压杆稳定临界力欧拉公式统一推导

06、基本知识 怎样推导压杆的临界力和临界应力公式（供参考） 同学们学习下面内容后，一定要向老师回信（849896803@qq.con ），说出你对本资料的看法（收获、不懂的地方、 资料有错的地方），以便考核你的平时成绩和改进我的工作。

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1*问题的提出及其对策 ............................................................................. 1 1.1问题的提出及其对策 .......................................................................... 1 1.2压杆稳定分析概述一一与强度、刚度分析对比 ................................................... 2 2压杆临界压力 F cr 的计算公式 ...................................................................... 3 2.1压杆稳定的力学模型一一弯曲平衡 ............................................................. 3 2.2梁的平衡理论一一梁的挠曲微分方程 ........................................................... 4 2.3按梁的平衡理论分析两端铰支的压杆临界压力 ................................................... 6 2.4按梁的平衡理论分析一端固定一端自由的压杆临界压力 ........................................... 8 2.5按梁的平衡理论分析一端固定一端铰支的压杆临界压力 .......................................... 10 2.6按梁的平衡理论分析两端固定的压杆临界压力 .................................................. 14 2.7将四种理想压杆模型的临界力公式及其推导分析图示的汇总 (18)1*问题的提出及其对策1.1问题的提出及其对策试计算长度为400mm ，宽度为10mm ，厚度为1mm 的钢锯条，在一端固定、一端铰支 的情况下，许用的轴向压力。

压杆稳定问题中,欧拉公式成立的条件(一)压杆稳定问题中，欧拉公式成立的条件1. 引言在静力学中，我们经常遇到压杆稳定问题。

欧拉公式是研究压杆稳定性的重要工具之一。

本文将阐述欧拉公式成立的条件。

2. 什么是欧拉公式？欧拉公式是描述弹性直杆稳定性的一种公式。

它的数学表达式为：Fcr = (π² * E * I) / L²其中，Fcr代表临界压力，E是弹性模量，I是截面惯性矩，L是杆件的有效长度。

3. 欧拉公式的作用欧拉公式可以用来判断压杆在不同条件下是否会发生稳定失效。

当施加的压力小于临界压力时，压杆稳定；当施加的压力大于临界压力时，压杆会发生屈曲失稳。

4. 欧拉公式的前提条件要保证欧拉公式成立，有以下几个关键的前提条件：•材料是均匀的弹性材料；•杆件是直线型的；•杆件的截面是均匀的；•杆件的两端是固定的。

如果以上条件不满足，欧拉公式可能不适用，需要采用其他方法进行稳定性分析。

5. 欧拉公式的局限性尽管欧拉公式在很多情况下都具有很好的适用性，但也存在一些局限性：•欧拉公式忽略了杆件在屈曲时的非线性行为，因此在较大的弯曲时可能不准确；•欧拉公式适用于线弹性材料，在非线性材料中应用时需要额外的修正或采用其他方法。

6. 结语欧拉公式提供了一种简单但有效的判断压杆稳定性的方法。

在满足一定的前提条件下，我们可以使用欧拉公式来判断压杆是否会发生屈曲失稳。

然而，在实际工程中，我们需要根据具体情况进行综合分析，避免忽略其他因素的影响。

参考文献： [1] 郭华东. 弹性力学[M]. 北京：高等教育出版社, 2014. [2] Timoshenko, S. P., & Gere, J. M. (1961). Theory of elastic stability[M]. McGraw-Hill.以上为本文的主要内容，通过介绍欧拉公式的成立条件，我们可以更好地理解压杆稳定问题。

希望这篇文章对您有所帮助！。

细长压杆的临界⼒公式—欧拉公式.10.2 细长压杆的临界⼒公式—欧拉公式⼀、两端铰⽀压杆的临界⼒图9—4为两端受压杆件，⼈们经过对不同长度（l ），不同截⾯（I ），不同材料（E ）的压杆在内⼒不超过材料的⽐例极限时发⽣失稳的临界⼒P cr 研究得知： 22lPcr EI=π（9—1）式中：π—圆周率；E —材料的弹性摸量；l —杆件长度；I —杆件截⾯对⾏⼼主轴的惯性矩。

图9-4当杆端在各⽅向的约束情况相同时，压杆总是在抗弯刚度最⼩的纵向平⾯内失稳，所以（9-1）式中的惯性矩应取截⾯最⼩的形⼼惯性矩I min 。

瑞⼠科学家欧拉（L.Eular ）早在18世纪，就对理想细长压杆在弹性范围的稳定性进⾏了研究。

从理论上证明了上述（9-1）式是正确的，因此（9-1）式⼜称为计算临界⼒的欧拉公式。

⼆、杆端⽀承对临界⼒的影响图9-5（a）（b）（c）（d）⼯程上常见的杆端⽀承形式主要有四种，如图9-5所⽰，欧拉进⼀步研究得出各种⽀承情况下的临界⼒。

如⼀端固定，⼀端⾃由的杆件，这种⽀承形式下压杆的临界⼒，只要在（9-1）式中以2l 代替l 即可。

()222l P cr EI=π（a ）同理，可得两端固定⽀承的临界⼒为()225.0l P cr EI=π（b ）⼀端固定，⼀端铰⽀压杆的临界⼒为 ()227.0l P cr EIπ（c ）式（a ），(b)，(c)和（9-1）可归纳为统⼀的表达式()22l P cr µπEI = （9-2）式中l µ称为压杆计算长度，µ称为长度系数，⼏种不同杆端⽀承的各µ值列于表9—1中，µ反映了杆端⽀承情况对临界⼒的影响。

表9-1 各种杆端⽀承压杆的长度系数图例9.1 图⽰轴⼼受压杆，截⾯⾯积为10mm ?20mm 。

已知其为细长杆，弹性模量E=200GPa ，试计算其临界⼒。

2m20图9-6单位：mm解：由杆件的约束形式可知：7.0=µ4333min1067.112102012mm hb I I y ?=?===临界⼒：223320010 1.67101076.2 1.076()(0.7 2.510)cr EI P N kN l ππµ====?? 三、临界应⼒和柔度在临界⼒的作⽤下，细长压杆横截⾯上的平均应⼒叫做压杆的临界应⼒，⽤cr σ表⽰。

材料力学压杆稳定概念欧拉公式计算临界力材料力学是研究物体受力及变形行为的一门学科。

压杆稳定是材料力学中重要的概念之一、当一个杆件受到作用力时，如果杆件不发生任何形状上的变化，我们称之为杆件处于稳定状态。

然而，当作用力超过一定临界值时，杆件就会发生失稳，产生形状上的变化。

因此，欧拉公式就是用来计算杆件临界力的一种方式。

欧拉公式由瑞士数学家欧拉于18世纪中叶首次提出。

它的基本假设是杆件是理想化的，即杆件是均匀、无缺陷、具有均匀截面的杆件。

根据欧拉公式，杆件临界力可通过以下公式计算：Pcr = (π^2 * E * I) / L^2其中，Pcr表示临界力，E表示杨氏模量，I表示截面惯性矩，L表示杆件的有效长度。

从上述公式中可以看出，临界力与材料的弹性模量有关，即材料越硬，临界力越大；同时临界力与截面的形状也有关，即截面惯性矩越大，临界力越大；临界力还与杆件长度有关，即杆件越短，临界力越大。

例子：假设有一根长为L的无缺陷的圆柱形杆件，其截面半径为r，杨氏模量为E。

根据材料力学的知识，该圆柱形杆件的截面惯性矩可计算为I=(π*r^4)/4Pcr = (π^2 * E * ((π * r^4) / 4) ) / L^2通过上述公式，可以计算出该无缺陷的圆柱形杆件的临界力。

这个临界力表示了该杆件能够承受的最大作用力。

如果作用力超过了临界力，该杆件将发生失稳，产生形状上的变化。

总结起来，材料力学中的压杆稳定概念是指杆件在受力作用下不发生形状上的变化。

欧拉公式是用来计算杆件临界力的一种常用公式，可以帮助工程师们确定杆件的最大承载能力。

压杆稳定问题中,欧拉公式成立的条件以压杆稳定问题中，欧拉公式成立的条件为题，我们来探讨一下这个问题。

压杆稳定问题是工程力学中的一个经典问题，研究的是在受到外力作用下，压杆是否会发生失稳。

而欧拉公式则是描述了在何种条件下，压杆会发生失稳的公式。

我们来看一下欧拉公式的表达式。

欧拉公式可以用数学语言来表示为Fcr = π²EI / L²，其中Fcr表示压杆的临界压力，E表示杨氏模量，I表示截面惯性矩，L表示杆长。

这个公式告诉我们，只有当外力超过了临界压力时，压杆才会发生失稳。

那么，欧拉公式成立的条件是什么呢？欧拉公式的推导是基于一些假设条件的。

这些条件包括：杆件是理想的无限细杆，杆的截面是均匀的，杆材的弹性模量是常数，杆件的边界条件是完美固定或者挠度为零。

只有在满足这些条件的情况下，欧拉公式才能成立。

欧拉公式的成立还与杆件的形状有关。

对于不同形状的杆件，其欧拉公式的形式也会有所不同。

例如，对于长方形截面的杆件，欧拉公式可以写成Fcr = π²Ebh² / L²，其中b和h分别表示杆件的宽度和高度。

对于圆形截面的杆件，欧拉公式可以写成Fcr = π²Eπr⁴ / L²，其中r表示杆件的半径。

欧拉公式还要求杆件处于稳定的静力平衡状态。

也就是说，在外力作用下，杆件的挠度要小到可以忽略不计。

如果杆件的挠度过大，那么欧拉公式就不再适用。

欧拉公式成立的条件还包括杆件的材料特性。

杆件的弹性模量E是杆件材料的一个重要参数，它描述了杆件材料的刚度。

当杆件的材料刚度较大时，欧拉公式更加准确。

欧拉公式成立的条件包括：杆件是理想的无限细杆，杆的截面是均匀的，杆材的弹性模量是常数，杆件的边界条件是完美固定或者挠度为零；杆件处于稳定的静力平衡状态；杆件的形状和材料特性。

在工程实践中，我们经常使用欧拉公式来计算杆件的临界压力，以确定杆件是否会发生失稳。

通过合理选择杆件的形状和材料，我们可以满足欧拉公式成立的条件，从而保证杆件的稳定性。

压杆临界力的计算公式1.欧拉公式：欧拉公式是压杆稳定性分析中最常用的一种方法。

根据欧拉公式，压杆的临界力可以通过以下公式计算：Pcr = ((π^2)EI) / ((KL)^2)其中，Pcr表示压杆的临界力，E表示材料的弹性模量，I表示压杆的截面面积惯性矩，K表示杆的端部支座的系数，L表示杆的长度。

欧拉公式适用于较细长的压杆，在其它条件相同的情况下，杆的截面越大，临界力就越大；杆的长度越长，临界力就越小。

同时，欧拉公式适用于直线变形的杆，不能用于弯曲变形。

2.莱昂哈德公式：莱昂哈德公式是考虑了杆的端部支座的影响，在欧拉公式的基础上进行修正的公式。

该公式计算压杆的临界力如下：Pcr = ((KLEI) / (r + ((2L)/π)) ^ 2)其中，Pcr表示压杆的临界力，E表示材料的弹性模量，I表示压杆的截面面积惯性矩，K表示杆的端部支座的系数，L表示杆的长度，r表示杆的端部支座的半径。

3. Adomian分解法：Adomian分解法是一种近似求解非线性微分方程的方法，在压杆临界力的计算中也有应用。

该方法通过将非线性方程分解为无穷级数的形式，然后将其逐级近似求解。

Adomian分解法的具体步骤如下：-(1)将压杆的平衡方程进行分解：Mx''(x)+f(x)=0，其中，M表示压杆的弯矩，f(x)表示外力。

-(2)将平衡方程表示为无穷级数的形式：x''(x)=∑An(x)。

-(3)通过逐级近似求解无穷级数，得到压杆临界力。

Adomian分解法的优点是可以处理非线性问题，但是在具体应用中需要取不同级数的项进行求解，并选择适当的近似方法。

4.极限平衡法：极限平衡法是一种通过平衡条件来确定压杆临界力的方法，它适用于复杂的压杆分析问题。

该方法的基本思想是，在压杆失稳之前，杆的初始形状必须满足平衡条件。

具体步骤如下：-(1)假设杆的初始形状（如弯曲、扭转等）。

-(2)根据平衡条件计算外力和内力。

压杆临界力的计算公式压杆是一种常见的结构元件，常用于支撑和稳定物体或构件。

在设计和使用压杆时，需要确定其临界力，以确保结构的安全和可靠性。

压杆临界力的计算公式是压杆弹性稳定性理论的基础，可以通过以下两种方法进行计算：欧拉理论和约化截面方法。

一、欧拉理论欧拉理论是压杆临界力计算中最常用的方法，它基于对杆件弯曲和稳定性失效模式的分析。

根据杆件的两个主要失效模式，分别为弯曲和扭曲失效。

当压杆受外力作用时，其会出现弯曲失效。

欧拉理论中，弯曲失效的计算公式如下：Pcr = [(π^2 * E * I) / (K * L)^2]其中，Pcr为压杆临界力（单位为N或kg），E为材料的弹性模量（单位为N/m^2或Pa），I为压杆的截面转动惯量（单位为m^4），K为压杆的约束条件系数，L为压杆长度（单位为m）。

约束条件系数K的取值与杆件的边界条件有关。

对于两个端部固定的压杆，K为1；对于一个端部固定、一个端部自由的压杆，K为2当压杆长度较短或杆件较细时，可能发生扭曲失效。

扭曲失效的临界力计算公式如下：Pcr = [(π^2 * G * J) / (K * L)^2]其中，Pcr为压杆临界力（单位为N或kg），G为材料的剪切模量（单位为N/m^2或Pa），J为压杆的极值惯量（单位为m^4）。

约束条件系数K的取值与杆件的边界条件有关。

二、约化截面方法约化截面方法是另一种常用的计算压杆临界力的方法，它考虑了截面的纵向应力和弯曲应力分布情况，并将压杆截面的有效面积进行了约化处理。

约化截面方法的计算公式如下：Pcr = Fc * A其中，Pcr为压杆临界力（单位为N或kg），Fc为约化截面的抗压强度（单位为N/m^2或Pa），A为压杆截面的有效面积（单位为m^2）。

约化截面的抗压强度Fc可以根据压杆所使用的材料和截面形状进行查表或计算。

需要注意的是，欧拉理论和约化截面方法都是理论模型，实际工程中应该根据实际情况选择合适的安全系数。

第二节临界力和欧拉公式浏览字体设置：- 11pt+ 10pt12pt14pt16pt放入我的网络收藏夹第二节临界力和欧拉公式杆件所受压力逐渐增加到某个限度时，压杆将由稳定状态转化为不稳定状态。

这个压力的限度称为临界力P cr。

它是压杆保持直线稳定形状时所能承受的最小压力。

为了计算压杆的稳定性，就要确定临界力的大小。

通过实验和理论推导，压杆临界力与各个因素有关：(1) 压杆的材料，P cr与材料的弹性模量E成正比，即(2）压杆横截面的形状和尺寸，P cr与压杆横截面的轴惯性矩J成正比，即(3) 压杆的长度，P cr与长度的平方l2成反比，即(4) 压杆两端的支座形式有关，用一个系数表示，称为支座系数，列于表1-10。

表1-10 压杆长度系数杆端约束情况两端固定一端固定一端铰支两端铰支一端固定一端自由长度系数0.5 ≈0.7 1.0 2.0压杆的挠曲线形状为计算方便，写成细长中心受压直杆临界力的欧拉公式对于两端铰支的细长中心受压直杆，当其在临界力cr P，的作用下处于不稳定直线形式的平衡状态，若其材料仍处于理想的线弹性范围内，从力学的观点讲，这类稳定问题称为线弹性稳定问题。

这是压杆稳定问题中最简单的一种。

由临界力的定义可知，中心受压直杆只有在临界力的作用下才有可能在微弯形态下维持平衡(见图7-3)。

现假设压杆轴线在临界力cr P作用下呈图7-3(b)所示的曲线形态。

在图示的坐标系下，压力cr P取正值，位移忙V=f(x)以沿y轴正方向为正，弯矩的正负号规定同2.3节。

压杆任一x 截面上弯矩为将式(7-1a)代入挠曲线的近似微分方程(6-8h)中，并利用压杆支承处的边界条件就可求出压杆的挠曲线的表达式，并进一步导出压杆承受的临界力crP 。

这个临界力实际也就是使压杆维持微弯平衡的．．．．．．．．．．最小压力．．．．。

将式(7-1a)代入公式(6-8h)可得其中I 为压杆横截面的最小形心主惯性矩。

令公式(7-1b)可改写为如下形式的二阶常系数线性微分方程其通解为式中A 、B 、k 三个待定常数可利用该挠曲线的三个边界条件来确定。