2017中考数学压轴试题复习第一部分专题七因动点产生的线段和差问题201707071109

2017年河北省中考数学压轴试卷（一）一、选择题（本大题共16个小题，1-10小题，每小题3分，11-16小题，每小题3分，共42分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请把正确的答案涂在答题卡上.1．（3分）﹣3的相反数是（）A．3 B．﹣3 C．D．﹣2．（3分）如图，数轴上的A、B、C、D四点中，与数﹣表示的点最接近的是（）A．点A B．点B C．点C D．点D3．（3分）下列运算正确的是（）A．a2⋅a3=a6 B．（a2）3=a6C．（﹣ab2）6=a6b6D．（a+b）2=a2+b24．（3分）下列图形中，不是中心对称图形的是（）A． B．C． D．5．（3分）的算术平方根是（）A．2 B．±2 C．D．±6．（3分）要使分式有意义，则x的取值应满足（）A．x=﹣2 B．x≠2 C．x＞﹣2 D．x≠﹣27．（3分）在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有9名学生参加比赛，他们决赛的最终成绩各不相同，其中的一名学生要想知道自己能否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的（）A．众数B．方差C．平均数D．中位数8．（3分）将一张长与宽的比为2：1的长方形纸片按如图①、②所示的方式对折，然后沿图③中的虚线裁剪，得到图④，最后将图④的纸片再展开铺平，则所得到的图案是（）A．B．C．D．9．（3分）如图几何体的俯视图是（）A．B．C．D．10．（3分）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（）A．a（x﹣y）=ax﹣ay B．x2+2x+1=x（x+2）+1C．（x+1）（x+3）=x2+4x+3 D．x3﹣x=x（x+1）（x﹣1）11．（2分）△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1：2，已知△ABC的面积是3，则△A′B′C′的面积是（）A．3 B．6 C．9 D．1212．（2分）解分式方程+=3时，去分母后变形正确的是（）A．2+（x+2）=3（x﹣1）B．2﹣x+2=3（x﹣1）C．2﹣（x+2）=3 D．2﹣（x+2）=3（x﹣1）13．（2分）将直角三角尺的直角顶点靠在直尺上，且斜边与这根直尺平行，那么，在形成的这个图中与∠α互余的角共有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个14．（2分）如图，点A是反比例函数y=（x＜0）的图象上的一点，过点A作平行四边形ABCD，使点B、C在x轴上，点D在y轴上．已知平行四边形ABCD 的面积为6，则k的值为（）A．6 B．﹣6 C．3 D．﹣315．（2分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，则下列结论正确的是（）A．OE=BE B．=C．△BOC是等边三角形D．四边形ODBC是菱形16．（2分）小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5：12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，求山高（）A．600﹣250米B．600﹣250米C．350+350米D．500米二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分.把答案写在题中的横线上）17．（3分）若|a|=20160，则a=．18．（3分）如图，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，AB=2，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为．19．（3分）在数轴上，点A表示1，现将点A沿x轴做如下移动，第一次点A 向左移动3个单位长度到达点A1，第二次将点A1向右移动6个单位长度到达点A2，第三次将点A2向左移动9个单位长度到达点A3，则A3表示的数是按照这种移动规律移动下去，第n次移动到点A N，如果点A N与原点的距离不小于20，那么n的最小值是．三、解答题（本大题6个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20．（9分）计算：（﹣2015）0+|1﹣|﹣2cos45°++（﹣）﹣2．21．（9分）先化简，再求值：，其中x=+1．22．（10分）为了解今年初四学生的数学学习情况，某校在第一轮模拟测试后，对初四全体同学的数学成绩作了统计分析，绘制如下图表：请结合图表所给出的信息解答系列问题：（1）该校初四学生共有多少人？（2）求表中a，b，c的值，并补全条形统计图．（3）初四（一）班数学老师准备从成绩优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中任意抽取两名同学做学习经验介绍，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．23．（9分）我市某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种适宜生长温度为15﹣20℃的新品种，如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚里温度y（℃）随时间x（h）变化的函数图象，其中AB段是恒温阶段，BC段是双曲线y=的一部分，请根据图中信息解答下列问题：（1）求k的值；（2）恒温系统在一天内保持大棚里温度在15℃及15℃以上的时间有多少小时？24．（10分）已知一次函数y=﹣x+6的图象与坐标轴交于A、B点（如图），AE 平分∠BAO，交x轴于点E．（1）求点B的坐标；（2）求直线AE的表达式；（3）过点B作BF⊥AE，垂足为F，连接OF，试判断△OFB的形状，并求△OFB 的面积．25．（10分）如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA=5．OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C．（1）试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由；（2）若PC=2，求⊙O的半径和线段PB的长；（3）若在⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，求⊙O的半径r的取值范围．26．（12分）抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标（3）直线l经过A、C两点，点Q在抛物线位于y轴左侧的部分上运动，直线m 经过点B和点Q，是否存在直线m，使得直线l、m与x轴围成的三角形和直线l、m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式，若不存在，请说明理由．2017年河北省中考数学压轴试卷（一）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共16个小题，1-10小题，每小题3分，11-16小题，每小题3分，共42分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请把正确的答案涂在答题卡上.1．（3分）﹣3的相反数是（）A．3 B．﹣3 C．D．﹣【解答】解：﹣3的相反数是3，故选：A．2．（3分）如图，数轴上的A、B、C、D四点中，与数﹣表示的点最接近的是（）A．点A B．点B C．点C D．点D【解答】解：∵≈1.732，∴﹣≈﹣1.732，∵点A、B、C、D表示的数分别为﹣3、﹣2、﹣1、2，∴与数﹣表示的点最接近的是点B．故选：B．3．（3分）下列运算正确的是（）A．a2⋅a3=a6 B．（a2）3=a6C．（﹣ab2）6=a6b6D．（a+b）2=a2+b2【解答】解：A、同底数幂的乘法底数不变值数相加，故A错误；B、幂的乘方底数不变指数相乘，故B正确；C、积的乘方等于乘方的积，故C错误；D、和的平方等于平方和加积的二倍，故D错误；故选：B．4．（3分）下列图形中，不是中心对称图形的是（）A． B．C． D．【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、不是中心对称图形，故本选项符合题意；C、是中心对称图形，故本选项不符合题意；D、是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选B．5．（3分）的算术平方根是（）A．2 B．±2 C．D．±【解答】解：∵=2，而2的算术平方根是，∴的算术平方根是，故选：C．6．（3分）要使分式有意义，则x的取值应满足（）A．x=﹣2 B．x≠2 C．x＞﹣2 D．x≠﹣2【解答】解：∵分式有意义，∴x+2≠0，∴x≠﹣2，即x的取值应满足：x≠﹣2．故选：D．7．（3分）在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有9名学生参加比赛，他们决赛的最终成绩各不相同，其中的一名学生要想知道自己能否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的（）A．众数B．方差C．平均数D．中位数【解答】解：由于总共有9个人，且他们的分数互不相同，第5的成绩是中位数，要判断是否进入前5名，故应知道中位数的多少．故选：D．8．（3分）将一张长与宽的比为2：1的长方形纸片按如图①、②所示的方式对折，然后沿图③中的虚线裁剪，得到图④，最后将图④的纸片再展开铺平，则所得到的图案是（）A．B．C．D．【解答】解：严格按照图中的顺序向右翻折，向右上角翻折，剪去右上角，展开得到结论．故选A．9．（3分）如图几何体的俯视图是（）A．B．C．D．【解答】解：该几何体的俯视图为，故选D10．（3分）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（）A．a（x﹣y）=ax﹣ay B．x2+2x+1=x（x+2）+1C．（x+1）（x+3）=x2+4x+3 D．x3﹣x=x（x+1）（x﹣1）【解答】解：A、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；B、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；C、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；D、符合因式分解的定义，故本选项正确；故选：D．11．（2分）△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1：2，已知△ABC的面积是3，则△A′B′C′的面积是（）A．3 B．6 C．9 D．12【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1：2，△ABC的面积是3，∴△ABC与△A′B′C′的面积比为：1：4，则△A′B′C′的面积是：12．故选：D．12．（2分）解分式方程+=3时，去分母后变形正确的是（）A．2+（x+2）=3（x﹣1）B．2﹣x+2=3（x﹣1）C．2﹣（x+2）=3 D．2﹣（x+2）=3（x﹣1）【解答】解：方程变形得：﹣=3，去分母得：2﹣（x+2）=3（x﹣1），故选D13．（2分）将直角三角尺的直角顶点靠在直尺上，且斜边与这根直尺平行，那么，在形成的这个图中与∠α互余的角共有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【解答】解：∵斜边与这根直尺平行，∴∠α=∠2，又∵∠1+∠2=90°，∴∠1+∠α=90°，又∠α+∠3=90°∴与α互余的角为∠1和∠3．故选：C．14．（2分）如图，点A是反比例函数y=（x＜0）的图象上的一点，过点A作平行四边形ABCD，使点B、C在x轴上，点D在y轴上．已知平行四边形ABCD 的面积为6，则k的值为（）A．6 B．﹣6 C．3 D．﹣3【解答】解：作AE⊥BC于E，如图，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥x轴，∴四边形ADOE为矩形，∴S=S矩形ADOE，平行四边形ABCD=|﹣k|，而S矩形ADOE∴|﹣k|=6，而k＜0，即k＜0，∴k=﹣6．故选B．15．（2分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，则下列结论正确的是（）A．OE=BE B．=C．△BOC是等边三角形D．四边形ODBC是菱形【解答】解：∵AB⊥CD，AB过O，∴DE=CE，=，根据已知不能推出OE=BE，△BOC是等边三角形，四边形ODBC是菱形．故选：B．16．（2分）小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5：12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，求山高（）A．600﹣250米B．600﹣250米C．350+350米D．500米【解答】解：∵BE：AE=5：12，=13，∴BE：AE：AB=5：12：13，∵AB=1300米，∴AE=1200米，BE=500米，设EC=x米，∵∠DBF=60°，∴DF=x米．又∵∠DAC=30°，∴AC=CD．即：1200+x=（500+x），解得x=600﹣250．∴DF=x=600﹣750，∴CD=DF+CF=600﹣250（米）．答：山高CD为（600﹣250）米．故选：B．二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分.把答案写在题中的横线上）17．（3分）若|a|=20160，则a=±1．【解答】∵|a|=20160，∴|a|=1，∴a=±1．故答案为：±1．18．（3分）如图，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，AB=2，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为﹣．【解答】解：连接CD，作DM⊥BC，DN⊥AC．∵CA=CB，∠ACB=90°，点D为AB的中点，∴DC=AB=1，四边形DMCN是正方形，DM=．则扇形FDE的面积是：=．∵CA=CB，∠ACB=90°，点D为AB的中点，∴CD平分∠BCA，又∵DM⊥BC，DN⊥AC，∴DM=DN，∵∠GDH=∠MDN=90°，∴∠GDM=∠HDN，在△DMG和△DNH中，，∴△DMG≌△DNH（AAS），∴S=S四边形DMCN=．四边形DGCH则阴影部分的面积是：﹣．故答案为﹣．19．（3分）在数轴上，点A表示1，现将点A沿x轴做如下移动，第一次点A 向左移动3个单位长度到达点A1，第二次将点A1向右移动6个单位长度到达点A2，第三次将点A2向左移动9个单位长度到达点A3，则A3表示的数是﹣5按照这种移动规律移动下去，第n次移动到点A N，如果点A N与原点的距离不小于20，那么n的最小值是13．【解答】解：第一次点A向左移动3个单位长度至点A1，则A1表示的数，1﹣3=﹣2；第2次从点A1向右移动6个单位长度至点A2，则A2表示的数为﹣2+6=4；第3次从点A2向左移动9个单位长度至点A3，则A3表示的数为4﹣9=﹣5；第4次从点A3向右移动12个单位长度至点A4，则A4表示的数为﹣5+12=7；第5次从点A4向左移动15个单位长度至点A5，则A5表示的数为7﹣15=﹣8；…；则A7表示的数为﹣8﹣3=﹣11，A9表示的数为﹣11﹣3=﹣14，A11表示的数为﹣14﹣3=﹣17，A13表示的数为﹣17﹣3=﹣20，A6表示的数为7+3=10，A8表示的数为10+3=13，A10表示的数为13+3=16，A12表示的数为16+3=19，所以点A N与原点的距离不小于20，那么n的最小值是13，故答案为：﹣5，13．三、解答题（本大题6个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20．（9分）计算：（﹣2015）0+|1﹣|﹣2cos45°++（﹣）﹣2．【解答】解：原式=1+﹣1﹣2×+2+9=2+9．21．（9分）先化简，再求值：，其中x=+1．【解答】解：∵x=+1，∴x=3+1=4，原式=×=，当x=4时，原式==2．22．（10分）为了解今年初四学生的数学学习情况，某校在第一轮模拟测试后，对初四全体同学的数学成绩作了统计分析，绘制如下图表：请结合图表所给出的信息解答系列问题：（1）该校初四学生共有多少人？（2）求表中a，b，c的值，并补全条形统计图．（3）初四（一）班数学老师准备从成绩优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中任意抽取两名同学做学习经验介绍，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．【解答】解：（1）由题意可得：该校初四学生共有：105÷0.35=300（人），答：该校初四学生共有300人；（2）由（1）得：a=300×0.3=90（人），b==0.15，c==0.2；如图所示；（3）画树形图得：∴一共有12种情况，抽取到甲和乙的有2种，∴P（抽到甲和乙）==．23．（9分）我市某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种适宜生长温度为15﹣20℃的新品种，如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚里温度y（℃）随时间x（h）变化的函数图象，其中AB段是恒温阶段，BC段是双曲线y=的一部分，请根据图中信息解答下列问题：（1）求k的值；（2）恒温系统在一天内保持大棚里温度在15℃及15℃以上的时间有多少小时？【解答】解：（1）把B（12，20）代入y=中得：k=12×20=240（2）设AD的解析式为：y=mx+n把（0，10）、（2，20）代入y=mx+n中得：解得∴AD的解析式为：y=5x+10当y=15时，15=5x+10，x=115=，x==16∴16﹣1=15答：恒温系统在一天内保持大棚里温度在15℃及15℃以上的时间有15小时．24．（10分）已知一次函数y=﹣x+6的图象与坐标轴交于A、B点（如图），AE 平分∠BAO，交x轴于点E．（1）求点B的坐标；（2）求直线AE的表达式；（3）过点B作BF⊥AE，垂足为F，连接OF，试判断△OFB的形状，并求△OFB 的面积．【解答】解：（1）当y=﹣x+6=0时，x=8，∴点B的坐标为（8，0）．（2）当x=0时，y=﹣x+6=6，∴点A的坐标为（0，6），∴OA=6，OB=8，∴AB==10．∵AE平分∠BAO，交x轴于点E，∴=，∴OE=BE．∵OE+BE=OB=8，∴OE=3，BE=5，∴点E的坐标为（3，0）．设直线AE的表达式为y=kx+b，将A（0，6）、E（3，0）代入y=kx+b，，解得：，∴直线AE的表达式为y=﹣2x+6．（3）过点F作FG⊥x轴于点G，如图所示．∵BF⊥AE，∴∠BFE=90°=∠AOE．∵∠AEO=∠BEF，∴△AOE∽△BFE，∴==．∵OA=6，OE=3，∴AE=3．∵BE=5，∴BF=2，EF=．同理可得：△BEF∽△BFG，∴BG=4，FG=2．∵OB=8，∴OG=4=BG，∴△OFB为等腰三角形，∴S=OB•FG=8．△OFB25．（10分）如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA=5．OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C．（1）试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由；（2）若PC=2，求⊙O的半径和线段PB的长；（3）若在⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，求⊙O的半径r的取值范围．【解答】解：（1）AB=AC，理由如下：连接OB．∵AB切⊙O于B，OA⊥AC，∴∠OBA=∠OAC=90°，∴∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠APC=90°，∵OP=OB，∴∠OBP=∠OPB，∵∠OPB=∠APC，∴∠ACP=∠ABC，∴AB=AC；（2）延长AP交⊙O于D，连接BD，设圆半径为r，则OP=OB=r，PA=5﹣r，则AB2=OA2﹣OB2=52﹣r2，AC2=PC2﹣PA2=﹣（5﹣r）2，∴52﹣r2=﹣（5﹣r）2，解得：r=3，∴AB=AC=4，∵PD是直径，∴∠PBD=90°=∠PAC，又∵∠DPB=∠CPA，∴△DPB∽△CPA，∴=，∴=，解得：PB=．∴⊙O的半径为3，线段PB的长为；（3）作出线段AC的垂直平分线MN，作OE⊥MN，则可以推出OE=AC=AB=又∵圆O与直线MN有交点，∴OE=≤r，≤2r，25﹣r2≤4r2，r2≥5，∴r≥，又∵圆O与直线相离，∴r＜5，即≤r＜5．26．（12分）抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y 轴交于点C（0，﹣3）（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标（3）直线l经过A、C两点，点Q在抛物线位于y轴左侧的部分上运动，直线m 经过点B和点Q，是否存在直线m，使得直线l、m与x轴围成的三角形和直线l、m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式，若不存在，请说明理由．【解答】（1）把B、C两点坐标代入抛物线解析式可得，解得，∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3；（2）如图1，连接BC，过Py轴的平行线，交BC于点M，交x轴于点H，在y=x2﹣2x﹣3中，令y=0可得0=x2﹣2x﹣3，解得x=﹣1或x=3，∴A点坐标为（﹣1，0），∴AB=3﹣（﹣1）=4，且OC=3，∴S=AB×OC=×4×3=6，△ABC∵B（3，0），C（0，﹣3），∴直线BC解析式为y=x﹣3，设P点坐标为（x，x2﹣2x﹣3），则M点坐标为（x，x﹣3），∵P点在第四限，∴PM=x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣x2+3x，=PM•OH+PM•HB=PM（OH+HB）=PM•OB=PM，∴S△PBC∴当PM有最大值时，△PBC的面积最大，则四边形ABPC的面积最大，∵PM=﹣x2+3x=﹣（x﹣）2+，∴当x=时，PM max=，则S△PBC=×=，此时P点坐标为（，﹣）（3）如图2，设直线m交y轴于点N，交直线l于点G，则∠AGP=∠GNC+∠GCN，当△AGB和△NGC相似时，必有∠AGB=∠CGB，又∠AGB+∠CGB=180°，∴∠AGB=∠CGB=90°，∴∠ACO=∠OBN，在Rt△AON和Rt△NOB中，∴Rt△AON≌Rt△NOB（ASA），∴ON=OA=1，∴N点坐标为（0，﹣1），设直线m解析式为y=kx+d，把B、N两点坐标代入可得，解得，∴直线m解析式为y=x﹣1，即存在满足条件的直线m，其解析式为y=x﹣1．赠送：初中数学几何模型【模型一】半角型：图形特征：FAB正方形ABCD中，∠EAF=45°∠1=12∠BAD推导说明：1.1在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且∠FAE＝45°，求证：EF＝BE+DFE-aa B E1.2在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且EF＝BE+DF，求证：∠FAE＝45°E-a aBE挖掘图形特征：x-aa-a运用举例：1．正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.（1）求证：EF=FM（2）当AE=1时，求EF的长．E3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD＝2AD＝4，E为线段CD上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.。

目录第一部分函数图象中点的存在性问题1.1 因动点产生的相似三角形问题例1 2015年上海市宝山嘉定区中考模拟第24题例2 2014年武汉市中考第24题例3 2012年苏州市中考第29题例4 2012年黄冈市中考第25题例5 2010年义乌市中考第24题例6 2009年临沂市中考第26题1.2 因动点产生的等腰三角形问题例1 2015年重庆市中考第25题例2 2014年长沙市中考第第26题例3 2013年上海市虹口区中考模拟第25题例4 2012年扬州市中考第27题例5 2012年临沂市中考第26题例6 2011年盐城市中考第28题1.3 因动点产生的直角三角形问题例1 2015年上海市虹口区中考模拟第25题例2 2014年苏州市中考第29题例3 2013年山西省中考第26题例4 2012年广州市中考第24题例5 2012年杭州市中考第22题例6 2011年浙江省中考第23题例7 2010年北京市中考第24题1.4 因动点产生的平行四边形问题例1 2015年成都市中考第28题例2 2014年陕西省中考第24题例3 2013年上海市松江区中考模拟第24题例4 2012年福州市中考第21题例5 2012年烟台市中考第26题例6 2011年上海市中考第24题例7 2011年江西省中考第24题1.5 因动点产生的梯形问题例1 2015年上海市徐汇区中考模拟第24题例2 2014年上海市金山区中考模拟第24题例3 2012年上海市松江中考模拟第24题例4 2012年衢州市中考第24题例5 2011年义乌市中考第24题1.6 因动点产生的面积问题例1 2015年河南市中考第23题例2 2014年昆明市中考第23题例3 2013年苏州市中考第29题例4 2012年菏泽市中考第21题例5 2012年河南省中考第23题例6 2011年南通市中考第28题例7 2010年广州市中考第25题1.7 因动点产生的相切问题例1 2015年上海市闵行区中考模拟第24题例2 2014年上海市徐汇区中考模拟第25题例3 2013年上海市杨浦区中考模拟第25题1.8 因动点产生的线段和差问题例1 2015年福州市中考第26题例2 2014年广州市中考第24题例3 2013年天津市中考第25题例4 2012年滨州市中考第24题第二部分图形运动中的函数关系问题2.1 由比例线段产生的函数关系问题例1 2015年呼和浩特市中考第25题例2 2014年上海市徐汇区中考模拟第25题例3 2013年宁波市中考第26题例4 2012年上海市徐汇区中考模拟第25题2.2 由面积公式产生的函数关系问题例1 2015年上海市徐汇区中考模拟第25题例2 2014年黄冈市中考第25题例3 2013年菏泽市中考第21题例4 2012年广东省中考第22题例5 2012年河北省中考第26题例6 2011年淮安市中考第28题第三部分图形运动中的计算说理问题3.1 代数计算及通过代数计算进行说理问题例1 2015年北京市中考第29题例2 2014年福州市中考第22题例3 2013年南京市中考第26题3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题例1 2015年杭州市中考第22题例2 2014年安徽省中考第23题例3 2013年上海市黄浦区中考模拟第24题第四部分图形的平移翻折与旋转4.1图形的平移例1 2015年泰安市中考第15题例2 2014年江西省中考第11题4.2图形的翻折例1 2015年上海市宝山区嘉定区中考模拟第18题例2 2014年上海市中考第18题4.3图形的旋转例1 2015年扬州市中考第17题例2 2014年上海市黄浦区中考模拟第18题4.4三角形例1 2015年上海市长宁区中考模拟第18题例2 2014年泰州市中考第16题4.5四边形例1 2015年安徽省中考第19题例2 2014年广州市中考第8题4.6圆例1 2015年兰州市中考第15题例2 2014年温州市中考第16题4.7函数图像的性质例1 2015年青岛市中考第8题例2 2014年苏州市中考第18题第一部分函数图象中点的存在性问题1.1 因动点产生的相似三角形问题例1 2015年上海市宝山区嘉定区中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系中，双曲线（k≠0）与直线y＝x＋2都经过点A(2, m)．（1）求k与m的值；（2）此双曲线又经过点B(n, 2)，过点B的直线BC与直线y＝x＋2平行交y轴于点C，联结AB、AC，求△ABC的面积；（3）在（2）的条件下，设直线y＝x＋2与y轴交于点D，在射线CB上有一点E，如果以点A、C、E所组成的三角形与△ACD相似，且相似比不为1，求点E的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“15宝山嘉定24”，拖动点E在射线CB上运动，可以体验到，△ACE与△ACD相似，存在两种情况．思路点拨1．直线AD//BC，与坐标轴的夹角为45°．2．求△ABC的面积，一般用割补法．3．讨论△ACE与△ACD相似，先寻找一组等角，再根据对应边成比例分两种情况列方程．满分解答（1）将点A(2, m)代入y＝x＋2，得m＝4．所以点A的坐标为(2, 4)．将点A(2, 4)代入ky，得k＝8．x（2）将点B (n , 2)，代入8y x=，得n ＝4． 所以点B 的坐标为(4, 2)．设直线BC 为y ＝x ＋b ，代入点B (4, 2)，得b ＝－2． 所以点C 的坐标为(0,－2)．由A (2, 4) 、B (4, 2) 、C (0,－2)，可知A 、B 两点间的水平距离和竖直距离都是2，B 、C 两点间的水平距离和竖直距离都是4．所以AB ＝BC ＝ABC ＝90°． 图2所以S△ABC ＝12BA BC ⋅＝12⨯＝8． （3）由A (2, 4) 、D (0, 2) 、C (0,－2)，得AD ＝AC ＝．由于∠DAC ＋∠ACD ＝45°，∠ACE ＋∠ACD ＝45°，所以∠DAC ＝∠ACE ． 所以△ACE 与△ACD 相似，分两种情况：①如图3，当CE ADCA AC=时，CE ＝AD ＝ 此时△ACD ≌△CAE ，相似比为1．②如图4，当CE ACCA AD ==．解得CE ＝C 、E 两点间的水平距离和竖直距离都是10，所以E (10, 8)．图3 图4考点伸展第（2）题我们在计算△ABC 的面积时，恰好△ABC 是直角三角形． 一般情况下，在坐标平面内计算图形的面积，用割补法． 如图5，作△ABC 的外接矩形HCNM ，MN //y 轴．由S 矩形HCNM ＝24，S △AHC ＝6，S △AMB ＝2，S △BCN ＝8，得S △ABC ＝8．图5例2 2014年武汉市中考第24题如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；（2）如图2，连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值；（3）试证明：PQ的中点在△ABC的一条中位线上．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“14武汉24”，拖动点P运动，可以体验到，若△BPQ可以两次成为直角三角形，与△ABC相似．当AQ⊥CP时，△ACQ∽△CDP．PQ的中点H在△ABC的中位线EF上．思路点拨1．△BPQ与△ABC有公共角，按照夹角相等，对应边成比例，分两种情况列方程．2．作PD⊥BC于D，动点P、Q的速度，暗含了BD＝CQ．3．PQ的中点H在哪条中位线上？画两个不同时刻P、Q、H的位置，一目了然．满分解答（1）Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，所以AB＝10．△BPQ 与△ABC 相似，存在两种情况：① 如果BP BA BQ BC =，那么510848t t =-．解得t ＝1．② 如果BP BC BQ BA =，那么588410t t =-．解得3241t =．图3 图4（2）作PD ⊥BC ，垂足为D ．在Rt △BPD 中，BP ＝5t ，cos B ＝45，所以BD ＝BP cos B ＝4t ，PD ＝3t ．当AQ ⊥CP 时，△ACQ ∽△CDP ．所以AC CD QC PD =，即68443t t t -=．解得78t =．图5 图6（3）如图4，过PQ 的中点H 作BC 的垂线，垂足为F ，交AB 于E ． 由于H 是PQ 的中点，HF //PD ，所以F 是QD 的中点． 又因为BD ＝CQ ＝4t ，所以BF ＝CF ． 因此F 是BC 的中点，E 是AB 的中点．所以PQ 的中点H 在△ABC 的中位线EF 上．考点伸展本题情景下，如果以PQ 为直径的⊙H 与△ABC 的边相切，求t 的值．如图7，当⊙H 与AB 相切时，QP ⊥AB ，就是BP BC BQ BA =，3241t =． 如图8，当⊙H 与BC 相切时，PQ ⊥BC ，就是BP BABQ BC =，t ＝1．如图9，当⊙H 与AC 相切时，直径PQ =半径等于FC ＝48=．解得12873t =，或t ＝0（如图10，但是与已知0＜t ＜2矛盾）．图7 图 8 图9 图10例3 2012年苏州市中考第29题如图1，已知抛物线211(1)444by x b x =-++（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 是左侧），与y 轴的正半轴交于点C ．（1）点B 的坐标为______，点C 的坐标为__________（用含b 的代数式表示）； （2）请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“12苏州29”，拖动点B 在x 轴的正半轴上运动，可以体验到，点P 到两坐标轴的距离相等，存在四边形PCOB 的面积等于2b 的时刻．双击按钮“第（3）题”，拖动点B ，可以体验到，存在∠OQA ＝∠B 的时刻，也存在∠OQ ′A ＝∠B 的时刻．思路点拨1．第（2）题中，等腰直角三角形PBC 暗示了点P 到两坐标轴的距离相等．2．联结OP ，把四边形PCOB 重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含b 的式子表示．3．第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点Q 最大的可能在经过点A 与x 轴垂直的直线上．满分解答（1）B 的坐标为(b , 0)，点C 的坐标为(0,4b )． （2）如图2，过点P 作PD ⊥x 轴，PE ⊥y 轴，垂足分别为D 、E ，那么△PDB ≌△PEC ． 因此PD ＝PE ．设点P 的坐标为(x, x)． 如图3，联结OP ．所以S 四边形PCOB ＝S △PCO ＋S △PBO ＝1152428b x b x bx ⨯⋅+⨯⋅=＝2b ．解得165x =．所以点P 的坐标为(1616,55)．图2 图3 （3）由2111(1)(1)()4444b y x b x x x b =-++=--，得A (1, 0)，OA ＝1．①如图4，以OA 、OC 为邻边构造矩形OAQC ，那么△OQC ≌△QOA ． 当BA QA QA OA =，即2QA BA OA =⋅时，△BQA ∽△QOA ． 所以2()14bb =-．解得843b =±．所以符合题意的点Q 为(1,23+)．②如图5，以OC 为直径的圆与直线x ＝1交于点Q ，那么∠OQC ＝90°。

【类型综述】图形运动的过程中，求两条线段之间的函数关系，是中考数学的热点问题．产生两条线段间的函数关系，常见的情况有两种，一是勾股定理，二是比例关系．还有一种不常见的，就是线段全长等于部分线段之和．由比例线段产生的函数关系问题，在两种类型的题目中比较常用．一是由平行线产生的对于线段成比例，二是相似三角形的对应边成比例．一般步骤是先说理产生比例关系，再代入数值或表示数的字母，最后整理、变形，根据要求写出定义域．关键是寻找比例关系，难点是有的整理、变形比较繁琐，容易出错．【方法揭秘】由勾股定理产生的函数关系，在两种类型的题目中比较常用．类型一，已知“边角边”，至少一边是动态的，求角的对边．如图1，已知点A的坐标为(3, 4)，点B是x轴正半轴上的一个动点，设OB＝x，AB＝y，那么我们在直角三角形ABH中用勾股定理，就可以得到y关于x 的函数关系式．类型二，图形的翻折．已知矩形OABC在坐标平面内如图2所示，AB＝5，点O沿直线EF翻折后，点O 的对应点D落在AB边上，设AD＝x，OE＝y，那么在直角三角形AED中用勾股定理就可以得到y关于x 的函数关系式．图1 图2【典例分析】例1 如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，BC＝16cm，AD是斜边BC上的高，垂足为D，BE＝1cm，点M从点B出发沿BC方向以1cm/s的速度运动，点N从点E出发，与点M同时同方向以相同的速度运动．以MN为边在BC的上方作正方形MNGH．点M到达点D时停止运动，点N到达点C时停止运动．设运动时间为t（s）．（1）当t为何值时，点G刚好落在线段AD上？（2）设正方形MNGH与Rt△ABC重叠部分的图形的面积为S．当重叠部分的图形是正方形时，求出S关于t的函数关系式并写出自变量t的取值范围；（3）设正方形MNGH的边NG所在直线与线段AC交于点P，连结DP，当t为何值时，△CPD是等腰三角形？图1思路点拨1．用含t的式子把直线BC上的线段长都表示出来．2．重叠部分的图形是正方形，临界时刻是点H落在AB上，和点G落在AC上．3．等腰三角形CPD不存在DP＝DC的情况，因为以DC为半径的圆D与线段AC只有一个交点．满分解答（1）如图2，当点G刚好落在线段AD上时，DN＝0．而DN＝BD－BM－MN＝4－t－1＝3－t，所以3－t＝0．解得t＝3．图2 图3由AD＝4333)(3)43t t-+-=633t=．所以4≤t≤633．图4 图5（3）等腰三角形CPD 存在两种情况：①如图6，当PC ＝PD 时，点P 在DC 的垂直平分线上，N 是DC 的中点． 此时t ＝3＋6＝9．②如图7，当CP ＝CD ＝12时，在Rt △CPN 中，由cos30°＝32CN CP =，得63CN =．此时t ＝1563-．图6 图7考点伸展当点G 落在AC 上时，CG ∶AG 的比值是多少呢？ 如图5，cot 303CG CN CNAG DN GN===︒=． 例2如图1，曲线y 1是抛物线的一部分，与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且表达式为213(23)3y x x =--（x ≤3），曲线y 2与曲线y 1关于直线x ＝3对称． （1）求A 、B 、C 三点的坐标和曲线y 2的表达式；（2）过点C 作CD //x 轴交曲线y 1于点D ，连结AD ，在曲线y 2上有一点M ，使得四边形ACDM 为筝形（如果一个四边形的一条对角线被另一条对角线垂直平分，这样的四边形为筝形），请求出点M 的横坐标； （3）设直线CM 与x 轴交于点N ，试问在线段MN 下方的曲线y 2上是否存在一点P ，使△PMN 的面积最大？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．图1思路点拨1．由A、C、D的坐标可以得到△ACD是底角为30°的等腰三角形，于是可知直线MN（直线CN）与y轴的夹角为30°．2．过点P作x轴的垂线交MN于E，那么△PMN分割为有公共底边PE的两个三角形，这两个三角形的高的和为定值．满分解答y2上．因此只存在MC垂直平分AD的情况．学%科网图2 图3如图2，如图3，过点A 、M 分别作x 轴的垂线，与直线CD 分别交于点G 、H ，那么 ∠ADG ＝∠CMH ．由于tan ∠ADG ＝AG DG＝33，所以∠ADC ＝30°．因此3MH CH =．设M 23103(,+73)33x x x -，那么23103(+73)(3)333x x x ---=．整理，得x 2－13x ＋24＝0．解得13732x ±=．所以点M 的横坐标为13732x +=．设P 23103(,+73)33m m m -，E (,33)m m -，那么 PE ＝23103(33)(+73)33m m m ---＝231338333m m -+-＝23137333212m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭． 所以当132m =时，PE 取得最大值，△PMN 面积最大．此时P 1373(,)212-．图4 图5考点伸展第（3）题也可以这样思考：如图5，由于MN 是定值，因此点P 到MN 的距离最大时，△PMN 的面积也最大．过点P 作MN 的平行线，当这条直线与抛物线y 2只有一个交点时，两条平行线间的距离最大，也就是说方程组233(1021)3y x b y x x ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩，只有一组解，即∆＝0．解得132x =． 例3如图1，△ABC 为等边三角形，边长为a ，点F 在BC 边上，DF ⊥AB ，EF ⊥AC ，垂足分别为D 、E ．（1）求证：△BDF ∽△CEF ；（2）若a ＝4，设BF ＝m ，四边形ADFE 面积为S ，求出S 与m 之间的函数关系，并探究当m 为何值时S 取得最大值；（3）已知A 、D 、F 、E 四点共圆，已知tan ∠ED F ＝32，求此圆的直径（用含a 的式子表示）． 思路点拨1．用割补法求四边形ADFE 的面积比较简单．2．当A 、D 、F 、E 四点共圆时，由于∠EDF ＝∠EAF ，那么在△ACF 中，两角及夹边就是确定的，可以解这个三角形．满分解答在Rt △CEF 中，∠C ＝60°，CF ＝4－m ，所以1(4)2CE m =-，3)FE m =-．所以S △CEF ＝12CE FE ⋅＝23(4)8m -．在Rt △ECF 中，∠C ＝60°，所以3EFEC=．因此EC ＝x ． 由AC ＝EA ＋EC ＝a ，得2x ＋x ＝a ．所以x ＝13a ．所以在Rt △EAF 中，EF ＝33a ，EA ＝23a ，由勾股定理，得圆的直径AF ＝73a ．图2 图3 图4考点伸展第（2）题也可以求△ADF 与△AEF 的面积和． 由于12BD m =，3FD =，所以AD ＝142m -，S △ADF 3(8)m -． 由于1(4)2CE m =-，3)2FE m =-，所以AE ＝122m +，S △AEF ＝23)8m -． 因此S ＝S △ADF ＋S △AEF 233(8))m m -+-＝23323m +例4如图1，图2，已知四边形ABCD为正方形，在射线AC上有一动点P，作PE⊥AD（或延长线）于E，作PF⊥DC（或延长线）于F，作射线BP交EF于G．（1）在图1中，正方形ABCD的边长为2，四边形ABFE的面积为y，设AP＝x，求y关于x的函数表达式；（2）GB⊥EF对于图1，图2都是成立的，请任选一图形给出证明；（3）请根据图2证明：△FGC∽△PFB．图1 图2思路点拨1．四边形ABFE可以用大正方形减去两个直角三角形得到．2．画直线EP、FP，把正方形分割为两个正方形和两个全等的矩形．满分解答＝4－22(2)42x x-－2(2)2x-＝21+24x．图3 图4（2）如图4，因为tan∠EFP＝PEPF，tan∠PBN＝NPNB，且PE＝NP，PF＝NB，所以∠EFP ＝∠PBN ．又因为∠1＝∠2，∠1＋∠PBN ＝90°，所以∠2＋∠EFP ＝90°．所以GB ⊥EF ． （3）如图5，由于GB ⊥EF ，∠BCF ＝90°，所以B 、C 、G 、F 四点共圆． 所以∠FCG ＝∠PBF ，∠CGB ＝∠CFB ．又因为∠CGF ＝∠CGB ＋90°，∠BFP ＝∠CFB ＋90°，所以∠CGF ＝∠BFP ． 所以△FGC ∽△PFB ．图5 图6 图7考点伸展如图6， 由于tan ∠EFP ＝tan ∠PBN ， 所以∠EFP ＝∠PBN ． 又因为∠PBN ＋∠1＝90°，所以∠EFP ＋∠1＝90°． 因此这种情况下，依然有BG ⊥EF ．第（1）题还有更简便的割补办法：如图7，连结EN ． 由于S 四边形NBFE ＝S △ENF ＋S △BNF ＝11()222NF EP MP NF EM +=⋅=， S △AEN ＝221144AP x =，所以y ＝S 四边形ABFE ＝S 四边形NBFE ＋S △AEN ＝21+24x ．例5已知抛物线y ＝x 2＋(2m －1)x ＋m 2－1经过坐标原点，且当＜0时，y 随x 的增大而减小。

第一部分函数图象中点的存在性问题§1．1 因动点产生的相似三角形问题例1 2014年衡阳市中考第28题例2 2014年益阳市中考第21题例3 2015年湘西州中考第26题例4 2015年张家界市中考第25题例5 2016年常德市中考第26题例6 2016年岳阳市中考第24题例7 2016年上海市崇明县中考模拟第25题例8 2016年上海市黄浦区中考模拟第26题§1．2 因动点产生的等腰三角形问题例9 2014年长沙市中考第26题例10 2014年张家界市第25题例11 2014年邵阳市中考第26题例12 2014年娄底市中考第27题例13 2015年怀化市中考第22题例14 2015年长沙市中考第26题例15 2016年娄底市中考第26题例16 2016年上海市长宁区金山区中考模拟第25题例17 2016年河南省中考第23题§1．3 因动点产生的直角三角形问题例19 2015年益阳市中考第21题例20 2015年湘潭市中考第26题例21 2016年郴州市中考第26题例22 2016年上海市松江区中考模拟第25题例23 2016年义乌市绍兴市中考第24题§1．4 因动点产生的平行四边形问题例24 2014年岳阳市中考第24题例25 2014年益阳市中考第20题例26 2014年邵阳市中考第25题例27 2015年郴州市中考第25题例28 2015年黄冈市中考第24题例29 2016年衡阳市中考第26题例30 2016年上海市嘉定区宝山区中考模拟中考第24题例31 2016年上海市徐汇区中考模拟第24题§1．5 因动点产生的面积问题例32 2014年常德市中考第25题例33 2014年永州市中考第25题例35 2015年邵阳市中考第26题例36 2015年株洲市中考第23题例37 2015年衡阳市中考第28题例38 2016年益阳市中考第22题例39 2016年永州市中考第26题例40 2016年邵阳市中考第26题例41 2016年陕西省中考第25题§1．6 因动点产生的相切问题例42 2014年衡阳市中考第27题例43 2014年株洲市中考第23题例44 2015年湘潭市中考第25题例45 2015年湘西州中考第25题例46 2016年娄底市中考第25题例47 2016年湘潭市中考第26题例48 2016年上海市闵行区中考模拟第24题例49 2016年上海市普陀区中考模拟中考第25题§1．7 因动点产生的线段和差问题例50 2014年郴州市中考第26题例51 2014年湘西州中考第25题例53 2015年济南市中考第28题例54 2015年沈阳市中考第25题例55 2016年福州市中考第26题例56 2016年张家界市中考第24题例57 2016年益阳市中考第21题第二部分图形运动中的函数关系问题§2．1 由比例线段产生的函数关系问题例1 2014年常德市中考第26题例2 2014年湘潭市中考第25题例3 2014年郴州市中考第25题例4 2015年常德市中考第25题例5 2015年郴州市中考第26题例6 2015年邵阳市中考第25题例7 2015年娄底市中考第26题例8 2016年郴州市中考第25题例9 2016年湘西州中考第26题例10 2016年上海市静安区青浦区中考模拟第25题例11 2016年哈尔滨市中考第27题第三部分图形运动中的计算说理问题§3．1 代数计算及通过代数计算进行说理问题例1 2014年长沙市中考第25题例2 2014年怀化市中考第23题例3 2014年湘潭市中考第26题例4 2014年株洲市中考第24题例5 2015年衡阳市中考第27题例6 2015年娄底市中考第25题例7 2015年永州市中考第26题例8 2015年长沙市中考第25题例9 2015年株洲市中考第24题例10 2016年怀化市中考第22题例11 2016年邵阳市中考第25题例12 2016年株洲市中考第26题例13 2016年长沙市中考第25题例14 2016年长沙市中考第26题§3．2 几何证明及通过几何计算进行说理问题例15 2014年衡阳市中考第26题例16 2014年娄底市中考第26题例17 2014年岳阳市中考第23题例18 2015年常德市中考第26题例19 2015年益阳市中考第20题例20 2015年永州市中考第27题例21 2015年岳阳市中考第23题例22 2016年常德市中考第25题例23 2016年衡阳市中考第25题例24 2016年永州市中考第27题例25 2016年岳阳市中考第23题例26 2016年株洲市中考第25题例27 2016年湘潭市中考第25题第四部分图形的平移、翻折与旋转§4．1 图形的平移例1 2015年泰安市中考第15题例2 2015年咸宁市中考第14题例3 2015年株洲市中考第14题例4 2016年上海市虹口区中考模拟第18题§4．2 图形的翻折例5 2016年上海市奉贤区中考模拟第18题例6 2016年上海市静安区青浦区中考模拟第18题例7 2016年上海市闵行区中考模拟第18题例8 2016年上海市浦东新区中考模拟第18题例8 2016年上海市普陀区中考模拟第18题例10 2016年常德市中考第15题例11 2016年张家界市中考第14题例12 2016年淮安市中考第18题例13 2016年金华市中考第15题例14 2016年雅安市中考第12题§4．3 图形的旋转例15 2016年上海昂立教育中学生三模联考第18题例16 2016年上海市崇明县中考模拟第18题例17 2016年上海市黄浦区中考模拟第18题例18 2016年上海市嘉定区宝山区中考模拟第18题例19 2016年上海市闸北区中考模拟第18题例20 2016年邵阳市中考第13题例21 2016年株洲市中考第4题§4．4 三角形例22 2016年安徽省中考第10题例23 2016年武汉市中考第10题例24 2016年河北省中考第16题例25 2016年娄底市中考第10题例27 2016年台州市中考第10题例28 2016年陕西省中考第14题例29 2016年内江市中考第11题例30 2016年上海市中考第18题§4．5 四边形例31 2016年湘西州中考第11题例32 2016年益阳市中考第4题例33 2016年益阳市中考第6题例34 2016年常德市中考第16题例35 2016年成都市中考第14题例36 2016年广州市中考第13题例37 2016年福州市中考第18题例38 2016年无锡市中考第17题例39 2016年台州市中考第15题§4．6 圆例40 2016年滨州市中考第16题例41 2016年宁波市中考第17题例42 2016年连云港市中考第16题例43 2016年烟台市中考第17题例45 2016年无锡市中考第18题例46 2016年武汉市中考第9题例47 2016年宿迁市中考第16题例48 2016年衡阳市中考第17题例49 2016年邵阳市中考第18题例50 2016年湘西州中考第18题例51 2016年永州市中考第20题§4．7 函数的图象及性质例52 2015年荆州市中考第9题例53 2015年德州市中考第12题例54 2015年烟台市中考第12题例55 2015年中山市中考第10题例56 2015年武威市中考第10题例57 2015年呼和浩特市中考第10题例58 2016年湘潭市中考第18题例59 2016年衡阳市中考第19题例60 2016年岳阳市中考第15题例61 2016年株洲市中考第9题例63 2016年岳阳市中考第8题例64 2016年岳阳市中考第16题例65 2016年益阳市中考第14题例66 2016年株洲市中考第10题例67 2016年株洲市中考第17题例68 2016年东营市中考第15题例69 2016年成都市中考第13题例70 2016年泰州市中考第16题例71 2016年宿迁市中考第15题例72 2016年临沂市中考第14题例73 2016年义乌市绍兴市中考第9题例74 2016年淄博市中考第12题例75 2016年嘉兴市中考第16题§1．1 因动点产生的相似三角形问题课前导学相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验．如果已知∠A＝∠D，探求△ABC与△DEF相似，只要把夹∠A和∠D的两边表示出来，按照对应边成比例，分AB DEAC DF=和AB DFAC DE=两种情况列方程．应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等．应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．还有一种情况，讨论两个直角三角形相似，如果一组锐角相等，其中一个直角三角形的锐角三角比是确定的，那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题．求线段的长，要用到两点间的距离公式，而这个公式容易记错．理解记忆比较好．如图1，如果已知A、B两点的坐标，怎样求A、B两点间的距离呢？我们以AB为斜边构造直角三角形，直角边与坐标轴平行，这样用勾股定理就可以求斜边AB的长了．水平距离BC的长就是A、B两点间的水平距离，等于A、B两点的横坐标相减；竖直距离AC就是A、B两点间的竖直距离，等于A、B两点的纵坐标相减．图1例 1 2014年湖南省衡阳市中考第28题二次函数y＝a x2＋b x＋c（a≠0）的图象与x轴交于A(－3, 0)、B(1, 0)两点，与y轴交于点C(0,－3m)（m＞0），顶点为D．（1）求该二次函数的解析式（系数用含m的代数式表示）；（2）如图1，当m＝2时，点P为第三象限内抛物线上的一个动点，设△APC的面积为S，试求出S与点P的横坐标x之间的函数关系式及S的最大值；（3）如图2，当m取何值时，以A、D、C三点为顶点的三角形与△OBC相似？图1 图2 动感体验请打开几何画板文件名“14衡阳28”，拖动点P 运动，可以体验到，当点P 运动到AC 的中点的正下方时，△APC 的面积最大．拖动y 轴上表示实数m 的点运动，抛物线的形状会改变，可以体验到，∠ACD 和∠ADC 都可以成为直角．思路点拨1．用交点式求抛物线的解析式比较简便．2．连结OP ，△APC 可以割补为：△AOP 与△COP 的和，再减去△AOC ．3．讨论△ACD 与△OBC 相似，先确定△ACD 是直角三角形，再验证两个直角三角形是否相似．4．直角三角形ACD 存在两种情况．图文解析（1）因为抛物线与x 轴交于A (－3, 0)、B (1, 0)两点，设y ＝a (x ＋3)(x －1)．代入点C (0,－3m )，得－3m ＝－3a ．解得a ＝m ．所以该二次函数的解析式为y ＝m (x ＋3)(x －1)＝mx 2＋2mx －3m ．（2）如图3，连结OP ．当m ＝2时，C (0,－6)，y ＝2x 2＋4x －6，那么P (x , 2x 2＋4x －6)．由于S △AOP ＝1()2P OA y ⨯-＝32-(2x 2＋4x －6)＝－3x 2－6x ＋9， S △COP ＝1()OC x ⨯-＝－3x ，S △AOC ＝9， 所以S ＝S △APC ＝S △AOP ＋S △COP －S △AOC ＝－3x 2－9x ＝23273()24x -++． 所以当32x =-时，S 取得最大值，最大值为274．图3 图4 图5（3）如图4，过点D 作y 轴的垂线，垂足为E ．过点A 作x 轴的垂线交DE 于F ． 由y ＝m (x ＋3)(x －1)＝m (x ＋1)2－4m ，得D (－1,－4m )．在Rt △OBC 中，OB ∶OC ＝1∶3m ．如果△ADC 与△OBC 相似，那么△ADC 是直角三角形，而且两条直角边的比为1∶3m ．①如图4，当∠ACD ＝90°时，OA OC EC ED =．所以331m m =．解得m ＝1． 此时3CA OC CD ED ==，3OC OB =．所以CA OC CD OB =．所以△CDA ∽△OBC ． ②如图5，当∠ADC ＝90°时，FA FD ED EC =．所以421m m=．解得22m =． 此时222DA FD DC EC m===，而3232OC m OB ==．因此△DCA 与△OBC 不相似． 综上所述，当m ＝1时，△CDA ∽△OBC ．考点伸展第（2）题还可以这样割补：如图6，过点P 作x 轴的垂线与AC 交于点H ．由直线AC ：y ＝－2x －6，可得H (x ,－2x －6)．又因为P (x , 2x 2＋4x －6)，所以HP ＝－2x 2－6x ．因为△P AH 与△PCH 有公共底边HP ，高的和为A 、C两点间的水平距离3，所以S ＝S △APC ＝S △APH ＋S △CPH＝32(－2x 2－6x ) ＝23273()24x -++． 图6例 2 2014年湖南省益阳市中考第21题如图1，在直角梯形ABCD中，AB//CD，AD⊥AB，∠B＝60°，AB＝10，BC＝4，点P 沿线段AB从点A向点B运动，设AP＝x．2·1·c·n·j·y（1）求AD的长；（2）点P在运动过程中，是否存在以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由；（3）设△ADP与△PCB的外接圆的面积分别为S1、S2，若S＝S1＋S2，求S的最小值.动感体验图1 请打开几何画板文件名“14益阳21”，拖动点P在AB上运动，可以体验到，圆心O 的运动轨迹是线段BC的垂直平分线上的一条线段．观察S随点P运动的图象，可以看到，S有最小值，此时点P看上去象是AB的中点，其实离得很近而已．思路点拨1．第（2）题先确定△PCB是直角三角形，再验证两个三角形是否相似．2．第（3）题理解△PCB的外接圆的圆心O很关键，圆心O在确定的BC的垂直平分线上，同时又在不确定的BP的垂直平分线上．而BP与AP是相关的，这样就可以以AP为自变量，求S的函数关系式．图文解析（1）如图2，作CH⊥AB于H，那么AD＝CH．在Rt△BCH中，∠B＝60°，BC＝4，所以BH＝2，CH＝23．所以AD＝23．（2）因为△APD是直角三角形，如果△APD与△PCB相似，那么△PCB一定是直角三角形．①如图3，当∠CPB＝90°时，AP＝10－2＝8．所以APAD＝823＝433，而PCPB＝3．此时△APD与△PCB不相似．图2 图3 图4 ②如图4，当∠BCP＝90°时，BP＝2BC＝8．所以AP＝2．所以APAD＝23＝33．所以∠APD＝60°．此时△APD∽△CBP．综上所述，当x ＝2时，△APD ∽△CBP ．（3）如图5，设△ADP 的外接圆的圆心为G ，那么点G 是斜边DP 的中点．设△PCB 的外接圆的圆心为O ，那么点O 在BC 边的垂直平分线上，设这条直线与BC 交于点E ，与AB 交于点F ．设AP ＝2m ．作OM ⊥BP 于M ，那么BM ＝PM ＝5－m ．在Rt △BEF 中，BE ＝2，∠B ＝60°，所以BF ＝4．在Rt △OFM 中，FM ＝BF －BM ＝4－(5－m )＝m －1，∠OFM ＝30°，所以OM ＝3(1)m -． 所以OB 2＝BM 2＋OM 2＝221(5)(1)3m m -+-． 在Rt △ADP 中，DP 2＝AD 2＋AP 2＝12＋4m 2．所以GP 2＝3＋m 2．于是S ＝S 1＋S 2＝π(GP 2＋OB 2)＝22213(5)(1)3m m m π⎡⎤++-+-⎢⎥⎣⎦＝2(73285)3m m π-+． 所以当167m =时，S 取得最小值，最小值为1137π．图5 图6考点伸展关于第（3）题，我们再讨论个问题．问题1，为什么设AP ＝2m 呢？这是因为线段AB ＝AP ＋PM ＋BM ＝AP ＋2BM ＝10． 这样BM ＝5－m ，后续可以减少一些分数运算．这不影响求S 的最小值．问题2，如果圆心O 在线段EF 的延长线上，S 关于m 的解析式是什么？如图6，圆心O 在线段EF 的延长线上时，不同的是FM ＝BM －BF ＝(5－m )－4＝1－m ．此时OB 2＝BM 2＋OM 2＝221(5)(1)3m m -+-．这并不影响S 关于m 的解析式．例3 2015年湖南省湘西市中考第26题如图1，已知直线y＝－x＋3与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y＝－x2＋bx＋c 经过A、B两点，点P在线段OA上，从点O出发，向点A以每秒1个单位的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B以每秒2个单位的速度匀速运动，连结PQ，设运动时间为t秒．（1）求抛物线的解析式；（2）问：当t为何值时，△APQ为直角三角形；（3）过点P作PE//y轴，交AB于点E，过点Q作QF//y轴，交抛物线于点F，连结EF，当EF//PQ时，求点F的坐标；（4）设抛物线顶点为M，连结BP、BM、MQ，问：是否存在t的值，使以B、Q、M为顶点的三角形与以O、B、P为顶点的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“15湘西26”，拖动点P在OA上运动，可以体验到，△APQ有两个时刻可以成为直角三角形，四边形EPQF有一个时刻可以成为平行四边形，△MBQ与△BOP有一次机会相似．思路点拨1．在△APQ中，∠A＝45°，夹∠A的两条边AP、AQ都可以用t表示，分两种情况讨论直角三角形APQ．2．先用含t的式子表示点P、Q的坐标，进而表示点E、F的坐标，根据PE＝QF列方程就好了．3．△MBQ与△BOP都是直角三角形，根据直角边对应成比例分两种情况讨论．图文解析（1）由y＝－x＋3，得A(3, 0)，B(0, 3)．将A(3, 0)、B(0, 3)分别代入y＝－x2＋bx＋c，得930,3.b cc-++=⎧⎨=⎩解得2,3.bc=⎧⎨=⎩所以抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3．（2）在△APQ中，∠P AQ＝45°，AP＝3－t，AQ＝2t．分两种情况讨论直角三角形APQ：①当∠PQA＝90°时，AP＝2AQ．解方程3－t＝2t，得t＝1（如图2）．②当∠QP A＝90°时，AQ＝2AP．解方程2t＝2(3－t)，得t＝1.5（如图3）．图2 图3（3）如图4，因为PE//QF，当EF//PQ时，四边形EPQF是平行四边形．所以EP＝FQ．所以y E－y P＝y F－y Q．因为x P＝t，x Q＝3－t，所以y E＝3－t，y Q＝t，y F＝－(3－t)2＋2(3－t)＋3＝－t2＋4t．因为y E－y P＝y F－y Q，解方程3－t＝(－t2＋4t)－t，得t＝1，或t＝3（舍去）．所以点F 的坐标为(2, 3)．图4 图5（4）由y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，得M(1, 4)．由A(3, 0)、B(0, 3)，可知A、B两点间的水平距离、竖直距离相等，AB＝32．由B(0, 3)、M(1, 4)，可知B、M两点间的水平距离、竖直距离相等，BM＝2．所以∠MBQ＝∠BOP＝90°．因此△MBQ与△BOP相似存在两种可能：①当BM OBBQ OP=时，23322tt=-．解得94t=（如图5）．②当BM OPBQ OB=时，23322tt=-．整理，得t2－3t＋3＝0．此方程无实根．考点伸展第（3）题也可以用坐标平移的方法：由P(t, 0)，E(t, 3－t)，Q(3－t, t)，按照P→E方向，将点Q向上平移，得F(3－t, 3)．再将F(3－t, 3)代入y＝－x2＋2x＋3，得t＝1，或t＝3．§1．2 因动点产生的等腰三角形问题课前导学我们先回顾两个画图问题：1．已知线段AB＝5厘米，以线段AB为腰的等腰三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？2．已知线段AB＝6厘米，以线段AB为底边的等腰三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，圆上除了两个点以外，都是顶点C．已知底边画等腰三角形，顶角的顶点在底边的垂直平分线上，垂足要除外．在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类．如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．几何法一般分三步：分类、画图、计算．哪些题目适合用几何法呢？如果△ABC的∠A（的余弦值）是确定的，夹∠A的两边AB和AC可以用含x的式子表示出来，那么就用几何法．①如图1，如果AB＝AC，直接列方程；②如图2，如果BA＝BC，那么1cos2AC AB A=∠；③如图3，如果CA＝CB，那么1cos2AB AC A=∠．代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来．图1 图2 图3例 9 2014年长沙市中考第26题如图1，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）的对称轴为y 轴，且经过(0,0)和1(,)16a 两点，点P 在该抛物线上运动，以点P 为圆心的⊙P 总经过定点A (0, 2)． （1）求a 、b 、c 的值；（2）求证：在点P 运动的过程中，⊙P 始终与x 轴相交；（3）设⊙P 与x 轴相交于M (x 1, 0)、N (x 2, 0)两点，当△AMN 为等腰三角形时，求圆心P 的纵坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“14长沙26”，拖动圆心P 在抛物线上运动，可以体验到，圆与x 轴总是相交的，等腰三角形AMN 存在五种情况．思路点拨1．不算不知道，一算真奇妙，原来⊙P 在x 轴上截得的弦长MN ＝4是定值．2．等腰三角形AMN 存在五种情况，点P 的纵坐标有三个值，根据对称性，MA ＝MN 和NA ＝NM 时，点P 的纵坐标是相等的．图文解析（1）已知抛物线的顶点为(0,0)，所以y ＝ax 2．所以b ＝0，c ＝0．将1(,)16a 代入y ＝ax 2，得2116a =．解得14a =（舍去了负值）． （2）抛物线的解析式为214y x =，设点P 的坐标为21(,)4x x ． 已知A (0, 2)，所以222411(2)4416PA x x x =+-=+＞214x ． 而圆心P 到x 轴的距离为214x ，所以半径P A ＞圆心P 到x 轴的距离． 所以在点P 运动的过程中，⊙P 始终与x 轴相交．（3）如图2，设MN 的中点为H ，那么PH 垂直平分MN ．在Rt △PMH 中，2241416PM PA x ==+，22411()416PH x x ==，所以MH 2＝4． 所以MH ＝2．因此MN ＝4，为定值．等腰△AMN 存在三种情况：①如图3，当AM ＝AN 时，点P 为原点O 重合，此时点P 的纵坐标为0．图2 图3②如图4，当MA ＝MN 时，在Rt △AOM 中，OA ＝2，AM ＝4，所以OM ＝23．此时x ＝OH ＝232+．所以点P 的纵坐标为22211(232)(31)42344x =+=+=+． 如图5，当NA ＝NM 时，根据对称性，点P 的纵坐标为也为423+．图4 图5③如图6，当NA ＝NM ＝4时，在Rt △AON 中，OA ＝2，AN ＝4，所以ON ＝23．此时x ＝OH ＝232-．所以点P 的纵坐标为22211(232)(31)42344x =-=-=-． 如图7，当MN ＝MA ＝4时，根据对称性，点P 的纵坐标也为423-．图6 图7考点伸展如果点P 在抛物线214y x =上运动，以点P 为圆心的⊙P 总经过定点B (0, 1)，那么在点P 运动的过程中，⊙P 始终与直线y ＝－1相切．这是因为：设点P 的坐标为21(,)4x x ．已知B (0, 1)，所以2114PB x =+． 而圆心P 到直线y ＝－1的距离也为2114x +，所以半径PB ＝圆心P 到直线y ＝－1的距离．所以在点P 运动的过程中，⊙P 始终与直线y ＝－1相切．O 、B 、l 垂直xEAFBPQ有三个时刻可以成为等腰三角形．思路点拨1．从直线BC 的解析式可以得到∠OBC 的三角比，为讨论等腰三角形BPQ 作铺垫．2．设交点式求抛物线的解析式比较简便．3．第（3）题连结AE 、AF 容易看到AM 是直角三角形EAF 斜边上的高．4．第（4）题的△PBQ 中，∠B 是确定的，夹∠B 的两条边可以用含t 的式子表示．分三种情况讨论等腰三角形．图文解析 （1）直线BC 的解析式为31542y x =-． （2）因为抛物线与x 轴交于O 、B (10, 0)两点，设y ＝ax (x －10)．代入点C 1824(,)55-，得241832()555a -=⨯⨯-．解得524a =． 所以2255255125(10)(5)2424122424y x x x x x =-=-=--． 抛物线的顶点为125)24-． （3）如图2，因为EF 切⊙A 于M ，所以AM ⊥EF ．由AE ＝AE ，AO ＝AM ，可得Rt △AOE ≌Rt △AME ．所以∠1＝∠2．同理∠3＝∠4．于是可得∠EAF ＝90°．所以∠5＝∠1．由tan ∠5＝tan ∠1，得MA ME MF MA=． 所以ME ·MF ＝MA 2，即mn ＝25．图2（4）在△BPQ 中，cos ∠B ＝45，BP ＝10－t ，BQ ＝t ． 分三种情况讨论等腰三角形BPQ ：①如图3，当BP ＝BQ 时，10－t ＝t ．解得t ＝5．②如图4，当PB ＝PQ 时，1cos 2BQ BP B =∠．解方程14(10)25t t =-，得8013t =． ③如图5，当QB ＝QP 时，1cos 2BP BQ B =∠．解方程14(10)25t t -=，得5013t =．图3 图4 图5考点伸展在第（3）题条件下，以EF 为直径的⊙G 与x 轴相切于点A ．如图6，这是因为AG 既是直角三角形EAF 斜边上的中线，也是直角梯形EOBF 的中位线，因此圆心G 到x 轴的距离等于圆的半径，所以⊙G 与x 轴相切于点A ．图6例 11 2014年湖南省邵阳市中考第26题在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－(m＋n)x＋mn（m＞n）与x轴相交于A、B两点（点A位于点B的右侧），与y轴相交于点C．（1）若m＝2，n＝1，求A、B两点的坐标；（2）若A、B两点分别位于y轴的两侧，C点坐标是(0,－1)，求∠ACB的大小；（3）若m＝2，△ABC是等腰三角形，求n的值．动感体验请打开几何画板文件名“14邵阳26”，点击屏幕左下方的按钮（2），拖动点A在x轴正半轴上运动，可以体验到，△ABC保持直角三角形的形状．点击屏幕左下方的按钮（3），拖动点B在x轴上运动，观察△ABC的顶点能否落在对边的垂直平分线上，可以体验到，等腰三角形ABC有4种情况．思路点拨1．抛物线的解析式可以化为交点式，用m，n表示点A、B、C的坐标．2．第（2）题判定直角三角形ABC，可以用勾股定理的逆定理，也可以用锐角的三角比．3．第（3）题讨论等腰三角形ABC，先把三边长（的平方）罗列出来，再分类解方程．图文解析（1）由y＝x2－(m＋n)x＋mn＝(x－m)(x－n)，且m＞n，点A位于点B的右侧，可知A(m, 0)，B(n, 0)．若m＝2，n＝1，那么A(2, 0)，B(1, 0)．．（2）如图1，由于C(0, mn)，当点C的坐标是(0,－1)，mn＝－1，OC＝1．若A、B两点分别位于y轴的两侧，那么OA·OB＝m(－n)＝－mn＝1．所以OC2＝OA·OB．所以OC OB OA OC．所以tan∠1＝tan∠2．所以∠1＝∠2．又因为∠1与∠3互余，所以∠2与∠3互余．所以∠ACB＝90°．图1 图2 图3（3）在△ABC中，已知A(2, 0)，B(n, 0)，C(0, 2n)．讨论等腰三角形ABC，用代数法解比较方便：由两点间的距离公式，得AB2＝(n－2)2，BC2＝5n2，AC2＝4＋4n2．①当AB＝AC时，解方程(n－2)2＝4＋4n2，得43n=-（如图2）．②当CA＝CB时，解方程4＋4n2＝5n2，得n＝－2（如图3），或n＝2（A、B重合，舍去）．③当BA＝BC时，解方程(n－2)2＝5n2，得512n+=-（如图4），或512n-=（如图5）．图4 图5考点伸展第（2）题常用的方法还有勾股定理的逆定理．由于C(0, mn)，当点C的坐标是(0,－1)，mn＝－1．由A(m, 0)，B(n, 0)，C(0,－1)，得AB2＝(m－n)2＝m2－2mn＋n2＝m2＋n2＋2，BC2＝n2＋1，AC2＝m2＋1．所以AB2＝BC2＋AC2．于是得到Rt△ABC，∠ACB＝90°．第（3）题在讨论等腰三角形ABC时，对于CA＝CB的情况，此时A、B两点关于y轴对称，可以直接写出B(－2, 0)，n＝－2．例 12 2014年湖南省娄底市中考第27题如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm．如果点P由点B出发沿BA 方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连结PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4），解答下列问题：（1）设△APQ的面积为S，当t为何值时，S取得最大值？S的最大值是多少？（2）如图2，连结PC，将△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，当四边形PQP′C 为菱形时，求t的值；（3）当t为何值时，△APQ是等腰三角形？图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“14娄底27”，拖动点Q在AC上运动，可以体验到，当点P运动到AB的中点时，△APQ的面积最大，等腰三角形APQ存在三种情况．还可以体验到，当QC＝2HC时，四边形PQP′C是菱形．思路点拨1．在△APQ中，∠A是确定的，夹∠A的两条边可以用含t的式子表示．2．四边形PQP′C的对角线保持垂直，当对角线互相平分时，它是菱形，．图文解析（1）在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，所以AB＝5，sin A＝35，cos A＝45．作QD⊥AB于D，那么QD＝AQ sin A＝35 t．所以S＝S△APQ＝12AP QD⋅＝13(5)25t t-⨯＝23(5)10t t--＝23515()+1028t--．当52t=时，S取得最大值，最大值为158．（2）设PP′与AC交于点H，那么PP′⊥QC，AH＝AP cos A＝4(5)5t-．如果四边形PQP′C为菱形，那么PQ＝PC．所以QC＝2HC．解方程4424(5)5t t⎡⎤-=⨯--⎢⎥⎣⎦，得2013t=．图3 图4 （3）等腰三角形APQ存在三种情况：①如图5，当AP＝AQ时，5－t＝t．解得52t=．②如图6，当P A＝PQ时，1cos2AQ AP A=．解方程14(5)25t t=-，得4013t=．③如图7，当QA＝QP时，1cos2AP AQ A=．解方程14(5)25t t-=，得2513t=．图5 图6 图7 考点伸展在本题情境下，如果点Q是△PP′C的重心，求t的值．如图8，如果点Q是△PP′C的重心，那么QC＝23 HC．解方程2444(5)t t⎡⎤-=⨯--⎢⎥⎣⎦，得60t=．图8例 13 2015年湖南省怀化市中考第22题如图1，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P以每秒1个单位的速度从A向C运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从A→B→C方向运动，它们到C点后都停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒．（1）在运动过程中，求P、Q两点间距离的最大值；（2）经过t秒的运动，求△ABC被直线PQ扫过的面积S与时间t的函数关系式；（3）P，Q两点在运动过程中，是否存在时间t，使得△PQC为等腰三角形．若存在，求出此时的t值，若不存在，请说明理由．（24.25≈，结果保留一位小数）图1动感体验请打开几何画板文件名“15怀化22”，拖动点P在AC上运动，可以体验到，PQ与BD 保持平行，等腰三角形PQC存在三种情况．思路点拨1．过点B作QP的平行线交AC于D，那么BD的长就是PQ的最大值．2．线段PQ扫过的面积S要分两种情况讨论，点Q分别在AB、BC上．3．等腰三角形PQC分三种情况讨论，先罗列三边长．图文解析（1）在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，所以AB＝10．如图2，当点Q在AB上时，作BD//PQ交AC于点D，那么22AB AQ tAD AP t===．所以AD＝5．所以CD＝3．如图3，当点Q在BC上时，16228CQ tCP t-==-．又因为623CBCD==，所以CQ CBCP CD=．因此PQ//BD．所以PQ的最大值就是BD．在Rt△BCD中，BC＝6，CD＝3，所以BD＝35．所以PQ的最大值是35．图2 图3 图4 （2）①如图2，当点Q在AB上时，0＜t≤5，S△ABD＝15．由△AQP∽△ABD，得2()AQPABDS APS AD=△△．所以S＝S△AQP＝215()5t⨯＝235t．②如图3，当点Q在BC上时，5＜t≤8，S△ABC＝24．因为S △CQP ＝12CQ CP ⋅＝1(162)(8)2t t --＝2(8)t -，所以S ＝S △ABC －S △CQP ＝24－(t －8)2＝－t 2＋16t －40．（3）如图3，当点Q 在BC 上时，CQ ＝2CP ，∠C ＝90°，所以△PQC 不可能成为等腰三角形．当点Q 在AB 上时，我们先用t 表示△PQC 的三边长：易知CP ＝8－t ．如图2，由QP //BD ，得QP AP BD AD =，即535t =．所以35QP t =． 如图4，作QH ⊥AC 于H ．在Rt △AQH 中，QH ＝AQ sin ∠A ＝5t ，AH ＝5t ． 在Rt △CQH 中，由勾股定理，得CQ ＝22QH CH +＝2268()(8)55t t +-．分三种情况讨论等腰三角形PQC ：（1）①当PC ＝PQ 时，解方程3585t t -=，得6510t =-≈3.4（如图5所示）． ②当QC ＝QP 时，226835()(8)555t t t +-=．整理，得2111283200t t -+=． 所以(11t －40)(t －8)＝0．解得4011t =≈3.6（如图6所示），或t ＝8（舍去）． ③当CP ＝CQ 时，22688()(8)55t t t -=+-．整理，得25160t t -=．解得165t =＝3.2（如图7所示），或t ＝0（舍去）． 综上所述，当t 的值约为3.4，3.6，或等于3.2时，△PQC 是等腰三角形．图5 图6 图7考点伸展第（1）题求P 、Q 两点间距离的最大值，可以用代数计算说理的方法：①如图8，当点Q 在AB 上时，PQ 22QH PH +2268()()55t t t +-35．当Q 与B 重合时，PQ 最大，此时t ＝5，PQ 的最大值为35．②如图9，当点Q 在BC 上时，PQ ＝22CQ CP +＝22(2)CP CP +＝5(8)t -．当Q 与B 重合时，PQ 最大，此时t ＝5，PQ 的最大值为35．综上所述，PQ 的最大值为35．图8 图9§1．3 因动点产生的直角三角形问题课前导学我们先看三个问题：1．已知线段AB ，以线段AB 为直角边的直角三角形ABC 有多少个？顶点C 的轨迹是什么？2．已知线段AB ，以线段AB 为斜边的直角三角形ABC 有多少个？顶点C 的轨迹是什么？3．已知点A (4,0)，如果△OAB 是等腰直角三角形，求符合条件的点B 的坐标．图1 图2 图3如图1，点C 在垂线上，垂足除外．如图2，点C 在以AB 为直径的圆上，A 、B 两点除外．如图3，以OA 为边画两个正方形，除了O 、A 两点以外的顶点和正方形对角线的交点，都是符合题意的点B ，共6个．解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根．一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程．有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便．解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起．如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便．如图4，已知A(3, 0)，B(1,－4)，如果直角三角形ABC的顶点C在y轴上，求点C的坐标．我们可以用几何的方法，作AB为直径的圆，快速找到两个符合条件的点C．如果作BD⊥y轴于D，那么△AOC∽△CDB．设OC＝m，那么341mm-=．这个方程有两个解，分别对应图中圆与y轴的两个交点．图4例 19 2015年湖南省益阳市中考第21题如图1，已知抛物线E1：y＝x2经过点A(1,m)，以原点为顶点的抛物线E2经过点B(2,2)，点A、B关于y轴的对称点分别为点A′、B′．（1）求m的值及抛物线E2所表示的二次函数的表达式；（2）如图1，在第一象限内，抛物线E1上是否存在点Q，使得以点Q、B、B′为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，P为第一象限内的抛物线E1上与点A不重合的一点，连结OP并延长与抛物线E2相交于点P′，求△P AA′与△P′BB′的面积之比．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“15益阳21”，拖动点P在抛物线E1上运动，可以体验到，点P始终是线段OP′的中点．还可以体验到，直角三角形QBB′有两个．思路点拨1．判断点P是线段OP′的中点是解决问题的突破口，这样就可以用一个字母表示点P、P′的坐标．。

§1．7 因动点产生的线段和差问题课前导学线段和差的最值问题，常见的有两类：第一类问题是“两点之间，线段最短”．两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“牛喝水”问题，关键是指出一条对称轴“河流”（如图1）．三条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“台球两次碰壁”或“光的两次反射”问题，关键是指出两条对称轴“反射镜面”（如图2）．两条线段差的最大值问题，一般根据三角形的两边之差小于第三边，当三点共线时，两条线段差的最大值就是第三边的长．如图3，PA与PB的差的最大值就是AB，此时点P在AB 的延长线上，即P′．解决线段和差的最值问题，有时候求函数的最值更方便，本讲不涉及函数最值问题．图1 图2 图3 第二类问题是“两点之间，线段最短”结合“垂线段最短”．如图4，正方形ABCD的边长为4，AE平分∠BAC交BC于E．点P在AE上，点Q在AB 上，那么△BPQ周长的最小值是多少呢？如果把这个问题看作“牛喝水”问题，AE是河流，但是点Q不确定啊．第一步，应用“两点之间，线段最短”．如图5，设点B关于“河流AE”的对称点为F，那么此刻PF＋PQ的最小值是线段FQ．第二步，应用“垂线段最短”．如图6，在点Q运动过程中，FQ的最小值是垂线段FH．这样，因为点B和河流是确定的，所以点F是确定的，于是垂线段FH也是确定的．图4 图5 图6例 50 2014年湖南省郴州市中考第26题已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1, 0)、B(2, 0)、C(0, 2)三点．（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图1，点P是第一象限内此抛物线上的一个动点，当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时点P的坐标；（3）如图2，设线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，那么在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“14郴州26”，拖动点P运动，可以体验到，当点P运动到CB 的中点的正上方时，四边形ABPC的面积最大．拖动点G运动，可以体验到，当A、G、M三点共线时，GC＋GM最小，△CMG的周长最小．思路点拨1．设交点式求抛物线的解析式比较简便．2．连结OP，把四边形ABPC的面积分割为三个三角形的面积和．3．第（3）题先用几何说理确定点G的位置，再用代数计算求解点G的坐标．图文解析（1）因为抛物线与x轴交于A(－1, 0)、B(2, 0)两点，设y＝a(x＋1)(x－2)．代入点C(0, 2)，可得a＝－1．所以这条抛物线的解析式为y＝－(x＋1)(x－2)＝－x2＋x＋2．（2）如图3，连结OP．设点P的坐标为(x,－x2＋x＋2)．由于S△AOC＝1，S△POC＝x，S△POB＝－x2＋x＋2，所以S四边形ABPC＝S△AOC＋S△POC＋S△POB＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4．因此当x＝1时，四边形ABPC的面积最大，最大值为4．此时P(1, 2)．（3）第一步，几何说理，确定点G的位置：如图4，在△CMG中，CM为定值，因此当GC＋GM最小时，△CMG的周长最小．由于GA ＝GC ，因此当GA ＋GM 最小时，GC ＋GM 最小．当点G 落在AM 上时，GA ＋GM 最小（如图5）．图3 图4 图5第二步，代数计算，求解点G 的坐标：如图6，AC =cos ∠CAO ＝AD AO AE AC ==52AE ==，E 3(,0)2． 如图7，由y ＝－x 2＋x ＋2＝219()24x --+，得M 19()24，． 由A (－1, 0)、M 19()24，，得直线AM 的解析式为3322y x =+． 作GH ⊥x 轴于H ．设点G 的坐标为33(,)22x x +． 由于tan ∠GEH ＝tan ∠ACO ＝12，所以12GH EH =，即EH ＝2GH ． 所以3332()222x x -=+．解得38x =-．所以G 315(,)816-．图6 图7 图8考点伸展第（2）题求四边形ABPC 的面积，也可以连结BC （如图8）．因为△ABC 的面积是定值，因此当△PCB 的面积最大时，四边形ABPC 的面积也最大． 过点P 作x 轴的垂线，交CB 于F ．因为△PCF 与△PBF 有公共底边PF ，高的和等于C 、B 两点间的水平距离，所以当PF 最大时，△PCB 的面积最大．设点P (x ,－x 2＋x ＋2)，F (x ,－x ＋2)，那么PF ＝－x 2＋2x ．当x ＝1时，PF 最大．此时P (1, 2)．例 51 2014年湖南省湘西州中考第25题如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c关于y轴对称，它的顶点在坐标原点O，点B4 (2)3-，和点C(－3,－3)均在抛物线上，点F3(0)4-，在y轴上，过点3(0)4，作直线l与x轴平行．（1）求抛物线的解析式和直线BC的解析式；（2）设点D(x, y)是线段BC上的一个动点（点D不与B、C重合），过点D作x轴的垂线，与抛物线交于点G，设线段GD的长为h，求h与x之间的函数关系式，并求出当x为何值时，线段GD的长度h最大，最大长度h的值是多少？（3）若点P(m, n)是抛物线上位于第三象限的一个动点，连结PF并延长，交抛物线于另一点Q，过点Q作QS⊥l，垂足为S，过点P作PN⊥l，垂足为N，试判断△FNS的形状，并说明理由；（4）若点A(－2, t)在线段BC上，点M为抛物线上的一个动点，连结AF，当点M在何位置时，MF＋MA的值最小．请直接写出此时点M的坐标与MF＋MA的最小值．图1动感体验请打开几何画板文件名“14湘西25”，点击屏幕左下方的按钮（2），拖动点D在BC上运动，可以体验到，当点D是BC的中点时，GD最大．点击按钮（3），拖动点P运动，可以体验到，△FNS保持直角三角形的形状．点击按钮（4），拖动点M运动，可以体验到，ME与MF保持相等，当AE是垂线段时，ME＋MA最小．思路点拨1．第（2）题用x表示G、D两点的纵坐标，GD的长就转化为关于x的二次函数．2．第（3）题是典型结论：抛物线上任意一点到直线l的距离等于它与点F间的距离．3．第（4）题要经过两步说理，得到MF＋MA的最小值是点A到l的垂线段长．图文解析（1）因为抛物线的顶点在坐标原点，所以y＝ax2．代入点C(－3,－3)，得13a=-．所以抛物线的解析式为213y x=-．设直线BC的解析式为y＝kx＋b，代入B4(2)3-，、C(－3,－3)，得42,33 3.k bk b⎧+=-⎪⎨⎪-+=-⎩解得13k=，b＝－2．所以直线BC的解析式为123y x=-．（2）由于点D 、G 分别在直线BC 和抛物线上，所以D 1(,2)3x x -，G 21(,)3x x -． 所以h ＝GD ＝211(2)33x x ---＝21125(+)+3212x -． 因此当12x =-时，h 取得最大值，最大值为2512． （3）如图2，设点3(0)4，为H ．设直线PQ 的解析式为34y kx =-． 联立直线PQ ：34y kx =-与抛物线213y x =-，消去y ，得213034x kx +-=． 所以x 1·x 2＝94-．它的几何意义是HS ·HN ＝94． 又因为HF ＝32．所以HF 2＝HS ·HN ．所以HF HS HN HF=． 所以tan ∠1＝tan ∠2．所以∠1＝∠2． 又因为∠1与∠3互余，所以∠2与∠3互余．所以△FNS 是直角三角形．（4）MF ＋MA 的最小值是83，此时点M 的坐标是4(2,)3--．图2 图3 图4考点伸展第（3）题也可以通过计算得到PF ＝PN ．同理得到QF ＝QS ．这样我们就可以根据“等边对等角”及“两直线平行，内错角相等”，得到∠NFC ＝90°．应用这个结论，就容易解答第（4）题：如图3，作ME ⊥l 于E ，那么MF ＝ME ．当ME ＋MA 的值最小时，MF ＋MA 的值也最小．当A 、M 、E 三点共线时，ME ＋MA 的值最小，最小值为AE ．而AE 的最小值为点A 到l 的垂线段，即AE ⊥l 时，AE 最小（如图4）．。

2017年中考数学压轴题训练第一部分 函数图象中点的存在性问题1.1 因动点产生的相似三角形问题例1 如图1，已知抛物线211(1)444b y x b x =-++（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 是左侧），与y 轴的正半轴交于点C ．（1）点B 的坐标为______，点C 的坐标为__________（用含b 的代数式表示）； （2）请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．图1 思路点拨1．第（2）题中，等腰直角三角形PBC 暗示了点P 到两坐标轴的距离相等．2．联结OP ，把四边形PCOB 重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含b 的式子表示．3．第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点Q 最大的可能在经过点A 与x 轴垂直的直线上． 满分解答（1）B 的坐标为(b , 0)，点C 的坐标为(0, 4b )． （2）如图2，过点P 作PD ⊥x 轴，PE ⊥y 轴，垂足分别为D 、E ，那么△PDB ≌△PEC ．因此PD ＝PE ．设点P 的坐标为(x, x)．如图3，联结OP ．所以S 四边形PCOB ＝S △PCO ＋S △PBO ＝1152428b x b x bx ⨯⋅+⨯⋅=＝2b ．解得165x =．所以点P 的坐标为(1616,55)．图2 图3（3）由2111(1)(1)()4444b yx b x x x b =-++=--，得A (1, 0)，OA ＝1． ①如图4，以OA 、OC 为邻边构造矩形OAQC ，那么△OQC ≌△QOA ．当BA QA QA OA=，即2QA BA OA =⋅时，△BQA ∽△QOA ． 所以2()14b b =-．解得843b =±．所以符合题意的点Q 为(1,23+)． ②如图5，以OC 为直径的圆与直线x ＝1交于点Q ，那么∠OQC ＝90°。

中考压轴题分类专题三——抛物线中的等腰三角形基此题型：已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若ABP ∆为等腰三角形，求点P 坐标。

分两大类进行讨论：（1）AB 为底时（即PA PB =）：点P 在AB 的垂直平分线上。

利用中点公式求出AB 的中点M ；利用两点的斜率公式求出AB k ，因为两直线垂直斜率乘积为1-，进而求出AB 的垂直平分线的斜率k ；利用中点M 与斜率k 求出AB 的垂直平分线的解析式；将AB 的垂直平分线的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。

（2）AB 为腰时，分两类讨论：①以A ∠为顶角时（即AP AB =）：点P 在以A 为圆心以AB 为半径的圆上。

②以B ∠为顶角时（即BP BA =）：点P 在以B 为圆心以AB 为半径的圆上。

利用圆的一般方程列出A (或B )的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。

中考压轴题分类专题四——抛物线中的直角三角形基此题型：已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若ABP ∆为直角三角形，求点P 坐标。

分两大类进行讨论：（1）AB 为斜边时（即PA PB ⊥）：点P 在以AB 为直径的圆周上。

利用中点公式求出AB 的中点M ； 利用圆的一般方程列出M 的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。

（2）AB 为直角边时，分两类讨论： ①以A ∠为直角时（即AP AB ⊥）： ②以B ∠为直角时（即BP BA ⊥）：利用两点的斜率公式求出AB k ，因为两直线垂直斜率乘积为1-，进而求出PA （或PB ）的斜率k ；进而求出PA （或PB ）的解析式；将PA （或PB ）的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。

2017挑战中考数学压轴题(第七版精选)k 第一部分 函数图象中点的存在性问题1.1 因动点产生的相似三角形问题1.如图1，在平面直角坐标系xOy 中，顶点为M 的抛物线y ＝ax 2＋bx （a ＞0）经过点A 和x 轴正半轴上的点B ，AO ＝BO ＝2，∠AOB ＝120°．（1）求这条抛物线的表达式；（2）连结OM ，求∠AOM 的大小；（3）如果点C 在x 轴上，且△ABC 与△AOM 相似，求点C 的坐标．图12.如图1，已知抛物线211(1)444b y xb x =-++（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 是左侧），与y 轴的正半轴交于点C ．（1）点B 的坐标为______，点C 的坐标为__________（用含b的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC 是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．图13.如图1，已知抛物线的方程C1：1(2)()=-+-(my x x mm＞0)与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、B1的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)．用含S的代数式表示x2－x1，并求出当S=36时点A1的坐标；（3）在图1中，设点D的坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．图 1 图25.如图1，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C （0，－2）三点．（1）求此抛物线的解析式；（2）P是抛物线上的一个动点，过P作PM⊥x 轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．,图11.2因动点产生的等腰三角形问题6.如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q 为边AC上的一动点，且∠PDQ＝90（1）求ED、EC的长；（2）若BP＝2，求CQ的长；（3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长．图1 备用图7.如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．图18.如图1，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA 绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P 、O 、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．图19.如图1，已知一次函数y ＝－x ＋7与正比例函数43y x 的图象交于点A ，且与x 轴交于点B ． （1）求点A 和点B 的坐标；（2）过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，过点B 作直线l//y 轴．动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长的速度，沿O —C —A 的路线向点A 运动；同时直线l 从点B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l 交x 轴于点R ，交线段BA 或线段AO 于点Q ．当点P 到达点A 时，点P 和直线l 都停止运动．在运动过程中，设动点P 运动的时间为t 秒．①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．10.如图1，在矩形ABCD中，AB＝m（m是大于0的常数），BC＝8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连结DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE＝x，BF＝y．（1）求y关于x的函数关系式；（2）若m＝8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？（3）若12y，要使△DEF为等腰三角形，mm的值应为多少？图111.如图1，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，E 是AB的中点，过点E作EF//BC交CD于点F，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°．（1）求点E到BC的距离；（2）点P为线段EF上的一个动点，过点P 作PM⊥EF交BC于M，过M作MN//AB交折线ADC于N，连结PN，设EP＝x．①当点N在线段AD上时（如图2），△PMN的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN 的周长；若改变，请说明理由；②当点N 在线段DC 上时（如图3），是否存在点P ，使△PMN 为等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的x 的值；若不存在，请说明理由．图1 图2图31.3 因动点产生的直角三角形问题12.如图1，抛物线213442y xx =--与x 轴交于A 、B 两点（点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ，连结BC ，以BC 为一边，点O 为对称中心作菱形BDEC ，点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为(m, 0)，过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ．（1）求点A 、B 、C 的坐标；（2）当点P 在线段OB 上运动时，直线l 分别交BD 、BC 于点M 、N ．试探究m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM 的形状，并说明理由；（3）当点P 在线段EB 上运动时，是否存在点Q ，使△BDQ 为直角三角形，若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．图113.如图1，抛物线233384y xx =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求点A 、B 的坐标；（2）设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标；（3）若直线l 过点E(4, 0)，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有．．．．三个时，求直线l的解析式．图114.平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y ＝k(x2＋x－1)的图象交于点A(1,k)和点B(－1,－k)．（1）当k＝－2时，求反比例函数的解析式；（2）要使反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．16.直角坐标系xOy 中，抛物线22153244m m y x x m m -=-++-+与x 轴的交点分别为原点O 和点A ，点B(2,n)在这条抛物线上． （1）求点B 的坐标；（2）点P 在线段OA 上，从点O 出发向点A 运动，过点P 作x 轴的垂线，与直线OB 交于点E ，延长PE 到点D ，使得ED ＝PE ，以PD 为斜边，在PD 右侧作等腰直角三角形PCD （当点P 运动时，点C 、D 也随之运动）．①当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时，求OP 的长；②若点P 从点O 出发向点A 作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA 上另一个点Q 从点A 出发向点O 作匀速运动，速度为每秒2个单位（当点Q 到达点O 时停止运动，点P 也停止运动）．过Q 作x 轴的垂线，与直线AB 交于点F ，延长QF 到点M ，使得FM ＝QF ，以QM 为斜边，在QM 的左侧作等腰直角三角形QMN （当点Q 运动时，点M 、N 也随之运动）．若点P 运动到t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t 的值．图117.已知A、B是线段MN上的两点，4=MA，MN，1= >MB．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中1心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设xAB=．（1）求x的取值范围；（2）若△ABC为直角三角形，求x的值；（3）探究：△ABC的最大面积？图118.直线434+-=x y 和x 轴、y 轴的交点分别为B 、C ，点A 的坐标是（-2，0）．（1）试说明△ABC 是等腰三角形；（2）动点M 从A 出发沿x 轴向点B 运动，同时动点N 从点B 出发沿线段BC 向点C 运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M 运动t 秒时，△MON 的面积为S ． ① 求S 与t 的函数关系式；② 设点M 在线段OB 上运动时，是否存在S ＝4的情形？若存在，求出对应的t 值；若不存在请说明理由；③在运动过程中，当△MON 为直角三角形时，求t 的值．图119.直线434+-=x y 和x 轴、y 轴的交点分别为B 、C ，点A 的坐标是（-2，0）．（1）试说明△ABC 是等腰三角形；（2）动点M 从A 出发沿x 轴向点B 运动，同时动点N 从点B 出发沿线段BC 向点C 运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M 运动t 秒时，△MON 的面积为S ． ① 求S 与t 的函数关系式；② 设点M 在线段OB 上运动时，是否存在S ＝4的情形？若存在，求出对应的t 值；若不存在请说明理由；③在运动过程中，当△MON为直角三角形时，求t的值．图120.知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(0, 1)、B(4, 3)两点．（1）求抛物线的解析式；（2）求tan∠ABO的值；（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N，交抛物线于点M，若四边形MNCB为平行四边形，求点M的坐标．图121.Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD//BC，交AB于点D，联结PQ．点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒（t≥0）．（1）直接用含t的代数式分别表示：QB＝_______，PD＝_______；（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ 的中点M所经过的路径长．图1 图2 22.平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B(1, 0)、C(3, 0)、D(3, 4)．以A为顶点的抛物线y＝ax2＋bx＋c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动，同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P、Q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t秒．过点P 作PE⊥AB交AC于点E．（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？（3）在动点P、Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C、Q、E、H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．图123.物线c1：233=-x轴翻折，得到抛物线c2，y x如图1所示．（1）请直接写出抛物线c2的表达式；（2）现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线c2向右也平移m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N，与x轴的交点从左到右依次为D、E．①当B、D是线段AE的三等分点时，求m的值；②在平移过程中，是否存在以点A、N、E、M 为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．图124角梯形OABC中，CB//OA，∠COA＝90°，CB＝3，OA＝6，BA＝35．分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系．（1）求点B的坐标；（2）已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD＝5，OE＝2EB，直线DE交x轴于点F．求直线DE的解析式；（3）点M是（2）中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．图1图225.物线322++-=x x y 与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，顶点为D ． （1）直接写出A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连结BC ，与抛物线的对称轴交于点E ，点P 为线段BC 上的一个动点，过点P 作PF//DE 交抛物线于点F ，设点P 的横坐标为m ． ①用含m 的代数式表示线段PF 的长，并求出当m 为何值时，四边形PEDF 为平行四边形？ ②设△BCF 的面积为S ，求S 与m 的函数关系．图126直线y ＝3x －3分别与x 轴、y 轴交于点A ，B ，抛物线y ＝ax 2＋2x ＋c 经过点A ，B ． （1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）记该抛物线的对称轴为直线l ，点B 关于直线l 的对称点为C ，若点D 在y 轴的正半轴上，且四边形ABCD 为梯形．①求点D 的坐标；②将此抛物线向右平移，平移后抛物线的顶点为P ，其对称轴与直线y ＝3x －3交于点E ，若73tan =∠DPE ，求四边形BDEP 的面积． 127.，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD方别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x 轴上．已知点A(1，2)，过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F．抛物线y＝ax2＋bx ＋c经过O、A、C三点．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）点P为线段OC上的一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若△AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC上，且不与点C重合），△AOB在平移的过程中与△COD重叠部分的面积记为S．试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．图128.次函数的图象经过A（2，0）、C(0，12) 两点，且对称轴为直线x＝4，设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；（2）如图1，在直线y＝2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒2个单位长度的速度由点P向点O 运动，过点M作直线MN//x 轴，交PB于点N．将△PMN沿直线MN对折，得到△P1MN．在动点M的运动过程中，设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒，求S关于t的函数关系式．图1 图229.在平面直角坐标系xOy中，抛物线的解析式是y ＝211x ，点C的坐标为(–4，0)，平行四边4形OABC的顶点A，B在抛物线上，AB与y轴交于点M，已知点Q(x，y)在抛物线上，点P(t，0)在x轴上．(1) 写出点M的坐标；(2) 当四边形CMQP是以MQ，PC为腰的梯形时．①求t关于x的函数解析式和自变量x的取值范围；②当梯形CMQP的两底的长度之比为1∶2时，求t的值．30图1，二次函数)0(2<++=p q px x y 的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0，－1），△ABC 的面积为45． （1）求该二次函数的关系式； （2）过y 轴上的一点M （0，m ）作y 轴的垂线，若该垂线与△ABC 的外接圆有公共点，求m 的取值范围；（3）在该二次函数的图象上是否存在点D ，使以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形为直角梯形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．图11.6 因动点产生的面积问题31.知抛物线212y xbx c=++（b 、c 是常数，且c ＜0）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴的负半轴交于点C ，点A 的坐标为(－1,0)． （1）b ＝______，点B 的横坐标为_______（上述结果均用含c 的代数式表示）；（2）连结BC ，过点A 作直线AE//BC ，与抛物线交于点E ．点D 是x 轴上一点，坐标为(2,0)，当C 、D 、E 三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点P 是x 轴下方的抛物线上的一动点，连结PB 、PC ．设△PBC 的面积为S ．①求S 的取值范围；②若△PBC 的面积S 为正整数，则这样的△PBC共有_____个．图132.平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A(0, 1)、B(2, 0)、O(0, 0)，将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到三角形A′B′O．（1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；（2）设点P是第一象限内抛物线上的一个动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B 是哪种形状的四边形？并写出它的两条性质．图133..面直角坐标系中，直线112y x =+与抛物线y ＝ax 2＋bx －3交于A 、B 两点，点A 在x 轴上，点B 的纵坐标为3．点P 是直线AB 下方的抛物线上的一动点（不与点A 、B 重合），过点P 作x 轴的垂线交直线AB 于点C ，作PD ⊥AB 于点D ． （1）求a 、b 及sin ∠ACP 的值； （2）设点P 的横坐标为m ．①用含m 的代数式表示线段PD 的长，并求出线段PD 长的最大值； ②连结PB ，线段PC 把△PDB 分成两个三角形，是否存在适合的m 的值，使这两个三角形的面积比为9∶10？若存在，直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．图134.直线l 经过点A(1，0)，且与双曲线m y x =(x ＞0)交于点B(2，1)．过点(,1)P p p -(p ＞1)作x 轴的平行线分别交曲线m y x =(x ＞0)和my x =-(x ＜0)于M 、N 两点．（1）求m 的值及直线l 的解析式；（2）若点P 在直线y ＝2上，求证：△PMB ∽△PNA ； （3）是否存在实数p ，使得S △AMN ＝4S △AMP ？若存在，请求出所有满足条件的p 的值；若不存在，请说明理由．图135.边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为(3,0)，(0,1)．点D 是线段BC 上的动点（与端点B 、C 不重合），过点D 作直线12y x b =-+交折线OAB 于点E ．（1）记△ODE 的面积为S ，求S 与b 的函数关系式；（2）当点E 在线段OA 上时，若矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形O 1A 1B 1C 1，试探究四边形O 1A 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由．图136.△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，CD是斜边AB上的高，点E在斜边AB上，过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F，设AE＝x，△AEF的面积为y．（1）求线段AD的长；（2）若EF⊥AB，当点E在斜边AB上移动时，①求y与x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）；②当x取何值时，y有最大值？并求出最大值．（3）若点F在直角边AC上（点F与A、C不重合），点E在斜边AB上移动，试问，是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，求出x的值；若不存在直线EF，请说明理由．图1 备用图1.7 因动点产生的相切问题37.知⊙O的半径长为3，点A是⊙O上一定点，点P为⊙O上不同于点A的动点．（1）当1tanA=时，求AP的长；2（2）如果⊙Q过点P、O，且点Q在直线AP上（如图2），设AP＝x，QP＝y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）在（2）的条件下，当4A=时（如图3），tan3存在⊙M与⊙O相内切，同时与⊙Q相外切，且OM⊥OQ，试求⊙M的半径的长．图 1 图 2 图338. A(－5,0)，B(－3,0)，点C在y轴的正半轴上，∠CBO＝45°，CD//AB，∠CDA＝90．点P从点Q(4,0)出发，沿x轴向左以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t秒．（1）求点C的坐标；（2）当∠BCP＝15°时，求t的值；（3）以点P为圆心，PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．图139.形ABCD的边长为2厘米，∠DAB＝60°．点P从A出发，以每秒3厘米的速度沿AC向C作匀速运动；与此同时，点Q也从点A出发，以每秒1厘米的速度沿射线作匀速运动．当点P到达点C时，P、Q都停止运动．设点P运动的时间为t秒．（1）当P异于A、C时，请说明PQ//BC；（2）以P为圆心、PQ长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t为怎样的值时，⊙P与边BC分别有1个公共点和2个公共点？1.8 因动点产生的线段和差问题40面直角坐标系中，已知点A(－2,0)，B(0,4)，点E在OB上，且∠OAE＝∠OBA．（1）如图1，求点E的坐标；（2）如图2，将△AEO沿x轴向右平移得到△AE′O′，连结A′B、BE′．①设AA′＝m，其中0＜m＜2，使用含m的式子表示A′B2＋BE′2，并求出使A′B2＋BE′2取得最小值时点E′的坐标；②当A′B＋BE′取得最小值时，求点E′的坐标（直接写出结果即可）．图1 图241.平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c 经过A(－2, －4 )、O(0, 0)、B(2, 0)三点．（1）求抛物线y＝ax2＋bx＋c的解析式；（2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM＋OM的最小值．图1第二部分函数图象中点的存在性问题2.1 由比例线段产生的函数关系问题42.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A 的坐标为(0,4)，点B的坐标为(4,0)，点C的坐标为(－4,0)，点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD．过P、D、B三点作⊙Q，与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q 于F，连结EF、BF．（1）求直线AB的函数解析式；（2）当点P在线段AB（不包括A、B两点）上时．①求证：∠BDE＝∠ADP；②设DE＝x，DF＝y，请求出y关于x的函数解析式；（3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B、D、F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2∶1？如果存在，求出此时点P的坐标；如果不存在，请说明理由．43.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，53sin B ，⊙B 的半径长为1，⊙B 交边CB 于点P ，点O 是边AB 上的动点．（1）如图1，将⊙B 绕点P 旋转180°得到⊙M ，请判断⊙M 与直线AB 的位置关系；（2）如图2，在（1）的条件下，当△OMP 是等腰三角形时，求OA 的长；（3）如图3，点N 是边BC 上的动点，如果以NB 为半径的⊙N 和以OA 为半径的⊙O 外切，设NB ＝y ，OA ＝x ，求y 关于x 的函数关系式及定义域．图 1 图2 图344.如图1，甲、乙两人分别从A 、B 两点同时出发，点O 为坐标原点．甲沿AO 方向、乙沿BO 方向均以每小时4千米的速度行走，t 小时后，甲到达M 点，乙到达N 点．（1）请说明甲、乙两人到达点O 前，MN 与AB 不可能平行；（2）当t 为何值时，△OMN ∽△OBA ？（3）甲、乙两人之间的距离为MN 的长．设s ＝MN 2，求s 与t 之间的函数关系式，并求甲、乙两人之间距离的最小值．2.2 由面积产生的函数关系问题45.如图1， △ABC 是以BC 为底边的等腰三角形，点A 、C 分别是一次函数334y x =-+的图像与y 轴、x 轴的交点，点B 在二次函数218y x bx c =++的图像上，且该二次函数图像上存在一点D 使四边形ABCD 能构成平行四边形．（1）试求b 、c 的值，并写出该二次函数的解析式；（2）动点P 从A 到D ，同时动点Q 从C 到A 都以每秒1个单位的速度运动，问：①当P 运动到何处时，由PQ ⊥AC ？②当P 运动到何处时，四边形PDCQ 的面积最小？此时四边形PDCQ 的面积是多少？图146.如图1，抛物线213922y x x =--与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，联结BC 、AC ．（1）求AB 和OC 的长；（2）点E 从点A 出发，沿x 轴向点B 运动（点E 与点A 、B 不重合），过点E 作BC 的平行线交AC 于点D ．设AE 的长为m ，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（3）在（2）的条件下，联结CE，求△CDE 面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留π）．图147.如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P在AB上，AP＝2．点E、F同时从点P出发，分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E到达点A后立刻以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也随之停止．在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧．设E、F运动的时间为t秒(t＞0)，正方形EFGH与△ABC重叠部分的面积为S．（1）当t＝1时，正方形EFGH的边长是______；当t＝3时，正方形EFGH的边长是________；（2）当1＜t≤2时，求S与t的函数关系式；（3）直接答出：在整个运动过程中，当t为何值时，S最大？最大面积是多少？图148.如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是平行四边形．直线l经过O、C两点，点A的坐标为(8，0)，点B的坐标为(11，4)，动点P在线段OA上从O出发以每秒1个单位的速度向点A运动，同时动点Q从点A出发以每秒2个单位的速度沿A→B→C的方向向点C运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线O—C—B相交于点M．当P、Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒（t＞0），△MPQ的面积为S．（1）点C的坐标为____________，直线l 的解析式为____________；（2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围．（3）试求题（2）中当t为何值时，S的值最大？最大值是多少？图149.如图1，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝23，点O是AB的中点，点P在AB的延长线上，且BP＝3．一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；另一动点F从P点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速运动，点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动，在点E、F的运动过程中，以EF为边作等边△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射线PA 的同侧．设运动的时间为t秒（t≥0）．（1）当等边△EFG的边FG恰好经过点C 时，求运动时间t的值；（2）在整个运动过程中，设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t 的取值范围；（3）设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H，是否存在这样的t，使△AOH是等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．图13.2几何证明及通过几何计算进行说理问题51.已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图像经过点P(0, 1)与Q(2, －3)．（1）求此二次函数的解析式；（2）若点A是第一象限内该二次函数图像上一点，过点A作x轴的平行线交二次函数图像于点B，分别过点B、A作x轴的垂线，垂足分别为C、D，且所得四边形ABCD恰为正方形．①求正方形的ABCD的面积；②联结PA、PD，PD交AB于点E，求证：△PAD∽△PEA．52.某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：（1）操作发现：在等腰△ABC中，AB＝AC，分别以AB、AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连结MD和ME，则下列结论正确的是__________（填序号即可）．①AF＝AG＝1AB；②MD＝ME；③整个图2形是轴对称图形；④MD⊥ME．（2）数学思考：在任意△ABC中，分别以AB、AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连结MD和ME，则MD 与ME有怎样的数量关系？请给出证明过程；（3）类比探究：在任意△ABC中，仍分别以AB、AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连结MD和ME，试判断△MDE的形状．答：_________．图1。

中考压轴题专题几何（辅助线）精选1。

如图，Rt △ABC 中，∠ABC =90°，DE 垂直平分AC ,垂足为O ，AD ∥BC ,且AB =3，BC =4，则AD 的长为 ．精选2．如图，△ABC 中,∠C ＝60°，∠CAB 与∠CBA 的平分线AE ,BF 相交于点D ， 求证：DE ＝DF ．精选3.已知：如图,⊙O 的直径AB=8cm ，P 是AB 延长线上的一点，过点P 作⊙O 的切线，切点为C ，连接AC ． (1) 若∠ACP=120°，求阴影部分的面积；(2)若点P 在AB 的延长线上运动，∠CPA 的平分线交AC 于点M,∠CMP 的大小是否发生变化？若变化,请说明理由；若不变,求出∠CMP 的度数。

精选4、如图1，Rt△ABC 中，∠ACB=90°,AC=3，BC=4，点O 是斜边AB 上一动点，以OA 为半径作⊙O 与AC 边交于点P ，（1)当OA=时，求点O 到BC 的距离； （2）如图1，当OA=时,求证：直线BC 与⊙O 相切；此时线段AP 的长是多少？（3)若BC 边与⊙O 有公共点，直接写出OA 的取值范围； （4）若CO 平分∠ACB，则线段AP 的长是多少？．DEF精选5．如图，已知△ABC 为等边三角形,∠BDC ＝120°,AD 平分∠BDC ，求证：BD +DC ＝AD ．精选6、已知矩形ABCD 的一条边AD =8，将矩形ABCD 折叠,使得顶点B 落在CD 边上的P 点处．(第6题图）（1）如图1，已知折痕与边BC 交于点O ，连结AP 、OP 、O A ． ①求证：△OCP ∽△PDA ；②若△OCP 与△PDA 的面积比为1：4，求边AB 的长; (2)若图1中的点P 恰好是CD 边的中点，求∠OAB 的度数； （3）如图2,，擦去折痕AO 、线段OP ，连结BP ．动点M 在线段AP 上(点M 与点P 、A 不重合），动点N 在线段AB 的延长线上，且BN =PM ，连结MN 交PB 于点F ，作ME ⊥BP 于点E ．试问当点M 、N 在移动过程中，线段EF 的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF 的长度．精选7、如图,四边形ABCD 是边长为2,一个锐角等于60°的菱形纸片,小芳同学将一个三角形纸片的一个顶点与该菱形顶点D 重合,按顺时针方向旋转三角形纸片，使它的两边分别交CB 、BA （或它们的延长线）于点E 、F,∠EDF=60°，当CE=AF 时，如图1小芳同学得出的结论是DE=DF ．（1）继续旋转三角形纸片，当CE≠AF 时,如图2小芳的结论是否成立？若成立，加以证明;若不成立，请说明理由；（2）再次旋转三角形纸片，当点E 、F 分别在CB 、BA 的延长线上时，如图3请直接写出DE 与DF 的数量关系；（3）连EF ，若△DEF 的面积为y ，CE=x,求y 与x 的关系式，并指出当x 为何值时，y 有最小值，最小值是多少？E B精选8、等腰Rt△ABC 中，∠BAC=90°，点A 、点B 分别是x 轴、y 轴两个动点，直角边AC 交x 轴于点D ，斜边BC 交y 轴于点E ；（1）如图(1）,若A （0，1），B （2，0),求C 点的坐标； （2）如图（2），当等腰Rt△ABC 运动到使点D 恰为AC 中点时,连接DE ，求证：∠ADB=∠CDE (3）如图(3），在等腰Rt△ABC 不断运动的过程中，若满足BD 始终是∠ABC 的平分线，试探究：线段OA 、OD 、BD 三者之间是否存在某一固定的数量关系，并说明理由．精选9．如图，正方形ABCD 的四个顶点分别在四条平行线1l 、2l 、3l 、4l 上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为1h 、2h 、3h 123(000)h h h >>>，，．（1）求证：31h h =;（2）设正方形ABCD 的面积为S ,求证：22121()S h h h =++；（3）若12312h h +=,当1h 变化时，说明正方形ABCD 的面积S 随1h 的变化情况．l 1l 2 l 3 l 4h 3h 2h 1D B第题图(完整word版)2017中考数学几何压轴题(辅助线专题复习) 参考答案精选1解:∵Rt△ABC中,∠ABC=90°，AB=3，BC=4，∴AC ===5,∵DE垂直平分AC，垂足为O，∴OA =AC =,∠AOD=∠B=90°，∵AD∥BC，∴∠A=∠C，∴△AOD∽△CBA，∴=,即=,解得AD =．故答案为：．精选2证明：在AB上截取AG，使AG=AF，易证△ADF≌△ADG（SAS）．∴DF＝DG．∵∠C＝60°，AD，BD是角平分线，易证∠ADB=120°．∴∠ADF＝∠ADG＝∠BDG＝∠BDE＝60°．易证△BDE≌△BDG（ASA）．∴DE＝DG＝DF．精选3、解:（1)连接OC．∵PC为⊙O的切线，∴PC⊥OC．∴∠PCO=90度．∵∠ACP=120°∴∠ACO=30°∵OC=OA，∴∠A=∠ACO=30度．∴∠BOC=60°∵OC=4∴∴S阴影=S△OPC﹣S扇形BOC =；（2）∠CMP的大小不变，∠CMP=45°由（1）知∠BOC+∠OPC=90°∵PM平分∠APCDAEF∴∠APM=∠APC∵∠A=∠BOC∴∠PMC=∠A+∠APM=（∠BOC+∠OPC)=45°．精选4、解：（1)在Rt△ABE中，．（1分)过点O作OD⊥BC于点D，则OD∥AC，∴△ODB∽△A CB，∴，∴，∴，∴点O到BC的距离为．（3分)（2)证明:过点O作OE⊥BC于点E，OF⊥AC于点F，∵△OEB∽△ACB，∴∴，∴．∴直线BC与⊙O相切．（5分）此时，四边形OECF为矩形，∴AF=AC﹣FC=3﹣=,∵OF⊥AC,∴AP=2AF=．（7分）（3）；(9分）（4）过点O作OG⊥AC于点G，OH⊥BC于点H，则四边形OGCH是矩形，且AP=2AG,又∵CO平分∠ACB,∴OG=OH，∴矩形OGCH是正方形．(10分）设正方形OGCH的边长为x，则AG=3﹣x,∵OG∥BC，∵△AOG∽△ABC，∴，∴，∴,∴，∴AP=2AG=．(12分）精选5、证法1：（截长)如图，截DF=DB，易证△DBF为等边三角，然后证△BDC≌△BFA即可；证法2：（截长）如图，截DF=DC，易证△DCF为等边三角，然后证△BDC≌△AFC即可；证法3：(补短)如图，延长BD至F,使DF=DC，此时BD+DC=BD+DF=BF,易证△DCF为等边△,再证△BCF≌△ACD即可．证法4：（四点共圆）两组对角分别互补的四边形四个顶点共圆．设AB＝AC＝BC＝a，根据（圆内接四边形)托勒密定理:CD·a＋BD·a＝AD·a，得证．FFF精选6、解：（1）如图1，①∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，DC=AB，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°．由折叠可得:AP=AB，PO=BO，∠PAO=∠BAO．∠APO=∠B．∴∠APO=90°．∴∠APD=90°﹣∠CPO=∠PO C．∵∠D=∠C,∠APD=∠PO C．∴△OCP∽△PD A．②∵△OCP与△PDA的面积比为1：4，∴====．∴PD=2OC，PA=2OP,DA=2CP．∵AD=8，∴CP=4，BC=8．设OP=x，则OB=x,CO=8﹣x．在Rt△PCO中，∵∠C=90°，CP=4，OP=x，CO=8﹣x,∴x2=(8﹣x）2+42．解得：x=5．∴AB=AP=2OP=10．∴边AB的长为10．（2)如图1,∵P是CD边的中点，∴DP=D C．∵DC=AB,AB=AP,∴DP=AP．∵∠D=90°，∴sin∠DAP==．∴∠DAP=30°．∵∠DAB=90°，∠PAO=∠BAO,∠DAP=30°，∴∠OAB=30°．∴∠OAB的度数为30°．（3）作MQ∥AN,交PB于点Q，如图2．∵AP=AB，MQ∥AN，∴∠APB=∠ABP，∠ABP=∠MQP．∴∠APB=∠MQP．∴MP=MQ．∵MP=MQ,ME⊥PQ,∴PE=EQ=PQ．∵BN=PM，MP=MQ，∴BN=QM．∵MQ∥AN，∴∠QMF=∠BNF．在△MFQ和△NFB中，．∴△MFQ≌△NF B．∴QF=BF．∴QF=Q B．∴EF=EQ+QF=PQ+QB=P B．由（1）中的结论可得:PC=4,BC=8，∠C=90°．∴PB==4．∴EF=PB=2．∴在（1）的条件下，当点M、N在移动过程中,线段EF的长度不变,长度为2．精选7、解：(1）DF=DE．理由如下：如答图1,连接BD．∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB．又∵∠A=60°,∴△ABD是等边三角形，∴AD=BD，∠ADB=60°，∴∠DBE=∠A=60°∵∠EDF=60°，∴∠ADF=∠BDE．∵在△ADF与△BDE中，,∴△ADF≌△BDE（ASA），∴DF=DE；（2）DF=DE．理由如下：如答图2，连接BD．∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB．又∵∠A=60°,∴△ABD是等边三角形，∴AD=BD，∠ADB=60°，∴∠DBE=∠A=60°∵∠EDF=60°，∴∠ADF=∠BDE．∵在△ADF与△BDE中，，∴△ADF≌△BDE（ASA），∴DF=DE；（3)由（2）知,△ADF≌△BDE．则S△ADF=S△BDE，AF=BE=x．依题意得:y=S△BEF+S△ABD=（2+x）x sin60°+×2×2sin60°=（x+1）2+．即y=（x+1）2+．∵＞0，∴该抛物线的开口方向向上，∴当x=0即点E、B重合时，y最小值=．精选8、(1）解：过点C作CF⊥y轴于点F，∴∠AFC=90°，∴∠CAF+∠ACF=90°．∵△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°，∴AC=AB，∠CAF+∠BAO=90°,∠AFC=∠BAC，∴∠ACF=∠BAO．在△ACF和△ABO中，,∴△ACF≌△ABO（AAS）∴CF=OA=1，AF=OB=2∴OF=1∴C（﹣1，﹣1）；（2）证明：过点C作CG⊥AC交y轴于点G，∴∠ACG=∠BAC=90°,∴∠AGC+∠GAC=90°．∵∠CAG+∠BAO=90°，∴∠AGC=∠BAO．∵∠ADO+∠DAO=90°，∠DAO+∠BAO=90°,∴∠ADO=∠BAO，∴∠AGC=∠ADO．在△ACG和△ABD中∴△ACG≌△ABD（AAS)，∴CG=AD=CD．∵∠ACB=∠ABC=45°，∴∠DCE=∠GCE=45°，在△DCE和△GCE中，，∴△DCE≌△GCE（SAS），∴∠CDE=∠G,∴∠ADB=∠CDE;（3)解:在OB上截取OH=OD，连接AH由对称性得AD=AH，∠ADH=∠AHD．∵∠ADH=∠BAO．∴∠BAO=∠AHD．∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABO=∠EBO，∵∠AOB=∠EOB=90°．在△AOB和△EOB中,，∴△AOB≌△EOB（ASA)，∴AB=EB,AO=EO，∴∠BAO=∠BEO，∴∠AHD=∠ADH=∠BAO=∠BEO．∴∠AEC=∠BHA．在△AEC和△BHA中，,∴△ACE≌△BAH(AAS）∴AE=BH=2OA∵DH=2OD∴BD=2(OA+OD)．精选9、（1）证：设2AD l 与交于点E ，BC 与3l 交于点F ， 由已知BF ED BE FD ∥，∥,∴四边形BEDF 是平行四边形，BE DF ∴=． 又CDF Rt ABE Rt CD AB ∆∆∴=≌，．31h h =∴ （2）证：作44BG l DH l ⊥⊥，,垂足分别为G H 、, 在Rt Rt BGC CHD △和△中，1809090BCG DCH BCD CDH DCH ∠+∠=︒-∠=︒∠+∠=︒，． BCG CDH ∴∠=∠．又90BGC CHD BC CD ∠=∠=︒=，，2Rt Rt BGC CHD CG DH h ∴==△≌△，．又22222223232121()()BG h h BC BG CG h h h h h h =+∴=+=++=+，， 222121()S BC h h h ∴==++． (3)解:1221331122h h h h +=∴=-，， l l l l 4h 3h 2 h 1 ADBE H l l l l 4h 3h 2h 1 AD B FE2222121111355241124455S h h h h h h ⎛⎫⎛⎫∴=+-+=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,1211320010023h h h h >>∴->∴<<，，，．∴当1205h <<时,S 随1h 的增大而减小；当12253h <<时，S 随1h 的增大而增大．。

图2
CE AC
∴1 x, ∴y 1.
y1
x
(2)由于∠DAB+∠CAE= ,又∠DAB+∠ADB=∠ABC= 90 ,且 2
函数关系式成立,
F
∴ 90 = , 整理得 90 .
2
2
B
当 90 时,函数解析式 y 1 成立.
∴5- 8 x =4,得 x 5 .可求得 y 2 ,即 AP=2.
5
8
②若 EP 交线段 CB 于点 F,如图 3(2), 则 CF=2.
类似①,可得 CF=CE.
∴5- 8 x =2,得 x 15 .
5
8
可求得 y 6 ,即 AP=6.
综上所述, 当 BF=1 时,线段 AP 的长为 2 或 6. 三、应用求图形面积的方法建立函数关系式
（二）线动问题 在矩形 ABCD 中，AB＝3，点 O 在对角线 AC 上，直线 l 过点 O，且与 AC 垂直交 AD 于点 E.(1)若直
线 l 过点 B，把△ABE 沿直线 l 翻折，点 A 与矩形 ABCD 的对称中心 A＇重合，求 BC 的长；
(2)若直线 l 与 AB 相交于点 F，且 AO＝ 1 AC，设 AD 的长为 x ，五边
中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯
形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键
给以点拨。
一、以动态几何为主线的压轴题
（一）点动问题．
1．（09 年徐汇区）如图， ABC 中， AB AC 10 ， BC 12 ，点 D 在边 BC 上，且 BD 4 ，

目录第一部分函数图象中点的存在性问题1.1 因动点产生的相似三角形问题例1 2015年上海市宝山嘉定区中考模拟第24题例2 2014年武汉市中考第24题例3 2012年苏州市中考第29题例4 2012年黄冈市中考第25题例5 2010年义乌市中考第24题例6 2009年临沂市中考第26题1.2 因动点产生的等腰三角形问题例1 2015年重庆市中考第25题例2 2014年长沙市中考第第26题例3 2013年上海市虹口区中考模拟第25题例4 2012年扬州市中考第27题例5 2012年临沂市中考第26题例6 2011年盐城市中考第28题1.3 因动点产生的直角三角形问题例1 2015年上海市虹口区中考模拟第25题例2 2014年苏州市中考第29题例3 2013年山西省中考第26题例4 2012年广州市中考第24题例5 2012年杭州市中考第22题例6 2011年浙江省中考第23题例7 2010年北京市中考第24题1.4 因动点产生的平行四边形问题例1 2015年成都市中考第28题例2 2014年陕西省中考第24题例3 2013年上海市松江区中考模拟第24题例4 2012年福州市中考第21题例5 2012年烟台市中考第26题例6 2011年上海市中考第24题例7 2011年江西省中考第24题1.5 因动点产生的梯形问题例1 2015年上海市徐汇区中考模拟第24题例2 2014年上海市金山区中考模拟第24题例3 2012年上海市松江中考模拟第24题例4 2012年衢州市中考第24题例5 2011年义乌市中考第24题1.6 因动点产生的面积问题例1 2015年河南市中考第23题例2 2014年昆明市中考第23题例3 2013年苏州市中考第29题例4 2012年菏泽市中考第21题例5 2012年河南省中考第23题例6 2011年南通市中考第28题例7 2010年广州市中考第25题1.7 因动点产生的相切问题例1 2015年上海市闵行区中考模拟第24题例2 2014年上海市徐汇区中考模拟第25题例3 2013年上海市杨浦区中考模拟第25题1.8 因动点产生的线段和差问题例1 2015年福州市中考第26题例2 2014年广州市中考第24题例3 2013年天津市中考第25题例4 2012年滨州市中考第24题第二部分图形运动中的函数关系问题2.1 由比例线段产生的函数关系问题例1 2015年呼和浩特市中考第25题例2 2014年上海市徐汇区中考模拟第25题例3 2013年宁波市中考第26题例4 2012年上海市徐汇区中考模拟第25题2.2 由面积公式产生的函数关系问题例1 2015年上海市徐汇区中考模拟第25题例2 2014年黄冈市中考第25题例3 2013年菏泽市中考第21题例4 2012年广东省中考第22题例5 2012年河北省中考第26题例6 2011年淮安市中考第28题第三部分图形运动中的计算说理问题3.1 代数计算及通过代数计算进行说理问题例1 2015年北京市中考第29题例2 2014年福州市中考第22题例3 2013年南京市中考第26题3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题例1 2015年杭州市中考第22题例2 2014年安徽省中考第23题例3 2013年上海市黄浦区中考模拟第24题第四部分图形的平移翻折与旋转4.1图形的平移例1 2015年泰安市中考第15题例2 2014年江西省中考第11题4.2图形的翻折例1 2015年上海市宝山区嘉定区中考模拟第18题例2 2014年上海市中考第18题4.3图形的旋转例1 2015年扬州市中考第17题例2 2014年上海市黄浦区中考模拟第18题4.4三角形例1 2015年上海市长宁区中考模拟第18题例2 2014年泰州市中考第16题4.5四边形例1 2015年安徽省中考第19题例2 2014年广州市中考第8题4.6圆例1 2015年兰州市中考第15题例2 2014年温州市中考第16题4.7函数图像的性质例1 2015年青岛市中考第8题例2 2014年苏州市中考第18题第一部分 函数图象中点的存在性问题1.1 因动点产生的相似三角形问题例1 2015年上海市宝山区嘉定区中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系中，双曲线（k ≠0）与直线y ＝x ＋2都经过点A (2, m )． （1）求k 与m 的值；（2）此双曲线又经过点B (n , 2)，过点B 的直线BC 与直线y ＝x ＋2平行交y 轴于点C ，联结AB 、AC ，求△ABC 的面积；（3）在（2）的条件下，设直线y ＝x ＋2与y 轴交于点D ，在射线CB 上有一点E ，如果以点A 、C 、E 所组成的三角形与△ACD 相似，且相似比不为1，求点E 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“15宝山嘉定24”，拖动点E 在射线CB 上运动，可以体验到，△ACE 与△ACD 相似，存在两种情况．思路点拨1．直线AD //BC ，与坐标轴的夹角为45°． 2．求△ABC 的面积，一般用割补法． 3．讨论△ACE 与△ACD 相似，先寻找一组等角，再根据对应边成比例分两种情况列方程．满分解答（1）将点A (2, m )代入y ＝x ＋2，得m ＝4．所以点A 的坐标为(2, 4)．将点A (2, 4)代入ky x=，得k ＝8．（2）将点B (n , 2)，代入8y x=，得n ＝4．所以点B 的坐标为(4, 2)．设直线BC 为y ＝x ＋b ，代入点B (4, 2)，得b ＝－2． 所以点C 的坐标为(0,－2)．由A (2, 4) 、B (4, 2) 、C (0,－2)，可知A 、B 两点间的水平距离和竖直距离都是2，B 、C 两点间的水平距离和竖直距离都是4．所以AB ＝BC ＝ABC ＝90°． 图2所以S △ABC ＝12BA BC ⋅＝12⨯＝8．（3）由A (2, 4) 、D (0, 2) 、C (0,－2)，得AD ＝，AC ＝． 由于∠DAC ＋∠ACD ＝45°，∠ACE ＋∠ACD ＝45°，所以∠DAC ＝∠ACE ． 所以△ACE 与△ACD 相似，分两种情况：①如图3，当CE ADCA AC=时，CE ＝AD ＝ 此时△ACD ≌△CAE ，相似比为1．②如图4，当CE ACCA AD ==．解得CE ＝C 、E 两点间的水平距离和竖直距离都是10，所以E (10, 8)．图3 图4考点伸展第（2）题我们在计算△ABC 的面积时，恰好△ABC 是直角三角形． 一般情况下，在坐标平面内计算图形的面积，用割补法． 如图5，作△ABC 的外接矩形HCNM ，MN //y 轴．由S 矩形HCNM ＝24，S △AHC ＝6，S △AMB ＝2，S △BCN ＝8，得S △ABC ＝8．图5例2 2014年武汉市中考第24题如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，动点P从点B出发，在BA 边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4 cm 的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；（2）如图2，连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值；（3）试证明：PQ的中点在△ABC的一条中位线上．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“14武汉24”，拖动点P运动，可以体验到，若△BPQ可以两次成为直角三角形，与△ABC相似．当AQ⊥CP时，△ACQ∽△CDP．PQ的中点H在△ABC的中位线EF上．思路点拨1．△BPQ与△ABC有公共角，按照夹角相等，对应边成比例，分两种情况列方程．2．作PD⊥BC于D，动点P、Q的速度，暗含了BD＝CQ．3．PQ的中点H在哪条中位线上？画两个不同时刻P、Q、H的位置，一目了然．满分解答（1）Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，所以AB＝10．△BPQ与△ABC相似，存在两种情况：①如果BP BABQ BC=，那么510848tt=-．解得t＝1．②如果BP BCBQ BA=，那么588410tt=-．解得3241t=．图3 图4（2）作PD⊥BC，垂足为D．在Rt△BPD中，BP＝5t，cos B＝45，所以BD＝BP cos B＝4t，PD＝3t．当AQ⊥CP时，△ACQ∽△CDP．所以AC CDQC PD=，即68443tt t-=．解得78t=．图5 图6 （3）如图4，过PQ的中点H作BC的垂线，垂足为F，交AB于E．由于H是PQ的中点，HF//PD，所以F是QD的中点．又因为BD＝CQ＝4t，所以BF＝CF．因此F是BC的中点，E是AB的中点．所以PQ的中点H在△ABC的中位线EF上．考点伸展本题情景下，如果以PQ为直径的⊙H与△ABC的边相切，求t的值．如图7，当⊙H与AB相切时，QP⊥AB，就是BP BCBQ BA=，3241t=．如图8，当⊙H与BC相切时，PQ⊥BC，就是BP BABQ BC=，t＝1．如图9，当⊙H与AC相切时，直径PQ半径等于FC＝48．解得12873t=，或t＝0（如图10，但是与已知0＜t＜2矛盾）．图7 图 8 图9 图10例3 2012年苏州市中考第29题如图1，已知抛物线211(1)444by x b x =-++（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 是左侧），与y 轴的正半轴交于点C ．（1）点B 的坐标为______，点C 的坐标为__________（用含b 的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“12苏州29”，拖动点B 在x 轴的正半轴上运动，可以体验到，点P 到两坐标轴的距离相等，存在四边形PCOB 的面积等于2b 的时刻．双击按钮“第（3）题”，拖动点B ，可以体验到，存在∠OQA ＝∠B 的时刻，也存在∠OQ ′A ＝∠B 的时刻．思路点拨1．第（2）题中，等腰直角三角形PBC 暗示了点P 到两坐标轴的距离相等．2．联结OP ，把四边形PCOB 重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含b 的式子表示．3．第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点Q 最大的可能在经过点A 与x 轴垂直的直线上．满分解答（1）B 的坐标为(b , 0)，点C 的坐标为(0,4b)． （2）如图2，过点P 作PD ⊥x 轴，PE ⊥y 轴，垂足分别为D 、E ，那么△PDB ≌△PEC ． 因此PD ＝PE ．设点P 的坐标为(x, x)． 如图3，联结OP ．所以S 四边形PCOB ＝S △PCO ＋S △PBO ＝1152428b x b x bx ⨯⋅+⨯⋅=＝2b ．解得165x =．所以点P 的坐标为(1616,55)．图2 图3（3）由2111(1)(1)()4444b y x b x x x b =-++=--，得A (1, 0)，OA ＝1． ①如图4，以OA 、OC 为邻边构造矩形OAQC ，那么△OQC ≌△QOA ． 当BA QA QA OA =，即2QA BA OA =⋅时，△BQA ∽△QOA ． 所以2()14bb =-．解得8b =±．所以符合题意的点Q 为(1,2+．②如图5，以OC 为直径的圆与直线x ＝1交于点Q ，那么∠OQC ＝90°。

因动点产生的线段和差的问题1、（09北京25题）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 三个顶点的坐标分别为A （－6，0），B （6，0），C （0，，延长AC 到点D ，使CD ＝12AC ，过D 点作DE ∥AB 交BC 的延长线于点E 。

（1）求D 点的坐标（2）作C 点关于直线DE 的对称点F ，分别连结DF 、EF ，若过B 点的直线y kx b =+将四边形CDFE 分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式。

（3）设G 为y 轴上一点，点P 从直线y kx b =+与y 轴的交点出发，先沿y 轴到达G 点，再沿GA 到达A 点。

若P 点在y 轴上运动的速度是它在直线GA 上运动速度的2倍，试确定G 点的位置，使P 点按照上述要求到达A 点所用的时间最短。

（要求：简述确定G 点位置的方法，但不要求证明）2、（09年济南24题）已知抛物线2y ax bx c =++的对称轴为1x =-，与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中A （－3，0），C （0，－2）。

（1）求这条抛物线的函数表达式（2）已知在对称轴上存在一点P ，使得△PBC 的周长最小，请求出点P 的坐标 （3）若点D 是线段OC 上的一个动点（不与点O 、点C 重合），过点D 作DE ∥PC 交x 轴于点E ，连结PD 、PE 。

设CD 的长为m ，△PDE 的面积为S ，求S 与m 之间的函数关系式。

试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由。

xy ODEACB3、（09年内江27题）如图，已知点A （－1，0），B （3，0），C （0，t ），且t >0，tan ∠BAC ＝3，抛物线经过A 、B 、C 三点，点P （2，m ）是抛物线与直线:(1)l y k x =+的一个交点。

（1）求抛物线的解析式； （2）对于动点Q （1，n ），求PQ+QB 的最小值；（3）若动点M 在直线l 上方的抛物线上运动，求△AMP 的边AP 上的高h 的最大值。

分线上，设这条直线与BC交于点E，与AB交于点F．设AP＝2m．作OM⊥BP于M，那
么BM＝PM＝5－m．在Rt△BEF中，BE＝2，∠B＝60°，所以BF＝4．在Rt△OFM中，
FM＝BF－BM＝4－(5－m)＝m－1，∠OFM＝30°，所以OM＝
3(m
1)．
3
所以OB2＝BM2＋OM2＝(5
m)21(m
由直线AC：y＝－2x－6，可得H(x,－2x－6)．又因为P(x,2x2＋4x－6)，所以HP＝－2x2－6x．因为△PAH与△PCH有公共底边HP，高的和为A、C两点间的水平距离3，所以
2
挑战中考系列(数学)
S＝S△APC＝S△APH＋S△CPH＝3
(－2x2－6x)＝3(x
3
)2
27．
2
2
4
例2
P看上去象是AB的中点，其实离得很近而已．
思路点拨1．第（2）题先确定△PCB是直角三角形，再验证两个三角形是否相似．
2．第（3）题理解△PCB的外接圆的圆心
O很关键，圆心O在确定的BC的垂直平分
线上，同时又在不确定的
BP的垂直平分线上．而BP与AP是相关的，这样就可以以
AP为
自变量，求S的函数关系式．图文解析
问题1，为什么设
AP＝2m呢？这是因为线段A以减少一些分数运算．这不影响求
S的最小值．
问题2，如果圆心O在线段EF的延长线上，S关于m的解析式是什么？
如图6，圆心O在线段EF的延长线上时，不同的是
FM＝BM－BF＝(5－m)－4＝1－m．
x的值；若不
存在，请说明理由；图1
（3）设△ADP与△PCB的外接圆的面积分别为
S1、S2，若S＝S1＋

中考数学压轴题及解析分类汇编中考数学压轴：相似三角形问题中考数学压轴：等腰三角形问题中考数学压轴：直角三角形问题中考数学压轴：平行四边形问题中考数学压轴：梯形问题中考数学压轴：面积问题2016中考数学压轴题:函数相似三角形问题(一)例1、直线113y x =-+分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转90°后得到△COD ，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A 、C 、D 三点．(1) 写出点A 、B 、C 、D 的坐标；(2) 求经过A 、C 、D 三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G 的坐标；(3) 在直线BG 上是否存在点Q ，使得以点A 、B 、Q 为顶点的三角形与△COD 相似？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．图1思路点拨1．图形在旋转过程中，对应线段相等，对应角相等，对应线段的夹角等于旋转角．2．用待定系数法求抛物线的解析式，用配方法求顶点坐标．3．第（3）题判断∠ABQ ＝90°是解题的前提．4．△ABQ 与△COD 相似，按照直角边的比分两种情况，每种情况又按照点Q 与点B 的位置关系分上下两种情形，点Q 共有4个．满分解答（1）A (3，0)，B (0，1)，C (0，3)，D (－1，0)．（2）因为抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A (3，0)、C (0，3)、D (－1，0) 三点，所以930,3,0.a b c c a b c ++=⎧⎪=⎨⎪-+=⎩ 解得1,2,3.a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩所以抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，顶点G 的坐标为(1，4)．（3）如图2，直线BG 的解析式为y ＝3x ＋1，直线CD 的解析式为y ＝3x ＋3，因此CD //BG ．因为图形在旋转过程中，对应线段的夹角等于旋转角，所以AB ⊥CD ．因此AB ⊥BG ，即∠ABQ ＝90°．因为点Q 在直线BG 上，设点Q 的坐标为(x ，3x ＋1)，那么BQ ==． Rt △COD 的两条直角边的比为1∶3，如果Rt △ABQ 与Rt △COD 相似，存在两种情况： ①当3BQ BA =3=．解得3x =±．所以1(3,10)Q ，2(3,8)Q --． ②当13BQ BA =13=．解得13x =±．所以31(,2)3Q ，41(,0)3Q -．图2 图3考点伸展第（3）题在解答过程中运用了两个高难度动作：一是用旋转的性质说明AB ⊥BG ；二是BQ =．我们换个思路解答第（3）题：如图3，作GH ⊥y 轴，QN ⊥y 轴，垂足分别为H 、N ．通过证明△AOB ≌△BHG ，根据全等三角形的对应角相等，可以证明∠ABG ＝90°． 在Rt △BGH 中，sin 1∠=，cos 1∠=． ①当3BQ BA=时，BQ = 在Rt △BQN 中，sin 13QN BQ =⋅∠=，cos 19BN BQ =⋅∠=．当Q 在B 上方时，1(3,10)Q ；当Q 在B 下方时，2(3,8)Q --． ②当13BQ BA =时，BQ =31(,2)3Q ，41(,0)3Q -． 例2、 Rt △ABC 在直角坐标系内的位置如图1所示，反比例函数(0)k y k x=≠在第一象限内的图像与BC 边交于点D （4，m ），与AB 边交于点E （2，n ），△BDE 的面积为2．（1）求m 与n 的数量关系；（2）当tan ∠A ＝12时，求反比例函数的解析式和直线AB 的表达式； （3）设直线AB 与y 轴交于点F ，点P 在射线FD 上，在（2）的条件下，如果△AEO 与△EFP 相似，求点P 的坐标．图1思路点拨1．探求m 与n 的数量关系，用m 表示点B 、D 、E 的坐标，是解题的突破口．2．第（2）题留给第（3）题的隐含条件是FD //x 轴．3．如果△AEO 与△EFP 相似，因为夹角相等，根据对应边成比例，分两种情况． 满分解答（1）如图1，因为点D （4，m ）、E （2，n ）在反比例函数k y x =的图像上，所以4,2.m k n k =⎧⎨=⎩ 整理，得n ＝2m ．（2）如图2，过点E 作EH ⊥BC ，垂足为H ．在Rt △BEH 中，tan ∠BEH ＝tan ∠A ＝12，EH ＝2，所以BH ＝1．因此D (4，m )，E (2，2m )，B (4，2m ＋1)． 已知△BDE 的面积为2，所以11(1)2222BD EH m ⋅=+⨯=．解得m ＝1．因此D (4，1)，E (2，2)，B (4，3)．因为点D （4，1）在反比例函数k y x =的图像上，所以k ＝4．因此反比例函数的解析式为4y x=． 设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b ，代入B (4，3)、E (2，2)，得34,22.k b k b=+⎧⎨=+⎩ 解得12k =，1b =．因此直线AB 的函数解析式为112y x =+．图2 图3 图4（3）如图3，因为直线112y x =+与y 轴交于点F （0，1），点D 的坐标为（4，1），所以FD // x 轴，∠EFP ＝∠EAO ．因此△AEO 与△EFP 相似存在两种情况：①如图3，当EA EF AO FP=时，2FP =．解得FP ＝1．此时点P 的坐标为（1，1）．②如图4，当EA FPAO EF ==．解得FP ＝5．此时点P 的坐标为（5，1）．考点伸展 本题的题设部分有条件“Rt △ABC 在直角坐标系内的位置如图1所示”，如果没有这个条件限制，保持其他条件不变，那么还有如图5的情况：第（1）题的结论m 与n 的数量关系不变．第（2）题反比例函数的解析式为12y x =-，直线AB 为172y x =-．第（3）题FD 不再与x 轴平行，△AEO 与△EFP 也不可能相似．图52016中考数学压轴题函数相似三角形问题(二)例3、如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、B1的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)．用含S的代数式表示x2－x1，并求出当S=36时点A1的坐标；（3）在图1中，设点D的坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．图1 图2思路点拨1．第（2）题用含S的代数式表示x2－x1，我们反其道而行之，用x1，x2表示S．再注意平移过程中梯形的高保持不变，即y2－y1＝3．通过代数变形就可以了．2．第（3）题最大的障碍在于画示意图，在没有计算结果的情况下，无法画出准确的位置关系，因此本题的策略是先假设，再说理计算，后验证．3．第（3）题的示意图，不变的关系是：直线AB 与x 轴的夹角不变，直线AB 与抛物线的对称轴的夹角不变．变化的直线PQ 的斜率，因此假设直线PQ 与AB 的交点G 在x 轴的下方，或者假设交点G 在x 轴的上方．满分解答（1）抛物线的对称轴为直线1x =，解析式为21184y x x =-，顶点为M （1，18-）． （2） 梯形O 1A 1B 1C 1的面积12122(11)3()62x x S x x -+-⨯3==+-，由此得到1223s x x +=+．由于213y y -=，所以22212211111138484y y x x x x -=--+=．整理，得212111()()384x x x x ⎡⎤-+-=⎢⎥⎣⎦．因此得到2172x x S -=． 当S =36时，212114,2.x x x x +=⎧⎨-=⎩ 解得126,8.x x =⎧⎨=⎩ 此时点A 1的坐标为（6，3）． （3）设直线AB 与PQ 交于点G ，直线AB 与抛物线的对称轴交于点E ，直线PQ 与x 轴交于点F ，那么要探求相似的△GAF 与△GQE ，有一个公共角∠G ．在△GEQ 中，∠GEQ 是直线AB 与抛物线对称轴的夹角，为定值．在△GAF 中，∠GAF 是直线AB 与x 轴的夹角，也为定值，而且∠GEQ ≠∠GAF ． 因此只存在∠GQE ＝∠GAF 的可能，△GQE ∽△GAF ．这时∠GAF ＝∠GQE ＝∠PQD ． 由于3tan 4GAF ∠=，tan 5DQ t PQD QP t ∠==-，所以345t t =-．解得207t =．图3 图4例4、如图1，已知点A (-2，4) 和点B (1，0)都在抛物线22y mx mx n=++上．（1）求m、n；（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，若四边形A A′B′B为菱形，求平移后抛物线的表达式；（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AB′的交点为C，试在x轴上找一个点D，使得以点B′、C、D为顶点的三角形与△ABC相似．图1思路点拨1．点A与点B的坐标在3个题目中处处用到，各具特色．第（1）题用在待定系数法中；第（2）题用来计算平移的距离；第（3）题用来求点B′的坐标、AC和B′C的长．2．抛物线左右平移，变化的是对称轴，开口和形状都不变．3．探求△ABC 与△B ′CD 相似，根据菱形的性质，∠BAC ＝∠CB ′D ，因此按照夹角的两边对应成比例，分两种情况讨论．满分解答(1) 因为点A (-2，4) 和点B (1，0)都在抛物线22y mx mx n =++上，所以444,20.m m n m m n -+=⎧⎨++=⎩ 解得43m =-，4n =． (2)如图2，由点A (-2，4) 和点B (1，0)，可得AB ＝5．因为四边形A A ′B ′B 为菱形，所以A A ′＝B ′B ＝ AB ＝5．因为438342+--=x x y ()2416133x =-++，所以原抛物线的对称轴x ＝－1向右平移5个单位后，对应的直线为x ＝4． 因此平移后的抛物线的解析式为()3164342,+--=x y ．图2(3) 由点A (-2，4) 和点B ′ (6，0)，可得A B ′＝如图2，由AM //CN ，可得''''B N B C B M B A=，即28=．解得'B C =AC =ABC 与△B ′CD 中，∠BAC ＝∠CB ′D ．①如图3，当''AB B C AC B D ==，解得'3B D =．此时OD ＝3，点D 的坐标为（3，0）．②如图4，当''AB B D AC B C ==，解得5'3B D =．此时OD ＝133，点D 的坐标为（133，0）．图3 图4考点伸展在本题情境下，我们还可以探求△B ′CD 与△AB B ′相似，其实这是有公共底角的两个等腰三角形，容易想象，存在两种情况．我们也可以讨论△B ′CD 与△C B B ′相似，这两个三角形有一组公共角∠B ，根据对应边成比例，分两种情况计算．2016中考数学压轴题函数相似三角形问题(三)例5 、 如图1，抛物线经过点A (4，0)、B （1，0)、C （0，－2）三点． （1）求此抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上的一个动点，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，是否存在点P ，使得以A 、P 、M 为顶点的三角形与△OAC 相似？若存在，请求出符合条件的 点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC 上方的抛物线是有一点D ，使得△DCA 的面积最大，求出点D 的坐标．,图1思路点拨1．已知抛物线与x 轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便． 2．数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长． 3．按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程．4．把△DCA 可以分割为共底的两个三角形，高的和等于OA ． 满分解答（1）因为抛物线与x 轴交于A (4，0)、B （1，0)两点，设抛物线的解析式为)4)(1(--=x x a y ，代入点C 的 坐标（0，－2），解得21-=a ．所以抛物线的解析式为22521)4)(1(212-+-=---=x x x x y ．（2）设点P 的坐标为))4)(1(21,(---x x x ． ①如图2，当点P 在x 轴上方时，1＜x ＜4，)4)(1(21---=x x PM ，x AM -=4．如果2==CO AOPM AM ，那么24)4)(1(21=----x x x ．解得5=x 不合题意． 如果21==CO AO PM AM ，那么214)4)(1(21=----x x x ．解得2=x ．此时点P 的坐标为（2，1）．②如图3，当点P 在点A 的右侧时，x ＞4，)4)(1(21--=x x PM ，4-=x AM ． 解方程24)4)(1(21=---x x x ，得5=x ．此时点P 的坐标为)2,5(-．解方程214)4)(1(21=---x x x ，得2=x 不合题意．③如图4，当点P 在点B 的左侧时，x ＜1，)4)(1(21--=x x PM ，x AM -=4． 解方程24)4)(1(21=---x x x ，得3-=x ．此时点P 的坐标为)14,3(--．解方程214)4)(1(21=---x x x ，得0=x ．此时点P 与点O 重合，不合题意．综上所述，符合条件的 点P 的坐标为（2，1）或)14,3(--或)2,5(-．图2 图3 图4 （3）如图5，过点D 作x 轴的垂线交AC 于E ．直线AC 的解析式为221-=x y ． 设点D 的横坐标为m )41(<<m ，那么点D 的坐标为)22521,(2-+-m m m ，点E 的坐标为)221,(-m m ．所以)221()22521(2---+-=m m m DE m m 2212+-=．因此4)221(212⨯+-=∆m m S DAC m m 42+-=4)2(2+--=m ． 当2=m 时，△DCA 的面积最大，此时点D 的坐标为（2，1）．图5 图6考点伸展第（3）题也可以这样解：如图6，过D 点构造矩形OAMN ，那么△DCA 的面积等于直角梯形CAMN 的面积减去△CDN 和△ADM 的面积．设点D 的横坐标为（m ，n ）)41(<<m ，那么42)4(21)2(214)22(21++-=--+-⨯+=n m m n n m n S ． 由于225212-+-=m m n ，所以m m S 42+-=． 例6 、 如图1，△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，cos A ＝310．D 为射线BA 上的点（点D 不与点B 重合），作DE //BC 交射线CA 于点E .．(1) 若CE ＝x ，BD ＝y ，求y 与x 的函数关系式，并写出函数的定义域； (2) 当分别以线段BD ，CE 为直径的两圆相切时，求DE 的长度；(3) 当点D 在AB 边上时，BC 边上是否存在点F ，使△ABC 与△DEF 相似？若存在，请求出线段BF 的长；若不存在，请说明理由．图1 备用图备用图思路点拨1．先解读背景图，△ABC是等腰三角形，那么第（3）题中符合条件的△DEF也是等腰三角形．2．用含有x的式子表示BD、DE、MN是解答第（2）题的先决条件，注意点E的位置不同，DE、MN表示的形式分两种情况．3．求两圆相切的问题时，先罗列三要素，再列方程，最后检验方程的解的位置是否符合题意．4．第（3）题按照DE为腰和底边两种情况分类讨论，运用典型题目的结论可以帮助我们轻松解题．满分解答（1）如图2，作BH⊥AC，垂足为点H．在Rt△ABH中，AB＝5，cosA＝310AHAB=，所以AH＝32＝12AC．所以BH垂直平分AC，△ABC 为等腰三角形，AB＝CB＝5．因为DE//BC，所以AB ACDB EC=，即53y x=．于是得到53y x=，（0x>）．（2）如图3，图4，因为DE//BC，所以DE AEBC AC=，MN ANBC AC=，即|3|53DE x-=，1|3|253xMN-=．因此5|3|3xDE-=，圆心距5|6|6xMN-=．图2 图3 图4在⊙M 中，115226M r BD y x ===，在⊙N 中，1122N r CE x ==． ①当两圆外切时，5162x x +5|6|6x -=．解得3013x =或者10x =-． 如图5，符合题意的解为3013x =，此时5(3)15313x DE -==． ②当两圆内切时，5162x x -5|6|6x -=． 当x ＜6时，解得307x =，如图6，此时E 在CA 的延长线上，5(3)1537x DE -==； 当x ＞6时，解得10x =，如图7，此时E 在CA 的延长线上，5(3)3533x DE -==．图5 图6 图7（3）因为△ABC 是等腰三角形，因此当△ABC 与△DEF 相似时，△DEF 也是等腰三角形．如图8，当D 、E 、F 为△ABC 的三边的中点时，DE 为等腰三角形DEF 的腰，符合题意，此时BF ＝2.5．根据对称性，当F 在BC 边上的高的垂足时，也符合题意，此时BF ＝4.1．如图9，当DE 为等腰三角形DEF 的底边时，四边形DECF 是平行四边形，此时12534BF =．图8 图9 图10 图11考点伸展:第（3）题的情景是一道典型题，如图10，如图11，AH 是△ABC 的高，D 、E 、F 为△ABC 的三边的中点，那么四边形DEHF 是等腰梯形．例 7 如图1，在直角坐标系xOy 中，设点A （0，t ），点Q （t ，b ）．平移二次函数2tx y -=的图象，得到的抛物线F 满足两个条件：①顶点为Q ；②与x 轴相交于B 、C 两点（∣OB ∣<∣OC ∣），连结A ，B ．（1）是否存在这样的抛物线F ，使得OC OB OA ⋅=2？请你作出判断，并说明理由； （2）如果AQ ∥BC ，且tan ∠ABO ＝23，求抛物线F 对应的二次函数的解析式．思路点拨1．数形结合思想，把OC OB OA ⋅=2转化为212t x x =⋅．2．如果AQ ∥BC ，那么以OA 、AQ 为邻边的矩形是正方形，数形结合得到t ＝b ． 3．分类讨论tan ∠ABO ＝23，按照A 、B 、C 的位置关系分为四种情况．A 在y 轴正半轴时，分为B 、C 在y 轴同侧和两侧两种情况；A 在y 轴负半轴时，分为B 、C 在y 轴同侧和两侧两种情况． 满分解答（1）因为平移2tx y -=的图象得到的抛物线F 的顶点为Q （t ，b ），所以抛物线F 对应的解析式为b t x t y +--=2)(．因为抛物线与x 轴有两个交点，因此0>b t ．令0=y ，得-=t OB t b，+=t OC tb ． 所以-=⋅t OC OB (|||||tb)( +t t b )|-=2|t 22|OA t tb ==．即22bt t t-=±．所以当32t b =时，存在抛物线F 使得||||||2OC OB OA ⋅=． （2）因为AQ //BC ，所以t ＝b ，于是抛物线F 为t t x t y +--=2)(．解得1,121+=-=t x t x ．①当0>t 时，由||||OC OB <，得)0,1(-t B ．如图2，当01>-t 时，由=∠ABO tan 23=||||OB OA =1-t t ，解得3=t ．此时二次函数的解析式为241832-+-=x x y ．如图3，当01<-t 时，由=∠ABO tan 23=||||OB OA =1+-t t ，解得=t 53．此时二次函数的解析式为-=y 532x ＋2518x ＋12548．图2 图3②如图4，如图5，当0<t 时，由||||OC OB <，将t -代t ,可得=t 53-，3-=t ．此时二次函数的解析式为=y 532x ＋2518x －12548或241832++=x x y ．图4 图5考点伸展第（2）题还可以这样分类讨论：因为AQ //BC ，所以t ＝b ，于是抛物线F 为2()y t x t t =--+．由3ta n 2OA ABO OB ∠==，得23OB OA =． ①把2(,0)3B t 代入2()y t x t t =--+，得3t =±（如图2，图5）．②把2(,0)3B t -代入2()y t x t t =--+，得35t =±（如图3，图4）．2016中考数学压轴题函数等腰三角形问题(一)例1、如图1，已知正方形OABC 的边长为2，顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上，M 是BC 的中点．P (0,m )是线段OC 上一动点（C 点除外），直线PM 交AB 的延长线于点D ．（1）求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）； （2）当△APD 是等腰三角形时，求m 的值；（3）设过P 、M 、B 三点的抛物线与x 轴正半轴交于点E ，过点O 作直线ME 的垂线，垂足为H （如图2）．当点P 从O 向C 运动时，点H 也随之运动．请直接写出点H 所经过的路长（不必写解答过程）．图1 图2思路点拨1．用含m 的代数式表示表示△APD 的三边长，为解等腰三角形做好准备． 2．探求△APD 是等腰三角形，分三种情况列方程求解．3．猜想点H 的运动轨迹是一个难题．不变的是直角，会不会找到不变的线段长呢？Rt △OHM 的斜边长OM 是定值，以OM 为直径的圆过点H 、C ． 满分解答（1）因为PC //DB ，所以1CP PM MCBD DM MB===．因此PM ＝DM ，CP ＝BD ＝2－m ．所以AD ＝4－m ．于是得到点D 的坐标为(2，4－m )．（2）在△APD 中，22(4)AD m =-，224AP m =+，222(2)44(2)PD PM m ==+-． ①当AP ＝AD 时，2(4)m -24m =+．解得32m =（如图3）． ②当PA ＝PD 时，24m +244(2)m =+-．解得43m =（如图4）或4m =（不合题意，舍去）．③当DA ＝DP 时，2(4)m -244(2)m =+-．解得23m =（如图5）或2m =（不合题意，舍去）．综上所述，当△APD 为等腰三角形时，m 的值为32，43或23．图3 图4 图5（3）点H ．考点伸展第（2）题解等腰三角形的问题，其中①、②用几何说理的方法，计算更简单：①如图3，当AP ＝AD 时，AM 垂直平分PD ，那么△PCM ∽△MBA ．所以12PC MB CM BA ==．因此12PC =，32m =． ②如图4，当PA ＝PD 时，P 在AD 的垂直平分线上．所以DA ＝2PO ．因此42m m -=．解得43m =． 第（2）题的思路是这样的：如图6，在Rt △OHM 中，斜边OM 为定值，因此以OM 为直径的⊙G 经过点H ，也就是说点H 在圆弧上运动．运动过的圆心角怎么确定呢？如图7，P 与O 重合时，是点H 运动的起点，∠COH ＝45°，∠CGH ＝90°．图6 图7例2 如图1，已知一次函数y ＝－x ＋7与正比例函数43y x =的图象交于点A ，且与x 轴交于点B ．（1）求点A 和点B 的坐标；（2）过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，过点B 作直线l //y轴．动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C —A 的路线向点A 运动；同时直线l 从点B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l 交x 轴于点R ，交线段BA 或线段AO 于点Q ．当点P 到达点A 时，点P和直线l 都停止运动．在运动过程中，设动点P 运动的时间为t 秒．①当t 为何值时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8？ ②是否存在以A 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．图1思路点拨1．把图1复制若干个，在每一个图形中解决一个问题．2．求△APR 的面积等于8，按照点P 的位置分两种情况讨论．事实上，P 在CA 上运动时，高是定值4，最大面积为6，因此不存在面积为8的可能．3．讨论等腰三角形APQ ，按照点P 的位置分两种情况讨论，点P 的每一种位置又要讨论三种情况．满分解答（1）解方程组7,4,3y x y x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩得3,4.x y =⎧⎨=⎩ 所以点A 的坐标是(3，4)． 令70y x =-+=，得7x =．所以点B 的坐标是(7，0)．（2）①如图2，当P 在OC 上运动时，0≤t ＜4．由8A P R A C PP O R C O R A S S S S =--=△△△梯形，得1113+7)44(4)(7)8222t t t t -⨯-⨯⨯--⨯-=（．整理，得28120t t -+=．解得t ＝2或t ＝6（舍去）．如图3，当P 在CA 上运动时，△APR 的最大面积为6．因此，当t ＝2时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8．图2 图3 图4②我们先讨论P 在OC 上运动时的情形，0≤t ＜4．如图1，在△AOB 中，∠B ＝45°，∠AOB ＞45°，OB ＝7，AB =OB ＞AB ．因此∠OAB ＞∠AOB ＞∠B ．如图4，点P 由O 向C 运动的过程中，OP ＝BR ＝RQ ，所以PQ //x 轴．因此∠AQP ＝45°保持不变，∠PAQ 越来越大，所以只存在∠APQ ＝∠AQP 的情况． 此时点A 在PQ 的垂直平分线上，OR ＝2CA ＝6．所以BR ＝1，t ＝1．我们再来讨论P 在CA 上运动时的情形，4≤t ＜7．在△APQ 中， 3cos 5A ∠=为定值，7AP t =-，5520333AQ OA OQ OA OR t =-=-=-． 如图5，当AP ＝AQ 时，解方程520733t t -=-，得418t =． 如图6，当QP ＝QA 时，点Q 在PA 的垂直平分线上，AP ＝2(OR －OP )．解方程72[(7)(4)]t t t -=---，得5t =．如7，当PA ＝PQ 时，那么12cos AQ A AP∠=．因此2cos AQ AP A =⋅∠．解方程52032(7)335t t -=-⨯，得22643t =． 综上所述，t ＝1或418或5或22643时，△APQ 是等腰三角形．图5 图6 图7考点伸展当P在CA上，QP＝QA时，也可以用2cosAP AQ A=⋅∠来求解．2016中考数学压轴题函数等腰三角形问题(二)例3 如图1，在直角坐标平面内有点A(6, 0)，B(0, 8)，C(－4, 0)，点M、N分别为线段AC和射线AB上的动点，点M以2个单位长度/秒的速度自C向A方向作匀速运动，点N以5个单位长度/秒的速度自A向B方向作匀速运动，MN交OB于点P．(1)求证：MN∶NP为定值；(2)若△BNP与△MNA相似，求CM的长；(3)若△BNP是等腰三角形，求CM的长．图1思路点拨1．第（1）题求证MN ∶NP 的值要根据点N 的位置分两种情况．这个结论为后面的计算提供了方便．2．第（2）题探求相似的两个三角形有一组邻补角，通过说理知道这两个三角形是直角三角形时才可能相似．3．第（3）题探求等腰三角形，要两级（两层）分类，先按照点N 的位置分类，再按照顶角的顶点分类．注意当N 在AB 的延长线上时，钝角等腰三角形只有一种情况．4．探求等腰三角形BNP ，N 在AB 上时，∠B 是确定的，把夹∠B 的两边的长先表示出来，再分类计算．满分解答(1)如图2，图3，作NQ ⊥x 轴，垂足为Q ．设点M 、N 的运动时间为t 秒．在Rt △ANQ 中，AN ＝5t ，NQ ＝4t ，AQ ＝3t ．在图2中，QO ＝6－3t ，MQ ＝10－5t ，所以MN ∶NP ＝MQ ∶QO ＝5∶3．在图3中，QO ＝3t －6，MQ ＝5t －10，所以MN ∶NP ＝MQ ∶QO ＝5∶3．(2)因为△BNP 与△MNA 有一组邻补角，因此这两个三角形要么是一个锐角三角形和一个钝角三角形，要么是两个直角三角形．只有当这两个三角形都是直角三角形时才可能相似．如图4，△BNP ∽△MNA ，在Rt △AMN 中，35AN AM =，所以531025t t =-．解得3031t =．此时CM 6031=．图2 图3 图4(3)如图5，图6，图7中，OP MP QN MN =，即245OP t =．所以85OP t =． ①当N 在AB 上时，在△BNP 中，∠B 是确定的，885BP t =-，105BN t =-． (Ⅰ)如图5，当BP ＝BN 时，解方程881055t t -=-，得1017t =．此时CM 2017=． (Ⅱ)如图6，当NB ＝NP 时，45BE BN =．解方程()1848105255t t ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，得54t =．此时CM 52=． (Ⅲ)当PB ＝PN 时，1425BN BP =．解方程()1481058255t t ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，得t 的值为负数，因此不存在PB ＝PN 的情况．②如图7，当点N 在线段AB 的延长线上时，∠B 是钝角，只存在BP ＝BN 的可能，此时510BN t =-．解方程885105t t -=-，得3011t =．此时CM 6011=．图5 图6 图7考点伸展如图6，当NB ＝NP 时，△NMA 是等腰三角形，1425BN BP =，这样计算简便一些．例4、如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝m （m 是大于0的常数），BC ＝8，E 为线段BC 上的动点（不与B 、C 重合）．连结DE ，作EF ⊥DE ，EF 与射线BA 交于点F ，设CE ＝x ，BF ＝y ．（1）求y 关于x 的函数关系式；（2）若m ＝8，求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？（3）若12y m=，要使△DEF 为等腰三角形，m 的值应为多少？图1思路点拨1．证明△DCE ∽△EBF ，根据相似三角形的对应边成比例可以得到y 关于x 的函数关系式．2．第（2）题的本质是先代入，再配方求二次函数的最值．3．第（3）题头绪复杂，计算简单，分三段表达．一段是说理，如果△DEF 为等腰三角形，那么得到x ＝y ；一段是计算，化简消去m ，得到关于x 的一元二次方程，解出x 的值；第三段是把前两段结合，代入求出对应的m 的值．满分解答(1)因为∠EDC 与∠FEB 都是∠DEC 的余角，所以∠EDC ＝∠FEB ．又因为∠C ＝∠B ＝90°，所以△DCE ∽△EBF ．因此DC EB CE BF=，即8m x x y -=．整理，得y 关于x 的函数关系为218y x x m m=-+． (2)如图2，当m ＝8时，2211(4)288y x x x =-+=--+．因此当x ＝4时，y 取得最大值为2．(3) 若12y m =，那么21218x x m m m=-+．整理，得28120x x -+=．解得x ＝2或x ＝6．要使△DEF 为等腰三角形，只存在ED ＝EF 的情况．因为△DCE ∽△EBF ，所以CE ＝BF ，即x ＝y ．将x ＝y ＝2代入12y m =，得m ＝6（如图3）；将x ＝y ＝6代入12y m=，得m ＝2（如图4）．图2 图3 图4考点伸展本题中蕴涵着一般性与特殊性的辩证关系，例如：由第（1）题得到218y x x m m =-+221116(8)(4)x x x m m m=--=--+， 那么不论m 为何值，当x ＝4时，y 都取得最大值．对应的几何意义是，不论AB 边为多长，当E 是BC 的中点时，BF 都取得最大值．第（2）题m ＝8是第（1）题一般性结论的一个特殊性．再如，不论m 为小于8的任何值，△DEF 都可以成为等腰三角形，这是因为方程218x x x m m=-+总有一个根8x m =-的．第（3）题是这个一般性结论的一个特殊性． 2016中考数学压轴题函数相似三角形问题(三)例5 已知：如图1，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA ＝2，OC ＝3，过原点O 作∠AOC 的平分线交AB 于点D ，连接DC ，过点D 作DE ⊥DC ，交OA 于点E ．（1）求过点E 、D 、C 的抛物线的解析式；（2）将∠EDC 绕点D 按顺时针方向旋转后，角的一边与y 轴的正半轴交于点F ，另一边与线段OC 交于点G ．如果DF 与（1）中的抛物线交于另一点M ，点M 的横坐标为56，那么EF ＝2GO 是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）对于（2）中的点G ，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q ，使得直线GQ 与AB 的交点P 与点C 、G 构成的△PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在成立，请说明理由．图1思路点拨1．用待定系数法求抛物线的解析式，这个解析式在第（2）、（3）题的计算中要用到．2．过点M 作MN ⊥AB ，根据对应线段成比例可以求FA 的长．3．将∠EDC 绕点D 旋转的过程中，△DCG 与△DEF 保持全等．4．第（3）题反客为主，分三种情况讨论△PCG 为等腰三角形，根据点P 的位置确定点Q 的位置，再计算点Q 的坐标．满分解答（1）由于OD 平分∠AOC ，所以点D 的坐标为（2，2），因此BC ＝AD ＝1． 由于△BCD ≌△ADE ，所以BD ＝AE ＝1，因此点E 的坐标为（0，1）．设过E 、D 、C 三点的抛物线的解析式为c bx ax y ++=2，那么⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=.039,224,1c b a c b a c 解得65-=a ，613=b 1=c ．因此过E 、D 、C 三点的抛物线的解析式为1613652++-=x x y ．（2）把56=x 代入1613652++-=x x y ，求得512=y ．所以点M 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛512,56． 如图2，过点M 作MN ⊥AB ，垂足为N ，那么DADN FA MN =，即25622512-=-FA ．解得1=FA ． 因为∠EDC 绕点D 旋转的过程中，△DCG ≌△DEF ，所以CG ＝EF ＝2．因此GO ＝1，EF ＝2GO ．（3）在第（2）中，GC ＝2．设点Q 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛++-161365,2x x x ． ①如图3，当CP ＝CG ＝2时，点P 与点B （3，2）重合，△PCG 是等腰直角三角形．此时G Q Q x x y -=，因此11613652-=++-x x x 。

2017全国各地中考数学压轴题汇编之一1．（2017江苏淮安，28，14分）如图①，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝213x bx c-++的图像与坐标轴交于A 、B 、C 三点，其中点A 的坐标为（－3，0），点B 的坐标为（4，0），连接AC ，BC ．动点P 从点A 出发，在线段AC 上以每秒1个单位长度的速度向点C 作匀速运动；同时，动点Q 从点O 出发，在线段OB 上以每秒1个单位长度的速度向点B 作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t 秒．连接PQ ． （1）填空：b ＝________，c ＝________；（2）在点P 、Q 运动过程中，△APQ 可能是直角三角形吗？请说明理由；（3）在x 轴下方，该二次函数的图像上是否存在点M ，使△PQM 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出运动时间t ；若不存在，请说明理由； （4）如图②，点N 的坐标为（32-，0），线段PQ 的中点为H ，连接NH ，当点Q 关于直线NH 的对称点Q ′恰好落在线段BC 上时，请直接写出点Q ′的坐标．【分析】（1）将A （－3，0）、B （4，0）代入y ＝213x bx c -++即可求解；（2）若△APQ 为直角三角形，则∠APQ ＝90°（∠PAQ 与∠PQA 不可能为直角）．连接QC ，则AQ 2－AP 2＝QC 2－PC2＝PQ 2，据此列出关于t 的方程求解，若t 的值满足0≤t ≤4，则△APQ 可能是直角三角形，否则不可能；（3）①过点P 作DE ∥x 轴，分别过点M 、Q 作MD ⊥DE ，QE ⊥DE ，垂足分别为D 、E ，构成“一线三直角”全等模型，用含t 的式子表示点M 的坐标；②将点M 的坐标代入二次函数的表达式求解；（4）①分别求直线BC 、直线NQ ′的函数表达式；②解直线BC 、NQ ′的函数达式组成的方程组．【解析】（1）b ＝13，c ＝4．（2）在点P 、Q 运动过程中，△APQ 不可能是直角三角形．理由如下：若△APQ 是直角三角形，因为在点P 、Q 运动过程中，∠PAQ 、∠PQA 始终为锐角，所以∠APQ图①图② 备用图＝90°．∴AQ 2－AP 2＝QC 2－PC 2＝PQ 2． 连接QC ．由（1）知抛物线的函数表达式为y ＝211433x x -++，当x ＝0时，y ＝4．∴C （0，4）． ∴OC ＝4． ∵A （－3，0）， ∴OA ＝3．由题意，得AP ＝OQ ＝t ． ∴AQ ＝OA ＋OQ ＝3t +．在Rt △AOC 中，由勾股定理得AC5． ∴PC ＝5t -．在Rt △OCQ 中，QC 2＝OQ 2＋OC 2＝224t +．∵∠APQ ＝90°，∴AQ 2－AP 2＝QC 2－PC 2＝PQ 2． ∴22(3)t t +-＝2224(5)t t +--． 解得t ＝4.5． 由题意知0≤t ≤4．∴t ＝4.5不符合题意，舍去．∴在点P 、Q 运动过程中，△APQ 不可能是直角三角形．（3）如图，过点P 作DE ∥x 轴，分别过点M 、Q 作MD ⊥DE 、QE ⊥DE ，垂足分别为点D 、E ，MD 交x 轴于点F ，过点P 作PG ⊥x 轴，垂足为点G ，则PG ∥y 轴，∠D ＝∠E ＝90°．∴△APG ∽△ACO ． ∴PG OC ＝AG OA ＝AP AC ，即4PG ＝3AG ＝5t．∴PG＝45t，AG＝35t．∴PE＝GQ＝GO＋OQ＝AO－AG＋OQ＝335t t-+＝235t+，DF＝EQ＝45t．∵∠MPQ＝90°，∠D＝90°，∴∠DMP＋∠DPM＝∠EPQ＋∠DPM＝90°．∴∠DMP＝∠EPQ．又∵∠D＝∠E，PM＝PQ，∴△MDP≌△PEQ．∴PD＝EQ＝45t，MD＝PE＝235t+．∴AM＝MD－DF＝24355t t+-＝235t-，OF＝FG＋GO＝PD＋OA－AG＝43355t t+-＝135t+．∴M（135t--，235t-+）．∵点M在x轴下方的抛物线上，∴235t-+＝21111(3)(3)43535t t---+--+．解得t．∵0≤t≤4，∴t．（4）Q′（67，227）．提示：连接OP，取OP中点R，连接RH、NR，延长NR交线段BC于点Q′．∵点H为PQ的中点，点R为OP的中点，∴RH ＝12OQ ＝12t ，RH ∥OQ ． ∵A （－3，0）、N （32-，0）， ∴点N 为OA 的中点． 又∵点R 为OP 的中点， ∴NR ＝12AP ＝12t ，RN ∥AC ． ∴RH ＝NR ． ∴∠RNH ＝∠RHN ． ∵RH ∥OQ ， ∴∠RHN ＝∠HNO ．∴∠RNH ＝∠HNO ，即NH 是∠QNQ ′的平分线．设直线AC 的函数表达式为y ＝mx n +，把A （－3，0）、C （0，4）代入，得 034m n n =-+⎧⎨=⎩，． 解得m ＝43，n ＝4． ∴直线AC 的函数表达式为y ＝443x +．同理可求，直线BC 的函数表达式为y ＝4x -+．设直线NR 的函数表达式为y ＝43x s +，把N （32-，0）代入，得0＝43()32s ⨯-+．解得s ＝2．∴直线NR 的函数表达式为y ＝423x +．解方程组4234y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，得67227x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．， ∴Q ′（67，227）．2．(2017江苏南京，27，11分)折纸的思考．【操作体验】用一张矩形纸片折等边三角形．第一步，对折矩形纸片ABCD（AB＞BC）（图①），使AB与DC重合，得到折痕EF，把纸片展平（图②）．第二步，如图③，再一次折叠纸片，使点C落在EF上的P处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，折出PB，PC，得到△PB C．（1）说明△PBC是等边三角形．【数学思考】（2）如图④．小明画出了图③的矩形ABCD和等边三角形PB C．他发现，在矩形ABCD中把△PBC经过图形变化，可以得到图⑤中的更大的等边三角形．请描述图形变化的过程．（3）已知矩形一边长为3cm，另一边长为acm．对于每一个确定的a的值，在矩形中都能画出最大的等边三角形．请画出不同情形的示意图，并写出对应的a的取值范围．【问题解决】（4）用一张正方形铁片剪一个直角边长分别为4cm和1cm的直角三角形铁片，所需正方形铁片的边长的最小值为cm．【分析】（1）由折叠的性质，线段垂直平分线的性质可判断；（2）根据旋转的性质和位似变换直接作图，写出过程即可；（3）根据图形，由勾股定理和等边三角形的性质求解；（4）由勾股定理和正方形的性质的性质直接求解．【解析】（1）由折叠，PB＝PC，EF是BC的垂直平分线，∴PB＝PC，∴PB＝PC＝BC，∴△PBC是等边三角形．（2）本题答案不惟一．例如，如图，以点B为中心，在矩形ABCD中把△PBC逆时针方向旋转适当的角度，得到△P1B1C1；再以点B为位似中心，将△P1B1C1放大，使C1的对应点C2落在CD上，得到△P2BC2．（3）当等边三角形的边长为3cm，acm为高时，则a＝，当等边三角形的边长为a cm，3cm为高时，则a＝2，然后分0＜a≤，＜a＜2，a≥2画出示意图．（4）．当以4cm的直角边与正方形的边重合时，边长为4cm，正方形的面积为16cm2；当直角三角形的一个顶点与正方形的顶点重合，两外两个顶点在边上时，如图，∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠C＝∠D＝90°．∵∠BFE＝90°，∴∠BFC＋∠EFD＝90°，∠BFC＋∠CBF＝90°，∴∠EFD＝∠CBF，∴△BCF△FDE，∴BC∶DF＝BF∶EF．设BC＝a，由BF＝4，得CF＝，则DF＝a－，可知a∶( a－)＝4∶1解得a＝．正方形得面积为．因为＜16，所以a ＝．3．（2017江苏连云港，27，14分）问题呈现：如图1，点E 、F 、G 、H 分别在矩形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上，AE ＝DG ，求证：2S 四边形EFGH ＝S 矩形ABCD ．（S 表示面积）实验探究：某数学实验小组发现：若图1中AH ≠BF ，点G 在CD 上移动时，上述结论会发生变化，分别过点E 、G 作BC 边的平行线，再分别过点F 、H 作AB 边的平行线，四条平行线分别相交于点A 1、B 1、C 1、D 1，得到矩形A 1B 1C 1D 1．如图2，当AH ＞BF 时，若将点G 向点C 靠近（DG ＞AE ），经过探索，发现：2S 四边形EFGH ＝S 矩形ABCD ＋1111A B C D S 矩形．如图3，当AH ＞BF 时，若将点G 向点D 靠近（DG ＜AE ），请探索S 四边形EFGH 、S 矩形ABCD 与1111A B C D S 矩形之间的数量关系，并说明理由． 迁移应用：请直接应用“实验探究”中发现的结论解答下列问题：（1）如图4，点E 、F 、G 、H 分别是面积为25的正方形ABCD 各边上的点，已知AH ＞BF ，AE＞DG ，S 四边形EFGH ＝11，HF EG 的长．（2）如图5，在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝5，点E 、H 分别在边AB 、AD 上，BE ＝1，DH ＝2，点F 、G 分别是边BC 、CD 上的动点，且FG EF 、HG ，请直接写出四边形EFGH 面积的最大值．【分析】问题呈现：根据矩形的性质，通过割补法利用三角形的面积和矩形的面积可得到结论；实验探究：由题意得当将点G 向点D 靠近(DG AE <)时，通过割补法利用三角形的面积和矩形的面积可得到结论；迁移应用：(1)由上面的结论，结合图形，通过割补法利用三角形的面积和矩形的面积可得到结论；（2）直接根据规律写出结果即可. 【解析】问题呈现：证明：如图1中，∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ∥CD ，∠A ＝90°， ∵AE ＝DG ，∴四边形AEGD 是矩形， ∴S △HGE ＝12S 矩形AEGD ， 同理S △EGF ＝12S 矩形BEGC ， ∴S 四边形EFGH ＝S △HGE ＋S △EFG ＝12S 矩形BEGC ． 实验探究：结论：2S 四边形EFGH ＝S 矩形ABCD －1111A B C D S 矩形．理由：∵1EHC S △＝121AEC H S 矩形，1HGD S △＝121HDGD S 矩形，1EFB S △＝121EBFB S 矩形，1FGA S △＝121CFA G S 矩形， ∴S 四边形EFGH ＝1EHC S △＋1HGD S △＋1EFB S △＋1FGA S △－1111A B C D S 矩形， ∴2S 四边形EFGH ＝21EHC S △＋21HGD S △＋21EFB S △＋21FGA S △－21111A B C D S 矩形， ∴2S 四边形EFGH ＝S 矩形ABCD －1111A B C D S 矩形． 迁移应用：解：（1）如图4中，∵2S 四边形EFGH ＝S 矩形ABCD －1111A B C D S 矩形． ∴1111A B C D S 矩形＝25－2×11＝3＝A 1B 1·A 1D 1， ∵正方形的面积为25，∴边长为5， ∵A 1D 12＝HF 2－52＝29－25＝4， ∴A 1D 1＝2，A 1B 1＝32， ∴EG 2＝A 1B 12＋52＝1094，EG （2）∵2S 四边形EFGH ＝S 矩形ABCD ＋1111A B C D S 矩形．∴四边形A 1B 1C 1D 1面积最大时，矩形EFGH 的面积最大．①如图5－1中，当G 与C 重合时，四边形A 1B 1C 1D 1面积最大时，矩形EFGH 的面积最大．此时矩形A 1B 1C 1D 1面积＝1·2)②如图5－2中，当G与D重合时，四边形A1B1C1D1面积最大时，矩形EFGH的面积最大．此时矩形A1B1C1D1面积＝2·1＝2，∵22，∴矩形EFGH的面积最大值＝172．4．（2017江苏南通，28，13分）已知直线y＝kx＋b与抛物线y＝ax2（a＞0）相交于A、B 两点（点A在点B的左侧），与y轴正半轴相交于点C，过点A作AD⊥x轴，垂足为D．（1）若∠AOB＝60°，AB∥x轴，AB＝2，求a的值；（2）若∠AOB＝90°，点A的横坐标为－4，AC＝4BC，求点B的坐标；（3）延长AD、BO相交于点E，求证：DE＝CO．【分析】（1）如图1，由条件可知△AOB为等边三角形，则可求得OA的长，在Rt△AOD中可求得AD和OD的长，可求得A点坐标，代入抛物线解析式可得a的值；（2）如图2，作辅助线，构建平行线和相似三角形，根据CF∥BG，由A的横坐标为－4，得B的横坐标为1，所以A（－4，16a），B（1，a），证明△ADO∽△OEB，则AD ODOE BE＝，得a的值及B的坐标；（3）如图3，设AC＝nBC由（2）同理可知：A的横坐标是B的横坐标的n倍，则设B（m，am2），则A（－mn，am2n2），分别根据两三角形相似计算DE和CO的长即可得出结论．【解析】解：（1）如图1，∵抛物线y＝ax2的对称轴是y轴，且AB∥x轴，∴A与B是对称点，O是抛物线的顶点，∴OA＝OB，∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∵AB＝2，AB⊥OC，∴AC＝BC＝1，∠BOC＝30°，∴OC∴A（－1，把A（－1y＝ax2（a＞0）中得：a（2）如图2，过B作BE⊥x轴于E，过A作AG⊥BE，交BE延长线于点G，交y轴于F，∵CF∥BG，∴AC AF BC FG＝，∵AC＝4BC，∴AFFG＝4，∴AF＝4FG，∵A的横坐标为－4，∴B的横坐标为1，∴A（－4，16a），B（1，a），∵∠AOB＝90°，∴∠AOD＋∠BOE＝90°，∵∠AOD＋∠DAO＝90°，∴∠BOE＝∠DAO，∵∠ADO＝∠OEB＝90°，∴△ADO∽△OEB，∴AD OD OE BE＝，∴1641aa＝，∴16a2＝4，a＝±12，∵a＞0，∴a＝12；∴B（1，12）；（3）如图3，设AC＝nBC，由（2）同理可知：A 的横坐标是B 的横坐标的n 倍，则设B （m ，am 2），则A （－mn ，am 2n 2），∴AD ＝am 2n 2，过B 作BF ⊥x 轴于F ，∴DE ∥BF ，∴△BOF ∽△EOD ， ∴OB OF BF OE OD DE＝＝， ∴2OB m am OE mn DE＝＝， ∴1OB OE n＝，DE ＝am 2n ， ∴11OB BE n＝＋， ∵OC ∥AE ，∴△BCO ∽△BAE ， ∴11CO OB AE BE n ＝＝＋， ∴22211CO am n am n n＝＋＋， ∴CO ＝()211am n n n＋＋＝am 2n ， ∴DE ＝CO ．5．(2017江苏苏州，28，10分)如图，二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于 A 、B 两点，与y 轴交于点C ，OB ＝OC ．点D 在函数图象上，CD ∥x 轴，且CD ＝2，直线l 是抛物线的对称轴，E 是抛物线的顶点．(1)求b 、c 的值；(2)如图①，连接BE ，线段OC 上的点F 关于直线l 的对称点F '恰好在线段BE 上，求点F 的坐标；(3)如图②，动点P 在线段OB 上，过点P 作x 轴的垂线分别与BC 交于点M ，与抛物线交于点N ．试问：抛物线上是否存在点Q ，使得△PQN 与△APM 的面积相等，且线段NQ 的长度最小？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，说明理由．【分析】(1)由条件可求得抛物线对称轴，则可求得b 的值；由OB ＝OC ，可用c 表示出B 点坐标，代入抛物线解析式可求得c 的值；(2)可设F (0，m )，则可表示出F ′的坐标，由B 、E 的坐标可求得直线BE 的解析式，把F ′坐标代入直线BE 解析式可得到关于m 的方程，可求得F 点的坐标；(3)设点P 坐标为(n ，0)，可表示出PA 、PB 、PN 的长，作QR ⊥PN ，垂足为R ，则可求得QR 的长，用n 可表示出Q 、R 、N 的坐标，在Rt △QRN 中，由勾股定理可得到关于n 的二次函数，利用二次函数的性质可知其取得最小值时n 的值，则可求得Q 点的坐标，【解析】解：(1)∵CD ∥x 轴，CD ＝2，∴抛物线对称轴为x ＝1．∴-2b ＝2，b ＝-2． ∵OB ＝OC ，C (0，c )，∴B 点的坐标为(－c ，0)，∴0＝c2＋2c＋c，解得c＝－3或c＝0(舍去)，∴c＝－3；(2)设点F的坐标为(0，m)．∵对称轴为直线x＝1，∴点F关于直线l的对称点F的坐标为(2，m)．由(1)可知抛物线解析式为y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，∴E(1，－4)，∵直线BE经过点B(3，0)，E(1，－4)，∴利用待定系数法可得直线BE的表达式为y＝2x－6．∵点F在BE上，∴m＝2×2－6＝－2，即点F的坐标为(0，－2)；(3)存在点Q满足题意．设点P坐标为(n，0)，则PA＝n＋1，PB＝PM＝3－n，PN＝－n2＋2n＋3．作QR⊥PN，垂足为R，∵S△PQN＝S△APM，∴12(n＋1)(3-n)＝12(-n2＋2n＋3) ·QR，∴QR＝1．①点Q在直线PN的左侧时，Q点的坐标为(n－1，n2－4n)，R点的坐标为(n，n2－4n)，N点的坐标为(n，n2－2n－3)．∴在Rt△QRN中，NQ2＝1＋(2n－3)2，∴n＝32时，NQ取最小值1．此时Q点的坐标为(12，-154)；②点Q在直线PN的右侧时，Q点的坐标为(n＋11，n2－4)．同理，NQ2＝1＋(2n－1)2，∴n＝12时，NQ取最小值1．此时Q点的坐标为(32，-154)．综上可知存在满足题意的点Q，其坐标为(12，-154)或(32，-154)．6．（2017江苏泰州，26，14分）平面直角坐标系xOy中，点A、B的横坐标分别为a、a+2，二次函数y=－x2+（m－2）x+2m的图象经过点A、B，且a、m满足2a－m=d（d为常数）．（1）若一次函数y1=kx+b的图象经过A、B两点．①当a=1、d=－1时，求k的值；②若y1随x的增大而减小，求d的取值范围；（2）当d=－4且a≠－2、a≠－4时，判断直线AB与x轴的位置关系，并说明理由；（3）点A、B的位置随着a的变化而变化，设点A、B运动的路线与y轴分别相交于点C、D，线段CD的长度会发生变化吗？如果不变，求出CD的长；如果变化，请说明理由．【分析】（1）①当a=1、d=－1时，m=2a－d=3，于是得到抛物线的解析式，然后求得点A和点B的坐标，最后将点A和点B的坐标代入直线AB的解析式求得k的值即可；②将x=a，x=a+2代入抛物线的解析式可求得点A和点B的纵坐标，然后依据y1随着x的增大而减小，可得到－（a－m）（a+2）＞－（a+2－m）（a+4），结合已知条件2a－m=d，可求得d的取值范围；（2）由d=－4可得到m=2a+4，则抛物线的解析式为y=－x2+（2a+2）x+4a+8，然后将x=a、x=a+2代入抛物线的解析式可求得点A和点B的纵坐标，最后依据点A和点B的纵坐标可判断出AB与x轴的位置关系；（3）先求得点A和点B的坐标，于是得到点A和点B运动的路线与字母a的函数关系式，则点C（0，2m），D（0，4m－8），于是可得到CD与m的关系式．【解析】解：（1）①当a=1、d=－1时，m=2a－d=3，所以二次函数的表达式是y=－x2+x+6．∵a=1，∴点A的横坐标为1，点B的横坐标为3，把x=1代入抛物线的解析式得：y=6，把x=3代入抛物线的解析式得：y=0，∴A （1，6），B （3，0）．将点A 和点B 的坐标代入直线的解析式得：⎩⎨⎧=+=+036b k b k ，解得：⎩⎨⎧=-=93b k ， 所以k 的值为－3．②∵y =－x 2+（m －2）x +2m =－（x －m ）（x +2），∴当x =a 时，y =－（a －m ）（a +2）；当x =a +2时，y =－（a +2－4）（a +4），∵y 1随着x 的增大而减小，且a ＜a +2，∴－（a －m ）（a +2）＞－（a +2－m ）（a +4），解得：2a －m ＞－4，又∵2a －m =d ，∴d 的取值范围为d ＞－4．（2）∵d =－4且a ≠－2、a ≠－4，2a －m =d ，∴m =2a +4．∴二次函数的关系式为y =－x 2+（2a +2）x +4a +8．把x =a 代入抛物线的解析式得：y =a 2+6a +8．把x =a +2代入抛物线的解析式得：y =a 2+6a +8．∴A （a ，a 2+6a +8）、B （a +2，a 2+6a +8）．∵点A 、点B 的纵坐标相同，∴AB ∥x 轴．（3）线段CD 的长随m 的值的变化而变化．∵y =－x 2+（m －2）x +2m 过点A 、点B ，∴当x =a 时，y =－a 2+（m －2）a +2m ，当x =a +2时，y =－（a +2）2+（m －2）（a +2）+2m ， ∴A （a ，－a 2+（m －2）a +2m ）、B （a +2，－（a +2）2+（m －2）（a +2）+2m ）．∴点A 运动的路线是的函数关系式为y 1=－a 2+（m －2）a +2m ，点B 运动的路线的函数关系式为y 2=－（a +2）2+（m －2）（a +2）+2m ．∴点C （0，2m ），D （0，4m －8）．∴DC =|2m －（4m －8）|=|8－2m |．∴线段CD 的长随m 的值的变化而变化．当8－2m =0时，m =4时，CD =|8－2m |=0，即点C 与点D 重合；当m ＞4时，CD =2m －8；当m ＜4时，CD =8－2m ．7．（2017江苏无锡，28，8分）如图，已知矩形ABCD中，AB＝4，AD＝m，动点P从点D出发，在边DA上以每秒1个单位的速度向点A运动，连接CP，作点D关于直线PC的对称点E，设点P的运动时间为t（s）．（1）若m＝6，求当P，E，B三点在同一直线上时对应的t的值．（2）已知m满足：在动点P从点D到点A的整个运动过程中，有且只有一个时刻t，使点E 到直线BC的距离等于3，求所有这样的m的取值范围．【分析】（1）如图1中，设PD＝x．则PA＝6－x．首先证明BP＝BC＝6，在Rt△ABP中利用勾股定理即可解决问题；（2）分两种情形求出AD的值即可解决问题：①如图2中，当点P与A重合时，点E在BC 的下方，点E到BC的距离为3．②如图3中，当点P与A重合时，点E在BC的上方，点E 到BC的距离为3；【解析】解：（1）如图1中，设PD＝x．则PA＝6－x．∵P、B、E共线，∴∠BPC＝∠DPC，∵AD∥BC，∴∠DPC＝∠PCB，∴∠BPC＝∠PCB，∴BP＝BC＝6，在Rt△ABP中，∵AB2＋AP2＝PB2，∴42＋（6－x）2＝62，∴x＝6－6＋，∴PD＝6－∴t＝（6－s时，B、E、P共线．（2）如图2中，当点P与A重合时，点E在BC的下方，点E到BC的距离为3．作EQ⊥BC于Q，EM⊥DC于M．则EQ＝3，CE＝DC＝4易证四边形EMCQ是矩形，∴CM＝EQ＝3，∠M＝90°，∴EM∵∠DAC＝∠EDM，∠ADC＝∠M，∴△ADC∽△DME，AD DC=，DM EMAD∴∴AD＝如图3中，当点P与A重合时，点E在BC的上方，点E到BC的距离为3．作EQ⊥BC于Q，延长QE交AD于M．则EQ＝3，CE＝DC＝4在Rt△ECQ中，QC＝DM，由△DME∽△CDA，∴DM EM CD AD=，1AD=，∴AD，综上所述，在动点P从点D到点A的整个运动过程中，有且只有一个时刻t，使点E到直线BC的距离等于3，这样的m≤m＜．8．(2017江苏宿迁，26，10分)如图，在矩形纸片ABCD中，已知AB＝1，BC E在边CD上移动，连接AE，将多边形ABCE沿直线AE翻折，得到多边形AB′C′E，点B、C的对应点分别为点B′、C′．(1)当B′C′恰好经过点D时(如图1)，求线段CE的长；(2)若B′C′分别交边AD，CD于点F，G，且∠DAE＝22.5°(如图2)，求△DFG的面积；(3)在点E从点C移动到点D的过程中，求点C′运动的路径长．【分析】(1)如图1中，设CE＝EC′＝x，则DE＝1－x，由△ADB′′∽△DEC，可得ADDE＝DBEC¢¢，列出方程即可解决问题；(2)如图2中，首先证明△ADB′，△DFG都是等腰直角三角形，求出DF即可解决问题；(3)如图3中，点C的运动路径的长为CC¢的长，求出圆心角、半径即可解决问题．【解析】解：(1)如图1中，设CE＝EC′＝x，则DE＝1－x，∵∠ADB′＋∠EDC′＝90°，∠B′AD＋∠ADB′＝90°，∴∠B′AD＝∠EDC′，∵∠B′＝∠C′＝90°，AB′＝AB＝1，AD∴DB，∴△ADB′′∽△DEC，∴ADDE＝DBEC¢¢，，∴x－2．∴CE2．(2)如图2中，∵∠BAD＝∠B′＝∠D＝90°，∠DAE＝22.5°，∴∠EAB ＝∠EAB ′＝67.5°，∴∠B ′AF ＝∠B ′FA ＝45°，∴∠DFG ＝∠AFB ′＝∠DGF ＝45°，∴DF ＝FG ，在Rt △AB ′F 中，AB ′＝FB ′＝1，∴AF∴DF ＝DG ，∴S △DFG ＝12)2＝52 (3)如图3中，点C 的运动路径的长为CC ¢的长，在Rt △ADC 中，∵tan ∠DAC ＝CD AD ， ∴∠DAC ＝30°，AC ＝2CD ＝2，∵∠C ′AD ＝∠DAC ＝30°，∴∠CAC ′＝60°，∴CC ¢的长＝602180π´＝23π．9．(2017江苏徐州，28，10分)如图，已知二次函数y ＝49x 2－4的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，⊙C P 为⊙C 上一动点．(1)点B ，C 的坐标分别为B ( )，C ( )；(2)是否存在点P ，使得△PBC 为直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)连接PB，若E为PB的中点，连接OE，则OE的最大值＝．【分析】(1)在抛物线解析式中令y＝0可求得B点坐标，令x＝0可求得C点坐标；(2)①当PB与⊙相切时，△PBC为直角三角形，如图1，连接BC，根据勾股定理得到BC＝5，BP2＝过P2作P2E⊥x轴于E，P2F⊥y轴于F，根据相似三角形的性质得到2222P F CPP E BP＝2，设OC＝P2E＝2x，CP2＝OE＝x，得到BE＝3－x，CF＝2x－4，于是得到FP2＝115，EP2＝225，求得P2(115，－225)，过P1作P1G⊥x轴于G，P1H⊥y轴于H，同理求得P1(－1，－2)，②当BC⊥PC时，△PBC为直角三角形，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论；(3)如图3中，连接AP，∵OB＝OA，BE＝EP，推出OE＝12AP，可知当AP最大时，OE的值最大，【解析】解：(1)在y＝49x2－4中，令y＝0，则x＝±3，令x＝0，则y＝－4，∴B(3，0)，C(0，－4)；故答案为：3，0；0，－4；(2)存在点P，使得△PBC为直角三角形，①当PB与⊙相切时，△PBC为直角三角形，如图(2)a，连接BC ，∵OB ＝3．OC ＝4，∴BC ＝5，∵CP 2⊥BP 2，CP 2∴BP 2＝过P 2作P 2E ⊥x 轴于E ，P 2F ⊥y 轴于F ，则△CP 2F ∽△BP 2E ，四边形OCP 2B 是矩形， ∴2222P F CP P E BP =＝2， 设OC ＝P 2E ＝2x ，CP 2＝OE ＝x ，∴BE ＝3－x ，CF ＝2x －4， ∴BE CF ＝324x x --＝2， ∴x ＝115，2x ＝225， ∴FP 2＝115，EP 2＝225， ∴P 2(115，－225)， 过P 1作P 1G ⊥x 轴于G ，P 1H ⊥y 轴于H ，同理求得P 1(－1，－2)，②当BC ⊥PC 时，△PBC 为直角三角形，如图(2)b过P 4作P 4H ⊥y 轴于H ，则△BOC ∽△CHP 4，∴4CH P H OB OC =＝4P C BC ，∴CH ，P 4H∴P 4－4)；同理P 3(－4)；综上所述：点P 的坐标为：(－1，－2)或(115，－225)或－4)或(－4)； (3)如图(3)，连接AP ，∵OB ＝OA ，BE ＝EP ，∴OE ＝12AP ， ∴当AP 最大时，OE 的值最大，∵当P 在AC 的延长线上时，AP 的值最大，最大值＝5∴OE10．(2017江苏盐城，27，14分)如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝12x ＋2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线y ＝12x 2＋bx ＋c 经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为点B ． (1)求抛物线的函数表达式；(2)点D 为直线AC 上方抛物线上一动点；①连接BC 、CD ，设直线BD 交线段AC 于点E ，△CDE 的面积为S 1，△BCE 的面积为S 2，求12S S 的最大值；②过点D 作DF ⊥AC ，垂足为点F ，连接CD ，是否存在点D ，使得△CDF 中的某个角恰好等于∠BAC 的2倍？若存在，求点D 的横坐标；若不存在，请说明理由．【分析】(1)根据题意得到A (－4，0)，C (0，2)代入y ＝－12x 2＋bx ＋c ，于是得到结论； (2)①如图，令y ＝0，解方程得到x 1＝－4，x 2＝1，求得B (1，0)，过D 作DM ⊥x 轴于M ，过B 作BN ⊥x 轴交于AC 于N ，根据相似三角形的性质即可得到结论；②根据勾股定理的逆定理得到△ABC 是以∠ACB 为直角的直角三角形，取AB 的中点P ，求得P (－32，0)，得到PA ＝PC ＝PB ＝52，过作x 轴的平行线交y 轴于R ，交AC 的延线于G ，情况一：如图，∠DCF ＝2∠BAC ＝∠DGC ＋∠CDG ，情况二，∠FDC ＝2∠BAC ，解直角三角形即可得到结论．【解析】解：(1)根据题意得A (－4，0)，C (0，2)，∵抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 经过A 、C 两点，∴1016422b c c ì=-?+ïíï=î， ∴322b c ì=-ïíï=î， ∴y ＝－12x 2－32x ＋2； (2)①如图，令y ＝0， ∴－12x 2－32x ＋2＝0， ∴x 1＝－4，x 2＝1，∴B (1，0)，过D 作DM ⊥x 轴于M ，过B 作BN ⊥x 轴交于AC 于N ，∴DM ∥BN ，∴△DME ∽△BNE ， ∴12S S ＝DE BE ＝DM BN， 设D (a ，－12a 2－32a ＋2)， ∴M (a ，12a ＋2)， ∵B (1.0)，∴N (1，52)， ∴12S S ＝DM BN ＝212252a a --＝-15(a ＋2)2＋45；∴当a ＝2时，12S S 的最大值是45； ②∵A (－4，0)，B (1，0)，C (0，2)，∴AC ＝，BC，AB ＝5，∴AC 2＋BC 2＝AB 2，∴△ABC 是以∠ACB 为直角的直角三角形，取AB 的中点P ，∴P (－32，0)， ∴PA ＝PC ＝PB ＝52， ∴∠CPO ＝2∠BAC ，∴tan ∠CPO ＝tan(2∠BAC )＝43， 过D 作x 轴的平行线交y 轴于R ，交AC 的延长线于G ，情况一：如图，∴∠DCF ＝2∠BAC ＝∠DGC ＋∠CDG ，∴∠CDG ＝∠BAC ，∴tan ∠CDG ＝tan ∠BAC ＝12， 即RC DR ＝12令D (a ，－12a 2－32a ＋2)， ∴DR ＝－a ，RC ＝－12a 2－32a ， ∴21322a a a ---＝12， ∴a 1＝0(舍去)，a 2＝－2，∴x D ＝－2，情况二，∴∠FDC＝2∠BAC，∴tan∠FDC＝43，设FC＝4k，∴DF＝3k，DC＝5k，∵tan∠DGC＝3kFG＝12，∴FG＝6k，∴CG＝2k，DG＝k，∴∴RCk，RGk，DR＝kkk，∴DRRC＝1322aa a---，∴a1＝0(舍去)，a2＝29 11，点D的横坐标为－2或－29 11．11．(2017江苏扬州，28，12分)如图，已知正方形ABCD的边长为4，点P是AB边上的一个动点，连接CP，过点P作PC的垂线交AD于点E，以PE为边作正方形PEFG，顶点G在线段PC上，对角线EG、PF相交于点O．(1)若AP=1，则AE= 34；(2)①求证：点O一定在△APE的外接圆上；②当点P从点A运动到点B时，点O也随之运动，求点O经过的路径长；(3)在点P从点A到点B的运动过程中，△APE的外接圆的圆心也随之运动，求该圆心到AB 边的距离的最大值．【分析】(1)由正方形的性质得出∠A=∠B=∠EPG=90°，PF⊥EG，AB=BC=4，∠OEP=45°，由角的互余关系证出∠AEP=∠PBC，得出△APE∽△BCP，得出对应边成比例即可求出AE的长；(2)①A、P、O、E四点共圆，即可得出结论；②连接OA、AC，由光杆司令求出AC OAP=∠OEP=45°，周长点O 在AC上，当P运动到点B时，O为AC的中点，即可得出答案；(3)设△APE的外接圆的圆心为M，作MN⊥AB于N，由三角形中位线定理得出MN=12AE，设AP=x，则BP=4﹣x，由相似三角形的对应边成比例求出AE=x﹣14x2=﹣14(x﹣2)2+1，由二次函数的最大值求出AE的最大值为1，得出MN的最大值=12即可．【解析】(1)解：∵四边形ABCD、四边形PEFG是正方形，∴∠A=∠B=∠EPG=90°，PF⊥EG，AB=BC=4，∠OEP=45°，∴∠AEP+∠APE=90°，∠BPC+∠APE=90°，∴∠AEP=∠PBC，∴△APE∽△BCP，∴AE APBP BC，即14，解得：AE=34；故答案为：34；(2)①证明：∵PF⊥EG，∴∠EOF=90°，∴∠EOF+∠A=180°，∴A、P、O、E四点共圆，∴点O 一定在△APE 的外接圆上；②解：连接OA 、AC ，如图1所示：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠B =90°，∠BAC =45°，∴AC∵A 、P 、O 、E 四点共圆，∴∠OAP =∠OEP =45°，∴点O 在AC 上，当P 运动到点B 时，O 为AC 的中点，OA =12AC ，即点O 经过的路径长为；(3)解：设△APE 的外接圆的圆心为M ，作MN ⊥AB 于N ，如图2所示：则MN ∥AE ，∵ME =MP ，∴AN =PN ，∴MN=12 AE，设AP= x，则BP=4﹣x，由(1)得：△APE∽△BCP，∴AE APBP BC=，即44AE xx=-，解得：AE= x﹣14x 2=﹣14(x﹣2)2+1，∴x=2时，AE的最大值为1，此时MN的值最大=12×1=12，即△APE的圆心到AB边的距离的最大值为12．12．（2017江苏镇江，28，11分）【回顾】如图1，△ABC中，∠B=30°，AB=3，BC=4，则△ABC的面积等于 3 ．【探究】图2是同学们熟悉的一副三角尺，一个含有30°的角，较短的直角边长为a；另一个含有45°的角，直角边长为b，小明用两副这样的三角尺拼成一个平行四边形ABCD（如图3），用了两种不同的方法计算它的面积，从而推出sin75°，小丽用两副这样的三角尺拼成了一个矩形EFGH（如图4），也推出sin75°，请你写出小明或小丽推出sin75°=的具体说理过程．【应用】在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D=75°，BC=6，CD=5，AD=10（如图5）（1）点E在AD上，设t=BE+CE，求t2的最小值；（2）点F在AB上，将△BCF沿CF翻折，点B落在AD上的点G处，点G是AD的中点吗？说明理由．【分析】回顾：如图1中，作AH⊥BC．求出AH即可解决问题；探究：如图2中，根据S四边形ABCD=BC•AB•sin75°=2S△ABE+2S△BFC+S矩形EFGH列出方程即可解决问题；应用：①作C 关于AD 的对称点H ，CH 交AD 于J ，连接BH ，EH ．因为EC =EH ，推出EB +EC =EB +EH ，在△EBH 中，BE +EH ≥BH ，推出BE +EC 的最小值为BH ，求出BH 即可解决问题；②结论：点G 不是AD 的中点．理由反证法证明即可．【解析】由题意可知四边形EFGH 是矩形，AB =CD =2a ，AH =DH =BF =CF =b ，EF =GH －b ，EH =FG =b－a ，BC ，解：回顾：如图1中，作AH ⊥BC ．在Rt △ABH 中，∵∠B =30°，AB =3，∴AH =AB •sin 30°=32， ∴S △ABC =12•BC •AH=12×4×32=3， 故答案为3．探究：如图3中，由题意可知四边形EFGH 是矩形，AB =CD =2a ，AH =DH =BF =CF =b ，EF =GH －b ，EH =FG =b －a ，BC b ，∵S 四边形ABCD =BC •AB •sin 75°=2S △ABE +2S △BFC +S 矩形EFGH•2a •sin 75°=2×12×a +2×12×b 2+－b ）（b －a ），∴absin 75°+ab ，∴sin 75°． 如图4中，易知四边形ABCD 是平行四边形，∠BAD =75°，∴S 四边形EFGH =2•S △ABE +2•S △ADF +S 平行四边形ABCD ，∴（a +b ）+b ）═2×12×a +2×12×b 2•2a •sin 75°，∴sin 75°． 应用：①作C 关于AD 的对称点H ，CH 交AD 于J ，连接BH ，EH ．在Rt △DCJ 中，JC =CD •sin 75°=54），∴CH =2CJ =52，在Rt △BHC 中，BH 2=BC 2+CH 2=36+2542 ∵EC =EH ，∴EB +EC =EB +EH ，在△EBH 中，BE +EH ≥BH ，∴BE +EC 的最小值为BH ，∴t =BE +CE ，t 2的最小值为BH 2，即为②结论：点G 不是AD 的中点．理由：作CJ ⊥AD 于J ，DH ⊥CG 于H ．不妨设AG=GD=5，∵CD=5，∴DC=DG，∵DH⊥CG，∴GH=CH=3，在Rt△CDH中，DH，∵S△DGC=12•CG•DH=12•DG•CJ，∴CJ=245，∴sin∠CDJ=CJCD=2425，∵∠CDJ=75°，∴与sin75°矛盾，∴假设不成立，∴点G不是AD的中点．。

2017年全国各地中考数学压轴题集锦答案1．（北京模拟）已知抛物线y ＝－x2＋2x ＋m －2与y 轴交于点A （0，2m －7），与直线y ＝2x 交于点B 、C （B 在C 的右侧）． （1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为E ，在抛物线的对称轴上是否存在一点F ，使得∠BFE ＝∠CFE ，若存在，求出点F 的坐标，若不存在，说明理由；（3）动点P 、Q 同时从原点出发，分别以每秒5个单位长度、每秒25个单位长度的速度沿射线OC 运动，以PQ 为斜边在直线BC 的上方作直角三角形PMQ （直角边分别平行于坐标轴），设运动时间为t 秒．若△PMQ 与抛物线y ＝－x2＋2x ＋m －2有公共点，求t 的取值范围．解：（1）把点A （0，2m －7）代入y ＝－x2＋2x ＋m －2，得m ＝5∴抛物线的解析式为y ＝－x2＋2x ＋3（2）由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x2＋2x ＋3y ＝2x 解得⎩⎨⎧x 1＝3y 1＝23 ⎩⎨⎧x 2＝－3y 2＝－23 ∴B （3，23），C （－3，－23）∵y ＝－x2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4 ∴抛物线的对称轴为x ＝1 设F （1，y ）∵∠BFE ＝∠CFE ，∴tan ∠BFE ＝tan ∠CFE 当点F 在点B 上方时，3－1 y －23 ＝3＋1y ＋23解得y ＝6，∴F （1，6）当点F 在点B 下方时，3－1 23－y ＝3＋1－y －23解得y ＝6（舍去）∴满足条件的点F 的坐标是F （1，6）（3）由题意，OP ＝5t ，OQ ＝25t ，∴PQ ＝5t ∵P 、Q 在直线直线y ＝2x 上 ∴设P （x ，2x ），则Q （2x ，4x ）（x＜0）∴x 2＋4x 2＝5t ，∴x ＝－t∴P （－t ，－2t ），Q （－2t ，－4t ） ∴M （－2t ，－2t ）当M （－2t ，－2t ）在抛物线上时，有－2t ＝－4t2－4t ＋3解得t ＝13－14（舍去负值） 当P （－t ，－2t ）在抛物线上时，有－2t ＝－t2－2t ＋3 解得t ＝3（舍去负值） ∴t 的取值范围是：13－14≤t≤ 32．（北京模拟）在平面直角坐标系中，抛物线y 1＝ax2＋3x ＋c 经过原点及点A （1，2），与x 轴相交于另一点B ．（1）求抛物线y 1的解析式及B 点坐标；（2）若将抛物线y 1以x ＝3为对称轴向右翻折后，得到一条新的抛物线y 2，已知抛物线y 2与x 轴交于两点，其中右边的交点为C 点．动点P 从O 点出发，沿线段OC 向C 点运动，过P 点作x 轴的垂线，交直线OA 于D 点，以PD 为边在PD 的右侧作正方形PDEF ． ①当点E 落在抛物线y 1上时，求OP 的长；②若点P 的运动速度为每秒1个单位长度，同时线段OC 上另一点Q 从C 点出发向O 点运动，速度为每秒2个单位长度，当Q 点到达O 点时P 、Q 两点停止运动．过Q 点作x 轴的垂线，与直线AC 交于G 点，以QG 为边在QG 的左侧作正方形QGMN ．当这两个正方形解：（1）∵抛物线y 1＝ax2＋3x ＋c 经过原点及点A（1，2）∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2a ＋3＋c ＝2 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1c ＝0 ∴抛物线y 1的解析式为y 1＝－x2＋3x令y 1＝0，得－x2＋3x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝3 ∴B （3，0）（2）①由题意，可得C （6，0） 过A 作AH ⊥x 轴于H ，设OP ＝a可得△ODP ∽△OAH ，∴DPOP＝AHOH＝2 ∴DP ＝2OP ＝2a∵正方形PDEF ，∴E （3a ，2a ） ∵E （3a ，2a ）在抛物线y 1＝－x2＋3x 上∴2a ＝－9a2＋9a ，解得a 1＝0（舍去），a 2＝7 9∴OP 的长为79②设直线AC 的解析式为y ＝kx ＋b∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝k ＋b 0＝6k ＋b 解得k ＝－2 5 ，b ＝12 5∴直线AC 的解析式为y ＝－2 5 x ＋125由题意，OP ＝t ，PF ＝2t ，QC ＝2t ，GQ ＝45t 当EF 与MN 重合时，则OF ＋CN ＝6 ∴3t ＋2t ＋45t ＝6，∴t ＝3029当EF 与GQ 重合时，则OF ＋QC ＝6 ∴3t ＋2t ＝6，∴t ＝65当DP 与MN 重合时，则OP ＋CN ＝6 ∴t ＋2t ＋4 5 t ＝6，∴t ＝3019当DP 与GQ 重合时，则OP ＋CQ ＝6∴t ＋2t ＝6，∴t ＝23．（北京模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax2＋bx ＋4经过A （－3，0）、B（4，0）两点，且与y 轴交于点C ，点D 在x 轴的负半轴上，且BD ＝BC ．动点P 从点A 出发，沿线段AB 以每秒1个单位长度的速度向点B 移动，同时动点Q 从点C 出发，沿线段CA 以某一速度向点A 移动． （1）求该抛物线的解析式；（2）若经过t 秒的移动，线段PQ 被CD 垂直平分，求此时t 的值；（3）该抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使MQ ＋MA 的值最小？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线y ＝ax2＋bx ＋4经过A （－3，0）、B （4，0）两点∴⎩⎪⎨⎪⎧9a －3b ＋4＝016a ＋4b ＋4＝0解得a ＝－1 3 ，b ＝1 3∴所求抛物线的解析式为y ＝－1 3x2＋ 13x ＋4（2）连接DQ ，依题意知AP ＝t∵抛物线y＝－13x2＋13x＋4与y轴交于点C∴C（0，4）又A（－3，0，B（4，0）可得AC＝5，BC＝42，AB＝7∵BD＝BC，∴AD＝AB－BD＝7－42∵CD垂直平分PQ，∴QD＝DP，∠CDQ＝∠CDP ∵BD＝BC，∴∠DCB＝∠CDB∴∠CDQ＝∠DCB，∴DQ∥BC∴△ADQ∽△ABC，∴ADAB＝DQBC∴ADAB＝DPBC，∴7－427＝DP42解得DP＝42－327，∴AP＝AD＋DP＝177∴线段PQ被CD垂直平分时，t的值为17 7（3）设抛物线y＝－13x2＋13x＋4的对称轴x＝12与x轴交于点E由于点A、B关于对称轴x＝12对称，连接BQ交对称轴于点M则MQ＋MA＝MQ＋MB，即MQ＋MA＝BQ当BQ⊥AC时，BQ最小，此时∠EBM＝∠ACO∴tan∠EBM＝tan∠ACO＝3 4∴MEBE＝34，即ME4－12＝34，解得ME＝218∴M（12，218）∴在抛物线的对称轴上存在一点M（12，218），使得MQ＋MA的值最小4．（北京模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．动点P从点A出发，沿AC→CB→BA边运动，点P在AC、CB、BA边上运动的速度分别为每秒3、4、5个单位．直线l从与AC重合的位置开始，以每秒43个单位的速度沿CB方向移动，移动过程中保持l∥AC，且分别与CB、AB边交于点E、F．点P与直线l同时出发，设运动的时间为t秒，当点P 第一次回到点A时，点P和直线l同时停止运动．（1）当t＝_________秒时，点P与点E重合；当t＝_________秒时，点P与点F重合；（2）当点P在AC边上运动时，将△PEF绕点E逆时针旋转，使得点P的对应点P′落在EF上，点F的对应点为F′，当EF′⊥AB时，求t的值；（3）作点P关于直线EF的对称点Q，在运动过程中，若形成的四边形PEQF为菱形，求t的值；（4）在整个运动过程中，设△PEF的面积为S，直接写出S关于t的函数关系式及S的最大值．解：（1）3；4.5提示：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8∴AB＝62＋82＝10，∴sin B＝ACAB＝35，cos B＝BCAB＝45，tan B＝ACBC＝34当点P与点E重合时，点P在CB边上，CP＝CE∵AC＝6，点P在AC、CB边上运动的速度分别为每秒3、4个单位∴点P在AC边上运动的时间为2秒，CP＝4(t－2)∵CE＝43t，∴4(t－2)＝43t，解得t＝3当点P与点F重合时，点P在BA边上，BP＝BF∵AC＝6，BC＝8，点P在AC、CB、BA边上运动的速度分别为每秒3、4、5个单位∴点P在AC、CB边上运动的时间共为4秒，BF＝BP＝5(t－4)∵CE＝43t，∴BE＝8－43t在Rt△BEF中，BEBF＝cos B∴8－43t5(t－4)＝45，解得t＝4.5（2）由题意，∠PEF＝∠MEN∵EF∥AC，∠C＝90°，∴∠BEF＝90°，∠CPE＝∠PEF ∵EN⊥AB，∴∠B＝∠MEN∴∠CPE＝∠B，∴tan∠CPE＝tan B∵tan∠CPE＝CECP，tan B＝ACBC＝34∴CECP＝34，∴CP＝43CE∵AP＝3t（0＜t＜2），CE＝43t，∴CP＝6－3t∴6－3t＝43×43t，解得t＝5443（3）连接PQ交EF于O∵P、Q关于直线EF对称，∴EF垂直平分PQ若四边形PEQF为菱形，则OE＝OF＝12EFBCA PlFEBCA备用图EBMCAPlFNBCAlFE(P)BCAlFE(P)①当点P 在AC 边上运动时易知四边形POEC 为矩形，∴OE ＝PC ∴PC ＝12EF ∵CE ＝4 3t ，∴BE ＝8－4 3 t ，EF ＝BE ·tan B ＝ 3 4 ( 8－ 43t)＝6－t∴6－3t ＝1 2 (6－t)，解得t ＝65②当点P 在CB 边上运动时，P 、E 、Q 三点共线，不存在四边形PEQF③当点P 在BA 边上运动时，则点P 在点B 、F 之间 ∵BE ＝8－43t ，∴BF ＝ BE cos B＝5 4 (8－4 3 t )＝10－5 3t ∵BP ＝5(t －4)，∴PF ＝BF －BP ＝10－53t －5(t －4)＝30－203t ∵∠POF ＝∠BEF ＝90°，∴PO ∥BE ，∴∠OPF ＝∠B 在Rt △POF 中，OFPF＝sin B ∴12(6－t)30－ 20 3t＝ 3 5 ，解得t ＝30 7∴当t ＝65或t ＝307时，四边形PEQF 为菱形 （4）S ＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧－23t2＋4t （0≤t≤2）4 3t2－12t ＋24（2＜t≤3）－43t2＋12t －24（3＜t≤4）8 3t2－28t ＋72（4＜t≤4.5）－8 3t2＋28t －72（4.5＜t≤6）S 的最大值为1635．（北京模拟）在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝10，CD ＝6，AD ＝BC ＝4．点P 从点B 出发，沿线段BA 向点A 匀速运动，速度为每秒2个单位，过点P 作直线BC 的垂线PE ，垂足为E ．设点P 的运动时间为t （秒）． （1）∠A ＝___________°； （2）将△PBE 沿直线PE 翻折，得到△PB ′E ，记△PB ′E 与梯形ABCD 重叠部分的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并求出S 的最大值；（3）在整个运动过程中，是否存在以点D 、P 、B ′为顶点的三角形为直角三角形或等腰三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．EBOC APl FQEB CAPlF QO解：（1）60°（2）∵∠A ＝∠B ＝60°，PB ＝PB ′ ∴△PB ′B 是等边三角形∴PB ＝PB ′＝BB ′＝2t ，BE ＝B ′E ＝t ，PE ＝3t 当0＜t≤2时S ＝S △PB ′E ＝12B ′E ·PE ＝1 2 t ·3t ＝ 3 2t2 当2＜t≤4时S ＝S △PB ′E－S △FB ′C＝3 2t2－ 3 4 ( 2t －4 )2＝－ 3 2t2＋43t －4 3当4＜t≤5时设PB ′、PE 分别交DC 于点G 、H ，作GK ⊥PH 于K ∵△PB ′B 是等边三角形，∴∠B ′PB ＝60°＝∠A ∴PG ∥AD ，又DG ∥AP∴四边形APGD 是平行四边形 ∴PG ＝AD ＝4∵AB ∥CD ，∴∠GHP ＝∠BPH∵∠GPH ＝∠BPH ＝12∠B ′PB ＝30°∴∠GHP ＝∠GPH ＝30°，∴PG ＝GH ＝4 ∴GK ＝12PG ＝2，PK ＝KH ＝PG ·cos30°＝2 3 ∴PH ＝2PK ＝4 3 ∴S ＝S △PGH＝12PH ·GK ＝12×43×2＝4 3 综上得，S 与t 之间的函数关系式为： S ＝⎩⎨⎧32t2（0＜t≤2）－3 2t2＋43t －43（2＜t≤4）43（4＜t≤5）（3）①若∠DPB ′＝90° ∵∠B ′PB ＝60°，∴∠DP A ＝30° 又∠A ＝60°，∴∠ADP ＝90°∴AP ＝2AD ，∴10－2t ＝8，∴t ＝1 若∠PDB ′＝90°A CB D P EB ′ACBD备用图C DE B ′作DM⊥AB于M，DN⊥B′B于N则AM＝2，DM＝23，NC＝3，DN＝3 3PM＝|10－2－2t|＝|8－2t|NB′＝|3＋4－2t|＝|7－2t|DP2＝DM2＋PM2＝(23)2＋(8－2t)2＝(8－2t)2＋12 DB′2＝DN2＋NB′＝(33)2＋(7－2t)2＝(7－2t)2＋27 ∵DP2＋DB′2＝B′P2∴(8－2t)2＋12＋(7－2t)2＋27＝(2t)2解得t1＝15＋732＞5（舍去），t2＝15－732若∠DB′P＝90°，则DB′2＋B′P2＝DP2∴(7－2t)2＋27＋(2t)2＝(8－2t)2＋12 解得t1＝－1（舍去），t2＝0（舍去）∴存在以点D、P、B′为顶点的三角形为直角三角形，此时t＝1或t＝15－732②若DP＝B′P，则(8－2t)2＋12＝(2t)2解得t＝19 8若B′D＝B′P，则(7－2t)2＋27＝(2t)2解得t＝19 7若DP＝DB′，则(8－2t)2＋12＝(7－2t)2＋27 解得t＝0（舍去）∴存在以点D、P、B′为顶点的三角形为等腰三角形，此时t＝198或t＝1976．（北京模拟）已知二次函数y＝－33mx2＋3mx－2的图象与x轴交于点A（23，0）、点B，与y轴交于点C．（1）求点B坐标；（2）点P从点C出发以每秒1个单位的速度沿线段CO向O点运动，到达点O后停止运动，过点P作PQ∥AC交OA于点Q，将四边形PQAC沿PQ翻折，得到四边形PQA′C′，设点P的运动时间为t．①当t为何值时，点A′恰好落在二次函数y＝－33mx2＋3mx－2图象的对称轴上；②设四边形PQA′C′落在第一象限内的图形面积为S，求S关于t的函数关系式，并求出S 的最大值．解：（1）将A（23，0）代入y＝－33mx2＋3mx－2得0＝－33m×(23)2＋3m×23－2，解得m＝33∴y＝－13x2＋3x－2ACBDPEB′MNACBDPEB′ACBDPB′E令y ＝0，得－13x 2＋3x －2＝0，解得：x 1＝3，x 2＝2 3 ∴B（3，0） （2）①由y ＝－13x 2＋3x －2，令x ＝0，得y ＝－2 ∴C （0，－2） ∵y ＝－13x2＋3x －2＝－1 3 (x －323)2＋1 4∴二次函数图象的对称轴为直线x ＝323过A ′作A ′H ⊥OA 于H在Rt △AOC 中，∵OC ＝2，OA ＝2 3 ∴∠OAC ＝30°，∠OCA ＝60° ∴∠PQA ＝150°，∠A ′QH ＝60°，AQ ＝A ′Q ＝2QH ∵点A ′在二次函数图象的对称轴上∴⎩⎪⎨⎪⎧OQ ＋QH ＝3 23OQ ＋2QH ＝23解得QH ＝32∴AQ ＝3，CP ＝1 ∴t ＝1②分两种情况：ⅰ）当0＜t≤1时，四边形PQA ′C ′ 落在第一象限内的图形为等腰三角形QA ′DDQ ＝A ′Q ＝3tA ′H ＝AQ ·sin60°＝3t ·32＝32t S ＝S △A ′DQ＝12 ·3t ·3 2t ＝33 4t2 ∵当0＜t≤1时，S 随t 的增大而增大 ∴当t ＝1时，S 有最大值334ⅱ）当1＜t＜2时，四边形PQA ′C ′ 落在第一象限内的图形为四边形EOQA ′ S 四边形EOQA ′＝S 梯形PQA ′C ′－S △OPQ－S △PC ′E＝[23－3 2 (2－t )2]－ 3 2 ( 2－t )2－ 3 4t2 ＝－534t2＋43t －2 3 ∵－53 4 t2＋43t －23＝－53 4 (t －8 5)2＋635且1＜85＜2，∴当t ＝8 5 时，S 有最大值63 5∵63 5＞33 4 ，∴S 的最大值是63 57．（北京模拟）已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A ＝120°，E 是DAB的中点，过E点作射线EF∥BC，交CD于点G，AB、AD的长恰好是方程x2－4x＋a2＋2a＋5＝0的两个相等实数根，动点P、Q分别从点A、E出发，点P以每秒1个单位长度的速度沿AB由A向B运动，点Q以每秒2个单位长度的速度沿EF由E向F运动，设点P、Q运动的时间为t（秒）．（1）求线段AB、AD的长；（2）当t＞1时，求△DPQ的面积S与时间t之间的函数关系式；（3）是否存在△DPQ是直角三角形的情况，如果存在，求出时间t；如果不存在，请说明理由．解：（1）由题意，△＝42－4(a2＋2a＋5)＝－4(a＋1)2＝0∴a＝－1原方程可化为x2－4＋4＝0，解得∴x1＝x2＝2∴AB＝AD＝2（2）作AH⊥BC于H，交EG于O，DK⊥EF于K，PM⊥DA交DA的延长线于M∵AD∥BC，∠A＝120°，AB＝AD＝2∴∠B＝60°，AH＝ 3∵E是AB中点，且EF∥BC，∴AO＝DK＝3 2∵AP＝t，∴PM＝3 2t∵t＞1，∴点P在点E下方延长FE交PM于S，设DP与EF交于点N则PS＝32t－32∵AD∥BC，EF∥BC，∴EF∥AD∴ENAD＝PEP A，∴EN2＝t－1t∴EN＝2(t－1)t，∴QN＝2t－2(t－1)t∴S＝12(2t－2(t－1)t)(32t－32＋32)＝32t2－32t＋32即S＝32t2－32t＋32（t＞1）（3）由题意，AM＝12t，∴DM＝2＋12t∴DP2＝DM2＋PM2＝(2＋12t)2＋(32t)2＝t2＋2t＋4又DQ2＝DK2＋KQ2＝(32)2＋(2t－12－2)2＝4t2－10t＋7PQ2＝PS2＋SQ2＝(32t－32)2＋(2t＋t－12)2＝7t2－4t＋1ABDQCPE FN GS O KHM①若∠PDQ＝90°，则DP2＋DQ2＝PQ2∴t2＋2t＋4＋4t2－10t＋7＝7t2－4t＋1解得t＝6－1（舍去负值）②若∠DPQ＝90°，则PD2＋PQ2＝DQ2∴t2＋2t＋4＋7t2－4t＋1＝4t2－10t＋7解得t＝62－1（舍去负值）③若∠DQP＝90°，则DQ2＋PQ2＝PD2∴4t2－10t＋7＋7t2－4t＋1＝t2＋2t＋4解得t＝4±6 5综上所述，存在△DPQ是直角三角形的情况，此时t＝6－1，t＝62－1，t＝4±658．（天津模拟）如图，在平面直角坐标系中，直y＝－x＋42交x轴于点A，交y轴于点B．在线段OA上有一动点P，以每秒2个单位长度的速度由点O向点A匀速运动，以OP为边作正方形OPQM交y轴于点M，连接QA和QB，并从QA和QB的中点C和D向AB作垂线，垂足分别为点F和点E．设P点运动的时间为t秒，四边形CDEF的面积为S1，正方形OPQM与四边形CDEF重叠部分的面积为S2．（1）直接写出A点和B点坐标及t的取值范围；（2）当t＝1时，求S1的值；（3）试求S2与t的函数关系式（4）直接写出在整个运动过程中，点C和点D所走过的路程之和．解：（1）A（42，0）、B（0，42），0≤t≤4（2）过Q作QH⊥AB于H∵C、D分别是QA和QB的中点∴CD∥AB，CD＝12AB＝12×42×2＝4∵CF⊥AB，DE⊥AB，∴CF∥DE∴四边形CDEF是平行四边形又∵CF⊥AB，∴四边形CDEF是矩形∵CF⊥AB，QH⊥AB，∴CF∥QH又∵C是QA中点，∴CF＝12QH连接OQ∵正方形OPQM，∴∠1＝∠2，OP＝PQ＝QM＝MO ∵OA＝OB，∴P A＝MB∴Rt△QP A≌Rt△QMB，∴QA＝QB，∠PQA＝∠MQB∵QH ⊥AB ，∴∠3＝∠4 ∴∠1＋∠MQB ＋∠3＝180°，∴O 、Q 、H 三点共线 ∴QH ＝OH －OQ∵t ＝1，点P 的运动速度为每秒2个单位长度 ∴OP ＝2，∴OQ ＝2 又∵OA ＝42，∴OH ＝4∴QH ＝OH －OQ ＝4－2＝2，∴CF ＝1 ∴S 1＝CD ·CF ＝4×1＝4（3）当点Q 落在AB 上时，OQ ⊥AB ，△QOA 是等腰直角三角形∴t ＝22÷2＝2 当0≤t≤2时，S 2＝0当点E 落在QM 上，点F 落在PQ 上时， △CFK 和△DEG 都是等腰直角三角形 过C 作CT ⊥PQ 于T则CT ＝12AP ＝1 2 (42－2t)＝22(4－t) ∴CF ＝2CT ＝4－t连接OQ ，分别交AB 、CD 于N 、R 则ON ＝22OA ＝22×42＝4 ∵OP ＝2t ，∴OQ ＝2t ，∴QN ＝2t －4 ∴CF ＝12QN ＝t －2 ∴4－t ＝t －2，∴t ＝3当2＜t≤3时，重叠部分为等腰梯形GHIK △QGK 和△QHI 都是等腰直角三角形∵QN ＝2t －4，RN ＝CF ＝t －2，∴QR ＝t －2 ∴GK ＝2QR ＝2t －4，HI ＝2QN ＝4t －8∴S 2＝1 2 (GK ＋HI)·RN ＝1 2(2t －4＋4t －8)(t －2)＝3(t －2)2当3＜t≤4时，重叠部分为六边形GHEFIK易知Rt △CIK ≌Rt △DHG ，∴GH ＝KI ＝2CT ＝2(4－t)∴S 2＝S 矩形CDEF－2S △CIK＝CD ·CF －KI ·CT＝4(t －2)－2(4－t)·22(4－t)＝－t 2＋12t －24 综上得S 2关于t 的函数关系式为：S 2＝ ⎩⎨⎧0（0≤t≤2）3( t －2 )2（2＜t≤3）－t2＋12t －24（3＜t≤4）（4）8提示：点C 和点D 走过的路程分别为以OP 为边的正方形的对角线的一半9．（上海模拟）如图，正方形ABCD中，AB＝5，点E是BC延长线上一点，CE＝BC，连接BD．动点M从B出发，以每秒2个单位长度的速度沿BD向D运动；动点N从E出发，以每秒2个单位长度的速度沿EB向B运动，两点同时出发，当其中一点到达终点后另一点也停止运动．设运动时间为t秒，过M作BD的垂线MP交BE于P．（1）当PN＝2时，求运动时间t；（2）是否存在这样的t，使△MPN为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（3）设△MPN与△BCD重叠部分的面积为S，直接写出S与t的函数关系式和函数的定义域．解：（1）∵正方形ABCD，∴∠DBC＝45°∵MP⊥DB，∴△BMP是等腰直角三角形∵BM＝2t，∴BP＝2BM＝2t又PN＝2，NE＝2t当0＜t＜2.5时，BP＋PN＋NE＝BE∴2t＋2＋2t＝10，∴t＝2当2.5＜t＜5时，BP－PN＋NE＝BE∴2t－2＋2t＝10，∴t＝3（2）过M作MH⊥BC于H则△NQC∽△NMH，∴QCCN＝MHHN∴QC5－2t＝t10－t－2t，∴QC＝5t－2t210－3t令QC＝y，则y＝5t－2t2 10－3t整理得2t2－(3y＋5)t＋10y＝0∵t为实数，∴[－(3y＋5)]2－4×2×10y≥0即9y2－50y＋25≥0，解得y≥5（舍去）或y≤5 9∴线段QC长度的最大值为5 9（3）当0＜t＜2.5时∵∠MPN＝∠DBC＋∠BMP＝45°＋90°＝135°∴∠MPN为钝角，∴MN＞MP，MN＞PN若PM＝PN，则2t＝10－4t解得t＝57(4－2)ABDNCPMEABDNCPMEQHABDPCN EMABDNCP EMA DM当2.5＜t＜5时∵∠MNP＞∠MBP＝∠MPB，∴MP＞MN若MN＝PN，则∠PMN＝∠MPN＝45°∴∠MNP＝90°，即MN⊥BP∴BN＝NP，BP＝2BN∴2t＝2(10－2t)，解得t＝103若PM＝PN∵PN＝BP－BN＝BP－(BE－NE)＝BP＋NE－BE∴2t＝2t＋2t－10，解得t＝57(4＋2)∴当t＝57(4－2)，t＝103，t＝57(4＋2)时，△MPN为等腰三角形（4）S＝⎩⎨⎧8t3－50t2＋75t20－6t（0＜t＜2.5）5t－252（2.5＜t＜5）10．（重庆模拟）如图，已知△ABC是等边三角形，点O是AC的中点，OB＝12，动点P在线段AB上从点A向点B以每秒3个单位的速度运动，设运动时间为t秒．以点P为顶点，作等边△PMN，点M，N在直线OB上，取OB的中点D，以OD为边在△AOB内部作如图所示的矩形ODEF，点E在线段AB上．（1）求当等边△PMN的顶点M运动到与点O重合时t的值；（2）求等边△PMN的边长（用含t的代数式表示）；（3）设等边△PMN和矩形ODEF重叠部分的面积为S，请直接写出S与t的函数关系式及自变量t的取值范围；（4）点P在运动过程中，是否存在点M，使得△EFM是等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．解：（1）当点M与点O重合时∵△ABC、△PMN是等边三角形，O为AC中点∴∠AOP＝30°，∠APO＝90°∵OB＝12，∴AO＝43＝2AP＝23t解得t＝2AO DCBF E备用图AO DCBF E备用图A DB PCNMEAO D BPF E(N)(M)∴当t ＝2时，点M 与点O 重合（2）由题设知∠ABM ＝30°，AB ＝83，AP ＝3t ∴PB ＝83－3t ，PM ＝PB ·tan30°＝8－t 即等边△PMN 的边长为8－t（3）S ＝⎩⎪⎨⎪⎧23t ＋63（0≤t≤1）－23t2＋63t ＋43（1＜t≤2）－32t2＋103（2＜t≤4）23t2－203t ＋503（4＜t≤5）0（5＜t≤8）提示：①当0≤t≤1时，PM 经过线段AF设PM 交AF 于点J ，PN 交EF 于点G ，则重叠部分为直角梯形FONG∵AP ＝3t ，∴AJ ＝23t ，JO ＝43－23t MO ＝4－2t ，ON ＝8－t －(4－2t)＝4＋t 作GH ⊥ON 于H则GH ＝FO ＝23，HN ＝2，FG ＝OH ＝4＋t －2＝2＋t ∴S ＝S 梯形FONG＝12(FG ＋ON)·FO＝12(2＋t ＋4＋t)·23＝23t ＋6 3 ②当1＜t≤2时，PM 经过线段FO设PM 交EF 于点I ，则重叠部分为五边形IJONGFJ ＝AJ －AF ＝23t －23，FI ＝2t －2∴S ＝S 梯形FONG－S △FIJ＝23t ＋63－12(23t －23)(2t －2)＝－23t 2＋63t ＋4 3③当2＜t≤4时，PN 经过线段ED设PN 交ED 于点K ，则重叠部分为五边形IMDKG∵AP ＝3t ，∴PE ＝43－3t ∴IG ＝GE ＝4－t ，EK ＝43－3t∴KD ＝23－(43－3t)＝3t －23，DN ＝t －2 ∴S ＝S 梯形IMNG －S △KDN＝1 2 (4－t ＋8－t)·23－12(3t －23)(t －2) ＝－32t 2＋10 3 ④当4＜t≤5时，PM 经过线段ED设PM 交ED 于点R ，则重叠部分为△RMD ∵AP ＝3t ，∴EP ＝3t －4 3 ∴ER ＝2EP ＝23t －8 3∴RD ＝23－(23t －83)＝103－23t MD ＝10－2tA ODCBP N F ME∴S ＝S △RMD＝12(10－2t)(103－23t)＝23t 2－203t ＋50 3 ⑤当5＜t≤8时，S ＝0（4）∵MN ＝BN ＝PN ＝8－t ，∴MB ＝16－2t ①若FM ＝EM ，则M 为OD 中点 ∴OM ＝3∵OM ＋MB ＝OB ，∴3＋16－2t ＝12 ∴t ＝3.5②若FM ＝FE ＝6，则OM ＝6 2－( 23)2＝2 6∵OM ＋MB ＝OB ，∴26＋16－2t ＝12 ∴t ＝2＋ 6③若EF ＝EM ＝6，点M 在OD 或DB 上则DM ＝6 2－( 23)2＝2 6∴DB ＋DM ＝MB 或者DB －DM ＝MB∴6＋26＝16－2t 或6－26＝16－2t ∴t ＝5－6或t ＝5＋ 6综上所述，当t ＝3.5、2＋6、5－6、5＋6时，△MEF 是等腰三角形11．（浙江某校自主招生）如图，正方形OABC 的顶点O 在坐标原点，且OA 边和AB 边所在直线的解析式分别为y ＝34x 和y ＝－4 3 x ＋ 253． （1）求正方形OABC 的边长；（2）现有动点P 、Q 分别从C 、A 同时出发，点P 沿线段CB 向终点B 运动，速度为每秒1个单位，点Q 沿折线A →O →C 向终点C 运动，速度为每秒k 个单位，设运动时间为2秒．当k 为何值时，将△CPQ 沿它的一边翻折，使得翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形？ （3）若正方形以每秒53个单位的速度沿射线AO 下滑，直至顶点B 落在x 轴上时停止下滑．设正方形在x 轴下方部分的面积为S ，求S 关于滑行时间t 的函数关系式，并写出相应自变量t 的取值范围．A OD CBP NF ME AOD C BP NF M E A O D C B PN F M E AO D C BPN F M E解：（1）联立 ⎩⎨⎧y ＝34x y ＝－ 4 3 x ＋25 3解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝3∴A （4，3），∴OA ＝4 2＋32＝5 ∴正方形OABC 的边长为5（2）要使△CPQ 沿它的一边翻折，翻折前后的两个三角形组成的 四边形为菱形，根据轴对称的性质，只需△CPQ 为等腰三角形即可 当t ＝2秒时∵点P 的速度为每秒1个单位，∴CP ＝2 分两种情况：①当点Q 在OA 上时，∵PQ ≥BA ＞PC ，∴只存在一点Q ，使QC ＝QP作QN ⊥CP 于N ，则CN ＝12CP ＝OQ ＝1 ∴QA ＝5－1＝4，∴k ＝42＝2 ②当点Q 在OC 上时，同理只存在一点Q ，使CP ＝CQ ＝2 ∴OQ ＋OA ＝10－2＝8，∴k ＝82＝4 综上所述，当t ＝2秒时，以所得的等腰三角形CPQ 沿底边翻折， 翻折后得到菱形的k 值为2或4 （3）①当点A 运动到点O 时，t ＝3 当0＜t≤3时，设O ′C ′ 交x 轴于点D则tan ∠DOO ′＝3 4 ，即DO ′OO ′＝DO ′5 3t＝ 3 4 ，∴DO ′＝ 54t∴S ＝1 2 DO ′·OO ′＝ 1 2 ·5 4 t ·5 3 t ＝ 25 24t 2②当点C 运动到x 轴上时，t ＝(5×4 3)÷5 3＝4当3＜t≤4时，设A ′B ′ 交x 轴于点E∵A ′O ＝5 3 t －5，∴A ′E ＝ 34 A ′O ＝5t －15 4∴S ＝1 2 (A ′E ＋O ′D )·A ′O ′＝1 2 (5t －15 4＋54 t )·5＝50t －75 8③当点B 运动到x 轴上时，t ＝(5＋5×4 3)÷5 3＝7当4＜t≤7时，设B ′C ′ 交x 轴于点F∵A ′E ＝5t －15 4，∴B ′E ＝5－5t －15 4＝35－5t4∴B ′F ＝43 B ′E ＝35－5t 3∴S ＝52－12 ·35－5t 4·35－5t 3＝－25 24 t 2＋ 175 12 t －625 24综上所述，S 关于滑行时间t 的函数关系式为：S ＝ ⎩⎪⎨⎪⎧2524t 2（0＜t≤3）50t －758（3＜t≤4）－25 24t2＋175 12t －625 24（4＜t≤7）12．（浙江某校自主招生）如图，正方形ABCD 的边长为8cm ，动点P 从点A 出发沿AB 边以1cm /秒的速度向点B 匀速移动（点P 不与点A 、B 重合），动点Q 从点B 出发沿折线BC －CD 以2cm /秒的速度匀速移动．点P 、Q 同时出发，当点P 停止时，点Q 也随之停止．连接AQ 交BD 于点E ．设点P 运动时间为t （秒）．（1）当点Q 在线段BC 上运动时，点P 出发多少时间后，∠BEP ＝∠BEQ ？ （2）设△APE 的面积为S （cm 2），求S 关于t 的函数关系式，并写出t 的取值范围； （3）当4＜t ＜8时，求△APE 的面积为S 的变化范围．解（1）AP ＝x cm ，BQ ＝2x cm∵∠BEP ＝∠BEQ ，BE ＝BE ，∠PBE ＝∠QBE ＝45° ∴△PBE ≌△QBE ，∴PB ＝BQ 即8－x ＝2x ，∴x ＝83∴点P 出发83秒后，∠BEP ＝∠BEQ （2）①当0＜x≤4时，点Q 在BC 上，作EN ⊥AB 于N ，EM ⊥BC 于M ∵AD ∥BC ，∴ AEEQ＝ADBQ＝8 2x＝4x即AEEQ＝4 x，∴AEAQ ＝4x ＋4∴NEBQ＝AEAQ，∴NE ＝AE ·BQAQ ＝8x x ＋4∴S ＝1 2 AP ·NE ＝ 1 2 x · 8x x ＋4 ＝4x2x ＋4A B DEC PQ A BDE CPQN M即S ＝4x2x ＋4（0＜x≤4）②当4＜x＜8时，点Q 在CD 上，作QF ⊥AB 于F ，交BD 于H则AEEQ＝ADHQ＝8 16－2x＝48－x即AEEQ＝4 8－x，∴AEAQ ＝ 4 8－x ＋4 ＝412－x作EN ⊥AB 于N ，则 NEFQ＝AEAQ∴NE ＝AE ·FQFQ＝32 12－x∴S ＝1 2 AP ·NE ＝ 1 2 x ·32 12－x ＝16x12－x即S ＝16x12－x（4＜x＜8） （3）当4＜x＜8时，由S ＝16x12－x，得x ＝12S16＋S∵4＜x＜8，∴4＜12S16＋S＜8 ∵S＞0，∴16＋S＞0，∴4(16＋S)＜12S＜8(16＋S) 解得8＜S＜32 13．（浙江模拟）如图，菱形ABCD 的边长为6且∠DAB ＝60°，以点A 为原点、边AB 所在直线为x 轴且顶点D 在第一象限建立平面直角坐标系．动点P 从点D 出发沿折线D －C －B 向终点B 以每秒2个单位的速度运动，同时动点Q 从点A 出发沿x 轴负半轴以每秒1个单位的速度运动，当点P 到达终点时停止运动．设运动时间为t ，直线PQ 交边AD 于点E ． （1）求出经过A 、D 、C 三点的抛物线解析式；（2）是否存在时刻t ，使得PQ ⊥BD ？若存在，求出t 值，若不存在，请说明理由； （3）设AE 长为y ，试求y 与t 之间的函数关系式；（4）若F 、G 为DC 边上两点，且点DF ＝FG ＝1，试在对角线DB 上找一点M 、抛物线对称轴上找一点N ，使得四边形FMNG 周长最小并求出周长最小值．解：（1）由题意得：D （3，33）、C （9，33）设经过A 、D 、C 三点的抛物线解析式为y ＝ax2＋bx 把D 、C 两点坐标代入上式，得：A BDE CP QNF H⎩⎨⎧9a ＋3b ＝3381a ＋9b ＝33 解得：a ＝－3 9 ，b ＝433∴抛物线的解析式为：y ＝－39 x2＋433x （2）连接AC∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD 若PQ ⊥BD ，则PQ ∥AC 当点P 在DC 上时∵PC ∥AQ ，PQ ∥AC ，∴四边形PQAC 是平行四边形 ∴PC ＝AQ ，即6－2t ＝t, ∴t ＝2当点P 在CB 上时，PQ 与AC 相交，此时不存在符合要求的t 值 （3）①当点P 在DC 上，即0≤t≤3时 ∵DP ∥AQ ，∴△DEP ∽△AEQ∴ DE y＝ DP AQ ＝ 2tt ＝2，∴y ＝ 13AD ＝2②当点P 在CB 上，即3＜t≤6时∵AE ∥BP ，∴△QEA ∽△QPB∴AEBP＝QAQB，即y12－2t＝t6＋t∴y ＝12－2t6＋t综上所述，y 与t 之间的函数关系式为： y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2 （0≤t≤3） 12－2t6＋t（3＜t≤6）（4）作点F 关于直线BD 的对称点F ′，由菱形对称性知F ′ 在DA 上，且DF ′＝DF ＝1作点G 关于抛物线对称轴的对称点G ′，易求DG ′＝4连接F ′G ′ 交DB 于点M 、交对称轴于点N ，则点M 、N过F ′ 作F ′H ⊥DG ′ 于H ，可得HD ＝1 2，F ′H ＝ 3 2 ，HG ′＝92∴F ′G ′＝F ′H 2＋HG ′ 2＝21∴四边形FMNG 周长最小值为F ′G ′＋FG ＝21＋1 14．（浙江模拟）如图，直线y ＝－x ＋5和直线y ＝kx －4交于点C （3，m ），两直线分别交y 轴于点A 和点B ，一平行于y 轴的直线l 从点C 出发水平向左平移，速度为每秒1个单位，运动时间为t ，且分别交AC 、BC 于点P 、Q ，以PQ 为一边向左侧作正方形PQDE ． （1）求m 和k 的值；（2）当t 为何值时，正方形的边DE 刚好在y 轴上？（3）当直线l 从点C 出发开始运动的同时，点M 也同时在线段AB 上由点A 向点B 以每秒4个单位的速度运动，问点M 从进入正方形PQDE 到离开正方形持续的时间有多长？解：（1）把C （3，m ）代入y ＝－x ＋5得m ＝2 ∴C （3，2），代入y ＝kx －4得k ＝2 （2）由题意，点P 横坐标为3－t当x ＝3－t 时，y ＝－x ＋5＝t ＋2，∴P （3－t ，t ＋2） ∵PQ ∥y 轴，∴点Q 横坐标为3－t当x ＝3－t 时，y ＝2x －4＝2－2t ，∴Q （3－t ，2－2t ） ∴PQ ＝t ＋2－(2－2t)＝3t ∵正方形PQDE ，∴PQ ＝PE当正方形的边DE 刚好在y 轴上时，3t ＝3－t ，∴t ＝34（3）∵直线y ＝－x ＋5交y 轴于点A ，∴A （0，5） ∴点M 坐标为（0，5－4t ）当点M 和点P 的纵坐标相等时，5－4t ＝t ＋2，∴t ＝35∵3 5＜3 4，∴点M 进入正方形PQDE 时，t ＝3 4当点M 和点Q 的纵坐标相等时，5－4t ＝2－2t ，∴t ＝3 2∴点M 从进入正方形PQDE 到离开正方形持续的时间为：t ＝32－3 4＝3 415．（浙江模拟）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，Rt △OAB 的直角边OA 在x 轴的正半轴上，点B 坐标为（3，1），以OB 所在直线为对称轴将△OAB 作轴对称变换得△OCB ．动点P 从点O 出发，沿线段OA 向点A 运动，动点Q 从点C 出发，沿线段CO 向点O 运动．P 、Q 两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．设点P （1）求∠AOC 的度数；（2）记四边形BCQP 的面积为S （平方单位），求S 与t （3）设PQ 与OB 交于点M ． ①当△OMQ 为等腰三角形时，求t 的值． ②探究线段OM 长度的最大值，说明理由．解：（1）∵点B坐标为（3，1），∴OA＝3，AB＝1∴在Rt△OAB中，tan∠AOB＝ABOA＝13＝33∴∠AOB＝30°∵将△OAB作轴对称变换得△OCB∴△OCB≌△OAB，∴∠COB＝∠AOB＝30°∴∠AOC＝60°（2）∵OP＝CQ＝t，AB＝1，OC＝OA＝ 3 ∴AP＝OQ＝3－t∴S＝2S△OAB－S△OPQ－S△P AB＝OA·AB－12OP·OQ·sin∠AOC－12P A·AB＝3×1－12×t×(3－t)×32－12×(3－t)×1＝34t2－14t＋32（3）①若△OMQ为等腰三角形，则可能有三种情况：（i）若OM＝MQ，则∠MQO＝∠MOQ＝30°∵∠AOC＝60°，∴∠OPQ＝90°∴OP＝12OQ，即t＝12(3－t)解得：t＝3 3（ii）若OM＝OQ，则∠OMQ＝∠OQM＝75°∵∠AOC＝60°，∴∠OPQ＝45°过点Q作QD⊥OA于D，则QD＝DP即32(3－t)＝t－12(3－t)解得：t＝1（iii）若MQ＝OQ，则∠OMQ＝∠MOQ＝∠MOP 得PQ∥OA，显然不符合题意②分别过点P、Q作OB的垂线，垂足分别为E、F ∵OP＝t，OQ＝3－t，∠MOP＝∠MOQ＝30°∴S△OPQ＝S△OPM＋S△OOM＝12OM·PE＋12OM·QF＝14OM·OP＋14OM·OQ＝14OM(OP＋OQ)＝14OM(t＋3－t)＝34OM过点Q作QG⊥OA于G则S△OPQ＝12OP·QG＝12OP·OQ·sin60°＝34t(3－t)＝－34(t2－3t)∴34OM＝－34(t2－3t)∴OM ＝－(t 2－ 3t )＝－(t －32)2＋3 4∴当t ＝32时，线段OM 的长度取得最大值 3416．（浙江模拟）已知直线y ＝43x ＋4与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，点C 从O 点出发沿射线OA 以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时点D 从A 点出发沿AB 以每秒1个单位长度的速度向B 点匀速运动，当点D 到达B 点时C 、D 都停止运动．点E 是CD 的中点，直线EF ⊥CD 交y 轴于点F ，点E ′与E 点关于y t （秒）．（1）当t ＝________秒时，点F 经过原点O ； （2）设四边形BDCO 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式；（3）当直线EF 与△AOB 的一边垂直时，求t 的值；（4）以CD 为一边，在CD 的右侧作菱形CDMN ，其中DM ∥x 轴．当点N 在直线E ′F 左侧时，直接写出菱形CDMN 与△EFE ′重叠部分为轴对称图形时t 的取值范围．解：（1）52提示： ∵直线y ＝43x ＋4与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ∴A （－3，0），B （0，4），∴AO ＝3，BO ＝4 ∴AB ＝AO 2＋BO 2＝3 2＋42＝5 当点F 经过原点时，连接OD 由题意，EF 是CD 的垂直平分线 ∴OD ＝OC ＝t∵AD ＝t ，∴AD ＝OD ，∴∠DAO ＝∠DOA ∵∠DBO ＋∠DAO ＝90°，∠DOB ＋∠DOA ＝90° ∴∠DBO ＝∠DOB ，∴OD ＝BD∴AD ＝BD ，∴AD ＝12AB ＝5 2（2）∵AO ＝3，BO ＝4，AB ＝5 ∴sin ∠BAO ＝BOAB＝4 5 ，cos ∠BAO ＝AOAB ＝3 5过D 作DH ⊥AC 于H当0≤t≤3时∵CO ＝t ，AD ＝t ，∴AC ＝3－t ，DH ＝AD ·sin ∠BAO ＝45t ∴S ＝S △ABO－S △ADC＝1 2 ×3×4－1 2 ·(3－t)·4 5 t ＝ 2 5 t 2－65t ＋6当3＜t≤5时，AC ＝t －3∴S ＝S △ABO＋S △ADC＝1 2 ×3×4＋1 2 ·(t －3)·4 5 t ＝ 2 5 t 2－ 65t ＋6综合得S 与t 的函数关系式为： S ＝25t 2－65t ＋6（0≤t≤5） （3）当EF ⊥BO 时∵EF ⊥CD ，∴CD ∥BO ，∴∠ACD ＝90° 在Rt △ADC 中，ACAD＝cos ∠BAO∴3－t t＝3 5 ，∴t ＝158当EF ⊥AB 时∵EF ⊥CD ，∴直线CD 与直线AB 重合 ∴点C 与点A 重合，∴t ＝3 （4）t ＝5 4 或t ＝154提示：①当0＜t＜158则∠PEQ ＝∠MQE∵菱形CDMN ，∴CD ∥MN∴∠MQE ＝∠CEQ ，∴∠PEQ ＝∠CEQ ∵EF ⊥CD ，即∠CEF ＝90°，∴∠CEQ ＝∴∠ACD ＝∠CEQ ＝45°过D 作DH ⊥AC 于H ，则△DHC 是等腰直角三角形∴DH ＝HC ，∴4 5t ＝3－t －3 5 t ，∴t ＝54②当158＜t＜5，且重叠部分为等腰梯形EHNK 时 同理可得∠CHE ＝45° 连接DH∵EF 垂直平分CD ，∴CH ＝DH ，∠DHE ＝∠CHE ＝45° ∴∠DHC ＝90°，∴DH ＝45t 而CH ＝CO －HO ＝CO －(AO －AH)＝t －(3－35t) ∴t －(3－3 5 t )＝45 t ，∴t ＝15417．（浙江模拟）如图1，矩形ABCD中，AB＝21，AD＝12，E是CD边上的一点，DE＝16，M是BC边的中点，动点P从点A出发，沿边AB以每秒1个单位长度的速度向终点B 运动．设动点P的运动时间是t秒．（1）求线段AE的长；（2）当△ADE与△PBM相似时，求t的值；（3）如图2，连接EP，过点P作PH⊥AE于H．①当EP平分四边形PMEH的面积时，求t的值；②以PE为对称轴作线段BC的轴对称图形B′C′，当线段B′C′与线段AE有公共点时，写出t的取值范围（直接写出答案）．解：（1）∵ABCD是矩形，∴∠D＝90°∴AE＝AD2＋DE2＝122＋162＝20（2）∵∠D＝∠B＝90°∴△ADE与△PBM相似时，有两种情况：当∠DAE＝∠PMB时，有DEPB＝ADBM即1621－t＝126，解得t＝13当∠DAE＝∠BPM时，有DEBM＝ADPB即166＝1221－t，解得t＝332（3）①由题意得：S△EHP＝S△EMP∵DC∥AB，∴∠DEA＝∠HAP又∵∠D＝∠AHP＝90°，∴△ADE∽△PHA∴AHDE＝PHAD＝APAE，即AH16＝PH12＝t20∴AH＝45t，PH＝35t，EH＝20－45t∴S△EHP＝12×35t×(20－45t)∵DC＝21，DE＝16，∴EC＝5∴S△EMP＝S梯形EPBC－S△ECM－S△PBM＝12(5＋21－t)×12－12×5×6－12×(21－t)×6DACEBMP图1DACEBMPH图2DACEBM备用图D CEBMPHD CEBMPH∴12×35t×(20－45t)＝12(5＋21－t)×12－12×5×6－12×(21－t)×6解得t＝75±5174∵0＜t＜21，∴t＝75－5174②14011≤t≤20提示：当点B′落在线段AE上时连接B′P、EB，∵B′C′和BC关于PE对称∴B′P＝BP＝21－t，B′E＝BE＝BC2＋EC2＝122＋52＝13∴AB′＝AE－B′E＝20－13＝7，B′H＝AH－AB′＝45t－7在Rt△B′HP中，B′H2＋PH2＝B′P2∴(45t－7)2＋(35t)2＝(21－t)2，解得t＝14011当点C′落在线段AE上时连接C′P、CP，∵B′C′和BC关于PE对称C′P2＝CP2＝122＋(21－t)2，C′E＝CE＝5∴AC′＝AE－C′E＝20－5＝15，C′H＝AH－AC′＝45t－15在Rt△C′HP中，C′H2＋PH2＝C′P2∴(45t－15)2＋(35t)2＝122＋(21－t)2，解得t＝2018．（浙江模拟）如图，抛物线与x轴交于A（6，0）、B（19，0）两点，与y轴交于点C （0，8），直线CD∥x轴交抛物线于另一点D．动点P、Q分别从C、D两点同时出发，速度均为每秒1个单位，点P向射线DC方向运动，点Q向射线BD方向运动，设P、Q运动的时间为t（秒），AQ交CD于E．（1）求抛物线的解析式；（2）求△APQ的面积S与t的函数关系式；（3）连接BE．是否存在某一时刻t，使得∠AEB＝∠BDC？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线与x轴交于A（6，0）、B（19，0）两点∴设抛物线的解析式为y＝a(x－6)(x－19)∵抛物线与y轴交于点C（0，8）∴8＝a(0－6)(0－19)，∴a＝457DACEBMPHC′B′NDACEBMPHB'C'∴y＝457(x－6)(x－19)（2）作PF⊥x轴于F，QG⊥x轴于G，DH⊥x轴于H，∵CD∥x轴，∴PF＝DH＝OC＝8当y＝8时，457(x－6)(x－19)＝8解得x1＝0，x2＝25∴D（25，8），OH＝CD＝25∵B（19，0），∴BH＝25－19＝6∴BD＝BH2＋DH2＝62＋82＝10∵△BDH∽△BQG，∴BDBQ＝DHQG＝BHBG∴1010＋t＝8QG＝6BG∴QG＝45t＋8，BG＝35t＋6∴FG＝t＋19＋35t＋6＝85t＋25，AG＝35t＋19∴S＝S梯形PFGQ－S△P AF－S△QAG＝12(PF＋QG)·FG－12AF·PF－12AG·QG＝12(8＋45t＋8)(85t＋25)－12(t＋6)·8－12(35t＋19)(45t＋8)＝25t2＋445t＋100（3）∵AC＝BD＝10，∴四边形ABDC是等腰梯形∴∠ACD＝∠BDC若∠AEB＝∠BDC，则∠AEC＋∠BED＝∠BED＋∠EBD ∴∠AEC＝∠EBD，∴△AEC∽△EBD∴ACED＝CEDB，即10ED＝25－ED10解得ED＝5或ED＝20（＞AB，舍去）∵△QED∽△QAB，∴EDAB＝QDQB即513＝tt＋10，∴t＝254∴存在某一时刻t，使得∠AEB＝∠BDC，t＝25 4。

原抛物线的解析式为 y
3 x( x
4) ，所以翻折后的抛物线的解析式为
y
3 x( x
4) ．
3
3
所以 D (2 m,
3
3
(2 m)(2 m 4)) ， C (2 3m, (2 3m)(2 3m 4)) ．
3
3
根据 yC∶y D＝ 3∶1，列方程
3 (2 3m)(2 3m 4) 3
3
3 (2
m)(2
m) ．解得 m
32 ．
5
9
9
例 4 如图，已知二次函数的图象过点 O(0,0)、A(4，0)、 B( 2, 4 3 )，M 是 OA 的中点． 3
（ 1）求此二次函数的解析式；
（ 2）设 P 是抛物线上的一点，过 P 作 x 轴的平行线与抛物线交于另一点 Q，要使四边形 PQAM 是菱形，
求点 P 的坐标； （ 3）将抛物线在 x 轴下方的部分沿 x 轴向上翻折，得曲线 OB ′A（ B′为 B 关于 x 轴的对称点） ，在原抛
4．两个三角形的面积比为 9∶ 10，要分两种情况讨论．
满分解答
（ 1）设直线 y
1 x
1与 y 轴交于点
E，那么 A(－ 2,0)，B(4,3)， E(0,1)．
2
在 Rt△AEO 中， OA＝ 2， OE＝ 1，所以 AE
5 ．所以 sin AEO 2 5 ． 5
因为 PC //EO，所以∠ ACP ＝∠ AEO．因此 sin ACP 2 5 ． 5
物线 x 轴的上方部分取一点 C，连结 CM， CM 与翻折后的曲线 OB′A 交于点 D，若△ CDA 的面积是△ MDA 面 积的 2 倍，这样的点 C 是否存在？若存在求出点 C 的坐标；若不存在，请说明理由．