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细长压杆的临界⼒公式—欧拉公式.10.2 细长压杆的临界⼒公式—欧拉公式⼀、两端铰⽀压杆的临界⼒图9—4为两端受压杆件，⼈们经过对不同长度（l ），不同截⾯（I ），不同材料（E ）的压杆在内⼒不超过材料的⽐例极限时发⽣失稳的临界⼒P cr 研究得知： 22lPcr EI=π（9—1）式中：π—圆周率；E —材料的弹性摸量；l —杆件长度；I —杆件截⾯对⾏⼼主轴的惯性矩。
图9-4当杆端在各⽅向的约束情况相同时，压杆总是在抗弯刚度最⼩的纵向平⾯内失稳，所以（9-1）式中的惯性矩应取截⾯最⼩的形⼼惯性矩I min 。
瑞⼠科学家欧拉（L.Eular ）早在18世纪，就对理想细长压杆在弹性范围的稳定性进⾏了研究。
从理论上证明了上述（9-1）式是正确的，因此（9-1）式⼜称为计算临界⼒的欧拉公式。
⼆、杆端⽀承对临界⼒的影响图9-5（a）（b）（c）（d）⼯程上常见的杆端⽀承形式主要有四种，如图9-5所⽰，欧拉进⼀步研究得出各种⽀承情况下的临界⼒。
如⼀端固定，⼀端⾃由的杆件，这种⽀承形式下压杆的临界⼒，只要在（9-1）式中以2l 代替l 即可。
()222l P cr EI=π（a ）同理，可得两端固定⽀承的临界⼒为()225.0l P cr EI=π（b ）⼀端固定，⼀端铰⽀压杆的临界⼒为 ()227.0l P cr EIπ（c ）式（a ），(b)，(c)和（9-1）可归纳为统⼀的表达式()22l P cr µπEI = （9-2）式中l µ称为压杆计算长度，µ称为长度系数，⼏种不同杆端⽀承的各µ值列于表9—1中，µ反映了杆端⽀承情况对临界⼒的影响。
表9-1 各种杆端⽀承压杆的长度系数图例9.1 图⽰轴⼼受压杆，截⾯⾯积为10mm ?20mm 。
已知其为细长杆，弹性模量E=200GPa ，试计算其临界⼒。
2m20图9-6单位：mm解：由杆件的约束形式可知：7.0=µ4333min1067.112102012mm hb I I y ?=?===临界⼒：223320010 1.67101076.2 1.076()(0.7 2.510)cr EI P N kN l ππµ====?? 三、临界应⼒和柔度在临界⼒的作⽤下，细长压杆横截⾯上的平均应⼒叫做压杆的临界应⼒，⽤cr σ表⽰。
第二节临界力和欧拉公式浏览字体设置：- 11pt+ 10pt12pt14pt16pt放入我的网络收藏夹第二节临界力和欧拉公式杆件所受压力逐渐增加到某个限度时，压杆将由稳定状态转化为不稳定状态。
这个压力的限度称为临界力P cr。
它是压杆保持直线稳定形状时所能承受的最小压力。
为了计算压杆的稳定性，就要确定临界力的大小。
通过实验和理论推导，压杆临界力与各个因素有关：(1) 压杆的材料，P cr与材料的弹性模量E成正比，即(2）压杆横截面的形状和尺寸，P cr与压杆横截面的轴惯性矩J成正比，即(3) 压杆的长度，P cr与长度的平方l2成反比，即(4) 压杆两端的支座形式有关，用一个系数表示，称为支座系数，列于表1-10。
表1-10 压杆长度系数杆端约束情况两端固定一端固定一端铰支两端铰支一端固定一端自由长度系数0.5 ≈0.7 1.0 2.0压杆的挠曲线形状为计算方便，写成细长中心受压直杆临界力的欧拉公式对于两端铰支的细长中心受压直杆，当其在临界力cr P，的作用下处于不稳定直线形式的平衡状态，若其材料仍处于理想的线弹性范围内，从力学的观点讲，这类稳定问题称为线弹性稳定问题。
这是压杆稳定问题中最简单的一种。
由临界力的定义可知，中心受压直杆只有在临界力的作用下才有可能在微弯形态下维持平衡(见图7-3)。
现假设压杆轴线在临界力cr P作用下呈图7-3(b)所示的曲线形态。
在图示的坐标系下，压力cr P取正值，位移忙V=f(x)以沿y轴正方向为正，弯矩的正负号规定同2.3节。
压杆任一x 截面上弯矩为将式(7-1a)代入挠曲线的近似微分方程(6-8h)中，并利用压杆支承处的边界条件就可求出压杆的挠曲线的表达式，并进一步导出压杆承受的临界力crP 。
这个临界力实际也就是使压杆维持微弯平衡的．．．．．．．．．．最小压力．．．．。
将式(7-1a)代入公式(6-8h)可得其中I 为压杆横截面的最小形心主惯性矩。
令公式(7-1b)可改写为如下形式的二阶常系数线性微分方程其通解为式中A 、B 、k 三个待定常数可利用该挠曲线的三个边界条件来确定。
工程力学（第2版）130 次摆动，仍能恢复到原来的直线平衡状态，如图7-10（c ）所示，这说明压杆原有的直线状态的平衡是稳定的。
当压力继续增加到某一数值时，只要受很微小的外界干扰力Q ，杆件就不能恢复到原来的直线形状，而是保持微弯曲线形状的平衡。
此时压杆由原有的直线平衡状态变为不稳定的临界平衡状态，如图7-10（d ）所示。
上述压力的极限值称为临界压力或临界载荷F cr ，它是压杆即将失稳时的压力。
图7-10 直杆受压情况通过分析不难看出，压杆的稳定性取决于压杆临界压力F cr 的大小。
该力的大小表示压杆稳定的强弱，越大说明压杆越不易失稳，稳定性越强；越小说明稳定性越差，越易失稳。
当压杆所受的外力达到临界值时，压杆开始丧失稳定。
因此设计计算临界压力F cr 的大小，可以控制压杆的稳定性。
工程上不止压杆涉及稳定性问题，还有许多其他形式的构件也要给与考虑。
比如承受均匀外压作用的圆柱形薄壳、拱起的薄板或薄拱，在最大抗弯刚度平面内弯曲的板条或工字梁等，在载荷达到临界值时都有可能丧失其原有的平衡状态而发生稳定失效。
7.2.2 细长压杆的临界应力以及欧拉公式压杆失稳是破坏了原有的直线平衡状态，在轴向压力达到临界压力F cr 时，压杆直线形状的平衡由稳定转变为不稳定。
临界压力F cr 可以看作是压杆处于微小弯曲的平衡状态下所承受的最大压力，它是压杆在临界状态下的轴向压力，是压杆在原有的直线状态下保持平衡的最大载荷。
1．欧拉公式当细长压杆内压应力不超过杆材的比例极限时，其在各种不同的杆端约束条件下临界压力F cr 的欧拉公式写成统一形式： 2cr 2π()EI F l μ= （7-17）式中μ称为长度系数，μl 称为相当长度，表示杆端约束条件不同的压杆长度l 折算成的两端球铰支座压杆的长度。
此式表明，F cr 与抗弯刚度EI 成正比，与杆长的平方成反比。
这就是说，杆越细长，其临界压力越小，杆件就越容易失稳。
压杆失稳时，总是绕抗弯刚度最小的轴发生弯。
