s ，则下列说法：①小球每秒滚动1米；②由静止开始经过1秒，小球滚动了0.5米；③小球滚动到斜面底端时需要4秒；④小球滚动的距离S 与经过的时间t 的关系为212s t =；其中说法正确的是__________．（填写序号）三、解答题13．（2021·江苏昆山·九年级期中）某数学实验小组为学校制作了一个如图所示的三棱锥模型P ﹣ABC ，已知三条侧棱PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且棱PB 与PC 的和为6米，PB ＝2PA ．现要给该模型的三个侧面（即Rt △PAB ，Rt △PBC ，Rt △PAC ）刷上油漆，已知每平方米需要刷0.5升油漆，油漆的单价为60元/升．（1）设PA 的长为x 米，三个侧面的面积之和为y 平方米，试求y （平方米）关于x （米）的函数关系式；（2）若油漆工的工时费为10元/平方米，该实验小组预算总费用为410元（即油漆费和工时费）．试通过计算判断完成该模型的油漆工作是否会超出预算？14．（2021·江苏新北·九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝9cm．现有动点P 从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动，如果点P的速度是2cm/s，点Q的速度是lcm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动的时间为ts，Rt△CPQ的面积Scm2．（1）用含t的代数式表示S．（2）当运动多少秒时，Rt△CPQ的面积等于5cm2？15．（2021·江苏·扬州市梅岭中学九年级月考）为满足市场需求，某超市在端午节的前夕购进价格为3元/个的粽子，根据市场预测，该品牌粽子每个售价4元时，每天能出售500个，并且售价每上涨0.1元，其销售量将减少10个，为了维护消费者利益，物价部门规定，该品牌粽子的售价不能超过进价的200%. （1）该品牌粽子定价为多少元时，该超市每天的销售利润为800元.（2）该超市每天的销售利润能否达到1000元，若能，请求出该品牌每个粽子的售价，若不能，请说明理由.16．（2021·江苏·南通田家炳中学九年级月考）2020年受疫情的影响，人们就业困难，为此政府大力支持创业，地摊文化风大街小巷．大学毕业生李强在政府的扶持下投资销售一种进价为每件30元的学生护眼灯．销售过程中发现，每月销售量y （件）与销售单价x （元）之间的关系可近似的看作次函数：10700y x =-+．（1）小明每月获得的利润为w （元），试问当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？最大利润是多少？（2）如果小明想要每月获得3000元的利润，那么销售单价应定为多少元？17．（2021·江苏射阳·九年级月考）国庆期间，某商场销售一种商品，进货价为20元/件，当售价为24元/件时，每天的销售量为200件，在销售的过程中发现：销售单价每上涨1元，每天的销量就减少10件．设销售单价为x （元/件）（x ≥24），每天销售利润为y （元）．（1）直接写出y 与x 的函数关系式为： ；（2）若要使每天销售利润为1400元，求此时的销售单价；（3）若每件小商品的售价不超过36元，求该商场每天销售此商品的最大利润．18．（2021·江苏·宜兴市树人中学九年级期中）某商场将每件进价为80元的A商品按每件100元出售，一天可售出128件．经过市场调查，发现这种商品的销售单价每降低2元，其日销量可增加16件．设该商品每件降价x元，商场一天可通过A商品获利润y元．（1）求y与x之间的函数解析式（要展开化简，不必写出自变量x的取值范围）．（2）A商品销售单价为多少时，该商场每天通过A商品所获的利润最大？19．（2021·江苏东台·九年级期中）二次函数y＝x2﹣2mx的图象交x轴于原点O及点A．感知特例（1）当m＝1时，如图1，抛物线L：y＝x2﹣2x上的点B，O，C，A，D分别关于点A中心对称的点为B′，O′，C′，A′，D′，如表：……(1)补全表格；(2)在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为L'．形成概念我们发现形如（1）中的图象L'上的点和抛物线L上的点关于点A中心对称，则称L'是L的“孔像抛物线”．例如，当m＝﹣2时，图2中的抛物线L'是抛物线L的“孔像抛物线”．(3)探究问题当m＝﹣1时，若抛物线L与它的“孔像抛物线”L'的函数值都随着x的增大而减小，则x的取值范围为；20．（2021·江苏工业园区·九年级期中）某商场出售一种成本为20元的商品，市场调查发现，该商品每天的销售量w（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：w＝﹣2x+80．设这种商品的销售利润为y（元）．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）在不亏本的前提下，销售价在什么范围内每天的销售利润随售价增加而增大？最大利润是多少？（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少元？21．（2021·江苏海安·九年级期中）2022年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价每件40元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示，设每月获得的利润为W（元）．（1）直接写出每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并求当销售单价为多少元时，销售这款文化衫每月所获得的利润最大？（2）该网店的营销部结合上述情况，提出了A，B两种营销方案：方案A：销售单价高于进价且不超过60元．方案B：每月销售量不少于220件，且每件文化衫利润至少为35元．请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．。

二次函数在几何中的应用二次函数是一种常见的函数形式，其数学表达式为y=ax²+bx+c，其中a、b、c代表常数，a≠0。

二次函数在数学中有重要的应用，同样也广泛应用于几何学中。

本文将探讨二次函数在几何中的应用，并通过实例解释其具体用途。

一、二次函数与平面几何中的抛物线二次函数的图像是抛物线，而抛物线是几何学中的重要概念之一。

通过研究二次函数的图像，我们可以了解抛物线的特征，并在几何问题中应用这些特征。

1. 确定抛物线的开口方向：二次函数中的a值决定了抛物线开口的方向。

当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

因此，通过给定二次函数的a值，我们可以直观地确定抛物线的开口方向。

2. 确定抛物线的顶点坐标：二次函数的顶点坐标即为抛物线的顶点坐标。

抛物线的顶点是图像的最高点或最低点，也是抛物线的对称轴上的点。

通过求解二次函数的顶点坐标，我们可以确定抛物线的位置，进而解决涉及抛物线的几何问题。

3. 确定抛物线与坐标轴的交点：二次函数与坐标轴的交点即为抛物线与x轴和y轴的交点。

通过求解二次函数与坐标轴的交点，我们可以进一步确定抛物线的形状，从而应用于解决几何问题。

二、二次函数与立体几何中的应用除了在平面几何中的应用外，二次函数也在立体几何中发挥着重要的作用。

以下将介绍二次函数在立体几何中的两个具体应用。

1. 求解抛物面的性质：抛物面是由二次函数生成的曲面。

在立体几何中，我们常常需要求解抛物面的性质，例如确定抛物面的方程、确定抛物面的焦点和准线等。

通过应用二次函数的性质，我们可以轻松地解决这些问题。

2. 确定旋转体的体积：旋转体是指由某条曲线绕某条轴旋转一周而形成的立体。

通过应用二次函数的性质，我们可以确定旋转体的体积。

具体而言，旋转体的体积等于曲线沿轴旋转一周所围成的面积乘以旋转一周的角度。

通过计算二次函数所确定的曲线的面积，并乘以旋转角度，我们可以准确地计算旋转体的体积。

二次函数解析几何专题——存在性问题存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题，这类问题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，是近几年来各地中考的“热点”。

这类题目解法的一般思路是：假设存在→推理论证→得出结论。

若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断，导出矛盾，就做出不存在的判断。

由于“存在性”问题的结论有两种可能，所以具有开放的特征，在假设存在性以后进行的推理或计算，对基础知识，基本技能提出了较高要求，并具备较强的探索性，正确、完整地解答这类问题，是对我们知识、能力的一次全面的考验。

一、方法总结解存在性问题的一般步骤：（1）假设点存在；（2）将点的坐标设为参数；（3）根据已知条件建立关于参数的方程或函数。

二、常用公式（1）两点间距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB|=221221)()(y y x x -+-（2）中点坐标公式：1212,22x x y y x y ++==（3）斜率公式：①；②（为直线与x 轴正方向的夹角）2121y y k x x -=-tan k θ=θ（4）①对于两条不重合的直线l 1、l 2，其斜率分别为k 1、k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2②如果两条直线l 1、l 2的斜率存在，设为k 1、k 2，则l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.题型一 面积问题例1．如图，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A (1，0)，B (－3，0)两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）在（1）中的抛物线上的第二象限内是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大？，若存在，求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值；若不存在，请说明理由．变式练习：1.如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为(－2，0)，连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB ．（1）求点B 的坐标；（2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式；（3）如果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△PAB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△PAB 的最大面积；若没有，请说明理由．O B A CyxA xy BO能力提升：1.（2013菏泽）如图1，△运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形2．如图，已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）．（1）求直线BC与抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN的面积为S2，且S1=6S2，求点P的坐标．3.如图，二次函数的图象与x轴相交于点A（-3，0）、B（-1，0），与y轴相交于点C（0，3），点P是该图象上的动点；一次函数y=kx-4k（k≠0）的图象过点P交x轴于点Q．（1）求该二次函数的解析式；（2）当点P的坐标为（-4，m）时，求证：∠OPC=∠AQC；（3）点M，N分别在线段AQ、CQ上，点M以每秒3个单位长度的速度从点A向点Q运动，同时，点N以每秒1个单位长度的速度从点C向点Q运动，当点M，N中有一点到达Q点时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒．连接AN，当△AMN的面积最大时，①求t的值；②直线PQ能否垂直平分线段MN？若能，请求出此时点P的坐标；若不能，请说明你的理由．yD BMA CO xE 图1的坐标，并求出△POB的面积；若不存在，请说明理由．）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点与△POC的坐标；若不存在，请说明理由；c的图象的顶点C的坐标为（0，-2），交m（m＞1）与x轴交于D。

二次函数在几何中的应用二次函数是一种重要的数学函数，它在几何学中有着广泛的应用。

从抛物线的形状到曲线光滑的特性，二次函数在描述自然界中的曲线和形状方面发挥着重要的作用。

本文将探讨二次函数在几何中的应用，并通过一些具体的例子来阐述。

1. 平移和缩放二次函数中的平移和缩放操作对于修改几何图形的形状和位置是非常重要的。

平移是指通过改变二次函数的常数项来使整个图形在平面上移动。

缩放则是通过改变二次函数的系数来改变图形的大小。

举个例子，考虑函数y = ax^2，其中a是非零常数。

当a>1时，抛物线的开口向上，图形比标准的抛物线更加“尖锐”，而当0<a<1时，抛物线的开口向下，图像则更加“扁平”。

这些变化可以通过改变a的值来实现。

2. 曲线的焦点焦点是指在平面上到给定曲线上的所有点的距离相等的点。

对于二次函数而言，它的图形是一个抛物线。

这个抛物线的焦点是该二次函数的一个重要几何特性。

具体来说，对于二次函数y = ax^2 + bx + c，焦点的x坐标可以通过公式x = -b/(2a)来计算，而y坐标则是函数在该点的函数值。

通过求解焦点，我们可以更好地理解二次函数的几何特性。

3. 最值问题二次函数在几何中的应用还可以涉及到最值问题。

由于二次函数的抛物线形状，它可以帮助我们确定图形的最大值和最小值。

举个例子，考虑函数y = ax^2 + bx + c，其中a>0。

这个函数对应着一个开口向上的抛物线。

由于抛物线的性质，我们可以通过函数的顶点（即最值点）来找到函数的最小值。

4. 几何图形的求解除了以上提到的常见应用，二次函数还能够帮助我们求解几何图形的性质和问题。

例如，通过解二次方程可以计算出两个抛物线的交点，这对于确定图形的交点、重叠部分或者切线非常有用。

同时，利用二次函数的图形性质，我们还可以计算出图形的切线方程和切点位置，为几何问题的求解提供了数学工具。

总结：二次函数在几何中扮演着至关重要的角色，通过平移和缩放，我们可以修改图形的形状和尺寸。