2021高考数学一轮复习导数及其应用学案理

1 / 52 2021高考数学一轮复习导数及其应用学案理

知识点一、导数的差不多运算

1．差不多初等函数的导数公式

原函数 导函数

f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0

f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝nxn－1

f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x

f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x

f(x)＝ax f′(x)＝axln_a

f(x)＝ex f′(x)＝ex

f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝1xln a

f(x)＝ln x f′(x)＝1x

2．导数的运算法则

(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；

(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；

(3)f(x)g(x)′＝f′(x)g(x)－f(x)g′(x)[g(x)]2(g(x)≠0)．

3、复合函数的导数

复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．

小题速通

1．下列求导运算正确的是( )

A.x＋1x′＝1＋1x2 B．(log2x)′＝1xln 2

C．(3x)′＝3xlog3e D．(x2cos x)′＝－2sin x

2．函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为( )

A．2(x2－a2) B．2(x2＋a2)

C．3(x2－a2) D．3(x2＋a2)

3．函数f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值是( )

A.193 B.163

C.133 D.103

4．(2021·天津高考)已知函数f(x)＝(2x＋1)ex，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(0)的值为________． 2 / 52 5．函数y＝ln2x＋1x的导数为________．

易错点

1．利用公式求导时，一定要注意公式的适用范畴及符号，如(xn)′＝nxn－1中n≠0且n∈Q*，(cos x)′＝－sin x.

2．注意公式不要用混，如(ax)′＝axln a，而不是(ax)′＝xax－1.

1、已知函数f(x)＝sin x－cos x，若f′(x)＝12f(x)，则tan x的值为( )

A．1 B．－3 C．－1 D．2

2、若函数f(x)＝2x＋ln x且f′(a)＝0，则2aln 2a＝( )

A．－1 B．1 C．－ln 2 D．ln 2

知识点二、导数的几何意义

函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度确实是位移函数s(t)对时刻t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)·(x－x0)．

小题速通

1.(2020·郑州质检)已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝( )

A．－1 B．0 C．2 D．4

2．设函数f(x)＝xln x，则点(1,0)处的切线方程是________．

3．已知曲线y＝2x2的一条切线的斜率为2，则切点的坐标为________．

4．函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝3x－2，则f(1)＋f′(1)＝________.

易错点

1．求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．

2．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．

1．若存在过点(1,0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋154x－9都相切，则a等于( )

A．－1或－2564 B．－1或214 C．－74或－2564 D．－74或7

2.(2021·兰州一模)已知直线y＝2x＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点(1,3)，则实数b的值为________．

知识点三、利用导数研究函数的单调性

1．函数f(x)在某个区间(a，b)内的单调性与f′(x)的关系

(1)若f′(x)>0，则f(x)在那个区间上是增加的．

(2)若f′(x)<0，则f(x)在那个区间上是减少的．

(3)若f′(x)＝0，则f(x)在那个区间内是常数．

2．利用导数判定函数单调性的一样步骤

(1)求f′(x)．

(2)在定义域内解不等式f′(x)>0或f′(x)<0.

(3)依照结果确定f(x)的单调性及单调区间． 3 / 52 小题速通

1．函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋1的单调减区间是( )

A．(1,2) B．(2，＋∞) C．(－∞，1) D．(－∞，1)和(2，＋∞)

2．已知函数f(x)的导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则f(x)的图象可能是(

)

3．已知f(x)＝x2＋ax＋3ln x在(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范畴为( )

A．(－∞，－26] B.－∞，62 C．[－26，＋∞) D．[－5，＋∞)

易错点

若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增，则f′(x)≥0，且在(a，b)的任意子区间，等号不恒成立；若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减，则f′(x)≤0，且在(a，b)的任意子区间，等号不恒成立．

若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调增函数，则m的取值范畴是________．

知识点四、利用导数研究函数的极值与最值

1．函数的极大值

在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都小于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值．

2．函数的极小值

在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都大于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值．极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点．

3．函数的最值

(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．

(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．

小题速通

1．如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为( )

A．1 B．2 C．3 D．4

2．若函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3时取得极值，则a的值为( )

A．2 B．3 C．4 D．5

3．(2021·济宁一模)函数f(x)＝12x2－ln x的最小值为( )

A.12 B．1 C．0 D．不存在 4 / 52 4．若函数f(x)＝12x2－ax＋ln x有极值，则a的取值范畴为________．

5．设x1，x2是函数f(x)＝x3－2ax2＋a2x的两个极值点，若x1<2

易错点

1．f′(x0)＝0是x0为f(x)的极值点的既不充分也不必要条件．例如，f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点；又如f(x)＝|x|，x＝0是它的极小值点，但f′(0)不存在．

2．求函数最值时，易误认为极值点确实是最值点，不通过比较就下结论．

1．(2021·岳阳一模)下列函数中，既是奇函数又存在极值的是( )

A．y＝x3 B．y＝ln(－x) C．y＝xe－x D．y＝x＋2x

2．设函数f(x)＝x3－3x＋1，x∈[－2,2]的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.

知识点五、定积分

1．定积分的概念

在∫baf(x)dx中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式．

2．定积分的性质

(1) abkf(x)dx＝kabf(x)dx(k为常数)； (2) ab [f1(x)±f2(x)]dx＝abf1(x)dx±abf2(x)dx；

(3) abf(x)dx＝acf(x)dx＋cbf(x)dx(其中a＜c＜b)．

3．微积分差不多定理

一样地，假如f(x)是区间[a，b]上的连续函数，同时F′(x)＝f(x)，那么abf(x)dx＝F(b)－F(a)，那个结论叫做微积分差不多定理，又叫做牛顿－莱布尼茨公式．

其中F(x)叫做f(x)的一个原函数．

为了方便，常把F(b)－F(a)记作F(x)  ba，即abf(x)dx＝F(x)  ba＝F(b)－F(a)．

小题速通

1．若f(x)＝ lg x ，x＞0，x＋0a3t2dt，x≤0，f(f(1))＝1，则a的值为( )

A．1 B．2 C．－1 D．－2

2.01(ex＋x)dx＝________.

3．(2020·天津高考)曲线y＝x2与直线y＝x所围成的封闭图形的面积为________．

易错点

定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果能够为负．

由曲线y＝x2和直线x＝0，x＝1，y＝14所围成的图形(如图所示)的面积为( ) 5 / 52 A.23 B.13 C.12 D.14

过关检测练习

一、选择题

1．已知函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)，若f′(1)＝－1，则a＝( )

A．e B.1e C.1e2 D.12

2．直线y＝kx＋1与曲线y＝x2＋ax＋b相切于点A(1,3)，则2a＋b的值为( )

A．－1 B．1 C．2 D．－2

3．函数y＝2x3－3x2的极值情形为( )

A．在x＝0处取得极大值0，但无极小值 B．在x＝1处取得极小值－1，但无极大值

C．在x＝0处取得极大值0，在x＝1处取得极小值－1 D．以上都不对

4．若f(x)＝－12x2＋mln x在(1，＋∞)是减函数，则m的取值范畴是( )

A．[1，＋∞) B．(1，＋∞) C．(－∞，1] D．(－∞，1)

5．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是( )