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06、基本知识 怎样推导压杆的临界力和临界应力公式（供参考） 同学们学习下面内容后，一定要向老师回信（849896803@qq.con ），说出你对本资料的看法（收获、不懂的地方、 资料有错的地方），以便考核你的平时成绩和改进我的工作。
回信请 注明班级和学号的后面三位数。
1*问题的提出及其对策 ............................................................................. 1 1.1问题的提出及其对策 .......................................................................... 1 1.2压杆稳定分析概述一一与强度、刚度分析对比 ................................................... 2 2压杆临界压力 F cr 的计算公式 ...................................................................... 3 2.1压杆稳定的力学模型一一弯曲平衡 ............................................................. 3 2.2梁的平衡理论一一梁的挠曲微分方程 ........................................................... 4 2.3按梁的平衡理论分析两端铰支的压杆临界压力 ................................................... 6 2.4按梁的平衡理论分析一端固定一端自由的压杆临界压力 ........................................... 8 2.5按梁的平衡理论分析一端固定一端铰支的压杆临界压力 .......................................... 10 2.6按梁的平衡理论分析两端固定的压杆临界压力 .................................................. 14 2.7将四种理想压杆模型的临界力公式及其推导分析图示的汇总 (18)1*问题的提出及其对策1.1问题的提出及其对策试计算长度为400mm ，宽度为10mm ，厚度为1mm 的钢锯条，在一端固定、一端铰支 的情况下，许用的轴向压力。
细长压杆的临界⼒公式—欧拉公式.10.2 细长压杆的临界⼒公式—欧拉公式⼀、两端铰⽀压杆的临界⼒图9—4为两端受压杆件，⼈们经过对不同长度（l ），不同截⾯（I ），不同材料（E ）的压杆在内⼒不超过材料的⽐例极限时发⽣失稳的临界⼒P cr 研究得知： 22lPcr EI=π（9—1）式中：π—圆周率；E —材料的弹性摸量；l —杆件长度；I —杆件截⾯对⾏⼼主轴的惯性矩。
图9-4当杆端在各⽅向的约束情况相同时，压杆总是在抗弯刚度最⼩的纵向平⾯内失稳，所以（9-1）式中的惯性矩应取截⾯最⼩的形⼼惯性矩I min 。
瑞⼠科学家欧拉（L.Eular ）早在18世纪，就对理想细长压杆在弹性范围的稳定性进⾏了研究。
从理论上证明了上述（9-1）式是正确的，因此（9-1）式⼜称为计算临界⼒的欧拉公式。
⼆、杆端⽀承对临界⼒的影响图9-5（a）（b）（c）（d）⼯程上常见的杆端⽀承形式主要有四种，如图9-5所⽰，欧拉进⼀步研究得出各种⽀承情况下的临界⼒。
如⼀端固定，⼀端⾃由的杆件，这种⽀承形式下压杆的临界⼒，只要在（9-1）式中以2l 代替l 即可。
()222l P cr EI=π（a ）同理，可得两端固定⽀承的临界⼒为()225.0l P cr EI=π（b ）⼀端固定，⼀端铰⽀压杆的临界⼒为 ()227.0l P cr EIπ（c ）式（a ），(b)，(c)和（9-1）可归纳为统⼀的表达式()22l P cr µπEI = （9-2）式中l µ称为压杆计算长度，µ称为长度系数，⼏种不同杆端⽀承的各µ值列于表9—1中，µ反映了杆端⽀承情况对临界⼒的影响。
表9-1 各种杆端⽀承压杆的长度系数图例9.1 图⽰轴⼼受压杆，截⾯⾯积为10mm ?20mm 。
已知其为细长杆，弹性模量E=200GPa ，试计算其临界⼒。
2m20图9-6单位：mm解：由杆件的约束形式可知：7.0=µ4333min1067.112102012mm hb I I y ?=?===临界⼒：223320010 1.67101076.2 1.076()(0.7 2.510)cr EI P N kN l ππµ====?? 三、临界应⼒和柔度在临界⼒的作⽤下，细长压杆横截⾯上的平均应⼒叫做压杆的临界应⼒，⽤cr σ表⽰。
临界力和欧拉公式杆件所受压力逐渐增加到某个限度时，压杆将由稳定状态转化为不稳定状态。
这个压力的限度称为临界力P cr。
它是压杆保持直线稳定形状时所能承受的最小压力。
为了计算压杆的稳定性，就要确定临界力的大小。
通过实验和理论推导，压杆临界力与各个因素有关：(1) 压杆的材料，P cr与材料的弹性模量E成正比，即(2）压杆横截面的形状和尺寸，P cr与压杆横截面的轴惯性矩J成正比，即(3) 压杆的长度，P cr与长度的平方l2成反比，即(4) 压杆两端的支座形式有关，用一个系数表示，称为支座系数 ，列于表1-10。
为计算方便，写成欧拉计算的结果（此处从略），细长压杆的临界力为， (1-72)上式称为欧拉公式。
当已知压杆的材料、尺寸和支座形式时，即可由欧拉公式求得临界力根据欧拉公式，若要提高细长杆的稳定性，可从下列几方面来考虑：(1) 合理选用材料临界力与弹性模量E成正比。
钢材的E值比铸铁、铜、铝的大，压杆选用钢材为宜。
合金钢的E值与碳钢的E值近似，细长杆选用合金钢并不能比碳钢提高稳定性，但对短粗杆，选用合金钢可提高工作能力。
(2) 合理选择截面形状临界力与截面的轴惯性矩J成正比。
应选择J大的截面形状，如圆环形截面比圆形截面合理，型钢截面比矩形截面合理。
并且尽量使压杆横截面对两个互相垂直的中性轴的J值相近。
如下图中的(a)所示的截面就比(b)好。
(3) 减少压杆长度临界力与杆长平方成反比。
在可能的情况下，减小杆的长度或在杆的中部设置支座，可大大提高其稳定性。
(4) 改善支座形式临界力与支座形式有关。
固定端比铰链支座的稳定性好，钢架的立柱，其柱脚与底板的联系形式，能提高立柱受压时的稳定性。
像下图中所示的(a)的支座形式就比(b)中的要好。
表1-10 压杆长度系数。
压杆的临界应力压杆的临界应力：压杆处于临界状态时横截面上的平均应力。
()2cr cr 2F EI A l Aπσμ==引入横截面的惯性半径 2I i A =()222cr 222EI E E l l A i πππσλμμ===⎛⎫ ⎪⎝⎭所以 其中 称为压杆的柔度或长细比，是量纲为1的量。
liμλ=欧拉公式是由挠曲线的近似微分方程导出的，所以即 2p p E πλλσ≥=上式即为欧拉公式的适用范围。
满足上述条件的压杆称为细长杆或大柔度杆。
2cr p 2E πσσλ=≤显然λp 与材料的性质有关，不同材料其数值不同。
对于Q235钢229p 6p 2001010020010E ππλσ⨯⨯==≈⨯中柔度杆的临界应力——直线经验公式小柔度杆的“临界应力”——屈服极限或强度极限（强度问题） cr a b σλ=-cr s a b σλσ=-≤对于塑性材料令 s s a bσλ-=当 时，为小柔度杆（或短粗杆），强度问题， s λλ<cr s b σσσ=或当时，为中柔度杆，稳定性问题， s p λλλ≤<cr a b σλ=-当 时，为大柔度杆（或细长杆）， 稳定性问题， p λλ≤2cr 2E πσλ=a bλ-压杆的临界应力总图例1：横截面为矩形的木柱，h =200，b =120，弹性模量 E =10GPa ，λp =110。
木柱所受最大轴向压力为50kN 。
木柱在 xy 平面内发生弯曲时，两端可认为铰支；而在 xz 平面内发生弯曲时，两端可认为是固定端。
试确定其工作安全系数。
解：xy 平面失稳33540.120.2810m 1212z bh I -⨯===⨯52810 5.7710m 0.120.2z z I i A --⨯===⨯⨯11p 217121.35.7710z li μλλ-⨯===>⨯yh F b z x F x F Fxz 平面失稳33540.20.12 2.8810m 1212y hb I -⨯===⨯522.8810 3.4610m 0.120.2y y I i A --⨯===⨯⨯22p 20.57101.23.4610y li μλλ-⨯===<⨯临界压力 2293cr 22110100.120.2161.010N 161.0kN 121.3E F A ππλ⨯⨯=⋅=⋅⨯=⨯=工作安全因数 cr max 161.0 3.2250F n F ===。
1* 问题的提出及其对策 ........................................................................................................... 1 1.1 问题的提出及其对策 ........................................................................................................ 1 1.2 压杆稳定分析概述——与强度、刚度分析对比 ............................................................ 2 2压杆临界压力F cr 的计算公式 ................................................................................................. 3 2.1 压杆稳定的力学模型——弯曲平衡 ................................................................................ 3 2.2梁的平衡理论——梁的挠曲微分方程 ............................................................................. 4 2.3 按梁的平衡理论分析两端铰支的压杆临界压力 ............................................................ 5 2.4 按梁的平衡理论分析一端固定一端自由的压杆临界压力 ............................................ 7 2.5 按梁的平衡理论分析一端固定一端铰支的压杆临界压力 .......................................... 10 2.6 按梁的平衡理论分析两端固定的压杆临界压力 .......................................................... 13 2.7 将四种理想压杆模型的临界力公式及其推导分析图示的汇总 .. (17)1* 问题的提出及其对策1.1 问题的提出及其对策试计算长度为400mm ，宽度为10mm ，厚度为1mm 的钢锯条，在一端固定、一端铰支的情况下，许用的轴向压力。
材料的许用应力为160MPa 。
解：1、按轴向拉压强度计计算[]2/160160120mm N MPa mmmm F A F NN ==≤⨯==σσ2、按压杆稳定临界力公式计算()43335120121121mm mm mm bh I Z =⨯⨯==()()N mm mm MPa l EI F CR28.12340021020000024222=⨯⨯⨯⨯==πμπ 分析：1、按轴向拉压杆的强度条件计算结果，该钢板尺可以安全承压 3.2kN 。
这是一个什么概念呢？一袋水泥重50kg ，对应重力N s m kg mg W 500/10502=⨯==，即该钢板尺可以安全承压6.4袋水泥，这显然是不可能的。
2、按压杆稳定临界力计算公式的结果，该钢板尺在承压12.28N 时，就可能变弯了。
这又是一个什么概念呢？一小袋食盐重0.5kg ，对应重力N s m kg mg W 5/105.02=⨯==，即该钢板尺当承压两袋半食盐时，就可能由直线平衡状态，转变为弯曲平衡状态了。
这与实际情况差不多。
结论：对于钢板尺这样的细长杆件，在承受压力时，一定不要用轴向拉压强度条件来判断它的安全承载力，这会出大问题的。
需要按弯曲平衡建立力学模型，按梁的理论来分析。
kN N mm N mm mm F N 2.33200/1601202==⨯⨯≤1.2 压杆稳定分析概述——与强度、刚度分析对比在材料力学里，分析杆件的强度、刚度和稳定性是十分重要的课题，它们是材料力学的核心内容。
压杆的稳定性分析，与强度和刚度的分析的侧重面不同。
在强度和刚度分析中，重点在推导工作量的计算公式，如：轴向拉压杆的拉压应力扭转的剪轴向工作量。
而在强度条件许用应力工作应力≤和刚度条件许用应变工作应变≤表达式不等号大于端的许用值（用方括号括起来的量），如[]σ、[]τ和[]l ∆、[]ϕ、[]y 、[]θ等，其中，两种许用应力是由材料试验获得，并由各种规范所确认；各种许用变形值的大小，则与结构的功能（性质、用途等）分不开。
然而，在稳定性分析中，位于不等号大于端≤的许用值[]cr σ中的压杆临界应力cr σ。
杆在失稳之前是轴向受压杆。
式中的压杆临界应力与材料无关，它是实际的、具体的“压杆装置”的函数，对每一根压杆都要单独计算才行。
因此，压杆稳定分析的重点是针对各种各样的“压杆装置”，提出几种简化的力学计算模型，然后从理论上推导出它们的临界压力F cr 计算公式，分析计算出临界压力F cr后，按临界压力F cr 代替轴力F N ，即可得到压杆的临界2压杆临界压力F cr 的计算公式2.1 压杆稳定的力学模型——弯曲平衡生活和生产的常识告诉我们：压杆在承受的压力比较小时，处于直线平衡状态；当压力逐渐增大到某一值时，压杆会突然变弯，处于微弯曲的平衡状态，称为临界平衡；当压力超过某一值时，压杆会突然变弯折断，退出工作。
使压杆处于临界平衡的压力称为临界压力。
计算表明，临界压力远远小于按轴向拉压杆计算得出的许用压力。
如：一根长300mm ，宽20mm ，厚1mm 的钢板尺，设其材料的许用应力为160Mpa ，则按轴向拉压杆强度公式计算，[]σσ≤=AF，[]N A F 3200160120=⨯⨯=≤σ，即该钢板尺可以安全地承受3200N 的压力。
然而，常识告诉我们，把钢板尺直立于桌面上，轻轻用手指一压它就会弯曲。
这种现象在力学上称为失稳（丧失稳定性），它可用压杆稳定理论予以说明。
如果将钢板尺按力学模型：两端铰支的压杆装置，进行压杆稳定计算，可得到丧失稳定的压力为()N mm mm MPa lEIF cr 7.3630067.120000024222=⨯⨯==ππ，此值接近于钢板尺变弯的实际值。
式中的惯性矩()43367.11212012mm mm mm bh I z =⨯==。
得到钢板尺丧失稳定的压力为36.7N ，仅是按强度计算的安全压力的1/87。
差异如此之巨，我们得高度重视。
以上的计算结果表明，对于较长的压杆，按强度计算存在极大的风险。
事实上，生活常识告诉我们，压杆越长越容易变弯而丧失稳定性，因此，对于较长的压杆，按强度计算是违背事实的，必须另辟蹊径，寻找压杆稳定分析的力学模型。
究其原因，在强度计算中，钢板尺处于直线平衡状态，属于轴向拉压变形，应该用杆的轴向拉压理论来分析；而压杆稳定分析的研究对象是处于微弯平衡状态，属弯曲变形，显然，应该用梁的理论来分析。
下面先谈谈梁的平衡理论，然后，分别就1、两端铰支、2、一端固定一端自由、3、一端固定一端铰支、4、两端固定，这四种压杆力学模型进行力学、数学分析。
2.2梁的平衡理论——梁的挠曲微分方程图2-2-1说明梁的挠曲微分方程的来历和相关量的正负号规定。
可一目了然。
分析是从梁的dx在下面的图2-2-2中，四种压杆装置（两端铰支、一端固定一端自由、一端固定一端铰支和两端固定）的力学模型，及其三种状态（稳定平衡、临界平衡和丧失稳定）可一目了然。
4-1稳定平衡4-2临界平衡4-3丧失稳定模型4两端固定的压杆装置微弯曲线半个正弦波为μl=0.5l3-1稳定平衡3-2临界平衡3-3丧失稳定模型3一端固定一端铰支的压杆装置微弯曲线半个正弦波为μl=0.7l1-1稳定平衡1-2临界平衡1-3丧失稳定模型1两端铰支的压杆装置 微弯曲线半个正弦波为μl=l图2-2-2 四种典型压杆的力学模型及其三种状态2-1稳定平衡2-2临界平衡 2-3丧失稳定模型2一端固定一端自由的压杆装置 微弯曲线半个正弦波为μl=2ll=2l图2-2-1梁的挠曲微分方程dx 梁段弯曲及挠曲线M注1：正弯矩箭头指向y 负。
()[]()EIx M y y ='+''2/321()[]y y y ''±≈'+''平坦曲线2/321按左图得：()EIx M y -=''梁的挠曲微分方程注2：正曲率曲线凸向y 负。
图示为负曲率。
图2-2-3则是四种压杆模型在临界状态下的支反力种类及其真实方向，亦可一目了然。
上述内容对于分析压杆，正确设置压杆两端支反力的方向和转向，导出临界应力公式十分重要，否则，压杆两端支反力的方向和转向设定错误，将无法导出正确的临界力公式。
请读者好好加深理解。
2.3 按梁的平衡理论分析两端铰支的压杆临界压力为了确定长l 、两端铰支的细长压杆AB 临界力，研究图2-3-1。
设作用在杆上端的压力恰为临界力F=F cr ，杆处于临界平衡状态。
临界平衡状态有两种形式：直杆平衡和微弯平衡 ，即临界平衡状态具有分叉特性，形态不唯一。
在这里，不能以直线平衡为研究对象（在轴向拉压变形里研究过，并在2.1节什么它不能够解释钢板尺等压杆突然变弯的现象。
），而应该以微弯平衡状态作为力学模型，才能够体现出压杆临界平衡的本质特征（这与前面研究轴向拉压、扭转、弯曲都不同，那里杆处于直线平衡状态）。
2.3.1 截面弯矩表达式模型1两端铰支模型3一端固定一端铰支图2-2-3 四种典型压杆微弯平衡支反力及其真实方向模型4两端固定模型2一端固定一端自由注1：模型1、2为静定结构注2：模型3、4为超静定结构，其支反力种类由支座形式确定；方向由变形曲线确定：弯矩箭头指向挠曲线的凹侧；剪力可参考悬臂梁受集中力的情况，即剪力指向恰恰与弯矩指向相反。
如下图所示：FM 悬臂梁挠曲线与支反力方向关系图2-3-1两端铰支压杆临界力分析临界微弯平衡yF N =F cr x 截面内力分析 ()()13.2-= y F x M cr两端铰支压杆装置：下端固定铰支端有2个约束反力（F NA 、F QA ），上端链杆支座有1个约束反力（F QB ），共3个约束反力未知数（F NA 、F QA 和F QB ），而一根杆件只能够建立三个平衡方程，求解三个未知数。
故，两端铰支压杆装置是静定结构，支座反力完全可以用临界力F cr 来表达。
如图2-3-1所示，由图中x 长的粱段平衡，可得距原点为x 、挠度为y 的任意截面上弯矩为()()13.2-= y F x M cr2.3.2 压杆微弯平衡微分方程的建立及其通解 在小变形条件下，如果杆内应力不超过材料的比例应力σp ，AB 杆弯曲后的挠曲线可以在如图2-3-1所示坐标系下，挠曲线的近似微分方程为令 a ）可写为 这是一个常系数二阶齐次线性微分方程，其通解是 ()d kx B kx A y cos sin += 式中，A 、B 是积分常数，k 为待定值。
