专题四 动点在等腰三角形中的分类讨论问题 2020年中考数冲刺几何难点突破 动点问题(解析版)

y =-y =-2020中考数学经典压轴专项突破 -三角形存在性问题板块一、等腰三角形存在性1. 如图，已知一次函数7y x =-+与正比例函数34y x =的图象交于点A ，且与x 轴交于点B ．（1）求点A 和点B 的坐标；（2）过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，过点B 作直线l ∥y 轴．动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长的速度，沿O —C —A 的路线向点A 运动；同时直线l 从点B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l 交x 轴于点R ，交线段BA 或线段AO 于点Q ．当点P 到达点A 时，点P 和直线l 都停止运动．在运动过程中，设动点P 运动的时间为t 秒．是否存在以A 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．（备用图）2. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21410189y x x =--与x 轴的交点为点A ，与y 轴的交点为点B ，过点B 作x 轴的平行线BC ，交抛物线于点C ，连结AC ．现有两动点P ，Q 分别从O ，C 两点同时出发，点P 以每秒4个单位的速度沿OA 向终点A 移动，点Q 以每秒1个单位的速度沿CB 向点B 移动，点P 停止运动时，点Q 也同时停止运动，线段OC ，PQ 相交于点D ，过点D 作DE ∥OA ，交CA 于点E ，射线QE 交x 轴于点F ．设动点P ，Q 移动的时间为t (单位：秒)(1)求A ，B ，C 三点的坐标和抛物线的顶点的坐标；(2)当t 为何值时，四边形PQCA 为平行四边形？请写出计算过程；(3)当902t <<时，△PQF 的面积是否总为定值？若是，求出此定值，若不是，请说明理由；(4)当t 为何值时，△PQF 为等腰三角形？请写出解答过程．板块二、直角三角形3.如图，已知直线112y x=+与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线212y x bx c=++与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为(1，0)．（1）求该抛物线的解析式；（2）动点P在x轴上移动，当△P AE是直角三角形时，求点P的坐标．4.如图所示，矩形ABCD的边长AB=6，BC=4，点F在DC上，DF=2．动点M、N分别从点D、B同时出发，沿射线DA、线段BA向点A的方向运动（点M 可运动到DA的延长线上），当动点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动．连接FM、FN，当F、N、M不在同一直线上时，可得△FMN，过△FMN三边的中点作△PWQ．设动点M、N的速度都是1个单位/秒，M、N 运动的时间为x秒．试解答下列问题：（1）说明△FMN∽△QWP；（2）设04x≤≤（即M从D到A运动的时间段）．试问x为何值时，△PWQ 为直角三角形？当x在何范围时，△PQW不为直角三角形？（3）问当x为何值时，线段MN最短？求此时MN的值．WQPNMFDBA板块三、相似三角形存在性 5. 在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx =+3+与x 轴的两个交点分别为A （-3，0）、B （1，0），过顶点C 作CH ⊥x 轴于点H ．（1）直接填写：a = ，b = ，顶点C 的坐标为 ； （2）在y 轴上是否存在点D ，使得△ACD 是以AC 为斜边的直角三角形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，说明理由；（3）若点P 为x 轴上方的抛物线上一动点（点P 与顶点C 不重合），PQ ⊥AC 于点Q ，当△PCQ 与△ACH 相似时，求点P 的坐标．FP WQN A B（备用图）三、测试提高1. 如图，已知抛物线234y x bx c =++与坐标轴交于A 、B 、C 三点， A 点的坐标为（－1，0），过点C 的直线334y x t=-与x 轴交于点Q ，点P 是线段BC上的一个动点，过P 作PH ⊥OB 于点H ．若PB ＝5t ，且01t <<．（1）填空：点C 的坐标是_____，b ＝_____，c ＝_____； （2）求线段QH 的长（用含t 的式子表示）；（3）依点P 的变化，是否存在t 的值，使以P 、H 、Q 为顶点的三角形与△COQ 相似？若存在，求出所有t 的值；若不存在，说明理由．。

2020年中考数学人教版专题复习：等腰三角形一、学习目标：1. 了解等腰三角形和等边三角形的概念，并能判定等腰三角形和等边三角形；2. 正确理解等腰三角形和等边三角形的性质，能运用它们的性质解决相关的问题；3. 借助轴对称图形的性质，得出等腰三角形、等边三角形、有一个角是30o的直角三角形的性质。

二、重点、难点：重点：等腰三角形和等边三角形的性质和判定，及有一个角是30o的直角三角形的性质。

难点：综合运用等腰三角形的性质解决问题。

三、考点分析：本节知识内容是初中数学的基础，考试题型多，方法灵活。

对这部分知识的命题方向是考查等腰三角形及等边三角形的性质和判定，即边角的相互转化。

这部分内容在中考中多以填空题、选择题的形式出现。

在综合题中，对等腰三角形的性质和判定知识的考查较为常见，中考中还经常出现与本节知识有关的探究性问题，如函数中的动点，考查动点在何处时形成的图形是等腰三角形、等边三角形等。

知识梳理典例精析知识点一：等腰三角形的有关概念例1.如图，D在AC上，AB=AC，AD=DB，请指出图中的等腰三角形，以及它们的腰、底边、顶角及底角。

思路分析：这里要求根据条件说明图形的名称，而不是凭直观和想象。

相等的两边叫做腰，另一边叫做底边；两腰的夹角叫做顶角，另外的两个角叫做底角。

解答过程：图中的等腰三角形有ABC∆和ADB∆。

其中∠；∠和C ABC∠，底角是CBA∆的腰是AB和AC，底边是BC，顶角是BAC∠。

∠，底角是∠A和ABD ADB∆的腰是DA和DB，底边是AB，顶角是BDA解题后的思考：解决此类题目应先找到两腰，然后根据其他元素与两腰的相对位置关系来进行识别。

例2.已知等腰三角形的周长为13，其一边长为3，则其他两边长分别为___________；思路分析：长为3的边是否是腰并不清楚，故应分类讨论。

解答过程：当3为底边时，其他两边均为(133)25-÷=；当3为腰长时，其他两边为3和13337+=<，所以不能构成三角形，--=。

专题训练(四)等腰三角形中的分类讨论思想类型一腰与底不明或顶角与底角不明时需分类讨论解题策略:先分不同情况画出图形,再进行计算.当不明确腰和底时,还要利用三角形三边关系进行检验.1.(1)等腰三角形的两边长分别为2和5,则其周长为.(2)等腰三角形的两边长分别为2,3,则其周长为;(3)等腰三角形的两边长分别为2,4,则其周长为.2.若等腰三角形的一个角为80°,则顶角为.3.若等腰三角形的一个角为110°,则顶角为.4.若等腰三角形的一个角为另一个角的两倍,则其底角为.类型二锐角与钝角不明时需分类讨论解题策略:此类题目一般与三角形的高相联系,主要的讨论点在于三角形的形状不同,高的位置不同.5.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°,求这个三角形的底角的度数.6.已知△ABC中,CA=CB,AD⊥BC于点D,∠CAD=50°,求∠B的度数.7.已知△ABC的高AD,BE所在的直线交于点F,若BF=AC,求∠ABC的度数.类型三画等腰三角形时的分类讨论解题策略:在平面直角坐标系中找一个点,使它与另两个定点构成一个等腰三角形的基本方法有两种:(1)以两定点中的一个为圆心,以两点之间的距离为半径作圆;(2)连接两定点,作线段的垂直平分线.8.在平面直角坐标系中,已知A(2,2),B(4,0).若在坐标轴上取点C(原点除外),使△ABC为等腰三角形,则满足条件的点C有个.9.在平面直角坐标系中,已知点A(2,3),在坐标轴上找一点P,使得△AOP是等腰三角形,则这样的点P共有个.10.已知点A和B,以点A和点B为两个顶点作等腰直角三角形,一共可以作出个.教师详解详析例112[解析] 本题在解答过程中,要分两种情况:①当2为腰长时,三角形的三边长为2,2,5,显然不能构成三角形;②当5为腰长时,三角形的三边长为5,5,2,能构成三角形,所以其周长为12.1.(1)7或8(2)102.20°或80°3.110°4.45°或72°例2(1)如图①,当△ABC是锐角三角形时,作BD⊥AC于点D.因为∠ABD=45°,所以∠BAC=45°.由三角形的内角和定理可得∠C=67.5°.(2)如图②,当△ABC是钝角三角形时,作BD⊥AC交CA的延长线于点D.因为∠ABD=45°,所以∠BAC=135°.由三角形的内角和定理可得∠C=22.5°.综上,这个三角形的底角的度数为67.5°或22.5°.5.解:当∠C为锐角时,∠B=70°;当∠C为钝角时,∠B=20°.6.解:先证△BDF≌△ADC,①当∠ABC为锐角时,∠ABC=45°;②当∠ABC为钝角时,∠ABC=135°.故∠ABC的度数为45°或135°.例34[解析] 如图,共4个点.7.88.6。

2020年中考数学冲刺难点突破 二次函数问题专题四 等腰三角形与二次函数的分类讨论问题1、如图，二次函数y ＝ax 2+bx +4的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的右侧），与y 轴交于点C ，点A 的坐标为（2，0），它的对称轴是直线x ＝﹣1．（1）直接写出点B ，点C 的坐标.（2）求这个二次函数的解析式．（3）若点P 在x 轴上，且△PBC 为等腰三角形，请求出线段BC 的长并直接写出符合条件的所有点P 的坐标．【答案】(1) B （-4,0）,C （0,4）;(2) y ＝﹣12x 2﹣x+4；(3)BC=4√2 ，P （0，0）或（﹣4+4√2，0）或（﹣4﹣4√2，0）或（4，0）.【解析】(1)解：由对称轴是直线x=-1,点A 坐标为(2,0)，以及二次函数y =ax 2+bx +4，易得B （-4,0）C （0,4）(2)根据题意得，{4a+2b+4=0-b 2a =-1， 解得，{a=-12b=-1，∴二次函数的解析式y ＝﹣12x 2﹣x+4；（2）由（1）得B （﹣4，0），C （0，4），∴BC＝√（-4）2+42＝4√2；设P（m，0），∵B（﹣4，0），C（0，4），∴BP2＝（m+4）2，CP2＝m2+16，∵△PBC是等腰三角形，∴①当BP＝CP时，∴（m+4）2＝m2+16，∴m＝0，∴P（0，0）②当BP＝BC时，∴（m+4）2＝32，∴m＝﹣4±4√2，∴P（﹣4+4√2，0）或（﹣4﹣4√2，0）③当CP＝BC时，m2+16＝32，∴m＝4或m＝﹣4（舍去），∴P （4，0），即：符合条件的所有点P 的坐标为P （0，0）或（﹣4+4√2，0）或（﹣4﹣4√2，0）或（4，0）.2、如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，直线l 经过坐标原点O ，与抛物线的一个交点为D ，与抛物线的对称轴交于点E ，连接CE ，已知点A ，D 的坐标分别为（－2，0），（6，－8）．（1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B 和点E 的坐标；（2）试探究抛物线上是否存在点F ，使≌，若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P 是y 轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m ），直线PB 与直线l 交于点Q ．试探究：当m 为何值时，是等腰三角形．【答案】（1）；B （8,0）；E （3，-4）； （2）（）或（）；（3）或. 【解析】解：（1）抛物线经过点A （－2，0），D （6，－8）， 28y ax bx =+-FOE ∆FCE ∆OPQ ∆21382y x x =--34-34-83-323-28y ax bx =+-解得 抛物线的函数表达式为 ，抛物线的对称轴为直线． 又抛物线与x 轴交于A ，B 两点，点A 的坐标为（－2，0）．点B 的坐标为（8，0）设直线l 的函数表达式为．点D （6，－8）在直线l 上，6k=－8，解得． 直线l 的函数表达式为 点E 为直线l 和抛物线对称轴的交点．点E 的横坐标为3，纵坐标为， 即点E 的坐标为（3，－4）（2）抛物线上存在点F ，使≌．点F 的坐标为（）或（）（3）分两种情况：①当时，是等腰三角形．点E 的坐标为（3，－4），，428036688a b a b --=⎧∴⎨+-=-⎩123a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩21382y x x =--22112538(3)222y x x x =--=--3x =y kx =43k =-43y x =-4343-⨯=-FOE ∆FCE∆34--34-OP OQ =OPQ∆5OE ∴==过点E 作直线ME//PB ，交y 轴于点M ，交x 轴于点H ，则，点M 的坐标为（0，－5）．设直线ME 的表达式为，，解得， ME 的函数表达式为， 令y=0，得，解得x=15， 点H 的坐标为（15，0）又MH//PB ，，即， ②当时，是等腰三角形．当x=0时，，点C 的坐标为（0，－8）， ，OE=CE ，，又因为，，，CE//PB设直线CE 交x 轴于点N ，其函数表达式为，OM OE OP OQ=5OM OE ∴==15y k x =-1354k -=-113k =153y x =-1503x -=OP OB OM OH =8515m -=83m =-QO QP =OPQ ∆213882y x x =--=-5CE ==12∠=∠QO QP =13∠=∠23∠∠=28y k x =-，解得， CE 的函数表达式为，令y=0，得， ，点N 的坐标为（6，0）CN//PB ，， ，解得 综上所述，当m 的值为或时，是等腰三角形．3、如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax 2+bx-8与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，直线l 经过坐标原点O ，与抛物线的一个交点为D ，与抛物线的对称轴交于点E ，连接CE ，已知点A ，D 的坐标分别为（-2，0），（6，-8）．（1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B 和点E 的坐标；（2）若点P 是y 轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m ），直线PB 与直线l 交于点Q ，试探究：当m 为何值时，△OPQ 是等腰三角形． 2384k -=-243k =483y x =-4803x -=6x =OP OB OC ON =886m -=323m =-83-323-OPQ∆【答案】(1)y ＝12x 2－3x －8；B(8，0),E(3，－4)；(2)m 的值为－83或－323. 【解析】（1）∵抛物线y ＝ax 2＋bx －8经过点A(－2，0)，D(6，－8)，∴将A 、D 两点的坐标代入得{4a −2b −8=036a +6b −8=−8， 解得{a =12b =−3， ∴抛物线的函数表达式为y ＝12x 2－3x －8；（2）需分两种情况进行讨论：①当OP ＝OQ 时，△OPQ 是等腰三角形，如解图①，图1∵点E 的坐标为(3，－4)，∴OE ＝√32+42＝5，过点E 作直线ME ∥PB ，交y 轴于点M ，交x 轴于点H ，则OM OP ＝OE OQ ，∴OM ＝OE ＝5，∴点M的坐标为(0，－5)，设直线ME的函数表达式为y＝k1x－5，E（3，-4）在直线ME上，∴3k1－5＝－4，解得k1＝13，∴直线ME的函数表达式为y＝13x－5，令y＝0，解得x＝15，∴点H的坐标为(15，0)．又∵MH∥PB，∴OPOM ＝OBOH，即m5=815，∴m＝－83；②当QO＝QP时，△OPQ是等腰三角形，如图，∵当x＝0时，y＝12x2－3x－8＝－8，∴点C的坐标为(0，－8)，∴CE＝√32+(8-4)2＝5，∴OE＝CE，∴∠1＝∠2，又∵QO＝QP，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴CE ∥PB.设直线CE 交x 轴于点N ，其函数表达式为y ＝k 2x －8， E （3，-4）在直线CE 上，∴3k 2－8＝－4，解得k 2＝43，∴直线CE 的函数表达式为y ＝43x －8，令y ＝0，得43x －8＝0，∴x ＝6，∴点N 的坐标为(6，0)．∵CN ∥PB.∴OP OC ＝OB ON ， ∴m 8＝86，解得m ＝－323.综上所述，当m 的值为－83或－323时，△OPQ 是等腰三角形．4、如图，已知抛物线2143y x bx =-++与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，若已知A 点的坐标为()2,0A -．（1）求抛物线的解析式；（2）求线段BC 所在直线的解析式；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使ACP ∆为等腰三角形？若存在，求出符合条件的P 点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）214433y x x =-++；（2）243y x =-+；（3）存在，(2，2)或(2，-2)或(2，0)或(2，12) 【解析】 （1）将点()20A -，代入2143y x bx =-++中， 得：()()2122403b --+-+=， 解得：43b =， ∴抛物线的解析式为214433y x x =-++； （2）当0x =时，4y =，∴点C 的坐标为(0，4) ，当0y =时，2144033x x -++=， 解得：1226x x =-=， ，∴点B 的坐标为(6，0) ，设直线BC 的解析式为y kx n =+，将点B (6，0)，点C (0，4)代入，得：064k n n =+⎧⎨=⎩， ∴234k n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线BC 的解析式为243y x =-+， （3）抛物线的对称轴为()6222x +-==，假设存在点P ，设(2,)P t ，则AC ==AP ==，CP ==∵△ACP 为等腰三角形，①当ACAP ==解之得：2t =±，∴点P 的坐标为(2，2)或(2，-2)；②当AC CP=，解之得：0t =或8t =(舍去)，∴点P 的坐标为(2，0)或(2，8)，设直线AC 的解析式为y kx b =+，将点A(-2，0)、C (0，4)代入得204k b b -+=⎧⎨=⎩， 解得：24k b =⎧⎨=⎩， ∴直线AC 的解析式为24y x =+，当2x =时，2248y =⨯+=，∴点(2，8)在直线AC 上，∴A 、C 、P 在同一直线上，点(2，8)应舍去；③当AP CP == 解之得：12t =， ∴点P 的坐标为(2，12)； 综上，符合条件的点P 存在，坐标为：(2，2)或(2，-2)或(2，0)或(2，12)．5、已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l 是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P 是直线l 上的一个动点，当△PAC 的周长最小时，求点P 的坐标；(3)在直线l 上是否存在点M ，使△MAC 为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝－x2＋2x＋3．（2）P的坐标(1，2)．（3）存在．点M的坐标为(1)，(1)，(1，1)，(1，0)．【方法引导】（1）可设交点式，用待定系数法求出待定系数即可．（2）由图知：A、B点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知：若连接BC，那么BC与直线l的交点即为符合条件的P点．（3）由于△MAC的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①MA＝AC、②MA＝MC、②AC＝MC；可先设出M点的坐标，然后用M点纵坐标表示△MAC的三边长，再按上面的三种情况列式求解【解析】（1）∵A(－1，0)、B(3，0)经过抛物线y＝ax2＋bx＋c，∴可设抛物线为y＝a（x＋1）（x－3）．又∵C(0，3) 经过抛物线，∴代入，得3＝a（0＋1）（0－3），即a=－1．∴抛物线的解析式为y＝－（x＋1）（x－3），即y＝－x2＋2x＋3．（2）连接BC，直线BC与直线l的交点为P．则此时的点P，使△PAC的周长最小．设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b ，将B(3，0)，C(0，3)代入，得：303k b b +=⎧⎨=⎩，解得：13k b =-⎧⎨=⎩． ∴直线BC 的函数关系式y ＝－x ＋3．当x －1时，y ＝2，即P 的坐标(1，2)．（3）存在．点M 的坐标为(1)，(1)，(1，1)，(1，0)．∵抛物线的对称轴为： x=1，∴设M(1，m)．∵A(－1，0)、C(0，3)，∴MA 2＝m 2＋4，MC 2＝m 2－6m ＋10，AC 2＝10．①若MA ＝MC ，则MA 2＝MC 2，得：m 2＋4＝m 2－6m ＋10，得：m ＝1．②若MA ＝AC ，则MA 2＝AC 2，得：m 2＋4＝10，得：m ．③若MC ＝AC ，则MC 2＝AC 2，得：m 2－6m ＋10＝10，得：m ＝0，m ＝6，当m ＝6时，M 、A 、C 三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去．综上可知，符合条件的M 点，且坐标为(1)，(1)，(1，1)，(1，0)．【方法总结】该二次函数综合题涉及了抛物线的性质及解析式的确定、等腰三角形的判定等知识，在判定等腰三角形时，一定要根据不同的腰和底分类进行讨论，以免漏解6、如图①,已知抛物线y=ax 2+bx+c 的图像经过点A （0，3)、B （1，0），其对称轴为直线l ：x=2，过点A 作AC ∥x 轴交抛物线于点C ，∠AOB 的平分线交线段AC 于点E ，点P 是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.（1）求抛物线的解析式；（2）若动点P 在直线OE 下方的抛物线上，连结PE 、PO ，当m 为何值时，四边形AOPE 面积最大，并求出其最大值；（3）如图②，F 是抛物线的对称轴l 上的一点，在抛物线上是否存在点P 使△POF 成为以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）y=x 2-4x+3.（2）当m=时，四边形AOPE 面积最大，最大值为.（3）P 点的坐标为 ：P 1，），P 2（，，P 3（，P 4）. 【解析】解：（1）如图1，设抛物线与x 轴的另一个交点为D ，5275812352212-由对称性得：D（3，0），设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x-3），把A（0，3）代入得：3=3a，a=1，∴抛物线的解析式；y=x2-4x+3；（2）如图2，设P（m，m2-4m+3），∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°，∴∠AOE=45°，∴△AOE是等腰直角三角形，∴AE=OA=3，∴E（3，3），易得OE的解析式为：y=x，过P 作PG ∥y 轴，交OE 于点G ，∴G （m ，m ），∴PG=m-（m 2-4m+3）=-m 2+5m-3，∴S 四边形AOPE =S △AOE +S △POE ， =×3×3+PG •AE ， =+×3×（-m 2+5m-3）， =-m 2+m ， =（m-）2+， ∵-＜0， ∴当m=时，S 有最大值是； （3）如图3，过P 作MN ⊥y 轴，交y 轴于M ，交l 于N ，121292123215232527583252758∵△OPF 是等腰直角三角形，且OP=PF ，易得△OMP ≌△PNF ，∴OM=PN ，∵P （m ，m 2-4m+3），则-m 2+4m-3=2-m ，解得：∴P 的坐标为（，）； 如图4，过P 作MN ⊥x 轴于N ，过F 作FM ⊥MN 于M ，同理得△ONP ≌△PMF ，∴PN=FM ， 则-m 2+4m-3=m-2， 解得：或； 2212352P，）或（，； 综上所述，点P 的坐标是：）或）或）或，）． 7、如图，已知：二次函数y ＝x 2+bx+c 的图象与x 轴交于A ，B 两点，其中A 点坐标为（﹣3，0），与y 轴交于点C ，点D （﹣2，﹣3）在抛物线上．（1）求抛物线的表达式；（2）抛物线的对称轴上有一动点P ，求出PA+PD 的最小值；（3）若抛物线上有一动点M ，使△ABM 的面积等于△ABC 的面积，求M 点坐标．（4）抛物线的对称轴上是否存在动点Q ，使得△BCQ 为等腰三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）y ＝x 2+2x ﹣3；（2）3√2；（3）点M 的坐标为（﹣1﹣√7，3），（﹣1+√7，3），（﹣2，﹣3）；（4）存在；点Q 的坐标为（﹣1，√6），（﹣1，﹣√6），（﹣1，0），（﹣1，﹣6），（﹣1，﹣1）．【解析】解：（1）将A （﹣3，0），D （﹣2，﹣3）代入y ＝x 2+bx+c ，得：{9−3b +c ＝04−2b +c ＝−3，解得：{b =2c =−3 ， ∴抛物线的表达式为y ＝x 2+2x ﹣3．123521+5352（2）当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1，∴点B的坐标为（1，0）．连接BD，交抛物线的对称轴于点P，如图1所示．∵PA＝PB，∴此时PA+PD取最小值，最小值为线段BD的长度．∵点B的坐标为（1，0），点D的坐标为（﹣2，﹣3），∴BD＝√(−2−1)2+(−3−0)2＝3√2，∴PA+PD的最小值为3√2．（3）当x＝0时，y＝x2+2x﹣3＝﹣3，∴点C的坐标为（0，﹣3）．设点M的坐标为（x，x2+2x﹣3）．∵S△ABM＝S△ABC，∴|x2+2x﹣3|＝3，即x2+2x﹣6＝0或x2+2x＝0，解得：x1＝﹣1﹣√7，x2＝﹣1+√7，x3＝﹣2，x4＝0（舍去），∴点M的坐标为（﹣1﹣√7，3），（﹣1+√7，3），（﹣2，﹣3）．（4）设点Q的坐标为（﹣1，m）．∵点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，﹣3），∴CQ2＝（﹣1﹣0）2+[m﹣（﹣3）]2＝m2+6m+10，BQ2＝（﹣1﹣1）2+（m﹣0）2＝m2+4，BC2＝（0﹣1）2+（﹣3﹣0）2＝10．分三种情况考虑（如图2所示）：①当BQ＝BC时，m2+4＝10，解得：m1＝√6，m2＝﹣√6，∴点Q1的坐标为（﹣1，√6），点Q2的坐标为（﹣1，﹣√6）；②当CQ＝CB时，m2+6m+10＝10，解得：m3＝0，m4＝﹣6，∴点Q3的坐标为（﹣1，0），点Q4的坐标为（﹣1，﹣6）；③当QB＝QC时，m2+4＝m2+6m+10，解得：m5＝﹣1，∴点Q5的坐标为（﹣1，﹣1）．综上所述：抛物线的对称轴上存在动点Q，使得△BCQ为等腰三角形，点Q的坐标为（﹣1，√6），（﹣1，﹣√6），（﹣1，0），（﹣1，﹣6），（﹣1，﹣1）．8、如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点、，交轴于点，在轴上有一点，连接.（1）求二次函数的表达式；（2）若点为抛物线在轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点，使为等腰三角形，若存在，请直接写出所有点的坐标，若不存在请说明理由.【答案】（1）二次函数的解析式为；（2）当时，的面积取得最大值；（3）点的坐标为，，.【解析】解：（1）∵二次函数y =ax 2+bx +c 经过点A （﹣4，0）、B （2，0），C （0，6）， ∴，2y ax bx c =++x ()4,0A -()2,0B y ()0,6C y ()0,2E -AE D x ADE ∆P AEP ∆P 233642y x x =--+23x =-ADE ∆503P ()1,1-(1,-(1,2--16404206a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩解得：， 所以二次函数的解析式为：y =； （2）由A （﹣4，0），E （0，﹣2），可求AE 所在直线解析式为y =， 过点D 作DN ⊥x 轴，交AE 于点F ，交x 轴于点G ，过点E 作EH ⊥DF ，垂足为H ，如图，设D （m ，），则点F （m ，）， ∴DF =﹣（）=， ∴S △ADE =S △ADF +S △EDF =×DF ×AG +DF ×EH =×DF ×AG +×DF ×EH 34326a b c ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩233642x x --+122x --233642m m --+122m --233642m m --+122m --2384m m --+12121212=×4×DF =2×（） =， ∴当m =时，△ADE 的面积取得最大值为． （3）y =的对称轴为x =﹣1，设P （﹣1，n ），又E （0，﹣2），A （﹣4，0），可求PA，PE，AE，分三种情况讨论： 当PA=PE，解得：n =1，此时P （﹣1，1）；当PA =AE，解得：n =P 坐标为（﹣1，；当PE =AE，解得：n =﹣2，此时点P 坐标为：（﹣1，﹣2）． 综上所述：P点的坐标为：（﹣1，1），（﹣1，，（﹣1，﹣2）．9、如图（1），在平面直角坐标系中，矩形ABCO ，B 点坐标为（4，3），抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过矩形ABCO 的顶点B 、C ，D 为BC 的中点，直线AD 与y 轴交于E 点，与抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 交于第四象限的F 点．122384m m --+23250233m -++（）23-503233642x x --+===12-12-（1）求该抛物线解析式与F 点坐标；（2）如图，动点P 从点C 出发，沿线段CB 以每秒1个单位长度的速度向终点B 运动；同时，动点M 从点A 出发，沿线段AE个单位长度的速度向终点E 运动．过 点P 作PH ⊥OA ，垂足为H ，连接MP ，MH ．设点P 的运动时间为t 秒．①问EP ＋PH ＋HF 是否有最小值，如果有，求出t 的值；如果没有，请说明理由．②若△PMH 是等腰三角形，求出此时t 的值．【答案】（1）y ＝x 2＋2x ＋3，F (6，-3) （2） ①有，t =3；②，，1， 【解析】解：（1）∵矩形ABCO ，B 点坐标为（4，3）∴C 点坐标为（0，3）∵抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过矩形ABCO 的顶点B 、C 12-1425t =4516512-∴∴∴y ＝x 2＋2x ＋3 设直线AD 的解析式为∵A (4，0)、D (2，3) ∴∴ ∴ ∵F 点在第四象限，∴F (6，-3)（2）∵E (0，6) ∴CE =CO连接CF 交x 轴于H ′，过H ′作x 轴的垂线交BC 于P ′，当P运动到P ′，当H 运动到H ′时， EP +PH +HF 的值最小.设直线CF 的解析式为∵C (0，3)、F (6，-3) ∴∴∴ 当y =0时，x=3，∴H ′(3，0) ∴CP =3 ∴t=33{843c b c =-++=3{2c b ==12-11y k x b =+111140{23k b k b +=+=113{26k b =-=362y x =-+2362{1232y x y x x =-+=-++22y k x b =+2223{63b k b =+=-221{3k b =-=3y x =-+如图1，过M 作MN ⊥OA 交OA 于N∵△AMN ∽△AEO ，∴∴AN =t ，MN = I ．如图1，当PM =H M 时，M 在PH 的垂直平分线上， ∴MN =PH ∴MN =∴t =1 II ．如图2，当PH =HM 时，MH =3，MN =， HN=OA -AN -OH =4-2t 在Rt △HMN 中，，， （舍去）， III ．如图3．如图4，当PH=PM 时，PM =3，MT =，PT =BC -CP -BT =在Rt △PMT 中，， ，25t 2-100t +64=0， ∴，，1， AM AN MN AE AO EO==46AN MN ==32t 123322t =32t 222MN HN MH +=2223()(42)32t t +-=22564280t t -+=12t =21425t =21425t =42t -222MT PT PM +=2223(3)(42)32t t -+-=1165t =245t =1165t =4516510、如图，已知二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象与x 轴相交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，与y 轴相交于点C （0，3）（1）求这个二次函数的表达式并直接写出顶点坐标；（2）若P 是第一象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH ⊥x 轴于点H ，与BC 交于点M ，连接PC ．设点P 的横坐标为t①求线段PM 的最大值；②S △PBM ：S △MHB ＝1：2时，求t 值；③当△PCM 是等腰三角形时，直接写点P 的坐标．【答案】（1）（1，4）（2）①94②12③当△PCM 是等腰三角形时，点P 的坐标为（2，3）或（3﹣√2，﹣2+4√2）或（1，4）．【解析】（1）将A （﹣1，0），B （3，0），C （0，3）代入y ＝ax 2+bx+c ，得：{a −b +c =09a +3b +c =0c =3 ，解得{a =−1b =2c =3 ，∴二次函数的表达式为y ＝﹣x 2+2x+3．∵y ＝﹣x 2+2x+3＝﹣（x ﹣1）2+4，∴二次函数图象的顶点坐标为（1，4）．（2）①设直线BC 的表达式为y ＝mx+n （m ≠0），将B （3，0），C （0，3）代入y ＝mx+n ，得：{3m +n =0n =3 ，解得：{m =−1n =3， ∴直线BC 的表达式为y ＝﹣x+3．∵点P 的横坐标为t （0＜t ＜3），∴点P 的坐标为（t ，﹣t 2+2t+3），点M 的坐标为（t ，﹣t+3），∴PM ＝﹣t 2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t 2+3t ＝﹣（t ﹣32）2+94， ∴线段PM 的最大值为94． ②∵点P 的坐标为（t ，﹣t 2+2t+3），点M 的坐标为（t ，﹣t+3），∴点H 的坐标为（t ，0），∴PM ＝﹣t 2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t 2+3t ，MH ＝﹣t+3．∵△PBM 和△MHB 等高，S △PBM ：S △MHB ＝1：2，∴MH ＝2PM ，即﹣t+3＝﹣2t 2+6t ，解得：t 1＝12，t 2＝3（不合题意，舍去），∴当S △PBM ：S △MHB ＝1：2时，t 的值为12．③∵点P 的坐标为（t ，﹣t 2+2t+3），点M 的坐标为（t ，﹣t+3），点C 的坐标为（0，3），∴PM ＝﹣t 2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t 2+3t ，CM ＝√(t −0)2+(−t +3−3)2=√2t ，PC ＝√(t−0)2+(−t2+2t+3−3)2=t√t2−4t+5．当PM＝PC时，有﹣t2+3t＝t√t2−4t+5，∵0＜t＜3，∴原方程可整理为：2t﹣4＝0，解得：t＝2，∴点P的坐标为（2，3）；当PM＝CM时，有﹣t2+3t＝√2t，解得：t1＝0（舍去），t2＝3﹣√2，∴点P的坐标为（3﹣√2，﹣2+4√2）；当CM＝PC时，有√2t＝t√t2−4t+5，∵0＜t＜3，∴原方程可整理为：t2﹣4t+3＝0，解得：t1＝1，t2＝3（舍去），∴点P的坐标为（1，4）．综上所述：当△PCM是等腰三角形时，点P的坐标为（2，3）或（3﹣√2，﹣2+4√2）或（1，4）．11、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数a≠0）与x轴，y轴分别交于A，B，C三点，已知A（-1，0），B（3，0），C（0，3），动点E从抛物线的顶点点D出发沿线段DB向终点B运动．（1）直接写出抛物线解析式和顶点D 的坐标；（2）过点E 作EF ⊥y 轴于点F ，交抛物线对称轴左侧的部分于点G ，交直线BC 于点H ，过点H 作HP ⊥x 轴于点P ，连接PF ，求当线段PF 最短时G 点的坐标；（3）在点E 运动的同时，另一个动点Q 从点B 出发沿直线x=3向上运动，点E的速度为每秒5个单位长度，点Q 速度均为每秒1个单位长度，当点E 到达终点B 时点Q 也随之停止运动，设点E 的运动时间为t 秒，试问存在几个t 值能使△BEQ 为等腰三角形？并直接写出相应t 值．【答案】（1）抛物线y=-x 2+2x+3，顶点D 为（1，4）（2）G ，32）（3）存在3个t 值：85t =，109t = 【解析】解：(1)由题意得00933a b c a b c c =-+⎧⎪=++⎨⎪=⎩，解得123a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴抛物线y=−x 2+2x+3，顶点D 为(1,4)；(2)如图，连接OH ，∵EF ⊥y 轴，HP ⊥x 轴，x 轴⊥y 轴，∴四边形HPOF 是矩形，∴PF=OH ，∴当OH 最短时，PF 最短，∴OH ⊥BC 时，PF 最短，可得H 的纵坐标为32， 把y=32代入y=−x 2+2x+3中， 则32=−x 2+2x+3，解得x 1,x 2 (舍去)；∴G 点的坐标(22，32) （3）如图，y BD =-2x+6，BE EN BD BD =即BE 4= 点E 坐标为（t 1+，42t -）,Q(3，t)当BE=BQ 时，；当BE=EQ 时2=(2t+1-3）+(24-2t-t),8t 5= 当BQ=EQ 时 t 2=(2t+1-3）+(24-2t-t) ,10t 9=所以存在3个t 值：．8t 5=，10t 9=。

“分类讨论”在等腰三角形中的应用在最近几年的全国各地中考试卷中，出现了以等腰三角形为背景，考查学生分类讨论能力的试题，为帮助同学们提高对此类问题的解题能力，现列举几例：一、要讨论谁是底边或腰长例1、已知一个等腰三角形的一边长为5，另一边长为7，则这个等腰三角形的周长（）A. 12 B 17 C 19 D 17或19分析：题中并未说明5或7是底边，还是腰，应分情况讨论．解：当等腰三角形的一腰长为5时，此时7为底边，满足任意两边之和大于第三边，所以满足题意的三角形的周长为5+5+7=17；当等腰三角形的一腰长为7时，此时5为底边，也满足任意两边之和大于第三边，故满足题意的三角形的周长为7+7+5=19．综上知选D．例2、有一个等腰三角形，三边分别是3x－2，4x－3，6－2x，求等腰三角形的周长．分析：已知等腰三角形三边长，说明有两边相等，但不知谁是腰，必须分三种情况分析．解：（1）当3x－2＝4x－3时，即x＝1，则三边为1，1，4，由于1＋1＜4，所以不成立；（2）当3x－2＝6－2x时，即85x=，则三边长为141714555、、，由于141417555+>，所以成立；（3）当4x－3＝6－2x时，即x＝1.5，则三边为2.5，3，3，由于2.5＋3＞3，所以成立．由上可知等腰三角形周长为9或8.5.说明：如果等腰三角形的腰长为A，底边长为B，则有222b b aa+<<．二、要讨论腰与底谁较大例3、一等腰三角形的周长为20cm，从底边上的一个顶点引腰的中线，分三角形周长为两部分，其中一部分比另一部分长2cm，求腰长．分析：题目中的条件是一部分比另一部分长2cm，这里可能是腰比底长，也可能是底比腰长，应分两种情况讨论，因为是中线，周长分成的两部分之差就是腰长与底边长之差．解：不妨设腰长为x cm，底边长为y cm ，根据题意有（1）当腰长大于底边时，有2220x yx y-=⎧⎨+=⎩，解得221633x y==、；（2）当腰长小于底边时，有2220y xx y-=⎧⎨+=⎩，解得68x y==、；因为两种情形都符合三角形的三边关系定理，故腰长为223cm或6cm．说明：分类讨论后，要用三角形三边关系定理来判断所给三边能否构成三角形，从而避免造成错解．三、要讨论谁是底角或顶角例4、（1）等腰三角形的一个角是30°，求底角．（2）等腰三角形的一个角是100°，求底角．分析：等腰三角形的一个角可能指底角，也可能指顶角，须分情况讨论，但顶角可以是锐有、直角、钝角，而底角只能是锐角．解：（1）当30°是底角时，底角即为30°；当30°是顶角时，底角为180302︒-︒，即为75°；（2）因100°只能是顶角，所以底角是1801002︒-︒，即为40°．说明：等腰三角形的底角只能为锐角，不能为直角、钝角，但顶角可以为锐角、直角、钝角．四、要讨论高在三角形内部或外部例5、已知等腰三角形ABC中，BC边上的高12AD BC=，求∠BAC的度数．分析：题中未交代哪条边是底边，哪条边是腰，所以必须分三种情况讨论．解：（1）当BC为底边时，则D是BC中点，△ABC为等腰直角三角形∠BAC=90°；（2）当BC为腰，且高AD在△ABC内部时，1122AD BC AB==，∠B=30°，所以∠BAC=75°；（3）当BC为腰，且高AD在△ABC的外部时，1122AD BC AB==，∠DBA=30°；所以∠BAC=15°．综上所述∠BAC的度数可以为15°、75°、90°．说明：由于题目的图形未画出，因此考虑情况时要周全，不要出现漏解．试一试：1、在活动课上，小红已有两根长为4cm、8cm的小木棒，现打算拼一个等腰三角形，则小红应取的第三根小木棒长是＿＿＿＿＿Cm．2、在平面直角坐标系中，已知点为A（－2,0），B（2,0）画出等腰三角形ABC（画出一个即可），并写出你画出的ABC的顶点C的坐标．3、下面是数学课堂的一个学习片段,，阅读后, 请回答下面的问题：学习等腰三角形有关内容后，张老师请同学们交流讨论这样一个问题：“已知等腰三角形ABC的角A等于30°，请你求出其余两角”．同学们经片刻的思考与交流后，李明同学举手说：“其余两角是30°和120°”；王华同学说：“其余两角是75°和75°” ，还有一些同学也提出了不同的看法……(1)假如你也在课堂中，你的意见如何? 为什么?(2)通过上面数学问题的讨论, 你有什么感受? (用一句话表示)“分类讨论”在等腰三角形中的应用当面临的问题不宜用一种方法处理或同一种形式叙述时，我们就要想到“分类讨论”——“分而治之，各个击破”．下面就让“分类讨论”思想在等腰三角形中“大放光彩”吧！例1 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（）A、60°B、120°C、60°或150°D、60°或120°分析：分两种情况，①当顶角是锐角时，如图1，∵∠ABD=30°，∠ADB=90°，∴∠A=60°;②当顶角是钝角时，如图2，∵∠ABD=30°，∠ADB=90°，∴∠BAD=60°，∴∠BAC =120°．所以顶角度数为60°或120°，所以选D ．例2 等腰三角形的周长为13，其中一边长为3，则该等腰三角形的底边长为( ) A 、7 B 、3 C 、5或3 D 、5分析：长为3的边可能是底边，也可能是腰，因此有两种情况，①若长为3的边为底边，则该等腰三角形的底边长为3; ②若长为3的边为腰，则该等腰三角形的底边长为(13-3)÷2=5．故选C ．说明：边长为3的边、可能是底边，不要只认为它是腰．例3 已知点A 和点B ，以点A 和点B 为其中两个点作位置不同的等腰直角三角形，一共可以作出( )A 、2个B 、4个C 、6个D 、8个分析:如图3，以线段AB 为底边可作出两个等腰直角三角形，以AB 为腰可作出4个等腰直角三角形，因此，共可作出6个等腰直角三角形，故选C ． 说明：解题时容易忽视为腰长的情况，因此，分析问题一定要用心，充分考虑各种情形． 例4 如图4，在等边△ABC 所在的平面内求一点P ，使△P AB 、△PBC 、△P AC 都是的等腰三角形，你能找到几个这样的点?画图描述它们的位置．分析：如图4，△ABC 三条边的垂直平分线的交点1p 满足条件，分别以点A 、点B 为圆心，AB 为半径画圆弧，交AC 的垂直平分线于2p 、3p 两点，则△、、、AC P BC P AB P 222∆∆、、、AC P BC P AB P 333∆∆也是等腰三角形，同样可以在AB 、BC 的垂直平分线上再找到4个点P ，使△P AB 、△PBC 、△P AC 是等腰三角形．所以共有7个点．画出的图形如图4．说明：此题乍一看只能确定在△ABC 内一点，关键要注意三个等腰三角形的腰是哪两条边．分类讨论探究题既是中考热点又是考生易错点，克服方法是解题时常提醒自己：“还有其它情况吗？”切记！…图1B 图2 图3B。

2020年中考数学压轴题突破之动态问题(几何)1.如图，点O是等边ABC内一点，AOB 110 , BOC .以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD .(1)若120 ,判断OB OD BD (填“，或”)(2)当150 ,试判断AOD的形状，并说明理由；(3)探究：当时，AOD是等腰三角形.(请直接写出答案)【答案】(1) 二; (2) ADO是直角三角形，证明见详解；(3) 125、110、140 .【分析】(1)根据等边三角形性质得出COD 60 ,利用？BOC a = 120。

求出BOD 180 ,所以B, 0, D三点共线，即有OB+ OD = BD ；(2)首先根据已知条件可以证明BOC ADC ,然后利用全等三角形的性质可以求出ADO的度数，由此即可判定AOD的形状；(3)分三种情况讨论，利用已知条件及等腰三角形的性质即可求解.2 .如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的顶点O与坐标原点重合，顶点A C在坐标轴上，B(18,6),将矩形沿EF折叠，使点A与点C重合.图3 G(1)求点E的坐标;(2)P O O A E2E时停止运动，设P的运动时间为t, VPCE的面积为S,求S与t的关系式，直接写出t 的取值范围;3(3)在(2)的条件下，当PA=]PE 时，在平面直角坐标系中是否存在点Q,使得以点P 、E 、G Q 为顶点的四边形为平行四边形？若不存在，请说明理由；若存在，请求出点Q 的坐标.【答案】(1) E (10, 6); (2) S= -8t+54 (0<t<3)或 S=-6t+48 (3vtW8)； (3)存 在，Q (14.4 , -4.8 )或(18.4 , -4.8 ). 【详解】解：(1)如图 1,矩形 ABO, B (18, 6),• .AB=18 BC=6,设 AE=x,贝U EC=x BE=18-x,Rt^EBC 中，由勾股定理得： EB"+BC 2=EC 2,(18-x) 2+62=x 2, x=10,即 AE=10,①当P 在OA 上时，0WtW3,如图 2,=18X 6-1X10(62) — - X8X6 - 1X 18X2t , 2 2 2=-8t+54 ,②当P 在AE 上时，3<t<8,如图3,S = S 矩形 OABC S △ PAE -S △ BEC -S △OPCj• •E ( 10, 6);(2)分两种情况：S=1PE?BC=1 X 6X(16-2t)=3 (16-2t ) =-6t+48 ;2 2(3)存在，由PA=3PE可知：P在AE上，如图4,过G作GHLOC于H,2•.AP+PE=10.•.AP=6 PE=4,设OF=y,则FG=y, FC=18-y,由折叠得：/ CGFW AOF=90 ,由勾股定理得：FC2=FC+CG,•. ( 18-y) 2=y2+62,y=8,•.FG=8 FC=18-8=10,1FC?GH= 1FG?CG221X10XGH= 1 X6X8,22GH=4.8,由勾股定理得：FH=J82 4 82 =6.4 ,• .OH=8+6.4=14.4,.•.G ( 14.4 , -4.8 ),•・•点P、E G Q为顶点的四边形为平行四边形，且PE=4,.•.Q ( 14.4 , -4.8 )或(18.4 , -4.8 ). k ,3.如图1,平面直角坐标系xoy中，A(-4, 3),反比例函数y —(k 0)的图象分别x交矩形ABOC勺两边AC, BC于E, F (E, F不与A重合)，沿着EF将矩形ABO所叠使A, D重合.②若折叠后点 D 落在矩形ABOCrt （不包括边界），求线段CE 长度的取值范围.（2）若折叠后，△ ABD 是等腰三角形，请直接写出此时点 D 的坐标.7 . 23 3. 11 3.【答案】（1）①EC= 2;②3 CE 4； （2）点D 的坐标为（一,一）或（一，一）88 2 5 5【详解】,k k解：(1)①由题意得E(k,3) , F( 4,-), 3 4k kk 0 ,则 EC — , FB 一, 3 4AF 3 一， 417(12 k) 4 3 1 3 4(12 k) 3..由 A(-4, 3)得：AC 4, AB 3,,AC 4一 --- 一,AB 3 AE AC AF AB '又A=Z A,・ .△AE% AACB ・ •/AEF4 ACB ・ •.EF// CB如图2,连接AD 交EF 于点H ,••• AE.AE （1）①如图2,当点D 恰好在矩形 ABOC 勺对角线BC 上时，求CE 的长；②由折叠得EF 垂直平分AD,••• /AHE 90 ,则 EAH AEF又• BAD EAH BAC 90 ,BAD AEF ，・ .△AE% ABAQAE AF 口"AB AE 4--- ----- ,则 ----- ------ -，AB BD BD AF 34 3 9 BDAB - 3 - 3 4 4设 AF=x,贝U FB=3— x, FD=AF=x 在Rt^BDF 中，由勾股定理得：FB 2 BD 2 FD 2，r i图2由折叠的性质得： •••D 在 BC 上， ,AE AHEC DH 1 EC AC 2AH=DH 1,则 AE EC 2;即(3 x)2x 2 ,解得:如图，当D 落在BO 上时，: EAF ABD 90 ,B力。

等腰三角形模型重难点突破等腰模型(一) 手拉手类型一等腰直角三角形构手拉手1.如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,E 为△ABC 外一点,∠AEB=90°,求∠AEC 的度数.2如图,在五边形AOBNM 中,AO=OB,MA=MN,∠AOB=∠AMN=90°,OM=8.求五边形AOBNM 的面积.类型二等边三角形构手拉手3.如图，△ABC 为等边三角形，D 为BC上一动点，M为AB 的延长线上一点，CD=BM. N为AD的中点,连接CN,MN.求证:MN⊥CN.4.如图,D 为等边△ABC外一点,∠ADB=60°,BE⊥AD 于点E,连接CD.(1)求证:AD+CD=BD;(2)求证:DE=AE+CD.类型三一般等腰三角形构手拉手5.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=2α,P为△ABC 内一点,∠APB=150°-α,∠ABP+∠ACP=60°.求证:PB=PC.类型一90°对90°1.如图,在四边形ABCD 中,∠BAD=∠BCD=90°,AB=AD,E 为BD上一点,∠BAE=∠DBC=22.5°.求证:BC=AE+CD.类型二60°对120°2.如图,在等边△ABC 中,D 是BC 边上的中点,E 为AB 的延长线上一点,F 为AC 上一点,∠EDF=120°,延长DF,交BA 的延长线于点M.(1)求证:ED=DF;(2)若BD=2AF,求证:AM=2BE.3如图,在等边△ABC 中,E 为△ABC外一点,O 为BE 的中点,D 为AC 上一点,△DOE 为等边三角形,求证:OC=OD.类型一等腰直角三角形背景1.如图,△ABC 为等腰直角三角形,∠ABC=90°,△ABD 为等腰三角形,AD=AB=BC,E 为DB 延长线上一点,∠BAD=2∠CAE.若AE=a,BE=b,CE=c,则△ABC的面积为.(用含a，b，c的式子表示)类型二等腰三角形背景2.如图，△ABC 为等边三角形，直线l经过点C，在l上位于点C 右侧的点D 满足∠BDC=60°,点F,G 在直线l上,连接AF,在l 上方作∠AFH=120°,且AF=HF,∠HGF=120°,求证:HG+BD=CF.类型三等边三角形背景3.【问题情境】(1)如图1,△ABC 和△ADE 都是等边三角形,连接BD,CE,求证:△ABD≌△ACE;【迁移应用】(2)如图2,△ABC 和△ADE 都是等边三角形,A,B,E 三点在同一条直线上,M是AD 的中点,N 是AC 的中点,点P 在BE 上,且△MNP 是等边三角形,求证:P 是BE 的中点.4.如图,在△ABC中,∠BAC=60°,D 是△ABC 外一点,△BCD 是等边三角形,过点D 分别作AB,AC 的垂线,垂足分别为E,F,若CF=3BE,则ABAC的值为( )A.75B.54C.43D.53等腰模型(四) 夹半角类型一60°夹30°1.如图,在等边△ABC 中,在AC 边上取点M,N,使∠MBN=30°.若AM=m,MN=x,CN=n,则以x,m,n 为边长的三角形的形状为( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.随x,m,n 的值而定类型二120°夹60°2.如图,在△ABC 中,∠BAC=120°,AB=AC,E,F 为BC 上两点,∠EAF=60°,∠AEF=75°,BE=10,求CF 的长.类型三90°夹45°3.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°. M,N为BC 上两点,∠AMN=75°,∠MAN=45°,探究MN 与CN 之间的数量关系.4.如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,D 为AB 上一点,E 为AB 的延长线上一点,∠DCE=45°,∠CED=30°,求证:BD=BE.等腰模型(五)“十字架”类型一等边三角形中的“十字架”1.如图,在等边△ABC 中,D,E 分别为边AB,BC 上的点,AD=BE,AE 与CD 交于点F.(1)求证:△ABE≌△CAD;(2)在FC 上截取FG=AF,过点G 作GH∥BC 交AE 于点H.求证:GH=AD.类型二等腰三角形中的“十字架”2.如图,在等腰△ABC中,AB=BC,∠BAC=30°,D,E,F 分别为线段AB,BC,AC 上的点,∠ABF=∠BED,DE 交BF 于点G.(1)求∠BGD 的度数;(2)若BD=CE,点H 在BF 的延长线上,BH=DE,连接AH.求证:AH∥BC.等腰模型(六)“胖瘦三角形”1如图,在△ABC中,AB=AC,点E 在线段AC 上,点D 在AB 的延长线上,连接DE 交BC 于点F,过点E 作EG⊥BC 于点G.(1)若∠A=50°,∠D=30°,则∠GEF 的度数为;(2)若BD=CE,求证:FG=BF+CG.2.如图,在平面直角坐标系中,A(0,4),B(4,0),点M,N 分别在y轴和x 轴上,点N在点B 右侧,且AM=BN.连接MN交AB 的延长线于点C.求证:MC=CN.3.如图,在△ABC 中,∠ABC=2∠ACB,BD 为△ABC 的角平分线.若E 为线段BD 上一点,∠DEC=∠A,求证:AB=EC.等腰模型(七)“镜面角”类型一 反向延长构角平分线1.如图,C 是等腰 Rt △OAB(OB=OA)中直角边 BO 延长线上的一点,过点 B 作 BD ⊥AC 于点 D.若∠OAC=∠BAD,则 AC BD 的值为()A.32B.2C.74D.522.如图,在△ABD 中,E 为BA 的延长线上一点,DA=DE,点 F 在BD 上,且∠AFB=∠EFD,求证:∠FAD=∠FED.类型二 作腰的平行线构双等腰3.如图,在△ACE 中,AC=AE,延长 EC 至点B,BD ⊥AE 交EA 的延长线于点D,若∠BAD=∠CAE,AB=6,AE=2,则AD 的长为 .等腰模型(八) 角格点三角形类型一在60°角顶点处作等边构全等1.如图,在四边形ABCD 中,DB=DC,∠DCA=60°,∠DAC=78°,∠CAB=24°,则∠ACB 的度数为.2.如图,在△ABC 中,∠ABC=60°,∠ACB=80°,点D 在△ABC外,连接AD,BD,CD.若∠DBA=20°,∠ACD=30°,则∠BAD 的度数是( )A.20°B.25°C.30°D.35°类型二无60°角作等边构全等3.如图,在△ABC 中,AC=AB=6,∠BAC=80°,O 为△ABC 内一点,∠OBC=10°,∠OCB=30°,则线段BO 的长为.突破34 等腰模型(一) 手拉手1.解:过点C 作CF⊥CE 交AE 于点F,设AE 与BC 交于点D,∴∠FCE=∠ACB=90°,∴∠ACF=∠BCE.∵∠AEB=∠ACB=90°,且∠ADC=∠BDE,∴∠CAD=∠CBE.∵AC=BC,∴△ACF≌△BCE,∴CF=CE.∵∠FCE=90°,∴∠AEC=∠CFE=45°.2.解:过点M 作ME⊥OM,且ME=OM=8,连接NE,OE 交BN 于点F,∴∠OME=∠AMN=90°,∴∠NME=∠AMO.∵MA=MN,∴△AMO≌△NME,∴NE=OA=OB,∠MNE=∠A.∵∠A+∠MNB+∠B+∠AMN+∠AOB=540°,∠AOB=∠AMN=90°,∴∠MNE+∠MNB+∠B=360°.∵∠MNE + ∠MNB + ∠ENB =360°,∴∠B=∠ENB.∵∠EFN=∠OFB,∴△OBF≌△ENF,∴S△ENF=S△OBF.∵S MAO=S MNE,∴Sπ对底AOBNM=S MOE=1OM.ME=32.23.证明:延长CN 至点P,使NP =CN,连接AP,MC,MP.∵N 为AD 的中点,∴AN=ND.∵∠ANP=∠CND,∴△ANP≌△DNC,∴AP=CD,PN=NC,∠APN=∠NCD,∴AP∥CB,∴∠PAC+∠ACB=180°.∵△ABC 为等边三角形,∴AC=BC,∠ACB=∠ABC=60°,∴∠PAC=∠CBM=120°.∵CD=AP,CD=BM,∴AP=BM,∴△PAC≌△MBC,∴MC=PC,∠PCA=∠MCB,∴∠PCM=∠ACB=60°,∴△PCM 为等边三角形,∴PM=MC.∵PN=NC,∴MN⊥CN.4.证明:(1)在BD 上截取DH=AD,连接AH.∵∠ADB=60°,∴△ADH 为等边三角形,∴∠HAD=∠AHD=60°,AH=AD.∵△ABC 为等边三角形,∴AB=AC,∠BAC=60°,∴∠BAC=∠HAD,∴∠BAH=∠CAD,∴△BAH≌△CAD,∴BH=CD,∴AD+CD=DH+BH=BD;(2)在ED 上截取DM = DC,连接BM.由(1)知△BAH≌△CAD,∴∠ADC = ∠AHB = 180° -∠AHD=120°,∴∠BDC=∠ADC--∠ADB=60°,∴∠ADB=∠BDC.∵DM=DC,DB=DB,∴△BDM≌△BDC,∴BC=BM.∵AB=BC,∴AB=BM.∵BE⊥AD,∴AE=EM,∴DE=EM+DM=AE+CD.5. 证明:在AP 左侧作AE = AP,∠EAP =∠BAC= 2α,连接EB,EP,∴∠EAB=∠PAC.∵AB=AC,∴△AEB≌△APC,∴EB=PC,∠ABE=∠ACP,∴∠EBP = ∠ABE + ∠ABP =∠ACP+∠ABP=60°.∵AP=AE,∠EAP=2α,∴∠APE=∠AEP=90°-α,∴∠EPB = ∠APB - ∠APE = (150°−α)−(90°−α)=60°,∴∠BEP=180°−∠EBP−∠EPB=60°,∴∠BEP=∠EPB,∴PB=EB,∴PB=PC.突破35 等腰模型(二)对角互补1.证明:连接AC,交BD 于点H,过点A 作AC 的垂线交CB 的延长线于点M.∵∠BAD=∠BCD=90°,∴∠ABC+∠ADC=360°−∠BAD-∠BCD=180°.∵∠ABC+∠ABM=180°,∴∠ABM=∠ADC.∵∠MAC=∠BAD=90°,∴∠MAB=∠CAD.∵AB=AD,∴△ABM≌△ADC,∴AM=AC,∴∠M=∠ACM=45°.∵AB=AD,∠BAD=90°,∴∠ABD=∠ADB=45°.∵∠DBC=∠BAE=22.5°,∴∠ABC=67.5°,∠AED=∠BAE+∠ABD=67.5°,∠AHB=∠DBC+∠ACB=67.5°,∴∠AED=∠AHE,∴AE=AH,∠CHD=∠AHB=67.5°.∵∠BDC=90°-∠DBC=67.5°,∴∠CHD=∠CDB,∴CH=CD.∵∠BAC=180°-∠ABC--∠ACB=67.5°,∴∠ABC=∠BAC,∴BC = AC = AH + CH = AE +CD.2.证明:(1)取AC 的中点N,连接DN.∵△ABC 为等边三角形,∴AC=BC,∠ABC=∠C=60°.∵D,N分别为BC,AC 的中点,∴BD=CD=AN=CN,∴△CDN 为等边三角形,∴DN=CD=BD,∠CND=∠CDN=60°,∴∠AND = ∠BDN = 120°=∠EDF=∠EBD,∴∠EDB=∠FDN,∴△EDB≌△FDN,∴DE=DF;(2)连接AD.∵AB=AC,D 为BC的中点,∴∠DAC=∠BAD=1∠BAC=30°,2∴∠ADN = 180°−∠AND −∠DAC=30°,∴∠DAN=∠ADN,∴AN=DN.∵BD=CD=CN=AN,BD=2AF,∴AF=FN.∵∠MAF=180°−∠BAC=120°,∠DNF=120°,∴∠MAF=∠DNF.∵∠AFM=∠DFN,∴△AMF≌△NDF,∴AM=DN.∵DN=CN=AN,AN=2FN,∴AM=DN=2FN.由(1)知△EDB≌△FDN,∴BE=FN,∴AM=2BE.3.证明:过点O分别作OM⊥AC 于点M,ON⊥AB 于点N,连接AO.∵△ODE 为等边三角形,∴∠DOE=60°,OD=OE,∴∠BOD=120°.∵O为BE 的中点,∴OB=OE,∴OD=OB.∵△ABC 为等边三角形,∴∠BAC=60°,∴∠BOD+∠BAC=180°,∴∠ABO+∠ADO=360°−180°=180°.∵∠ODC+∠ADO=180°,∴∠ABO=∠ODC.∵ON⊥AB,OM⊥AC,∴∠ONB=∠OMD=90°,∴△ONB≌△OMD,∴OM=ON,∴AO平分∠BAC,∴∠BAO=∠CAO.∵AB=AC,AO=AO,∴△ABO≌△ACO,∴OC=OB.∵OD=OE=OB,∴OC=OD.突破36 等腰模型(三)一线三等角1.1(ac+b2)解：过点A，C分别作AF⊥DE,CG⊥DE,垂足分别为F,G, 2∴∠AFB=∠ABC=∠CGB=90°.又∵AD=AB=BC,∠BAD=2∠CAE,∠DAB=∠CAE.∴∠BAC=∠ACB=45°, ∠FAB=12∵∠ABC=90°,AF⊥DE,∴∠FAB + ∠FBA = ∠FBA +∠CBG=90°,∴∠FAB=∠CBG=∠CAE,∠AFB=∠CGB,AB=BC,∴△BAF≌△CBG,∴AF=BG,BF=CG.∵∠CAE+∠BAE=45°,∴∠FAB+∠BAE=45°,∴∠AEF=∠FAE=45°,∴AF=EF=BG.又∵BF=CG,∴BF=EG=CG,∴∠CEG=∠AEF=45°,∴∠AEC=90°,∴CG=BF=EF-BE=AF-BE.∵S△ABC=S△AEB+S△AEC=S△BEC,∴S ABC=12BE⋅AF+12AE.EC−12BE⋅CG=12BE(AF−CG)+12AE⋅EC=12BE2+12AE⋅EC=12(ac+b²).2.证明：在l 上位于点C 左侧取一点E,使∠AEC=60°,连接AE.∵△ABC 是等边三角形,∴AC=BC,∠ACB=60°,∴∠BCD+∠ACE=120°.∵∠AEC=60°,∴∠ACE+∠EAC=120°,∴∠BCD=∠EAC.∵∠AEC=∠BDC=60°,∴△AEC≌△CDB,∴BD=CE.∵∠AEF=∠AFH=120°,∴∠AFE + ∠FAE = ∠AFE +∠GFH=60°,∴∠FAE=∠GFH.∵∠HGF =∠AEF = 120°,AF =FH,∴△HGF≌△FEA(AAS),∴GH=EF,∴CF=EF+CE=HG+BD.3.证明:(1)∵△ABC 和△ADE 均为等边三角形，∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°,∴∠BAD=∠CAE,∴△ABD≌△ACE;(2)取AE 的中点K ,取AB 的中点G,连接MK,NG.∵M 为AD 的中点,N 为AC 的中点，AB=AC,AD=AE,∴AN=AG,AM=AK.∵∠CAB=∠DAE=60°,∴△NAG 和△MAK 均为等边三角形.∵△MPN 为等边三角形,∴可证△MKP≌△PGN,∴PK=NG=AG=BG,PG=MK=AK=EK,∴EK+PK=PG+GB,即EP=PB,∴P 为EB 的中点.4. A 解:过点D 作直线MN,点M,N 分别在射线AB, AC 上, 且∠AMN=60°.∵∠A=60°,∴△AMN 为等边三角形,∴AM=AN=MN,∠ANM=60°.∵△BCD 为等边三角形,∴BC=CD=BD,∠BCD=∠CBD=∠BDC.易证△ABC≌△MDB≌△NCD,∴AC=BM=DN,CN=AB=MD.设BE=x,EM=y,∵CF=3BE,∴CF=3x,∴BM=DN=AC=x+y,AB=MD=CN=2y,∴FN=CN-CF=2y-3x.∵DN=2FN,∴x+y=2(2y-3x)=4y-6x,∴7x=3y,∴x=37y,∴AB=2y,AC=x+y= 17y,∴ABAC =75.选A.突破37 等腰模型(四) 夹半角1. C 解:在BC 下方作∠CBE =∠ABM,BE=BM,连接NE,CE,则△CBE≌△ABM,∴CE=AM=m,∠BCE=∠A=60°.由△MBN≌△EBN,得NE=MN=x.∵∠NCE = ∠ACB + ∠BCE =120°,∴△NEC 为钝角三角形,选C.2. 解: 将△AEF 沿AF 翻折, 得△AGF, 连接CG, 则△AEF ≌△AGF,∴∠GAF =∠EAF =60°,∠AFG=∠AFE=180°−60°−75°=45°,∴∠CFG=∠EFG=90°,∠EAG=120°=∠BAC,∴∠CAG=∠BAE.∵AB=AC,AE=AG,∴△ABE≌△ACG,∴∠ACG=∠B=∠ACB=30°,∴∠FCG=60°,∴∠FGC=30°,∴FC=12CG=12BE=5.3.解:将△ABM 绕点A 逆时针旋转90°,得到△ACD,连接DN,则∠ACD=∠B=45°,∠ADC=∠AMB=105°,∠NAD=45°=∠MAN,∴∠DCN=90°.易证△AMN≌△ADN,∴∠ADN=∠AMN=75°,DN=MN,∴∠NDC = ∠ADC - ∠ADN =30°,∴DN=2CN,∴MN=2CN.4.证明:过点C 向右作CM⊥CD,CM=CD,连接DM,BM,ME.∵CA=CB,∠ACB=90°=∠MCD,∠DCE=45°,∴∠ACD=∠BCM,∠MCE=45°,∴△ACD≌△BCM,∴∠MBC=∠CAD=45°,∴∠MBA=90°,∴∠MBE=90°.∵CD=CM,CE=CE,∴△CDE≌△CME,∴∠MEC=∠CEB=30°,DE=ME,∴△DME 是等边三角形.又∵MB⊥DE,∴BD=BE.突破38 等腰模型(五)“十字架”1.证明:(1)∵△ABC为等边三角形,∴AB=AC,∠ABC=∠BAC.∵AD=BE,∴△ABE≌△CAD;(2)在FH 上截取FM=FD.∵∠AFD=∠GFM,AF=FG,∴△AFD≌△GFM,∴∠ADF=∠GMF,MG=AD.∵△ABE≌△CAD,∴∠ADC=∠AEB,∴∠AEB=∠GMF,∴∠AEC=∠GMH.∵GH∥BC,∴∠AHG=∠AEC,∴∠AHG=∠GMH,∴HG=GM,∴HG=AD.2.解:(1)∵AB=BC,∴∠BAC=∠C=30°,∴∠ABC=120°.∵∠BGD = ∠GBE + ∠BED,∠ABF=∠BED,∴∠BGD = ∠GBE + ∠ABF =∠ABC=120°;(2)在BA 上截取BI = BE,连接IH.∵BI=BE,∠IBH=∠BED,BH=DE,∴△IBH≌△BED,∴BD=IH,∠BIH=∠EBD=120°,∴∠AIH=60°.∵BD=CE,AB=BC,∴AD=BE,∴AI=DB.又∵BD=IH,∴AI=IH,∴△IAH 为等边三角形,∴∠IAH=60°,∴∠IAH+∠ABE=180°,∴AH∥BC.突破39 等腰模型(六)“胖瘦三角形”1.解:(1)55°;(2)过点E 作EH∥AB 交BC 于点H,则∠ABC=∠EHC,∠D=∠FEH.∵AB=AC,∴∠ABC=∠C,∴∠EHC=∠C,∴EC=EH.∵BD=CE,∴BD=EH.∵∠EFH=∠BFD,∴△BDF≌△HEF(AAS),∴BF=FH.又∵EC=EH,EG⊥BC,∴CG=HG,∴FG=FH+HG=BF+CG.2.证明:过点M 作y 轴的垂线,交AB的延长线于点G.∵A(0,4),B(4,0),∠AOB=90°,∠OAB=∠OBA=45°.∵MG⊥y轴,∴∠AMG=∠AOB=90°,∠G=∠OBA=45°,∴∠MAG=∠G,∴MG=AM=BN.∵∠BCN=∠GCM,∴△BCN≌△GCM,∴MC=CN.3.解:延长BD 到点T,使得CD=CT.∵∠ABD=∠DBC=∠ACB,∴BD=CD.∵CD=CT,∴∠T=∠CDT=∠ADB.∵BD=CD,∴BD=CT.在△ABD 和△ECT 中,∠A=∠CET,∠ADB=∠T,BD=CT,∴△ABD≌△ECT,∴AB=EC.突破40 等腰模型(七)“镜面角”1. B 解:延长BD,OA 交于点E,则∠BAD=∠OAC=∠EAD.∵∠ADB=∠ADE=90°,AD=AD,∴△ADB≌△ADE,∴BD=DE,∴BE=2BD.∵∠E=∠C,∠BOE=∠COA,OB=OA,∴△BOE≌△AOC,∴AC=BE=2BD,∴AC=2.选B.BD2.证明:过点D 作DM⊥EF 于点M,DN⊥AF,交AF 的延长线于点N.∵∠AFB=∠DFN,又∵DM⊥EF,DN⊥AF,∴DM=DN.在Rt△DME 和Rt△DNA 中,DE=DA,DM=DN,∴Rt△DME≌Rt△DNA,∴∠DEM=∠DAN,即∠FAD=∠FED.3.2 解:过点B 作BG∥AC 交ED 的延长线于点G，∴∠GBE=∠ACE,∠G=∠CAE.∵AC=AE,∠BAD=∠CAE,∴∠ACE=∠E,∠G=∠BAD,∴∠GBE=∠GEB,BA=BG,∴GE=BG=BA=6,∴GA=GE--AE=4.∵BA=BG,BD⊥DE,∴GD=AD=1GA=2.2突破41 等腰模型(八)角格点三角形1.18° 解:延长CA 到点E,使AE=AB,连接DE.∵∠DAC=78°,∴∠DAE=102°.∵∠DAB=∠DAC+∠CAB=78° +24°=102°,∴∠DAE=∠DAB.∵DA=DA,∴△DAB≌△DAE(SAS),∴DE=DB=DC.∵∠DCA=60°,∴△DEC 是等边三角形,∴∠EDC=60°.∴∠ADB=∠EDA=18°,∴∠BDC=60°−2×18°=24°,∴∠DCB=1×(180∘−∠BDC)=78°,2∴∠ACB=∠DCB-∠DCA=18°.2. C 解:在AC 上取点E,使∠CBE=∠ABD=20°,连接DE.∵∠ABC=60°,∠ACB=80°,∴∠BAC=40°.∵∠CBE=20°,∠ACB=80°,∴∠BEC=80°,∴BC=BE.∵∠ACB=80°,∠ACD=30°,∴∠BCD=50°.∵∠ABC=60°,∠ABD=20°,∴∠DBC=80°,∴∠BDC=180°-∠DBC-∠BCD=50°,∴∠BDC=∠BCD,∴BD=BC,∴BD=BE.∵∠DBE=∠DBC-∠EBC=60°,∴△DBE是等边三角形，∴∠DEB=60°,DE=BE,∴∠ABE=∠BEC-∠BAC=40°.∵∠ABE=∠BAC=40°,∴BE=AE=DE,∴∠EAD=∠ADE.∵∠AED=180°−∠DEB−∠BEC=40°,∴∠DAE=70°,∴∠BAD=∠DAE--∠BAC=30°.选 C.3.6 解:在BC 上方作等边△DBC,连接DA,AO,∴DB=DC,∠BDC=60°.∵AB=AC,DA=DA,∴△DAB≌△DAC,∴∠BDA=∠CDA,∴∠BDA=1∠BDC=30∘.2∵∠BCO=30°,∴∠BDA=∠BCO.∵AB=AC,∠BAC=80°,∴∠ABC=∠ACB=50°.∵∠DBC=60°,∠OBC=10°,∴∠DBA=10°,∴∠DBA=∠OBC.∵DB=BC,∴△DBA≌△CBO,∴OB=AB=6.。

动点之等腰三角形编者语：动态几何形成的存在性问题是动态几何中的基本类型，包括等腰（边）三角形存在问题；直角三角形存在问题；平行四边形存在问题；矩形、菱形、正方形存在问题；梯形存在问题（不考）；全等三角形存在问题；相似三角形存在问题；其它存在问题等在中考压轴题中，线动形成的等腰三角形存在性问题的重点和难点在于应用分类思想和数形结合的思想准确地进行分类。

※解决方法：解直角三角形，相似辅助的做法：✍作等腰三角形的高✍向其余边作垂线构成全等。

1.勾股定理。

（辅助线✍）2.锐角三角函数。

（辅助线✍）3.两个角的相似比较常见。

（辅助线✍）典型例题：1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4cm，点D为AC边上一点，且AD=3cm，动点E从点A出发，以1cm/s的速度沿线段AB向终点B运动，运动时间为x s．作∠DEF=45°，与边BC相交于点F．设BF长为ycm．（1）当x= ▲s时，DE⊥AB；（2）求在点E运动过程中，y与x之间的函数关系式及点F运动路线的长；（3）当△BEF为等腰三角形时，求x的值．2.如图，抛物线2323y x x 63-=与x 轴交于点A ，将线段OA 绕点O 逆时针旋转1200至OB 的位置. （1）证明：点B 在抛物线上;（2）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P ，使得以点P 、O 、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．典型例题答案：1.解：（1）232 （2分） （2 ）（3）2.解：（2）等腰三角形练习题2.如图1,已知正方形OABC的边长为2,顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上,M是BC的中点.P（0,m）是线段OC上一动点（C点除外）,直线PM交AB的延长线于点D.⑴求点D的坐标（用含m的代数式表示）⑵当△APD是等腰三角形时,求m的值。

备战2020中考数学之解密压轴解答题命题规律专题01 因动点产生的等腰三角形问题【类型综述】数学因运动而充满活力,数学因变化而精彩纷呈,动态几何问题是近年来中考的热点问题,以运动的观点来探究几何图形的变化规律问题,动态问题的解答,一般要将动态问题转化为静态问题,抓住运动过程中的不变量,利用不变的关系和几何性质建立关于方程（组）、函数关系问题,将几何问题转化为代数问题。

在动态问题中,动点形成的等腰三角形问题是常见的一类题型,可以与旋转、平移、对称等几何变化相结合,也可以与一次函数、反比例函数、二次函数的图象相结合,从而产生数与形的完美结合.解决动点产生的等腰三角形问题的重点和难点在于应用分类讨论思想和数形结合思想进行准确的分类.【方法揭秘】我们先回顾两个画图问题：1．已知线段AB＝5厘米,以线段AB为腰的等腰三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？2．已知线段AB＝6厘米,以线段AB为底边的等腰三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？已知腰长画等腰三角形用圆规画圆,圆上除了两个点以外,都是顶点C．已知底边画等腰三角形,顶角的顶点在底边的垂直平分线上,垂足要除外．在讨论等腰三角形的存在性问题时,一般都要先分类．如果△ABC是等腰三角形,那么存在①AB＝AC,②BA＝BC,③CA＝CB三种情况．解等腰三角形的存在性问题,有几何法和代数法,把几何法和代数法相结合,可以使得解题又好又快．几何法一般分三步：分类、画图、计算．哪些题目适合用几何法呢？如果△ABC的∠A（的余弦值）是确定的,夹∠A的两边AB和AC可以用含x的式子表示出来,那么就用几何法．①如图1,如果AB＝AC,直接列方程；②如图2,如果BA＝BC,那么1cos2AC AB A=∠；③如图3,如果CA＝CB,那么1cos2AB AC A=∠．代数法一般也分三步：罗列三边长,分类列方程,解方程并检验．如果三角形的三个角都是不确定的,而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来,那么根据两点间的距离公式,三边长（的平方）就可以罗列出来．图1 图2 图3【典例分析】【例1】抛物线229y x bx c =-++与x 轴交于1,05,0A B （-），（）两点,顶点为C ,对称轴交x 轴于点D ,点P 为抛物线对称轴CD 上的一动点（点P 不与,C D 重合）．过点C 作直线PB 的垂线交PB 于点E ,交x轴于点F ．()1求抛物线的解析式；()2当PCF V 的面积为5时,求点P 的坐标；()3当△PCF 为等腰三角形时,请直接写出点P 的坐标．【例2】如图1,抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A (－1,0)、B (3, 0)、C (0 ,3)三点,直线l 是抛物线的对称轴． （1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P 是直线l 上的一个动点,当△PAC 的周长最小时,求点P 的坐标；（3）在直线l 上是否存在点M ,使△MAC 为等腰三角形,若存在,直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在,请说明理由．图1【例3】如图1,点A 在x 轴上,OA ＝4,将线段OA 绕点O 顺时针旋转120°至OB 的位置． （1）求点B 的坐标；（2）求经过A 、O 、B 的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上,是否存在点P ,使得以点P 、O 、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在,求点P 的坐标；若不存在,请说明理由．图1【例4】在平面直角坐标系xOy 中,已知(0,2)A ,动点P 在33y x =的图像上运动（不与O 重合）,连接AP ,过点P 作PQ AP ⊥,交x 轴于点Q ,连接AQ ．（1）求线段AP 长度的取值范围；（2）试问：点P 运动过程中,QAP ∠是否问定值？如果是,求出该值；如果不是,请说明理由． （3）当OPQ ∆为等腰三角形时,求点Q 的坐标．【例5】如图1,在矩形ABCD 中,8AB =,10AD =,E 是CD 边上一点,连接AE ,将矩形ABCD 沿AE 折叠,顶点D 恰好落在BC 边上点F 处,延长AE 交BC 的延长线于点G ．（1）求线段CE 的长；（2）如图2,M ,N 分别是线段AG ,DG 上的动点（与端点不重合）,且DMN DAM ∠=∠,设AM x =,DN y =．①写出y 关于x 的函数解析式,并求出y 的最小值；②是否存在这样的点M ,使DMN V 是等腰三角形？若存在,请求出x 的值；若不存在,请说明理由． 【例6】如图1,已知Rt △ABC 中,∠C ＝90°,AC ＝8,BC ＝6,点P 以每秒1个单位的速度从A 向C 运动,同时点Q 以每秒2个单位的速度从A →B →C 方向运动,它们到C 点后都停止运动,设点P 、Q 运动的时间为t 秒． （1）在运动过程中,求P 、Q 两点间距离的最大值；（2）经过t 秒的运动,求△ABC 被直线PQ 扫过的面积S 与时间t 的函数关系式；（3）P ,Q 两点在运动过程中,是否存在时间t,使得△PQC 为等腰三角形．若存在,求出此时的t 值,若不存在,请说明理由．（24.25≈,结果保留一位小数）图1【变式训练】1．矩形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示,已知(23,2)B ,点A 在x 轴上,点C 在y 轴上,P 是对角线OB 上一动点（不与原点重合）,连接PC ,过点P 作PD PC ⊥,交x 轴于点D ．下列结论：①23OA BC ==；②当点D 运动到OA 的中点处时,227PC PD +=；③在运动过程中,CDP ∠是一个定值；④当△ODP 为等腰三角形时,点D 的坐标为23⎫⎪⎪⎝⎭．其中正确结论的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．如图,在正方形ABCD 中,E F 、是对角线AC 上的两个动点,P 是正方形四边上的任意一点,且42AB EF ＝，＝,设AE x ＝．当PEF V 是等腰三角形时,下列关于P 点个数的说法中,一定正确的是（ ）①当0x ＝（即E A 、两点重合）时,P 点有6个 ②当0422x -＜＜时,P 点最多有9个 ③当P 点有8个时,x ＝22﹣2④当PEF V 是等边三角形时,P 点有4个 A ．①③B ．①④C ．②④D ．②③3．如图,在矩形ABCD 中,3310AD AB ==,点P 是AD 的中点,点E 在BC 上,2CE BE =,点M 、N 在线段BD 上．若PMN ∆是等腰三角形且底角与DEC ∠相等,则MN =_____．4．如图,平面直角坐标系中,矩形ABOC 的边,BO CO 分别在x 轴,y 轴上,A 点的坐标为(8,6)-,点P 在矩形ABOC 的内部,点E 在BO 边上,满足PBE ∆∽CBO ∆,当APC ∆是等腰三角形时,P 点坐标为_____．5．在平面直角坐标系xOy 中,已知点A （0,3）,点B （5,0）,有一动点P 在直线AB 上,△APO 是等腰三角形,则满足条件的点P 共有（ ）A ﹒2个B ﹒3个C ﹒4个D ﹒5个6．如图,点A 、B 、P 在⊙O 上,且∠APB=50°。

以三角形为载体的几何综合问题【考点1】关于三角形角度计算与证明的综合问题【例1】（2020•衢州）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动、C点固定，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是（）A．60°B．65°C．75°D．80°【分析】根据OC＝CD＝DE，可得∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，根据三角形的外角性质可知∠DCE＝∠O+∠ODC＝2∠ODC，进一步根据三角形的外角性质可知∠BDE＝3∠ODC＝75°，即可求出∠ODC的度数，进而求出∠CDE的度数．【解析】∵OC＝CD＝DE，∴∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，∴∠DCE＝∠O+∠ODC＝2∠ODC，∵∠O+∠OED＝3∠ODC＝∠BDE＝75°，∵∠CDE+∠ODC＝180°﹣∠BDE＝105°，∴∠CDE＝105°﹣∠ODC＝80°．故选：D．点评：本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键．【例2】（2020•杭州）如图，在△ABC中，AC＜AB＜BC．（1）已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证：∠APC＝2∠B．（2）以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连接AQ．若∠AQC＝3∠B，求∠B的度数．【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可知PA＝PB，根据等腰三角形的性质可得∠B＝∠BAP，根据三角形的外角性质即可证得APC＝2∠B；（2）根据题意可知BA＝BQ，根据等腰三角形的性质可得∠BAQ＝∠BQA，再根据三角形的内角和公式即可解答．【解析】（1）证明：∵线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，∴PA＝PB，∴∠B＝∠BAP，∵∠APC＝∠B+∠BAP，∴∠APC＝2∠B；（2）根据题意可知BA＝BQ，∴∠BAQ＝∠BQA，∵∠AQC＝3∠B，∠AQC＝∠B+∠BAQ，∴∠BQA＝2∠B，∵∠BAQ+∠BQA+∠B＝180°，∴∠B ＝36°．点评：本题主要考查了等腰三角形的性质、垂直平分线的性质以及三角形的外角性质，难度适中． 【考点2】关于三角形的线段计算综合问题【例3】（2020•绍兴）如图1，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为（ ）A ．245B ．325C ．12√3417D ．20√3417【分析】设DE ＝x ，则AD ＝8﹣x ，由长方体容器内水的体积得出方程，解方程求出DE ，再由勾股定理求出CD ，过点C 作CF ⊥BG 于F ，由△CDE ∽△CBF 的比例线段求得结果即可． 【解析】过点C 作CF ⊥BG 于F ，如图所示：设DE ＝x ，则AD ＝8﹣x ，根据题意得：12（8﹣x +8）×3×3＝3×3×6，解得：x ＝4， ∴DE ＝4， ∵∠E ＝90°，由勾股定理得：CD =2+CE 2=√42+32=5， ∵∠BCE ＝∠DCF ＝90°，∵∠DEC ＝∠BFC ＝90°， ∴△CDE ∽△CBF ， ∴CE CF =CD CB ，即3CF=58，∴CF =245． 故选：A ．点评：本题考查了勾股定理的应用、长方体的体积、梯形的面积的计算方法；熟练掌握勾股定理，由长方体容器内水的体积得出方程是解决问题的关键．【例4】（2020•浙江自主招生）如图，等边三角形ABC 中，AO 是∠BAC 的平分线，D 为AO 上一点，以CD 为一边且在CD 下方作等边三角形CDE ，连结BE ，延长BE 至点Q ，P 为BQ 上一点，连结CP ，CQ ，使CP ＝CQ ＝5，若BC ＝8时，则PQ 的长为 6 ．【分析】根据SAS 即可证得△ACD ≌△BCE ，过点C 作CH ⊥BQ 于H ，由等边三角形的性质，即可求得∠DAC ＝30°，则根据等腰三角形与直角三角形中的勾股定理即可求得PQ 的长． 【解析】过点C 作CH ⊥BQ 于H ，∵△ABC 是等边三角形，AO 是角平分线，∵△ABC与△DCE是等边三角形，∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACD+∠DCB＝∠ECB+∠DCB＝60°，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS）；∴∠PBC＝∠DAC＝30°，∴在Rt△BHC中，CH=12BC=12×8＝4，∵PC＝CQ＝5，CH＝4，∴PH＝QH＝3，∴PQ＝6．故答案为：6．点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形、等边三角形以及直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．【考点3】全等三角形的计算与证明【例5】（2020•温州）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED 的延长线于点F．（1）求证：△BDE≌△CDF．（2）当AD⊥BC，AE＝1，CF＝2时，求AC的长．【分析】（1）根据平行线的性质得到∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F，由AD是BC边上的中线，得到BD＝CD，于是得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到BE＝CF＝2，求得AB＝AE+BE＝1+2＝3，于是得到结论．【解答】（1）证明：∵CF∥AB，∴∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F，∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，∴△BDE≌△CDF（AAS）；（2）解：∵△BDE≌△CDF，∴BE＝CF＝2，∴AB＝AE+BE＝1+2＝3，∵AD⊥BC，BD＝CD，∴AC＝AB＝3．点评：本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．【考点4】三角形与旋转变换综合问题【例6】（2020•绍兴）如图1是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD＝30，DM＝10．（1）在旋转过程中，①当A，D，M三点在同一直线上时，求AM的长．②当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，求AM的长．（2）若摆动臂AD顺时针旋转90°，点D的位置由△ABC外的点D1转到其内的点D2处，连结D1D2，如图2，此时∠AD2C＝135°，CD2＝60，求BD2的长．【分析】（1）①分两种情形分别求解即可．②显然∠MAD不能为直角．当∠AMD为直角时，根据AM2＝AD2﹣DM2，计算即可，当∠ADM＝90°时，根据AM2＝AD2+DM2，计算即可．（2）连接CD．首先利用勾股定理求出CD1，再利用全等三角形的性质证明BD2＝CD1即可．【解析】（1）①AM＝AD+DM＝40，或AM＝AD﹣DM＝20．②显然∠MAD不能为直角．当∠AMD为直角时，AM2＝AD2﹣DM2＝302﹣102＝800，∴AM＝20√2或（﹣20√2舍弃）．当∠ADM＝90°时，AM2＝AD2+DM2＝302+102＝1000，∴AM＝10√10或（﹣10√10舍弃）．综上所述，满足条件的AM的值为20√2或10√10．（2）如图2中，连接CD．由题意：∠D1AD2＝90°，AD1＝AD2＝30，∴∠AD2D1＝45°，D1D2＝30√2，∵∠AD2C＝135°，∴∠CD2D1＝90°，∴CD1=√CD22+D1D22=30√6，∵∠BAC＝∠A1AD2＝90°，∴∠BAC﹣∠CAD2＝∠D2AD1﹣∠CAD2，∴∠BAD2＝∠CAD1，∵AB＝AC，AD2＝AD1，∴△BAD2≌△CAD1（SAS），∴BD2＝CD1＝30√6．点评：本题属于四边形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．【考点5】以三角形为载体的几何综合探究问题【例7】（2018•舟山）已知，△ABC中，∠B＝∠C，P是BC边上一点，作∠CPE＝∠BPF，分别交边AC，AB 于点E，F．（1）若∠CPE＝∠C（如图1），求证：PE+PF＝AB．（2）若∠CPE≠∠C，过点B作∠CBD＝∠CPE，交CA（或CA的延长线）于点D．试猜想：线段PE，PF和BD之间的数量关系，并就∠CPE＞∠C情形（如图2）说明理由．（3）若点F与A重合（如图3），∠C＝27°，且PA＝AE．①求∠CPE的度数；②设PB＝a，PA＝b，AB＝c，试证明：b=a2−c2 c．【分析】（1）只要证明PF＝BF，PE＝AF即可解决问题；（2）结论：BD＝PE+PF．如图1中，作BG∥CD交EP的延长线于G．只要证明BD＝EG，PF＝PG即可解决问题；（3）①设∠CPE＝∠BPF＝x，根据三角形内角和定理构建方程即可解决问题；②延长BA到M，使得AM＝AP．连接PM．由△ABP∽△PBM，可得BPAB =BMBP，推出PB2＝BA•BM，又PB＝a，PA＝AM＝b，AB＝c，可得a2＝c（b+c）解决问题；【解答】（1）证明：如图1中，∵∠B＝∠C，∠CPE＝∠BPF，∠CPE＝∠C，∴∠B＝∠BPF＝∠CPE，∠BPF＝∠C，∴PF＝BF，PE∥AF，PF∥AE，∴四边形AEPF是平行四边形，∴PE＝AF，∴PE+PF＝AF+BF＝AB．（2）结论：BD＝PE+PF．理由：如图1中，作BG∥CD交EP的延长线于G．∴∠ABC＝∠C＝∠CBG，∵∠CPE＝∠BPF，∴∠BPF＝∠CPE＝∠BPG，∵BP＝BP，∴△FBP≌△GBP（ASA），∴PF＝PG，∵∠CBD＝∠CPE，∴PE∥BD，∴四边形BDEG是平行四边形，∴BD＝EG＝PG+PE＝PF+PE．（3）①设∠CPE＝∠BPF＝x，∵∠C＝27°，PA＝AE，∴∠APE＝∠PEA＝∠C+∠CPE＝27°+x，∵∠BPA+∠APE+∠CPE＝180°，∴x+x+27°+x＝180°，∴x＝51°，即∠CPE＝51°．②延长BA到M，使得AM＝AP．连接PM．∵∠C＝27°，∠BPA＝∠CPE＝51°，∴∠BAP＝180°﹣27°﹣51°＝102°＝∠M+∠APM，∵AM＝AP，∴∠M＝∠APM＝51°，∴∠M＝∠BPA，∵∠B＝∠B，∴△ABP∽△PBM，∴BPAB =BMBP，∴PB2＝BA•BM，∵PB＝a，PA＝AM＝b，AB＝c，∴a2＝c（b+c），∴b=a2−c2 c．点评：本题考查三角形综合题、等腰三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质．相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．【例8】（2018•台州）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D，E分别在AC，BC上，且CD＝CE．（1）如图1，求证：∠CAE＝∠CBD；（2）如图2，F是BD的中点，求证：AE⊥CF；（3）如图3，F，G分别是BD，AE的中点，若AC＝2√2，CE＝1，求△CGF的面积．【分析】（1）直接判断出△ACE≌△BCD即可得出结论；（2）先判断出∠BCF＝∠CBF，进而得出∠BCF＝∠CAE，即可得出结论；（3）先求出BD＝3，进而求出CF=32，同理：EG=32，再利用等面积法求出ME，进而求出GM，最后用面积公式即可得出结论．【解析】（1）在△ACE和△BCD中，{AC=BC∠ACB=∠ACB=90°CE=CD，∴△ACE≌△BCD，∴∠CAE＝∠CBD；（2）如图2，记AE与CF的交点为M，在Rt△BCD中，点F是BD的中点，∴CF＝BF，∴∠BCF＝∠CBF，由（1）知，∠CAE＝∠CBD，∴∠BCF＝∠CAE，∴∠CAE+∠ACF＝∠BCF+∠ACF＝∠ACB＝90°，∴∠AMC＝90°，∴AE⊥CF；（3）如图3，记AE与CF的交点为M，∵AC＝2√2，∴BC＝AC＝2√2，∵CE＝1，∴CD＝CE＝1，在Rt△BCD中，根据勾股定理得，BD=√CD2+BC2=3，∵点F是BD中点，∴CF＝DF=12BD=32，同理：EG=12AE=32，连接EF，过点F作FH⊥BC，∵∠ACB＝90°，点F是BD的中点，∴FH=12CD=12，∴S △CEF =12CE •FH =12×1×12=14， 由（2）知，AE ⊥CF ，∴S △CEF =12CF •ME =12×32ME =34ME ，∴34ME =14， ∴ME =13，∴GM ＝EG ﹣ME =32−13=76， ∴S △CFG =12CF •GM =12×32×76=78． 点评：此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形的中位线定理，三角形的面积公式，勾股定理，作出辅助线求出△CFG 的边CF 上的是解本题的关键．【考点5】以三角形为载体的几何阅读创新题【例9】（2018•绍兴）数学课上，张老师举了下面的例题：例1 等腰三角形ABC 中，∠A ＝110°，求∠B 的度数．（答案：35°）例2 等腰三角形ABC 中，∠A ＝40°，求∠B 的度数，（答案：40°或70°或100°）张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：变式 等腰三角形ABC 中，∠A ＝80°，求∠B 的度数．（1）请你解答以上的变式题．（2）解（1）后，小敏发现，∠A 的度数不同，得到∠B 的度数的个数也可能不同，如果在等腰三角形ABC 中，设∠A ＝x °，当∠B 有三个不同的度数时，请你探索x 的取值范围．【分析】（1）由于等腰三角形的顶角和底角没有明确，因此要分类讨论；（2）分两种情况：①90≤x ＜180；②0＜x ＜90，结合三角形内角和定理求解即可．【解析】（1）若∠A 为顶角，则∠B ＝（180°﹣∠A ）÷2＝50°；若∠A 为底角，∠B 为顶角，则∠B ＝180°﹣2×80°＝20°；若∠A 为底角，∠B 为底角，则∠B ＝80°；故∠B ＝50°或20°或80°；（2）分两种情况：①当90≤x ＜180时，∠A 只能为顶角，∴∠B 的度数只有一个；②当0＜x ＜90时，若∠A 为顶角，则∠B ＝（180−x 2）°；若∠A 为底角，∠B 为顶角，则∠B ＝（180﹣2x ）°；若∠A 为底角，∠B 为底角，则∠B ＝x °．当180−x2≠180﹣2x 且180﹣2x ≠x 且180−x2≠x ，即x ≠60时，∠B 有三个不同的度数．综上所述，可知当0＜x ＜90且x ≠60时，∠B 有三个不同的度数．点评：本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，进行分类讨论是解题的关键．一．选择题（共5小题）1．（2020•衢州模拟）在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章中有一题：“今有开门去阃（k ǔn ）一尺，不合二寸，问门广几何？”大意是说：如图，推开双门（AD 和BC ），门边缘D ，C 两点到门槛AB 的距离为1尺（1尺＝10寸），双门间的缝隙CD 为2寸，那么门的宽度（两扇门的和）AB 为（ ）A ．103寸B ．102寸C ．101寸D ．100寸【分析】画出直角三角形，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：设OA ＝OB ＝AD ＝BC ＝r ，过D 作DE ⊥AB 于E ，则DE ＝10，OE =12CD ＝1，AE ＝r ﹣1．在Rt △ADE 中， AE 2+DE 2＝AD 2，即（r ﹣1）2+102＝r 2，解得2r ＝101．故门的宽度（两扇门的和）AB 为101寸．故选：C ．2．（2020•拱墅区校级一模）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，D 是BC 边上一点，∠ADC ＝3∠BAD ，BD ＝4，DC ＝3．则AB 的值为（ ）A ．5+3√2B ．2+2√15C ．7√2D ．√113【分析】延长CB 到E ，使得BE ＝BA ．设BE ＝AB ＝a ．利用相似三角形的性质，勾股定理构建方程即可解决问题．【解答】解：如图，延长CB 到E ，使得BE ＝BA ．设BE ＝AB ＝a ．∵BE ＝BA ，∴∠E ＝∠BAE ，∵∠ADC ＝∠ABD +∠BAD ＝2∠E +∠BAD ＝3∠BAD ，∴∠BAD ＝∠E ，∵∠ADB ＝∠EDA ，∴△ADB ∽△EDA ，∴AD ED=DB AD ， ∴AD 2＝4（4+a ）＝16+4a ，∵AC 2＝AD 2﹣CD 2＝AB 2﹣BC 2，∴16+4a ﹣32＝a 2﹣72，解得a ＝2+2√15或2﹣2√15（舍弃）．∴AB ＝2+2√15，故选：B ．3．（2020•温州模拟）如图，已知∠ACB ＝∠DBC ，添加以下条件，不能判定△ABC ≌△DCB 的是（ ）A ．∠ABC ＝∠DCB B ．∠ABD ＝∠DCAC ．AC ＝DBD ．AB ＝DC【分析】根据全等三角形的判定定理 逐个判断即可．【解答】解：A 、∵在△ABC 和△DCB 中{∠ABC =∠DCBBC =CB ∠ACB =∠DBC∴△ABC ≌△DCB （ASA ），故本选项不符合题意； B 、∵∠ABD ＝∠DCA ，∠DBC ＝∠ACB ，∴∠ABD +∠DBC ＝∠ACD +∠ACB ，即∠ABC ＝∠DCB ，∵在△ABC 和△DCB 中{∠ABC =∠DCBBC =CB ∠ACB =∠DBC∴△ABC ≌△DCB （ASA ），故本选项不符合题意； C 、∵在△ABC 和△DCB 中{BC =CB ∠ACB =∠DBC AC =DB∴△ABC ≌△DCB （SAS ），故本选项不符合题意；D 、根据∠ACB ＝∠DBC ，BC ＝BC ，AB ＝DC 不能推出△ABC ≌△DCB ，故本选项符合题意；故选：D ．4．（2020•周村区一模）如图，在△ABC 中，∠B ＝50°，∠C ＝30°，分别以点A 和点C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，作直线MN 交BC 于点D ，连接AD ，则∠BAD 的度数为（ ）A．50°B．60°C．70°D．80°【分析】根据内角和定理求得∠BAC＝95°，由中垂线性质知DA＝DC，即∠DAC＝∠C＝30°，从而得出答案．【解答】解：在△ABC中，∵∠B＝50°，∠C＝30°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝100°，由作图可知MN为AC的中垂线，∴DA＝DC，∴∠DAC＝∠C＝30°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝70°，故选：C．5．（2020•黄岩区模拟）如图所示，在△ABC中，内角∠BAC与外角∠CBE的平分线相交于点P，BE＝BC，PB 与CE交于点H，PG∥AD交BC于F，交AB于G，连接CP．下列结论：①∠ACB＝2∠APB；②S△PAC：S△PAB ＝AC：AB；③BP垂直平分CE；④∠PCF＝∠CPF．其中，正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】利用角平分线的性质以及已知条件对①②③④进行一一判断，从而求解．【解答】解：∵PA平分∠CAB，PB平分∠CBE，∴∠PAB=12∠CAB，∠PBE=12∠CBE，∵∠CBE＝∠CAB+∠ACB，∠PBE＝∠PAB+∠APB，∴∠ACB＝2∠APB；故①正确；过P作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，PS⊥BC于S，∴PM＝PN＝PS，∴PC 平分∠BCD ，∵S △PAC ：S △PAB ＝（12AC •PN ）：（12AB •PM ）＝AC ：AB ；故②正确； ∵BE ＝BC ，BP 平分∠CBE∴BP 垂直平分CE （三线合一），故③正确；∵PG ∥AD ，∴∠FPC ＝∠DCP∵PC 平分∠DCB ，∴∠DCP ＝∠PCF ，∴∠PCF ＝∠CPF ，故④正确．故选：D ．二．填空题（共4小题）6．（2020•温州模拟）如图，已知OP 平分∠AOB ，CP ∥OA ，PD ⊥OA 于点D ，PE ⊥OB 于点E ．CP =254，PD ＝6．如果点M 是OP 的中点，则DM 的长是 5 ．【分析】由角平分线的性质得出∠AOP ＝∠BOP ，PC ＝PD ＝6，∠PDO ＝∠PEO ＝90°，由勾股定理得出CE =√CP 2−PE 2=74，由平行线的性质得出∠OPC ＝∠AOP ，得出∠OPC ＝∠BOP ，证出CO ＝CP =254，得出OE ＝CE +CO ＝8，由勾股定理求出OP =√OE 2+PE 2=10，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案．【解答】解：∵OP 平分∠AOB ，PD ⊥OA 于点D ，PE ⊥OB 于点E ，∴∠AOP ＝∠BOP ，PC ＝PD ＝6，∠PDO ＝∠PEO ＝90°，∴CE =√CP 2−PE 2=√(254)2−62=74，∵CP ∥OA ，∴∠OPC ＝∠AOP ，∴∠OPC ＝∠BOP ，∴OE ＝CE +CO =74+254=8， ∴OP =√OE 2+PE 2=√82+62=10，在Rt △OPD 中，点M 是OP 的中点，∴DM =12OP ＝5；故答案为：5．7．（2020•温岭市校级一模）在半径为2的⊙O 中，弦AB ＝2√2，连接OA ，OB ．在直线OB 上取一点K ，使tan ∠BAK =12，则△OAK 的面积为 23或6 ．【分析】由勾股定理的逆定理得出△AOB 是等腰直角三角形，得出∠OBA ＝45°，分两种情况：①点K 在线段OB 上时；②点K 在线段OB 延长线上时；由三角函数定义和等腰直角三角形的性质求出BK ，得出OK ，再由三角形面积公式即可得出答案．【解答】解：∵OA ＝OB ＝2，AB ＝2√2，∴OA 2+OB 2＝AB 2，∴△AOB 是等腰直角三角形，∴∠OBA ＝45°，分两种情况：①点K 在线段OB 上时，如图1所示：作KD ⊥AB 于D ，则DB ＝DK ，∵tan ∠BAK =12，∴DK AD =12， ∴AD ＝2DK ＝2DB ，∴DK =13AB =2√23，∴OK ＝OB ﹣BK =23，∴S △OAK =12OA •OK =12×2×23=23； ②点K 在线段OB 延长线上时，如图2所示：作KD ⊥AB 于D ，则DB ＝DK ，∵tan ∠BAK =12，∴DK AD =12， ∴AD ＝2DK ，∵DK ＝DB ，∴DB ＝AB ＝2√2，∴BK =√2DB ＝4，∴OK ＝OB +BK ＝6，∴S △OAK =12OA •OK =12×2×6＝6；故答案为：23或6．8．（2020•萧山区一模）如图，CE 、BF 分别是△ABC 的高线，连接EF ，EF ＝6，BC ＝10，D 、G 分别是EF 、BC 的中点，则DG 的长为 4 ．【分析】连接EG、FG，根据直角三角形的性质得到EG＝FG=12BC＝5，根据等腰三角形的性质求出ED，根据勾股定理计算，得到答案．【解答】解：连接EG、FG，∵CE，BF分别是△ABC的高线，∴∠BEC＝90°，∠BFC＝90°，∵G是BC的中点，∴EG＝FG=12BC＝5，∵D是EF的中点，∴ED=12EF＝3，GD⊥EF，由勾股定理得，DG=√GE2−DE2=4，故答案为：4．9．（2020•海宁市二模）如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝1，AE⊥AD，交BC于点E，EA 平分∠BED．（1）CD的长是 2 ；（2）当点F是AC中点时，四边形ABCD的周长是5+√3．【分析】（1）如图，延长DA ，CB 交于点H ，由“ASA ”可证△ADE ≌△AHE ，可得AH ＝AD ，由平行线分线段成比例可求解；（2）如图2中，作AH ⊥CD 于H ，利用垂径定理证明以及线段的垂直平分线的性质证明△ADC 是等边三角形即可解决问题．【解答】解：（1）如图1中，延长DA ，CB 交于点H ，∵EA 平分∠BED ，∴∠AEH ＝∠AED ，且AE ＝AE ，∠EAH ＝∠EAD ＝90°，∴△ADE ≌△AHE （ASA ）∴AH ＝AD ，∵∠ABC ＝∠BCD ＝90°，∴AB ∥CD ， ∴AB CD =AHDH ，且AB ＝1，AH ＝AD =12HD ， ∴CD ＝2，故答案为：2．（2）如图2中，作AH ⊥CD 于H ，∵∠DAE ＝∠DCE ＝90°，∴A，D，C，E四点共圆，设圆心为O，则点O是线段DE的中点，∵AF＝CF，∴DE⊥AC，∴DA＝DC，∵∠ABC＝∠BCH＝∠AHC＝90°，∴四边形ABCH是矩形，∴CH＝AB＝1，∵CD＝2，∴CH＝HD＝1，∵AH⊥CD，∴AD＝AC，∴AD＝CD＝AC＝2，∴BC=√AC2−AB2=√22−12=√3，∴四边形ABCD的周长为2+2+1+√3=5+√3．故答案为5+√3．三．解答题（共11小题）10．（2020•拱墅区校级一模）在△ABC和△DBE中，CA＝CB，EB＝ED，点D在AC上．（1）如图1，若∠ABC＝∠DBE＝60°，求证：∠ECB＝∠A；（2）如图2，设BC与DE交于点F．当∠ABC＝∠DBE＝45°时，求证：CE∥AB；（3）在（2）的条件下，若tan∠DEC=12时，求EFDF的值．【分析】（1）根据SAS可证明△ABD≌△CBE．得出∠A＝∠ECB；（2）得出△ABC和△DBE都是等腰直角三角形，证明△ABD∽△CBE，则∠BAD＝∠BCE＝45°，可得出结论；（3）过点D作DM⊥CE于点M，过点D作DN∥AB交CB于点N，设DM＝MC＝a，得出DN＝2a，CE＝a，证明△CEF ∽△DNF ，可得出答案．【解答】（1）证明：∵CA ＝CB ，EB ＝ED ，∠ABC ＝∠DBE ＝60°，∴△ABC 和△DBE 都是等边三角形，∴AB ＝BC ，DB ＝BE ，∠A ＝60°．∵∠ABC ＝∠DBE ＝60°，∴∠ABD ＝∠CBE ，∴△ABD ≌△CBE （SAS ）．∴∠A ＝∠ECB ；（2）证明：∵∠ABC ＝∠DBE ＝45°，CA ＝CB ，EB ＝ED ，∴△ABC 和△DBE 都是等腰直角三角形，∴∠CAB ＝45°， ∴AB BC =√2，DB BE =√2， ∴ABBC =DBBE ，∵∠ABC ＝∠DBE ，∴∠ABD ＝∠CBE ，∴△ABD ∽△CBE ，∴∠BAD ＝∠BCE ＝45°，∵∠ABC ＝45°，∴∠ABC ＝∠BCE ，∴CE ∥AB ；（3）解：过点D 作DM ⊥CE 于点M ，过点D 作DN ∥AB 交CB 于点N ，∵∠ACB ＝90°，∠BCE ＝45°，∴∠DCM ＝45°，∴∠MDC ＝∠DCM ＝45°，∴DM ＝MC ，设DM＝MC＝a，∴DC=√2a，∵DN∥AB，∴△DCN为等腰直角三角形，∴DN=√2DC＝2a，∵tan∠DEC=DMME=12，∴ME＝2DM，∴CE＝a，∴CEDN =a2a=12，∵CE∥DN，∴△CEF∽△DNF，∴EFDF =CEDN=12．11．（2020•天台县模拟）某校组织数学兴趣探究活动，爱思考的小实同学在探究两条直线的位置关系查阅资料时发现，两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图1、图2、图3中，AF、BE是△ABC 的中线，AF⊥BE于点P，像△ABC这样的三角形均称为“中垂三角形”．【特例探究】（1）如图1，当∠PAB＝45°，AB＝6√2时，AC＝6√5，BC＝6√5；如图2，当sin∠PAB=12，AB＝4时，AC＝2√13，BC＝2√7；【归纳证明】（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想AB2、BC2、AC2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．【拓展证明】（3）如图4，在△ABC中，AB＝4√3，BC＝2√5，D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点，连结DE并延长至G，使得GE＝DE，连结BG，当BG⊥AC于点M时，求GF的长．【分析】（1）如图1，由等腰直角三角形的性质得到AP＝BP＝6，根据三角形中位线的性质和平行线分线段成比例定理可得PE＝PF＝3，利用勾股定理可得AC和BC的长；如图2，根据特殊三角函数值可得∠BAP ＝30°，计算PB和AP的长，同理由中线的性质和勾股定理可得结论；（2）设PF＝m，PE＝n则AP＝2m，PB＝2n，根据勾股定理分别列等式，可得结论；（3）如图4，作辅助线，证明四边形EFCG是平行四边形，得Q是FG的中点，根据中垂三角形的定义可知：△FCG是中垂三角形，利用（2）中三边的关系可得GF的长．【解答】（1）解：如图1，∵AF⊥BE，∴∠APB＝∠APE＝∠BPF＝90°，∵∠PAB＝45°，AB＝6√2，∴AP＝PB＝6，如图1，连接EF，∵AF，BE是△ABC的中线，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥AB．且EF=12AB，∴PE PB =PF PA =12， ∴PE ＝PF ＝3，由勾股定理得：AE ＝BF =√AP 2+PE 2=√62+32=3√5，∴AC ＝BC ＝2AE ＝6√5，如图2，∵sin ∠PAB =12，AB ＝4，AF ⊥BE ，∴∠PAB ＝30°，∴BP =12AB ＝2，AP ＝2√3，∵AF 、BE 是△ABC 的中线，∴PE =12PB ＝1，PF =12AP =√3，由勾股定理得：AE =√PE 2+AP 2=√12+(2√3)2=√13， BF =√PF 2+PB 2=√(√3)2+22=√7，∴AC ＝2AE ＝2√13，BC ＝2BF ＝2√7，故答案为：6√5，6√5，2√13，2√7；（2）解：猜想：AB 2、BC 2、AC 2三者之间的关系是：AC 2+BC 2＝5AB 2，证明：如图3，设 PF ＝m ，PE ＝n 则AP ＝2m ，PB ＝2n ，在Rt △APB 中，（2m ）2+（2n ）2＝AB 2①，在Rt △APE 中，（2m ）2+n 2＝（AC 2）2②， 在Rt △BPF 中，m 2+（2n ）2＝（BC 2）2③，由①得：m 2+n 2=AB 24，由②+③得：5（ m 2+n 2）=AC 2+BC 24， ∴AC 2+BC 2＝5AB 2；（3）解：如图4，连接CG ，EF ，过点F 作FN ∥BG 交CG 于点N ，FG 与AC 交于点Q ，∵FN∥BG，BG⊥AC，∴FN⊥AC，∵F是BC的中点，∴N是CG的中点，∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE＝FC，DE∥FC，∵ED＝EG，∴EG＝FC，EG∥FC，∴四边形EFCG是平行四边形，∴Q是FG的中点，∴△FCG是中垂三角形，∵AB＝4√3，BC＝2√5，∴CG＝EF＝BD＝2√3，FC=√5，由（2）中结论可知：5FC2＝CG2+FG2，即5×5＝（2√3）2+FG2，∴GF=√13．12．（2020•拱墅区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AF为BC边上的中线，DE经过△ABC的重心G，且∠ADE＝∠C．（1）问：线段AG是△ADE的高线还是中线？请说明理由．（2）若AB＝6，AC＝8，求AD的长．【分析】（1）说明∠DAG+∠ADE＝90°可得结论；（2）先根据重心的性质：重心到顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍，可得AG的长，根据等角的三角函数列式可得结论．【解答】解：（1）∵∠CAB＝90°，AF为BC边上的中线，∴AF=12BC＝CF，∴∠C＝∠FAC，∵∠ADE＝∠C，∴∠ADE＝∠FAC，∵∠FAC+∠DAG＝90°，∴∠DAG+∠ADE＝90°，∴∠AGD＝90°∴线段AG是△ADE的高线；（2）在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8，∴BC=√AC2+AB2=√62+82=10，∵AF为BC边上的中线，∴AF＝5，∵G为△ABC的重心，∴AG=23×5=103，∵∠ADE＝∠C，∴sin∠ADG=AGAD=sin∠C=AB BC，∴103AD=610，AD=509．13．（2020•温州模拟）如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D在BC所在的直线上，点E在射线AC上，且AD＝AE，连接DE．（1）如图①，若∠B＝∠C＝35°，∠BAD＝80°，求∠CDE的度数；（2）如图②，若∠ABC＝∠ACB＝75°，∠CDE＝18°，求∠BAD的度数；（3）当点D在直线BC上（不与点B、C重合）运动时，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠BAC＝110°，根据三角形的外角的性质即可得到结论；（2）根据三角形的外角的性质得到∠E＝75°﹣18°＝57°，于是得到结论；（3）设∠ABC＝∠ACB＝y°，∠ADE＝∠AED＝x°，∠CDE＝α，∠BAD＝β，①如图1，当点D在点B的左侧时，∠ADC＝x°﹣α，②如图2，当点D在线段BC上时，∠ADC＝x°+α，③如图3，当点D在点C 右侧时，∠ADC＝x°﹣α，根据题意列方程组即可得到结论．【解答】解：（1）∵∠B＝∠C＝35°，∴∠BAC＝110°，∵∠BAD＝80°，∴∠DAE＝30°，∴∠ADE＝∠AED＝75°，∴∠CDE＝180°﹣35°﹣30°﹣75°＝40°；（2）∵∠ACB＝75°，∠CDE＝18°，∴∠E＝75°﹣18°＝57°，∴∠ADE＝∠AED＝57°，∴∠ADC＝39°，∵∠ABC＝∠ADB+∠DAB＝75°，∴∠BAD＝36°；（3）设∠ABC＝∠ACB＝y°，∠ADE＝∠AED＝x°，∠CDE＝α，∠BAD＝β①如图1，当点D在点B的左侧时，∠ADC＝x°﹣α，∴{y°=x°+α(1)y°=x°−α+β(2)，（1）﹣（2）得2α﹣β＝0，∴2α＝β；②如图2，当点D在线段BC上时，∠ADC＝x°+α，∴{x°=y°+α(1)x°+α=y°+β(2)，（2）﹣（1）得α＝β﹣α，∴2α＝β；③如图3，当点D在点C右侧时，∠ADC＝x°﹣α，∴{x°−α+y°+β=180°(1) y°+x°+α=180°(2)，（2）﹣（1）得2α﹣β＝0，∴2α＝β．综上所述，∠BAD与∠CDE的数量关系是2∠CDE＝∠BAD．14．（2020•上城区模拟）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t的值；（2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值；（3）在运动过程中，直接写出当t为何值时，△BCP为等腰三角形．【分析】（1）设存在点P，使得PA＝PB，此时PA＝PB＝2t，PC＝4﹣2t，根据勾股定理列方程即可得到结论；（2）当点P在∠CAB的平分线上时，如图1，过点P作PE⊥AB于点E，此时BP＝7﹣2t，PE＝PC＝2t﹣4，BE＝5﹣4＝1，根据勾股定理列方程即可得到结论；（3）在Rt△ABC中，根据勾股定理得到AC＝4cm，根据题意得：AP＝2t，当P在AC上时，△BCP为等腰三角形，得到PC＝BC，即4﹣2t＝3，求得t=12，当P在AB上时，△BCP为等腰三角形，若CP＝PB，点P在BC的垂直平分线上，如图2，过P作PE⊥BC于E，求得t=194，若PB＝BC，即2t﹣3﹣4＝3，解得t＝5，③PC＝BC，如图3，过C作CF⊥AB于F，由射影定理得；BC2＝BF•AB，列方程32=2t−3−42×5，即可得到结论．【解答】解：（1）设存在点P，使得PA＝PB，此时PA＝PB＝2t，PC＝4﹣2t，在Rt△PCB中，PC2+CB2＝PB2，即：（4﹣2t）2+32＝（2t）2，解得：t=25 16，∴当t=2516时，PA＝PB；（2）当点P在∠BAC的平分线上时，如图1，过点P作PE⊥AB于点E，此时BP＝7﹣2t，PE＝PC＝2t﹣4，BE＝5﹣4＝1，在Rt△BEP中，PE2+BE2＝BP2，即：（2t﹣4）2+12＝（7﹣2t）2，解得：t=8 3，当t＝6时，点P与A重合，也符合条件，∴当t=83或6时，P在△ABC的角平分线上；（3）在Rt△ABC中，∵AB＝5cm，BC＝3cm，∴AC＝4cm，根据题意得：AP＝2t，当P在AC上时，△BCP为等腰三角形，∴PC＝BC，即4﹣2t＝3，∴t=1 2，当P在AB上时，△BCP为等腰三角形，①CP＝PB，点P在BC的垂直平分线上，如图2，过P作PE⊥BC于E，∴BE=12BC=32，∴PB=12AB，即2t﹣3﹣4=52，解得：t=194，②PB＝BC，即2t﹣3﹣4＝3，解得：t＝5，③PC＝BC，如图3，过C作CF⊥AB于F，∴BF=12BP，∵∠ACB＝90°，由射影定理得；BC2＝BF•AB，即32=2t−3−42×5，解得：t=53 10，∴当t=12，5，5310或194时，△BCP为等腰三角形．15．（2020•杭州模拟）定义：若一个三角形一条边上的高等于这条边长的一半，则称该三角形为“半高”三角形，这条高称为“半高”．（1）如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2AC，点P在AB上，PD⊥AC于点D，PE⊥BC于点E，连接BD，DE求证：△BDE是“半高”三角形；（2）如图2，△ABC是“半高”三角形，且BC边上的高是“半高”，点P在AB上，PQ∥BC交AC于点Q，PM⊥BC于点M，QN⊥BC于点N．①请探究BM，PM，CN之间的等量关系，并说明理由；②若△ABC的面积等于16，求MQ的最小值．【分析】（1）根据新定义“半高”三角形进行证明；（2）①利用新定义的概念进行转化；②将MQ的长度根据勾股定理用二次函数表示出来，利用二次函数的性质进行求解．【解答】（1）证明：∵PE⊥BC，∴∠PEC＝∠PEB＝90°＝∠ACB，又∵∠PBE＝∠ABC，∴△PBE～△ABC，∴PEBE =ACBC=12，∴BE＝2PE，∵PD⊥AC，∴∠PDC＝90°，∴四边形CEPD为矩形，∴DC＝PE，∴BE＝2DC，∴△BDE是“半高”三角形．（2）解：①BM+CN＝2PM．理由如下：如图2，过A作AE⊥BC于E，交PQ于D，∵△ABC 是“半高”三角形，且BC 边上的高是“半高”， ∴BC ＝2AE ∵PQ ∥BC ， ∴△APQ ～△ABC ， ∴AD AE =PQ BC， 即AD AE=PQ 2AE，∴PQ ＝2AD ，∴BC ﹣PQ ＝2AE ﹣2AD ＝2（AE ﹣AD ）， ∵PQ ∥BC ，PM ⊥BC ，QN ⊥BC ， ∴四边形MNQP 是矩形， ∴PQ ＝MN ，PM ＝DE ＝QN ， ∴BC ﹣MN ＝2PM ， 即BM +CN ＝2PM ．②∵S △ABC =12BC ×AE =14BC 2=16， ∴BC ＝8， 设PM ＝x ， 由①得PQ ＝8﹣2x ，∴MQ 2＝x 2+（8﹣2x ）2＝5x 2﹣32x +64＝5（x −165）2+645， ∴当x =165时，MQ 2取得最小值645，则MQ 取得最小值为8√55．16．（2020•南浔区二模）（1）尝试探究如图1，等腰Rt △ABC 的两个顶点B ，C 在直线MN 上，点D 是直线MN 上一个动点（点D 在点C 的右边），BC ＝3，BD ＝m ，在△ABC 同侧作等腰Rt △ADE ，∠ABC ＝∠ADE ＝90°，EF ⊥MN 于点F ，连接CE ．①求DF 的长；②在判断AC ⊥CE 是否成立时，小明同学发现可以由以下两种思路解决此问题： 思路一：先证CF ＝EF ，求出∠ECF ＝45°，从而证得结论成立．思路二：先求DF ，EF 的长，再求CF 的长，然后证AC 2+CE 2＝AE 2，从而证得结论成立．请你任选一种思路，完整地书写本小题的证明过程．（如用两种方法作答，则以第一种方法评分） （2）拓展探究将（1）中的两个等腰直角三角形都改为有一个角为30°的直角三角形，如图2，∠ABC ＝∠ADE ＝90°，∠BAC ＝∠DAE ＝30°，BC ＝3，BD ＝m ，当4≤m ≤6时，求CE 长的范围． 【分析】（1）①根据AAS 证明△ABD ≌△DFE ，可得结论； ②思路一：先证CF ＝EF ，求出∠ECF ＝45°，从而证得结论成立．思路二：先求DF ，EF 的长，再求CF 的长，然后证AC 2+CE 2＝AE 2，从而证得结论成立．（2）如图2，作EF ⊥MN ，同理证明AC ⊥CE ，则无论m 取何大于3的数，AC ⊥CE 总成立，即点E 在一条直线上运动，可得结论．【解答】解：（1）①在等腰Rt △ABC 和等腰Rt △ADE 中，∠ABC ＝∠ADE ＝90°， ∴∠ADB +∠EDF ＝90°， ∵EF ⊥MN ，∴∠DEF +∠EDF ＝90°， ∴∠ADB ＝∠DEF ， 在△ABD 和△DFE 中， {∠ADB =∠DEF∠ABD =∠DFE AD =DE ，∴△ABD ≌△DFE （AAS ）， ∴DF ＝AB ＝BC ＝3； ②证明：思路一：由①得△ABD≌△DFE（AAS），∴DF＝AB＝BC＝3，EF＝BD＝m，∴CF＝CD+DF＝CD+BC＝BD＝m，∴CF＝EF，∵EF⊥MN，∴∠ECF＝45°，∵∠ACB＝45°，∴∠ACE＝90°，即AC⊥CE；思路二：由①得△ABD≌△DFE（AAS），∴DF＝AB＝BC＝3，EF＝BD＝m，∴CF＝CD+DF＝CD+BC＝BD＝m，由勾股定理得：DE2＝DF2+EF2＝32+m2＝9+m2，∴AE2＝2DE2＝2（9+m2），AC2＝32+32＝18，CE2＝CF2+EF2＝2m2，∴AC2+CE2＝AE2，∴∠ACE＝90°，即AC⊥CE；（2）如图2，作EF⊥MN，∴∠DEF+∠EDF＝90°，∵∠ADE＝90°，∴∠ADB+∠EDF＝90°，∴∠ADB＝∠DEF，∴△ABD∽△DFE，∴EF BD=DF AB =DE AD=tan30°=√33， ∴EF =√3m3，DF ＝3，∴CF ＝CD +DF ＝CD +BC ＝BD ＝m ， ∴在Rt △CEF 中，tan ∠ECF =√33， ∴∠ECF ＝30°，CE ＝2EF =2√3m3， ∴∠ACE ＝90°， 即AC ⊥CE ，∴无论m 取何大于3的数，AC ⊥CE 总成立，即点E 在一条直线上运动， ∴4≤m ≤6时，CE 长的范围是8√33≤CE ≤4√3． 17．（2020•瑞安市三模）如图，在等腰△ABC 中，AB ＝BC ，点D 是AC 边的中点，延长BD 至点E ，使得DE ＝BD ，连结CE ．（1）求证：△ABD ≌△CED ．（2）当BC ＝5，CD ＝3时，求△BCE 的周长．【分析】（1）利用全等三角形的判定定理SAS 证得结论；（2）利用勾股定理求得BD ＝4，然后利用三角形的周长公式解答． 【解答】（1）证明：∵AB ＝BC ，点D 是AC 边的中点， ∴AD ＝CD ，∠ADB ＝∠CDE ＝90°． 又∵DE ＝BD ，∴△ABD ≌△CED （SAS ）；（2）解：∵BD =√BC 2−CD 2=√52−32=4， ∴BE ＝2BD ＝8． 又∵CE ＝AB ＝BC ＝5，∴BC +CE +BE ＝5+5+8＝18，即△BCE 的周长为18．18．（2020•黄岩区二模）如图，△ABC 和△ADE 是两个不全等的等腰直角三角形，其中点B 与点D 是直角顶点，现固定△ABC，而将△ADE绕点A在平面内旋转．（1）如图1，当点D在CA延长线上时，点M为EC的中点，求证：△DMB是等腰三角形．（2）如图2，当点E在CA延长线上时，M是EC上一点，若△DMB是等腰直角三角形，∠DMB为直角，求证：点M是EC的中点．（3）如图3，当△ADE绕点A旋转任意角度时，线段EC上是否都存在点M，使△BMD为等腰直角三角形，若不存在，请举出反例；若存在，请予以证明．【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出BM＝DM=12EC，即可得出答案；（2）根据AAS证明△DFM≌∠MGB，得FM＝BG，DF＝MG，根据线段的和表示EM和MC，可得结论；（3）线段EC上都存在中点M，使△BMD为等腰直角三角形，作辅助线，构建全等三角形，证明△DFM≌∠MGB（SAS），得BM＝DM，∠FMD＝∠GBM，再证明∠DMB＝90°，可得结论．【解答】证明：（1）如图1，∵∠EDC＝90°，点M为EC的中点，∴DM=12EC．同理可得：BM=12EC．∴DM＝BM，∴△DMB是等腰三角形；（2）证明：过点D作DF⊥EA，过点B作BG⊥AC，∴∠DFM＝∠BGM＝90°，∴∠FDM+∠DMF＝90°，∵△DMB是等腰直角三角形，∴DM＝BM，∠DMB＝90°，∴∠BMG+∠DMF＝90°，∴∠FDM＝∠BMG，∴△DFM≌∠MGB（AAS），∴FM＝BG，DF＝MG，∵BG＝GC，DF＝EF，∴FM＝GC，MG＝EF，∵EM＝EF+FM，MC＝MG+GC，∴EM＝MC，∴点M是EC的中点；（3）线段EC上都存在中点M，使△BMD为等腰直角三角形，理由是：取AE中点F，AC中点G，连接FD，FM，BG，GM，∵点M是EC的中点，点G是AC的中点，∴GM=12AE，GM∥AE，∵F是AE中点，∴AF=12AE，∴AF∥GM，AF＝GM，∴四边形AFMG是平行四边形，∴∠AFM＝∠AGM，∴∠EFM＝∠MGC．∴∠DFM＝∠BGM，∵GM＝AF＝DF，∴DF＝GM，同理可得BG＝FM，∴△DFM≌∠MGB（SAS），∴BM＝DM，∠FMD＝∠GBM，∵FM∥AC，∴∠FMG＝∠CGM，∴∠DMB＝∠FMD+∠FMG+∠GMB，＝∠GBM+∠CGM+∠GMB，＝180°﹣∠BGC，＝90°，∴△BMD是等腰直角三角形．19．（2020•余杭区二模）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，AB上，且DE＝DF，连结AC，分别交DE，DF于点M，N．（1）求证：△ADF≌△CDE；（2）设△DMN和△AFN的面积分别为S1和S2；①若∠ADF＝∠EDF，求S2：S1的值．②若S2＝2S1，求tan∠ADF．【分析】（1）根据HL证明三角形全等即可．（2）①如图，作NH ⊥AB 于H ．设FH ＝a ．利用参数表示S 2，S 1即可．②如图，作NH ⊥AB 于H ．易证∠ADF ＝∠HNF ，设tan ∠ADF ＝tan ∠FNH ＝k ，设NH ＝AH ＝b ，则FH ＝kb ，利用面积关系构建方程求出k 即可解决问题．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ，∠DAF ＝∠DCE ＝∠ADC ＝90°，∵DF ＝DE ，∴Rt △ADF ≌Rt △CDE （HL ）．（2）①如图，作NH ⊥AB 于H ．设FH ＝a ．∵Rt △ADF ≌Rt △CDE （HL ），∵∠ADF ＝∠CDE ，∵∠ADF ＝∠DEF ，∴∠ADF ＝∠EDF ＝∠CDE ＝30°，∴∠AFD ＝60°，∵∠NHF ＝90°，∴∠FNH ＝30°，∴HN =√3a ，∵∠NAH ＝45°，∠AHN ＝90°，∴∠NAH ＝∠ANH ＝45°，∴HA ＝HN =√3a ，∴AF ＝（1+√3）a ，AD =√3AF ＝（3+√3）a ，∴S 2=12•AF •NH =12•（1+√3）a ⋅√3a =3+√32a 2， ∵∠ADN ＝∠CDM ，AD ＝DC ，∠DAN ＝∠DCM ＝45°，∴△ADN ≌△CDM （ASA ），∴S △ADN ＝S △DCM ，∴S 1＝S △ADC ﹣2S △ADN =12•[（3+√3）a ]2﹣2×12•（3+√3）a •√3a ＝3a 2，∴S 2S 1=3+√32a 23a 2=3+√36．。