高考数学一轮复习 第三章导数及其应用3.1导数、导数的计算教学案 理
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第三章 导数及其应用
3.1 导数、导数的计算
考纲要求
1．了解导数概念的实际背景．
2．理解导数的几何意义．
3．能根据导数定义，求函数y＝C(C为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x的导数．
4．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．能求简单复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数．
1．导数的概念
一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是limΔx→0ΔyΔx＝__________，称其为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或0|xxy=.
2．导函数
如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x都是可导的，则称f(x)在区间(a，b)可导．这样，对开区间(a，b)内每一个值x，都对应一个确定的导数f′(x)．于是在区间(a，b)内____构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y＝f(x)的导函数，记为f′(x)或y′.
3．导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线的斜率．相应地，切线方程为______________．
4．基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0
f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝________
f(x)＝sin x f′(x)＝________
f(x)＝cos x f′(x)＝________
f(x)＝ax f′(x)＝________
f(x)＝ex f′(x)＝________
f(x)＝logax f′(x)＝________
f(x)＝ln x f′(x)＝________
5．导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝__________； (2)[f(x)·g(x)]′＝__________；
(3)f(x)g(x)′＝__________(g(x)≠0)．
6．复合函数的导数
设u＝v(x)在点x处可导，y＝f(u)在点u处可导，则复合函数y＝f[v(x)]在点x处可导，且f′(x)＝________，即y′x＝________.
1．若函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy)，则ΔyΔx等于( )．
A．4 B．4x
C．4＋2Δx D．4＋2Δx2
2．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为s＝13t3－32t2＋2t，那么速度为零的时刻是( )．
A．0秒
B．1秒末
C．2秒末
D．1秒末和2秒末
3．曲线y＝x3在点P处的切线的斜率为3，则点P的坐标为( )．
A．(－1,1)
B．(－1，－1)
C．(1,1)或(－1，－1)
D．(1，－1)
4．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于( )．
A．－1 B．－2 C．2 D．0
5．若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为__________．
6．y＝sin 2x的导数为__________．
一、根据导数的定义求函数的导数
【例1－1】已知f′(2)＝2，f(2)＝3，则limx→2f(x)－3x－2＋1的值为( )．
A．1 B．2 C．3 D．4 【例1－2】用导数的定义求函数y＝f(x)＝1x在x＝1处的导数．
方法提炼
1．根据导数的概念求函数的导数是求导的基本方法．确定y＝f(x)在x＝x0处的导数有两种方法：一是导数的定义法，二是导函数的函数值法．
2．求函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的求解步骤：
请做演练巩固提升1
二、利用求导公式、法则求导
【例2】求下列函数的导数：
(1)y＝(2x－3)2；
(2)y＝tan x；
(3)y＝x2＋2x＋5.
方法提炼
一般来说，分式函数求导，要先观察函数的结构特征，可化为整式函数或较为简单的分式函数的要先化简；对数函数的求导，可先化为和、差的形式；三角函数的求导，先利用三角函数公式转化为和或差的形式．
请做演练巩固提升2
三、导数的几何意义
【例3】已知曲线y＝13x3＋43.
(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；
(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程；
(3)求斜率为1的曲线的切线方程．
方法提炼
1．求曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线方程
(1)求出函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)即为曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线斜率；
(2)由切点(x0，f(x0))和斜率f′(x0)，用点斜式写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，再化为一般式即可．
特别地，如果曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线垂直于x轴，则此时导数f′(x0)不存在，由切线定义可知，切线方程为x＝x0.
2．求曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线方程 可设切点为(x1，y1)，由 y1＝f(x1)，y0－y1＝f′(x1)(x0－x1)解出x1，进而确定过点P的切线方程为y－y0＝f′(x1)(x－x0)，再化为一般式即可．
3．“过某点”与“在某点处”的切线是不同的，过某点的切线，此点并不一定是切点，在某点处的切线才表明此点是切点．
无论是求函数在某点的切线还是过某点的切线，首先都是求(或设)切点坐标得出切线的斜率，再解决问题．曲线在某点处的切线只有一条，而过某点的切线可以不止一条．
请做演练巩固提升4
对“在某点处”与“过某点”字眼的区分
【典例】若存在过点(1,0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋154x－9都相切，则a等于( )．
A．－1或－2564
B．－1或214
C．－74或－2564
D．－74或7
解析：因为点(1,0)不在曲线y＝x3上，所以应从设切点入手来求切线方程，再利用切线与曲线y＝ax2＋154x－9相切求a的值．
设过(1,0)的直线与y＝x3相切于点(x0，x03)，所以切线方程为y－x03＝3x02(x－x0)，即y＝3x02x－2x03.
又(1,0)在切线上，则x0＝0或x0＝32.
当x0＝0时，由y＝0与y＝ax2＋154x－9相切可得a＝－2564；
当x0＝32时，由y＝274x－274与y＝ax2＋154x－9相切可得a＝－1，所以选A．
答案：A
答题指导： 1．在解答本题时有两个易错点：
(1)审题不仔细，未对点(1,0)的位置进行判断，误认为(1,0)是切点；
(2)当所给点不是切点时，无法与导数的几何意义联系，而必须设出切点．
2．解决与导数的几何意义有关的问题时，以下几点在备考时要高度关注：
(1)首先确定已知点是否为曲线的切点是求解关键；
(2)基本初等函数的导数和导数的运算法则要熟练掌握；
(3)对于直线的方程与斜率公式的求解，要熟练掌握．
1．设f(x)为可导函数，且满足limx→0f(1)－f(1－2x)2x＝－1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为( )．
A．2 B．－1
C．1 D．－2
2．y＝cos(x2＋3)的导数y′＝__________.
3．若曲线f(x)＝ax3＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是__________．
4．(2012安徽高考)设定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝ax＋1ax＋b(a＞0)．
(1)求f(x)的最小值；
(2)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝32x，求a，b的值． 参考答案
基础梳理自测
知识梳理
1．limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx
2．f′(x)
3．y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)
4．nxn－1 cos x －sin x axln a(a＞0)
ex 1xln a(a＞0，且a≠1) 1x
5．(1)f′(x)±g′(x)
(2)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
(3)f′(x)g(x)－f(x)g′(x)[g(x)]2
6．f′(u)·v′(x) yu′·ux′
基础自测
1．C 解析：∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)
＝2(1＋Δx)2－1－1＝4Δx＋2(Δx)2，
∴ΔyΔx＝4＋2Δx.
2．D 解析：∵s＝13t3－32t2＋2t，
∴v＝s′(t)＝t2－3t＋2.
令v＝0，得t2－3t＋2＝0，t1＝1，t2＝2.
3．C 解析：y′＝3x2，∴3x2＝3.
∴x＝±1.
当x＝1时，y＝1，
当x＝－1时，y＝－1.
4．B 解析：∵f′(x)＝4ax3＋2bx为奇函数，∴f′(－1)＝－f′(1)＝－2.
5．4x－y－3＝0 解析：设切点为(x0，y0)，y′＝4x3,4x03＝4，
∴x0＝1.∴y0＝1.
∴l的方程为4x－y－3＝0.
6．y′＝2cos 2x
考点探究突破
【例1－1】C 解析：令Δx＝x－2， 则limx→2f(x)－3x－2＋1
＝limΔx→0f(Δx＋2)－f(2)Δx＋1
＝f′(2)＋1＝2＋1＝3.
【例1－2】解：Δy＝f(1＋Δx)－f(1)
＝11＋Δx－11
＝1－1＋Δx1＋Δx
＝－Δx1＋Δx(1＋1＋Δx).
∴ΔyΔx＝－11＋Δx(1＋1＋Δx)，
∴limΔx→0ΔyΔx
＝limΔx→0－11＋Δx(1＋1＋Δx)
＝－12.
∴f′(1)＝－12.
【例2】解：(1)y′＝(4x2－12x＋9)′＝8x－12.
(2)y′＝sin xcos x′
＝(sin x)′cos x－sin
x(cos x)′cos2x
＝cos xcos x－sin x(－sin x)cos2x
＝1cos2x.
(3)y′＝(x2＋2x＋5)′
＝12(x2＋2x＋5)－12·(2x＋2)
