中考数学“线段和差问题”经典例题

中考压轴题（二次函数）之【因动点产生的线段和差问题】精品解析【例1】（天津市中考第25题）在平面直角坐标系中，已知点A(－2,0)，B(0,4)，点E在OB上，且∠OAE＝∠OBA．（1）如图1，求点E的坐标；（2）如图2，将△AEO沿x轴向右平移得到△AE′O′，连结A′B、BE′．①设AA′＝m，其中0＜m＜2，使用含m的式子表示A′B2＋BE′2，并求出使A′B2＋BE′2取得最小值时点E′的坐标；②当A′B＋BE′取得最小值时，求点E′的坐标（直接写出结果即可）．图1 图2思路点拨1．图形在平移的过程中，对应点的连线平行且相等，EE′＝AA′＝m．2．求A′B2＋BE′2的最小值，第一感觉是用勾股定理列关于m的式子．3．求A′B＋BE′的最小值，第一感觉是典型的“牛喝水”问题——轴对称，两点之间线段最短．满分解答（1）由∠OAE＝∠OBA，∠AOE＝∠BOA，得△AOE∽△BOA．所以AO BOOE OA=．因此242OE=．解得OE＝1．所以E(0,1)．（2）①如图3，在Rt△A′OB中，OB＝4，OA′＝2－m，所以A′B2＝16＋(2－m)2．在Rt△BEE′中，BE＝3，EE′＝m，所以BE′2＝9＋m2．所以A′B2＋BE′2＝16＋(2－m)2＋9＋m2＝2(m－1)2＋27．所以当m＝1时，A′B2＋BE′2取得最小值，最小值为27．此时点A′是AO的中点，点E′向右平移了1个单位，所以E′(1,1)．②如图4，当A′B＋BE′取得最小值时，求点E′的坐标为8(,1)7．图3 图4考点伸展第（2）②题这样解：如图4，过点B 作y 轴的垂线l ，作点E ′关于直线l 的对称点E ′′， 所以A ′B ＋BE ′＝A ′B ＋BE ′′．当A ′、B 、E ′′三点共线时，A ′B ＋BE ′′取得最小值，最小值为线段A ′E ′′．在Rt △A ′O ′E ′′中，A ′O ′＝2，O ′E ′′＝7，所以A ′E ′′ 当A ′、B 、E ′′三点共线时，''''''A O A O BO E O =．所以247m =． 解得87m =．此时8'(,1)7E ．【例2】（滨州市中考第24题）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A (－2, －4 )、O (0, 0)、 B (2, 0)三点．（1）求抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的解析式；（2）若点M 是该抛物线对称轴上的一点，求AM ＋OM 的最小值．图1答案（1）212y x x =-+。

For personal use only in study and research; not for commercial use线段和（差）的最值问题此类问题特点：1.两个定点，一个定点；2. 线段和最小值，线段差最大值一、线段和最小值问题若在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；（1）两侧/异侧型：定点A、B在直线m（动点P所在直线）两侧：直接连接A、B两点交直线m于一点P，该点P即为所求点。

（PA+PB=AB）（2）同侧型：定点A、B在动点P所在直线m同侧：（方法：一找二作三连）：一找：找定点A、B，动点P及动点所在的直线m；二作：任选一个定点做对称；三连：连接对称点与另一个定点，其连线交动点所在直线于一点P，该点P即为所求。

（PA+PB=PA’+PB=A’B）二、线段差最大值问题若在一条直线m上，求一点P，使得最大（1）同侧型：定点A、B在直线m（动点P所在直线）两侧：直接连接A、B两点交直线m于一点P，该点P即为所求点。

()（2）两侧/异侧型：定点A、B在直线m（动点P所在直线）两侧：任选一个定点做对称；三连：连接对称点与另一个定点，其连线交动点所在直线m于一点P，该点P即为所求点。

()线段和最小值练习题1．如图1，在锐角三角形ABC中，AB=,∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M,N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值为?????????????．2. 如图2所示，等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC边上一点.若AE=2,EM+CM的最小值为?????????.3.如图3，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为__________．图1 图2 图3 图44. 如图4，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为????????????．5. 如图5，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________cm．6.已知正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．则PB +PE的最小值是7. 如图6，已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是AC上的一个动点，则DN+MN的最小值为?????????? ?．8.如图7，在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ 周长的最小值为????????????????????cm．（结果不取近似值）图5 图6 图79. 如图8，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，则PA+PC的最小值是．10. 如图9，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为______.如图8 如图9解答题1.如图，一元二次方程x2+2x-3=0的二根x1，x2（x1＜x2）是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点B，C 的横坐标，且此抛物线过点A（3，6）．（1）求此二次函数的解析式；（2）设此抛物线的顶点为P，对称轴与AC相交于点Q，求点P和点Q的坐标；（3）在x轴上有一动点M，当MQ+MA取得最小值时，求M点的坐标．?2.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），△AOB的面积是.（1）求点B的坐标；（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；?3. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.4. 如图，已知直线y＝x＋1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线y＝x2＋bx＋c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为(1，0)．（1）求该抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM－MC|的值最大，求出点M的坐标．5.抛物线的解析式为，交x轴与A与B,交y轴于C。

中考复习专题之线段(和差)最值问题之对称对称问题，指的是通过对称的方式求得线段(和差)最值的问题类型，包含一次对称即将军饮马问题、二次对称、过河修桥问题等. 1.将军饮马问题“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。

而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。

如图，将军在图中点A 处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？如图，在直线上找一点P 使得PA+PB 最小？这个问题的难点在于PA+PB 是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段．作点A 关于直线的对称点A'，连接PA'，则PA'=PA ，所以PA+PB=PA'+PB当A'、P 、B 三点共线的时候，PA'+PB =A'B ，此时为最小值（两点之间线段最短） 作端点（点A 或点B ）关于折点（上图P 点）所在直线的对称，化折线段为直线段．2.二次对称问题在OA 、OB 上分别取点M 、N ，使得△PMN 周长最小．AB 将军军营河此处M 、N 均为折点，分别作点P 关于OA （折点M 所在直线）、OB （折点N 所在直线）的对称点，化折线段PM +MN +NP 为P'M +MN +NP ’’，当P'、M 、N 、P''共线时，△PMN 周长最小． 3.过河修桥问题已知人在图中点A 村庄，现要过河去往B 村，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？考虑MN 长度恒定，只要求AM +NB 最小值即可．问题在于AM 、NB 彼此分离，所以首先通过平移，使AM 与NB 连在一起，将AM 向下平移使得M 、N 重合，此时A 点落在A ’位置．问题化为求A'N +NB 最小值，显然，当A'、N 、B 共线时，AM+MN+BN 的值最小，并得出桥应建的位置． 【问题扩展1】已知将军在图中点A 处，现要过两条河去往B 点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？BB考虑PQ 、MN 均为定值，所以路程最短等价于AP +QM +NB 最小，对于这彼此分离的三段，可以通过平移使其连接到一起．AP 平移至A'Q ，NB 平移至MB ’，化AP +QM +NB 为A'Q +QM +MB'．当A'、Q 、M 、B ’共线时，A'Q +QM +MB'取到最小值，再依次确定P 、N 位置． 【问题扩展1】如图，将军在A 点处，现在将军要带马去河边喝水，并沿着河岸走一段路，再返回军营，问怎么走路程最短？已知A 、B 两点，MN 长度为定值，求确定M 、N 位置使得AM +MN +NB 值最小？【分析】考虑MN 为定值，故只要AM +BN 值最小即可．将AM 平移使M 、N 重合，AM =A'N ，将AM +BN 转化为A'N +NB ．构造点A 关于MN 的对称点A''，连接A''B ，可依次确定N 、M 位置，可得路线．军营BBB军营河练习题1.如图，点P 是∠AOB 内任意一点，∠AOB =30°，OP =8，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，则△PMN 周长的最小值为___________．2.如图，正方形ABCD 的边长是4，M 在DC 上，且DM =1， N 是AC 边上的一动点，则△DMN 周长的最小值是___________．3.如图，在Rt △ABO 中，∠OBA =90°，A （4,4），点C 在边AB 上，且AC :CB =1:3，点D 为OB 的中点，点P 为边OA 上的动点，当点P 在OA 上移动时，使四边形PDBC 周长最小的点P 的坐标为( ) A ．(2,2)B ．5(2，5)2C ．8(3，8)3D ．(3,3)4.如图，在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，点D 在BC 上，BD =3，DC =1，点P 是AB 上的动点，则PC +PD 的最小值为( ) A ．4B ．5C ．6D ．75.如图，在等边△ABC 中，AB =6， N 为AB 上一点且BN =2AN ， BC 的高线AD 交BC 于点D ，M 是AD 上的动点，连结BM ，MN ，则BM +MN 的最小值是___________．6.如图，在Rt △ABD 中，AB =6，∠BAD =30°，∠D =90°，N 为AB 上一点且BN =2AN ， M 是AD 上的动点，连结BM ，MN ，则BM +MN 的最小值是___________．7.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =6．AB =12，AD 平分∠CAB ，点F 是AC 的中点，点E 是AD 上的动点，则CE +EF 的最小值为( ) A ．3B ．4C．D．8.如图，在锐角三角形ABC 中，BC =4，∠ABC =60°， BD 平分∠ABC ，交AC 于点D ，M 、N 分别是BD ，BC 上的动点，则CM +MN 的最小值是( ) AB ．2C．D ．49.如图，在菱形ABCD 中，AC=BD =6，E 是BC 的中点，P 、M 分别是AC 、AB 上的动点，连接PE 、PM ，则PE +PM 的最小值是( )A ．6B．C．D ．4.5P OBAMNNMD CBAPDCBAA BCDMNN M D BAE AFCDBNM DCBA10.如图，矩形ABOC 的顶点A 的坐标为（-4,5），D 是OB 的中点，E 是OC 上的一点，当△ADE 的周长最小时，点E 的坐标是( ) A ．4(0,)3B ．5(0,)3C ．(0,2)D ．10(0,)311.如图，在矩形ABCD 中，AB =6，AD =3，动点P 满足13PAB ABCD S S ∆=矩形，则点P 到A 、B 两点距离之和P A +PB 的最小值为( )A．B．C．D12.如图，矩形ABCD 中，AB =10，BC =5，点E 、F 、G 、H 分别在矩形ABCD 各边上，且AE =CG ，BF =DH ，则四边形EFGH 周长的最小值为( ) A．B．C．D．13.如图，∠AOB =60°，点P 是∠AOB 内的定点且OPM 、N 分别是射线OA 、OB 上异于点O 的动点，则△PMN 周长的最小值是( )ABC ．6D ．314. 如图，∠AOB 的边OB 与x 轴正半轴重合，点P 是OA 上的一动点，点N （3,0）是OB 上的一定点，点M 是ON 的中点，∠AOB =30°，要使PM +PN 最小，则点P 的坐标为 ． 15.如图，已知正比例函数y =kx （k >0）的图像与x 轴相交所成的锐角为70°，定点A 的坐标为（0，4），P 为y 轴上的一个动点，M 、N 为函数y =kx （k >0）的图像上的两个动点，则AM +MP +PN 的最小值为____________．16.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点B 在原点，点A 、C 在坐标轴上，点D 的坐标为（6，4），E 为CD 的中点，点P 、Q 为BC 边上两个动点，且PQ =2，要使四边形APQE 的周长最小，则点P 的坐示应为______________．17.如图，矩形ABCD 中，AD =2，AB =4，AC 为对角线，E 、F 分别为边AB 、CD 上的动点，且EF ⊥AC 于点M ，连接AF 、CE ，求AF +CE 的最小值．EPDCBAMDCBAPHFGEDCB AA BMOPN18.如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB 的直角顶点A 在x 轴的正半轴上，顶点B的坐标为(3)，点C 的坐标为(12，0)，点P 为斜边OB 上一动点，则PA+PC 的最小值为___________． 19.如图，△ AOB=30 °，点 M 、 N 分别在边 OA 、OB 上，且 OM=1 ，ON=3，点 P 、Q 分别在边 OB 、OA 上，则 MP+PQ+QN 的最小值 _________20.如图，在矩形ABCD 中，AB=4，BC=8，E 为CD 边的中点．若P ，Q 为BC 边上的两动点，且PQ=2，则当BP=___时，四边形APQE 的周长最小．21.如图在河的两侧有两个村庄，A 离河为60米，B 离河是30米，AB 的水平距离为120米，河的宽度为30米，问桥修在何处会使得从A 经过桥到B 的路程最小，最小值为多少？参考答案1.82.63.C4.B5.6. 7.C 8.C 9.C 10.B 11.A 12.B 13.D14.3(215. 16.8(,0)3 17.520.2+ 21.180A B CDEFMyxPCBAO Q P ED CB A。

初中几何中线段和（差）的最值问题一、两条线段和的最小值。

基本图形解析：（对称轴为：动点所在的直线上）一）、已知两个定点：1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小； （1）点A 、B 在直线m 两侧：（2）点A 、B 在直线同侧：A 、A ’ 是关于直线m 的对称点。

2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。

（1）两个点都在直线外侧：（2）一个点在内侧，一个点在外侧：m m mmABmn m nnmn（3）两个点都在内侧：（4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短.填空：最短周长=________________变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.二）、一个动点，一个定点： （一）动点在直线上运动：点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、两点在直线两侧：nnm Bnn2、两点在直线同侧：（二）动点在圆上运动点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、点与圆在直线两侧：2、点与圆在直线同侧：三）、已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。

(原理用平移知识解) （1）点A 、B 在直线m 两侧：mnmmmmm过A 点作AC ∥m,且AC 长等于PQ 长，连接BC,交直线m 于Q,Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时P 、Q 即为所求的点。

（2）点A 、B 在直线m 同侧： 练习题1．如图，∠AOB =45°，P 是∠AOB 内一点，PO =10，Q 、R 分别是OA 、OB 上的动点，求△PQR 周长的最小值为 ．2、 如图1，在锐角三角形ABC 中，AB=4,∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M,N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值为 ． 3、如图，在锐角三角形ABC 中 ，AB=52，∠BAC=45，BAC 的平分线交BC 于D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是多少mABB'EQ PmABQPQ4、如图4所示，等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC边上一点.若AE=2,EM+CM的最小值为.5、如图3，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB 上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为__________．6、如图4，等腰梯形ABCD中，AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，P是上底，下底中点EF直线上的一点，则PA+PB的最小值为．7、如图5菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为．8、如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是9、如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________cm．10、如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为11、如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．则PB+PE的最小值是12、如图6所示，已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是AC上的一个动点，则DN+MN的最小值为．13、如图，正方形ABCD的边长是2，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值为．14、如图7，在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为cm．（结果不取近似值）．15、如图，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，则PA+PC的最小值是．16、如图8，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为( )(A)2 (B) (C)1 (D)2解答题1、如图9，正比例函数y=x的图象与反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象交于A 点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知三角形OAM的面积为1.（1）求反比例函数的解析式；（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最小.2、如图，一元二次方程x2+2x-3=0的二根x1，x2（x1＜x2）是抛物线y=ax2+bx+c 与x轴的两个交点B，C的横坐标，且此抛物线过点A（3，6）．（1）求此二次函数的解析式；（2）设此抛物线的顶点为P，对称轴与AC相交于点Q，求点P和点Q的坐标；（3）在x轴上有一动点M，当MQ+MA取得最小值时，求M点的坐标．3、如图10，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），△AOB的面积是.（1）求点B的坐标；（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；4．如图，抛物线y ＝35x 2－185x ＋3和y 轴的交点为A ，M 为OA 的中点，若有一动点P ，自M点处出发，沿直线运动到x 轴上的某点（设为点E ），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点F ），最后又沿直线运动到点A ，求使点P 运动的总路程最短的点E ，点F 的坐标，并求出这个最短路程的长．5．如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，直角梯形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA =AB =2，OC =3，过点B 作BD ⊥BC ，交OA 于点D ．将∠DBC 绕点B 按顺时针方向旋转，角的两边分别交y 轴的正半轴、x 轴的正半轴于点E 和F ． （1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式； （2）当BE 经过（1）中抛物线的顶点时，求CF 的长；（3）在抛物线的对称轴上取两点P 、Q （点Q 在点P 的上方），且PQ ＝1，要使四边形BCPQ 的周长最小，求出P 、Q 两点的坐标．6．如图，已知平面直角坐标系，A，B两点的坐标分别为A(2，－3），B(4，－1）若C(a，0)，D(a+3，0)是x轴上的两个动点，则当a为何值时，四边形ABDC的周长最短．7、如图11，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x 轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.v1.0 可编辑可修改二、求两线段差的最大值问题 (运用三角形两边之差小于第三边) 基本图形解析：1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA 与PB 的差最大； （1）点A 、B 在直线m 同侧：解析：延长AB 交直线m 于点P ，根据三角形两边之差小于第三边，P ’A —P ’B ＜AB ，而PA —PB=AB 此时最大，因此点P 为所求的点。

初中几何中线段的最值问题一、两条线段和的最小值。

一）、已知两个定点：1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小； 基本图形解析： （1）点A 、B 在直线m 两侧：（2）点A 、B 在直线同侧：2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。

（1）两个点都在直线外侧：（2）一个点在内侧，一个点在外侧：（3）两个点都在内侧：mmB mABmn mn nm nn nm（4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短.填空：最短周长=________________变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.二）、一个动点，一个定点： （一）动点在直线上运动：点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ）1、两点在直线两侧：2、两点在直线同侧：mnm nm nm（二）动点在圆上运动点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、点与圆在直线两侧：2、点与圆在直线同侧：三）、已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。

(原理用平移知识解) （1）点A 、B 在直线m 两侧：过A 点作AC ∥m,且AC 长等于PQ 长，连接BC,交直线m 于Q,Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时P 、Q 即为所求的点。

（2）点A 、B 在直线m 同侧：mmmmQ Q练习题1．如图，∠AOB =45°，P 是∠AOB 内一点，PO =10，Q 、R 分别是OA 、OB 上的动点，求△PQR 周长的最小值为 ．2、 如图1，在锐角三角形ABC 中，AB=4,∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M,N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值为 ． 3、如图，在锐角三角形ABC 中 ，AB=BAC=45，BAC 的平分线交BC 于D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是多少？4、如图4所示，等边△ABC 的边长为6,AD 是BC 边上的中线,M 是AD 上的动点,E 是AC 边上一点.若AE=2,EM+CM 的最小值为 .5、如图3，在直角梯形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AD ∥BC ，AD ＝4，AB ＝5，BC ＝6，点P 是AB 上一个动点，当PC ＋PD 的和最小时，PB 的长为__________．6、 如图4，等腰梯形ABCD 中，AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，P 是上底，下底中点EF 直线上的一点，则PA+PB 的最小值为 ．Q7、如图5菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为．8、如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是9、如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________cm．10、如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为11、如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．则PB+PE的最小值是12、如图6所示，已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是AC上的一个动点，则DN+MN的最小值为．13、如图，正方形ABCD的边长是2，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值为．14、如图7，在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为cm．（结果不取近似值）．15、如图，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，则P A+PC的最小值是．16、如图8，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为( )(A)2 (B) (C)1 (D)2解答题1、如图9，正比例函数y=x的图象与反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知三角形OAM的面积为1.（1）求反比例函数的解析式；（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最小.2、如图，一元二次方程x2+2x-3=0的二根x1，x2（x1＜x2）是抛物线y=ax2+bx+c 与x轴的两个交点B，C的横坐标，且此抛物线过点A（3，6）．（1）求此二次函数的解析式；（2）设此抛物线的顶点为P，对称轴与AC相交于点Q，求点P和点Q的坐标；（3）在x轴上有一动点M，当MQ+MA取得最小值时，求M点的坐标．3、如图10，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），△AOB的面积是.（1）求点B的坐标；（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；4．如图，抛物线y ＝35x 2－185x ＋3和y 轴的交点为A ，M 为OA 的中点，若有一动点P ，自M 点处出发，沿直线运动到x 轴上的某点（设为点E ），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点F ），最后又沿直线运动到点A ，求使点P 运动的总路程最短的点E ，点F 的坐标，并求出这个最短路程的长．5．如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，直角梯形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA =AB =2，OC =3，过点B 作BD ⊥BC ，交OA 于点D ．将∠DBC 绕点B 按顺时针方向旋转，角的两边分别交y 轴的正半轴、x 轴的正半轴于点E 和F ． （1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；（2）当BE 经过（1）中抛物线的顶点时，求CF 的长； （3）在抛物线的对称轴上取两点P 、Q （点Q 在点P 的上方），且PQ ＝1，要使四边形BCPQ 的周长最小，求出P 、Q 两点的坐标．6．如图，已知平面直角坐标系，A，B两点的坐标分别为A(2，－3），B(4，－1）若C(a，0)，D(a+3，0)是x轴上的两个动点，则当a为何值时，四边形ABDC的周长最短．7、如图11，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.二、求两线段差的最大值问题 (运用三角形两边之差小于第三边) 基本图形解析：1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA 与PB 的差最大； （1）点A 、B 在直线m 同侧：解析：延长AB 交直线m 于点P ，根据三角形两边之差小于第三边，P ’A —P ’B ＜AB ，而PA —PB=AB 此时最大，因此点P 为所求的点。

初中几何中线段和（差）的最值问题一、两条线段和的最小值。

基本图形解析：（对称轴为：动点所在的直线上）一）、已知两个定点：1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小； （1）点A 、B 在直线m 两侧：（2）点A 、B 在直线同侧：A 、A ’ 是关于直线m 的对称点。

2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。

（1）两个点都在直线外侧：mmm mA Bmmn（2）一个点在内侧，一个点在外侧：（3）两个点都在内侧：（4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n、nmnnnmBm 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短.填空：最短周长=________________变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.二）、一个动点，一个定点： （一）动点在直线上运动：点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、两点在直线两侧：2、两点在直线同侧：（二）动点在圆上运动点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、点与圆在直线两侧：mnmnmnmmm2、点与圆在直线同侧：三）、已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。

(原理用平移知识解) （1）点A 、B 在直线m 两侧：mmQ P过A 点作AC ∥m,且AC 长等于PQ 长，连接BC,交直线m 于Q,Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时P 、Q 即为所求的点。

（2）点A 、B 在直线m 同侧： 练习题1．如图，∠AOB =45°，P 是∠AOB 内一点，PO =10，Q 、R 分别是OA 、OB 上的动点，求△PQR 周长的最小值为 ．mABB'EQ PmABQPQ2、如图1，在锐角三角形ABC中，AB=4,∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M,N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值为．3、如图，在锐角三角形ABC中，AB=52，∠BAC=45，BAC的平分线交BC于D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是多少4、如图4所示，等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC边上一点.若AE=2,EM+CM的最小值为.5、如图3，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB 上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为__________．6、如图4，等腰梯形ABCD中，AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，P是上底，下底中点EF直线上的一点，则PA+PB的最小值为．7、如图5菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为．8、如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是9、如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________cm．10、如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为11、如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．则PB+PE的最小值是12、如图6所示，已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是AC上的一个动点，则DN+MN的最小值为．13、如图，正方形ABCD的边长是2，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值为．14、如图7，在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为cm．（结果不取近似值）．15、如图，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，则PA+PC的最小值是．16、如图8，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为( )(A)2 (B) (C)1 (D)2解答题1、如图9，正比例函数y=x的图象与反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象交于A 点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知三角形OAM的面积为1.（1）求反比例函数的解析式；（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最小.2、如图，一元二次方程x2+2x-3=0的二根x1，x2（x1＜x2）是抛物线y=ax2+bx+c 与x轴的两个交点B，C的横坐标，且此抛物线过点A（3，6）．（1）求此二次函数的解析式；（2）设此抛物线的顶点为P，对称轴与AC相交于点Q，求点P和点Q的坐标；（3）在x轴上有一动点M，当MQ+MA取得最小值时，求M点的坐标．3、如图10，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），△AOB的面积是.（1）求点B的坐标；（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；4．如图，抛物线y ＝35x 2－185x ＋3和y 轴的交点为A ，M 为OA 的中点，若有一动点P ，自M点处出发，沿直线运动到x 轴上的某点（设为点E ），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点F ），最后又沿直线运动到点A ，求使点P 运动的总路程最短的点E ，点F 的坐标，并求出这个最短路程的长．5．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=AB=2，OC=3，过点B作BD⊥BC，交OA于点D．将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E和F．（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；（3）在抛物线的对称轴上取两点P、Q（点Q在点P的上方），且PQ＝1，要使四边形BCPQ 的周长最小，求出P、Q两点的坐标．6．如图，已知平面直角坐标系，A，B两点的坐标分别为A(2，－3），B(4，－1）若C(a，0)，D(a+3，0)是x轴上的两个动点，则当a为何值时，四边形ABDC的周长最短．7、如图11，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x 轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.二、求两线段差的最大值问题 (运用三角形两边之差小于第三边) 基本图形解析：1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA 与PB 的差最大； （1）点A 、B 在直线m 同侧：解析：延长AB 交直线m 于点P ，根据三角形两边之差小于第三边，P ’A —P ’B ＜AB ，而PA —PB=AB 此时最大，因此点P 为所求的点。

21、已知△ABC 是边长为4的等边三角形，BC 在x 轴上，点D 为BC 的中点，点A 在第一象限内，AB 与y 轴的正半轴相交于点E ，点B （-1，0），P 是AC 上的一个动点（P 与点A 、C 不重合） （1）（2分）求点A 、E 的坐标；（2）（2分）若y=c bx x 7362++-过点A 、E ，求抛物线的解析式。

（3）（5分）连结PB 、PD ，设L 为△PBD 的周长，当L 取最小值时，求点P 的坐标及L 的最小值，并判断此时点P 是否在（2）中所求的抛物线上，请充分说明你的判断理由。

A B CO D Eyx2．（四川省眉山市）如图，已知直线y ＝21x ＋1与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线y ＝21x2＋bx ＋c 与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为(1，0)． （1）求该抛物线的解析式；（3）在抛物线的对称轴上找一点M ，使|AM －MC |的值最大，求出点M 的坐标．yxCBA DOE y3.（浙江省衢州市、舟山市）如图，已知点A （－4，8）和点B （2，n ）在抛物线y ＝ax2上．（1）求a 的值及点B 关于x 轴对称点P 的坐标，并在x 轴上找一点Q ，使得AQ ＋QB 最短，求出点Q 的坐标；（2）平移抛物线y ＝ax2，记平移后点A 的对应点为A ′，点B 的对应点为B ′，点C （－2，0）和点D （－4，0）是x 轴上的两个定点． ① 当抛物线向左平移到某个位置时，A ′C ＋CB′最短，求此时抛物线的函数解析式； ② 当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A ′B ′CD 的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．yOA24 6 8 -2-4-2 -424xBCD。

中考二轮复习之线段和（差）的最值问题一、两条线段和的最小值。

填空题：1．如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．则PB+PE的最小值是．2．如图，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，则PA+PC的最小值是．3．如图，在锐角△ABC中，AB＝42，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N 分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是．4．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为__________．5．已知A(－2，3)，B(3，1)，P点在x轴上，若PA＋PB长度最小，则最小值为．若PA—PB长度最大，则最大值为．6．如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB第1题第2题第3题第4题的最小值为．7、如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为8、如图，正方形ABCD的边长是2，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD 和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值为．综合题：1．如图，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．2．如图，已知平面直角坐标系，A，B两点的坐标分别为A(2，－3），B(4，－1）设M，N分别为x轴和y轴上的动点，请问：是否存在这样的点M(m，0），N(0，n),使四边形ABMN的周长最短？若存在，请求出m＝______，n＝______（不必写解答过程）；若不存在，请说明理由．中考赏析：1．著名的恩施大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路X 同侧，AB=50km、B到直线X的距离分别为10km和40km，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P，向A、B两景区运送游客．小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（AP 与直线X垂直，垂足为P），P到A、B的距离之和S1＝PA＋PB，图（2）是方案二的示意图（点A关于直线X的对称点是A'，连接BA'交直线X于点P），P到A、B的距离之和S2＝PA＋PB．（1）求S1、S2，并比较它们的大小；（2）请你说明S2＝PA＋PB的值为最小；（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为30km，请你在X旁和Y旁各修建一服务区P、Q，使P、A、B、Q组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．2．如图，抛物线y ＝35x 2－185x ＋3和y 轴的交点为A ，M 为OA 的中点，若有一动点P ，自M 点处出发，沿直线运动到x 轴上的某点（设为点E ），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点F ），最后又沿直线运动到点A ，求使点P 运动的总路程最短的点E ，点F 的坐标，并求出这个最短路程的长．3、在x 轴的正半轴上，OA =AB =2，OC =3，过点B 作BD ⊥BC ，交OA 于点D ．将∠DBC 绕点B 按顺时针方向旋转，角的两边分别交y 轴的正半轴、x 轴的正半轴于点E 和F ． （1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式； （2）当BE 经过（1）中抛物线的顶点时，求CF 的长；（3）在抛物线的对称轴上取两点P、Q（点Q在点P的上方），且PQ＝1，要使四边形BCPQ的周长最小，求出P、Q两点的坐标．4．如图，已知平面直角坐标系，A，B两点的坐标分别为A(2，－3），B(4，－1）若C(a，0)，D(a+3，0)是x轴上的两个动点，则当a为何值时，四边形ABDC的周长最短．5、如图11，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x 轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.二、求两线段差的最大值问题(运用三角形两边之差小于第三边)1.直线2x-y-4=0上有一点P，它与两定点A（4，-1）、B（3，4）的距离之差最大，则P 点的坐标是 .2.已知A、B两个村庄的坐标分别为（2，2），（7，4），一辆汽车（看成点P）在x轴上行驶．试确定下列情况下汽车（点P）的位置：（1）求直线AB的解析式，且确定汽车行驶到什么点时到A、B两村距离之差最大？yxC B ADOE y（2）汽车行驶到什么点时，到A 、B 两村距离相等？3. 如图，抛物线y ＝－14x 2－x ＋2的顶点为A ，与y 轴交于点B ．(1)求点A 、点B 的坐标；(2)若点P 是x 轴上任意一点，求证：PA －PB ≤AB ； (3)当PA －PB 最大时，求点P 的坐标.4. 如图，已知直线y ＝21x ＋1与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线y ＝21x 2＋bx ＋c 与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为(1，0)．（1）求该抛物线的解析式；（3）在抛物线的对称轴上找一点M ，使|AM －MC |的值最大，求出点M 的坐标．5. 如图，直线y＝－3x＋2与x轴交于点C，与y轴交于点B，点A为y轴正半轴上的一点，⊙A经过点B和点O，直线BC交⊙A于点D．（1）求点D的坐标；（2）过O，C，D三点作抛物线，在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使线段PO与PD 之差的值最大？若存在，请求出这个最大值和点P的坐标．若不存在，请说明理由．好题赏析：原型：已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA＋PB＋PC的最小值．例题：如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．（1）求证：△AMB≌△ENB；（2）①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；（3）当AM＋BM＋CM的最小值为3＋1时，求正方形的边长．变式：如图四边形ABCD是菱形，且∠ABC＝60，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM，则下列五个结论中正确的是（）①若菱形ABCD的边长为1，则AM＋CM的最小值1；②△AMB≌△ENB；③S四边形AMBE=S四边形ADCM；④连接AN，则AN⊥BE；⑤当AM＋BM＋CM的最小值为23时，菱形ABCD的边长为2．A．①②③B．②④⑤C．①②⑤三、其它非基本图形类线段和差最值问题1、求线段的最大值与最小值需要将该条线段转化到一个三角形中，在该三角形中，其他两边是已知的，则所求线段的最大值为其他两线段之和，最小值为其他两线段之差。

中考数学总复习《二次函数与线段和差最值问题综合压轴题》专项训练题(附有答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．如图1，小明和小伙伴一起玩扔小石头游戏，我们把小石头的运动轨迹看成是抛物线的一部分．如图2所示，小石头在与点O的水平距离为6米时达到最大高度5米，扔小石头的预期击中目标看作线段BC，离点O的水平距离为12米，点C在点B的正上方2米处．（1）判断小明扔的小石头能否正好击中点C，并说明理由；（2）求小石头运动轨迹所在抛物线的解析式；（3）在竖直方向上，试求出小石头在运动过程中与直线OC的最大距离．2．抛物线y＝﹣x2+bx+3与直线y＝x+1相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点A在x 轴的负半轴上．（1）求抛物线的函数表达式及顶点D的坐标；（2）如图1，直线AB上方的抛物线上有一动点P，过点P作PH⊥AB于点H；（3）如图2，当点P运动到抛物线对称轴右侧时，连接AP，当AM+DM最小时3．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+2图象经过A（﹣1，0），B（4，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）若C（m，m﹣1）是抛物线上位于第一象限内的点，D是线段AB上的一个动点（不与A、B重合），DF∥AC交BC于F．①求证：四边形DECF是矩形；②连接EF，线段EF的长是否存在最小值，若存在；若不存在，请说明理由．4．已知二次函数y＝x2+2ax﹣4（a为常数）．（1）若二次函数的图象经过点（1，﹣5），求a的值；（2）在（1）的条件下，当﹣1≤x≤4时；（3）当0≤x≤1时，二次函数y＝x2+2ax﹣4图象上的点到x轴距离的最大值为5，求a 的值．5．如图1，抛物线经过A（﹣5，0），B（1，0），C（0，5）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PB+PC的值最小，求点P的坐标；（3）如图2，点M是线段AC上的点（不与A、C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，请用m的代数式表示MN的长，并求出MN的最大值．6．综合与探究如图1，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（﹣1，0），C （0，3）．点P是抛物线上的一个动点；（1）求抛物线的函数表达式，并直接写出直线BC的函数表达式；（2）如图1，当点P在直线BC上方时，连接AP交BC于点E AE时，求点P的坐标．（3）如图2，连接CP，过点P作QP⊥CP交抛物线的对称轴于点Q．试探究：是否存在一点P使CP＝QP．若存在；若不存在，请说明理由．7．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），并只经过点C（﹣2，2），D（﹣3，﹣6），E（4，5）（1）判断并直接写出抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）经过C、D、E中的点，并求出a 的值．（2）点N是x轴上一点，点M是抛物线的顶点，连接AD，BM，是否存在一点N？若存在，求出点N的坐标，说明理由．（3）点F（m，n）在抛物线上运动，在线段DF上取一点Q，过Q点作x轴的垂线交抛物线于点G，在线段QG的延长线上取一点P，求点P的运动轨迹的解析式．8．如图，直线y＝﹣x﹣2与抛物线y＝ax2+bx﹣6（a≠0）相交于点M（，）和点N （4，n）（点A在点B的左侧），点F在线段MN上运动（不与点M、N重合），过点F 作直线FE⊥x轴于点G（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，连接ME，是否存在点F，求出点F的坐标；若不存在；（3）如图2，过点E作EH⊥MN于点H，当△EFH的周长最大时，把△EFH沿直线l 翻折，翻折后点E的对应点记为点Q．当△EFH的周长最大时：①求出点F的坐标；②直接写出翻折过程中线段BQ长度的取值范围是．9．已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B（4，0）两点，与y轴交于C（0，﹣4）．（1）求该抛物线的相应函数表达式；（2）过点A的直线与y轴交于点D（0，）．①在x轴下方的抛物线上是否存在点M，使∠DAM＝90°？若存在，求出点M的坐标，请说明理由．②点P、Q为抛物线对称轴左侧图象上两点（点P在点Q的左上方），PQ＝，且PQ所在直线垂直于直线AD10．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+6（a＜0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且OC＝OB＝3OA．（1）求该二次函数的解析式；（2）设Q为线段BC上的动点，过点Q作QP⊥BC交线段BC上方的抛物线于点P，求CQ+3PQ的最大值．11．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+10与x轴、y轴相交于A、B两点（8，4），连接AC、BC．（1）求过O、A、C三点的抛物线的解析式；（2）求证：△AOB≌△ACB；（3）动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动；同时，沿BC 以每秒1个单位长度的速度向点C运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t秒，P A＝QA？12．已知二次函数L1：y1＝x2+6x+5k和L2：y2＝kx2+6kx+5k，其中k≠0．（1）写出两条有关二次函数L1和L2共有的性质或结论；（2）若两条抛物线L1和L2相交于点E，F，当k的值发生变化时，判断线段EF的长度是否发生变化；（3）在（2）中，若二次函数L1的顶点为M，二次函数L2的顶点为N；①当k为何值时，点M与点N关于直线EF对称？②是否存在实数k，使得MN＝2EF？若存在，求出实数k的值，请说明理由．13．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，点P是AC上方抛物线上一点．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴有一点Q，使△QBC的周长最小，求Q的坐标；（3）过点P作PD⊥AC于点D，求PD的最大值；（4）点G是y轴上一点，点T是线段AC上一点，且CG＝2AT14．如图，已知抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+3，抛物线与x轴交于点A和点B（1）请分别求出点A、B、C的坐标和抛物线的对称轴；（2）连接AC、BC，将△ABC绕点B顺时针旋转90°，点A、C的对应点分别为M、N；（3）若点P为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出使|NP﹣BP|最大时点P的坐标15．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a交x轴的负半轴于点A，交x轴的正半轴点B，交y轴的正半轴于点C，点D为抛物线的一点，其横坐标为1．（1）如图1，求点D的纵坐标；（2）如图2，点P在第三象限的抛物线上，点P的横坐标为t，交y轴于点E，连接CD、DE，求S与t之间的函数关系式；（3）如图3，在（2）的条件下，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，当EG＝BG时，求点E的坐标．参考答案1．解：（1）小明扔的小石头能击中点C，理由如下：∵根据题意，可得：抛物线的对称轴为直线x＝6又∵根据题意，可得：A（0，C（12∴点A和点C关于直线x＝5对称∴点C在抛物线上∴小明扔的小石头能击中点C；（2）根据题意，可得：抛物线的顶点坐标为（6∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣6）8+5又∵点A（0，2）经过抛物线∴把A（0，2）的坐标代入解析式解得：∴抛物线的解析式为又∵根据题意，可得：该抛物线的自变量的取值范围为0≤x≤12∴小石头运动轨迹所在抛物线的解析式为（3）如图，连接OC把C（12，2）代入解得：∴直线OC的解析式为设直线OC上方的抛物线上的一点P的坐标为过点P作PQ⊥x轴，交OC于点Q∴∴当t＝2时，PQ有最大值∴小石头在运动过程中与直线OC的最大竖直距离为．2．解：（1）∵y＝x+1与x轴交于点A．∴将y＝0代入得x＝﹣6∴点A（﹣1，0）将点A的坐标代入抛物线表达式得：5＝﹣1﹣b+3解得：b＝4．故抛物线的函数表达式为：y＝﹣x2+2x+7＝﹣（x﹣1）2+5①即顶点D的坐标为（1，4）；（2）设直线AB与y轴交于点E，令x＝5，故点E的坐标为（0∵OA＝OE＝1∴△OAE为等腰直角三角形如图7，过点P作PN∥y轴，则∠PNB＝45°∴△PNH是等腰直角三角形∴PH＝PN，﹣m2+2m+3），则点N（m∴PN＝﹣m7+2m+3﹣m﹣4＝﹣（m﹣）2+≤∴PH的最大值为；（3）如图2，设抛物线与x轴的另外一个交点为T（4，抛物线和x轴的交点为L（1，连接DT则tan∠LDT＝，则sin∠LDT＝过点M作MR⊥DT于点R，延长MR交抛物线与点P则此时，MR＝DM sin∠LDT＝故当A、M、R共线时DM＝AM+MR为最小∵∠DRM＝∠ALM＝90°，∠DMR＝∠AML∴∠P AL＝∠LDT即sin∠P AL＝sin∠LDT＝则tan∠P AL＝故直线AP的表达式为：y＝（x﹣x A）＝×（x+1）＝②联立①②得：﹣x2+2x+8＝x+解得：x＝﹣1（舍去）或则点P的坐标为：（，）由点P、A的坐标得．3．（1）解：∵抛物线y＝ax2+bx+2图象经过A（﹣2，0），0）两点∴∴∴．（2）①证明：∵把C（m，m﹣2）代入得∴解得：m＝3或m＝﹣8∵C（m，m﹣1）位于第一象限∴∴m＞1∴m＝﹣4舍去∴m＝3∴点C坐标为（3，8）过C点作CH⊥AB，垂足为H由A（﹣1，0），2），2）得，CH＝2，AB＝6∵，∠AHC＝∠BHC＝90°∴△AHC∽△CHB∴∠ACH＝∠CBH∵∠CBH+∠BCH＝90°∴∠ACH+∠BCH＝90°∴∠ACB＝90°∵DE∥BC，DF∥AC∴四边形DECF是平行四边形∴▱DECF是矩形；②存在；连接CD∵四边形DECF是矩形∴EF＝CD当CD⊥AB时，CD的值最小∵C（3，7）∴DC的最小值是2∴EF的最小值是2．4．解：（1）将点（1，﹣5）代入y＝x2+2ax﹣4得﹣5＝1+2a﹣8解得a＝﹣1；（2）∵a＝﹣1∴二次函数的解析式为y＝x7﹣2x﹣4＝（x﹣8）2﹣5．∴抛物线的对称轴为直线x＝3，抛物线的开口向上，﹣5）∴当﹣1≤x≤7时，二次函数的最小值为﹣5；当x＝4时，二次函数的最大值为y＝（5﹣1）2﹣4＝4．∴当﹣1≤x≤4时，二次函数的最大值为4；（3）∵y＝x2+8ax﹣4∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣a，抛物线经过点（0①当﹣a＜8时，a＞0∵抛物线的开口向上，当0≤x≤7时2+2ax﹣8图象上的点到x轴距离的最大值为5∴当x＝1时，6+2a﹣4＝8∴a＝4；②当0≤﹣a≤5时，﹣1≤a≤0当x＝﹣a时，a5﹣2a2﹣6＝﹣5∴a＝﹣1或4（舍去）；③当﹣a＞1时，a＜﹣1当x＝4时，1+2a﹣7＝﹣5∴a＝﹣1（舍去）；综上所述，a＝5或﹣1．5．解：（1）∵抛物线过点A（﹣5，0），7）∴可设抛物线的解析式为：y＝a（x+5）（x﹣1）将C（5，5）代入解析式可得a＝﹣1∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x+8）（x﹣1）＝﹣x2﹣6x+5；（2）由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣5x+5∴抛物线的对称轴直线为x＝﹣2∴点A，B关于抛物线对称轴直线x＝﹣2对称∴直线AC与对称轴直线x＝﹣2的交点为点P设直线AC的解析式为y＝kx+c∴解得∴直线AC的解析式为y＝x+5令x＝﹣2，则y＝5∴P（﹣2，3）；（3）由（2）得直线AC的表达式为：y＝x+2∵点N在抛物线上∴N（m，﹣m2﹣4m+3）∵MN∥y轴∴M（m，m+5）∴MN＝﹣m2﹣3m+5﹣m﹣5＝﹣m2﹣5m＝﹣（m+2.8）2+6.25（﹣3＜m＜0）∴MN的最大值为6.25．6．解：（1）将A（﹣1，0），6）代入y＝﹣x2+bx+c∴解得∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+8；当y＝0时，﹣x2+4x+3＝0解得x＝8或x＝﹣1∴B（3，8）设直线BC的解析式y＝kx+3∴3k+6＝0解得k＝﹣1∴直线BC的解析式y＝﹣x+2；（2）过点P作PG∥y轴交BC于G，AH∥y轴交BC于H点∴PG∥AH∴＝∵PE＝AE∴＝设P（t，﹣t2+2t+3），则G（t∴PG＝﹣t2+2t∵A（﹣1，0）∴H（﹣8，4）∴AH＝4∴PG＝7＝﹣t2+3t解得t＝4或t＝2∴P（1，8）或（2；（3）存在一点P使CP＝QP，理由如下：∵CP＝QP∴△CPQ是等腰直角三角形如图2，当P点在对称轴的右侧过点P作MN⊥x轴，过点C作CM⊥MN交于M点∵∠CPQ＝90°∴∠CPM+∠QPN＝90°∵∠CPM+∠MCP＝90°∴∠QPN＝∠MCP∵CP＝PQ∴△CPM≌△PQN（AAS）∴CM＝PN，PM＝QN设P（m，﹣m7+2m+3）∵y＝﹣x6+2x+3＝﹣（x﹣8）2+4∴抛物线的对称轴为直线x＝3∴CM＝PN＝m，PM＝QN＝m﹣1∴m﹣1＝8﹣（﹣m2+2m+4）解得m＝或m＝∴P（，）；如图3，当P点在对称轴右侧过P点作MN∥y轴，过点Q作QM⊥MN交于M点∴△CNP≌△PMQ（AAS）∴CN＝PM＝m，QM＝PN＝m﹣1∴m﹣4＝﹣m2+2m+8﹣3解得m＝或m＝∴P（，）；如图4，当P点在对称轴的左侧过点P作MN⊥y轴交于M点，交对称轴于N点∴△PMC≌△QNP（AAS）∴PM＝NQ＝m，CM＝PN＝4﹣m∴1﹣m＝﹣m2+4m+3﹣3解得m＝或m＝∴P（，）；如图4，当P点在对称轴的左侧过P点作MN∥y轴，过点C作CM⊥MN交于M点∴△CPM≌△PQN（AAS）∴CM＝PN＝﹣m，PM＝NQ＝1﹣m∴3﹣（﹣m6+2m+3）＝3﹣m解得m＝（舍）或m＝∴P（，）；综上所述：P点坐标为（，）或（，，）或（，）．7．解：（1）由题意得函数大致图象如下：令y＝ax2﹣2ax﹣4a＝0，则x＝﹣1或4即点A、B的坐标分别为：（﹣1、（3故当x＝﹣8时，y＜0，点D符合要求，y＜0；故只有点D符合题设要求将点D的坐标代入抛物线表达式得：﹣3＝9a+6a﹣7a解得：a＝﹣则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+；（2）存在，理由：设点N（x令y＝﹣x2+x+＝0即点A、B的坐标分别为：（﹣1、（7当x＝1时，y＝﹣x2+x+＝2，2）由点A、B、D、M的坐标得7＝40，BD2＝72，BM2＝3∵，则则MN3＝＝（x﹣1）5+4解得：x＝或即点N的坐标为：（，0）或（；（3）过点D作x轴的平行线交过点Q和y轴的平行线于点S，交过点F和y轴的平行线于点T则，即则x Q＝m﹣1由点D、F得（m﹣5）（x+3）﹣4当x＝m﹣4时，y Q＝﹣（m﹣3）（x+3）﹣6＝m2﹣m﹣11∵DQ＝2QF则y P＝﹣（m2﹣m﹣11）＝﹣m5+m+即点P的坐标为：（m﹣4，﹣m8+m+）令x＝m﹣8则y＝﹣m4+m+x6﹣x+即点P的运动轨迹的解析式为：y＝﹣x4﹣x+．8．解：（1）把N（4，n）代入y＝﹣x﹣2∴N（4，﹣6）把M（，）和N（82+bx﹣6，得解得：∴抛物线的解析式为y＝﹣5x2+8x﹣8；（2）存在点F，使△MEF是直角三角形．设直线y＝﹣x﹣2交x轴于点T，则T（﹣2设F（t，﹣t﹣3），0），﹣2t2+8t﹣6）∴GT＝t﹣（﹣7）＝t+2，GF＝﹣（﹣t﹣2）＝t+3∴GT＝GF∵EF⊥x轴∴∠FGT＝90°∴△FGT是等腰直角三角形∴∠EFM＝45°当∠EMF＝90°时过点M作MK⊥EF于K，如图则MK∥x轴∴点K的纵坐标为﹣∵△EFM是等腰直角三角形∴EK＝FK即点K是EF的中点∴[（﹣2t7+8t﹣6）+（﹣t﹣2）]＝﹣解得：t5＝（舍去），t6＝3∴F（3，﹣2）；当∠MEF＝90°时，即ME⊥EF∵EF⊥x轴∴ME∥x轴∴点E的纵坐标为﹣∴﹣7t2+8t﹣3＝﹣解得：t6＝（舍去），t7＝∴F（，﹣）；综上所述，存在点F，点F的坐标为（6，﹣）；（3）①设F（t，﹣t﹣2），﹣2t5+8t﹣6）∴EF＝﹣5t2+8t﹣6﹣（﹣t﹣2）＝﹣2t7+9t﹣4由（2）得∠EFM＝45°，即∠EFH＝45°∵EH⊥MN∴∠EHF＝90°∴△EFH是等腰直角三角形∴EH＝FH＝EF∴△EFH的周长＝EH+FH+EF＝（+7）EF＝（2+3t﹣4）＝﹣2（+1）（t﹣）2+（+1）∵﹣2（+1）＜0∴当t＝时，△EFH的周长最大，﹣）；②折叠过程中，当B，F，且B和Q在F两侧时，B和Q在F同侧时∵EF＝﹣2×（）2+3×﹣8﹣（﹣当y＝8时，﹣2x2+3x﹣6＝0解得：x8＝1，x2＝3∴A（1，0），3）∴BF＝＝∴BQ的最大值为EF+BF＝+，BQ的最小值为EF﹣BF＝﹣∴BQ长度的取值范围是﹣≤BQ≤+；故答案为﹣≤BQ≤+．9．解：（1）由题意得：，解得：即抛物线的表达式为：y＝x4﹣3x﹣4①；（2）由抛物线的表达式得，点A（﹣3①存在，理由：设直线AM交y轴于点N∵∠DAM＝90°，则△ADN为直角三角形在Rt△ADN中，tan∠DAO＝＝则tan∠NAO＝5设直线AN的表达式为：y＝﹣2（x﹣x A）＝﹣2（x+2）＝﹣2x﹣2②联立①②并得：x4﹣3x﹣4＝﹣7x﹣2解得：x＝2则点M（7，﹣6）；②∵PQ⊥AD，AM⊥AD则设直线PQ的表达式为：y＝﹣2x+t设点P的坐标为：（m，m2﹣3m﹣4）由直线PQ的表达式知，点P向右平移3个单位，此时PQ＝则点Q的坐标为：（m+1，m2﹣3m﹣4﹣3）将点Q的坐标代入抛物线表达式得：m2﹣3m﹣6﹣2＝（m+1）5﹣3（m+1）﹣8解得：m＝0即点P的坐标为：（0，﹣4）．10．解：（1）由题意得OC＝6∵OC＝OB＝3OA∴点A的坐标为（﹣7，0），0）．将A，B两点坐标代入y＝ax6+bx+6得解得∴二次函数的解析式为．（2）设直线BC解析式为y＝kx+b代入B（6，5），6）求得直线BC解析式为y＝﹣x+6过点P作x轴垂线交直线BC于点N，如图：设点P坐标为，则点N坐标为（t ∵OB＝OC＝6，∠COB＝90°∴，∵∠CBO＝45°∴∠PNB＝90°+45°∴∠QPN＝45°∴△PQN∽△BOC∴∵∴．∴＝＝＝＝．∴当t＝8时，CQ+3PQ有最大值．11．（1）解：设过O、A、C三点的抛物线解析式为y＝ax2+bx+c．∵直线y＝﹣2x+10与x轴，y轴相交于A∴点A（2，0）和点B（0．又∵C点坐标为（7，4）将O、A、C三点代入抛物线解析式为y＝ax2+bx+c得解得∴所求抛物线解析式为y＝x5﹣x．（2）证明：由A、B两点的坐标得OA＝8由勾股定理得AB2＝OA2+OB8∴AB2＝125．过C点作CD⊥x轴于D，作CE⊥y轴于E∵C点坐标为（8，4）∴CD＝4，CE＝8，AD＝8﹣5＝3．由勾股定理得AC2＝CD2+AD2＝72+34＝25．∴AC＝5．∵BC2＝BE2+CE2＝66+82＝100∴BC8+AC2＝100+25＝AB2∴由勾股定理得∠ACB＝90°．∴△ABC是直角三角形；∴∠ACB＝∠AOB＝90°∵AO＝AC＝2，AB＝AB∴Rt△AOB≌Rt△ACB（HL）；（3）解：由题意得动点运动t秒后，OP＝2t，CQ＝10﹣t．由勾股定理得P A2＝OP2+OA2＝4t5+25，QA2＝QC2+AC6＝（10﹣t）2+58．∵P A＝QA∴P A2＝QA2．∴4t2+25＝（10﹣t）2+62．解得t1＝，t2＝﹣10（舍去）．∴动点运动秒时．12．解：（1）二次函数两条共有性质是：它们的对称轴相同，都是x＝﹣3它们的图象与y轴的交点都是（0，5k）（答案不唯一）；（2）线段EF的长度不发生变化理由：当y1＝y2时，x2+6x+5k＝kx2+6kx+5k整理得：（k﹣2）（x2+6x）＝4∵k≠1∴x2+8x＝0解得：x＝0或﹣8不妨设点E在点F的左边则点E的坐标为（﹣6，5k），4k）∴EF＝|0﹣（﹣6）|＝6∴线段EF的长度不发生变化；（3）①由得：M（﹣4由得：N（﹣3∵直线EF关系式为y＝5k，且点M与N关于直线EF对称∴﹣4k﹣5k＝6k﹣（5k﹣9）解得：k＝﹣5；②∵MN＝|（5k﹣9）﹣（﹣8k）|＝|9k﹣9|，MN＝3EF＝12∴|9k﹣9|＝12解得：，∴实数k为或．13．解：（1）把A（﹣2，0），8）代入y＝﹣x2+bx+c，得：解得：∴该抛物线的解析式为y＝﹣x3﹣x+2；（2）由题意可知抛物线的对称轴为：x＝﹣＝﹣由抛物线的对称性可知，点B关于对称轴x＝﹣，设AC交对称轴点Q当x＝8时，y＝2∴C（0，8）设直线AC的解析式为y＝kx+b，则解得：∴直线AC的解析式为y＝x+3当x＝﹣时，y＝∴点Q的坐标为（﹣，）；（3）设P（m，﹣m6﹣m+2），过点P作PE∥y轴，如图则E（m，m+2）∴PE＝﹣m7﹣m+2﹣（m+2）＝﹣m7﹣2m∵PE∥y轴∴∠PED＝∠ACO∵PD⊥AC∴∠PDE＝90°＝∠AOC∴△PED∽△ACO∴＝∵A（﹣2，5），2）∴OA＝OC＝2∴AC＝OA∴PD＝PE＝2﹣2m）＝﹣（m+2）2+∵＜6∴当m＝﹣1时，PD的最大值为；（4）在y轴右侧作∠OCS＝∠OAT，且CS＝2OA＝4，AS∵CG＝6AT∴＝＝∴△ATO∽△CGS∴＝∴当A，G，S三点共线时，最小值为AS的长∵OA＝OC＝2∴AC＝7∵∠CAO+∠ACO＝90°∴∠OCS+∠ACO＝90°即∠ACS＝90°∴AS＝＝＝6∴AG+2OT的最小值为4．14．解：（1）∵y＝﹣x4﹣x+8＝﹣（x+）2+∴A（﹣4，7），0），3）对称轴为直线x＝﹣；（2）如图所示：过N作NQ⊥x轴于点Q由旋转性质得MB⊥x轴，∠CBN＝90°，BN＝BC∴M（1，3）∵∠OBC+∠BCO＝90°∴∠BCO＝∠QBN又∵∠BOC＝∠NQB＝90°，BN＝BC∴△OBC≌△QNB（AAS）∴BQ＝OC＝3，NQ＝OB＝1∴OQ＝4+3＝4∴N（3，1）；（3）设直线NB的解析式为y＝kx+b．∵B（1，8），1）在直线NB上∴解得：∴直线NB的解析式为：y＝x﹣当点P，N，B在同一直线上时|NP﹣BP|＝NB＝＝当点P，N，B不在同一条直线上时|NP﹣BP|＜NB∴当P，N，B在同一直线上时即点P为直线NB与抛物线的交点．解方程组：解得：或∴当P的坐标为（1，0）或（﹣，﹣，|NP﹣BP|的值最大．15．解：（1）令y＝ax2﹣2ax﹣8a＝0，则x＝﹣1或4即点A、B的坐标分别为：（﹣1、（3由OB＝6OC得，点C（0，）则﹣3a＝，则a＝﹣则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+；当x＝1时，y＝﹣x2+x+＝2，7）即点D纵坐标为2；（2）设点P（t，﹣t2+t+）由点P、B的坐标得（t+4）（x﹣3）则点E（0，），则CE＝﹣则S＝CE×x D＝﹣t；（3）由（2）点E（0，），设m＝，m）过点D作y轴的垂线，垂足为点N由题意知，∠EDF＝90°则∠EDN+∠MDF＝90°∵∠MDF+∠DFM＝90°∴∠EDN＝∠DFM∵∠END＝∠DMF＝90°∴△END≌△DMF（AAS）∴MF＝ND＝5，DM＝NE＝2﹣m则点F的坐标为：（，1）由点B、F的坐标得（x﹣6）＝﹣同理可得，直线AE的表达式为：y＝m（x+1）②联立①②得：﹣（x﹣3）＝m（x+1）解得：x＝，则y＝即点G（，）令x＝，y＝由点B、E、G的坐标得2＝x2+（y﹣m）2，BG8＝（x﹣3）2+y5∵EG＝BG，则x2+（y﹣m）2＝（x﹣2）2+y2化简得：m6﹣22m2+9＝3解得：m＝﹣+2（不合题意的值已舍去）即点E（8，﹣+2）．。

重难专题04 证一条线段等于两条线段和差问题如图所示， AB CD ∥，BE ，CE 分别是ABC Ð，BCD Ð 的平分线，点E 在AD 上，求证：BC AB CD =+．【分析】运用截长补短的方法，在BC 上取点F ，使BF AB=，由角平分线定义得ABEFBEÐ=Ð，BCE DCE Ð=Ð，可证ABE FBE SAS ≌（）V V ，得A BFE Ð=Ð，结合平行线的性质可证EFC D Ð=Ð，进一步证得EFC EDC AAS ≌（）V V ，所以CF CD =，得证结论BC AB CD =+．【详解】在BC 上取点F ，使BF AB=∵BE ，CE 分别是ABC Ð，BCD Ð的平分线∴ABE FBE Ð=Ð，BCE DCEÐ=Ð∵AB CD∥∴180A D Ð+Ð=°在ABE V 和FBE V 中AB FB ABE FBEBE BE =ìïÐ=Ðíï=î∴ABE FBESAS ≌（）V V ∴A BFEÐ=Ð∴180BFE D Ð+Ð=°∵180BFE EFC Ð+Ð=°∴EFC DÐ=Ð在EFC V 和EDC △中，EFC D BCE DCECE CE Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î∴EFC EDCAAS ≌（）V V ∴CF CD=∵BC BF CF=+∴BC AB CD =+．【点拨】本题考查角平分线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定和性质；运用截长补短的方法构造全等三角形求证线段相等是解题的关键．已知：如图，在ABC V 中，=60B а，D 、E 分别为AB 、BC 上的点，且AE 、CD 交于点F ．若AE 、CD 为ABC V 的角平分线．(1)求AFC Ð的度数；(2)若6AD =，4CE =，求AC 的长．AE Q 、CD 分别为ABC V 的角平分线FAC FAD \Ð=Ð，FCA FCE Ð=Ð，120AFC Ð=°Q ，60AFD CFE \Ð=Ð=°，在ADF △和AGFV 中，AD AG DAF GAF AF AF =ìïÐ=íï=î，()SAS ADF AGF \@V V ，60AFD AFG \Ð=Ð=°，60GFC CFE \Ð=Ð=°，在CGF △和CEF △中，GFC EFC CF CFGCF ECF Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，()ASA CGF CEF \@V V ，4CG CE \==，10AC AG GC \=+=．【点拨】本题考查等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题．如图，在Rt ABC △中，90ACB Ð=°，BAC Ð的角平分线AD 交BC 于D ，交ABC Ð的角平分线于E ，过点E 作EF AE ^，交AC 于点F ，求证：+=AF BD AB ．【分析】延长EF ，BC 相交于点M ，分别证明AEBMEB△≌△和AEF MED △≌△即可得解．【详解】证明：延长EF ，BC 相交于点M ，∵90ACB Ð=°，∴90CAB CBA Ð+Ð=°，∵AE 平分BAC Ð，BE 平分ABC Ð，∴45EAB EBA Ð+Ð=°，∴18045135AEB Ð=°-°=°，∴18013545Ð=°-°=°DEB ，∵AE EF ^，∴9045135Ð=Ð+Ð=°+°=°=ÐMEB MED DEB AEB ，在AEB △和MEB V 中，AEB MEB EB EB ABE MBE Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴()ASA AEB MEB △≌△，∴Ð=ÐEAB M ，AE ME =，AB MB =，∵AE 平分BAC Ð，∴FAE EAB Ð=Ð，∴Ð=ÐFAE M ，在AEF △和MED V 中，90FAE M AE ME AEF MED Ð=Ðìï=íïÐ=Ð=°î，∴()ASA AEF MED △≌△，∴=AF MD ，∴+=+==AF BD MD BD MB AB ．【点拨】本题考查角平分线的定义和全等三角形的判定和性质．熟练掌握角平分线的定义，通过添加辅助线证明三角形全等是解题的关键．已知ABC V 的高AD 所在直线与高BE 所在直线相交于点F ，过点F 作FG BC ∥，交直线AB 于点G ．(1)如图，若ABC V 为锐角三角形，=45ABC а．求证：①BDF ADC ≌△△，②FG DC AD +=．(2)如图，当ABC Ð为135°时，写出FG ，DC ，AD 之间的等量关系，说明相应理由．【分析】（1）①可以证明ABD △为等腰直角三角形，得到AD ＝BD ，再利用ASA判定三角形全等即可；②由上一小问中三角形全等可知DF ＝DC ，再去证明FA ＝FG ，则FG +DC ＝FA +DF ＝AD ；（2）易知△ABD 、△AGF 为等腰直角三角形，BD ＝AD ，FG ＝AF ＝AD +DF ，再证明△BDF ≌△ADC ，得到DF ＝DC ，则得到FG ＝DC +AD ．【详解】（1）①证明：∵∠ADB ＝90°，∠ABC ＝45°，∴∠BAD ＝∠ABC ＝45°，∴AD ＝BD ，∵∠BEC ＝90°，∴∠CBE +∠C ＝90°又∵∠DAC +∠C ＝90°，∴∠CBE ＝∠DAC ，∵∠FDB ＝∠CDA ＝90°，∴△FDB ≌△CDA （ASA ）②∵FDB ≌△CDA ，∴DF ＝DC ；∵GF ∥BC ，∴∠AGF ＝∠ABC ＝45°，∴∠AGF ＝∠BAD ，∴FA ＝FG ，∴FG +DC ＝FA +DF ＝AD ．（2）FG 、DC 、AD 之间的数量关系为：FG ＝DC +AD ．理由：∵∠ABC ＝135°，∴∠ABD ＝45°，△ABD 、△AGF 皆为等腰直角三角形，∴BD ＝AD ，FG ＝AF ＝AD +DF ，∵∠FAE +∠DFB ＝∠FAE +∠DCA ＝90°，∴∠DFB ＝∠DCA ，又∵∠FDB ＝∠CDA ＝90°，BD ＝AD ，∴△BDF ≌△ADC （AAS ），∴DF ＝DC ，∴FG 、DC 、AD 之间的数量关系为：FG ＝DC +AD ．【点拨】本题综合考查了三角形全等的判定和性质，利用三角形全等证明线段相等是经常使用的重要方法，注意熟练掌握．已知，ABC V 中，90BAC Ð=°，AB AC =，直线m 过点A ，且BD m ^于D ，CE m ^于E ，当直线m 绕点A 旋转至图1位置时，我们可以发现DE BD CE =+．(1)当直线m 绕点A 旋转至图2位置时，问：BD 与DE 、CE 的关系如何？请予证明；(2)直线m 在绕点A 旋转一周的过程中，BD 、DE 、CE 存在哪几种不同的数量关系？（直接写出，不必证明）【分析】（1）利用条件证明ABD CAE △△≌，再结合线段的和差可得出结论；（2）根据图，可得BD 、DE 、CE 存在3种不同的数量关系；【详解】（1）证明：如图2，∵BD m ^，CE m ^，∴90BDA CEA Ð=Ð=°，∴90ABD DAB Ð+Ð=°．∵90BAC Ð=°，∴90DAB CAE Ð+Ð=°，∴ABD CAE Ð=Ð．在ABD △和CAE V 中，BDA CBA ABD CAB AB CA Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴ABD CAE △△≌（AAS ），∴AD CE =，BD AE=∵DE AE AD =-，∴DE BD CE =-．（2）直线m 在绕点A 旋转一周的过程中，BD 、DE 、CE 存在3种不同的数量关系：DE BD CE =+，DE BD CE =-，DE CE BD =-．如图1时，DE BD CE =+，如图2时，DE BD CE =-，如图3时，DE CE BD =-，（证明同理）【点拨】本题主要考查三角形全等，注意证三角形全等的方法及三角形全等后的性质．（1）如图1，已知ABC V 中，BAC Ð=90°，AB AC =，直线m 经过点,A BD ^直线m ，CE ^直线m ，垂足分别为点,D E ．求证：DE BD CE =+．（2）如图2，将（1）中的条件改为：在ABC V 中，,,,AB AC D A E =三点都在直线m 上，并且有BDA AEC BAC Ð=Ð=Ð．请写出,,DE BD CE 三条线段的数量关系，并说明理由．【分析】（1）利用已知得出∠CAE =∠ABD ，进而利用AAS 得出则△ABD ≌△CAE ，即可得出DE =BD +CE ；（2）根据∠BDA =∠AEC =∠BAC ，得出∠CAE =∠ABD ，在△ADB 和△CEA 中，根据AAS 证出△ADB ≌△CEA ，从而得出AE =BD ，AD =CE ，即可证出DE =BD +CE ；【详解】（1）DE =BD +CE ．理由如下：∵BD ⊥m ，CE ⊥m ，∴∠BDA =∠AEC =90°又∵∠BAC =90°，∴∠BAD +∠CAE =90°，∠BAD +∠ABD =90°，∴∠CAE =∠ABD在△ABD 和△CAE 中，90ABD CAE ADB CEA AB AC ÐÐìïÐаíïî＝＝＝＝，∴△ABD ≌△CAE （AAS ）∴BD =AE ，AD =CE ，∵DE =AD +AE ，∴DE =CE +BD ；（2）DE BD CE =+，理由如下：∵∠BDA =∠AEC =∠BAC ，∴∠DBA +∠BAD =∠BAD +∠CAE ，∴∠CAE =∠ABD ，在△ADB 和△CEA 中，ABD CAE ADB CEA AB AC ÐÐìïÐÐíïî＝＝＝，∴△ADB ≌△CEA （AAS ），∴AE =BD ，AD =CE ，∴BD +CE =AE +AD =DE ；【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质综合中的“一线三等角”模型：判定三角形全等的方法有“SSS ”、“SAS ”、“ASA ”、“AAS ”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质．一、单选题1．如图，在四边形ABCD 中，//,AB CD AE 是BAC Ð的平分线，且AE CE ^．若,AC a BD b ==，则四边形ABDC 的周长为（ ）A ．1.5()a b +B ．2a b +C ．3a b -D ．2+a b2．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，若∠DAB 的平分线AE 交CD 于E ，连结BE ，且BE 也平分∠ABC ，则以下的命题中正确的个数是（ ）①BC +AD =AB ； ②Ｅ为CD 中点③∠AEB =90°； ④S △ABE =12S 四边形ABCDA ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题3．如图，点E 是CD 上的一点，Rt △ACD ≌Rt △EBC ，则下结论：①AC ＝BC ，②AD ∥BE ，③∠ACB ＝90°，④AD +DE ＝BE ，成立的有 _____个．4．如图，已知在ABC D 中，CD 平分ACB Ð，2,,A B BC a AC b Ð=Ð==，则AD =___________. （用含a b 、的代数式表示）.三、解答题5．如图，△ABC 中，∠ABC ＝60°，AD 、CE 分别平分∠BAC 、∠ACB ，AD 、CE 相交于点P ．(1)求∠APC 的度数；(2)若AE ＝4，CD ＝4，求线段AC 的长．6．如图，△ABC 中，∠B ＝45°，∠ACB ＝30°，CD 平分∠ACB ，AD ⊥CD ，求证：CD ＝AB ＋AD7．如图，120CAB ABD Ð+Ð=°，AD 、BC 分别平分CAB Ð、ABD Ð，AD 与BC 交于点O ．（1）求AOB Ð的度数；（2）说明AB AC BD =+的理由．8．如图1，已知AB ＝AC ，AB ⊥AC ．直线m 经过点A ，过点B 作BD ⊥m 于D ， CE ⊥m 于E ．我们把这种常见图形称为“K ”字图．（1）悟空同学对图1进行一番探究后，得出结论：DE ＝BD ＋CE ，现请你替悟空同学完成证明过程．（2）悟空同学进一步对类似图形进行探究，在图2中，若AB ＝AC ，∠BAC ＝∠BDA ＝∠AEC ，则结论DE ＝BD ＋CE ，还成立吗？如果成立，请证明之．9．【问题提出】（1）如图1，在四边形ABCD 中，AB AD =，120BAD Ð=°，90B ADC Ð=Ð=°，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，探究当EAF Ð为多少度时，使得BE DF EF +=成立．小亮同学认为：延长FD 到点G ，使DG BE =，连接AG ，先证明ABE ADG ≌△△，再证明AEF AGF △△≌，则可求出∠EAF 的度数为______；【问题探究】（2）如图2，在四边形ABCD 中，AB AD =，180B D Ð+Ð=°，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，当∠EAF 与∠BAD 满足怎样的数量关系时，依然有BE DF EF +=成立，并说明理由．【问题解决】（3）如图3，在正方形ABCD 中，45EBF Ð=°，若DEF V 的周长为8，求正方形ABCD 的面积．10．问题1：在数学课本中我们研究过这样一道题目：如图1，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，BE ⊥MN ，AD ⊥MN ，垂足分别为E 、D ．图中哪条线段与AD 相等？并说明理由．问题2：试问在这种情况下线段DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出来，不需要说明理由．问题3：当直线CE 绕点C 旋转到图2中直线MN 的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并说明理由．11．已知四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥CD ，AB ＝BC ，∠ABC ＝120°，∠MBN ＝60°，∠MBN 绕B 点旋转，它的两边分别交AD ，DC （或它们的延长线）于E ，F ．（1）当∠MBN 绕B 点旋转到AE ＝CF 时（如图1），求证：△ABE ≌△CBF ．（2）当∠MBN 绕点B 旋转到AE ≠CF 时，如图2，猜想线段AE ，CF ，EF 有怎样的数量关系，并证明你的猜想．（3）当∠MBN绕点B旋转到图3这种情况下，猜想线段AE，CF，EF有怎样的数量关系，并证明你的猜想．12．（1）问题背景：如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小明同学探究此问题的方法是，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明V ABE≌V ADG，再证明V AEF≌V AGF，可得出结论，他的结论应是 ；（2）灵活运用：如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝12∠BAD，上述结论是否仍然成立，请说明理由；（3）探索延伸：如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，且满足EF=BE+FD，请直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系．。

初中几何中线段和（差）的最值问题一、两条线段和的最小值。

基本图形解析： 一）、已知两个定点：1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小； （1）点A 、B 在直线m 两侧：（2）点A 、B 在直线同侧：A 、A ’ 是关于直线m 的对称点。

2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。

（1）两个点都在直线外侧：（2）一个点在内侧，一个点在外侧：（3）两个点都在内侧：mmB mA Bmn mnn mnnnm（4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短.填空：最短周长=________________变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.二）、一个动点，一个定点： （一）动点在直线上运动：点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ）1、两点在直线两侧：2、两点在直线同侧：mnm nm nm（二）动点在圆上运动点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、点与圆在直线两侧：2、点与圆在直线同侧：三）、已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。

(原理用平移知识解) （1）点A 、B 在直线m 两侧：过A 点作AC ∥m,且AC 长等于PQ 长，连接BC,交直线m 于Q,Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时P 、Q 即为所求的点。

（2）点A 、B 在直线m 同侧：mmmmQ Q练习题1．如图，∠AOB =45°，P 是∠AOB 内一点，PO =10，Q 、R 分别是OA 、OB 上的动点，求△PQR 周长的最小值为 ．2、 如图1，在锐角三角形ABC 中，AB=4,∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M,N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值为 ． 3、如图，在锐角三角形ABC 中 ，AB=BAC=45，BAC 的平分线交BC 于D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是多少？4、如图4所示，等边△ABC 的边长为6,AD 是BC 边上的中线,M 是AD 上的动点,E 是AC 边上一点.若AE=2,EM+CM 的最小值为 .5、如图3，在直角梯形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AD ∥BC ，AD ＝4，AB ＝5，BC ＝6，点P 是AB 上一个动点，当PC ＋PD 的和最小时，PB 的长为__________．6、 如图4，等腰梯形ABCD 中，AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，P 是上底，下底中点EF 直线上的一点，则PA+PB 的最小值为 ．Q二、求两线段差的最大值问题 (运用三角形两边之差小于第三边) 基本图形解析：1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA 与PB 的差最大； （1）点A 、B 在直线m 同侧：解析：延长AB 交直线m 于点P ，根据三角形两边之差小于第三边，P ’A —P ’B ＜AB ，而PA —PB=AB 此时最大，因此点P 为所求的点。

初中几何中线段和差的最大值与最小值练习题（最全）初中几何中线段和（差）的最值问题一、两条线段和的最小值。

基本图形解析：一）、已知两个定点：1、在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；（1）点A、B在直线m两侧：（2）点A、B在直线同侧：A、A’是关于直线m的对称点。

2、在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。

（1）两个点都在直线外侧：（2）一个点在内侧，一个点在外侧：（3）两个点都在内侧：（4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A、B位于直线m,n 的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短.填空：最短周长=________________变式二：已知点A位于直线m,n 的内侧, 在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.二）、一个动点，一个定点：（一）动点在直线上运动：点B在直线n上运动，在直线m上找一点P，使PA+PB最小（在图中画出点P和点B）1、两点在直线两侧：2、两点在直线同侧：（二）动点在圆上运动点B在⊙O上运动，在直线m上找一点P，使PA+PB最小（在图中画出点P和点B）1、点与圆在直线两侧：2、点与圆在直线同侧：三）、已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P 在Q的左侧,且PQ间长度恒定,在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。

(原理用平移知识解)（1）点A、B在直线m两侧：过A点作AC∥m,且AC长等于PQ长，连接BC,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。

（2）点A、B在直线m同侧：练习题1．如图，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值为．PmABQPnmAP' Q' n m A B Q P n m A B B' n m A B P m O A B E D m n A B A'PQmnAA"A'2、如图1，在锐角三角形ABC中，AB=4,∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M,N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值为．3、如图，在锐角三角形ABC中，AB=52，∠BAC=45，BAC的平分线交BC于D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是多少？4、如图4所示，等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC边上一点.若AE=2,EM+CM的最小值为.5、如图3，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为__________．6、如图4，等腰梯形ABCD中，AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，P是上底，下底中点EF直线上的一点，则PA+PB的最小值为．7、如图5菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为．8、如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN 的最小值是9、如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________cm．10、如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为11、如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC 上一动点．则PB+PE的最小值是12、如图6所示，已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是AC上的一个动点，则DN+MN的最小值为．13、如图，正方形ABCD的边长是2，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值为．14、如图7，在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为cm．（结果不取近似值）．15、如图，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，则P A+PC的最小值是．16、如图8，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为( )(A)2 (B) (C)1 (D)2解答题1、如图9，正比例函数y=x 的图象与反比例函数y=（k ≠0）在第一象限的图象交于A 点，过A 点作x 轴的垂线，垂足为M ，已知三角形OAM 的面积为1.（1）求反比例函数的解析式；（2）如果B 为反比例函数在第一象限图象上的点（点B 与点A 不重合），且B 点的横坐标为1，在x 轴上求一点P ，使PA+PB 最小.2、如图，一元二次方程x 2+2x-3=0的二根x 1，x 2（x 1＜x 2）是抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的两个交点B ，C 的横坐标，且此抛物线过点A （3，6）．（1）求此二次函数的解析式；（2）设此抛物线的顶点为P ，对称轴与AC 相交于点Q ，求点P 和点Q 的坐标；（3）在x 轴上有一动点M ，当MQ+MA 取得最小值时，求M 点的坐标．3、如图10，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（1，），△AOB 的面积是.（1）求点B 的坐标；（2）求过点A 、O 、B 的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△AOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由；4．如图，抛物线y ＝35x 2－185x ＋3和y 轴的交点为A ，M 为OA 的中点，若有一动点P ，自M 点处出发，沿直线运动到x 轴上的某点（设为点E ），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点F ），最后又沿直线运动到点A ，求使点P 运动的总路程最短的点E ，点F 的坐标，并求出这个最短路程的长．5．如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，直角梯形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA =AB =2，OC=3，过点B 作BD ⊥BC ，交OA 于点D ．将∠DBC 绕点B 按顺时针方向旋转，角的两边分别交y 轴的正半轴、x 轴的正半轴于点E 和F ．（1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；（2）当BE 经过（1）中抛物线的顶点时，求CF 的长；（3）在抛物线的对称轴上取两点P 、Q （点Q 在点P 的上方），且PQ ＝1，要使四边形BCPQ 的周长最小，求出P 、Q 两点的坐标．6．如图，已知平面直角坐标系，A ，B 两点的坐标分别为A (2，－3），B (4，－1）若C (a ，0)，D (a +3，0)是x 轴上的两个动点，则当a 为何值时，四边形ABDC 的周长最短．7、如图11，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D 为边OB 的中点.（1）若E 为边OA 上的一个动点，当△CDE 的周长最小时，求点E 的坐标；（2）若E 、F 为边OA 上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF 的周长最小时，求点E 、F 的坐标.二、求两线段差的最大值问题 (运用三角形两边之差小于第三边)基本图形解析：1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA 与PB 的差最大；（1）点A 、B 在直线m 同侧：解析：延长AB 交直线m 于点P ，根据三角形两边之差小于第三边，P ’A —P ’B ＜AB ，而PA —PB=AB此时最大，因此点P 为所求的点。

线段的和差练习题一、填空题：1. 已知线段AB=5cm，线段BC=7cm，则线段AC的长度为_______cm。

2. 线段DE=10cm，线段EF=3cm，则线段DF的长度为_______cm。

3. 线段GH=6cm，线段HI=2cm，则线段GI的长度为_______cm。

4. 线段JK=8cm，线段KL=4cm，则线段JL的长度为_______cm。

5. 线段MN=12cm，线段NO=9cm，则线段MO的长度为_______cm。

二、选择题：（将正确答案的序号填入括号内）1. 已知线段PQ=5cm，线段QR=3cm，线段RS=7cm，如果将这三段线段相加，得到的结果是：A. 4cmB. 8cmC. 15cmD. 20cm ( )2. 已知线段UV=6cm，线段VW=4cm，线段WX=2cm，如果将这三段线段相加，得到的结果是：A. 2cmB. 6cmC. 12cmD. 18cm ( )3. 已知线段XY=10cm，线段YZ=6cm，线段ZA=8cm，如果将这三段线段相加，得到的结果是：A. 4cmB. 10cmC. 18cmD. 24cm ( )4. 已知线段AB=12cm，线段BC=9cm，线段CD=3cm，如果将这三段线段相加，得到的结果是：A. 5cmB. 9cmC. 12cmD. 24cm ( )5. 已知线段EF=7cm，线段FG=5cm，线段GH=2cm，如果将这三段线段相加，得到的结果是：A. 4cmB. 7cmC. 14cmD. 21cm ( )三、判断题：（将正确答案的序号填入括号内）1. 已知线段KL=6cm，线段LM=3cm，线段KN=9cm，那么线段MN等于15cm。

( )2. 已知线段OP=7cm，线段PQ=4cm，线段OR=11cm，那么线段QR等于15cm。

( )3. 已知线段ST=8cm，线段TU=2cm，线段SW=10cm，那么线段SU等于18cm。

( )4. 已知线段VW=5cm，线段WX=9cm，线段VY=14cm，那么线段XY等于4cm。