压杆临界力的计算公式

细长压杆的临界⼒公式—欧拉公式.10.2 细长压杆的临界⼒公式—欧拉公式⼀、两端铰⽀压杆的临界⼒图9—4为两端受压杆件，⼈们经过对不同长度（l ），不同截⾯（I ），不同材料（E ）的压杆在内⼒不超过材料的⽐例极限时发⽣失稳的临界⼒P cr 研究得知： 22lPcr EI=π（9—1）式中：π—圆周率；E —材料的弹性摸量；l —杆件长度；I —杆件截⾯对⾏⼼主轴的惯性矩。

图9-4当杆端在各⽅向的约束情况相同时，压杆总是在抗弯刚度最⼩的纵向平⾯内失稳，所以（9-1）式中的惯性矩应取截⾯最⼩的形⼼惯性矩I min 。

瑞⼠科学家欧拉（L.Eular ）早在18世纪，就对理想细长压杆在弹性范围的稳定性进⾏了研究。

从理论上证明了上述（9-1）式是正确的，因此（9-1）式⼜称为计算临界⼒的欧拉公式。

⼆、杆端⽀承对临界⼒的影响图9-5（a）（b）（c）（d）⼯程上常见的杆端⽀承形式主要有四种，如图9-5所⽰，欧拉进⼀步研究得出各种⽀承情况下的临界⼒。

如⼀端固定，⼀端⾃由的杆件，这种⽀承形式下压杆的临界⼒，只要在（9-1）式中以2l 代替l 即可。

()222l P cr EI=π（a ）同理，可得两端固定⽀承的临界⼒为()225.0l P cr EI=π（b ）⼀端固定，⼀端铰⽀压杆的临界⼒为 ()227.0l P cr EIπ（c ）式（a ），(b)，(c)和（9-1）可归纳为统⼀的表达式()22l P cr µπEI = （9-2）式中l µ称为压杆计算长度，µ称为长度系数，⼏种不同杆端⽀承的各µ值列于表9—1中，µ反映了杆端⽀承情况对临界⼒的影响。

表9-1 各种杆端⽀承压杆的长度系数图例9.1 图⽰轴⼼受压杆，截⾯⾯积为10mm ?20mm 。

已知其为细长杆，弹性模量E=200GPa ，试计算其临界⼒。

2m20图9-6单位：mm解：由杆件的约束形式可知：7.0=µ4333min1067.112102012mm hb I I y ?=?===临界⼒：223320010 1.67101076.2 1.076()(0.7 2.510)cr EI P N kN l ππµ====?? 三、临界应⼒和柔度在临界⼒的作⽤下，细长压杆横截⾯上的平均应⼒叫做压杆的临界应⼒，⽤cr σ表⽰。

压杆临界力的计算公式压杆是一种常见的结构元件，常用于支撑和稳定物体或构件。

在设计和使用压杆时，需要确定其临界力，以确保结构的安全和可靠性。

压杆临界力的计算公式是压杆弹性稳定性理论的基础，可以通过以下两种方法进行计算：欧拉理论和约化截面方法。

一、欧拉理论欧拉理论是压杆临界力计算中最常用的方法，它基于对杆件弯曲和稳定性失效模式的分析。

根据杆件的两个主要失效模式，分别为弯曲和扭曲失效。

当压杆受外力作用时，其会出现弯曲失效。

欧拉理论中，弯曲失效的计算公式如下：Pcr = [(π^2 * E * I) / (K * L)^2]其中，Pcr为压杆临界力（单位为N或kg），E为材料的弹性模量（单位为N/m^2或Pa），I为压杆的截面转动惯量（单位为m^4），K为压杆的约束条件系数，L为压杆长度（单位为m）。

约束条件系数K的取值与杆件的边界条件有关。

对于两个端部固定的压杆，K为1；对于一个端部固定、一个端部自由的压杆，K为2当压杆长度较短或杆件较细时，可能发生扭曲失效。

扭曲失效的临界力计算公式如下：Pcr = [(π^2 * G * J) / (K * L)^2]其中，Pcr为压杆临界力（单位为N或kg），G为材料的剪切模量（单位为N/m^2或Pa），J为压杆的极值惯量（单位为m^4）。

约束条件系数K的取值与杆件的边界条件有关。

二、约化截面方法约化截面方法是另一种常用的计算压杆临界力的方法，它考虑了截面的纵向应力和弯曲应力分布情况，并将压杆截面的有效面积进行了约化处理。

约化截面方法的计算公式如下：Pcr = Fc * A其中，Pcr为压杆临界力（单位为N或kg），Fc为约化截面的抗压强度（单位为N/m^2或Pa），A为压杆截面的有效面积（单位为m^2）。

约化截面的抗压强度Fc可以根据压杆所使用的材料和截面形状进行查表或计算。

需要注意的是，欧拉理论和约化截面方法都是理论模型，实际工程中应该根据实际情况选择合适的安全系数。

压杆临界力的计算公式：悬臂梁端部的最大位移为：5抗震概念设计：（1）选择对抗震有利的场地，开阔平坦密实均匀中硬土地段；（2）建筑物形状力求简单、规则，质量中心和刚度中心靠近，以免地震发生扭转和应力集中而形成薄弱环节；（3）选择技术先进经济合理的抗震结构体系；（4）保证结构整体性，结构和连接部位具有较好的延性；（5）选择抗震性能较好的材料；（6）非结构构件应与承重结构有可靠的连接以满足抗震要求。

1）多层砌体房屋设构造柱；设圈梁，并与构造柱相连；加强墙体的连接，楼板和梁应有足够的长度和可靠连接；加强楼梯间整体性。

（2）框架结构①把框架设计成延性框架，遵守强柱、强节点、强锚固，避免短柱、加强角柱，框架沿高度不宜突变，避免出现薄弱层；②控制最小配筋率，限制配筋最小直径；③受力筋锚固适当加长，节点处箍筋的适当加密。

1楼梯的梯段净宽应根据建筑使用的特征，一般按每股人流为0.55+（0～0.15）m的人流股数确定，并不应少于两股人流。

2住宅套内楼梯的梯段净宽，当一边临空时，不应小于0.75m；当两侧有墙时，不应小于0.9m。

套内楼梯的度不应大于0.20m，扇形踏步转角距扶手边0.25m处，宽度不应小于0.22m。

3楼梯休息平台宽度应大于或等于梯段宽度；楼梯踏步的宽度b和高度h的关系应满足：2h+b=600～620mm；每个梯段的踏步一般不应超过18级，亦不应少于3级。

4楼梯平台上部及下部过道处的净高不应小于2m，梯段净高不应小于2.20m。

5室内楼梯扶手高度自踏步前缘线量起不宜小于0.90m。

楼梯水平段栏杆长度大于0.50m时，其扶手高度不应小于1.05m。

7、建筑工程质量不符合要求时的处理：（1）经返工重做或更换器具、设备的检验批，应重新进行验收；（2）经有资质的检测单位检测鉴定能够达到设计要求的检验批，应予以验收；（3）经有资质的检测单位鉴定达不到设计要求，但经原设计单位核算认可能够满足结构安全和使用功能要求的检验批，可予以验收；（4）经返修或加固处理的分部、分项工程，虽然改变外形尺寸但仍能满足安全使用要求，可按技术处理方案和协商文件进行验收。

第二节临界力和欧拉公式浏览字体设置：- 11pt+ 10pt12pt14pt16pt放入我的网络收藏夹第二节临界力和欧拉公式杆件所受压力逐渐增加到某个限度时，压杆将由稳定状态转化为不稳定状态。

这个压力的限度称为临界力P cr。

它是压杆保持直线稳定形状时所能承受的最小压力。

为了计算压杆的稳定性，就要确定临界力的大小。

通过实验和理论推导，压杆临界力与各个因素有关：(1) 压杆的材料，P cr与材料的弹性模量E成正比，即(2）压杆横截面的形状和尺寸，P cr与压杆横截面的轴惯性矩J成正比，即(3) 压杆的长度，P cr与长度的平方l2成反比，即(4) 压杆两端的支座形式有关，用一个系数表示，称为支座系数，列于表1-10。

表1-10 压杆长度系数杆端约束情况两端固定一端固定一端铰支两端铰支一端固定一端自由长度系数0.5 ≈0.7 1.0 2.0压杆的挠曲线形状为计算方便，写成细长中心受压直杆临界力的欧拉公式对于两端铰支的细长中心受压直杆，当其在临界力cr P，的作用下处于不稳定直线形式的平衡状态，若其材料仍处于理想的线弹性范围内，从力学的观点讲，这类稳定问题称为线弹性稳定问题。

这是压杆稳定问题中最简单的一种。

由临界力的定义可知，中心受压直杆只有在临界力的作用下才有可能在微弯形态下维持平衡(见图7-3)。

现假设压杆轴线在临界力cr P作用下呈图7-3(b)所示的曲线形态。

在图示的坐标系下，压力cr P取正值，位移忙V=f(x)以沿y轴正方向为正，弯矩的正负号规定同2.3节。

压杆任一x 截面上弯矩为将式(7-1a)代入挠曲线的近似微分方程(6-8h)中，并利用压杆支承处的边界条件就可求出压杆的挠曲线的表达式，并进一步导出压杆承受的临界力crP 。

这个临界力实际也就是使压杆维持微弯平衡的．．．．．．．．．．最小压力．．．．。

将式(7-1a)代入公式(6-8h)可得其中I 为压杆横截面的最小形心主惯性矩。

令公式(7-1b)可改写为如下形式的二阶常系数线性微分方程其通解为式中A 、B 、k 三个待定常数可利用该挠曲线的三个边界条件来确定。