【高三】2021届高考理科数学第一轮总复习导数及其应用教案

【高三】2021届高考理科数学第一轮总复习导数及其应用教案

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考试要求重而难

1.导数概念及其几何意义

（1） 了解衍生概念的实践背景；

(2)理解导数的几何意义.

2.衍生工具的运作

(1)能根据导数定义，求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数；

（2） 它可以使用基本初等函数的导数公式和四种导数算法来计算简单函数的导数和简单复合函数的导数（仅限于F（AX+b）形式的复合函数）

3.导数在研究函数中的应用

（1） 了解函数单调性与导数的关系，能用导数研究函数的单调性，能找到函数的单调区间（多项式函数一般不超过三次）；

(2)了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).

4.生活中的优化问题

会利用导数解决某些实际问题.

5.定积分和微积分的基本定理

(1)了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念；

（2） 理解微积分基本定理的含义本章的要点：

1.导数的概念；

2.用导数计算切线的斜率；

3.利用导数判断函数单调性或求单调区间；

4.用导数计算极值或最大值； 5.利用导数求实际问题最优解.

本章的难点：导数和定积分的综合应用是微积分的核心概念之一，由于其广泛的应用，也是中学选课内容中较为重要的知识之一，它为我们解决函数和序列问题提供了一种更通用、更有效的方法。因此，本章的知识往往反映在高考试题中函数、序列等相关的最大不等式问题上。它不仅研究了数字和形状的结合，还通过分类讨论了概念，考查学生灵活运用所学知识和方法的能力。考题可以以多项选择题或填空题的形式考查导数和定积分的基本运算和简单几何意义，全面考核学生以解题的形式分析问题、解决问题的能力

知识网络

3.1衍生工具的概念和操作

典例精析

第一类导数的概念

【例1】已知函数f(x)＝2ln3x＋8x，

求f（1-2）δx）－f（1）δx的值

【解析】由导数的定义知：

f（1－2δx）－f（1）δx＝2f（1－2δx）－f（1）－2δx＝2f′（1）＝20。

【点拨】导数的实质是求函数值相对于自变量的变化率，即求当δx→0时，平均变化率δyδx的极限.

【变量训练1】在城市降雨过程中，降雨y（mm）与时间t（min）之间的函数关系可以近似表示为f（t）=T2100，因此时间t=10min时的降雨强度为（）

a.15mm/minb.14mm/min

c、 12毫米/分钟。1毫米/分钟

【解析】选a.

问题型二阶导数函数

【例2】求下列函数的导数.

（1） y＝ln（x＋1＋x2）

(2)y＝(x2－2x＋3)e2x；

（3） y＝3x1－x。 【解析】运用求导数公式及复合函数求导数法则.

（1） y′＝1x＋1＋x2（x＋1＋x2）′

＝1x＋1＋x2(1＋x1＋x2)＝11＋x2.

（2） y′＝（2x－2）e2x＋2（x2－2x＋3）e2x

＝2(x2－x＋2)e2x.

（3） y′＝13（x1－x1－x＋x（1－x）2

＝13(x1－x1(1－x)2

＝13x（1－x）

【变式训练2】如下图，函数f(x)的图象是折线段abc，其中a、b、c的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f(f(0))＝ ；f(1＋δx)－f(1)δx＝

(用数字作答).

[analysis]f（0）=4，f（f（0））=f（4）=2，

由导数定义f(1＋δx)－f(1)δx＝f′(1).

当0≤ 十、≤ 2，f（x）=4-2x，f'（x）=-2，f'（1）=-2

题型三 利用导数求切线的斜率

【例3】已知曲线C:y=x3-3x2+2x、直线L:y=KX以及L和C与点P（x0，Y0）（x0）相切≠ 0). 得到了直线L的方程和切点坐标

【解析】由l过原点，知k＝y0x0(x0≠0)，又点p(x0，y0)在曲线c上，y0＝x30－3x20＋2x0，

所以y0x0=x20-3x0+2

而y′＝3x2－6x＋2，k＝3x20－6x0＋2.

K=y0x0，

所以3x20－6x0＋2＝x20－3x0＋2，其中x0≠0，

解为x0=32

所以y0＝－38，所以k＝y0x0＝－14，

因此，直线L的方程式为y=-14x，切线坐标为（32，-38） 【点拨】利用切点在曲线上，又曲线在切点处的切线的斜率为曲线在该点处的导数来列方程，即可求得切点的坐标.

如果此函数的切线更改为。3x3+4，求函数的切线（.X3-2），然后

【解析】设切点为p(x0，y0)，则由

Y′=3x2-3，切线的斜率为k=3x20-3

所以函数y＝x3－3x＋4在p(x0，y0)处的切线方程为

y－y0＝（3x20－3）（x－x0）。

又切线经过点(－2,2)，得

2－y0＝（3x20－3）（－2－x0）①

而切点在曲线上，得y0＝x30－3x0＋4，②

从解决① 和②, x0=1或x0=-2

则切线方程为y＝2或9x－y＋20＝0.

总结与改进

1.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数通常有以下两种求法：

（1） 导数的定义是求δyδx＝f（x0＋δx）－f（x0）δx的值；

(2)先求导函数f′(x)，再将x＝x0的值代入，即得f′(x0)的值.

2.求y=f（x）导数的几种方法：

(1)利用常见函数的导数公式；

（2） 使用四次运算的导数公式；

(3)利用复合函数的求导方法.

x=y的函数x的导数是

导数的应用(一)

典型案例分析

题型一 求函数f(x)的单调区间

[示例1]给定函数f（x）=x2 ax AlN（x-1）（a∈ R） ，求函数f（x）的单调区间 【解析】函数f(x)＝x2－ax－aln(x－1)的定义域是(1，＋∞).

f′（x）＝2x－a－ax－1＝2x（x－a＋22）x－1

①若a≤0，则a＋22≤1，f′(x)＝2x(x－a＋22)x－1＞0在(1，＋∞)上恒成立，所以a≤0时，f(x)的增区间为(1，＋∞).

② 如果a>0，则a+22>1，

故当x∈(1，a＋22]时，f′(x)＝2x(x－a＋22)x－1≤0；

当x∈ [a+22，+∞), f'（x）=2x（x-a+22）x-1≥ 0,

所以a＞0时，f(x)的减区间为(1，a＋22]，f(x)的增区间为[a＋22，＋∞).

【拨号】在定义字段x>1下，为了确定F'（x）的符号，我们必须讨论实数a+22、0和1的大小。分类讨论是解决这一问题的关键

【变式训练1】已知函数f(x)＝x2＋lnx－ax在(0,1)上是增函数，求a的取值范围.

[分析]因为f'（x）=2x+1x-a，f（x）是（0,1）上的递增函数，

所以2x＋1x－a≥0在(0,1)上恒成立，

就是≤ 2x+1x是常数

又2x＋1x≥22(当且仅当x＝22时，取等号).

所以≤ 22,

故a的取值范围为(－∞，22].

[dial]当f（x）是区间（a，b）上的递增函数时？F'（x）≥ 0在（a，b）上是常数；类似地，当函数f（x）是区间（a，b）上的减法函数时？F′（x）≤ 0在（a，b）上是常数，那么我们需要根据不等式为常数的条件找到参数的取值范围

题型二 求函数的极值

[示例2]已知f（x）=AX3+bx2+CX（a≠ 0）当x=±1且f（1）=-1时，获得极值

(1)试求常数a，b，c的值；

（2） 尝试判断x=±1是函数的最小点还是最大点，并解释原因

【解析】(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.

因为x=±1是函数f（x）的极值点， 所以x＝±1是方程f′(x)＝0，即3ax2＋2bx＋c＝0的两根.

从根与系数的关系

又f(1)＝－1，所以a＋b＋c＝－1.③

根据①, ② 和③, a=12，B=0，C=32

(2)由(1)得f(x)＝12x3－32x，

因此，当f'（x）=32x2-32>0时，存在x<-1或x>1；

当f′(x)＝32x2－32＜0时，有－1＜x＜1.

因此，函数f（x）=12x3-32x是（-infinity，-1）和（1，+∞), 以及（-1,1）上的递减函数

所以当x＝－1时，函数取得极大值f(－1)＝1；当x＝1时，函数取得极小值f(1)＝－1.

为了求函数的极值，我们首先要求多项式函数f（x）的导数，f（x）在x=x0点取极值的必要条件是f'（x）=0。然而，当x0满足f'（x0）=0时，f（x）可能得不到x=x0点的极值。只有当F（x）在x0两侧的导数不同时，x0才是F（x）的极值，如果F’（x）在x0两侧满足“左正右负”，x0才是F（x）的最大点，F（x0）才是最大点；如果f'（x）在x0的两侧满足“左负右正”，x0是f（x）的最小点，f（x0）是最小点

【变式训练2】定义在r上的函数y＝f(x)，满足f(3－x)＝f(x)，(x－32)f′(x)＜0，若x1＜x2，且x1＋x2＞3，则有( )

a、 f（x1）＜f（x2）b.f（x1）＞f（x2）

c.f(x1)＝f(x2)d.不确定

[analysis]从F（3-x）=F（x），F[3-（x+32）]=F（x+32），也就是说，F（32-x）=F（x+32），函数F（x）的图像是关于x=32对称的，因为（x-32）F'（x）<0，当x>32时，函数F（x）单调减少，当x<32时，函数F（x）单调增加，当X1+X22=32，F（X1）=F（x2）。因为X1+x2>3，X1+X22>32等于X1和x2的中点向右偏离对称轴，所以f（X1）>f（x2）因此，B

题型三 求函数的最值

在函数的例子中，求[x2+14f]的最大值

【解析】f′(x)＝11＋x－12x，令11＋x－12x＝0，化简为x2＋x－2＝0，解得x1＝－2或x2＝1，其中x1＝－2舍去.