中考数学二次函数动点问题-因动点产生的线段和差问题

二次函数与几何的动点及最值、存在性问题目录题型01平行y轴动线段最大值与最小值问题题型02抛物线上的点到某一直线的距离问题题型03已知点关于直线对称点问题题型04特殊角度存在性问题题型05将军饮马模型解决存在性问题题型06二次函数中面积存在性问题题型07二次函数中等腰三角形存在性问题题型08二次函数中直角三角形存在性问题题型09二次函数中全等三角形存在性问题题型10二次函数中相似三角形存在性问题题型11二次函数中平行四边形存在性问题题型12二次函数中矩形存在性问题题型13二次函数中菱形存在性问题题型14二次函数中正方形存在性问题二次函数常见存在性问题：(1)等线段问题：将动点坐标用函数解析式以“一母式”的结构表示出来，再利用点到点或点到直线的距离公式列出方程或方程组，然后解出参数的值，即可以将线段表示出来.【说明】在平面直角坐标系中该点在某一函数图像上，设该点的横坐标为m，则可用含m字母的函数解析式来表示该点的纵坐标，简称“设横表纵”或“一母式”.(2)平行y轴动线段最大值与最小值问题：将动点坐标用函数解析式以“一母式”的结构表示出来，再用纵坐标的较大值减去较小值，再利用二次函数的性质求出动线段的最大值或最小值.(3)求已知点关于直线对称点问题：先求出直线解析式，再利用两直线垂直的性质(两直线垂直，斜率之积等于-1)求出已知点所在直线的斜率及解析式，最后用中点坐标公式即可求出对称点的坐标.(4)“抛物线上是否存在一点，使其到某一直线的距离为最值”的问题：常常利用直线方程与二次函数解析式联立方程组，求出切点坐标，运用点到直线的距离公式进行求解.(5)二次函数与一次函数、特殊图形、旋转及特殊角度综合：图形或一次函数与x 轴的角度特殊化，利用与角度有关知识点求解函数图像上的点，结合动点的活动范围，求已知点与动点是否构成新的特殊图形.2.二次函数与三角形综合(1)将军饮马问题:本考点主要分为两类：①在定直线上是否存在点到两定点的距离之和最小;②三角形周长最小或最大的问题，主要运用的就是二次函数具有对称性.(2)不规则三角形面积最大或最小值问题:利用割补法将不规则三角形分割成两个或以上的三角形或四边形，在利用“一母式”将动点坐标表示出来，作线段差，用线段差来表示三角形的底或高，用面积公式求出各部分面积，各部分面积之和就是所求三角形的面积.将三角形的面积用二次函数的结构表示出来，再利用二次函数的性质求出面积的最值及动点坐标.(3)与等腰三角形、直角三角形的综合问题:对于此类问题，我们可以利用两圆一线或两线一圆的基本模型来进行计算.问题分情况找点画图解法等腰三角形已知点A ，B 和直线l ，在l 上求点P ，使△PAB 为等腰三角形以AB为腰分别以点A ，B 为圆心，以AB 长为半径画圆，与已知直线的交点P 1，P 2，P 4，P 5即为所求分别表示出点A ，B ，P 的坐标，再表示出线段AB ，BP ，AP 的长度，由①AB =AP ；②AB =BP ；③BP =AP 列方程解出坐标以AB 为底作线段AB 的垂直平分线，与已知直线的交点P 3即为所求分别表示出点A ，B ，P 的坐标，再表示出线段AB ，BP ，AP 的长度，由①AB =AP ；②AB =BP ；③BP =AP 列方程解出坐标问题分情况找点画图解法直角三角形已知点A ，B 和直线l ，在l 上求点P ，使△PAB 为直角三角形以AB为直角边分别过点A ，B 作AB 的垂线，与已知直线的交点P 1，P 4即为所求分别表示出点A ，B ，P 的坐标，再表示出线段AB ，BP ，AP 的长度，由①AB 2=BP 2+AP 2；②BP 2=AB 2+AP 2；③AP 2=AB 2+BP 2列方程解出坐标以AB 为斜边以AB 的中点Q 为圆心，QA 为半径作圆，与已知直线的交点P 2，P 3即为所求注：其他常见解题思路有：①作垂直，构造“三垂直”模型，利用相似列比例关系得方程求解；②平移垂线法：若以AB 为直角边，且AB 的一条垂线的解析式易求(通常为过原点O 与AB 垂直的直线)，可将这条直线分别平移至过点A 或点B 得到相应解析式，再联立方程求解．(4)与全等三角形、相似三角形的综合问题:在没有指定对应点的情况下，理论上有六种情况需要讨论，但在实际情况中，通常不会超过四种，要注意边角关系，积极分类讨论来进行计算.情况一探究三角形相似的存在性问题的一般思路：解答三角形相似的存在性问题时，要具备分类讨论思想及数形结合思想，要先找出三角形相似的分类标准，一般涉及动态问题要以静制动，动中求静，具体如下：①假设结论成立，分情况讨论．探究三角形相似时，往往没有明确指出两个三角形的对应点(尤其是以文字形式出现求证两个三角形相似的题目)，或者涉及动点问题，因动点问题中点的位置的不确定，此时应考虑不同的对应关系，分情况讨论；②确定分类标准．在分类时，先要找出分类的标准，看两个相似三角形是否有对应相等的角，若有，找出对应相等的角后，再根据其他角进行分类讨论来确定相似三角形成立的条件；若没有，则分别按三种角对应来分类讨论；③建立关系式，并计算．由相似三角形列出相应的比例式，将比例式中的线段用所设点的坐标表示出来(其长度多借助勾股定理运算)，整理可得一元一次方程或者一元二次方程，解方程可得字母的值，再通过计算得出相应的点的坐标．情况二探究全等三角形的存在性问题的思路与探究相似三角形的存在性问题类似，但是除了要找角相等外，还至少要找一组对应边相等．3.二次函数与四边形的综合问题特殊四边形的探究问题解题步骤如下：①先假设结论成立；②设出点坐标，求边长；③建立关系式，并计算．若四边形的四个顶点位置已确定，则直接利用四边形边的性质进行计算；若四边形的四个顶点位置不确定，需分情况讨论：a.探究平行四边形：①以已知边为平行四边形的某条边，画出所有的符合条件的图形后，利用平行四边形的对边相等进行计算；②以已知边为平行四边形的对角线，画出所有的符合条件的图形后，利用平行四边形对角线互相平分的性质进行计算；③若平行四边形的各顶点位置不确定，需分情况讨论，常以已知的一边作为一边或对角线分情况讨论．b.探究菱形：①已知三个定点去求未知点坐标；②已知两个定点去求未知点坐标，一般会用到菱形的对角线互相垂直平分、四边相等的性质列关系式．c.探究正方形：利用正方形对角线互相垂直平分且相等的性质进行计算，一般是分别计算出两条对角线的长度，令其相等，得到方程再求解．d.探究矩形：利用矩形对边相等、对角线相等列等量关系式求解；或根据邻边垂直，利用勾股定理列关系式求解.题型01平行y轴动线段最大值与最小值问题1(2023·广东东莞·一模)如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC =3，顶点为D．(1)求此函数的关系式；(2)在AC 下方的抛物线上有一点N ，过点N 作直线l ∥y 轴，交AC 与点M ，当点N 坐标为多少时，线段MN 的长度最大？最大是多少？(3)在对称轴上有一点K ，在抛物线上有一点L ，若使A ，B ，K ，L 为顶点形成平行四边形，求出K ，L 点的坐标．(4)在y 轴上是否存在一点E ，使△ADE 为直角三角形，若存在，直接写出点E 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1)y =x 2+2x -3(2)当N 的坐标为-32,-154 ，MN 有最大值94(3)K -1，4 ，L -1，-4 或K -1，12 ，L -5，12 或K -1，12 ，L 3，12(4)存在，点E 的坐标为0,32 或0,-72或0,-1 或0,-3【分析】(1)由OA =OC =3求得A -3,0 ,C 0，-3 ,再分别代入抛物线解析式y =x 2+bx +c ，得到以b ，c 为未知数的二元一次方程组，求出b ，c 的值即可；(2)求出直线AC 的解析式，再设出M 、N 的坐标，把MN 表示成二次函数，配方即可；(3)根据平行四边形的性质，以AB 为边，以AB 为对角线，分类讨论即可；(4)设出E 的坐标，分别表示出△ADE 的平分，再分每一条都可能为斜边，分类讨论即可．【详解】(1)∵抛物线y =x 2+bx +c 经过点A ，点C ，且OA =OC =3,∴A -3,0 ,C 0，-3 ,∴将其分别代入抛物线解析式，得c =-39-3b +c =0，解得b =2c =-3 ．故此抛物线的函数表达式为：y =x 2+2x -3；(2)设直线AC 的解析式为y =kx +t ，将A -3,0 ,C 0，-3 代入，得t =-3-3k +t =0 ，解得k =-1t =-3 ，∴直线AC 的解析式为y =-x -3，设N 的坐标为n ，n 2+2n -3 ，则M n ，-n -3 ，∴MN =-n -3-n 2+2n -3 =-n 2-3n =-n +32 +94，∵-1<0，∴当n =-32时，MN 有最大值，为94，把n =-32代入抛物线得，N 的坐标为-32,-154，当N 的坐标为-32,-154 ，MN 有最大值94；(3)①当以AB 为对角线时，根据平行四边形对角线互相平分，∴KL 必过-1,0 ，∴L 必在抛物线上的顶点D 处，∵y =x 2+2x -3=x +1 2-4，∴K -1，4 ，L -1，-4②当以AB 为边时，AB =KL =4，∵K 在对称轴上x =-1，∴L 的横坐标为3或-5，代入抛物线得L -5,12 或L 3,12 ，此时K 都为-1，12 ，综上，K -1，4 ，L -1，-4 或K -1，12 ，L -5，12 或K -1，12 ，L 3，12 ；(4)存在，由y =x 2+2x -3=x +1 2-4，得抛物线顶点坐标为D -1,-4 ∵A -3，0 ，∴AD 2=-3+1 2+0+4 2=20，设E 0，m ，则AE 2=-3-0 2+0-m 2=9+m 2，DE 2=-1-0 2+-4-m 2=17+m 2+8m ，①AE 为斜边，由AE 2=AD 2+DE 2得：9+m 2=20+17+m 2+8m ，解得：m =-72，②DE 为斜边，由DE 2=AD 2+AE 2得：9+m 2+20=17+m 2+8m ，解得：m =32，③AD 为斜边，由AD 2=ED 2+AE 2得：20=17+m 2+8m +9+m 2，解得：m =-1或-3，∴点E 的坐标为0,32 或0,-72或0,-1 或0,-3 ．【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象与性质，平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，会运用待定系数法列方程组，两点间距离公式求MN 的长，由平行四边形的性质判定边相等，运用勾股定理列方程．2(2023·河南南阳·统考一模)如图，抛物线与x 轴相交于点A 、B (点A 在点B 的左侧)，与y 轴的交于点C 0，-4 ，点P 是第三象限内抛物线上的一个动点，设点P 的横坐标为m ，过点P 作直线PD ⊥x 轴于点D ，作直线AC 交PD 于点E ．已知抛物线的顶点P 坐标为-3，-254．(1)求抛物线的解析式；(2)求点A 、B 的坐标和直线AC 的解析式；(3)求当线段CP =CE 时m 的值；(4)连接BC ，过点P 作直线l ∥BC 交y 轴于点F ，试探究：在点P 运动过程中是否存在m ，使得CE =DF ，若存在直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y =14x 2+32x -4(2)A -8，0 ，B 2，0 ，y =-12x -4(3)-4(4)存在，m =2-25或m =-4【分析】(1)运用待定系数法即可求得抛物线的解析式；(2)令y =0，解方程即可求得点A 、B 的坐标，再运用待定系数法即可求得直线AC 的解析式；(3)过点C 作CF ⊥PE 于点F ，根据等腰三角形的性质可得点F 是PE 的中点，设P m ,14m 2+32m -4 ，则E m ，-12m -4 ，可得F m ，18m 2+12m -4 ，再由点F 与点C 的纵坐标相同建立方程求解即可；(4)过C 作CH ⊥PD 于H ，设P m ,14m 2+32m -4 ，由PF ∥BC ，可得直线PF 解析式为y =2x +14m 2-12m -4，进而可得OF =14m 2-12m -4 ，再证得Rt △CHE ≅Rt △DOF HL ，得出∠HCE =∠FDO ，进而推出∠FDO =∠CAO ，即tan ∠FDO =tan ∠CAO ，据此建立方程求解即可．【详解】(1)解：∵抛物线的顶点坐标为-3，-254∴设抛物线的解析式为y =a x +3 2-254，把点C 0，-4 代入，得：-4=9a -254，解得：a =14，∴y =14x +3 2-254=14x 2+32x -4，∴该抛物线的解析式为y =14x 2+32x -4．(2)解：令y =0，得14x 2+32x -4=0，解得：x 1=-8，x 2=2，∴A -8，0 ，B 2，0 ，，设直线AC 的解析式为y =kx +b ，则-8k +b =0b =-4 ，解得：k =-12b =-4 ，∴直线AC 的解析式为y =-12x -4．(3)解：如图，过点C 作CF ⊥PE 于点F ，∵CP =CE ，∴EF =PF ，即点F 是PE 的中点，设P m ,14m 2+32m -4 ，则E m ，-12m -4 ，∴F m ，18m 2+12m -4 ，∵PE ∥y 轴，CF ⊥PE ，∴CF ∥x 轴，∴18m 2+12m -4=-4，解得：m =-4或m =0(不符合题意，舍去)，∴m =-4．(4)解：存在m ，使得CE =DF ，理由如下：如图：过C 作CH ⊥PD 于H ，设P m,14m2+32m-4，由B2，0，C0，-4，由待定系数法可得直线BC解析式为y=2x-4，根据PF∥BC，设直线PF解析式为y=2x+c，将P m,14m2+32m-4代入得：1 4m2+32m-4=2m+c，∴c=14m2-12m-4，∴直线PF解析式为y=2x+14m2-12m-4，令x=0得y=14m2-12m-4，∴F0,14m2-12m-4，∴OF=14m2-12m-4，∵∠CHD=∠PDO=∠COD=90°，∴四边形CODH是矩形，∴CH=OD，∵CE=DF，∴Rt△CHE≅Rt△DOF HL，∴∠HCE=∠FDO，∵∠HCE=∠CAO，∴∠FDO=∠CAO，∴tan∠FDO=tan∠CAO，∴OF OD =OCOA，即14m2-12m-4-m=48=12，∴1 4m2-12m-4=-12m或14m2-12m-4=12m，解得：m=-4或m=4或m=2-25或m=2+25，∵P在第三象限，∴m=2-25或m=-4．【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式、二次函数综合应用、等腰三角形性质、矩形判定及性质、相似三角形判定及性质、解直角三角形等知识点，解题的关键是用含m的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．3(2023·山东聊城·统考三模)抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A3,0，与y轴交于点C0,3，点P 为抛物线上的动点．(2)若P 为直线AC 上方抛物线上的动点，作PH ∥x 轴交直线AC 于点H ，求PH 的最大值；(3)点N 为抛物线对称轴上的动点，是否存在点N ，使直线AC 垂直平分线段PN ？若存在，请直接写出点N 的纵坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)b =2，c =3(2)PH 取得最大值为94(3)存在，2-2或2+2【分析】(1)将坐标代入解析式，构建方程求解；(2)设PH 交y 轴于点M ，P m ,-m 2+2m +3 ，则PM =m ；待定系数法确定直线AC 的解析式为y =-x +3，从而确定PH =m -m 2-2m =-m 2+3m =-m -32 2+94，解得PH 最大值为94；(3)如图，设PN 与AC 交于点G ，可设直线PN 的解析式为y =x +p ，设点N (1,n )，求得y =x +(n -1)；联立y =-x +3y =x +(n -1) ，解得x =-n 2+2y =n 2+1，所以点P 的横坐标为2×-n 2+2 -1=-n +3，纵坐标为2×n2+1 -n =2，由二次函数解析式构建方程-(-n +3)2+2(-n +3)+3=2，解得n =2±2；【详解】(1)∵抛物线y =-x 2+bx +c 与x 轴交于点A 3,0 ，与y 轴交于点C 0,3 ，∴-9+3b +c =0c =3，解得：b =2c =3 ，∴b =2，c =3；(2)设PH 交y 轴于点M ，P m ,-m 2+2m +3 ，∴PM =m ，∵PH ∥x 轴，∴点H 的纵坐标为-m 2+2m +3，设直线AC 的解析式为y =kx +n ，∴3k +n =0n =3 ，解得：k =-1n =3 ，∴直线AC 的解析式为y =-x +3．∴-m 2+2m +3=-x +3，∴x =m 2-2m ，∴H m 2-2m ,-m 2+2m +3 ，∴PH =m -m 2-2m =-m 2+3m =-m -322+94，∴当m =32时，PH 取得最大值为94(3)存在点N ，使直线AC 垂直平分线段PN ，点N 的纵坐标为2-2或2+2如图，设PN 与AC 交于点G ，∵AC 垂直平分PN ，直线AC 的解析式为y =-x +3∴可设直线PN 的解析式为y =x +p 设点N (1,n )，则n =1+p ∴p =n -1，∴y =x +(n -1)联立y =-x +3y =x +(n -1) ，解得x =-n 2+2y =n 2+1∴点P 的横坐标为2×-n 2+2 -1=-n +3，纵坐标为2×n 2+1 -n =2∴-(-n +3)2+2(-n +3)+3=2，解得n =2±2∴点N 的纵坐标为2-2或2+2．【点睛】本题考查利用二次函数解析式及点坐标求待定参数、待定系数法确定函数解析式、二次函数极值及其它二次函数综合问题，利用直线间的位置关系、点线间的位置关系，融合方程的知识求解坐标是解题的关键．题型02抛物线上的点到某一直线的距离问题1(2023·广东梅州·统考二模)探究求新：已知抛物线G 1:y =14x 2+3x -2，将抛物线G 1平移可得到抛物线G 2:y =14x 2．(1)求抛物线G 1平移得到抛物线G 2的平移路径；(2)设T 0,t ，直线l ：y =-t ，是否存在这样的t ，使得抛物线G 2上任意一点到T 的距离等于到直线l 的距离？若存在，求出t 的值；若不存在，试说明理由；(3)设H 0,1 ，Q 1,8 ，M 为抛物线G 2上一动点，试求QM +MH 的最小值．参考公式：若点M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 为平面上两点，则有MN =x 1-x 22+y 1-y 2 2．【答案】(1)将G 1向左平移-6个单位，向上平移11个单位(2)存在，1(3)9【分析】(1)设G 1向左平移a 个单位，向上平移b 个单位得到函数G 2，列方程组即可求解；(2)设P x 0,x 204为抛物线G 2上的一点，根据题意列方程即可；(3)点H 坐标与(2)中t =1时的T 点重合，过点M 作MA ⊥l ，垂足为A ，如图所示，则有MH =MA ，当且仅当Q ,M ,A 三点共线时QM +MA 取得最小值．【详解】(1).解：设G 1向左平移a 个单位，向上平移b 个单位得到函数G 2，由平移法则可知14(x +a )2+3(x +a )-2+b =14x 2，整理可得14x 2+3+12a x +14a 2+3a -2+b =14x 2，可得方程组3+12a =014a 2+3a -2+b =0，解得a =-6b =11 ；∴平移路径为将G 1向左平移-6个单位，向上平移11个单位；(2)解：存在这样的t ，且t =1时满足条件，设P x 0,x 204为抛物线G 2上的一点，则点P 到直线l 的距离为x 204+t ，点P 到点T 距离为(x 0-0)2+x 204-t2，联立可得：x 204+t =(x 0-0)2+x 204-t2，两边同时平方合并同类项后可得x 20-x 20t =0解得：t =1；(3)解：点H 坐标与(2)中t =1时的T 点重合，作直线l ：y =-1，过点M 作MA ⊥直线l ，垂足为A ，如图所示，则有MH =MA ，此时QM +MH =QM +MA ，当且仅当Q ,M ,A 三点共线时QM +MA 取得最小值即QM +MA =QA =8-(-1)=9∴QM +MH 的最小值为9；【点睛】本题考查二次函数综合题，涉及到线段最小值、平移性质等，灵活运用所学知识是关键．2(2023·湖北宜昌·统考一模)如图，已知：点P 是直线l ：y =x -2上的一动点，其横坐标为m (m 是常数)，点M 是抛物线C ：y =x 2+2mx -2m +2的顶点．(1)求点M 的坐标；(用含m 的式子表示)(2)当点P 在直线l 运动时，抛物线C 始终经过一个定点N ，求点N 的坐标，并判断点N 是否是点M 的最高位置？(3)当点P 在直线l 运动时，点M 也随之运动，此时直线l 与抛物线C 有两个交点A ，B (A ，B 可以重合)，A ，B 两点到y 轴的距离之和为d ．①求m 的取值范围；②求d 的最小值．【答案】(1)M -m ,-m 2-2m +2(2)N (1,3)，点N 是点M 的最高位置(3)①m ≤-52或m ≥32；②d 取得最小值为2【分析】(1)将抛物线解析式写成顶点式即可求解；(2)根据解析式含有m 项的系数为0，得出当x =1时，y =3，即N (1,3)，根据二次函数的性质得出-m 2-2m +2=-m +1 2+3的最大值为3，即可得出点N 是点M 的最高位置；(3)①根据直线与抛物线有交点，联立方程，根据一元二次方程根的判别式大于等于0，求得m 的范围，即可求解；②设A ,B 的坐标分别为x 1,y 1 ,x 2,y 2 ，其中x 1<x 2，由①可知x 1,x 2是方程x 2+2mx -x -2m +4=0的两根，根据x 1+x 2=-2m +1，分情况讨论，求得d 是m 的一次函数，进而根据一次函数的性质即可求解．【详解】(1)解：y =x 2+2mx -2m +2=x +m 2-m 2-2m +2，∴顶点M -m ,-m 2-2m +2 ，(2)解：∵y =x 2+2mx -2m +2=x 2+2+2m x -1 ，∴当x =1时，y =3，抛物线C 始终经过一个定点1,3 ，即N (1,3)；∵M -m ,-m 2-2m +2 ，-m 2-2m +2=-m +1 2+3，∴M 的纵坐标最大值为3，∴点N 是点M 的最高位置；(3)解：①联立y =x -2y =x 2+2mx -2m +2 ，得x 2+2mx -x -2m +4=0，∵直线l 与抛物线C 有两个交点A ，B (A ，B 可以重合)，∴Δ=b 2-4ac =2m -1 2-4-2m +4 ，=4m 2+4m -15≥0，∵4m 2+4m -15=0，解得m 1=-52,m 2=32，∴当4m 2+4m -15≥0时，m ≤-52或m ≥32，②设A ,B 的坐标分别为x 1,y 1 ,x 2,y 2 ，其中x 1<x 2，由①可知x 1,x 2是方程x 2+2mx -x -2m +4=0的两根，∴x1+x 2=-2m +1，当m =-3时，如图所示，y A =0，当-3≤m ≤-52时，y 1≥0,y 2≥0，则d =x 1+x 2 =-2m +1 ，∵-2<0，∴当m =-52时，d 取得最小值为-2×-52 +1=5+1=6，当m ≥32时，d =-x 1+x 2 =--2m +1 =2m -1，∴当m =32时，d 取得最小值为2×32-1=2，综上所述，d 取得最小值为2．【点睛】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程与二次函数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．3(2023·云南楚雄·统考一模)抛物线y =x 2-2x -3交x 轴于A ，B 两点(A 在B 的左边)，C 是第一象限抛物线上一点，直线AC 交y 轴于点P ．(1)直接写出A ，B 两点的坐标；(2)如图①，当OP =OA 时，在抛物线上存在点D (异于点B )，使B ，D 两点到AC 的距离相等，求出所有满足条件的点D 的横坐标；(3)如图②，直线BP 交抛物线于另一点E ，连接CE 交y 轴于点F ，点C 的横坐标为m ，求FP OP 的值(用含m 的式子表示)．【答案】(1)A (-1,0)，B (3,0)(2)0或3-41或3+41(3)13m 【分析】(1)令y =0，解方程可得结论；(2)分两种情形：①若点D 在AC 的下方时，过点B 作AC 的平行线与抛物线交点即为D 1．②若点D 在AC 的上方时，点D 1关于点P 的对称点G (0,5)，过点G 作AC 的平行线交抛物线于点D 2，D 3，D 2，D 3符合条件．构建方程组分别求解即可；(3)设E 点的横坐标为n ，过点P 的直线的解析式为y =kx +b ，由y =kx +b y =x 2-2x -3 ，可得x 2-(2+k )x -3-b =0，设x 1，x 2是方程x 2-(2+k )x -3-b =0的两根，则x 1x 2=-3-b ，推出x A ⋅x C =x B ⋅x E =-3-b 可得n =-1-b 3，设直线CE 的解析式为y =px +q ，同法可得mn =-3-q 推出q =-mn -3，推出q =-(3+b )-1-b 3 -3=13b 2+2b ，推出OF =13b 2+b ，可得结论．【详解】(1)解：令y =0，得x 2-2x -3=0，解得：x =3或-1，∴A (-1,0)，B (3,0)；(2)∵OP =OA =1，∴P (0,1)，∴直线AC 的解析式为y =x +1．①若点D 在AC 的下方时，过点B 作AC 的平行线与抛物线交点即为D 1．∵B (3,0)，BD 1∥AC ，∴直线BD 1的解析式为y =x -3，由y =x -3y =x 2-2x -3，解得x =3y =0 或x =0y =-3 ，∴D 1(0,-3)，∴D 1的横坐标为0．②若点D 在AC 的上方时，点D 1关于点P 的对称点G (0,5)，过点G 作AC 的平行线l 交抛物线于点D 2，D 3，D 2，D 3符合条件．直线l 的解析式为y =x +5，由y =x +5y =x 2-2x -3 ，可得x 2-3x -8=0，解得：x =3-412或3+412，∴D 2，D 3的横坐标为3-412，3+412，综上所述，满足条件的点D 的横坐标为0，3-412，3+412．(3)设E 点的横坐标为n ，过点P 的直线的解析式为y =kx +b ，由y =kx +b y =x 2-2x -3，可得x 2-(2+k )x -3-b =0，设x 1，x 2是方程x 2-(2+k )x -3-b =0的两根，则x 1x 2=-3-b ，∴x A ⋅x C =x B ⋅x E =-3-b∵x A =-1，∴x C =3+b ，∴m =3+b ，∵x B =3，∴x E =-1-b 3，∴n =-1-b 3，设直线CE 的解析式为y =px +q ，同法可得mn =-3-q∴q =-mn -3，∴q =-(3+b )-1-b 3 -3=13b 2+2b ，∴OF =13b 2+2b ，∴FP OP=13b +1=13(m -3)+1=13m ．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，一元二次方程的根与系数的关系等知识，解题的关键是学会构建一次函数，构建方程组确定交点坐标，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．题型03已知点关于直线对称点问题1(2023·辽宁阜新·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y =-x 2+bx -c 的图象与x 轴交于点A (-3,0)和点B (1,0)，与y 轴交于点C ．(1)求这个二次函数的表达式．(2)如图1，二次函数图象的对称轴与直线AC :y =x +3交于点D ，若点M 是直线AC 上方抛物线上的一个动点，求△MCD 面积的最大值．(3)如图2，点P 是直线AC 上的一个动点，过点P 的直线l 与BC 平行，则在直线l 上是否存在点Q ，使点B 与点P 关于直线CQ 对称？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y =-x 2-2x +3；(2)S △MCD 最大=98；(3)Q 1-5，-5 或1+5，5 ．【分析】(1)根据抛物线的交点式直接得出结果；(2)作MQ ⊥AC 于Q ，作ME ⊥AB 于F ，交AC 于E ，先求出抛物线的对称轴，进而求得C ，D 坐标及CD 的长，从而得出过M 的直线y =x +m 与抛物线相切时，△MCD 的面积最大，根据x +m =-x 2-2x +3的△=0求得m 的值，进而求得M 的坐标，进一步求得CD 上的高MQ 的值，进一步得出结果；(3)分两种情形：当点P 在线段AC 上时，连接BP ，交CQ 于R ，设P (t ，t +3)，根据CP =CB 求得t 的值，可推出四边形BCPQ 是平行四边形，进而求得Q 点坐标；当点P 在AC 的延长线上时，同样方法得出结果．【详解】(1)解：由题意得，y =-(x +3)(x -1)=-x 2-2x +3；(2)解：如图1，作MQ ⊥AC 于Q ，作ME ⊥AB 于F ，交AC 于E ，∵OA =OC =3，∠AOC =90°，∴∠CAO =∠ACO =45°，∴∠MEQ =∠AEF =90°-∠CAO =45°，抛物线的对称轴是直线：x =-3+12=-1，∴y =x +3=-1+3=2，∴D (1,2)，∵C (0,3)，∴CD =2，故只需△MCD 的边CD 上的高最大时，△MCD 的面积最大，设过点M 与AC 平行的直线的解析式为：y =x +m ，当直线y =x +m 与抛物线相切时，△MCD 的面积最大，由x +m =-x 2-2x +3得，x 2+3x +(m -3)=0，由△=0得，32-4(m -3)=0得，m -3=94，∴x 2+3x +94=0，∴x 1=x 2=-32，∴y =--32 2-2×-32 +3=154，y =x +3=-32+3=32，∴ME =154-32=94，∴MQ =ME ⋅sin ∠MEQ =ME ⋅sin45°=94×22=928，∴S △MCD 最大=12×2×928=98；(3)解：如图2，当点P 在线段AC 上时，连接BP ，交CQ 于R ，∵点B 和点Q 关于CQ 对称，∴CP =CB ，设P (t ，t +3)，由CP 2=CB 2得，2t 2=10，∴t 1=-5，t 2=5(舍去)，∴P -5，3-5 ，∵PQ ∥BC ，∴CR =BR =1，∴CR =QR ，∴四边形BCPQ 是平行四边形，∵1+(-5)-0=1-5，0+(3-5)-3=-5，∴Q 1-5，-5 ；如图3，当点P 在AC 的延长线上时，由上可知：P 5，3+5 ，同理可得：Q 1+5，5 ，综上所述：Q 1-5，-5 或1+5，5 ．【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，一元二次方程的解法，平行四边形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是分类讨论．2(2023·四川甘孜·统考中考真题)已知抛物线y =x 2+bx +c 与x 轴相交于A -1，0 ，B 两点，与y 轴相交于点C 0，-3 ．(1)求b ，c 的值；(2)P 为第一象限抛物线上一点，△PBC 的面积与△ABC 的面积相等，求直线AP 的解析式；(3)在(2)的条件下，设E 是直线BC 上一点，点P 关于AE 的对称点为点P ，试探究，是否存在满足条件的点E ，使得点P 恰好落在直线BC 上，如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)b =-2,c =-3.(2)y =x +1(3)存在，点P 的坐标为1+21,-2+21 或1-21,-2-21【分析】(1)由待定系数法即可求解；(2)S △PBC =S △ABC 得到AP ∥BC ，即可求解；(3)由题意的：∠AEP =∠AEP ,P E =PE ，即可求解．【详解】(1)由题意，得1-b +c =0,c =-3.∴b =-2,c =-3.(2)由(1)得抛物线的解析式为y =x 2-2x -3．令y =0，则x 2-2x -3=0，得x 1=-1，x 2=3．∴B 点的坐标为3，0 ．∵S △PBC =S △ABC ，∴AP ∥BC ．∵B 3，0，C 0，-3 ，∵AP∥BC，∴可设直线AP的解析式为y=x+m．∵A(-1，0)在直线AP上，∴0=-1+m．∴m=1．∴直线AP的解析式为y=x+1．(3)设P点坐标为m，n．∵点P在直线y=x+1和抛物线y=x2-2x-3上，∴n=m+1，n=m2-2m-3．∴m+1=m2-2m-3．解得m1=4，m2=-1(舍去)．∴点P的坐标为4，5．由翻折，得∠AEP=∠AEP ,P E=PE．∵AP∥BC，∴∠PAE=∠AEP '．∴∠PAE=∠PEA．∴PE=PA=4+12=52．2+5-0设点E的坐标为t，t-3，则PE2=t-42．2+t-3-52=52∴t=6±21．当t=6+21时，点E的坐标为6+21,3+21．设P (s,s-3),由P E=AP，P E=PE=52得：s-6-212，2=522+s-3-3-21解得：s=1+21，则点P 的坐标为1+21,-2+21．当t=6-21时，同理可得，点P 的坐标为1-21,-2-21．综上所述，点P 的坐标为1+21,-2+21．或1-21,-2-21【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，二次函数的性质，此题题型较好，综合性比较强，用的数学思想是分类讨论和数形结合的思想．3(2023·江苏连云港·连云港市新海实验中学校考二模)如图，“爱心”图案是由抛物线y=-x2+m的一部分及其关于直线y=-x的对称图形组成，点E、F是“爱心”图案与其对称轴的两个交点，点A、B、C、D是该图案与坐标轴的交点，且点D的坐标为6,0．(1)求m 的值及AC 的长；(2)求EF 的长；(3)若点P 是该图案上的一动点，点P 、点Q 关于直线y =-x 对称，连接PQ ，求PQ 的最大值及此时Q 点的坐标．【答案】(1)m =6，AC =6+6(2)52(3)2542，Q -234,-12【分析】(1)用待定系数法求得m 与抛物线的解析式，再求出抛物线与坐标轴的交点坐标，进而求得A 的坐标，根据对称性质求得B ，C 的坐标，即可求得结果；(2)将抛物线的解析式与直线EF 的解析式联立方程组进行求解，得到E ，F 的坐标，即可求得结果；(3)设P (m ,-m 2+6)，则Q (m 2-6,-m )，可得PQ =2×m -12 2-252 ，即求m -12 2-252的最值，根据二次函数的最值，即可得到m 的值，即可求得．【详解】(1)把D 6,0 代入y =-x 2+m 得0=-6+m解得m =6∴抛物线的解析式为：y =-x 2+6∴A 0,6根据对称性可得B -6,0 ，C 0,-6∴AC =AO +OC =6+6(2)联立y =-x y =-x 2+6解得x =3y =-3 或x =-2y =2 ∴E -2,2 ，F 3,-3∴EF =-2-3 2+2+3 2=52(3)设P (m ,-m 2+6)，则Q (m 2-6,-m )∴PQ =m -m 2-6 2+-m 2+6--m 2整理得PQ =2×m -12 2-254 ∵m -12 2≥0∴当m -12 2=0时，即m =12时，m -12 2-254 有最大值为254∴PQ 的最大值为2542∴12 2-6=-234故Q -234,-12【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，两点间的距离公式，求抛物线与一次函数的交点坐标，二次函数的最值等知识，解题的关键是掌握关于直线y =-x 对称的点坐标的关系．题型04特殊角度存在性问题1(2023·山西忻州·统考模拟预测)如图，抛物线y =18x 2+34x -2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ．P 是直线AC 下方抛物线上一个动点，过点P 作直线l ∥BC ，交AC 于点D ，过点P 作PE ⊥x 轴，垂足为E ，PE 交AC 于点F ．(1)直接写出A ，B ，C 三点的坐标，并求出直线AC 的函数表达式；(2)当线段PF 取最大值时，求△DPF 的面积；(3)试探究在拋物线的对称轴上是否存在点Q ，使得∠CAQ =45°？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)A -8,0 ，B 2,0 ，C 0,-2 ．y =-14x -2(2)85(3)存在，-3,3 或-3,-253【分析】(1)对于直线y =18x 2+34x -2，当x =0时，y =-2，即点C 0,-2 ，令18x 2+34x -2=0，则x =2或-8，则点A ，B 的坐标分别为-8,0 ，2,0 即求出三个点的坐标，设直线AC 的表达式为y =kx +b ，利用待定系数法求解即可；(2)设点P 的横坐标为m ，则P m ,18m 2+34m -2 ，F m ,-14m -2 ，表示出PF =-18m 2-m ，求出PF max =2，再表示出点D 到直线PF 的距离d =85，利用S △DPF =12⋅PF ⋅d 进行求解即可；(3)由抛物线的表达式知，其对称轴为x =-3，当点Q 在x 轴上方时，设抛物线的对称轴交x 轴于点N ，交AC 于H ，故点Q 作QT ⊥AC 于点T ，在△AQH 中,∠CAQ =45°，tan ∠QHA =4，用解直角三角形的方法求出QH =174，即可求出Q 点坐标，当点Q Q 在x 轴上方时，直线AQ 的表达式为y =35x +8 ，当∠CAQ =45°时，AQ ⊥AQ ，即可求解．【详解】(1)解：对于抛物线y =18x 2+34x -2，当x =0时，y =-2，即点C 0,-2 ，令18x 2+34x -2=0，则x =2或-8，则点A ，B 的坐标分别为-8,0 ，2,0 ，即点A ，B ，C 三点的坐标分别为-8,0 ，2,0 ，0,-2 ，设直线AC 的表达式为y =kx +b ，则-8k +b =0b =-2 ，解得k =-14b =-2 ，∴直线AC 的函数表达式为y =-14x -2；(2)设点P 的横坐标为m ，则P m ,18m 2+34m -2 ，F m ,-14m -2 ，PF =-14m -2 -18m 2+34m -2 =-18m 2-m ，当m =--12×-18 =-4时，PF 最大，PF max =-18×(-4)2--4 =2，此时，P -4,-3 ，由B 2,0 ，C 0,-2 ，可得直线BC 的函数表达式为y =x -2，设直线l 的函数表达式为y =x +p ，将P -4,-3 代入可得p =1，∴直线l 的函数表达式为y =x +1，由y =-14x -2y =x +1 ，解得x =-125y =-75，∴D -125,-75 ，点D 到直线PF 的距离d =-125--4 =85，∴S △DPF =12⋅PF ⋅d =12×2×85=85．(3)存在，理由：由抛物线的表达式知，其对称轴为x =-3，当点Q 在x 轴上方时，如下图：设抛物线的对称轴交x 轴于点N ，交AC 于H ，故点Q 作QT ⊥AC 于点T ，则∠ACO =∠QHA ，则tan ∠ACO =tan ∠QHA =4，当x =3时，y =-14x -2=-54，则点H -3,-54 ，由点A ，H 的坐标得，AH =5174，在△AQH 中，∠CAQ =45°，tan ∠QHA =4，设TH =x ，则QT =4x ，则QH =17x ，则AH =AT +TH =5x =5174，则x =174，则QH =17x =174，则174-54=3，则点Q -3,3 ；当点Q Q 在x 轴上方时，直线AQ 的表达式为y =35x +8 ，当∠CAQ =45°时，AQ ⊥AQ ，则直线AQ 的表达式为y =-53x +8 ，当x =-3时，y =-5x +8 =-25，。

二次函数的动态问题（动点）1.如图①，正方形ABCD 的顶点A B ，的坐标分别为()()01084，，，，顶点C D ，在第一象限．点P 从点A 出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点Q 从点()40E ，出发，沿x 轴正方向以相同速度运动．当点P 到达点C 时，P Q ，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒． （1）求正方形ABCD 的边长．（2）当点P 在AB 边上运动时，OPQ △的面积S （平方单位）与时间t （秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图②所示），求P Q ，两点的运动速度．（3）求（2）中面积S （平方单位）与时间t （秒）的函数关系式及面积S 取最大值时点P 的坐标． （4）若点P Q ，保持（2）中的速度不变，则点P 沿着AB 边运动时，OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而增大；沿着BC 边运动时，OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而减小．当点P 沿着这两边运动时，使90OPQ =∠的点P 有 个．（抛物线()20y ax bx c a =++≠的顶点坐标是2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．[解] （1）作BF y ⊥轴于F ．()()01084A B ，，，，86FB FA ∴==，．10AB ∴=．（2）由图②可知，点P 从点A 运动到点B 用了10秒． 又1010101AB =÷=，．P Q ∴，两点的运动速度均为每秒1个单位．（3）方法一：作PG y ⊥轴于G ，则PG BF ∥．图①图②GA AP FA AB ∴=，即610GA t=．35GA t ∴=．3105OG t ∴=-．4OQ t =+，()113410225S OQ OG t t ⎛⎫∴=⨯⨯=+- ⎪⎝⎭．即231920105S t t =-++． 19195323210b a -=-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭，且190103≤≤， ∴当193t =时，S 有最大值． 此时4763311051555GP t OG t ===-=，，∴点P 的坐标为7631155⎛⎫⎪⎝⎭，．（8分）方法二：当5t =时，1637922OG OQ S OG OQ ====，，． 设所求函数关系式为220S at bt =++．抛物线过点()63102852⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，，1001020286325520.2a b a b ++=⎧⎪∴⎨++=⎪⎩，31019.5a b ⎧=-⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，231920105S t t ∴=-++．19195323210b a -=-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭，且190103≤≤， ∴当193t =时，S 有最大值． 此时7631155GP OG ==，，∴点P 的坐标为7631155⎛⎫⎪⎝⎭，．（4）2．[点评]本题主要考查函数性质的简单运用和几何知识，是近年来较为流行的试题，解题的关键在于结合题目的要求动中取静，相信解决这种问题不会非常难。

函数解题思路方法总结：⑴ 求二次函数的图象及x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大〔小〕值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数ax ²+bx+c=0中a,b,c 的符号，或由二次函数中a,b,c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和一点对称的点坐标，或及x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 及二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax ²+bx+c ﹙a ≠0﹚本身就是所含字母x 的二次函数；下面以a ＞0时为例，提醒二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：动点问题题型方法归纳总结动态几何特点----问题背景是特殊图形，考察问题也是特殊图形，所以要把握好一般及特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性〔特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

〕 动点问题一直是中考热点，近几年考察探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。

下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。

二、 抛物线上动点5、〔湖北十堰市〕如图①， 抛物线32++=bx ax y 〔a ≠0〕及x 轴交于点A (1，0)和点B (－3，0)，及y 轴交于点C ．(1) 求抛物线的解析式；(2) 设抛物线的对称轴及x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使△CMP 为等腰三角形？假设存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；假设不存在，请说明理由．(3) 如图②，假设点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE 、CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标．注意：第〔2〕问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P坐标----①C为顶点时，以C为圆心CM 为半径画弧，及对称轴交点即为所求点P，②M为顶点时，以M为圆心MC为半径画弧，及对称轴交点即为所求点P，③P为顶点时，线段MC的垂直平分线及对称轴交点即为所求点P。

二次函数与线段和差问题例题精讲：如图抛物线与x 轴交于A,B（1,0 ），与y 轴交于点C,直线经过点A,C. 抛物线的顶点为D，对称轴为直线l,（1））求抛物线解析式。

（2））求顶点 D 的坐标与对称轴l.点E的坐标。

（3））设点E 为x 轴上一点，且AE=CE求,（4））设点G是y 轴上的一点，是否存在点G，使得GD+GB的值最小，若存在，求出G点坐标，若不存在，说明理由。

（5））在直线l 上是否存在一点F，使得△ BCF的周长最小，若存在，求出点 F的坐标及△ BCF周长的最小值，若不存在，说明理由。

（6））在y 轴上是否存在一点S, 使得SD-SB的值最大，若存在，求出S 点坐标，若不存在，说明理由。

（7））若点H 是抛物线上位于AC上方的一点，过点H 作y 轴的平行线，交AC于点K，设点H的横坐标为h, 线段HK=d①求 d 关于h 的函数关系式②求d 的最大值及此时H点的坐标（8））设点P 是直线AC上方抛物线上一点，当P点与直线AC距离最大值时，求P点的坐标，并求出最大距离是多少？1. 如图，矩形的边OA在轴上，边OC在轴上，点的坐标为(10,8) ，沿直线OD折叠矩形，使点正好落在上的处，E点坐标为(6,8) ，抛物线经过、、三点。

（1））求此抛物线的解析式。

（2））求AD的长。

（3））点P是抛物线对称轴上的一动点，当△PAD的周长最小时，求点P 的坐标。

2. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y x2点O关于点 A 对称。

（1））填空：点 B 的坐标是。

1与轴相交于点A，点B与4（2））过点的直线（其中）与轴相交于点C，过点C作直线平行于轴，P 是直线上一点，且PB=PC，求线段PB的长（用含k 的式子表示），并判断点P 是否在抛物线上，说明理由。

（3））在（2）的条件下，若点C关于直线BP的对称点恰好落在该抛物线的对称轴上，求此时点P 的坐标。

3. 如图, 抛物线与x 轴交于A,B 两点, 与y 轴交于点C,点O为坐标原点, 点D为抛物线的顶点, 点E 在抛物线上, 点F 在x 轴上, 四边形OCEF为矩形, 且OF=2,EF=3,.(1) 写出抛物线对应的函数解析式: △AOD的面积是(2) 连结CB交EF于M,再连结AM交OC于R,求△ ACR的周长.(3) 设G(4,-5) 在该抛物线上,P 是y 轴上一动点, 过点P作PH垂直于直线EF并交于H,连接AP,GH,问AP+PH+H是G否有最小值?如果有, 求点P 的坐标; 如果没有, 请说明理由.4.在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A、B 分别在x 轴、y轴的正半轴上，OA 3 ，OB 4 ，D 为边OB的中点．若E 、F 为边OA 上的两个动点，且EF 2 ，当四边形CDEF 的周长最小时，求点 E 、F 的坐标．yB CDO A x5.四边形ABCD是直角梯形，BC∥AD，∠BAD=90°，BC与y 轴相交于点M，且M 是BC的中点，A、B、D 三点的坐标分别是A（ 1 ，0 ），B（ 1 ，2 ），D（3，0）．连接DM，并把线段DM 沿DA方向平移到ON．若抛物线y ax2 bx c 经过点D、M、N．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点P，使得PA=PC，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设抛物线与x 轴的另一个交点为E，点Q 是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q 在什么位置时有| QE-QC| 最大？并求出最大值．6. 已知，如图，二次函数y ax2 2ax 3a (a0) 图象的顶点为H，与x 轴交于A、B 两点（B 在A 点右侧），点H、B 关于直线l : y3x33 对称．（1）求A、B 两点坐标，并证明点 A 在直线l 上；（2）求二次函数解析式；（3）过点B 作直线BK∥AH 交直线l 于K 点，M、N 分别为直线AH 和直线l上的两个动点，连接HN、NM、MK，求HN+NM+MK 和的最小值．ylHKA O Bx7.如图，已知点A(- 4，8)和点B(2，n)在抛物线y = ax2 上．（1）求a 的值及点 B 关于x 轴对称点P 的坐标，并在x 轴上找一点Q，使得AQ+QB 最短，求出点Q 的坐标；（2）平移抛物线y = ax 2 ，记平移后点 A 的对应点为A′，点B 的对应点为B′，点C(- 2，0)和点D(- 4，0)是x 轴上的两个定点．①当抛物线向左平移到某个位置时，A′C+CB′最短，求此时抛物线的函数解析式；②当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A′B′CD 的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．yA 8642 BD - 4 C- 2 O- 22 4 x- 4。

二次函数-因动点产生的线段和差问题例1、在平面直角坐标系中，已知点J(-2,0), 〃(0,4),点、E 在0B 上,且上OAE= Z OBA.(1) 如图L,求点E 的坐标;(2) 如图2,将△昇加沿/轴向右平移得到ZUF O f ,连结"B 、BE' .① 设曲'=加其中0＜刃＜2,使用含刃的式子表示木用+加S 并求出使才用+3F 彳取得最小值时点用的坐标；② 当彳B+BE'取得最小值时，求点F 的坐标(直接写出结果即可).思路点拨1. 图形在平移的过程中・，对应点的连线平行且相等，EE 1 =AA f =/〃.2. 求彳$的最小值，第一感觉是用勾股定理列关于/〃的式子.3. 求才B+BE'的最小值，第一感觉是典型的“牛喝水”问题一一轴对称，两点之间 线段最短.满分解答(1) 由 ZOAE=ZOBA, ZAOE=ZBOA,得［\AOEs\BOA.rri ., AO BO m u 2 4所以——=—.因此一=一・OE OA 0E 2解得0E=\.所以00,1).(2) ①如图3,在Rt △才 加屮，OB=4, OA 1 =2—刃，所以才 仔=16+(2— 〃 在 Rt △应F 中，BE=3, EE' =m,所以 BE' 2=^+m ・所以"I^+BE' 2=16+(2-/7?)2 + 9+/W 2=2(/»-1)2+27.图2所以当〃尸1时，A 1Ef 2取得•最小值，最小值为27. 此时点彳是昇0的中点，点F 向右平移了 1个单位，所以E 1(1,1).考点伸展第(2)②题这样解:如图4-,过点〃作y 轴的垂线厶作点E'关于直线1的对称点 所以彳 B+BE' =A f R+BE'三点共线时，A r B+BE' f取得最小值，最小值为线段才E'在 Rt △川 O' E f '中，A r O' =2, O f =7,所以川 F '=后. 当才、B 、三点共线时，也=竺1.所以!1 = 1.BO E'O4 7解得m = -.此时£*(-,1). 77当才、B 、E f例2、如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y=ax+bx+c经过/（一2, —4 ）、0（0, 0）、M2, 0）三点.（1）求抛物线『=ax^+bx+c的解析式；（2）若点〃是该抛物线对称轴上的一点，求加/+〃”的最小值.图1答案(1) y = _討+ z （2）AM+ OM的最小值为4血.例3、如图1,在平面直角坐•标系中，抛物线尸=一#+2/+3与/轴交于爪B 两点、, 与y 轴交于点C 点〃是抛物线的顶点.(1) 求直线的解析式及〃、〃两点的坐标；(2) 点”是*轴上的一个动点，过"作直线〃/力。

二次函数——动点产生的线段最值问题【例1】如图，在直角坐标系中，点A,B,C 的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过A,B,C 三点的抛物线的对称轴为直线l ．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）点E 是抛物线的对称轴上的一个动点，求当AE+CE 最小时点E 的坐标；（3）点P 是x 轴上的一个动点，求当PD+PC 最小时点P 的坐标；（4）点Q 是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q 在什么位置时有QB QC-最大？并求出最大值．解：（1）设抛物线的解析式为：y=ax 2+bx+c ，∵抛物线经过A 、B 、C 三点， ∴09303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得：123a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为：y=-x 2+2x+3．∵y=-x 2+2x+3= 2(1)4x --+， ∴该抛物线的对称轴为直线x=1，顶点D 的坐标为（1，4）．（2）∵点A 关于抛物线的对称轴的对称点为B ，则AE=BE ，要使AE+CE 最小，即BE+CE 最小,则B 、E 、C 三点共线如图，连接BC 交抛物线的对称轴于点E ，解法一：设直线BC 的解析式为y=kx+n ，则303k n n +=⎧⎨=⎩,解得13k n =-⎧⎨=⎩∴3y x =-+．当x=1时，3132x -+=-+=，∴点E 的坐标为（1，2）解法二：设抛物线的对称轴交x 轴于点F ．∵E F ∥y 轴，∴∠BEF =∠BCO ，∠BFE =∠BOC∴△BFE ∽△BOC ∴BF EF BO CO=， ∴3133EF -=, ∴2EF = ∴点E 的坐标为（1，2）（3）作出点C 关于x 轴的对称点为C′，则C′（0，-3），OC′=3，如图，连接C′D 交x 轴于点P ，∵点C 关于x 轴的对称点为C′，则PC=P C′，F E要使PD+PC 最小，即PD+P C′最小,则D 、P 、C′三点共线设直线C′D 的解析式为y=kx+n ，则43k n n +=⎧⎨=-⎩,解得73k n =⎧⎨=⎩∴73y x =-．当y=0时，073x =-，∴37x =∴点P 的坐标为（37，0） （4）∵点A 关于抛物线的对称轴的对称点为B ，则QB=QA ， 要使QB QC -最大，即QA QC -最大,则A 、C 、Q 三点共线如图，连接AC 交抛物线的对称轴于点Q ，解法一：设直线AC 的解析式为y=kx+n ，则03k n n -+=⎧⎨=⎩,解得33k n =⎧⎨=⎩∴33y x =+．当x=1时，333136x +=⨯+=，∴点Q 的坐标为（1，6）解法二：设抛物线的对称轴交x 轴于点F ．∵QF ∥y 轴，∴∠ACO =∠AQF ，∠AOC =∠AFQ∴△AOC ∽△AFQ ∴AO CO AF QF=， ∴1311QF=+, ∴6QF = ∴点Q 的坐标为（1，6）∴QB QC QA QC AC -=-===即当点Q 的坐标为（1，6）时，QB QC-【作业1】（2011菏泽）如图，抛物线y=21x 2+bx ﹣2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且A （-1，0）． （1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）判断△ABC 的形状，证明你的结论；（3）点M （m ，0）是x 轴上的一个动点，当MC+MD 的值最小时，求m 的值．解：（1）∵点A （﹣1，0）在抛物线y=21x 2+bx ﹣2上， ∴21×（﹣1 ）2+b×（﹣1）﹣2=0，解得b=-23 ∴抛物线的解析式为y=21x 2﹣23x ﹣2． QF -- C ′Py=21x 2﹣23x ﹣2=21（ x 2﹣3x ﹣4 ）=21（x ﹣23）2﹣825， ∴顶点D 的坐标为 （23，﹣825）． （2）当x=0时y=﹣2，∴C（0，﹣2），OC=2．当y=0时，21x 2﹣23x ﹣2=0，∴x 1=﹣1，x 2=4，∴B （4，0） ∴OA=1，OB=4，AB=5． ∵AB 2=25，AC 2=OA 2+OC 2=5，BC 2=OC 2+OB 2=20，∴AC 2+BC 2=AB 2．∴△ABC 是直角三角形．（3）作出点C 关于x 轴的对称点C′，则C′（0，2），OC′=2，连接C′D 交x 轴于点M ，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD 的值最小．解法一：设抛物线的对称轴交x 轴于点E ．∵ED∥y 轴，∴∠OC′M=∠EDM，∠C′OM=∠DEM∴△C′OM∽△DEM． ∴ED C O EM OM '=，∴825223=-m m , ∴m=4124 解法二：设直线C′D 的解析式为y=kx+n ， 则⎪⎩⎪⎨⎧-=+=825232n k n ,解得n=2，1241-=k ∴21241+-=x y ． ∴当y=0时，-4124,4124,021241=∴==+m x x 【作业2】2011四川广安）如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 是直角梯形，BC ∥AD ，∠BAD ＝ 90°，BC 与y 轴相交于点M ，且M 是BC 的中点，A 、B 、D 三点的坐标分别是A （－1，0），B ( －1，2)，D ( 3，0)，连接DM ，并把线段DM 沿DA 方向平移到ON ，若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点D 、M 、N ．（1）求抛物线的解析式．（2）抛物线上是否存在点P ．使得PA ＝PC ．若存在，求出点P 的坐标；若不存在．请说明理由．（3）设抛物线与x 轴的另—个交点为E ．点Q 是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q 在什么位置时有QE QC -最大？并求出最大值．解：（1）由题意可得M （0，2），N （－3，2）， ∴ 2,293,093.c a b c a b c =⎧⎪=-+⎨⎪=++⎩ 解得：1,91,32.a b c ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩E∴211293y x x =--+（2）∵PA ＝PC ， ∴P 为AC 的垂直平分线上，依题意，AC 的垂直平分线经过（－1，2）、（1，0），其所在的直线为y ＝－x ＋1． 根据题意可列方程组21,11 2.93y x y x x =-+⎧⎪⎨=--+⎪⎩解得：1132x y ⎧=+⎪⎨=--⎪⎩2232x y ⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩∴P 1（32+--）、P 2（32--+）．（3）如图所示，延长DC 交抛物线的对称轴于点Q ，根据题意可知此时点Q 满足条件．由题意可知C （1，2），D （3，0），可求得CD 所在的直线的解析式为3y x =-+． 抛物线211293y x x =--+的对称轴为直线 1.5x =-． ∵点Q 在直线x ＝－1.5上，又在直线3y x =-+上． ∴Q （－1 .5，4.5），QE ＝QD ． ∴QE QC QD QC CD -=-===．即当点Q 的坐标为（－1.5，4.5）时，QE QC -有最大值，最大值为。

xyCBAD O xy CBADOxyHCB ADO I J二次函数-----线段例、如图，抛物线y =x 2-2x -3与x 轴交于A ，B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点。

（1）点E 是抛物线上一动点，当点E 到直线BC 的距离为4时，求点E 的坐标；（2）在抛物线上是否存在点F ，过点F 作FG 垂直于线段BC 于G ，满足FG =2CG ，求F 点坐标；（3）点H 是对称轴与x 轴的交点，I 、J 分别是线段AB 和BC 上的动点,当CH 是IJ 的垂直平分线时，求I的坐标；xyCBADOQ PxyLM CB ADOKxyT SURC B ADOl 1（4）若点K 是线段CB 上一个动点，过点K 作x 轴的垂线，垂足为L ，交抛物线于M ，设K 点横坐标为t ，线段KL 的长为d ，KM =e ，已知d ，e 是以y 为未知数的一元二次方程：y 2一（m +3）y +41（5m 2﹣2m +13）=0（m 为常数）的两个实数根，点N 在抛物线上，连接NL 、NM 、NK ，且NK 平分∠MNL ，求出t 值及点N 的坐标；（5）P 、Q 为直线y =x -1上的两动点（P 在Q 点的下方），且PQ =2，求四边形PDBQ 周长的最小值；（6）直线l 1绕点A 以AB 为起始位置顺时针旋转到AC 位置停止，l 1与线段BC 交于点R ，U 是AR 的中点，过点R 作RS 垂直x 轴于点S ，作RT ⊥AC 所在直线于点T ，连结US 、UT 、ST ，在l 运动过程中，①求点U 的运动路程；②求△UST 周长的最小值；③一只蚂蚁沿线段AR 以每秒1个单位的速度运动到R ，再沿线段RB 以每秒5个单位的速度运动到B 后停止,当点R 的坐标是多少时，蚂蚁在整个运动过程中用时最少？xyVCBADOl 2xyXWVCBADOxyZY C BADOl 4（7）过点B 作BV ⊥BC 交抛物线于点V ，再过点B 任作任意直线l 2，设点C 、V 到直线l 的距离分别为d 1，d 2，求d 1+d 2的最大值；（8）过点A 的任意直线l 3分别交直线BV ，BC 于W 、Z 两点,①求BX BW 11+的值；②求AXAW 11+的最大值；（9）直线l 4与抛物线交于Y 、Z 两点，且满足∠YDZ =90°，求证：直线l 4恒过一定点，并求出此定点的坐标。

因动点产生的线段和差问题例2 2012年滨州市中考第24题如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A (－2, －4 )、O (0, 0)、 B (2, 0)三点．（1）求抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的解析式；（2）若点M 是该抛物线对称轴上的一点，求AM ＋OM 的最小值．图1动感体验请打开几何画板文件名“12滨州24”，拖动点M 在抛物线的对称轴上运动（如图2），可以体验到，当M 落在线段AB 上时，根据两点之间线段最短，可以知道此时AM ＋OM 最小（如图3）．请打开超级画板文件名“12滨州24”，拖动点M ， M 落在线段AB 上时， AM ＋OM 最小．答案（1）212y x x =-+。

（2）AM ＋OM 的最小值为图2 图3例3 2012年山西省中考第26题如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D 是抛物线的顶点．（1）求直线AC的解析式及B、D两点的坐标（2）点P是x轴上的一个动点，过P作直线l//AC交抛物线于点Q．试探究：随着点P的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）请在直线AC上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“12山西26”，拖动点P在x轴上运动，可以体验到，点Q有3个时刻可以落在抛物线上．拖动点M在直线AC上运动，可以体验到，当M落在B′D上时，MB＋MD最小，△MBD的周长最小．思路点拨1．第（2）题探究平行四边形，按照AP为边或者对角线分两种情况讨论．2．第（3）题是典型的“牛喝水”问题，构造点B关于“河流”AC的对称点B′，那么M落在B′D上时，MB＋MD最小，△MBD的周长最小．满分解答（1）由y＝－x2＋2x＋3＝－(x＋1)(x－3)＝－(x－1)2＋4，得A(－1, 0)、B(3, 0)、C(0, 3)、D(1, 4)．直线AC的解析式是y＝3x＋3．（2）Q1(2, 3)，Q2(13-)，Q3(13-)．（3）设点B关于直线AC的对称点为B′，联结BB′交AC于F．联结B′D，B′D与交AC的交点就是要探求的点M．作B′E⊥x轴于E，那么△BB′E∽△BAF∽△CAO．在Rt △BAF中，13AF BF ==AB ＝4，所以BF = 在Rt △BB ′E中，'13B E BE ==，'2BB BF ==12'5B E =，365BE =． 所以3621355OE BE OB =-=-=．所以点B ′的坐标为2112(,)55-． 因为点M 在直线y ＝3x ＋3上，设点M 的坐标为(x , 3x ＋3)．由''''''DD MM B D B M =，得''''yD yB yM yB xD xB xM xB --=--．所以1212433552121155x x -+-=++．解得935x =．所以点M 的坐标为9132(,)3535．图2图3考点伸展第（2）题的解题思路是这样的：①如图4，当AP 是平行四边形的边时，CQ //AP ，所以点C 、Q 关于抛物线的对称轴对称，点Q 的坐标为(2, 3)．②如图5，当AP 是平行四边形的对角线时，点C 、Q 分居x 轴两侧，C 、Q 到x 轴的距离相等．解方程－x 2＋2x ＋3＝－3，得1x =Q 的坐标为(13-)或(13-)．图4 图5。

二次函数与线段和差问题例题精讲:如图抛物线与x轴交于A，B（1,0）,与y 轴交于点C，直线经过点A,C。

抛物线的顶点为D，对称轴为直线l，（1）求抛物线解析式.（2）求顶点D的坐标与对称轴l。

（3）设点E为x轴上一点，且AE=CE，求点E的坐标.（4）设点G是y轴上的一点,是否存在点G，使得GD+GB的值最小，若存在，求出G点坐标，若不存在，说明理由。

（5）在直线l上是否存在一点F，使得△BCF的周长最小,若存在,求出点F的坐标及△BCF周长的最小值，若不存在，说明理由。

（6）在y轴上是否存在一点S，使得SD-SB的值最大，若存在，求出S点坐标,若不存在，说明理由。

（7）若点H是抛物线上位于AC上方的一点，过点H作y轴的平行线，交AC 于点K，设点H的横坐标为h,线段HK=d①求d关于h的函数关系式②求d的最大值及此时H点的坐标（8）设点P是直线AC上方抛物线上一点，当P点与直线AC距离最大值时，求P点的坐标,并求出最大距离是多少?1.如图,矩形的边OA 在轴上，边OC 在轴上，点的坐标为(10，8),沿直线OD 折叠矩形，使点正好落在上的处，E 点坐标为（6,8），抛物线经过、、三点。

（1)求此抛物线的解析式。

(2)求AD 的长.(3）点P 是抛物线对称轴上的一动点,当△PAD 的周长最小时，求点P 的坐标.2。

如图,在平面直角坐标系中，抛物线412+=x y 与轴相交于点A ，点B 与点O 关于点A 对称。

(1）填空：点B 的坐标是 。

（2）过点的直线（其中）与轴相交于点C ，过点C 作直线平行于轴，P 是直线上一点，且PB=PC,求线段PB 的长（用含k 的式子表示），并判断点P 是否在抛物线上，说明理由.（3）在(2）的条件下，若点C 关于直线BP 的对称点恰好落在该抛物线的对称轴上，求此时点P 的坐标。

3.如图，抛物线与x 轴交于A,B 两点,与y 轴交于点C,点O 为坐标原点,点D 为抛物线的顶点，点E 在抛物线上，点F 在x 轴上,四边形OCEF 为矩形,且OF=2，EF=3，.(1）写出抛物线对应的函数解析式： △AOD 的面积是(2)连结CB 交EF 于M ，再连结AM 交OC 于R ，求△ACR 的周长。

二次函数与线段和差问题例题精讲：如图抛物线y=ax2+bb+b(b≠0与x轴交于A,B（1,0），与yb−2经过点A,C.抛物线的顶点为D，对称轴为直线l, 轴交于点C,直线y=12（1）求抛物线解析式。

（2）求顶点D的坐标与对称轴l.（3）设点E为x轴上一点，且AE=CE,求点E的坐标。

（4）设点G是y轴上的一点，是否存在点G，使得GD+GB的值最小，若存在，求出G点坐标，若不存在，说明理由。

（5）在直线l上是否存在一点F，使得△BCF的周长最小，若存在，求出点F 的坐标及△BCF周长的最小值，若不存在，说明理由。

（6）在y轴上是否存在一点S,使得SD-SB的值最大，若存在，求出S点坐标，若不存在，说明理由。

（7）若点H是抛物线上位于AC上方的一点，过点H作y轴的平行线，交AC 于点K，设点H的横坐标为h,线段HK=d①求d关于h的函数关系式②求d的最大值及此时H点的坐标（8）设点P是直线AC上方抛物线上一点，当P点与直线AC距离最大值时，求P点的坐标，并求出最大距离是多少？1.如图，矩形的边OA在轴上，边OC在轴上，点的坐标为(10,8)，沿直线OD折叠矩形，使点正好落在上的处，E点坐标为(6,8)，抛物线经过、、三点。

（1）求此抛物线的解析式。

（2）求AD的长。

（3）点P是抛物线对称轴上的一动点，当△PAD的周长最小时，求点P的坐标。

2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线412+=x y 与轴相交于点A ，点B 与点O 关于点A 对称。

（1）填空：点B 的坐标是 。

（2）过点的直线（其中）与轴相交于点C ，过点C 作直线平行于轴，P 是直线上一点，且PB=PC ，求线段PB 的长（用含k 的式子表示），并判断点P 是否在抛物线上，说明理由。

（3）在（2）的条件下，若点C 关于直线BP 的对称点恰好落在该抛物线的对称轴上，求此时点P 的坐标。

3.如图,抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点O为坐标原点,点D为抛物线的顶点,点E在抛物线上,点F在x轴上,四边形OCEF为矩形,且OF=2,EF=3,.(1)写出抛物线对应的函数解析式:△AOD的面积是(2)连结CB交EF于M,再连结AM交OC于R,求△ACR的周长.(3)设G(4,-5)在该抛物线上,P是y轴上一动点,过点P作PH垂直于直线EF并交于H,连接AP,GH,问AP+PH+HG是否有最小值?如果有,求点P的坐标;如果没有,请说明理由.4.在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，3OA =，4OB =，D 为边OB 的中点． 若E 、F 为边OA 上的两个动点，且2EF =，当四边形CDEF 的周长最小时，求点E 、F 的坐标．5.四边形ABCD 是直角梯形，BC ∥AD ，∠BAD =90°，BC 与y 轴相交于点M ，且M 是BC 的中点，A 、B 、D 三点的坐标分别是A （ 1 0-，），B （ 1 2-，），D （3，0）．连接DM ，并把线段DM 沿DA 方向平移到ON ．若抛物线2y ax bx c =++经过点D 、M 、N ．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点P ，使得PA =PC ，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设抛物线与x 轴的另一个交点为E ，点Q 是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q 在什么位置时有|QE -QC |最大？并求出最大值．6.已知，如图，二次函数223y ax ax a=+-(0)a≠图象的顶点为H，与x轴交于A、B两点（B在A点右侧），点H、B关于直线:3l y x=+（1）求A、B两点坐标，并证明点A在直线l上；（2）求二次函数解析式；（3）过点B作直线BK∥AH交直线l于K点，M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点，连接HN、NM、MK，求HN+NM+MK和的最小值．7.如图，已知点A(-4，8)和点B(2，n)在抛物线2y ax上．=（1）求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使得AQ+QB最短，求出点Q的坐标；（2）平移抛物线2y ax，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，=点C(-2，0)和点D(-4，0)是x轴上的两个定点．①当抛物线向左平移到某个位置时，A′C+CB′最短，求此时抛物线的函数解析式；②当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．8.如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=﹣x2+4x上，且横坐标为1，点B与点A关于抛物线的对称轴对称，直线AB与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，点E的坐标为（1，1）．（1）求线段AB的长；（2）点P为线段AB上方抛物线上的任意一点，过点P作AB的垂线交AB于点H，点F为y轴上一点，当△PBE的面积最大时，求PH+HF+FO的最小值；（3）在（2）中，PH+HF+FO取得最小值时，将△CFH绕点C顺时针旋转60°后得到△CF′H′，过点F'作CF′的垂线与直线AB交于点Q，点R为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点S，使以点D，Q，R，S为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点S的坐标，若不存在，请说明理由．9.在Rt △ABC 中，∠A=90°，AC=AB=4， D ，E 分别是AB ，AC 的中点．若等腰Rt △ADE 绕点A 逆时针旋转，得到等腰Rt △AD 1E 1，设旋转角为α（0<α≤180°），记直线BD 1与CE 1的交点为P ．（1）如图1，当α=90°时，线段BD 1的长等于 ，线段CE 1的长等于 ；（直接填写结果）（2）如图2，当α=135°时，求证：BD 1= CE 1，且BD 1⊥CE 1；（3）①设BC 的中点为M ，则线段PM 的长为 ；②点P 到AB 所在直线的距离的最大值为 ．（直接填写结果）E 1BCE （D 1）A P E 1B C E D D 1Aword文档整理分享参考资料。

中考二次函数动点问题一、背景介绍二次函数是初中数学的重要内容之一，也是中考数学的重要考点之一。

在中考数学中，二次函数往往与动点问题相结合，形成一种综合性较强的题目。

这种题目不仅需要学生掌握二次函数的性质和图像，还需要学生具备一定的数学思维和解决问题的能力。

因此，研究中考二次函数的动点问题对于提高学生的数学成绩和数学能力具有重要的意义。

二、问题建模1. 定义和公式二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）。

其中，a、b、c分别是二次项系数、一次项系数和常数项。

二次函数的图像是一个抛物线，其顶点坐标是（-b/2a，（4ac-b^2）/4a）。

2. 动点问题动点问题是指在题目中有一个或多个点在运动，通过运动过程中点的位置变化来解决数学问题。

在二次函数中，动点问题通常涉及到点的坐标、函数的图像和图形的性质等方面。

三、解题思路1. 建立数学模型在解决二次函数动点问题时，首先需要建立数学模型。

通常情况下，建立数学模型的方法是根据题目中的条件和问题，选择适当的数学符号和公式来表示问题。

例如，在解决一个动点问题时，可以先根据题目条件建立方程，然后通过对方程进行分析和求解来解决问题。

2. 图像分析图像分析是解决二次函数动点问题的重要方法之一。

通过对图像进行分析，可以直观地了解点的运动轨迹、函数的增减性等问题。

在进行图像分析时，需要注意以下几点：（1）分析图像的开口方向：开口向上表示函数递增，开口向下表示函数递减。

（2）找出对称轴：对称轴是一条垂直于x轴的直线，它把图像分为两个对称的部分。

（3）找出顶点：顶点是图像的最低点或最高点，它代表着函数的最值。

（4）分析增减性：当x增加时，如果函数值也随之增加，则称函数是递增的；当x增加时，如果函数值随之减小，则称函数是递减的。

3. 分类讨论分类讨论是一种重要的数学思想方法，也是解决二次函数动点问题的重要手段之一。

在进行分类讨论时，需要根据题目条件对各种情况进行分类，然后分别进行讨论和求解。

函数解题思路方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数ax2+bx+c=0中a,b,c 的符号，或由二次函数中a,b,c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2+bx+c ﹙a ≠0﹚本身就是所含字母x 的二次函数；下面以a ＞0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：动点问题题型方法归纳总结动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。

下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。

二、抛物线上动点5、（湖北十堰市）如图①， 已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于点A (1，0)和点B (－3，0)，与y 轴交于点C ． (1) 求抛物线的解析式；(2) 设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使△CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．(3) 如图②，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE 、CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标．注意：第（2）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P 坐标----①C 为顶点时，以C 为圆心CM 为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P ，②M 为顶点时，以M 为圆心MC 为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P ，③P 为顶点时，线段MC 的垂直平分线与对称轴交点即为所求点P 。

函数解题思路方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数ax ²+bx+c=0中a,b,c 的符号，或由二次函数中a,b,c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax ²+bx+c ﹙a ≠0﹚本身就是所含字母x 的二次函数；下面以a ＞0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：动点问题题型方法归纳总结动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

） 动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。

下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。

二、 抛物线上动点5、（湖北十堰市）如图①， 已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于点A (1，0)和点B (－3，0)，与y 轴交于点C ．(1) 求抛物线的解析式；(2) 设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使△CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．(3) 如图②，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE 、CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标．注意：第（2）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P坐标----①C为顶点时，以C为圆心CM 为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，②M为顶点时，以M为圆心MC为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，③P为顶点时，线段MC的垂直平分线与对称轴交点即为所求点P。

初中数学动点问题教学实践研究—以二次函数动点问题为例发布时间：2022-10-19T07:12:21.791Z 来源：《中小学教育》2022年12期作者：章长世[导读] 动点问题作为初中数学考试的重点和难点,动点问题一直是学生在中考数学中容易丢分的一项。

章长世单位安徽省庐江县庐江四中高新校区庐江县邮编231500摘要:动点问题作为初中数学考试的重点和难点,动点问题一直是学生在中考数学中容易丢分的一项。

动力题通常是综合性的,目的是考察学生对课程知识的掌握、理解和运用,对学生的要求较高,所以学生解题有很多困难。

提高学生对动点问题的解题能力,教师有必要详细分析学生解决动点问题的难点,运用有效的教学策略为学生讲解问题,帮助学生理解动点问题的本质,进一步提高学生的解题能力。

关键词：数学函数实践研究动点问题一、分析动点的困难因素通过在教学实习中发现不同的学生对于同一题目的反应往往各不相同,而且每个人对题目的理解能力也不一样。

比如对于同一道二次函数动点问题,优等生至少需要阅读两次题目才能提取出关键信息,把题目所给信息和图像相结合,中等生则需要更多次读题,则大部分需要在做题过程中慢慢体会题干的隐藏信息。

通过观察学生对于二次函数的解题过程和阅读相关文献,将学生在题目分析中遇到的困难总结如下:学生存在理解困难。

动点问题的关键在于对图形的理解,需要学生结合题意去理解动点与题目中函数图像的结合。

二次函数的动点问题往往综合性较强,而且大部分题目与几何图形的性质、数学定理公式等有关,且题干繁多,题干中隐藏的条件和信息也不少,这就导致很多学生不会"翻译"题目或者"翻译"出来题目却不知道用什么知识点解题,不会将题目中出现的文字语言用数学符号表示出来、找不到变量与不变量之间的联系,或者因为基础知识不牢"翻译"错了题目、列错了函数关系式,没有做到把已知条件和所学内容做到灵活结合,造成又失分又浪费时间的情况。

函数性问题专题—动点问题函数及其图象是初中数学中的主要内容之一，也是初中数学与高中数学相联系的纽带．它与代数、几何、三角函数等知识有着密切联系，中考命题中既重点考查函数及其图象的有关基础知识，同时以函数为背景的综合性问题也是命题热点之一，多数省市作压轴题．因此，在中考复习中，关注这一热点显得十分重要．以函数为背景的综合性问题往往都可归结为动点性问题，我们把它归纳为以下七种题型（附例题）一、因动点而产生的面积问题例1：如图10，已知抛物线P：y=ax2+bx+c(a≠0) 与x轴交于A、B两点(点A在x轴的正半轴上)，与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC、AC上，抛物线P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：x …-3 -2 1 2 …y …-52-4 -520 …(1) 求A、B、C三点的坐标；(2) 若点D的坐标为(m，0)，矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系，并指出m的取值范围；(3) 当矩形DEFG的面积S取最大值时，连接DF并延长至点M，使FM=k·DF，若点M不在抛物线P上，求k的取值范围.若因为时间不够等方面的原因，经过探索、思考仍无法圆满解答本题，请不要轻易放弃，试试将上述(2)、(3)小题换为下列问题解答(已知条件及第(1)小题与上相同，完全正确解答只能得到5分)：(2) 若点D的坐标为(1，0)，求矩形DEFG的面积.例2：如图1，已知直线12y x=-与抛物线2164y x=-+交于A B，两点．（1）求A B，两点的坐标；（2）求线段AB的垂直平分线的解析式；（3）如图2，取与线段AB等长的一根橡皮筋，端点分别固定在A B，两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动，动点P将与A B，构成无数个三角形，这些三角求出最大面积，并指出此时P点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．yxOyxOPA图2图1BBA图10例3：如图1，矩形ODEF 的一边落在矩形ABCO 的一边上，并且矩形ODE F ∽矩形ABCO ，其相似比为1 : 4，矩形ABCO 的边AB=4,BC=43．(1)求矩形ODEF 的面积； (2）将图l 中的矩形ODEF 绕点O 逆时针旋转 900，若旋转过程中OF 与OA 的夹角（图2中的∠FOA ）的正切的值为x ，两个矩形重叠部分的面积为y ，求 y 与 x 的函数关系式；(3)将图1中的矩形ODEF 绕点O 逆时针旋转一周，连结EC 、EA ，△ACE 的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由。

适用文档二次函数与线段和差问题例题精讲：如图抛物线与x轴交于A,B（1,0），与y轴交于点C,直线经过点A,C.抛物线的极点为，对称轴为直线l,D（1）求抛物线分析式。

（2）求极点D的坐标与对称轴l.（3）设点E为x轴上一点，且AE=CE,求点E的坐标。

（4）设点G是y轴上的一点，能否存在点G，使得GD+GB的值最小，若存在，求出G点坐标，若不存在，说明原因。

（5）在直线l上能否存在一点F，使得△BCF的周长最小，若存在，求出点F 的坐标及△BCF周长的最小值，若不存在，说明原因。

（6）在y轴上能否存在一点S,使得SD-SB的值最大，若存在，求出S点坐标，若不存在，说明原因。

（7）若点H是抛物线上位于AC上方的一点，过点H作y轴的平行线，交AC 于点K，设点H的横坐标为h,线段HK=d（①求d对于h的函数关系式（②求d的最大值及此时H点的坐标（8）设点P是直线AC上方抛物线上一点，当P点与直线AC距离最大值时，求P 点的坐标，并求出最大距离是多少？标准文案适用文档如图，矩形的边OA在轴上，边OC在轴上，点的坐标为(10,8)，沿直线OD折叠矩形，使点正好落在上的处，E点坐标为(6,8)，抛物线经过、、三点。

（1）求此抛物线的分析式。

（2）求AD的长。

（3）点P是抛物线对称轴上的一动点，当△PAD的周长最小时，求点P的坐标。

标准文案适用文档2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y x21与轴订交于点A，点B与4点O对于点A对称。

（1）填空：点B的坐标是。

（2）过点的直线（此中）与轴订交于点C，过点C作直线平行于轴，P是直线上一点，且PB=PC，求线段PB的长（用含k的式子表示），并判断点P能否在抛物线上，说明原因。

3）在（2）的条件下，若点C对于直线BP的对称点恰巧落在该抛物线的对称轴上，求此时点P的坐标。

标准文案(2)适用文档(3)(4)(5) 3.如图,抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点O为(6)坐标原点,点D为抛物线的极点,点E在抛物线上,点F在x轴上,四边形OCEF为矩形,且OF=2,EF=3,.(7)(1)写出抛物线对应的函数分析式:△AOD的面积是(8)连结CB交EF于M,再连结AM交OC于R,求△ACR的周长.(9)设G(4,-5)在该抛物线上,P是y轴上一动点,过点P作PH垂直于直线EF并交于H,连结AP,GH,问AP+PH+HG能否有最小值?假如有,求点P的坐标;假如没有,请说明原因.标准文案适用文档4.在平面直角坐标系中，矩形OACB的极点O在座标原点，极点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA3，OB4，D为边OB的中点．若E、F为边OA上的两个动点，且EF 2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标．yB CDO A x标准文案适用文档5.四边形ABCD是直角梯形，BC∥AD，∠BAD=90°，BC与y轴订交于点M，且M是BC的中点，A、B、D三点的坐标分别是A（1，0），B（1，2），D（3，0）．连结DM，并把线段DM沿DA方向平移到ON．若抛物线y ax2bx c经过点D、M、N．（1）求抛物线的分析式；（2）抛物线上能否存在点P，使得PA=PC，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明原因；（3）设抛物线与x轴的另一个交点为E，点Q是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q在什么地点时有|QE-QC|最大？并求出最大值．标准文案适用文档6.已知，如图，二次函数y ax22ax 3a(a 0)图象的极点为H，与x轴交于A、3x3对称．B两点（B在A点右边），点H、B对于直线l:y3（1）求A、B两点坐标，并证明点A在直线l上；（2）求二次函数分析式；（3）过点B作直线BK∥AH交直线l于K点，M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点，连结HN、NM、MK，求HN+NM+MK和的最小值．ylHKA OB x标准文案适用文档7.如图，已知点A(-4，8)和点B(2，n)在抛物线y=ax2上．1）求a的值及点B对于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使得AQ+QB最短，求出点Q的坐标；2）平移抛物线y=ax2，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，点C(-2，0)和点D(-4，0)是x轴上的两个定点．①当抛物线向左平移到某个地点时，A′C+CB′最短，求此时抛物线的函数分析式；②当抛物线向左或向右平移时，能否存在某个地点，使四边形A′B′CD的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数分析式；若不存在，请说明原因．yA8642BD C-4-2O24x-2-4标准文案S的坐标，若不存在，请说明原因．适用文档8.如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=﹣x2+4x上，且横坐标为1，点B与点A对于抛物线的对称轴对称，直线AB与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，点E的坐标为（1，1）．1）求线段AB的长；2）点P为线段AB上方抛物线上的随意一点，过点P作AB的垂线交AB于点H，点F为y轴上一点，当△PBE的面积最大时，求PH+HF+ FO的最小值；（3）在（2）中，PH+HF+ FO获得最小值时，将△CFH绕点C顺时针旋转60°后获得△CF′，H′过点F'作CF′的垂线与直线AB交于点Q，点R为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中能否存在点S，使以点D，Q，R，S为极点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点标准文案初中中考数学中地二次函数地线段及差以及最值问题 11 适用文档 9.在Rt △ABC 中，∠A=90°，AC=AB=4，D ，E 分别是AB ，AC 的中点．若等腰Rt △ADE 绕点A 逆时针旋转，获得等腰Rt △AD 1E 1，设旋转角为α（0<α≤180°），记直线BD 1与CE 1的交点为P ．（1）如图1，当α=90°时，线段BD 1的长等于 ，线段CE 1的长等 于 ；（直接填写结果）（2）如图2，当α=135°时，求证：BD 1 1，且BD 1⊥CE 1； =CE（3）①设BC 的中点为M ，则线段PM 的长为 ；②点P 到AB 所在直 线的距离的最大值为．（直接填写结果） CCE （D 1）E D 1PA DB E 1 AD B E 1标准文案。