中考压轴题汇编因动点产生的等腰三角形问题

备战2020中考数学之解密压轴解答题命题规律专题01 因动点产生的等腰三角形问题【类型综述】数学因运动而充满活力,数学因变化而精彩纷呈,动态几何问题是近年来中考的热点问题,以运动的观点来探究几何图形的变化规律问题,动态问题的解答,一般要将动态问题转化为静态问题,抓住运动过程中的不变量,利用不变的关系和几何性质建立关于方程（组）、函数关系问题,将几何问题转化为代数问题。

在动态问题中,动点形成的等腰三角形问题是常见的一类题型,可以与旋转、平移、对称等几何变化相结合,也可以与一次函数、反比例函数、二次函数的图象相结合,从而产生数与形的完美结合.解决动点产生的等腰三角形问题的重点和难点在于应用分类讨论思想和数形结合思想进行准确的分类.【方法揭秘】我们先回顾两个画图问题：1．已知线段AB＝5厘米,以线段AB为腰的等腰三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？2．已知线段AB＝6厘米,以线段AB为底边的等腰三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？已知腰长画等腰三角形用圆规画圆,圆上除了两个点以外,都是顶点C．已知底边画等腰三角形,顶角的顶点在底边的垂直平分线上,垂足要除外．在讨论等腰三角形的存在性问题时,一般都要先分类．如果△ABC是等腰三角形,那么存在①AB＝AC,②BA＝BC,③CA＝CB三种情况．解等腰三角形的存在性问题,有几何法和代数法,把几何法和代数法相结合,可以使得解题又好又快．几何法一般分三步：分类、画图、计算．哪些题目适合用几何法呢？如果△ABC的∠A（的余弦值）是确定的,夹∠A的两边AB和AC可以用含x的式子表示出来,那么就用几何法．①如图1,如果AB＝AC,直接列方程；②如图2,如果BA＝BC,那么1cos2AC AB A=∠；③如图3,如果CA＝CB,那么1cos2AB AC A=∠．代数法一般也分三步：罗列三边长,分类列方程,解方程并检验．如果三角形的三个角都是不确定的,而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来,那么根据两点间的距离公式,三边长（的平方）就可以罗列出来．图1 图2 图3【典例分析】【例1】抛物线229y x bx c =-++与x 轴交于1,05,0A B （-），（）两点,顶点为C ,对称轴交x 轴于点D ,点P 为抛物线对称轴CD 上的一动点（点P 不与,C D 重合）．过点C 作直线PB 的垂线交PB 于点E ,交x轴于点F ．()1求抛物线的解析式；()2当PCF V 的面积为5时,求点P 的坐标；()3当△PCF 为等腰三角形时,请直接写出点P 的坐标．思路点拨()1把1,05,0AB （-），（）代入函数,利用交点式求解即可. ()2先求出点C ,设点2P m （，），然后得函数PB 的表达式为：1533my mx =-+⋯①，,根据CE PE ⊥,得故直线CE 表达式中的k 值为3m ,求出直线CE 的表达式为362y x m m ⎛⎫=+-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭②,联立①②并解得：223m x =-,求出22,03m F ⎛⎫- ⎪⎝⎭,利用PCF V 的面积为5,求出m 即可；()3由点F 的坐标得：22222222224,33m m CP m CF PF m -++＝（），＝（）＝（），分别算出CP CF ＝,CP PF ＝,CF PF ＝时的m 即可.满分解答()1将抛物线化为交点式：()222=h 99y x bx c x x k =-++-++（）将1,05,0A B （-），（）代入可得()21-59y x x =-+（）()2222810459999x x x x =---=-++.故抛物线解析式为28210999++=-y x x . ()2抛物线的对称轴为1x =,则点22C （，）， 设点2P m （，），将点,P B 的坐标代入一次函数表达式：y sx t =+并解得：函数PB 的表达式为： 1533my mx =-+⋯①，CE PE ⊥Q ，故直线CE 表达式中的k 值为3m, 将点C 的坐标代入一次函数表达式, 同理可得直线CE 的表达式为： 362y x m m ⎛⎫=+-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭② 联立①②并解得： 223m x =- 故点22,03m F ⎛⎫-⎪⎝⎭1122)225223PCF m S PC DF m ⎛⎫⨯⨯---= ⎪⎝⎭V ＝＝（，解得：5m =或3-（舍去5）,故点2,3P（-）; ()332,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭或()2,2-． 考点伸展第（3）问的解题过程是这样的： 由()2确定的点F 的坐标得：22222222224,33m m CP m CF PF m -++＝（），＝（）＝（），①当CP CF ＝时,即： ()22243m m ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭,解得0m =：或365（均舍去）, ②当CP PF ＝时, ()222223m m m ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭,解得：32m =或3（舍去3）, ③当CF PF ＝时,同理可得：2m =±（舍去2）, 故点 32,2P ⎛⎫⎪⎝⎭或()2,2-． 【例2】如图1,抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A (－1,0)、B (3, 0)、C (0 ,3)三点,直线l 是抛物线的对称轴． （1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P 是直线l 上的一个动点,当△PAC 的周长最小时,求点P 的坐标；（3）在直线l 上是否存在点M ,使△MAC 为等腰三角形,若存在,直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在,请说明理由．图1思路点拨1．第（2）题是典型的“牛喝水”问题,点P 在线段BC 上时△P AC 的周长最小． 2．第（3）题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性．满分解答所以点P的坐标为(1, 2)．图2（3）点M的坐标为(1, 1)、6)、(1,6-或(1,0)．考点伸展第（3）题的解题过程是这样的：设点M的坐标为(1,m)．在△MAC中,AC2＝10,MC2＝1＋(m－3)2,MA2＝4＋m2．①如图3,当MA＝MC时,MA2＝MC2．解方程4＋m2＝1＋(m－3)2,得m＝1．此时点M的坐标为(1, 1)．m=．②如图4,当AM＝AC时,AM2＝AC2．解方程4＋m2＝10,得6此时点M的坐标为6或(1,6)．③如图5,当CM＝CA时,CM2＝CA2．解方程1＋(m－3)2＝10,得m＝0或6．当M(1, 6)时,M、A、C三点共线,所以此时符合条件的点M的坐标为(1,0)．图3 图4 图5【例3】如图1,点A在x轴上,OA＝4,将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上,是否存在点P,使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在,求点P的坐标；若不存在,请说明理由．图1思路点拨1．用代数法探求等腰三角形分三步：先分类,按腰相等分三种情况；再根据两点间的距离公式列方程；然后解方程并检验．2．本题中等腰三角形的角度特殊,三种情况的点P重合在一起．满分解答（3）抛物线的对称轴是直线x ＝2,设点P 的坐标为(2, y )． ①当OP ＝OB ＝4时,OP 2＝16．所以4+y 2＝16．解得23y =±． 当P 在(2,23)时,B 、O 、P 三点共线（如图2）．②当BP ＝BO ＝4时,BP 2＝16．所以224(23)16y ++=．解得1223y y ==-． ③当PB ＝PO 时,PB 2＝PO 2．所以22224(23)2y y ++=+．解得23y =-． 综合①、②、③,点P 的坐标为(2,23)-,如图2所示．图2 图3考点伸展如图3,在本题中,设抛物线的顶点为D ,那么△DOA 与△OAB 是两个相似的等腰三角形． 由23323(4)2)y x x =-=-+得抛物线的顶点为23)D ．因此23tan DOA ∠=DOA ＝30°,∠ODA ＝120°． 【例4】在平面直角坐标系xOy 中,已知(0,2)A ,动点P 在33y x =的图像上运动（不与O 重合）,连接AP ,过点P 作PQ AP ⊥,交x 轴于点Q ,连接AQ ．（1）求线段AP 长度的取值范围；（2）试问：点P 运动过程中,QAP ∠是否问定值？如果是,求出该值；如果不是,请说明理由． （3）当OPQ ∆为等腰三角形时,求点Q 的坐标．思路点拨（1）作AH OP ⊥,由点P 在33y x =的图像上知：30HOQ ∠=︒,求出AH ,即可得解； （2）①当点P 在第三象限时,②当点P 在第一象的线段OH 上时,③当点P 在第一象限的线段OH 的延长线上时,分别证明Q 、P 、O 、A 四点共圆,即可求得QAP ∠=30°； （3）分OP OQ =,PO PQ =,QO QP =三种情况,分别求解即可．满分解答（1）作AH OP ⊥,则AP AH ≥ ∵点P 在3y x =的图像上 ∴30HOQ ∠=︒,60HOA ∠=︒ ∵(0,2)A ,∴sin 603AH AO =︒=g ∴3AP ≥（2）①当点P 在第三象限时,由90QPA QOA ∠=∠=︒,可得Q 、P 、O 、A 四点共圆, ∴30PAQ POQ ∠=∠=︒ ②当点P 在第一象的线段OH 上时,由90QPA QOA ∠=∠=︒,可得Q 、P 、O 、A 四点共圆, ∴180PAQ POQ ∠+∠=︒,又此时150POQ ∠=︒ ∴18030PAQ POQ ∠=︒-∠=︒③当点P 在第一象限的线段OH 的延长线上时,由90QPA QOA ∠=∠=︒,可得180APQ AOQ ∠+∠=︒, ∴Q 、P 、O 、A 四点共圆, ∴30PAQ POQ ∠=∠=︒（3）设(,)3P m m ,则AP l ：623y m-=+∵PQ AP ⊥,∴PQ k =∴PQ l ：)3y x m m =-+∴0)Q∴2243OP m =,2216493OQ m =+ 224493PQ m =+①当OP OQ =时,则224164393m m =+整理得：230m -+= 解得：3m =∴14,0)Q , 24,0)Q②当PO PQ =时,则22444393m m =+整理得：2230m +-=解得：m =或m =当2m =时,Q 点与O 重合,舍去,∴3m =-,∴3(23,0)Q - ③当QO QP =时, 则221616444433993993m m m m -+=-+ 整理得：230m m -= 解得：3m = ∴423(,0)3Q【例5】如图1,在矩形ABCD 中,8AB =,10AD =,E 是CD 边上一点,连接AE ,将矩形ABCD 沿AE 折叠,顶点D 恰好落在BC 边上点F 处,延长AE 交BC 的延长线于点G ．（1）求线段CE 的长；（2）如图2,M ,N 分别是线段AG ,DG 上的动点（与端点不重合）,且DMN DAM ∠=∠,设AM x =,DN y =．①写出y 关于x 的函数解析式,并求出y 的最小值；②是否存在这样的点M ,使DMN V 是等腰三角形？若存在,请求出x 的值；若不存在,请说明理由．思路点拨()1由翻折可知：10.AD AF DE EF ===,设EC x =,则8.DE EF x ==-在Rt ECF V 中,利用勾股定理构建方程即可解决问题．()2①证明ADM V ∽GMN V ,可得ADAMMG GN=,由此即可解决问题．②有两种情形：如图31-中,当MN MD =时.如图32-中,当MN DN =时,作MH DG ⊥于.H 分别求解即可解决问题．满分解答（1）如图1中,∵四边形ABCD 是矩形,∴10AD BC ==,8AB CD ==, ∴90B BCD ∠=∠=︒,由翻折可知：10AD AF ==．DE EF =,设EC x =,则8DE EF x ==-．在Rt ABF V 中,226BF AF AB =-=,∴1064CF BC BF =-=-=,在Rt EFC V 中,则有：()22284x x -=+, ∴3x =, ∴3EC =． （2）①如图2中,∵AD CG ∥,∴AD DECG CE =, ∴1053CG =, ∴6CG =,∴16BG BC CG =+=,在Rt ABG V 中,2281685AG =+=在Rt DCG V 中,226810DG +=, ∵10AD DG ==, ∴DAG AGD ∠=∠,∵DMG DMN NMG DAM ADM ∠=∠+∠=∠+∠,DMN DAM ∠=∠, ∴ADM NMG ∠=∠, ∴ADM GMN V V ∽, ∴AD AMMG GN=, 1085xyx =--,∴214510105y x x =-+． 当45x =时,y 有最小值,最小值2=．②存在．有两种情形：如图3-1中,当MN MD =时,∵MDN GMD ∠=∠,DMN DGM ∠=∠, ∴DMN DGM V V ∽, ∴DM MN DG GM=, ∵MN DM =, ∴10DG GM ==, ∴8510x AM ==-．如图3-2中,当MN DN =时,作MH DG ⊥于H ．∵MN DN =, ∴MDN DMN ∠=∠, ∵DMN DGM ∠=∠, ∴MDG MGD ∠=∠, ∴MD MG =, ∵BH DG ⊥,∴5DH GH ==, 由GHM GBA V V ∽,可得GH MGGB AG=, ∴51685=, ∴55MG =, ∴551158522x AM ==-=． 综上所述,满足条件的x 的值为8510-或115． 【例6】如图1,已知Rt △ABC 中,∠C ＝90°,AC ＝8,BC ＝6,点P 以每秒1个单位的速度从A 向C 运动,同时点Q 以每秒2个单位的速度从A →B →C 方向运动,它们到C 点后都停止运动,设点P 、Q 运动的时间为t 秒． （1）在运动过程中,求P 、Q 两点间距离的最大值；（2）经过t 秒的运动,求△ABC 被直线PQ 扫过的面积S 与时间t 的函数关系式；（3）P ,Q 两点在运动过程中,是否存在时间t,使得△PQC 为等腰三角形．若存在,求出此时的t 值,若不存在,请说明理由．（24.25≈,结果保留一位小数）图1思路点拨1．过点B 作QP 的平行线交AC 于D ,那么BD 的长就是PQ 的最大值． 2．线段PQ 扫过的面积S 要分两种情况讨论,点Q 分别在AB 、BC 上． 3．等腰三角形PQC 分三种情况讨论,先罗列三边长．满分解答图2 图3 图4 （2）①如图2,当点Q 在AB 上时,0＜t ≤5,S △ABD ＝15． 由△AQP ∽△ABD ,得2()AQP ABDS AP S AD=△△．所以S ＝S △AQP ＝215()5t ⨯＝235t ．②如图3,当点Q 在BC 上时,5＜t ≤8,S △ABC ＝24． 因为S △CQP ＝12CQ CP ⋅＝1(162)(8)2t t --＝2(8)t -, 所以S ＝S △ABC －S △CQP ＝24－(t －8)2＝－t 2＋16t －40．（3）如图3,当点Q 在BC 上时,CQ ＝2CP ,∠C ＝90°,所以△PQC 不可能成为等腰三角形． 当点Q 在AB 上时,我们先用t 表示△PQC 的三边长：易知CP ＝8－t ． 如图2,由QP //BD ,得QP AP BD AD =,535t=．所以35QP =． 如图4,作QH ⊥AC 于H ．在Rt △AQH 中,QH ＝AQ sin ∠A ＝65t ,AH ＝85t ．在Rt △CQH 中,由勾股定理,得CQ 22QH CH +2268()(8)55t t +-图5 图6 图7考点伸展第（1）题求P 、Q 两点间距离的最大值,可以用代数计算说理的方法： ①如图8,当点Q 在AB 上时,PQ ＝22QH PH +＝2268()()55t t t +-＝35t ． 当Q 与B 重合时,PQ 最大,此时t ＝5,PQ 的最大值为35．②如图9,当点Q 在BC 上时,PQ ＝22CQ CP +＝22(2)CP CP +＝5(8)t -． 当Q 与B 重合时,PQ 最大,此时t ＝5,PQ 的最大值为35． 综上所述,PQ 的最大值为35．图8 图9【变式训练】1．矩形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示,已知(23,2)B ,点A 在x 轴上,点C 在y 轴上,P 是对角线OB 上一动点（不与原点重合）,连接PC ,过点P 作PD PC ⊥,交x 轴于点D ．下列结论：①23OA BC ==；②当点D 运动到OA 的中点处时,227PC PD +=；③在运动过程中,CDP ∠是一个定值；④当△ODP 为等腰三角形时,点D 的坐标为23,0⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．其中正确结论的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D 【详解】解：①∵四边形OABC 是矩形,(23,2)B ,23OA BC ∴==②∵点D 为OA 的中点,132OD OA ∴==,2222222237PC PD CD OC OD ∴+++＝＝＝（）＝,故②正确；③如图,过点P 作PF OA ⊥ A 于F ,FP 的延长线交BC 于E ,PE BC ∴⊥,四边形OFEC 是矩形,2EF OC ∴＝＝,设PE a ＝,则2PF EF PE a ＝﹣＝﹣, 在Rt BEP ∆中,PE OC 3BE BC tan CBO ∠===, 33BE PE a ∴==,)CE BC BE a ∴=-==-,PD PC ⊥Q ,90CPE FPD ︒∴∠∠=, 90CPE PCE ︒∠+∠=Q ,,FPD ECP ∴∠=∠, 90CEP PFD ︒∠=∠=Q ,CEP PFD ∴∆∆∽,PE CPFD PD ∴=, a FD ∴=FD ∴=, tan PC aPDC a PD∴∠===60PDC ︒∴∠=,故③正确；④2)B Q ,四边形OABC 是矩形,2OA AB ∴==,tan AB AOB OA ∠==Q 30AOB ︒∴∠=,当ODP ∆为等腰三角形时, Ⅰ、OD PD ＝， 30DOP DPO ∴∠∠o ＝＝， 60ODP ∴∠o ＝， 60ODC ∴∠o ＝，OD ∴==Ⅱ、OP OD =75ODP OPD ∴∠∠o ＝＝,90COD CPD ∠∠o Q ＝＝，10590OCP ∴∠o o ＝＞,故不合题意舍去；Ⅲ、OP PD ＝,30POD PDO ∴∠∠o ＝＝,15090OCP ∴∠o o ＝＞故不合题意舍去,∴当ODP ∆为等腰三角形时,点D 的坐标为23,03⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．故④正确,故选：D ．2．如图,在正方形ABCD 中,E F 、是对角线AC 上的两个动点,P 是正方形四边上的任意一点,且42AB EF ＝，＝,设AE x ＝．当PEF V 是等腰三角形时,下列关于P 点个数的说法中,一定正确的是（ ）①当0x ＝（即E A 、两点重合）时,P 点有6个 ②当0422x ＜＜时,P 点最多有9个 ③当P 点有8个时,x ＝22④当PEF V 是等边三角形时,P 点有4个 A ．①③ B ．①④ C ．②④ D ．②③【答案】B 【详解】①当0x ＝(即E A 、两点重合)时,如图1,分别以A F 、为圆心,2为半径画圆,各2个点P , 以AF 为直径作圆,有2个P 点,共6个, 所以,①正确；②当0＜x ＜42﹣2时,如图2、图3所示,此时P 点最多有8个,故②错误；③当点P 有8个时,如图2、图3所示,此时0＜x ＜2﹣2, 故③错误；④如图4,当△PEF 是等边三角形时,有两个P 点关于BD 对称的位置,共有4个,故④正确；综上,不正确的是②③,一定正确的是①④, 故选B.3．如图,在矩形ABCD 中,3310AD AB ==,点P 是AD 的中点,点E 在BC 上,2CE BE =,点M 、N 在线段BD 上．若PMN ∆是等腰三角形且底角与DEC ∠相等,则MN =_____．【答案】6或158【详解】分两种情况：①MN 为等腰△PMN 的底边时,作PF MN ⊥于F ,如图所示：则90PFM PFN ∠=∠=︒,Q 四边形ABCD 是矩形,∴AB CD =,3310BC AD AB ===90A C ∠=∠=︒, ∴10AB CD ==,2210BD AB AD =+=,Q 点P 是AD 的中点,∴13102PD AD ==,Q PDF BDA ∠=∠,∴PDF BDA ∆∆:,∴PF PD AB BD=,31021010=, 解得：32PF =, Q 2CE BE =,∴3BC AD BE ==, ∴BE CD =,∴2CE CD =,Q PMN ∆是等腰三角形且底角与DEC ∠相等,PF MN ⊥,∴MF NF =,PNF DEC ∠=∠, Q 90PFN C ∠=∠=︒,∴PNF DEC ∆∆:, ∴2NF CEPF CD==, ∴23NF PF ==,∴26MN NF ==；②MN 为等腰△PMN 的腰时,作PF ⊥BD 于F ,如图所示,由①得：32PF =,3MF =, 设==MN PN x ,则3=-FN x ,在V Rt PNF 中,2223(3)2⎛⎫+-= ⎪⎝⎭x x , 解得：158x =,即158=MN ,综上所述,MN 的长为6或158. 4．如图,平面直角坐标系中,矩形ABOC 的边,BO CO 分别在x 轴,y 轴上,A 点的坐标为(8,6)-,点P 在矩形ABOC 的内部,点E 在BO 边上,满足PBE ∆∽CBO ∆,当APC ∆是等腰三角形时,P 点坐标为_____．【答案】326()55-，或(43)-，【详解】解：∵点P 在矩形ABOC 的内部,且APC ∆是等腰三角形,∴P 点在AC 的垂直平分线上或在以点C 为圆心AC 为半径的圆弧上；①当P 点在AC 的垂直平分线上时,点P 同时在BC 上,AC 的垂直平分线与BO 的交点即是E ,如图1所示：∵PE BO ⊥,CO BO ⊥, ∴//PE CO , ∴PBE ∆∽CBO ∆,∵四边形ABOC 是矩形,A 点的坐标为(8,6)-, ∴点P 横坐标为﹣4,6OC =,8BO =,4BE =, ∵PBE ∆∽CBO ∆, ∴PE BE CO BO =,即468PE =, 解得：3PE =, ∴点(4,3)P -；②P 点在以点C 为圆心AC 为半径的圆弧上,圆弧与BC 的交点为P , 过点P 作PE BO ⊥于E ,如图2所示： ∵CO BO ⊥,∴//PE CO , ∴PBE ∆∽CBO ∆,∵四边形ABOC 是矩形,A 点的坐标为(-8,6), ∴8AC BO ==,8CP =,6AB OC ==, ∴222208610BC BO C =+=+=,∴2BP =,∵PBE ∆∽CBO ∆,∴PE BE BP CO BO BC ==,即：26810PE BE ==, 解得：65PE =,85BE =,∴832855OE =-=,∴点326()55P -，；综上所述：点P 的坐标为：326()55-，或(43)-，； 故答案为：326()55-，或(43)-，．5．在平面直角坐标系xOy 中,已知点A （0,3）,点B （5,0）,有一动点P 在直线AB 上,△APO 是等腰三角形,则满足条件的点P 共有（ ）A ﹒2个B ﹒3个C ﹒4个D ﹒5个 【答案】C 【详解】如图,（1）AP 1=AO ；（2）AP 2=AO ；（3）OA=OP 3；（4）AP 4=OP 4.因此,满足条件的点P共有4个.故选C.6．如图,点A、B、P在⊙O上,且∠APB=50°。

因动点产生的等腰三角形问题例1（20XX 年湖州市中考第24题）如图1，已知正方形OABC 的边长为2，顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上，M 是BC 的中点．P (0,m )是线段OC 上一动点（C 点除外），直线PM 交AB 的延长线于点D ．（1）求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）； （2）当△APD 是等腰三角形时，求m 的值；（3）设过P 、M 、B 三点的抛物线与x 轴正半轴交于点E ，过点O 作直线ME 的垂线，垂足为H （如图2）．当点P 从O 向C 运动时，点H 也随之运动．请直接写出点H 所经过的路长（不必写解答过程）．图1 图2满分解答（1）因为PC //DB ，所以1CP PM MCBD DM MB===．因此PM ＝DM ，CP ＝BD ＝2－m ．所以AD ＝4－m ．于是得到点D 的坐标为(2，4－m )．（2）在△APD 中，22(4)AD m =-，224AP m =+，222(2)44(2)PD PM m ==+-．①当AP ＝AD 时，2(4)m -24m =+．解得32m =（如图3）．②当P A ＝PD 时，24m +244(2)m =+-．解得43m =（如图4）或4m =（不合题意，舍去）．③当DA ＝DP 时，2(4)m -244(2)m =+-．解得23m =（如图5）或2m =（不合题意，舍去）．综上所述，当△APD 为等腰三角形时，m 的值为32，43或23．图3 图4 图5（3）点H 5．考点伸展第（2）题解等腰三角形的问题，其中①、②用几何说理的方法，计算更简单：①如图3，当AP ＝AD 时，AM 垂直平分PD ，那么△PCM ∽△MBA ．所以12PC MB CM BA ==．因此12PC =，32m =．②如图4，当P A ＝PD 时，P 在AD 的垂直平分线上．所以DA ＝2PO ．因此42m m -=．解得43m =．第（2）题的思路是这样的：如图6，在Rt △OHM 中，斜边OM 为定值，因此以OM 为直径的⊙G 经过点H ，也就是说点H 在圆弧上运动．运动过的圆心角怎么确定呢？如图7，P 与O 重合时，是点H 运动的起点，∠COH ＝45°，∠CGH ＝90°．图6 图7例2（20XX年盐城市中考第28题）如图1，已知一次函数y＝－x＋7与正比例函数43 y x =的图象交于点A，且与x轴交于点B．（1）求点A和点B的坐标；（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l//y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C—A 的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA 或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．图1满分解答（1）解方程组7,4,3y xy x=-+⎧⎪⎨=⎪⎩得3,4.xy=⎧⎨=⎩所以点A的坐标是(3，4)．令70y x=-+=，得7x=．所以点B的坐标是(7，0)．（2）①如图2，当P在OC上运动时，0≤t＜4．由8APR ACP PORCORAS S S S=--=△△△梯形，得1113+7)44(4)(7)8222t t t t-⨯-⨯⨯--⨯-=（．整理，得28120t t-+=．解得t＝2或t＝6（舍去）．如图3，当P在CA上运动时，△APR的最大面积为6．因此，当t＝2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8．图2 图3 图4②我们先讨论P在OC上运动时的情形，0≤t＜4．如图1，在△AOB中，∠B＝45°，∠AOB＞45°，OB＝7，42AB=，所以OB＞AB．因此∠OAB＞∠AOB＞∠B．如图4，点P由O向C运动的过程中，OP＝BR＝RQ，所以PQ//x轴．因此∠AQP＝45°保持不变，∠P AQ越来越大，所以只存在∠APQ＝∠AQP的情况．此时点A在PQ的垂直平分线上，OR＝2CA＝6．所以BR＝1，t＝1．我们再来讨论P在CA上运动时的情形，4≤t＜7．在△APQ中，3cos5A∠=为定值，7AP t=-，5520333AQ OA OQ OA OR t=-=-=-．如图5，当AP＝AQ时，解方程520733t t-=-，得418t=．如图6，当QP＝QA时，点Q在P A的垂直平分线上，AP＝2(OR－OP)．解方程72[(7)(4)]t t t-=---，得5t=．如7，当P A＝PQ时，那么12cosAQAAP∠=．因此2cosAQ AP A=⋅∠．解方程52032(7)335t t-=-⨯，得22643t=．综上所述，t＝1或418或5或22643时，△APQ是等腰三角形．图5 图6 图7考点伸展当P在CA上，QP＝QA时，也可以用2cosAP AQ A=⋅∠来求解．例3（20XX年上海市闸北区中考模拟第25题）如图1，在直角坐标平面内有点A(6, 0)，B(0, 8)，C(－4, 0)，点M、N分别为线段AC和射线AB上的动点，点M以2个单位长度/秒的速度自C向A方向作匀速运动，点N以5个单位长度/秒的速度自A向B方向作匀速运动，MN交OB于点P．(1)求证：MN∶NP为定值；(2)若△BNP与△MNA相似，求CM的长；(3)若△BNP是等腰三角形，求CM的长．图1满分解答(1)如图2，图3，作NQ⊥x轴，垂足为Q．设点M、N的运动时间为t秒．在Rt△ANQ中，AN＝5t，NQ＝4t，AQ＝3t．在图2中，QO＝6－3t，MQ＝10－5t，所以MN∶NP＝MQ∶QO＝5∶3．在图3中，QO ＝3t －6，MQ ＝5t －10，所以MN ∶NP ＝MQ ∶QO ＝5∶3．(2)因为△BNP 与△MNA 有一组邻补角，因此这两个三角形要么是一个锐角三角形和一个钝角三角形，要么是两个直角三角形．只有当这两个三角形都是直角三角形时才可能相似．如图4，△BNP ∽△MNA ，在Rt △AMN 中，35AN AM =，所以531025t t =-．解得3031t =．此时CM 6031=．图2 图3 图4(3)如图5，图6，图7中，OP MP QN MN =，即245OP t =．所以85OP t =． ①当N 在AB 上时，在△BNP 中，∠B 是确定的，885BP t =-，105BN t =-． (Ⅰ)如图5，当BP ＝BN 时，解方程881055t t -=-，得1017t =．此时CM 2017=．(Ⅱ)如图6，当NB ＝NP 时，45BE BN =．解方程()1848105255t t ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，得54t =．此时CM 52=．(Ⅲ)当PB ＝PN 时，1425BN BP =．解方程()1481058255t t ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，得t 的值为负数，因此不存在PB ＝PN 的情况． ②如图7，当点N 在线段AB 的延长线上时，∠B 是钝角，只存在BP ＝BN 的可能，此时510BN t =-．解方程885105t t -=-，得3011t =．此时CM 6011=．图5 图6 图7考点伸展如图6，当NB ＝NP 时，△NMA 是等腰三角形，1425BN BP =，这样计算简便一些．例4（20XX 年南通市中考第27题）如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝m （m 是大于0的常数），BC ＝8，E 为线段BC 上的动点（不与B 、C 重合）．连结DE ，作EF ⊥DE ，EF 与射线BA 交于点F ，设CE ＝x ，BF ＝y ．（1）求y 关于x 的函数关系式；（2）若m ＝8，求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？（3）若12y m=，要使△DEF 为等腰三角形，m 的值应为多少？图1满分解答(1)因为∠EDC 与∠FEB 都是∠DEC 的余角，所以∠EDC ＝∠FEB ．又因为∠C ＝∠B ＝90°，所以△DCE ∽△EBF ．因此DC EB CE BF =，即8m x x y -=．整理，得y 关于x 的函数关系为218y x x m m=-+．(2)如图2，当m ＝8时，2211(4)288y x x x =-+=--+．因此当x ＝4时，y 取得最大值为2． (3) 若12y m =，那么21218x x m m m=-+．整理，得28120x x -+=．解得x ＝2或x ＝6．要使△DEF 为等腰三角形，只存在ED ＝EF 的情况．因为△DCE ∽△EBF ，所以CE ＝BF ，即x ＝y ．将x ＝y ＝2代入12y m=，得m ＝6（如图3）；将x ＝y ＝6代入12y m=，得m ＝2（如图4）．图2 图3 图4考点伸展本题中蕴涵着一般性与特殊性的辩证关系，例如：由第（1）题得到218y x x m m =-+221116(8)(4)x x x m m m=--=--+， 那么不论m 为何值，当x ＝4时，y 都取得最大值．对应的几何意义是，不论AB 边为多长，当E 是BC 的中点时，BF 都取得最大值．第（2）题m ＝8是第（1）题一般性结论的一个特殊性．再如，不论m 为小于8的任何值，△DEF 都可以成为等腰三角形，这是因为方程218x x x m m=-+总有一个根8x m =-的．第（3）题是这个一般性结论的一个特殊性．例5（20XX 年重庆市中考第26题）已知：如图1，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA ＝2，OC ＝3，过原点O 作∠AOC 的平分线交AB 于点D ，连接DC ，过点D 作DE ⊥DC ，交OA 于点E ．（1）求过点E 、D 、C 的抛物线的解析式；（2）将∠EDC 绕点D 按顺时针方向旋转后，角的一边与y 轴的正半轴交于点F ，另一边与线段OC 交于点G ．如果DF 与（1）中的抛物线交于另一点M ，点M的横坐标为56，那么EF ＝2GO 是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）对于（2）中的点G ，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q ，使得直线GQ 与AB 的交点P 与点C 、G 构成的△PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在成立，请说明理由．图1 图2满分解答（1）由于OD 平分∠AOC ，所以点D 的坐标为（2，2），因此BC ＝AD ＝1． 由于△BCD ≌△ADE ，所以BD ＝AE ＝1，因此点E 的坐标为（0，1）．设过E 、D 、C 三点的抛物线的解析式为c bx ax y ++=2，那么⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=.039,224,1c b a c b a c 解得65-=a ，613=b 1=c ．因此过E 、D 、C 三点的抛物线的解析式为1613652++-=x x y ． （2）把56=x 代入1613652++-=x x y ，求得512=y ．所以点M 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛512,56． 如图2，过点M 作MN ⊥AB ，垂足为N ，那么DA DN FA MN =，即25622512-=-FA ．解得1=FA ． 因为∠EDC 绕点D 旋转的过程中，△DCG ≌△DEF ，所以CG ＝EF ＝2．因此GO ＝1，EF ＝2GO ． （3）在第（2）中，GC ＝2．设点Q 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛++-161365,2x x x ． ①如图3，当CP ＝CG ＝2时，点P 与点B （3，2）重合，△PCG 是等腰直角三角形．此时G Q Q x x y -=，因此11613652-=++-x x x 。

动点引起的等腰直角三角形存在性问题△ABP 为等腰直角三角形，黑色部分为P 点位置.【一题多解·典例剖析】例题1．（2021·湖南衡阳市中考）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”．例如()()1,1,2021,2021……都是“雁点”．（1）求函数4y x=图象上的“雁点”坐标；（2）若抛物线25y ax x c =++上有且只有一个“雁点”E ，该抛物线与x 轴交于M 、N 两点（点M 在点N 的左侧）．当1a >时．①求c 的取值范围；②求EMN ∠的度数；（3）如图，抛物线2y x 2x 3=-++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），P 是抛物线2y x 2x 3=-++上一点，连接BP ，以点P 为直角顶点，构造等腰Rt BPC △，是否存在点P ，使点C 恰好为“雁点”？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2,2）、（－2，－2）；（2）①0<c<4；②45°；（3）存在，P 点坐标为315,24⎛⎫ ⎪⎝⎭或312⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.【解析】解：（1）联立4y x y x⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得：22x y =⎧⎨=⎩或22x y =-⎧⎨=-⎩即：函数4y x=上的雁点坐标为（2,2）、（－2，－2）．（2）①联立25y x y ax x c=⎧⎨=++⎩得ax 2+4x+c=0∵这样的雁点E 只有一个，即该一元二次方程有两个相等的实根，∴△=16－4ac=0，即ac=4∵a>1∴a=4c >1，即4c －1>0，4c c->0，解得：0<c<4.②由①知，E 点坐标为：x=422a a-=-，即E 22,a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在y=ax 2+5x+4a 中，当y=0时，得：x=－4a ，x=－1a即M 点坐标为（－4a ，0），N 点坐标为（－1a ，0）过E 点向x 轴作垂线，垂足为H 点，EH=2a，MH=242()a a a---=∴EH=MH即△EMH为等腰直角三角形，∠EMN=45°.（3）存在，理由如下：①如图所示：过P作直线l垂直于x轴于点k，过C作CH⊥PK于点H方法一设C（m，m），P（x，y）∵△CPB为等腰三角形，∴PC=PB，∠CPB=90°，∴∠KPB+∠HPC=90°，∵∠HPC+∠HCP=90°，∴∠KPB=∠HCP，∵∠H=∠PKB=90°，∴△CHP ≌△PKB ，∴CH =PK ，HP =KB ，即3m x y m y x -=⎧⎨-=-⎩∴3232x y m ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩即P （32，154）.方法二设P （m ，－m 2+2m+3），同理，CH =PK ，HP =KB ，则C （m －m 2+2m+3，－m 2+2m+3+3－m ）∵C 为雁点∴m －m 2+2m+3=－m 2+2m+3+3－m ，解得：m=32，即P （32，154）.②如图所示，同理可得：△KCP ≌△JPB∴KP =JB ，KC =JP方法一设P （x ，y ），C （m ，m ）∴KP =x －m ，KC =y －m ，JB =y ，JP =3－x ，即3x m y y m x-=⎧⎨-=-⎩解得3232x m y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则P 2103(,)22或2103(,)22方法二设P （m ，－m 2+2m+3），则C （m －（－m 2+2m+3），－m 2+2m+3－（3－m ））∴m －（－m 2+2m+3）=－m 2+2m+3－（3－m ），解得：③如图所示，此时P 与第②种情况重合综上所述，符合题意P 的坐标为（32，154）或3()22，或23()22，.【一题多解·对标练习】练习1．（2021·湖南省怀化市中考）如图所示，抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且2OA =，4OB =，8OC =．（1）求抛物线的解析式；（2）点Q 是抛物线上位于x 轴上方的一点，点R 在x 轴上，是否存在以点Q 为直角顶点的等腰Rt CQR △？若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=－x2+2x+8；（2）存在，13313322Q⎫++⎪⎪⎝⎭或34141322Q⎛⎫⎪⎪⎝⎭．【解析】解：（1）∵OA=2，OB=4，OC=8，∴A（－2，0），B（4,0），C（0,8），设二次函数的解析式为y=a(x+2)(x－4)，将（0,8）代入得：a=－1即抛物线的解析式为：y=－x2+2x+8；（2）存在以点Q为直角顶点的等腰直角△CQR，理由如下：①当点Q在第二象限时，如图所示过点Q作QL⊥x轴于点L，过点C作CK⊥QL，交其延长线于点K，∴∠CKQ=∠QLR=∠COL=90°，∴四边形COLK是矩形，∴CK=OL，∵CQR为等腰直角三角形，∴CQ=QR，∠CQR=90°，∴∠KCQ=∠LQR∴△KCQ ≌△LQR∴RL=QK ，QL=CK ，设R （m ，0），Q （x ，y ）则m －x=8－y－x=y即－x=－x 2+2x+8，解得：x=3412-或x=3412+（舍）则Q （3412-，4132）②当点Q 在第一象限时，如图所示同理可得：x=－x 2+2x+8，解得：x=1332或x=1332-（舍），∴Q ⎫⎪⎝⎭.综上所述，满足题意的Q 点坐标为13313322⎛⎫ ⎪⎝⎭或34141322⎛⎫- ⎪⎝⎭．【多题一解·典例剖析】例题2．（2021·四川省广安市中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++的图象与坐标轴相交于A 、B 、C 三点，其中A 点坐标为()3,0，B 点坐标为()1,0-，连接AC 、BC ．动点P 从点A 出发，在线段AC 个单位长度向点C 做匀速运动；同时，动点Q 从点B 出发，在线段BA 上以每秒1个单位长度向点A 做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ ，设运动时间为t 秒．（1）求b 、c 的值；（2）在P 、Q 运动的过程中，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小，最小值为多少？（3）在线段AC 上方的抛物线上是否存在点M ，使MPQ 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）b =2，c =3；（2）t =2，最小值为4；（3）【解析】解：（1）∵抛物线y =－x 2+bx +c 经过点A （3，0），B （－1，0），则09301b c b c =-++⎧⎨=--+⎩，解得：23b c =⎧⎨=⎩；（2）由（1）得：抛物线表达式为y =－x 2+2x +3，C （0，3），A （3，0），∴△OAC 是等腰直角三角形，由点P 的运动可知：AP，过点P 作PE ⊥x 轴，垂足为E ，∴AE =PE t ，即E （3－t ，0），又Q （－1+t ，0），∴S 四边形BCPQ =S △ABC －S △APQ =()11433122t t ⨯⨯-⨯--+⎡⎤⎣⎦=21262t t -+∴当t =2时，四边形BCPQ 的面积最小，最小值为4.（3）如图，过点P 作x 轴的垂线，交x 轴于E ，过M 作y 轴的垂线，与EP 交于F，∵△PMQ 是等腰直角三角形，PM =PQ ，∠MPQ =90°，∴∠MPF +∠QPE =90°，又∠MPF +∠PMF =90°，∴∠PMF =∠QPE ，在△PFM 和△QEP 中，F QEP PMF QPE PM PQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PFM ≌△QEP ，∴MF =PE =t ，PF =QE =4－2t ，∴EF =4－2t +t =4－t ，又OE =3－t ，∴点M 的坐标为（3－2t ，4－t ），∴4－t =－（3－2t ）2+2（3－2t ）+3，解得：t，∴M．【多题一解·对标练习】练习2．（2021·山东枣庄中考）如图，在平面直角坐标系中，直线132y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线213y x bx c =++经过坐标原点和点A ，顶点为点M ．（1）求抛物线的关系式及点M 的坐标；（2）将直线AB 向下平移，得到过点M 的直线y mx n =+，且与x 轴负半轴交于点C ，取点()2,0D ，连接DM ，求证：45ADM ACM ∠-∠=︒．【答案】（1）y=13x2－2x，M（3，－3）；（2）见解析．【解析】解：（1）∵直线AB：y=－12x+3交坐标轴与A、B∴A（6,0），B（0,3）将（6,0），（0，0）代入y=13x2+bx+cx得：1260b cc++=⎧⎨=⎩，解得：2bc=-⎧⎨=⎩，∴抛物线的关系式为y=13x2－2x，顶点M的坐标为（3，－3）；（2）由题意得：m=1 2-，将点(3,－3)代入y=12-x+n得：n=32-，则直线CM的解析式为y=12-x32-，如图，过点D作DH⊥CM于H，设直线DM的解析式为y=2x+k，将点（2,0）代入得：4+k=0，解得k=－4，则直线DH的解析式为：y=2x－4，联立132224y x y x ⎧=--⎪⎨⎪=-⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩，即H （1，－2），∴=，=即DH=MH ，又DH ⊥CM ，即三角形DHM 是等腰直角三角形，∠DMH=45°，∴∠ADM=∠ACM+45°即∠ADM －∠ACM=45°．练习3．（2021·湖北黄石中考）抛物线22y ax bx b =-+（0a ≠）与y 轴相交于点()0,3C -，且抛物线的对称轴为3x =，D 为对称轴与x 轴的交点．（1）求抛物线的解析式；（2）在x 轴上方且平行于x 轴的直线与抛物线从左到右依次交于E 、F 两点，若DEF 是等腰直角三角形，求DEF的面积．【答案】（1）y=－x 2+6x －3；（2）4.【解析】解：（1）由抛物线与y 轴相交于点(0,－3)，得b=－3，∵抛物线的对称轴为x=3，即232b a--=，解得：a=－1∴抛物线的解析式为y=－x 2+6x －3.（2）过点E 作EM ⊥AB 于点M ，过点F 作FN ⊥AB 于N ，∵△DEF是等腰直角三角形∴DE=DF，∠FED=∠EFD=45°∵EF∥x轴∴∠EDM=45°∴△EMD为等腰直角三角形∴EM=DM设E（m，－m2+6m－3），则M(m，0)，DM=3－m，EM=－m2+6m－3，∴3－m=－m2+6m－3解得：m=1或m=6当m=1时，E（1,2），符合题意，DM=EM=2，MN=4，△DEF的面积为4当m=6时，E（6，－3），舍去，综上所述：△DEF的面积为4．。

0319动点产生的等腰三角形问题1．如图所示，矩形ABCD中,AB=4，BC=，点E是折线段A﹣D﹣C上的一个动点（点E与点A 不重合）,点P是点A关于BE的对称点．使△PCB为等腰三角形的点E的位置共有（）A．2个B．3个C．4个D．5个2．如图，抛物线y=x2与直线y=2x在第一象限内有一交点A．（1)你能求出点A的坐标吗？（2）在x轴上是否存在一点P,使△AOP为等腰三角形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在，请说明理由．3．如图，直线y=ax+b与双曲线y=有一个交点A（1，2)且与x轴、y轴分别交于B，C两点，已知△AOB的面积为3．（1)求双曲线和直线的解析式；(2)在x轴上是否存在一点P，使△ABP是等腰三角形?如果存在,直接写出满足条件的P点坐标；如果不存在，说明理由．4．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与y轴交于点A（0，3）,与x轴交于点B（4,0）．（1)求抛物线的解析式；（2）连接AB,点C为线段AB上的一个动点，过点C作y轴的平行线交抛物线于点D，设C点的横坐标为m，线段CD长度为d(d≠0）求d与m的函数关系式（不要求写出自变量m的取值范围）；（3)在（2）的条件下，连接AD,是否存在m值，使△ACD是等腰三角形？若存在，求出m的值;若不存在，请说明理由．5．如图，在矩形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm．设P，Q分别为BD，BC上的动点，在点P自点D 沿DB方向作匀速移动的同时，点Q自点B沿BC方向向点C作匀速移动，移动的速度均为1cm/s,设P,Q移动的时间为t（0＜t≤4）．（1)当t为何值时，△PBQ为等腰三角形?（2）△PBQ能否成为等边三角形？若能，求t的值；若不能,说明理由．6．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°,AB=BC=10，AD=16．动点P、Q分别从点D、B同时出发,动点P沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动,动点Q在线段BC上以每秒1个单位长的速度向点C运动，当点Q运动到点C时，点P随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．(1）直接用含t的代数式表示:PA= ；（2）当t= 秒时,PQ∥AB；（3）设射线PQ与射线AB相交于点E，△AEP能否为等腰三角形？如果能，请求出t的值；如果不能，请说明理由．7．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，D、E分别是边AB、AC上的两个动点（D不与A、B重合）,且保持DE∥BC,以ED为边，在点A的异侧作正方形DEFG．(1）试求△ABC的面积；（2)当边FG与BC重合时，求正方形DEFG的边长;（3）设AD=x，当△BDG是等腰三角形时，求出AD的长．8．如图，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起,△ABC不动，△ABC不动，△DEF运动,并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动（E不与B、C重合），且DE始终经过点A,EF与AC交于M点．（1）求证：△ABE∽△ECM；（2)探究:在△DEF运动过程中,重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长;若不能,请说明理由．9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=8，BC=6,CD⊥AB于点D．点P从点D出发，沿线段DC 向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时,两点都停止．设运动时间为t秒．（1）求线段CD的长；(2)当t为何值时,△CPQ与△ABC相似?(3）当t为何值时，△CPQ为等腰三角形？10．如图甲，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm．如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动,它们的速度均为1cm/s．连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4）,解答下列问题:（1）设△APQ的面积为S，当t为何值时，S取得最大值?S的最大值是多少?（2）如图乙,连接PC，将△PQC沿QC翻折,得到四边形PQP′C,当四边形PQP′C为菱形时，求t的值；′(3)当t为何值时，△APQ是等腰三角形？11．如图,正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B的坐标为（﹣4，4）．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动；点Q从点O同时出发，以相同的速度沿x轴的正方向运动,规定点P到达点O时，点Q也停止运动．连接BP,过P点作BP的垂线，与过点Q平行于y轴的直线l相交于点D．BD与y轴交于点E，连接PE．设点P运动的时间为t（s）．（1）∠PBD的度数为，点D的坐标为（用t表示)；（2)当t为何值时，△PBE为等腰三角形?(3)探索△POE周长是否随时间t的变化而变化？若变化，说明理由；若不变,试求这个定值．12．在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P 为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ=90°(1）求ED、EC的长；(2）若BP=2，求CQ的长；(3）记线段PQ与线段DE的交点为点F，若△PDF为等腰三角形,求BP的长．13．如图，已知一次函数y=﹣x+7与正比例函数y=x的图象交于点A，且与x轴交于点B．（1)求点A和点B的坐标；（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l∥y轴．动点P从点O出发,以每秒1个单位长的速度，沿O﹣C﹣A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移,在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l 都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．2017年03月19日马赛的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题(共1小题）1．（2010•济南）如图所示，矩形ABCD中，AB=4，BC=，点E是折线段A﹣D﹣C上的一个动点（点E与点A不重合），点P是点A关于BE的对称点．使△PCB为等腰三角形的点E的位置共有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】根据题意，结合图形,分情况讨论：①BP为底边;②BP为等腰三角形一腰长．【解答】解：①BP为等腰三角形一腰长时，符合点E的位置有2个，是BC的垂直平分线与以B 为圆心BA为半径的圆的交点即是点P；②BP为底边时,C为顶点时,符合点E的位置有2个,是以B为圆心BA为半径的圆与以C为圆心BC为半径的圆的交点即是点P；③以PC为底边，B为顶点时，这样的等腰三角形不存在，因为以B为圆心BA为半径的圆与以B 为圆心BC为半径的圆没有交点．故选：C．【点评】本题综合考查等腰三角形的判定，需对知识进行推理论证、运算及探究．二．解答题（共12小题)2．(2016秋•黄州区校级月考）如图，抛物线y=x2与直线y=2x在第一象限内有一交点A．（1）你能求出点A的坐标吗？（2）在x轴上是否存在一点P，使△AOP为等腰三角形？若存在,请求出点P的坐标;若不存在，请说明理由．【分析】（1)利用解方程组可得到A点坐标；（2）需要分类讨论：AP=AO、OA=OP、AP=OP，根据等腰三角形的性质来求点P的坐标．【解答】解:（1)解方程组得或,所以A点坐标为（2，4）；（2)①当AP=AO时，作AB⊥x轴于B点，如图1，当PB=OB时，△AOP是以OP为底的等腰三角形，而A（2,4），所以P点坐标为（4，0）．②当OA=OP时,∵A（2，4),∴OA==2，则P（±2,0）；③当AP=OP时，如图2,过点P作PQ⊥AO于点Q．设P（t,0）．则Q（1，2）．故OA•PQ=OP×4，即×2×=t×4，解得t=5，即（5，0）．综上所述,符合条件的点P的坐标是(4,0)或（2，0）或（﹣2,0）或（5,0）．【点评】本题考查了二次函数综合题，同时在两个函数解析式上，应是这两个函数解析式的公共解．答案较多时,应有规律的去找不同的解是解题关键．3．（2010秋•本溪月考）如图，直线y=ax+b与双曲线y=有一个交点A（1，2）且与x轴、y 轴分别交于B，C两点，已知△AOB的面积为3．(1）求双曲线和直线的解析式;（2)在x轴上是否存在一点P,使△ABP是等腰三角形？如果存在，直接写出满足条件的P点坐标；如果不存在，说明理由．【分析】(1）根据双曲线y=过点A(1,2)，利用待定系数法，可得双曲线解析式，根据△AOB 的面积为3，可得B点坐标，根据直线过A、B两点,利用待定系数法，可得直线解析式；（2）根据两边相等的三角形是等腰三角形，分类讨论,AB=AP,AB=BP，AP=BP，可得答案．【解答】解：（1）∵双曲线y=过点A（1，2)，∴2=,k=2，双曲线的解析式是y=，∵△AOB的面积为3，底是OB的长,高是A点的纵坐标，×2×OB=3,∴B点坐标是（3，0），∵直线y=ax+b过点A、B，∴2=a+b ①,0=3a+b②，②﹣①得a=﹣1，b=3,∴一次函数的解析式是y=﹣x+3；（2)设P点坐标为（x，0)，AB=，当AP=PB时,,x=3（不合题意，舍)或x=﹣1，P点坐标（﹣1，0），当AB=BP时，PB=2，∴P点坐标为（3﹣2，0）或（3+2，0），当AP=BP时，，x=，P点坐标是（,0）．故P（﹣1，0）,（3﹣2,0），（3+2，0），（，0）．【点评】本题考查了反比例函数的综合题，（1）利用待定系数法求解是解题关键;（2)分类讨论是解题关键．4．(2015秋•道外区期末)如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与y轴交于点A(0，3），与x轴交于点B(4,0）．(1)求抛物线的解析式；(2）连接AB，点C为线段AB上的一个动点，过点C作y轴的平行线交抛物线于点D,设C点的横坐标为m，线段CD长度为d（d≠0）求d与m的函数关系式(不要求写出自变量m的取值范围）；（3）在（2）的条件下，连接AD,是否存在m值，使△ACD是等腰三角形？若存在,求出m的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式;（2)根据自变量与函数值的对应关系，可得C、D点坐标,根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得答案；（3）根据等腰三角形的定义，可得关于m的方程，根据因式分解法解方程，可得答案．【解答】解:（1）将A、B点坐标代入，得，解得，抛物线的解析式为y=﹣x2+x+3；（2）如图：设AB的解析式为y=kx+b，将B、A的坐标代入，得，解得，AB的解析式为y=﹣x+3，C在直线AB上，C（m，﹣m+3）,D(m，﹣m2+m+3)．CD的长为﹣m2+m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+2m,即d=﹣m2+2m;(3）AC2=m2+（m）2，CD2=(﹣m2+2m）2，AD2=m2+（﹣m2+m)2,①当AC=AD时,m2+（m）2=m2+(﹣m2+m）2，化简，得（﹣m2+2m）(﹣m2+m）=0，解得m=0（不符合题意,舍)，m=4（不符合题意,舍），m=1;②当AC=CD时，m2+（m）2=(﹣m2+2m）2，化简，得（﹣m2+m）（﹣m2+m)=0，解得m=0（不符合题意，舍），m=（不符合题意,舍），m=;③当AD=CD时，m2+(﹣m2+m）2=（﹣m2+2m）2，化简，得﹣m2(m﹣）=0，解得m=．综上所述:m的值为1、或．【点评】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标得出函数解析式；利用等腰三角形的定义得出关于m的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．5．如图，在矩形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm．设P，Q分别为BD,BC上的动点，在点P自点D沿DB方向作匀速移动的同时,点Q自点B沿BC方向向点C作匀速移动，移动的速度均为1cm/s，设P，Q移动的时间为t（0＜t≤4）．（1)当t为何值时，△PBQ为等腰三角形?（2)△PBQ能否成为等边三角形？若能,求t的值；若不能,说明理由．【分析】（1）此题由3种情况，①从假设△BPQ是等腰三角形入手．求证△BMP∽△BCD,利用对应边成比例即可求得t的值．②在Rt△BMP中，利用cos∠DBC=，解得t．③如图，当BQ=PQ时，自点Q向BD引垂线,垂足为N．利用Rt△BNQ∽Rt△BCD其对应边成比例即可求得t．（2）若△PBQ为等边三角形，则BQ=BP=PQ．由②，知当BQ=BP时，．由①，知当BP=PQ时,．而BQ=BP与BP=PQ不能同时成【解答】解：（1）若△BPQ是等腰三角形．①如图，当PB=PQ时,自点P向BC引垂线，垂足为M,则有BM=MQ．方法一:由△BMP∽△BCD,得，∴．∴，解得．方法二：在Rt△BMP中，．∴，解得．②当BQ=BP时，有t=5﹣t，解得．③如图，当BQ=PQ时，自点Q向BD引垂线，垂足为N．由Rt△BNQ∽Rt△BCD,得．∴，解得．（2）不能．若△PBQ为等边三角形，则BQ=BP=PQ．由(2）②,知当BQ=BP时，．由（2）①，知当BP=PQ时，．∴BQ=BP与BP=PQ不能同时成立，∴△PBQ不可能为等边三角形．【点评】此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性较强,是一道难题．6．（2013春•邢台期末）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°,AB=BC=10,AD=16．动点P、Q分别从点D、B同时出发，动点P沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q在线段BC上以每秒1个单位长的速度向点C运动,当点Q运动到点C时，点P随之停止运动．设运动的时间为t（秒)．（1)直接用含t的代数式表示：PA= 16﹣2t ；(2）当t= 秒时，PQ∥AB；（3）设射线PQ与射线AB相交于点E，△AEP能否为等腰三角形？如果能,请求出t的值；如果不能，请说明理由．【分析】(1）根据已知求出即可；（2）根据平行四边形的性质和判定得出BQ=AP,求出即可；（3）求出CD和PN，分为三种情况:①PE=AP,②AE=AP，③PE=AE，根据勾股定理和等腰三角形的性质得出方程，求出方程的解即可．【解答】解：（1）∵AD=16，DP=t，∴AP=16﹣2t，故答案为：16﹣2t．（2）当BQ=AP，∵BC∥AD，∴四边形PABQ是平行四边形,∴此时PQ∥AB，即t=16﹣2t,t=，故答案为：．（3)设射线PQ与射线AB相交于点E，△AEP能为等腰三角形，过B作BM⊥AD于M，∴∠BMA=90°,∵∠C=90°，∴∠D=∠BMA，∴CD∥BM，∴四边形CDMB是矩形，∴CD=BM，BC=DM=10，∴AM=16﹣10﹣6，在Rt△BMA中，AB=10,由勾股定理得：BM=8，分为三种情况:①当PE=AP=16﹣2t时,如图1，过P作PN⊥BC于N，则四边形CDPN是矩形,∴PN=CD=8，CN=DP=2t，∵PE=AP，∴∠A=∠E,∵BC∥AD,∴∠EBQ=∠A，∴∠E=∠EBQ,∴EQ=BQ=t，在Rt△PNQ中，由勾股定理得：82+（10﹣2t﹣t）2=(16﹣2t﹣t)2，t=；②如图1,当AE=AP时，∴∠E=∠EPA，∵BC∥AD,∴∠EPA=∠CQP,∵∠EQB=∠CQP，∴∠E=∠EQB，∴EB=QB=t，∵AE=AP,BC=10，∴10+t=16﹣2t，t=2；③如图1，当PE=AE时，∵BC∥AD，∴∠EQB=∠EPA,∠EBQ=∠A，∵AE=PE，∴∠A=∠EPA，∴∠EQB=∠EBQ，∴QE=BE，∵AE=PE,∴BC=PQ=10，在Rt△PNQ中,NQ=10﹣2t﹣t=10﹣3t，pn=8,PQ=BC=10由勾股定理得:82+(10﹣3t）2=102，t=；④当p在DA的延长线上时，若PA=AE，则2t﹣16=10﹣t，解得：t=,而点Q运动到点C所用时间是10秒，＜10，符合题意即设射线PQ与射线AB相交于点E，△AEP能为等腰三角形，t的值是秒或2秒或秒或秒．【点评】本题考查了矩形的性质和判定，梯形的性质,等腰三角形的性质和判定，勾股定理等知识点的应用，主要考查学生的推理能力，注意要进行分类讨论啊．7．（2012秋•宝安区期中)如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，D、E分别是边AB、AC上的两个动点(D不与A、B重合），且保持DE∥BC，以ED为边，在点A的异侧作正方形DEFG．（1）试求△ABC的面积;（2)当边FG与BC重合时，求正方形DEFG的边长；（3）设AD=x，当△BDG是等腰三角形时，求出AD的长．【分析】（1)作底边上的高，利用勾股定理求出高就可以求出面积．（2)根据DE∥BC，得到△ADE∽△ABC，再根据相似三角形对应高的比等于相似比即可求出边DE 的长度．（3）根据△ADE∽△ABC得=，求出AD的长．【解答】解:(1）过A作AH⊥BC于H,∵AB=AC=5,BC=6，∴BH=BC=3，∴AH===4，∴S=BC•AH=×6×4=12．△ABC(2）令此时正方形的边长为a，∵DE∥BC,∴，∴a=．（3）当AD=x时,由△ADE∽△ABC得=，即=,解得DE=x,当BD=DG时，5﹣x=x，x=，当BD=BG时，=,解得x=，当BG=DG时,=，解得x=,∴当△BDG是等腰三角形时，AD=或或．【点评】本题考查了正方形、等腰三角形的性质,相似比等相关知识．综合性较强，解题时要仔细．8．（2013•金城江区三模)如图，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF,将△DEF 与△ABC重合在一起，△ABC不动,△ABC不动,△DEF运动,并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动（E不与B、C重合），且DE始终经过点A,EF与AC交于M点．(1)求证:△ABE∽△ECM；(2）探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由．【分析】（1）由AB=AC，根据等边对等角，可得∠B=∠C，又由△ABC≌△DEF与三角形外角的性质，易证出∠CEM=∠BAE，从而可证得△ABE∽△ECM；（2）首先由∠AEF=∠B=∠C,且∠AME＞∠C，可得AE≠AM，然后分别从AE=EM与AM=EM去分析，注意利用全等三角形与相似三角形的性质求解即可求得答案．【解答】（1）证明：∵AB=AC,∴∠B=∠C,∵△ABC≌△DEF,∴∠AEF=∠B，又∵∠AEF+∠CEM=∠AEC=∠B+∠BAE，∴∠CEM=∠BAE,∴△ABE∽△ECM；（2）能．解：∵∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C，∴∠AME＞∠AEF,∴AE≠AM;当AE=EM时，则△ABE≌△ECM,∴CE=AB=5，∴BE=BC﹣EC=6﹣5=1，当AM=EM时，则∠MAE=∠MEA，∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM，即∠CAB=∠CEA，又∵∠C=∠C,∴△CAE∽△CBA，∴=，∴CE=，∴BE=6﹣=;∴BE=1或．【点评】此题考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，此题难度较大，注意数形结合思想、分类讨论思想与函数思想的应用是解此题的关键．9．(2016秋•芦溪县期中)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6,CD⊥AB于点D．点P从点D出发，沿线段DC向点C运动,点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒．（1）求线段CD的长；（2）当t为何值时,△CPQ与△ABC相似?（3）当t为何值时，△CPQ为等腰三角形？【分析】（1）先根据勾股定理求出AB的长,再由三角形的面积公式即可得出结论；（2）先用t表示出DP，CQ，CP的长，再分PQ⊥CD与PQ⊥AC两种情况进行讨论；（3）根据题意画出图形，分CQ=CP，PQ=PC，QC=QP三种情况进行讨论．【解答】解：(1）∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6,∴AB=10．∵CD⊥AB，=BC•AC=AB•CD．∴S△ABC∴CD===4。

因动点产生的等腰三角形问题例1 如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ＝90°．（1）求ED、EC的长；（2）若BP＝2，求CQ的长；（3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长．图1 备用图思路点拨1．第（2）题BP＝2分两种情况．2．解第（2）题时，画准确的示意图有利于理解题意，观察线段之间的和差关系．3．第（3）题探求等腰三角形PDF时，根据相似三角形的传递性，转化为探求等腰三角形CDQ．满分解答（1）在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8，所以BC＝10．在Rt△CDE中，CD＝5，所以315tan544ED CD C=⋅∠=⨯=，254EC=．（2）如图2，过点D作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分别为M、N，那么DM、DN是△ABC的两条中位线，DM＝4，DN＝3．由∠PDQ＝90°，∠MDN＝90°，可得∠PDM＝∠QDN．因此△PDM∽△QDN．所以43PM DMQN DN==．所以34QN PM=，43PM QN=．图2 图3 图4①如图3，当BP＝2，P在BM上时，PM＝1．此时3344QN PM==．所以319444CQ CN QN=+=+=．②如图4，当BP＝2，P在MB的延长线上时，PM＝5．此时31544QN PM==．所以1531444CQ CN QN=+=+=．（3）如图5，如图2，在Rt△PDQ中，3 tan4QD DNQPDPD DM∠===．在Rt△ABC中，3tan4BACCA∠==．所以∠QPD＝∠C．由∠PDQ ＝90°，∠CDE ＝90°，可得∠PDF ＝∠CDQ ． 因此△PDF ∽△CDQ ．当△PDF 是等腰三角形时，△CDQ 也是等腰三角形．①如图5，当CQ ＝CD ＝5时，QN ＝CQ －CN ＝5－4＝1（如图3所示）． 此时4433PM QN ==．所以45333BP BM PM =-=-=． ②如图6，当QC ＝QD 时，由cos CHC CQ=，可得5425258CQ =÷=．所以QN ＝CN －CQ ＝257488-=（如图2所示）． 此时4736PM QN ==．所以725366BP BM PM =+=+=． ③不存在DP ＝DF 的情况．这是因为∠DFP ≥∠DQP ＞∠DPQ （如图5，图6所示）．图5 图6考点伸展如图6，当△CDQ 是等腰三角形时，根据等角的余角相等，可以得到△BDP 也是等腰三角形，PB ＝PD ．在△BDP 中可以直接求解256BP =．例2 如图1，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A (－1,0)、B (3, 0)、C (0 ,3)三点，直线l 是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P 是直线l 上的一个动点，当△P AC 的周长最小时，求点P 的坐标；（3）在直线l 上是否存在点M ，使△MAC 为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．图1思路点拨1．第（2）题是典型的“牛喝水”问题，点P 在线段BC 上时△P AC 的周长最小． 2．第（3）题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性．满分解答（1）因为抛物线与x 轴交于A (－1,0)、B (3, 0)两点，设y ＝a (x ＋1)(x －3)， 代入点C (0 ,3)，得－3a ＝3．解得a ＝－1．所以抛物线的函数关系式是y ＝－(x ＋1)(x －3)＝－x 2＋2x ＋3． （2）如图2，抛物线的对称轴是直线x ＝1．当点P 落在线段BC 上时，P A ＋PC 最小，△P AC 的周长最小． 设抛物线的对称轴与x 轴的交点为H ． 由BH PH BO CO =，BO ＝CO ，得PH ＝BH ＝2． 图2 所以点P 的坐标为(1, 2)．（3）点M 的坐标为(1, 1)、(1,6)、(1,6-)或(1,0)．考点伸展第（3）题的解题过程是这样的： 设点M 的坐标为(1,m )．在△MAC 中，AC 2＝10，MC 2＝1＋(m －3)2，MA 2＝4＋m 2．①如图3，当MA ＝MC 时，MA 2＝MC 2．解方程4＋m 2＝1＋(m －3)2，得m ＝1． 此时点M 的坐标为(1, 1)．②如图4，当AM ＝AC 时，AM 2＝AC 2．解方程4＋m 2＝10，得6m =±． 此时点M 的坐标为(1,6)或(1,6-)．③如图5，当CM ＝CA 时，CM 2＝CA 2．解方程1＋(m －3)2＝10，得m ＝0或6． 当M (1, 6)时，M 、A 、C 三点共线，所以此时符合条件的点M 的坐标为(1,0)．图3 图4 图5例3 如图1，点A 在x 轴上，OA ＝4，将线段OA 绕点O 顺时针旋转120°至OB 的位置．（1）求点B 的坐标；（2）求经过A 、O 、B 的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P ，使得以点P 、O 、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．图1思路点拨1．用代数法探求等腰三角形分三步：先分类，按腰相等分三种情况；再根据两点间的距离公式列方程；然后解方程并检验．2．本题中等腰三角形的角度特殊，三种情况的点P 重合在一起．满分解答（1）如图2，过点B 作BC ⊥y 轴，垂足为C ．在Rt △OBC 中，∠BOC ＝30°，OB ＝4，所以BC ＝2，23OC =． 所以点B 的坐标为(2,23)--．（2）因为抛物线与x 轴交于O 、A (4, 0)，设抛物线的解析式为y ＝ax (x －4)， 代入点B (2,23)--，232(6)a -=-⨯-．解得36a =-． 所以抛物线的解析式为23323(4)663y x x x x =--=-+．（3）抛物线的对称轴是直线x ＝2，设点P 的坐标为(2, y )．①当OP ＝OB ＝4时，OP 2＝16．所以4+y 2＝16．解得23y =±． 当P 在(2,23)时，B 、O 、P 三点共线（如图2）．②当BP ＝BO ＝4时，BP 2＝16．所以224(23)16y ++=．解得1223y y ==-． ③当PB ＝PO 时，PB 2＝PO 2．所以22224(23)2y y ++=+．解得23y =-． 综合①、②、③，点P 的坐标为(2,23)-，如图2所示．图2 图3考点伸展如图3，在本题中，设抛物线的顶点为D ，那么△DOA 与△OAB 是两个相似的等腰三角形．由23323(4)(2)663y x x x =--=--+，得抛物线的顶点为23(2,)3D ．因此23tan 3DOA ∠=．所以∠DOA ＝30°，∠ODA ＝120°．例4 如图1，已知一次函数y ＝－x ＋7与正比例函数43y x =的图象交于点A ，且与x 轴交于点B ．（1）求点A 和点B 的坐标；（2）过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，过点B 作直线l //y 轴．动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长的速度，沿O —C —A 的路线向点A 运动；同时直线l 从点B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l 交x 轴于点R ，交线段BA 或线段AO 于点Q ．当点P 到达点A 时，点P 和直线l 都停止运动．在运动过程中，设动点P 运动的时间为t 秒．①当t 为何值时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．图1思路点拨1．把图1复制若干个，在每一个图形中解决一个问题．2．求△APR 的面积等于8，按照点P 的位置分两种情况讨论．事实上，P 在CA 上运动时，高是定值4，最大面积为6，因此不存在面积为8的可能．3．讨论等腰三角形APQ ，按照点P 的位置分两种情况讨论，点P 的每一种位置又要讨论三种情况．满分解答（1）解方程组7,4,3y x y x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩得3,4.x y =⎧⎨=⎩ 所以点A 的坐标是(3，4)． 令70y x =-+=，得7x =．所以点B 的坐标是(7，0)．（2）①如图2，当P 在OC 上运动时，0≤t ＜4．由8A P R A C P P O RC O R AS S S S=--=△△△梯形，得1113+7)44(4)(7)8222t t t t -⨯-⨯⨯--⨯-=（．整理，得28120t t -+=．解得t ＝2或t ＝6（舍去）．如图3，当P 在CA 上运动时，△APR 的最大面积为6．因此，当t ＝2时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8．图2 图3 图4②我们先讨论P 在OC 上运动时的情形，0≤t ＜4．如图1，在△AOB 中，∠B ＝45°，∠AOB ＞45°，OB ＝7，42AB =，所以OB ＞AB ．因此∠OAB ＞∠AOB ＞∠B ．如图4，点P 由O 向C 运动的过程中，OP ＝BR ＝RQ ，所以PQ //x 轴．因此∠AQP ＝45°保持不变，∠P AQ 越来越大，所以只存在∠APQ ＝∠AQP 的情况． 此时点A 在PQ 的垂直平分线上，OR ＝2CA ＝6．所以BR ＝1，t ＝1． 我们再来讨论P 在CA 上运动时的情形，4≤t ＜7．在△APQ 中， 3cos 5A ∠=为定值，7AP t =-，5520333AQ OA OQ OA OR t =-=-=-．如图5，当AP＝AQ时，解方程520733t t-=-，得418t=．如图6，当QP＝QA时，点Q在P A的垂直平分线上，AP＝2(OR－OP)．解方程72[(7)(4)]t t t-=---，得5t=．如7，当P A＝PQ时，那么12cosAQAAP∠=．因此2cosAQ AP A=⋅∠．解方程52032(7)335t t-=-⨯，得22643t=．综上所述，t＝1或418或5或22643时，△APQ是等腰三角形．图5 图6 图7考点伸展当P在CA上，QP＝QA时，也可以用2cosAP AQ A=⋅∠来求解．例5 如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝m （m 是大于0的常数），BC ＝8，E 为线段BC 上的动点（不与B 、C 重合）．连结DE ，作EF ⊥DE ，EF 与射线BA 交于点F ，设CE ＝x ，BF ＝y ．（1）求y 关于x 的函数关系式；（2）若m ＝8，求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？（3）若12y m=，要使△DEF 为等腰三角形，m 的值应为多少？图1思路点拨1．证明△DCE ∽△EBF ，根据相似三角形的对应边成比例可以得到y 关于x 的函数关系式． 2．第（2）题的本质是先代入，再配方求二次函数的最值．3．第（3）题头绪复杂，计算简单，分三段表达．一段是说理，如果△DEF 为等腰三角形，那么得到x ＝y ；一段是计算，化简消去m ，得到关于x 的一元二次方程，解出x 的值；第三段是把前两段结合，代入求出对应的m 的值．满分解答(1)因为∠EDC 与∠FEB 都是∠DEC 的余角，所以∠EDC ＝∠FEB ．又因为∠C ＝∠B ＝90°，所以△DCE ∽△EBF ．因此DC EB CE BF =，即8m xx y-=．整理，得y 关于x 的函数关系为218y x x m m =-+． (2)如图2，当m ＝8时，2211(4)288y x x x =-+=--+．因此当x ＝4时，y 取得最大值为2． (3) 若12y m =，那么21218x x m m m=-+．整理，得28120x x -+=．解得x ＝2或x ＝6．要使△DEF 为等腰三角形，只存在ED ＝EF 的情况．因为△DCE ∽△EBF ，所以CE ＝BF ，即x ＝y ．将x ＝y ＝2代入12y m=，得m ＝6（如图3）；将x ＝y ＝6代入12y m=，得m ＝2（如图4）．图2 图3 图4考点伸展本题中蕴涵着一般性与特殊性的辩证关系，例如： 由第（1）题得到218y x x m m =-+221116(8)(4)x x x m m m=--=--+， 那么不论m 为何值，当x ＝4时，y 都取得最大值．对应的几何意义是，不论AB 边为多长，当E 是BC 的中点时，BF 都取得最大值．第（2）题m ＝8是第（1）题一般性结论的一个特殊性．再如，不论m 为小于8的任何值，△DEF 都可以成为等腰三角形，这是因为方程218x x x m m=-+总有一个根8x m =-的．第（3）题是这个一般性结论的一个特殊性．例 6 如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD //BC ，E 是AB 的中点，过点E 作EF //BC 交CD 于点F ，AB ＝4，BC ＝6，∠B ＝60°．（1）求点E 到BC 的距离；（2）点P 为线段EF 上的一个动点，过点P 作PM ⊥EF 交BC 于M ，过M 作MN //AB 交折线ADC 于N ，连结PN ，设EP ＝x ．①当点N 在线段AD 上时（如图2），△PMN 的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN 的周长；若改变，请说明理由；②当点N 在线段DC 上时（如图3），是否存在点P ，使△PMN 为等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的x 的值；若不存在，请说明理由．图1 图2 图3思路点拨1．先解读这个题目的背景图，等腰梯形ABCD 的中位线EF ＝4，这是x 的变化范围．平行线间的距离处处相等，AD 与EF 、EF 与BC 间的距离相等．2．当点N 在线段AD 上时，△PMN 中PM 和MN 的长保持不变是显然的，求证PN 的长是关键．图形中包含了许多的对边平行且相等，理顺线条的关系很重要．3．分三种情况讨论等腰三角形PMN ，三种情况各具特殊性，灵活运用几何性质解题．满分解答（1）如图4，过点E 作EG ⊥BC 于G ．在Rt △BEG 中，221==AB BE ，∠B ＝60°， 所以160cos =︒⋅=BE BG ，360sin =︒⋅=BE EG ．所以点E 到BC 的距离为3．（2）因为AD //EF //BC ，E 是AB 的中点，所以F 是D C 的中点．因此EF 是梯形ABCD 的中位线，EF ＝4．①如图4，当点N 在线段AD 上时，△PMN 的形状不是否发生改变．过点N 作NH ⊥EF 于H ，设PH 与NM 交于点Q ．在矩形EGMP 中，EP ＝GM ＝x ，PM ＝EG ＝3．在平行四边形BMQE 中，BM ＝EQ ＝1＋x ．所以BG ＝PQ ＝1．因为PM 与NH 平行且相等，所以PH 与NM 互相平分，PH ＝2PQ ＝2．在Rt △PNH 中，NH ＝3，PH ＝2，所以PN ＝7．在平行四边形ABMN 中，MN ＝AB ＝4．因此△PMN 的周长为3＋7＋4．图4 图5②当点N 在线段DC 上时，△CMN 恒为等边三角形．如图5，当PM ＝PN 时，△PMC 与△PNC 关于直线PC 对称，点P 在∠DCB 的平分线上．在Rt △PCM 中，PM ＝3，∠PCM ＝30°，所以MC ＝3．此时M 、P 分别为BC 、EF 的中点，x ＝2．如图6，当MP ＝MN 时，MP ＝MN ＝MC ＝3，x ＝GM ＝GC －MC ＝5－3．如图7，当NP ＝NM 时，∠NMP ＝∠NPM ＝30°，所以∠PNM ＝120°．又因为∠FNM ＝120°，所以P 与F 重合．此时x ＝4．综上所述，当x ＝2或4或5－3时，△PMN 为等腰三角形．图6 图7 图8 考点伸展第（2）②题求等腰三角形PMN 可以这样解：如图8，以B 为原点，直线BC 为x 轴建立坐标系，设点M 的坐标为（m ，0），那么点P 的坐标为（m ，3），MN ＝MC ＝6－m ，点N 的坐标为（26+m ，2)6(3m -）． 由两点间的距离公式，得21922+-=m m PN ．当PM ＝PN 时，92192=+-m m ，解得3=m 或6=m ．此时2=x ．当MP ＝MN 时，36=-m ，解得36-=m ，此时35-=x ．当NP ＝NM 时，22)6(219m m m -=+-，解得5=m ，此时4=x ．。

因动点产生的等腰三角形问题例年重庆市中考第题如图，在△中，＝°，∠＝°，点是∠的平分线上一点，过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线交于点，连接，点是的中点，⊥，垂足为，连接，．（）如图，若点是的中点，＝，求、的长；（）如图，求证：＝．（）如图，连接、，猜想：△是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，请说明理由．图图例年长沙市中考第题如图，抛物线＝＋＋（、、是常数，≠）的对称轴为轴，且经过()和两点，点在该抛物线上运动，以点为圆心的⊙总经过定点(, )．（）求、、的值；（）求证：在点运动的过程中，⊙始终与轴相交；（）设⊙与轴相交于(, )、(, )两点，当△为等腰三角形时，求圆心的纵坐标．图例年上海市虹口区中考模拟第题如图，在△中，∠＝°，＝，＝，点为边的中点，⊥交边于点，点为射线上的一动点，点为边上的一动点，且∠＝°．（）求、的长；（）若＝，求的长；（）记线段与线段的交点为，若△为等腰三角形，求的长．图备用图例年扬州市中考第题如图，抛物线＝＋＋经过(－)、(, )、( )三点，直线是抛物线的对称轴．（）求抛物线的函数关系式；（）设点是直线上的一个动点，当△的周长最小时，求点的坐标；（）在直线上是否存在点，使△为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．图例年临沂市中考第题如图，点在轴上，＝，将线段绕点顺时针旋转°至的位置．（）求点的坐标；（）求经过、、的抛物线的解析式；（）在此抛物线的对称轴上，是否存在点，使得以点、、为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．图例年盐城市中考第题如图，已知一次函数＝－＋与正比例函数的图象交于点，且与轴交于点．（）求点和点的坐标；（）过点作⊥轴于点，过点作直线轴．动点从点出发，以每秒个单位长的速度，沿——的路线向点运动；同时直线从点出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线交轴于点，交线段或线段于点．当点到达点时，点和直线都停止运动．在运动过程中，设动点运动的时间为秒．①当为何值时，以、、为顶点的三角形的面积为？②是否存在以、、为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．图因动点产生的等腰三角形问题答案例年重庆市中考第题如图，在△中，＝°，∠＝°，点是∠的平分线上一点，过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线交于点，连接，点是的中点，⊥，垂足为，连接，．（）如图，若点是的中点，＝，求、的长；（）如图，求证：＝．（）如图，连接、，猜想：△是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，请说明理由．图图动感体验请打开几何画板文件名“重庆”，拖动点运动，可以体验到，△与△保持全等，△与△保持全等，△保持等边三角形的形状．思路点拨．把图形中所有°的角都标注出来，便于寻找等角和等边．．中点有哪些用处呢？联想到斜边上的中线和中位线就有思路构造辅助线了．满分解答（）如图，在△中，∠＝°，＝，所以＝．在△中，∠＝°，＝，所以＝，＝．在△中，＝，＝，由勾股定理，得＝．（）如图，由∠＝°，∠＝°，平分∠，得∠＝°，∠＝°．在△中，＝．在△中，＝．所以＝．因为点是△的斜边上的中线，所以＝，∠＝∠．所以∠＝∠．所以△≌△．所以＝．图图图（）如图，作⊥于，联结．由，是的中点，得是的中点．因此＝，△是等边三角形．又因为＝，所以＝．又因为＝，∠＝∠＝°，所以△≌△．所以∠＝∠，＝．所以∠＝∠＝°．所以△是等边三角形．考点伸展我们再看几个特殊位置时的效果图，看看有没有熟悉的感觉．如图，如图，当点落在边上时，点与点重合．图图如图，图，点落在边上．如图，图，等腰梯形．图图图图例年长沙市中考第题如图，抛物线＝＋＋（、、是常数，≠）的对称轴为轴，且经过()和两点，点在该抛物线上运动，以点为圆心的⊙总经过定点(, )．（）求、、的值；（）求证：在点运动的过程中，⊙始终与轴相交；（）设⊙与轴相交于(, )、(, )两点，当△为等腰三角形时，求圆心的纵坐标．图动感体验请打开几何画板文件名“长沙”，拖动圆心在抛物线上运动，可以体验到，圆与轴总是相交的，等腰三角形存在三种情况．思路点拨．不算不知道，一算真奇妙，原来⊙在轴上截得的弦长＝是定值．．等腰三角形存在三种情况，其中＝和＝两种情况时，点的纵坐标是相等的．满分解答（）已知抛物线的顶点为()，所以＝．所以＝，＝．将代入＝，得．解得（舍去了负值）．（）抛物线的解析式为，设点的坐标为．已知(, )，所以＞．而圆心到轴的距离为，所以半径＞圆心到轴的距离．所以在点运动的过程中，⊙始终与轴相交．（）如图，设的中点为，那么垂直平分．在△中，，，所以＝．所以＝．因此＝，为定值．等腰△存在三种情况：①如图，当＝时，点为原点重合，此时点的纵坐标为．图图②如图，当＝时，在△中，＝，＝，所以＝．此时＝＝．所以点的纵坐标为．③如图，当＝时，点的纵坐标为也为．图图考点伸展如果点在抛物线上运动，以点为圆心的⊙总经过定点(, )，那么在点运动的过程中，⊙始终与直线＝－相切．这是因为：设点的坐标为．已知(, )，所以．而圆心到直线＝－的距离也为，所以半径＝圆心到直线＝－的距离．所以在点运动的过程中，⊙始终与直线＝－相切．例年上海市虹口区中考模拟第题如图，在△中，∠＝°，＝，＝，点为边的中点，⊥交边于点，点为射线上的一动点，点为边上的一动点，且∠＝°．（）求、的长；（）若＝，求的长；（）记线段与线段的交点为，若△为等腰三角形，求的长．图备用图动感体验请打开几何画板文件名“虹口”，拖动点在射线上运动，可以体验到，△与△保持相似．观察△，可以看到，、可以落在对边的垂直平分线上，不存在＝的情况．请打开超级画板文件名“虹口”，拖动点在射线上运动，可以体验到，△与△保持相似．观察△，可以看到，、可以落在对边的垂直平分线上，不存在＝的情况．思路点拨．第（）题＝分两种情况．．解第（）题时，画准确的示意图有利于理解题意，观察线段之间的和差关系．．第（）题探求等腰三角形时，根据相似三角形的传递性，转化为探求等腰三角形．满分解答（）在△中，＝，＝，所以＝．在△中，＝，所以，．（）如图，过点作⊥，⊥，垂足分别为、，那么、是△的两条中位线，＝，＝．由∠＝°，∠＝°，可得∠＝∠．因此△∽△．所以．所以，．图图图①如图，当＝，在上时，＝．此时．所以．②如图，当＝，在的延长线上时，＝．此时．所以．（）如图，如图，在△中，．在△中，．所以∠＝∠．由∠＝°，∠＝°，可得∠＝∠．因此△∽△．当△是等腰三角形时，△也是等腰三角形．①如图，当＝＝时，＝－＝－＝（如图所示）．此时．所以．②如图，当＝时，由，可得．所以＝－＝（如图所示）．此时．所以．③不存在＝的情况．这是因为∠≥∠＞∠（如图，图所示）．图图考点伸展如图，当△是等腰三角形时，根据等角的余角相等，可以得到△也是等腰三角形，＝．在△中可以直接求解．例年扬州市中考第题如图，抛物线＝＋＋经过(－)、(, )、( )三点，直线是抛物线的对称轴．（）求抛物线的函数关系式；（）设点是直线上的一个动点，当△的周长最小时，求点的坐标；（）在直线上是否存在点，使△为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．图动感体验请打开几何画板文件名“扬州”，拖动点在抛物线的对称轴上运动，可以体验到，当点落在线段上时，＋最小，△的周长最小．拖动点在抛物线的对称轴上运动，观察△的三个顶点与对边的垂直平分线的位置关系，可以看到，点有次机会落在的垂直平分线上；点有次机会落在的垂直平分线上；点有次机会落在的垂直平分线上，但是有次、、三点共线．思路点拨．第（）题是典型的“牛喝水”问题，点在线段上时△的周长最小．．第（）题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性．满分解答（）因为抛物线与轴交于(－)、(, )两点，设＝(＋)(－)，代入点( )，得－＝．解得＝－．所以抛物线的函数关系式是＝－(＋)(－)＝－＋＋．（）如图，抛物线的对称轴是直线＝．当点落在线段上时，＋最小，△的周长最小．设抛物线的对称轴与轴的交点为．由，＝，得＝＝．所以点的坐标为(, )．图（）点的坐标为(, )、(,)、(,)或()．考点伸展第（）题的解题过程是这样的：设点的坐标为()．在△中，＝，＝＋(－)，＝＋．①如图，当＝时，＝．解方程＋＝＋(－)，得＝．此时点的坐标为(, )．②如图，当＝时，＝．解方程＋＝，得．此时点的坐标为(,)或(,)．③如图，当＝时，＝．解方程＋(－)＝，得＝或．当(, )时，、、三点共线，所以此时符合条件的点的坐标为()．图图图例年临沂市中考第题如图，点在轴上，＝，将线段绕点顺时针旋转°至的位置．（）求点的坐标；（）求经过、、的抛物线的解析式；（）在此抛物线的对称轴上，是否存在点，使得以点、、为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．图动感体验请打开几何画板文件名“临沂”，拖动点在抛物线的对称轴上运动，可以体验到，⊙和⊙以及的垂直平分线与抛物线的对称轴有一个共同的交点，当点运动到⊙与对称轴的另一个交点时，、、三点共线．请打开超级画板文件名“临沂”，拖动点，发现存在点，使得以点、、为顶点的三角形是等腰三角形思路点拨．用代数法探求等腰三角形分三步：先分类，按腰相等分三种情况；再根据两点间的距离公式列方程；然后解方程并检验．．本题中等腰三角形的角度特殊，三种情况的点重合在一起．满分解答（）如图，过点作⊥轴，垂足为．在△中，∠＝°，＝，所以＝，．所以点的坐标为．（）因为抛物线与轴交于、(, )，设抛物线的解析式为＝(－)，代入点，．解得．所以抛物线的解析式为．（）抛物线的对称轴是直线＝，设点的坐标为(, )．①当＝＝时，＝．所以＝．解得．当在时，、、三点共线（如图）．②当＝＝时，＝．所以．解得．③当＝时，＝．所以．解得．综合①、②、③，点的坐标为，如图所示．图图考点伸展如图，在本题中，设抛物线的顶点为，那么△与△是两个相似的等腰三角形．由，得抛物线的顶点为．因此．所以∠＝°，∠＝°．例年盐城市中考第题如图，已知一次函数＝－＋与正比例函数的图象交于点，且与轴交于点．（）求点和点的坐标；（）过点作⊥轴于点，过点作直线轴．动点从点出发，以每秒个单位长的速度，沿——的路线向点运动；同时直线从点出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线交轴于点，交线段或线段于点．当点到达点时，点和直线都停止运动．在运动过程中，设动点运动的时间为秒．①当为何值时，以、、为顶点的三角形的面积为？②是否存在以、、为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．图动感体验请打开几何画板文件名“盐城”，拖动点由向运动，从图象中可以看到，△的面积有一个时刻等于．观察△，可以体验到，在上时，只存在＝的情况；在上时，有三个时刻，△是等腰三角形．思路点拨．把图复制若干个，在每一个图形中解决一个问题．．求△的面积等于，按照点的位置分两种情况讨论．事实上，在上运动时，高是定值，最大面积为，因此不存在面积为的可能．．讨论等腰三角形，按照点的位置分两种情况讨论，点的每一种位置又要讨论三种情况．满分解答（）解方程组得所以点的坐标是(，)．令，得．所以点的坐标是(，)．（）①如图，当在上运动时，≤＜．由，得．整理，得．解得＝或＝（舍去）．如图，当在上运动时，△的最大面积为．因此，当＝时，以、、为顶点的三角形的面积为．图图图②我们先讨论在上运动时的情形，≤＜．如图，在△中，∠＝°，∠＞°，＝，，所以＞．因此∠＞∠＞∠．如图，点由向运动的过程中，＝＝，所以轴．因此∠＝°保持不变，∠越来越大，所以只存在∠＝∠的情况．此时点在的垂直平分线上，＝＝．所以＝，＝．我们再来讨论在上运动时的情形，≤＜．在△中，为定值，，．如图，当＝时，解方程，得．如图，当＝时，点在的垂直平分线上，＝(－)．解方程，得．如，当＝时，那么．因此．解方程，得．综上所述，＝或或或时，△是等腰三角形．图图图考点伸展当在上，＝时，也可以用来求解．。

§1．2 因动点产生的等腰三角形问题课前导学我们先回顾两个画图问题：1．已知线段AB＝5厘米，以线段AB为腰的等腰三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？2．已知线段AB＝6厘米，以线段AB为底边的等腰三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，圆上除了两个点以外，都是顶点C．已知底边画等腰三角形，顶角的顶点在底边的垂直平分线上，垂足要除外．在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类．如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．几何法一般分三步：分类、画图、计算．哪些题目适合用几何法呢？如果△ABC的∠A（的余弦值）是确定的，夹∠A的两边AB和AC可以用含x的式子表示出来，那么就用几何法．①如图1，如果AB＝AC，直接列方程；②如图2，如果BA＝BC，那么；③如图3，如果CA＝CB，那么．代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来．图1 图2 图3例 9 2014年长沙市中考第26题如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过(0,0)和两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A(0, 2)．（1）求a、b、c的值；（2）求证：在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交；（3）设⊙P与x轴相交于M(x1, 0)、N(x2, 0)两点，当△AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“14长沙26”，拖动圆心P在抛物线上运动，可以体验到，圆与x轴总是相交的，等腰三角形AMN存在五种情况．思路点拨1．不算不知道，一算真奇妙，原来⊙P在x轴上截得的弦长MN＝4是定值．2．等腰三角形AMN存在五种情况，点P的纵坐标有三个值，根据对称性，MA＝MN和NA＝NM时，点P的纵坐标是相等的．图文解析（1）已知抛物线的顶点为(0,0)，所以y＝ax2．所以b＝0，c＝0．将代入y＝ax2，得．解得（舍去了负值）．（2）抛物线的解析式为，设点P的坐标为．已知A(0, 2)，所以＞．而圆心P到x轴的距离为，所以半径PA＞圆心P到x轴的距离．所以在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交．（3）如图2，设MN的中点为H，那么PH垂直平分MN．在Rt△PMH中，，，所以MH2＝4．所以MH＝2．因此MN＝4，为定值．等腰△AMN存在三种情况：①如图3，当AM＝AN时，点P为原点O重合，此时点P的纵坐标为0．图2 图3②如图4，当MA＝MN时，在Rt△AOM中，OA＝2，AM＝4，所以OM＝2．此时x＝OH＝2．所以点P的纵坐标为．如图5，当NA＝NM时，根据对称性，点P的纵坐标为也为．图4 图5③如图6，当NA＝NM＝4时，在Rt△AON中，OA＝2，AN＝4，所以ON＝2．。

备战2020中考数学之解密压轴解答题命题规律专题01 因动点产生的等腰三角形问题【类型综述】数学因运动而充满活力,数学因变化而精彩纷呈,动态几何问题是近年来中考的热点问题,以运动的观点来探究几何图形的变化规律问题,动态问题的解答,一般要将动态问题转化为静态问题,抓住运动过程中的不变量,利用不变的关系和几何性质建立关于方程（组）、函数关系问题,将几何问题转化为代数问题。

在动态问题中,动点形成的等腰三角形问题是常见的一类题型,可以与旋转、平移、对称等几何变化相结合,也可以与一次函数、反比例函数、二次函数的图象相结合,从而产生数与形的完美结合.解决动点产生的等腰三角形问题的重点和难点在于应用分类讨论思想和数形结合思想进行准确的分类.【方法揭秘】我们先回顾两个画图问题：1．已知线段AB＝5厘米,以线段AB为腰的等腰三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？2．已知线段AB＝6厘米,以线段AB为底边的等腰三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？已知腰长画等腰三角形用圆规画圆,圆上除了两个点以外,都是顶点C．已知底边画等腰三角形,顶角的顶点在底边的垂直平分线上,垂足要除外．在讨论等腰三角形的存在性问题时,一般都要先分类．如果△ABC是等腰三角形,那么存在①AB＝AC,②BA＝BC,③CA＝CB三种情况．解等腰三角形的存在性问题,有几何法和代数法,把几何法和代数法相结合,可以使得解题又好又快．几何法一般分三步：分类、画图、计算．哪些题目适合用几何法呢？如果△ABC的∠A（的余弦值）是确定的,夹∠A的两边AB和AC可以用含x的式子表示出来,那么就用几何法．①如图1,如果AB＝AC,直接列方程；②如图2,如果BA＝BC,那么1cos2AC AB A=∠；③如图3,如果CA＝CB,那么1cos2AB AC A=∠．代数法一般也分三步：罗列三边长,分类列方程,解方程并检验．如果三角形的三个角都是不确定的,而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来,那么根据两点间的距离公式,三边长（的平方）就可以罗列出来．图1 图2 图3【典例分析】【例1】抛物线229y x bx c =-++与x 轴交于1,05,0A B （-），（）两点,顶点为C ,对称轴交x 轴于点D ,点P 为抛物线对称轴CD 上的一动点（点P 不与,C D 重合）．过点C 作直线PB 的垂线交PB 于点E ,交x轴于点F ．()1求抛物线的解析式；()2当PCF V 的面积为5时,求点P 的坐标；()3当△PCF 为等腰三角形时,请直接写出点P 的坐标．【例2】如图1,抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A (－1,0)、B (3, 0)、C (0 ,3)三点,直线l 是抛物线的对称轴． （1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P 是直线l 上的一个动点,当△PAC 的周长最小时,求点P 的坐标；（3）在直线l 上是否存在点M ,使△MAC 为等腰三角形,若存在,直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在,请说明理由．图1【例3】如图1,点A 在x 轴上,OA ＝4,将线段OA 绕点O 顺时针旋转120°至OB 的位置． （1）求点B 的坐标；（2）求经过A 、O 、B 的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上,是否存在点P ,使得以点P 、O 、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在,求点P 的坐标；若不存在,请说明理由．图1【例4】在平面直角坐标系xOy 中,已知(0,2)A ,动点P 在33y x =的图像上运动（不与O 重合）,连接AP ,过点P 作PQ AP ⊥,交x 轴于点Q ,连接AQ ．（1）求线段AP 长度的取值范围；（2）试问：点P 运动过程中,QAP ∠是否问定值？如果是,求出该值；如果不是,请说明理由． （3）当OPQ ∆为等腰三角形时,求点Q 的坐标．【例5】如图1,在矩形ABCD 中,8AB =,10AD =,E 是CD 边上一点,连接AE ,将矩形ABCD 沿AE 折叠,顶点D 恰好落在BC 边上点F 处,延长AE 交BC 的延长线于点G ．（1）求线段CE 的长；（2）如图2,M ,N 分别是线段AG ,DG 上的动点（与端点不重合）,且DMN DAM ∠=∠,设AM x =,DN y =．①写出y 关于x 的函数解析式,并求出y 的最小值；②是否存在这样的点M ,使DMN V 是等腰三角形？若存在,请求出x 的值；若不存在,请说明理由． 【例6】如图1,已知Rt △ABC 中,∠C ＝90°,AC ＝8,BC ＝6,点P 以每秒1个单位的速度从A 向C 运动,同时点Q 以每秒2个单位的速度从A →B →C 方向运动,它们到C 点后都停止运动,设点P 、Q 运动的时间为t 秒． （1）在运动过程中,求P 、Q 两点间距离的最大值；（2）经过t 秒的运动,求△ABC 被直线PQ 扫过的面积S 与时间t 的函数关系式；（3）P ,Q 两点在运动过程中,是否存在时间t,使得△PQC 为等腰三角形．若存在,求出此时的t 值,若不存在,请说明理由．（24.25≈,结果保留一位小数）图1【变式训练】1．矩形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示,已知(23,2)B ,点A 在x 轴上,点C 在y 轴上,P 是对角线OB 上一动点（不与原点重合）,连接PC ,过点P 作PD PC ⊥,交x 轴于点D ．下列结论：①23OA BC ==；②当点D 运动到OA 的中点处时,227PC PD +=；③在运动过程中,CDP ∠是一个定值；④当△ODP 为等腰三角形时,点D 的坐标为23⎫⎪⎪⎝⎭．其中正确结论的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．如图,在正方形ABCD 中,E F 、是对角线AC 上的两个动点,P 是正方形四边上的任意一点,且42AB EF ＝，＝,设AE x ＝．当PEF V 是等腰三角形时,下列关于P 点个数的说法中,一定正确的是（ ）①当0x ＝（即E A 、两点重合）时,P 点有6个 ②当0422x -＜＜时,P 点最多有9个 ③当P 点有8个时,x ＝22﹣2④当PEF V 是等边三角形时,P 点有4个 A ．①③B ．①④C ．②④D ．②③3．如图,在矩形ABCD 中,3310AD AB ==,点P 是AD 的中点,点E 在BC 上,2CE BE =,点M 、N 在线段BD 上．若PMN ∆是等腰三角形且底角与DEC ∠相等,则MN =_____．4．如图,平面直角坐标系中,矩形ABOC 的边,BO CO 分别在x 轴,y 轴上,A 点的坐标为(8,6)-,点P 在矩形ABOC 的内部,点E 在BO 边上,满足PBE ∆∽CBO ∆,当APC ∆是等腰三角形时,P 点坐标为_____．5．在平面直角坐标系xOy 中,已知点A （0,3）,点B （5,0）,有一动点P 在直线AB 上,△APO 是等腰三角形,则满足条件的点P 共有（ ）A ﹒2个B ﹒3个C ﹒4个D ﹒5个6．如图,点A 、B 、P 在⊙O 上,且∠APB=50°。

专题21 因动点产生的等腰三角形问题（基础）1．已知抛物线y ＝﹣（x ﹣m ）2+1与x 轴的交点为A ，B （B 在A 的右边），与y 轴的交点为C ．当点B 在原点的右边，点C 在原点下方时，是否存在△BOC 为等腰三角形的情形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．【分析】先求出拋物线y ＝﹣（x ﹣m ）2+1与x 轴的交点，与y 轴的交点，再用m 表示出OB ，OC 的长度，根据当△BOC 为等腰三角形时，BO ＝OC 列出方程，即可求出答案．【解答】解：当y ＝0时，﹣（x ﹣m ）2+1＝0，即有（x ﹣m ）2＝1．∴x 1＝m ﹣1，x 2＝m +1．∵点B 在点A 的右边，∴A （m ﹣1，0），B （m +1，0），∵点B 在原点右边∴OB ＝m +1，∵当x ＝0时，y ＝1﹣m 2，点C 在原点下方，∴OC ＝m 2﹣1，当m 2﹣1＝m +1时，m 2﹣m ﹣2＝0，∴m ＝2或m ＝﹣1（因为对称轴在y 轴的右侧，m ＞0，所以不合要求，舍去），∴存在△BOC 为等腰三角形的情形，此时m ＝2．【点评】此题考查了抛物线与x 轴的交点，解题的关键是用m 表示出OB ，OC 的长度，列出方程．2．如图，直线y ＝kx ﹣3与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点，且OB OC =12 （1）求点B 坐标和k 值；（2）若点A （x ，y ）是直线y ＝kx ﹣3上在第一象限内的一个点，坐标（2，1），请问x 轴上是否存在点P ，使△ABP 为等腰三角形？若存在，请写出满足条件的所有P 点坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）求出OC 的长，根据题意求出OB ，得到点B 坐标，把点B 坐标代入一次函数解析式，求出k ；（2）分BP ＝BA 、P A ＝PB 两种情况，根据勾股定理计算即可．【解答】解：（1）对于直线y ＝kx ﹣3，当x ＝0时，y ＝﹣3，∴点C 的坐标为（0，﹣3），即OC ＝3，∵OB OC =12， ∴OB =32，即点B 的坐标为（32，0），则32k ﹣3＝0， 解得，k ＝2；（2）过点A 作AD ⊥x 轴于D ，则OD ＝2，BD ＝2−32=12，AD ＝1，∴Rt △ABD 中，AB =√BD 2+AD 2=√52，∴以B 为圆心，AB 长为半径画弧，从左往右依次交x 轴于P 1，P 2两点，则OP 1=32−√52，OP 2=32+√52，故P 1（32−√52，0），P 2（32+√52，0）， 作AB 的垂直平分线交x 轴于P 3，设DP 3＝x ，则Rt △ADP 3中，12+x 2＝（12+x ）2， 解得x =34，∴P 3（114，0），当AB ＝AP 时，DP ＝DB =12，∴P 4（52，0）， 故存在四个点P ，使△ABP 为等腰三角形．【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的判定，正确求出一次函数图象与坐标轴的交点、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．3．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝12cm ，BC ＝21cm ，点P 从点B 出发沿BC 以2cm /s 的速度移动到点C ；同时，点Q 从点A 出发沿AD 以1cm /s 的速度移动到点D ；当点P 运动到点C 时点Q 也随之停止运动，设点P 的运动时间为ts 是否存在点P ，使△DPQ 是等腰三角形？如果存在，求出所有符合条件的t 的值；如果不存在，请说明理由．【分析】先表示出PQ，PD，DQ，再分三种情况讨论计算即可．【解答】解：如图，过点Q作QE⊥⊥BC，由题意得，AQ＝t，PE＝BP﹣BE＝BP﹣AQ＝2t﹣t＝t，∴DQ＝21﹣t，PC＝21﹣2t，QE＝12，（0＜t≤21 2）在Rt△PQE中，PQ2＝122+t2，在Rt△PCD中，PD2＝（21﹣2t）2+122，∵△DPQ是等腰三角形，①当PQ＝PD时，即：122+t2＝（21﹣2t）2+122，∴t＝7或t＝21（舍）；②当PQ＝DQ时，即：122+t2＝21﹣t，此方程无解，③当PD＝DQ时，（21﹣2t）2+122＝21﹣t，∴此方程无解．即：t＝7时，△DPQ是等腰三角形．【点评】此题是矩形的性质，主要考查了勾股定理，矩形的性质，等腰三角形的性质，解本题的关键是表示出PD，DQ，PQ．4．如图，在长方形ABCD中，边AB、BC的长（AB＜BC）是方程x2﹣7x+12＝0的两个根，点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿△ABC边A→B→C→A的方向运动，运动时间为t（秒）．（1）求AB与BC的长；（2）写出三角形APD的面积S与运动时间t的函数关系式，并写出自变量的取值范围．（3）当点P在运动中，试求出使AP长为√10时运动时间t的值；（4）当点P运动到边AC上时，是否存在点P，使△CDP是等腰三角形？若存在，请求出运动时间t 的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用因式分解法解出方程即可；（2）需要分类讨论：点P在AB边、在BC边和在对角线AC上三种情况；（3）根据勾股定理列出方程，解方程即可；（4）分PC＝CD、PD＝PC、PD＝CD三种情况，根据等腰三角形的性质和勾股定理计算即可．【解答】解：（1）∵x 2﹣7x +12＝0，则（x ﹣3）（x ﹣4）＝0，∴x 1＝3，x 2＝4．∵AB ＜BC ，∴AB ＝3，BC ＝4；（2）如答图1，当点P 在边AB 上时，S =12AD •AP =12×4t ＝2t （0＜t ≤4）；如答图2，当点P 在边BC 上时，S =12AD •AB =12×4×3＝6（4＜t ≤7）； 如答图3，当点P 在对角线AC 上时，由勾股定理得到AC =√32+42=5．S =12AD •AP sin ∠DAC =12×4×（t ﹣7）×35=6t 5−425．（7＜t ≤12）； 综上所述，S ={ 2t(0＜t ≤4)6(4＜t ≤7)6t 5−425(7＜t ≤12)；（3）由题意得√32−(t −3)2=√10，∴t 1＝4，t 2＝2（舍去），则t ＝4时，AP =√10；（4）存在点P ，使△CDP 是等腰三角形，①当PC ＝CD ＝3时，t ＝（3+4+3）÷1＝10（秒）；②当PD ＝PC （即P 为对角线AC 中点）时，AB ＝3，BC ＝4．∴AC =√AB 2+BC 2=5，CP =12AC ＝2.5，∴t ＝（3+4+2.5）÷1＝9.5（秒）；③当PD ＝CD ＝3时，作DQ ⊥AC 于Q ，DQ =12×3×412×5=125，PQ =√32+(125)2=95， ∴PC ＝2PQ =185，∴t =3+4+1851（秒），可知当t 为10秒或9.5秒或535秒时，△CDP 是等腰三角形．【点评】本题考查了四边形综合题．需要掌握矩形的性质、等腰三角形的判定和性质以及一元二次方程的解法，正确解出方程、灵活运用勾股定理列出算式是解题的关键，注意分情况讨论思想的运用．5．如图，直线y ＝kx +b 与x 轴交于点B （﹣3，0），且它与双曲线y =12x交于点A 、C ，其中点A （n ，4）在第一象限，点C 在第三象限．（1）求直线y ＝kx +b 的解析式；（2）在x 轴上是否存在点P ，使△AOP 是等腰三角形？若存在，请直接写出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据点A 在双曲线图象上，可求出n 值，将A 、B 点的坐标代入直线y ＝kx +b 中，由待定系数法即可求出结论；（2）假设存在，设点P 的坐标为（m ，0），分三种情况考虑△AOP 是等腰三角形，由边相等得出关于m 的方程，解方程即可得出结论．【解答】解：∵点A （n ，4）在双曲线y =12x 的图象上， ∴有4=12n ，解得：n ＝3．即点A 的坐标为（3，4）．将点A 、点B 的坐标代入直线y ＝kx +b 中得：{0=−3k +b 4=3k +b ，解得：{k =23b =2． ∴直线的解析式为y =23x +2．（2）假设存在，设点P 的坐标为（m ，0）．点O （0，0），点A （3，4），由两点间的距离公式可知：OA =√(3−0)2+(4−0)2=5，OP ＝|m |，AP =√(3−m)2+(4−0)2．△AOP 是等腰三角形分三种情况：①OA ＝OP ，则有5＝|m |，解得：m ＝±5，此时点P 的坐标为（﹣5，0）或（5，0）；②OA ＝AP ，即5=√(3−m)2+(4−0)2，解得：m ＝0（舍去），或m ＝6，此时点P 的坐标为（6，0）；③OP ＝AP ，即|m |=√(3−m)2+(4−0)2，解得：m =256，此时点P 的坐标为（256，0）．综上可知：在x 轴上存在点P ，使△AOP 是等腰三角形，点P 的坐标为（﹣5，0）、（5，0）、（6，0）或（256，0）．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数交点的问题、待定系数法求函数解析式、等腰三角形的性质以及解无理方程，解题的关键：（1）由点在双曲线上求出点A 的坐标；（2）分3种情况考虑边相等的情况．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据等腰三角形的性质由边相等得出关于n 的方程是关键．6．如图，在平面直角坐标系中，点C 的坐标为（3，1），动点A 以每秒1个单位的速度从点O 出发沿x 轴正半轴运动，同时动点B 以每秒2个单位的速度从点O 出发沿y 轴正半轴运动，作直线AB ．设运动的时间为t 秒，是否存在t ，使△ABC 是等腰三角形？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．【分析】运动的时间是t ，则OA ＝t ，OB ＝2t ，利用勾股定理把AB 2，BC 2和AC 2用t 表示出来，然后利用勾股定理列方程求得t 的值，然后判断t 是否满足条件，以及是否是等腰三角形即可．【解答】解：运动的时间是t ，则OA ＝t ，OB ＝2t ．在直角△OAB 中，AB 2＝OA 2+OB 2＝t 2+（2t ）2＝5t 2，过C 作CD ⊥x 轴于点D ，则D 的坐标是（3，0）．在直角△ACD 中，AC 2＝CD 2+AD 2＝1+（3﹣t ）2＝t 2﹣6t +10，BC 2＝32+（2t ﹣1）2＝4t 2﹣4t +10，当AB 是斜边时，AB 2＝AC 2+BC 2，则5t 2＝t 2﹣6t +10+4t 2﹣4t +10，解得：t ＝2．此时AB 2＝20，AC 2＝2，BC 2＝18，此时不是等腰三角形，故不符合条件；当AC 是斜边时，AC 2＝AB 2+BC 2，则t 2﹣6t +10＝5t 2+（4t 2﹣4t +10），解得：t＝0或﹣4（不符合题意，舍去）；当BC是斜边时，AB2+AC2＝BC2，则5t2+（t2﹣6t+10）＝4t2﹣4t+10，解得：t＝0（舍去），或1．当t＝1时，AB2＝5，AC2＝1﹣6+10＝5，此时AB＝AC．总之，当t＝1时，△ABC是等腰直角三角形．【点评】本题考查了一次函数与勾股定理的综合应用，正确进行讨论，利用m表示出AB2，BC2和AC2是关键．7．如图，直线AB：y=−√62x+√3的图象与x轴、y轴交于A、B两点，直线上一动点P以1cm/s的速度由点A向终点B运动，设运动时间为t（s）．（1）点A的坐标为（√2，0）；点B的坐标为（0，√3）；（2）求OP的最短距离；（3）是否存在t的值，使△OAP为等腰三角形？若存在，直接写出满足条件的t的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据y=−√62x+√3的图象与x轴、y轴交于A、B两点，于是令x＝0，y＝0，解方程即可得到结论；（2）根据勾股定理得到AB的长，由三角形的面积公式得到OA•OB＝AB•OP，代入数据即可得到结论；（3）①根据平行线分线段成比例定理列比例式求得t，②根据AP＝OA，求得t，③根据相似三角形的性质即可得到t．【解答】解：（1）在y=−√62x+√3中，令x＝0，得y=√3，y＝0，得x=√2，∴A的坐标为（√2，0），点B的坐标为（0，√3）；故答案为：（√2，0），（0，√3）；（2）当OP⊥AB时，OP的距离最短，∵OA=√2，OB=√3，∴AB=√OA2+OB2=√5，∵S△AOB=12OA•OB=12AB•OP，∴OP=OA⋅OBAB=√305；（3）①如图1，当OP＝AP，过P作PC⊥OA于C，∴AC＝0C，∴PC∥OB，∴APAB=ACAO=12，∴t=√5 2，②当AP＝OA时，即t=√2，③如图2，当OA＝OP时，过O作OC⊥AB于C，∴∠ACO＝∠AOB＝90°，∵∠OAB＝∠AOC，∴△AOC∽△AOB，∴AOAB=ACOA，∴√2√5=√2，∴AC=2√5 5，∴AP＝t＝2AC=4√5 5．综上所述：当t=√52，√2，4√55时，△OAP为等腰三角形．【点评】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，三角形的面积公式，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．8．如图，一次函数y＝3x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A，B，C，且点C的坐标为（3，0）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）在这个二次函数图象的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由直线y＝3x+3交x轴于A点，交y轴于B点，即可求得点A与B的坐标，又由过A、B 两点的抛物线交x轴于另一点C（3，0），利用两点式法即可求得抛物线的解析式；（2）分别从AB＝BQ，AQ＝BQ，AB＝AQ三方面去分析，注意抓住线段的求解方法，借助于方程求解即可求得答案．【解答】解：（1）∵当x＝0时，y＝3，当y＝0时，x＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（0，3），∵C（3，0），设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），∴3＝a×1×（﹣3），∴a＝﹣1，∴此抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3；（2）存在．∵抛物线的对称轴为：直线x=−1+32=1，∴如图对称轴与x轴的交点即为Q1，∵OA＝OQ1，BO⊥AQ1，∴当Q1B＝AB时，设Q（1，q），∴1+（q﹣3）2＝10，∴q＝0，或q＝6，∴Q（1，0）或Q（1，6）（在直线AB上，舍去）．当Q2A＝Q2B时，设Q2的坐标为（1，m），∴22+m2＝12+（3﹣m）2，∴m＝1，∴Q2（1，1）；当Q3A＝AB时，设Q3（1，n），∴22+n2＝12+32，∴n＝±√6，∴Q 3（1，√6），Q 4（1，−√6）．∴符合条件的Q 点坐标为Q 1（1，0），Q 2（1，1），Q 3（1，√6），Q 4（1，−√6）．【点评】此题考查了待定系数法求二次函数的解析式与等腰三角形的性质等知识．此题难度适中，注意分类讨论思想，方程思想与数形结合思想的应用是解此题的关键，还要注意别漏解．9．如图．在平面直角坐标系中，点C 、点A 为x 轴上两点，OA 、OC 的长是方程y ＝x 2﹣7x +12＝0的两个根（OC ＞OA ）．点B 在y 轴上，CD ⊥AB 交y 轴于点P ，且CP ＝AB ．（1）求点A 、C 的坐标．（2）求直线CD 的函数解析式．（3）直线CD 上是否存在点E ，使△ACE 为等腰三角形？若存在，请直接写出点E 坐标；若不存在．请说明理由．【分析】（1）解方程x 2﹣7x +12＝0得OC ＝4，OA ＝3，即可得到结论；（2）根据已知条件易求△PCO ≌△ABO ，于是得到OP ＝OA ＝3，OB ＝OC ＝4，求得p 的坐标，再根据待定系数法可求得结论；（3）易求AC ＝3﹣（﹣4）＝7，分三种情况：①EC ＝EA ，根据等腰三角形的性质可求得结论，②EC ＝CA ＝7，根据相似三角形的性质可求得结论，③EA ＝CA ＝7，有勾股定理求出结论．【解答】（1）解：解方程x 2﹣7x +12＝0得x 1＝3，x 2＝4，∴OC ＝4，OA ＝3，∴A （3，0），C （﹣4，0）；（2）∵CD ⊥AB ，x 轴⊥y 轴，∴∠PCO ＝∠ABO ＝90°﹣∠BAO ，在△PCO 和△ABO 中，{∠POC =∠AOB ∠PCO =∠ABO CP =AB，∴△PCO ≌△ABO ，∴OP ＝OA ＝3，OB ＝OC ＝4，∴P （0，3），设直线AD 解析式为y ＝kx +b ，把P （0，3），C （﹣4，0）代入可得{b =3−4k +b =0解得{b =3k =34．故直线CD 的函数解析式为y =34x +3； （3）AC ＝3﹣（﹣4）＝7，CP =√42+32=5，当EC ＝EA 时，根据等腰三角形的性质，E 点的横坐标为−12， 把x =−12代入y =34x +3得：y =218，即E （−12，218）当EC ＝AC ＝7时， 设p （b ，m ）， ∴m PO=EC PC，即m 3=75，解得：m =215， 把y =215代入y =34x +3得x =85，即E （85，215） 当EA ＝AC ＝7时，设E （n ，34n +3），由勾股定理得：（n ﹣3）2+（34n +3）2＝AE 2＝72，解得：n =2450±22450，∵AP =√32+32=√18＜7， ∴E 在第一象限， ∴n ＞0，∴n =12425，n ＝4，34n +3=16825， ∴E （12425，16825），（−485，−215）， 综上所述：E 的坐标为：E （−485，−215），E （−12，218），E （85，215），E （12425，16825）．【点评】本题主要考查了一元二次方程，全等三角形的判定与性质，一次函数的解析式的求法，等腰三角形的性质，综合性强，能正确分类是解决问题的关键．10．如图，已知A （1，3），B （5，0），在x 轴上是否存在点P ，使△P AB 为等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】过A 作AC ⊥x 轴于C ，根据A （1，3），B （5，0），得到AC ＝3，BC ＝4，根据勾股定理得到AB =√AC 2+BC 2=5，①若AP ＝AB ＝5，则PC ＝BC ＝4，求得 P 1（﹣3，0）；②若BP ＝BA ＝5，求得P 2（0，0）或P 3（10，0）；③若P A ＝PB ，则P 在AB 的垂直平分线上，求得P 4（158，0）．【解答】解：存在， 过A 作AC ⊥x 轴于C ， ∵A （1，3），B （5，0）， ∴AC ＝3，BC ＝4， ∴AB =√AC 2+BC 2=5，①若AP ＝AB ＝5，则PC ＝BC ＝4， ∴P 1（﹣3，0）；②若BP ＝BA ＝5，则P 2（0，0）或P 3（10，0）； ③若P A ＝PB ，则P 在AB 的垂直平分线上， ∴PB 5=524，∴PB =258，∴P 4（158，0）．综上所述：p （﹣3，0），（0，0），（10，0），（158，0）．【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，分类讨论是解答此题的关键．11．如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于A （m ，0），B （n ，0），点A 位于点B 的右侧，且m ，n 是一元二次方程x 2+2x ﹣3＝0的两个根，与y 轴交于C （0，3）．在抛物线上的对称轴上是否存在点P ，使得△P AC 为等腰直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】解方程求得A 和B 的坐标，求得对称轴，当A 是直角顶点时，求得过A 于AC 垂直的直线与抛物线的对称轴的交点，然后判断是否是等腰三角形；同理当C 是直角顶点时利用相同的方法判断；当AC 是等腰三角形的底边时，求得AC 的中垂线与对称轴的交点，然后判断是否是直角三角形即可．【解答】解：解方程x 2+2x ﹣3＝0得x 1＝﹣3，x 2＝1， 则A 的坐标是（1，0），B 的坐标是（﹣3，0）． 抛物线的对称轴是x ＝﹣1．设AC 的解析式是y ＝kx +b ，则{k +b =0b =3，解得：{k =−3b =3，则直线AC 的解析式是y ＝﹣3x +3．当A 是直角顶点时，过A 且垂直于AC 的直线解析式设是y =13x +c ， 把A 代入得：13+c ＝0，解得：c =−13， 则解析式是y =13x −13．令x ＝﹣1，则y =−13−13=−23，则交点是（﹣1，−23）．到A 的距离是√(−1−1)2+(−23)2=2√103，AC =√32+12=√10， 则三角形不是等腰三角形；同理，当C 时直角时，过C 于AC 垂直的直线的解析式是y =13x +3，与对称轴x ＝﹣1的交点是（﹣1，83）．到C 的距离是√(−1−1)2+(83)2=103≠AC ，则不是等腰直角三角形； 当P 是直角，即AC 是斜边时，AC 的中点是（12，32），过这点且与AC 垂直的直线的解析式是y =13x +86． 当x ＝﹣1时，y =−13+86=1． 则与对称轴的交点是（﹣1，1）．则到A 的距离是√(−1−1)2+12=√5． ∵（√5）2+（√5）2＝（√10）2， ∴P 的坐标是（﹣1，1）．【点评】本题考查了二次函数与x 轴的交点以及等腰直角三角形的判定，正确进行讨论是关键． 12．直线MN 与x 轴，y 轴分别相交A 、C 两点，分别过A 、C 作x 轴、y 轴的垂线，二者相交于B 点，且OA ＝8，OC ＝6．（1）求直线MN 的解析式；（2）已知在直线MN 上存在点P ，使△PBC 是等腰三角形，求点P 的坐标．【分析】（1）根据题意求出点A 、C 的坐标，运用待定系数法求出直线MN 的解析式； （2）从PC ＝PB ，PC ＝BC ，PB ＝BC 三种情况进行解答． 【解答】解：（1）∵OA ＝8，OC ＝6， ∴A （8，0），C （0，6）， 设直线MN 的解析式为：y ＝kx +b ， {8k +b =0b =6， 解得：{k =−34b =6，直线MN 的解析式：y =−34x +6； （2）由题意得，B （8，6）， ∵点P 在直线MN 上， ∴设P （a ，−34a +6），当PC ＝PB 时，点P 为BC 的中垂线与MN 的交点，则P 1（4，3）； 当PC ＝BC 时，a 2+（−34a +6﹣6）2＝64， 解得，a 1=−325，a 2=325， 则P 2（−325，545），P 3（325，65）；当PB ＝BC 时，（a ﹣8）2+（−34a +6﹣6）2＝64， 解得，a =25625， 则P 4（25625，−4225）． 【点评】本题考查的是待定系数法求一次函数解析式和等腰三角形的判定，灵活运用待定系数法是解题的关键，注意分情况讨论思想的运用．13．在平面直角坐标中，x 轴上有点A 和点M ，y 轴上有一点B ，过点M 作MN ⊥AB 于点N ，交y 轴于点G ，且MG ＝AB ，OA 、OM （OA ＜OM ）的长是方程x 2﹣7x +12＝0的两个根． （1）求点A ，B 及点M 的坐标； （2）求直线MN 的解析式；（3）直线MN 上是否存在点P ，△PMA 是等腰三角形？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）由一对直角相等，一对对顶角相等得到三角形BNG 与三角形OMG 相似，利用相似三角形对应角相等得到∠ABO ＝∠OMG ，再由一对直角相等，AB ＝MG ，利用AAS 得到三角形AOB 与三角形OMG 全等，利用全等三角形对应边相等得到OB ＝OM ，OG ＝OA ，求出已知方程的解确定出OA 与OM 的长，求出A 与M 坐标，进而确定出B 的坐标即可；（2）由（1）确定出G 与M 坐标，设直线MN 解析式为y ＝kx +b ，把G 与M 坐标代入求出k 与b 的值，确定出直线MN 解析式即可；（3）直线MN 上存在点P ，△PMA 是等腰三角形，如图所示，分三种情况考虑：若P A ＝PM ；MP ＝MA ；AM ＝PM ，分别求出P 的坐标即可．【解答】解：（1）∵∠BNG ＝∠GOM ＝90°，∠BGN ＝∠MGO ， ∴∠BNG ＝∠OMG ， 在△AOB 和△GOM 中， {∠ABO =∠GMO∠AOB =∠GOM AB =MG， ∴△AOB ≌△GOM （AAS ）， ∴OB ＝OM ，OA ＝OG ， 方程x 2﹣7x +12＝0，分解因式得：（x ﹣3）（x ﹣4）＝0， 解得：x ＝3或x ＝4， ∴OA ＝3，OM ＝4，∴A （﹣3，0），M （4，0），B （0，4）；（2）由（1）得：G （0，3），M （4，0）， 设直线MN 解析式为y ＝kx +b ， 把G 与M 坐标代入得：{b =34k +b =0，解得：k =−34，b ＝3，则直线MN 解析式为y =−34x +3；（3）直线MN 上存在点P ，△PMA 是等腰三角形，分三种情况考虑：若P A ＝PM ，作PQ ⊥AM ，可得PQ 垂直平分AM ， 由A （﹣3，0），M （4，0），得到AM ＝7，即QM =72，OQ ＝4−72=12， 把x =12代入得：y =218，此时P （12，218）；若AM ＝MP ，设P （a ，−34a +3），由M （4，0）， 得到（a ﹣4）2+（−34a +3）2＝49， 解得：a =485或a =−85， 此时P （485，−215），P （−85，215），若AM ＝AP 时，∵OA ＝OG ＝3，∠AOB ＝∠GOM ，OB ＝PM ＝4， ∴△AOB ≌△GOM ， ∴∠OAB ＝∠OGM ＝∠BGN ， ∵∠OAB +∠ABO ＝90°， ∴∠ABO +∠BGN ＝90°， ∴MN ＝MP ，∵A （﹣3，0），B （0，4）， ∴直线AB 的解析式为y =43x +4①， ∵直线MN 解析式为y =−34x +3②； ∴直线MN 和AB 的交点坐标为（−1225，8425）， ∵M （4，0），∴P （−12425，16825） 综上，满足题意P 的坐标为（12，218）或（485，−215）或（−85，215）或（−12425，16825）． 【点评】此题属于一次函数解析式，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，坐标与图形性质，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题第二问的关键． 14．如图①，反比例函数y =kx （x ＜0）图象经过点A （﹣1，b ），过点A 作AB ⊥x 轴于B ，△AOB 的面积为√32．（1）求k 和b 的值．（2）若一次函数y =−√33x +m 的图象经过点A ，并且与x 轴交于点M ，求M 的值．（3）如图②，在x 轴上是否存在点P ，使△P AM 为等腰三角形？若存在，求出所有的P 点，若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据三角形面积公式得到12×1×b =√32，则可求出b =√3，从而可确定A 点坐标，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征求k 的值；（2）把A 点坐标代入一次函数解析式求出m 的值，然后根据x 轴上点的坐标特征求M 点的坐标； （3）先计算出AM 的长，再分类讨论：当MP ＝MA ＝2√3时，根据x 轴上点的坐标特征写出P 点坐标；当AP ＝AM 时，P 点与M 点关于AB 对称，易得此时P 点坐标；当P A ＝PM 时，由于OA ＝OM ＝2，所以此时P 点坐标为（0，0）． 【解答】解：（1）∵△AOB 的面积为√32， ∴12×1×b =√32，∴b =√3， ∴A （﹣1，√3）， ∴k ＝﹣1×√3=−√3，（2）把A （﹣1，√3）代入y =−√33x +m 得√33+m =√3，解得m =2√33，∴一次函数解析式为y =−√33x +2√33， 当y ＝0时，−√33x +2√33=0，解得x ＝2， ∴M 点的坐标为（2，0）； （3）存在．∵A （﹣1，√3），M （2，0）； ∴MA =√(2+1)2+(√3)2=2√3，当MP ＝MA ＝2√3时，P 点坐标为（2+2√3，0）或（2﹣2√3，0）； 当AP ＝AM 时，P 点坐标为（﹣4，0）； 当P A ＝PM 时，P 点坐标为（0，0），综上所述，当P 点坐标为（2+2√3，0）或（2﹣2√3，0）或（﹣4，0）或（0，0）时，△P AM 为等腰三角形．【点评】本题考查了反比例函数的综合题：熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征和一次函数图象上点的坐标特征；会应用等腰三角形的性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．15．如图所示，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝5cm ，BC ＝8cm ，点P 由点A 出发沿AB 方向向点B 匀速运动，同时点Q 由点B 出发沿BC 方向向点C 匀速运动，它们的速度均为1cm /s ．连接PQ ，设运动时间为t （s ）（0＜t ＜5），解答下列问题： （1）当t 为何值时，△BPQ 的面积为65cm 2；（2）在点P ，Q 的运动中，是否存在时间t ，使△BPQ 为等腰三角形．若存在，请求出对应的时间t ；若不存在，请说明理由．【分析】（1）过点A 作AE ⊥BC 于E ，过点P 作PF ⊥BC 于F ，先求出AE 的长，由相似三角形的性质可求PF =3(5−t)5cm ，BF =4(5−t)5cm ，由三角形的面积公式可求解； （2）分三种情况讨论，利用等腰三角形的性质可求解．【解答】解：（1）如图，过点A 作AE ⊥BC 于E ，过点P 作PF ⊥BC 于F ，∵AB ＝AC ＝5cm ，BC ＝8cm ，AE ⊥BC ， ∴BE ＝EC ＝4cm ， ∴AE =√AB2−BE2=√25−16=3cm ，∵∠PFB ＝∠AEB ＝90°，∠B ＝∠B ， ∴△AEB ∽△PFB ， ∴BP AB =PF AE =BF BE ， ∴5−t 5=PF 3=BF4，∴PF =3(5−t)5cm ，BF =4(5−t)5cm ， ∵△BPQ 的面积为65cm 2， ∴12×BQ ×PF =65，∴12×t ×3(5−t)5=65， ∴t 1＝1，t 2＝4，∴当t 为1或4时，△BPQ 的面积为65cm 2；（2）当BP ＝BQ 时，则5﹣t ＝t ， ∴t =52，当BQ ＝PQ 时，∵PQ 2＝PF 2+QF 2， ∴t 2＝[3(5−t)5]2+[4(5−t)5−t ]2， ∴t 1＝5（不合题意），t 2=2513，当BP ＝PQ 时，则点P 在BF 的垂直平分线上， ∴4(5−t)5=t2，∴t =4013， 综上所述：t 的值为52或2513或4013时，△BPQ 为等腰三角形．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．16．一次函数y ＝kx +b 的图象经过点A （0，9），并与直线y =53x 相交于点B ，与x 轴相交于点C ，其中点B 的横坐标为3．（1）求B 点的坐标和k ，b 的值；（2）点Q 为直线y ＝kx +b 上一动点，当点Q 运动到何位置时△OBQ 的面积等于272？请求出点Q 的坐标；（3）在y 轴上是否存在点P 使△P AB 是等腰三角形？若存在，请直接写出点P 坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）y =53x 相交于点B ，则点B （3，5），将点A 、B 的坐标代入一次函数表达式，即可求解；（2）△OBQ 的面积=12×OA ×|xQ ﹣xB |=12×9×|m ﹣3|=272，即可求解； （3）分AB ＝AP 、AB ＝BP 、AP ＝BP 三种情况，分别求解即可． 【解答】解：（1）y =53x 相交于点B ，则点B （3，5），将点A 、B 的坐标代入一次函数表达式并解得：k =−43，b ＝9；（2）设点Q （m ，−43m +9），则△OBQ 的面积=12×OA ×|xQ ﹣xB |=12×9×|m ﹣3|=272， 解得：m ＝0或6，故点Q （0，9）或（6，1）；（3）设点P （0，m ），而点A 、B 的坐标分别为：（0，9）、（3，5）， 则AB 2＝25，AP 2＝（m ﹣9）2，BP 2＝9+（m ﹣5）2， 当AB ＝AP 时，25＝（m ﹣9）2，解得：m ＝14或4； 当AB ＝BP 时，同理可得：m ＝9（舍去）或1； 当AP ＝BP 时，同理可得：m =478；综上点P 的坐标为：（0，4）或（0，14）或（0，1）或（0，478）【点评】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、勾股定理的运用、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．17．如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝x +2与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，点C （2，m ）为直线y ＝x +2上一点，直线y =−12x +b 过点C ． （1）求m 和b 的值；（2）直线y =−12x +b 与x 轴交于点D ，动点P 在线段DA 上从点D 开始以每秒1个单位的速度向A 点运动．设点P 的运动时间为t 秒． ①若△ACP 的面积为10，求t 的值；②是否存在t 的值，使△ACP 为等腰三角形？若存在，直接写出t 的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）把点C （2，m ）代入直线y ＝x +2中得：m ＝2+2＝4，则点C （2，4），直线y =−12x +b 过点C ，4=−12×2+b ，b ＝5；（2）①由题意得：PD ＝t ，A （﹣2，0），y =−12x +5中，当y ＝0时，−12x +5＝0，D （10，0），AD ＝10+2＝12，12(12−t)•4＝10，即可求解； ②分AC ＝PC 、AP ＝CP 、AC ＝AP 三种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）把点C （2，m ）代入直线y ＝x +2中得：m ＝2+2＝4，∴点C （2，4），∵直线y =−12x +b 过点C ，4=−12×2+b ，b ＝5；（2）①由题意得：PD ＝t ，y ＝x +2中，当y ＝0时，x +2＝0，x ＝﹣2，∴A （﹣2，0），y =−12x +5中，当y ＝0时，−12x +5＝0，x ＝10，∴D （10，0），∴AD ＝10+2＝12，∵△ACP 的面积为10，∴12(12−t)•4＝10， t ＝7，则t 的值7秒；②设点P （10﹣t ，0），点A 、C 的坐标为：（﹣2，0）、（2，4），当AC ＝PC 时，则点C 在AP 的中垂线上，即2×2＝10﹣t ﹣2，解得：t ＝4；当AP ＝CP 时，则点P 在点C 的正下方，故2＝10﹣t ，解得：t ＝8；当AC ＝AP 时，同理可得：t ＝12﹣4√2故：当t ＝4秒或（12﹣4√2）秒或8秒时，△ACP 为等腰三角形．【点评】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．18．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（﹣3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交于y轴于点H．（1）连接BM，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以1个单位/秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；（2）在（1）的情况下，当点P在线段AB上运动时，是否存在以BM为腰的等腰三角形BMP？如存在，求出t的值；如不存在，请说明理由．【分析】（1）设点M到BC的距离为h，由△ABC的面积易得h，利用分类讨论的思想，三角形的面积公式①当P在直线AB上运动；②当P运动到直线BC上时分别得△PBM的面积；（2）分类讨论：①当MB＝MP时，PH＝BH，解得t；②当BM＝BP时，利用勾股定理可得BM的长，易得t．【解答】解：（1）设点M到BC的距离为h，由S△ABC＝S△ABM+S△BCM，即12×5×4=12×5×32+12×5h，∴h=5 2，①当P在直线AB上运动时△PBM的面积为S与P的运动时间为t秒关系为：S=12（5﹣t）×32，即S=−34t+154（0≤t＜5）；②当P运动到直线BC上时△PMB的面积为S与P的运动时间为t秒关系为：S=12[5﹣（10﹣t）]×52，即S=54t−254（5＜t≤10）；（2）存在①当MB＝MP时，∵点A的坐标为（﹣3，4），AB＝5，MB＝MP，MH⊥AB，∴PH＝BH，即3﹣t＝2，∴t＝1；②当BM＝BP时，即5﹣t=√(4−52)2+22，t=52综上所述，当t ＝1或52时，△PMB 为以BM 为腰的等腰三角形． 【点评】本题主要考查了菱形的性质，动点问题，等腰三角形的性质和三角形的面积公式及待定系数法求解析式，利用分类讨论的思想，数形结合是解答此题的关键．19．已知直线y ＝﹣2x +4与x 轴、y 轴分别交于A 、D 两点，抛物线y ＝ax 2﹣x +c 经过点A 、D ，点B 是抛物线与x 轴的另一个交点．（1）求这条抛物线的解析式及点B 的坐标；（2）如果点C （﹣2，y ）在这条抛物线上，在y 轴上是否存在点P ，使△BCP 为等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据直线解析式可求出A 与D 的坐标，然后将A 、D 的坐标代入抛物线的解析式中即可求出a 、c 的值，然后令y ＝0代入抛物线的解析式中即可求出B 的坐标．（2）设P （0，m ），由（1）可求出点C 的坐标，然后根据勾股定理求出BC 2、CP 2、BP 2，由于△BCP 为等腰三角形，故分三种情况：BC ＝CP 、BC ＝BP ，BP ＝CP ，然后列出方程求出m 的值．【解答】解：（1）令x ＝0代入y ＝﹣2x +4，∴y ＝4，∴D （0，4），令y ＝0代入y ＝﹣2x +4，∴x ＝2，∴A （2，0），把A （2，0）和D （0，4）代入y ＝ax 2﹣x +c ，∴{0=4a −2+c 4=c解得：{a =−12c =4∴抛物线的解析式为：y =−12x 2﹣x +4∴令y ＝0代入y =−12x 2﹣x +4，解得：x ＝2或x ＝﹣4∴B （﹣4，0）（2）将C （﹣2，y ）代入y =−12x 2﹣x +4，∴y ＝4，∴C （﹣2，4），设P （0，m ）∵B （﹣4，0），C （﹣2，4）∴由勾股定理可知：BC 2＝（﹣4+2）2+（0﹣4）2＝20，BP 2＝（﹣4﹣0）2+（0﹣m ）2＝16+m 2，CP 2＝（﹣2﹣0）2+（4﹣m ）2＝4+（4﹣m ）2，当BC ＝BP 时，∴BC 2＝BP 2，∴20＝16+m 2，∴m ＝±2，P （0，2）或P （0，﹣2）当BC ＝CP 时，∴BC 2＝CP 2，∴20＝4+（4﹣m ）2∴m ＝0或m ＝﹣8，∴P （0，0）或P （0，8），当BP ＝CP 时，∴BP 2＝CP 2，∴16+m 2＝4+（4﹣m ）2，解得：m =12，∴P （0，12）， 综上所述，P 的坐标为：（0，﹣2）、（0，2）（0，0）、（0，8）、（0，12） 【点评】本题考查二次函数的综合问题，涉及勾股定理，待定系数法求解析式，一元二次方程的解法，等腰三角形的性质与判定，综合程度较高，需要学生综合运用所学的知识．20．如图，抛物线y =−38x 2+34x +3与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，在y 轴上是否存在点M 使△ACM 为等腰三角形？若存在，求出所有满足条件的M 点坐标；若不存在，请说明理由．【分析】令x ＝0可求得对应的y 值，从而可求得点C 的坐标，令y ＝0可求得对应的x 的值，可求得点A 的坐标，然后设点M 的坐标（0，a ），分为AM ＝AC 、AM ＝MC 、CA ＝CM 三种情况，并结合两点间的距离公式列方程求解即可．【解答】解：∵当x ＝0时，y ＝3，∴C （0，3）．令y ＝0得：−38x 2+34x +3＝0，解得：x ＝﹣2或x ＝4，∴A （﹣2，0）．∴AC 2＝32+（﹣2）2＝13．设点M 的坐标为（0，a ）．当AC ＝AM 时，由两点间的距离公式可知：22+a 2＝13，解得a ＝3（舍去），或a ＝﹣3，∴点M 的坐标为（0，﹣3）．当AC ＝CM 时，由两点间的距离公式可知：（a ﹣3）2＝13，解得：a ＝3±√13，∴点M 的坐标为（0，3+√13）或（0，3−√13）．当AM ＝CM 时，由两点间的距离公式可知：22+a 2＝（3﹣a ）2，a =56．∴点M 的坐标为（0，56）． 综上所述，点M 的坐标为（0，﹣3）或（0，3+√13）或（0，3−√13）或（0，56）． 【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了两点间的距离公式、等腰三角形的性质、二次函数与坐标轴的交点等知识，分类讨论是解题的关键．。

挑战中考压轴题---中考冲刺系列2021版专题一：因动点产生的等腰三角形问题【例1】（2020年上海市中考第25题）如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长线交边AC于点D．（1）求证：∠BAC＝2∠ABD；（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小；（3）当AD＝2，CD＝3时，求边BC的长．【例2】（2020年黑龙江省龙东地区中考第28题）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的边AB长是x2﹣3x﹣18＝0的根，连接BD，∠DBC＝30°，并过点C作CN⊥BD，垂足为N，动点P从B点以每秒2个单位长度的速度沿BD方向匀速运动到D点为止；点M沿线段DA以每秒个单位长度的速度由点D向点A匀速运动，到点A为止，点P与点M 同时出发，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）线段CN＝；（2）连接PM和MN，求△PMN的面积s与运动时间t的函数关系式；（3）在整个运动过程中，当△PMN是以PN为腰的等腰三角形时，直接写出点P的坐标．因动点产生的等腰三角形问题-核心方法总结一、如何找？两圆一线1、已知腰长画等腰三角形，用圆规画圆，圆上除了两个点以外，都是顶点C；2、已知底边画等腰三角形，顶角的顶点在底边的垂直平分线上，垂足要除外.二、如何解？几何法和代数法在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类.如果△ABC 是等腰三角形，那么存在：①AB=AC；②BA=BC；③CA=CB 三种情况.1、几何法一般分三步：分类、画图、计算.哪些题目适合用几何法呢？如果△ABC 的∠A （的余弦值）是确定的，夹∠A 的两边AB 和AC 可以用含x 的式子表示出来，那么就用几何法。

①如图，如果AB=AC，直接列方程②如图2，如果BA=BC，那么A AB AC cos 21=③如图，如果CA=CB，那么A AC AB cos 21=2、代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验.如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x 的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来。

数学精品复习资料因动点产生的等腰三角形问题例1 2013年上海市虹口区中考模拟第25题如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，DE⊥BC 交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ＝90°．（1）求ED、EC的长；（2）若BP＝2，求CQ的长；（3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“13虹口25”，拖动点P在射线AB上运动，可以体验到，△PDM 与△QDN保持相似．观察△PDF，可以看到，P、F可以落在对边的垂直平分线上，不存在DF＝DP的情况．请打开超级画板文件名“13虹口25”，拖动点P在射线AB上运动，可以体验到，△PDM与△QDN保持相似．观察△PDF，可以看到，P、F可以落在对边的垂直平分线上，不存在DF＝DP的情况．思路点拨1．第（2）题BP＝2分两种情况．2．解第（2）题时，画准确的示意图有利于理解题意，观察线段之间的和差关系．3．第（3）题探求等腰三角形PDF时，根据相似三角形的传递性，转化为探求等腰三角形CDQ．满分解答（1）在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8，所以BC＝10．在Rt△CDE中，CD＝5，所以315tan544ED CD C=⋅∠=⨯=，254EC=．（2）如图2，过点D作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分别为M、N，那么DM、DN是△ABC的两条中位线，DM＝4，DN＝3．由∠PDQ＝90°，∠MDN＝90°，可得∠PDM＝∠QDN．因此△PDM∽△QDN．所以43PM DMQN DN==．所以34QN PM=，43PM QN=．图2 图3 图4①如图3，当BP＝2，P在BM上时，PM＝1．此时3344QN PM==．所以319444CQ CN QN=+=+=．②如图4，当BP＝2，P在MB的延长线上时，PM＝5．此时31544QN PM==．所以1531444CQ CN QN=+=+=．（3）如图5，如图2，在Rt△PDQ中，3 tan4QD DNQPDPD DM∠===．在Rt△ABC中，3tan4BACCA∠==．所以∠QPD＝∠C．由∠PDQ＝90°，∠CDE＝90°，可得∠PDF＝∠CDQ．因此△PDF∽△CDQ．当△PDF是等腰三角形时，△CDQ也是等腰三角形．①如图5，当CQ＝CD＝5时，QN＝CQ－CN＝5－4＝1（如图3所示）．此时4433PM QN==．所以45333BP BM PM=-=-=．②如图6，当QC＝QD时，由cosCHCCQ=，可得5425258CQ=÷=．所以QN＝CN－CQ＝257488-=（如图2所示）．此时4736PM QN==．所以725366BP BM PM=+=+=．③不存在DP＝DF的情况．这是因为∠DFP≥∠DQP＞∠DPQ（如图5，图6所示）．图5 图6考点伸展如图6，当△CDQ是等腰三角形时，根据等角的余角相等，可以得到△BDP也是等腰三角形，PB＝PD．在△BDP中可以直接求解256 BP=．例2 2012年扬州市中考第27题如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△P AC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“12扬州27”，拖动点P在抛物线的对称轴上运动，可以体验到，当点P落在线段BC上时，P A＋PC最小，△P AC的周长最小．拖动点M在抛物线的对称轴上运动，观察△MAC的三个顶点与对边的垂直平分线的位置关系，可以看到，点M有1次机会落在AC的垂直平分线上；点A有2次机会落在MC的垂直平分线上；点C有2次机会落在MA的垂直平分线上，但是有1次M、A、C三点共线．思路点拨1．第（2）题是典型的“牛喝水”问题，点P在线段BC上时△P AC的周长最小．2．第（3）题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性．满分解答（1）因为抛物线与x轴交于A(－1,0)、B(3, 0)两点，设y＝a(x＋1)(x－3)，代入点C(0 ,3)，得－3a＝3．解得a＝－1．所以抛物线的函数关系式是y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3．（2）如图2，抛物线的对称轴是直线x＝1．当点P落在线段BC上时，P A＋PC最小，△P AC的周长最小．设抛物线的对称轴与x轴的交点为H．由BH PHBO CO=，BO＝CO，得PH＝BH＝2．所以点P的坐标为(1, 2)．图2 （3）点M的坐标为(1, 1)、(1,6)、(1,6-)或(1,0)．考点伸展第（3）题的解题过程是这样的：设点M的坐标为(1,m)．在△MAC中，AC2＝10，MC2＝1＋(m－3)2，MA2＝4＋m2．①如图3，当MA＝MC时，MA2＝MC2．解方程4＋m2＝1＋(m－3)2，得m＝1．此时点M的坐标为(1, 1)．②如图4，当AM＝AC时，AM2＝AC2．解方程4＋m2＝10，得6m=±．此时点M的坐标为(1,6)或(1,6-)．③如图5，当CM＝CA时，CM2＝CA2．解方程1＋(m－3)2＝10，得m＝0或6．当M(1, 6)时，M、A、C三点共线，所以此时符合条件的点M的坐标为(1,0)．图3 图4 图5例3 2012年临沂市中考第26题如图1，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“12临沂26”，拖动点P在抛物线的对称轴上运动，可以体验到，⊙O和⊙B以及OB的垂直平分线与抛物线的对称轴有一个共同的交点，当点P运动到⊙O与对称轴的另一个交点时，B、O、P三点共线．请打开超级画板文件名“12临沂26”，拖动点P，发现存在点P，使得以点P、O、B 为顶点的三角形是等腰三角形思路点拨1．用代数法探求等腰三角形分三步：先分类，按腰相等分三种情况；再根据两点间的距离公式列方程；然后解方程并检验．2．本题中等腰三角形的角度特殊，三种情况的点P重合在一起．满分解答（1）如图2，过点B作BC⊥y轴，垂足为C．OC=在Rt△OBC中，∠BOC＝30°，OB＝4，所以BC＝2，23所以点B的坐标为(2,23)--．（2）因为抛物线与x轴交于O、A(4, 0)，设抛物线的解析式为y＝ax(x－4)，代入点B (2,23)--，232(6)a -=-⨯-．解得36a =-． 所以抛物线的解析式为23323(4)663y x x x x =--=-+． （3）抛物线的对称轴是直线x ＝2，设点P 的坐标为(2, y )．①当OP ＝OB ＝4时，OP 2＝16．所以4+y 2＝16．解得23y =±．当P 在(2,23)时，B 、O 、P 三点共线（如图2）．②当BP ＝BO ＝4时，BP 2＝16．所以224(23)16y ++=．解得1223y y ==-． ③当PB ＝PO 时，PB 2＝PO 2．所以22224(23)2y y ++=+．解得23y =-．综合①、②、③，点P 的坐标为(2,23)-，如图2所示．图2 图3考点伸展如图3，在本题中，设抛物线的顶点为D ，那么△DOA 与△OAB 是两个相似的等腰三角形．由23323(4)2)y x x =-=-23D ． 因此23tan DOA ∠=DOA ＝30°，∠ODA ＝120°．例4 2011年盐城市中考第28题如图1，已知一次函数y＝－x＋7与正比例函数43y x=的图象交于点A，且与x轴交于点B．（1）求点A和点B的坐标；（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l//y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“11盐城28”，拖动点R由B向O运动，从图象中可以看到，△APR的面积有一个时刻等于8．观察△APQ，可以体验到，P在OC上时，只存在AP＝AQ的情况；P在CA上时，有三个时刻，△APQ是等腰三角形．思路点拨1．把图1复制若干个，在每一个图形中解决一个问题．2．求△APR的面积等于8，按照点P的位置分两种情况讨论．事实上，P在CA上运动时，高是定值4，最大面积为6，因此不存在面积为8的可能．3．讨论等腰三角形APQ，按照点P的位置分两种情况讨论，点P的每一种位置又要讨论三种情况．满分解答（1）解方程组7,4,3y xy x=-+⎧⎪⎨=⎪⎩得3,4.xy=⎧⎨=⎩所以点A的坐标是(3，4)．令70y x =-+=，得7x =．所以点B 的坐标是(7，0)．（2）①如图2，当P 在OC 上运动时，0≤t ＜4．由8APR ACP POR CORA S S S S =--=△△△梯形，得1113+7)44(4)(7)8222t t t t -⨯-⨯⨯--⨯-=（．整理，得28120t t -+=．解得t ＝2或t ＝6（舍去）．如图3，当P 在CA 上运动时，△APR 的最大面积为6．因此，当t ＝2时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8．图2 图3 图4②我们先讨论P 在OC 上运动时的情形，0≤t ＜4．如图1，在△AOB 中，∠B ＝45°，∠AOB ＞45°，OB ＝7，42AB =，所以OB ＞AB ．因此∠OAB ＞∠AOB ＞∠B ．如图4，点P 由O 向C 运动的过程中，OP ＝BR ＝RQ ，所以PQ //x 轴．因此∠AQP ＝45°保持不变，∠P AQ 越来越大，所以只存在∠APQ ＝∠AQP 的情况． 此时点A 在PQ 的垂直平分线上，OR ＝2CA ＝6．所以BR ＝1，t ＝1．我们再来讨论P 在CA 上运动时的情形，4≤t ＜7．在△APQ 中， 3cos 5A ∠=为定值，7AP t =-，5520333AQ OA OQ OA OR t =-=-=-． 如图5，当AP ＝AQ 时，解方程520733t t -=-，得418t =． 如图6，当QP ＝QA 时，点Q 在P A 的垂直平分线上，AP ＝2(OR －OP )．解方程72[(7)(4)]t t t -=---，得5t =．如7，当P A ＝PQ 时，那么12cos AQ A AP∠=．因此2cos AQ AP A =⋅∠．解方程52032(7)335t t -=-⨯，得22643t =． 综上所述，t ＝1或418或5或22643时，△APQ 是等腰三角形．图5 图6 图7考点伸展当P在CA上，QP＝QA时，也可以用2cosAP AQ A=⋅∠来求解．例5 2010年南通市中考第27题如图1，在矩形ABCD中，AB＝m（m是大于0的常数），BC＝8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连结DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE＝x，BF＝y．（1）求y关于x的函数关系式；（2）若m＝8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？（3）若12ym=，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？图1动感体验请打开几何画板文件名“10南通27”，拖动点E在BC上运动，观察y随x变化的函数图象，可以体验到，y是x的二次函数，抛物线的开口向下．对照图形和图象，可以看到，当E是BC的中点时，y取得最大值．双击按钮“m＝8”，拖动E到BC的中点，可以体验到，点F是AB的四等分点．拖动点A可以改变m的值，再拖动图象中标签为“y随x”的点到射线y＝x上，从图形中可以看到，此时△DC E≌△EBF．思路点拨1．证明△DCE∽△EBF，根据相似三角形的对应边成比例可以得到y关于x的函数关系式．2．第（2）题的本质是先代入，再配方求二次函数的最值．3．第（3）题头绪复杂，计算简单，分三段表达．一段是说理，如果△DEF为等腰三角形，那么得到x ＝y ；一段是计算，化简消去m ，得到关于x 的一元二次方程，解出x 的值；第三段是把前两段结合，代入求出对应的m 的值．满分解答(1)因为∠EDC 与∠FEB 都是∠DEC 的余角，所以∠EDC ＝∠FEB ．又因为∠C ＝∠B ＝90°，所以△DCE ∽△EBF ．因此DC EB CE BF =，即8m x x y -=．整理，得y 关于x 的函数关系为218y x x m m =-+． (2)如图2，当m ＝8时，2211(4)288y x x x =-+=--+．因此当x ＝4时，y 取得最大值为2． (3) 若12y m =，那么21218x x m m m=-+．整理，得28120x x -+=．解得x ＝2或x ＝6．要使△DEF 为等腰三角形，只存在ED ＝EF 的情况．因为△DCE ∽△EBF ，所以CE ＝BF ，即x ＝y ．将x ＝y ＝2代入12y m =，得m ＝6（如图3）；将x ＝y ＝6代入12y m=，得m ＝2（如图4）．图2 图3 图4考点伸展本题中蕴涵着一般性与特殊性的辩证关系，例如：由第（1）题得到218y x x m m =-+221116(8)(4)x x x m m m=--=--+， 那么不论m 为何值，当x ＝4时，y 都取得最大值．对应的几何意义是，不论AB 边为多长，当E 是BC 的中点时，BF 都取得最大值．第（2）题m ＝8是第（1）题一般性结论的一个特殊性．再如，不论m 为小于8的任何值，△DEF 都可以成为等腰三角形，这是因为方程 218x x x m m=-+总有一个根8x m =-的．第（3）题是这个一般性结论的一个特殊性．例 6 2009年江西省中考第25题如图1，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，E是AB的中点，过点E作EF//BC交CD于点F，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°．（1）求点E到BC的距离；（2）点P为线段EF上的一个动点，过点P作PM⊥EF交BC于M，过M作MN//AB 交折线ADC于N，连结PN，设EP＝x．①当点N在线段AD上时（如图2），△PMN的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN 的周长；若改变，请说明理由；②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由．图1 图2 图3动感体验请打开几何画板文件名“09江西25”，拖动点P在EF上运动，可以体验到，当N在AD上时，△PMN的形状不发生改变，四边形EGMP是矩形，四边形BMQE、四边形ABMN 是平行四边形，PH与NM互相平分．当N在DC上时，△PMN的形状发生变化，但是△CMN恒为等边三角形，分别双击按钮“PM＝PN”、“MP＝M N”和“NP＝NM”，可以显示△PMN为等腰三角形．思路点拨1．先解读这个题目的背景图，等腰梯形ABCD的中位线EF＝4，这是x的变化范围．平行线间的距离处处相等，AD与EF、EF与BC间的距离相等．2．当点N在线段AD上时，△P MN中PM和MN的长保持不变是显然的，求证PN的长是关键．图形中包含了许多的对边平行且相等，理顺线条的关系很重要．3．分三种情况讨论等腰三角形PMN，三种情况各具特殊性，灵活运用几何性质解题．满分解答（1）如图4，过点E作EG⊥BC于G．在Rt △BEG 中，221==AB BE ，∠B ＝60°， 所以160cos =︒⋅=BE BG ，360sin =︒⋅=BE EG ． 所以点E 到BC 的距离为3．（2）因为AD //EF //BC ，E 是AB 的中点，所以F 是D C 的中点．因此EF 是梯形ABCD 的中位线，EF ＝4．①如图4，当点N 在线段AD 上时，△PMN 的形状不是否发生改变．过点N 作NH ⊥EF 于H ，设PH 与NM 交于点Q ．在矩形EGMP 中，EP ＝G M ＝x ，PM ＝EG ＝3．在平行四边形BMQE 中，BM ＝EQ ＝1＋x ．所以BG ＝PQ ＝1．因为PM 与NH 平行且相等，所以PH 与NM 互相平分，PH ＝2PQ ＝2．在Rt △PNH 中，NH ＝3，PH ＝2，所以PN ＝7．在平行四边形ABMN 中，MN ＝AB ＝4．因此△PMN 的周长为3＋7＋4．图4 图5②当点N 在线段DC 上时，△CMN 恒为等边三角形．如图5，当PM ＝PN 时，△PMC 与△PNC 关于直线PC 对称，点P 在∠DCB 的平分线上．在Rt △PCM 中，PM ＝3，∠PCM ＝30°，所以MC ＝3．此时M 、P 分别为BC 、EF 的中点，x ＝2．如图6，当MP ＝MN 时，MP ＝MN ＝MC ＝3，x ＝GM ＝GC －MC ＝5－3． 如图7，当NP ＝NM 时，∠NMP ＝∠NPM ＝30°，所以∠PNM ＝120°．又因为∠FNM ＝120°，所以P 与F 重合．此时x ＝4．综上所述，当x ＝2或4或5－3时，△PMN 为等腰三角形．图6 图7 图8 考点伸展第（2）②题求等腰三角形PMN 可以这样解：如图8，以B 为原点，直线BC 为x 轴建立坐标系，设点M 的坐标为（m ，0），那么点P 的坐标为（m ，3），MN ＝MC ＝6－m ，点N 的坐标为（26+m ，2)6(3m -）． 由两点间的距离公式，得21922+-=m m PN ．当PM ＝PN 时，92192=+-m m ，解得3=m 或6=m ．此时2=x ．当MP ＝MN 时，36=-m ，解得36-=m ，此时35-=x ． 当NP ＝NM 时，22)6(219m m m -=+-，解得5=m ，此时4=x ．。

-------------动点产生的等腰三角形问题（★★★）1.理解等腰三角形的性质和判定定理；2.通过观察了解因动点产生的等腰三角形问题的特点，熟悉对应的解题方法， 掌握“动中取静，以静窥动”的解题策略；3.培养学生对图形的直觉能力以及从变化中看到不变实质的数学洞察力；4.培养学生学会挖掘题目中的隐藏条件，从未知到已知的一个转变；5.掌握动点产生的等腰三角形的分类讨论情况，并能根据题目中的条件进行求解．知识结构1.本部分建议时长5分钟.2.请学生先试着自行补全上图，发现学生有遗忘时教师帮助学生完成.“知识结构”这一部分的教学，可采用下面的策略：1.本部分建议时长20分钟.2.进行例题讲解时，教师宜先请学生试着自行解答.若学生能正确解答，则不必做过多的讲解；若学生不能正确解答，教师应对相关概念、公式进行进一步辨析后再讲解例题.3.在每一道例题之后设置了变式训练题，应在例题讲解后鼓励学生独立完成，以判断学生是否真正掌握了相关考点和题型.4.教师应正确处理好例题与变式训练题之间的关系，宜采用讲练结合的方式，切不可将所有例题都讲完后再让学生做变式训练题.例题1如图，在直角三角形ABC 中，直角边3cm 4cm AC BC ==，．设P Q ，分别为AB,BC 上的动点，在点P 自点A 沿AB 方向向点B 作匀速移动的同时，点Q 自点B 沿BC 方向向点C 作匀速移动，它们移动的速度均为每秒1cm ，当Q 点到达C 点时，P 点就停止移动.设P Q ，移动的时间t 秒．当t 为何值时，PBQ △为等腰三角形？（★★★）解答方法：1.由勾股定理求得AB=5cm ，通过已知可以知道BP 、BQ 均能用t 的代数式表示；2.等腰三角形分类讨论：当△PBQ 为等腰三角形时，分三种情况 ①当PB=PQ 时，通过等腰三角形的三线合一性质，过点P 作BQ 的高PM ，得到BM=QM ，此时有RT △BPM ，有两种方法：一是通过PM ∥AC 得到对应线段成比例，另外一种是通过∠B 的余弦值求解； ②当BQ=BP 时，直接求出t ；③当QB=QP 时，同第一种情况．答案：若BPQ △是等腰三角形．①如图，当PB PQ = 时，过点P 作BC 的垂线， 垂足为M ，则有BM MQ =． “典例精讲”这一部分的教学，可采用下面的策略：ACB PQ方法一：由BMP BCA △∽△，得BM BPBC BA=， ∴(5)420455BP BC t tBM BA ⋅-⋅-===． ∴20452t t -=，解得4013t =．方法二：在Rt BMP △中，45cos 25t BM BC BP t BM BC BP BA =-====，，∠A ∴4255tt =-，解得4013t =．②当BQ BP =时，有5t t =-，解得52t =．③如图，当QB QP =时，自点Q 向AB 引垂线，垂足为N ． 由Rt Rt BNQ BCA △∽△，得BN BQBC BA=． ∴5245tt-=，解得2513t =．我来试一试！如图，在直角梯形ABCD 中，//AD BC ，90C ∠=︒,6,BC =9AD =，5AB =．动点P 、Q 分别从点D 、B 同时出发，动点P 沿射线DA 的方向以每秒1个单位长的速度运动，动点Q 在线段BC 上以相同速度向点C 运动，当点Q 运动到点C 时，点P 随之停止运动．设运动的时间为t （秒）；联结BP 、PQ ，当BPQ ∆能否为等腰三角形，请求出t 的值．（★★★）解答方法：1.过B 点作BH ⊥AD ，通过已知求出BH 、AH 的长，然后我们发现BQ 、PQ 、PB 都能用含t 的代数式表示；2.等腰三角形分类讨论，分三种情况，分别是BQ=BP 、PB=PQ 、QB=QP ，分别代入含t 的代数式建立方程，解方程即可。

目录第一部分函数图象中点的存在性问题1.1 因动点产生的相似三角形问题例1 2015年上海市宝山嘉定区中考模拟第24题例2 2014年武汉市中考第24题例3 2012年苏州市中考第29题例4 2012年黄冈市中考第25题例5 2010年义乌市中考第24题例6 2009年临沂市中考第26题1.2 因动点产生的等腰三角形问题例1 2015年重庆市中考第25题例2 2014年长沙市中考第第26题例3 2013年上海市虹口区中考模拟第25题例42012年扬州市中考第27题例5 2012年临沂市中考第26题例62011年盐城市中考第28题1.3 因动点产生的直角三角形问题例12015年上海市虹口区中考模拟第25题例22014年苏州市中考第29题例3 2013年山西省中考第26题例4 2012年广州市中考第24题例5 2012年杭州市中考第22题例6 2011年浙江省中考第23题例7 2010年北京市中考第24题1.4 因动点产生的平行四边形问题例1 2015年成都市中考第28题例2 2014年陕西省中考第24题例3 2013年上海市松江区中考模拟第24题例42012年福州市中考第21题例5 2012年烟台市中考第26题例6 2011年上海市中考第24题例7 2011年江西省中考第24题1.5 因动点产生的梯形问题例1 2015年上海市徐汇区中考模拟第24题例2 2014年上海市金山区中考模拟第24题例3 2012年上海市松江中考模拟第24题例4 2012年衢州市中考第24题例5 2011年义乌市中考第24题1.6 因动点产生的面积问题例1 2015年河南市中考第23题例22014年昆明市中考第23题例3 2013年苏州市中考第29题例4 2012年菏泽市中考第21题例5 2012年河南省中考第23题例62011年南通市中考第28题例72010年广州市中考第25题1.7因动点产生的相切问题例12015年上海市闵行区中考模拟第24题例22014年上海市徐汇区中考模拟第25题例3 2013年上海市杨浦区中考模拟第25题1.8因动点产生的线段和差问题例1 2015年福州市中考第26题例22014年广州市中考第24题例3 2013年天津市中考第25题例4 2012年滨州市中考第24题第二部分图形运动中的函数关系问题2.1 由比例线段产生的函数关系问题例12015年呼和浩特市中考第25题例22014年上海市徐汇区中考模拟第25题例3 2013年宁波市中考第26题例4 2012年上海市徐汇区中考模拟第25题2.2 由面积公式产生的函数关系问题例12015年上海市徐汇区中考模拟第25题例2 2014年黄冈市中考第25题例3 2013年菏泽市中考第21题例4 2012年广东省中考第22题例5 2012年河北省中考第26题例6 2011年淮安市中考第28题第三部分图形运动中的计算说理问题3.1 代数计算及通过代数计算进行说理问题例12015年北京市中考第29题例2 2014年福州市中考第22题例3 2013年南京市中考第26题3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题例12015年杭州市中考第22题例2 2014年安徽省中考第23题例3 2013年上海市黄浦区中考模拟第24题第四部分图形的平移翻折与旋转4.1图形的平移例12015年泰安市中考第15题例2 2014年江西省中考第11题4.2图形的翻折例1 2015年上海市宝山区嘉定区中考模拟第18题例2 2014年上海市中考第18题4.3图形的旋转例12015年扬州市中考第17题例2 2014年上海市黄浦区中考模拟第18题4.4三角形例12015年上海市长宁区中考模拟第18题例2 2014年泰州市中考第16题4.5四边形例12015年安徽省中考第19题例2 2014年广州市中考第8题4.6圆例12015年兰州市中考第15题例22014年温州市中考第16题4.7函数图像的性质例12015年青岛市中考第8题例2 2014年苏州市中考第18题第一部分函数图象中点的存在性问题1.1 因动点产生的相似三角形问题例1 2015年上海市宝山区嘉定区中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系中，双曲线（k≠0）与直线y＝x＋2都经过点A(2, m)．（1）求k与m的值；（2）此双曲线又经过点B(n, 2)，过点B的直线BC与直线y＝x＋2平行交y轴于点C，联结AB、AC，求△ABC的面积；（3）在（2）的条件下，设直线y＝x＋2与y轴交于点D，在射线CB上有一点E，如果以点A、C、E所组成的三角形与△ACD相似，且相似比不为1，求点E 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“15宝山嘉定24”，拖动点E在射线CB上运动，可以体验到，△ACE与△ACD相似，存在两种情况．思路点拨1．直线AD//BC，与坐标轴的夹角为45°．2．求△ABC的面积，一般用割补法．3．讨论△ACE与△ACD相似，先寻找一组等角，再根据对应边成比例分两种情况列方程．满分解答（1）将点A(2, m)代入y＝x＋2，得m＝4．所以点A的坐标为(2, 4)．将点A(2, 4)代入ky，得k＝8．x（2）将点B(n, 2)，代入8y x =，得n ＝4． 所以点B 的坐标为(4, 2)． 设直线BC 为y ＝x ＋b ，代入点B(4,2)，得b ＝－2．所以点C 的坐标为(0,－2)．由A(2, 4)、B(4, 2)、C (0,－2)，可知A 、B 两点间的水平距离和竖直距离都是2，B 、C 两点间的水平距离和竖直距离都是4．所以AB ＝22，BC ＝42，∠ABC ＝90°． 图2所以S △ABC ＝12BA BC ⋅＝122422⨯⨯＝8． （3）由A(2, 4)、D(0, 2)、C (0,－2)，得AD ＝22，AC ＝210． 由于∠DAC ＋∠ACD ＝45°，∠ACE ＋∠ACD ＝45°，所以∠DAC ＝∠ACE ．所以△ACE 与△ACD 相似，分两种情况：①如图3，当CE AD CA AC =时，CE ＝AD ＝22．此时△ACD ≌△CAE ，相似比为1．②如图4，当CE AC CA AD=时，21021022=．解得CE ＝102．此时C 、E 两点间的水平距离和竖直距离都是10，所以E(10, 8)．图3 图4 考点伸展第（2）题我们在计算△ABC 的面积时，恰好△ABC 是直角三角形．一般情况下，在坐标平面内计算图形的面积，用割补法．如图5，作△ABC的外接矩形HCNM，MN//y轴．由S矩形HCNM＝24，S△AHC＝6，S△AMB＝2，S△BCN＝8，得S△ABC＝8．图5例22014年武汉市中考第24题如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；（2）如图2，连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值；（3）试证明：PQ的中点在△ABC的一条中位线上．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“14武汉24”，拖动点P运动，可以体验到，若△BPQ可以两次成为直角三角形，与△ABC相似．当AQ⊥CP时，△ACQ∽△CDP．PQ 的中点H在△ABC的中位线EF上．思路点拨1．△BPQ与△ABC有公共角，按照夹角相等，对应边成比例，分两种情况列方程．2．作PD⊥BC于D，动点P、Q的速度，暗含了BD＝CQ．3．PQ的中点H在哪条中位线上？画两个不同时刻P、Q、H的位置，一目了然．满分解答（1）Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，所以AB＝10．△BPQ 与△ABC 相似，存在两种情况：① 如果BP BA BQ BC =，那么510848t t =-．解得t ＝1． ② 如果BP BC BQ BA =，那么588410t t =-．解得3241t =． 图3 图4（2）作PD ⊥BC ，垂足为D ．在Rt △BPD 中，BP ＝5t ，cosB ＝45，所以BD ＝BPcosB ＝4t ，PD ＝3t ．当AQ ⊥CP 时，△ACQ ∽△CDP ． 所以AC CD QC PD =，即68443t t t -=．解得78t =．图5 图6（3）如图4，过PQ 的中点H 作BC 的垂线，垂足为F ，交AB 于E ．由于H 是PQ 的中点，HF//PD ，所以F 是QD 的中点．又因为BD ＝CQ ＝4t ，所以BF ＝CF ．因此F 是BC 的中点，E 是AB 的中点．所以PQ 的中点H 在△ABC 的中位线EF 上．考点伸展本题情景下，如果以PQ 为直径的⊙H 与△ABC 的边相切，求t 的值．如图7，当⊙H 与AB 相切时，QP ⊥AB ，就是BP BC BQ BA=，3241t =． 如图8，当⊙H 与BC 相切时，PQ ⊥BC ，就是BP BA BQ BC =，t ＝1．如图9，当⊙H 与AC 相切时，直径PQ半径等于FC ＝48=． 解得12873t =，或t ＝0（如图10，但是与已知0＜t ＜2矛盾）．图7 图 8 图9 图10例3 2012年苏州市中考第29题如图1，已知抛物线211(1)444b y x b x =-++（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 是左侧），与y 轴的正半轴交于点C ．（1）点B 的坐标为______，点C 的坐标为__________（用含b 的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“12苏州29”，拖动点B 在x 轴的正半轴上运动，可以体验到，点P 到两坐标轴的距离相等，存在四边形PCOB 的面积等于2b 的时刻．双击按钮“第（3）题”，拖动点B ，可以体验到，存在∠OQA ＝∠B 的时刻，也存在∠OQ′A ＝∠B 的时刻．思路点拨1．第（2）题中，等腰直角三角形PBC 暗示了点P 到两坐标轴的距离相等．2．联结OP ，把四边形PCOB 重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含b 的式子表示．3．第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点Q 最大的可能在经过点A 与x 轴垂直的直线上．满分解答（1）B 的坐标为(b, 0)，点C 的坐标为(0, 4b )． （2）如图2，过点P 作PD ⊥x 轴，PE ⊥y 轴，垂足分别为D 、E ，那么△PDB ≌△PEC ．因此PD ＝PE ．设点P 的坐标为(x, x)．如图3，联结OP ．所以S 四边形PCOB ＝S △PCO ＋S △PBO ＝1152428b x b x bx ⨯⋅+⨯⋅=＝2b ． 解得165x =．所以点P 的坐标为(1616,55)． 图2 图3（3）由2111(1)(1)()4444b y x b x x x b =-++=--，得A(1, 0)，OA ＝1．①如图4，以OA 、OC 为邻边构造矩形OAQC ，那么△OQC ≌△QOA ． 当BA QA QA OA=，即2QA BA OA =⋅时，△BQA ∽△QOA ． 所以2()14b b =-．解得8b =±Q 为(1,2+．②如图5，以OC 为直径的圆与直线x ＝1交于点Q ，那么∠OQC ＝90°。