测量与有效数字及误差

物理实验中测量的误差和有效数字。

物理学是一门实验科学，在部分省推广的3+X高考改革中，明确提出加强实验能力和实验操作的考查，同时指出要会简单的实验设计。

这是我国培养跨世纪人才，落实第三次全国教育工作会议精神，推进素质教育的重要环节和全新课题，新版人教社遍用教材增加了许多演示实验和学生实验，目的是培养学生的实验能力，创新能力和提高学生的综合素质。

基于上述原因，我准备了高中物理实验专题，供同学们参考和同行们的共同研讨.一．物理量的测量及测量误差1．测量及分类物理定律和定理反映了物理现象的规律性。

这些定律定理是由各种物理量的数值关系表达的，要研究物理定律和定理就必须对物理量进行正确测量，所谓测量就是将待测的物理量与选定的同类单位量相比较。

测量分为直接测量和间接测量两种。

直接测量是用仪器直接将待测量与选定的同类单位量进行比较，即直接测量由仪器上读出待测量的数值。

间接测量是由几个直接测量出的物理量，通过已知的公式，定律进行计算从而求出待测量。

2．测量的误差及分类物理量在客观上存在着准确的数值，称为真值，实际测量得到的结果称为测量值。

测量值与真实值的差异称为误差。

(1)测量误差按其产生的原因和性质可分为系统误差和偶然误差两类系统误差主要是由于仪器本身的缺陷（如刻度不均匀，未校正零点等）。

公式和定律本身不够严密，实验者本身的不良习惯等原因而产生的。

系统误差有何特点及如何减少或部分消除.偶然误差主要是由于各种偶然因素引起的，有何特点和如何减少？(2)测量误差按分析数据可分为绝对误差和相对误差两类绝对误差是测量值与真实值之差，它反映测量值偏离真值的大小，它表示一个测量结果的可靠程度，但在比不同测量结果时则不适用相对误差是绝对误差与测量值之比，常用百分数表示，它反映了实验结果的精确程度3.测量的精密度、准确度和精确度精密度、准确度和精确度都是评价测量结果好坏的，但这三个词的意义不同，使用时应加以区别测量的精密度高，是指测量数据比较集中，偶然误差较小，但系统误差的大小不明确，我们教材中所提到的游标卡尺和螺旋测微器准确到0.1mm和0.01mm指的就是精密度测量的准确度高，是指测量数据的平均值偏离真值较少，测量结果的系统误差小，但数据分散的情况，即偶然误差的大小不明确。

第一章实验基础知识——误差和有效数字在关于最新必修加选修教材的教学大纲中，对误差和有效数宁作出了明确的规定。

1．关于误差认识误差问题在实验中的重要性，了解误差的概念，知道系统误差和偶然误差，知道用多次测量求平均值的方法减小偶然误差，能在某些实验中分析误差的主要来源，不要求计算误差。

2．关于有效数字了解有效数字的概念，会用有效数字表达直接测量的结果。

间接测量的有效数字运算不作要求，运算结果一般可用2—3位有效数字表示。

一、误差做物理实验，离不开对物理量的测量，而测量值和真实值总有差异。

这种差异就叫做误差。

从来源看，误差分成系统误差和偶然误差两种，从数值看，误差又分为绝对误差和相对误差两种。

1．系统误差和偶然误差①系统误差：系统误差是由于仪器本身不精确，或实验方法粗略，或实验原理不完善而产生的。

其特点是，在多次重做同—实验时，其结果总是同样地偏大或偏小，不会出现有几次偏大而另外几次偏小的情况。

要减小系统误差，必须校准仪器、改进实验方法、设计原理更完善的实验。

②偶然误差：是由于各种偶然因素对实验者、测量仪器、被测物理量的影响而产生的。

偶然误差的特点是，多次重做同—实验时，结果有时偏大，有时偏小，并且偏大和偏小的机会相同。

减小偶然误差的一般方法是多次测量，取其平均值。

[例题1] 指出以下误差是系统误差还是偶然误差A．测量小车质量时天平不等臂、或砝码不标准，天平底盘未调平所致的误差。

B．用有毫米刻度的尺测量物体长度，豪米以下的数值只能用眼睛估计而产生的误差C．用安培表内接法测电阻时，测量值比真实值大[)．在验证共点力合成的平行四边形法则实验中，在画出两分力方向及合力方向时，画线不准所致误差[解析] A是选项是实验仪器不精确所致，是系统误差；B选项是由于测量者在估计时由于视线方向不准造成的，是偶然误差；C选项是实验原理不完善、忽略电流表内阻影响所致，是系统误差；D选项是画力方向时描点不准、直尺略有移动，或画线时铅笔倾斜程度不一致所致，是偶然误差。

第5讲实验：误差和有效数字长度的测量自主·夯实基础自主预习轻松过关名师点金这一部分知识的重点有：知道误差存在的客观性，以及对系统误差、偶然误差的区别；理解有效数字的物理意义，以及用有效数字表达常用仪表测量结果的方法．用游标卡尺、螺旋测微器测量长度时的读数问题在高考中出现频繁，但得分率低，要熟练地掌握好这两种常用仪器的测量方法，关键是：对于它们的设计、测量原理要变机械识记为深刻理解．知识梳理(一)误差和有效数字一、误差1．误差的定义：测量值与真实值的差异叫做误差．2．误差的公理：一切测量(实验)结果都具有误差．误差不可避免，但可减小．3．误差的分类：按来源可分为系统误差和偶然误差两大类．系统误差一般来源于实验原理的不完善、实验方法的不周密以及实验仪器的不精确，偶然误差则来源于实验者本身及一些偶然因素．4．误差的特征系统误差的特征是测量值偏离真实值的方向是确定的，即在多次重复同一实验时，误差总是同样地偏大或偏小；而偶然误差的特征是测量值偏离真实值的方向不确定，有时偏大，有时偏小，并且偏大和偏小的机会相同．正因为如此，“多次测量取平均值”才成为减小偶然误差的一种切实可行的方法．这个平均值往往比某一次测得的数值更接近于真实值．5．误差的表示方法通常有如下两种表示方法：绝对误差ΔN＝|测量值N－真实值N0|相对误差E＝×100%应该明确的是：由于测量误差的存在，在测量中，真值总是不能确切地知道，对于某一物理量进行多次测量的结果不会完全一样．在同样的测量条件下，通常用多次测量的算术平均值作为测量结果，它是真值的最好近似，一般是以多次测量的平均值代替真实值．二、有效数字1.定义:带有一位不可靠数字的近似数字,叫做有效数字．2.有效数字位数的确定(1)从左往右数，从第一个不为零的数字起，数到右边最末一位估读数字为止，包括末位为零的数字都是有效数字．如1.006 m、21.60 m 均为四位有效数字．(2)有效数字的位数与小数点的位置无关，如21.65 cm、0.2165 m 均为四位有效数字．(3)乘方不算有效数字，如3.6×103 kg是两位有效数字．5400 m与5.4×103 m所表示的有效数字位数是不同的，前者为四位有效数字，而后者为两位有效数字；所表示的意义也不相同，前者末位的“0”是估读的，后者“4”是估读的；前者所用的测量工具的最小单位为10 m，后者所用的测量工具的最小单位为1000 m．(4)注意：作为有效数字的“0”，无论是在数字的中间，还是在数字的末尾，均不能随意省略．例如：1.0 cm和1.00 cm的意义是不同的，1.0 cm为两位有效数字，1.00 cm为三位有效数字；两者的误差也不同，前者cm为准确位，mm为估读位，后者mm为准确位，mm的十分位为估读位，因此其准确度也不同．3．有效数字的读数规则(1)有些测量工具能直接读出最小分度的准确数，不需要再向下估读，也不需要在有效数字末位补“0”．如游标卡尺、机械秒表、电阻箱等(注意：同样存在读数误差)．(2)最小分度是“1”的仪器，测量误差出现在下一位，应按最小分度的估读．如最小刻度为1 mm 的刻度尺，测量误差出现在mm的十分位上，估读到十分之几毫米．(3)最小分度是“2”或“5”的仪器，测量误差出现在同一位上，应按最小分度的或估读．如：学生使用电流表的0.6A 量程时，最小分度为0.02 A，误差出现在电流的百分位上，只需读到电流的百分位，即只需估读半小格，不足半小格的舍去，超过半小格的按半小格估读．4．有效数字的运算规则许多物理量是从直接测量的结果计算出来的，测量结果既然是用有效数字表示的，在计算中就要遵守有效数字的规则．(1)不可靠的数字与别的数字相加减、相乘除，所得结果也是不可靠的．(2)计算结果只能保留一位不可靠的数字，但在计算过程中可以保留两位不可靠的数字，最后再四舍五入．(二)长度的测量一、刻度尺1．刻度尺又称米尺，常用米尺的最小刻度为1 mm，量程不等．2．用刻度尺测量物体的长度时要注意以下几点．(1)刻度线紧贴被测物，眼睛正对刻度线读数，以避免视差．(2)为防止因起点刻度线磨损而产生误差，常选择某一刻度线为测量起点，测量的长度等于被测物体的两个端点在刻度尺上的读数之差．(3)毫米以下的数值靠自测估读一位，估读到最小刻度值的．(4)测量精度要求高时，要进行多次测量后取平均值．二、游标卡尺1．构造：如图5－1所示．2．设计原理(1)游标卡尺的主尺上最小分度一般为1 mm，当游标尺上有N个分格时，往往与主尺上(N－1)个分格等长，即游标尺上的最小分度比主尺上最小分度相差K＝mm．有N＝10、20、50三种游标卡尺，精度分别为0.1 mm、0.05 mm、0.02 mm．(2)当两对测量爪的刀口合拢时游标尺上的“0”刻度线与主尺上的“0”刻度线对齐，当测量爪移开一段距离来测量某物体长度时，读数原理如图5－2所示：当游标尺上的第“0”刻度线左侧的主刻度为“a”、游标尺上“b”刻度与主尺上刻度对齐(或对齐程度最高)时．主尺上的“a”刻度与游标上的“0”刻度之间的距离可表示为：Δx＝b·mm．故此时的测量值为：x ＝a mm＋ b mm．即游标尺的作用在于确定游标上“0”刻度与左侧主尺上刻度之间的距离．3．注意事项(1)测量物不可在钳口间移动或压得太紧，以免磨损钳口或损坏工件．(2)测量物上被测距离的连线必须平行于主尺．(3)读数时，在测脚夹住被测物后适当旋紧紧固螺钉．三、螺旋测微器1．构造：如图5－3所示．图5－3螺旋测微器也称千分尺，其各部分名称及主要用途是：①固定刻度G，用于读取固定刻度所显示的最大毫米刻度数(包括0.5 mm); ②可动刻度H, 用于读取主尺上固定刻度的水平线对应的螺旋尺上可动刻度的刻度(包括估读); ③旋钮K；④微调旋钮K′；⑤测微螺杆P; ⑥小砧A．2．设计原理螺旋测微器是利用将直线距离转化为角位移的原理制成的．主尺上的固定刻度的最小分度值为0.5 mm，螺旋尺上的可动刻度，共有50个分度，当可动刻度尺旋转一周时，它在主尺上前进或后退一个刻度0.5 mm，则可动刻度每转过一个分格时，测微螺杆前进或后退0.01 mm，所以它测量长度可达到的精度为0.01 mm．3．使用及读数方法将待测物放在A、P之间，然后用旋钮将测微螺杆靠近被测物体，再用微旋钮调整，直至发出“咔咔”声后读数．先读固定尺读数，要读出整毫米刻度，要注意有无半毫米刻度出现；再读出固定刻度上的水平线对应的可动刻度尺上的读数(要有估读数据)，将此数乘以0.01 mm后与固定刻度上的读数相加即得到最后读数．4．注意事项(1)测量时，当测微螺杆将要接触被测物体时，要停止使用K，改用K′，以避免测微螺杆和被测物体间产生过大的压力，这样既可以保护仪器又能保证测量结果的准确性．(2)读数时，要注意固定刻度上表示半毫米的刻度线是否已经露出．读数时要准确到0.01 mm，估读到0.001 mm，即测量结果若用mm为单位，则小数点后面必须保留三位．【解析】此图经过了二级放大．由一级放大图可知，工件的长度约在10～11 cm之间；再从二级放大图中仔细看游标上的零刻度线所对主尺的刻度线位置．由主尺读出测量的整毫米数：L1＝104 mm(主尺上所标数值的单位为cm)；再看游标上的哪一条刻度线与主尺上的某一刻度线对齐，由游标读出毫米以下的小数．从二级放大图中可以看出，游标上零刻度线右侧的第一条刻度线与主尺上的刻度线对得最齐，游标上共20个分度，每个分度代表0.05 mm，所以游标上的读数为：L2＝0.05 mm．故所测工件的长度L＝L1＋L2＝104.05 mm．【答案】104.05【点评】要掌握游标卡尺测量的原理和读数的方法，要知道主尺上和游标尺上所标数值的意义和单位，要能看懂多级放大图，一定要注意读数的有效数字的位数．例2图5－5所示为一螺旋测微器测某金属球直径时所得的示数，则该金属球的直径应为________mm．图5－5【解析】先由可动刻度尺的边缘所对的固定刻度线读出整毫米(含半毫米)数为2 mm；再从可动刻度尺上读出小于0.5 mm的数为0.130 mm，最后的“0”是估读来的．故该次测量的读数为2.130 mm．【答案】2.130【点评】在读数时特别要注意固定刻度尺上表示半毫米的刻度线是否已经露出．例3有一种新式游标尺，游标尺的刻度与传统的旧式游标尺明显不同，新式游标尺的刻度线看起来很“稀疏”，使得读数时显得清晰明了，方便了使用者正确读数数据．通常游标尺的刻度有10分度、20分度、50分度三种规格，新式游标卡尺也有相应的三种，但刻度却是：19 mm等分成10份，39 mm等分成20份，99 mm等分成50份．(1)以“39 mm等分成20份”的并报式游标卡尺为例，它的精确度是________ mm．(2)用新式游标卡尺测量某一物体的厚度，测量时游标卡尺的示数如图5－6所示，其读数是________ mm．【解析】所有游标卡尺的原理都相同，即：利用游标尺来确定游标上“0”刻度线与其左侧主尺刻度线的间距．由题意知这种游标尺的每分度比主尺上的两个分度相差Δx＝mm＝0.05 mm，故0.05 mm就是这种游标卡尺的精确度．由上述原理可知这种游标卡尺的读数方法为：测量值＝主尺读数＋游标上对齐刻度×0.05 mm即x＝31 mm＋10×0.05 mm＝31.50 mm．【答案】(1)0.05(2)31.50。

高中物理实验总复习——测量与读数一、误差和有效数字1.误差测量值与真实值的差异叫做误差。

误差可分为系统误差和偶然误差两种。

⑴系统误差的特点是在多次重复同一实验时，误差总是同样地偏大或偏小。

⑵偶然误差总是有时偏大，有时偏小，并且偏大和偏小的机会相同。

减小偶然误差的方法，可以多进行几次测量，求出几次测量的数值的平均值。

这个平均值比某一次测得的数值更接近于真实值。

2.有效数字带有一位不可靠数字的近似数字，叫做有效数字。

⑴有效数字是指近似数字而言。

⑵只能带有一位不可靠数字，不是位数越多越好。

凡是用测量仪器直接测量的结果，读数一般要求在读出仪器最小刻度所在位的数值（可靠数字）后，再向下估读一位（不可靠数字），这里不受有效数字位数的限制。

间接测量的有效数字运算不作要求，运算结果一般可用2~3 位有效数字表示。

二、考试大纲规定的学生实验1.长度的测量（游标卡尺和螺旋测微器）⑴游标卡尺游标卡尺的读书方法：主尺的厘米刻度+主尺的毫米刻度（标尺0 刻度线之前）+标尺与主尺对齐的刻度*精确度①10分度的游标卡尺。

游标上相邻两个刻度间的距离为0.9mm，比主尺上相邻两个刻度间距离小0.1mm。

读数时先从主尺上读出厘米数和毫米数，然后用游标读出0.1毫米位的数值：游标的第几条刻线跟主尺上某一条刻线对齐，0.1 毫米位就读几（不能读某）。

其读数准确到0.1mm。

②20分度的游标卡尺。

游标上相邻两个刻度间的距离为0.95mm，比主尺上相邻两个刻度间距离小0.05mm。

读数时先从主尺上读出厘米数和毫米数，然后用游标读出毫米以下的数值：游标的第几条刻线跟主尺上某一条刻线对齐，毫米以下的读数就是几乘0.05 毫米。

其读数准确到0.05mm 。

③50分度的游标卡尺。

游标上相邻两个刻度间的距离为0.98mm ,比主尺上相邻两个刻度间距离小0.02mm 。

这种卡尺的刻度是特殊的，游标上的刻度值，就是毫米以下的读数。

0.02mm 。

要注意：游标卡尺都是根据刻 线对齐来读数的，所以都不再往下 一位估读。

分光计实验中误差和有效数字的运算问题
在分光计实验中，误差和有效数字的运算是非常重要的。

误差是指测量结果与真实值之间的差异，而有效数字是指测量结果中能够被认为是准确的数字位数。

以下是误差和有效数字的运算问题的一些例子：
1. 误差的计算
误差可以通过将测量结果减去真实值来计算。

例如，如果测量结果为10.5，而真实值为10，则误差为0.5。

在分光计实验中，误差通常以百分比的形式表示，即误差=（测量值-真实值）/真实值×100%。

2. 有效数字的计算
有效数字是指测量结果中能够被认为是准确的数字位数。

在分光计实验中，有效数字的数量取决于仪器的精度和测量结果的精度。

例如，如果仪器的精度为0.1，而测量结果为10.5，则有效数字为2。

3. 误差和有效数字的运算
在分光计实验中，误差和有效数字的运算可以帮助确定测量结果的准确性。

例如，如果测量结果为10.5，而误差为0.5，则可以得出真实值为10。

同时，如果有
效数字为2，则可以确定测量结果的精度为0.1。

4. 精度和准确性的区别
在分光计实验中，精度和准确性是两个不同的概念。

精度是指测量结果的重复性，即多次测量的结果之间的差异。

准确性是指测量结果与真实值之间的差异。

因此，在分光计实验中，精度和准确性的运算可以帮助确定测量结果的可靠性。

总之，在分光计实验中，误差和有效数字的运算是非常重要的。

通过正确计算误差和有效数字，可以确定测量结果的准确性和精度，从而提高实验的可靠性。

高中物理：误差和有效数字
1．误差
(1)定义：在测量中，测出的数值(测量值)与真实值之间的差异叫作误差．
(2)分类：系统误差和偶然误差．
(3)系统误差
①产生：仪器本身不精确、实验方法粗略或实验原理不完善产生的．
②系统误差的特点：多次重复测量时，测量值总是大于(或小于)真实值．
③减小系统误差的方法：校准测量仪器(或使用更精密测量仪器)，改进实验方法，完善实验原理等．
(4)偶然误差
①产生：由于各种偶然因素对实验者、测量仪器、被测物理量的影响而产生的．
②特点：测量值与真实值相比有时偏大，有时偏小，并且偏大和偏小的概率相同．
③减小方法：多次重复测量求平均值．
(5)误差与错误的区别
误差不是错误．一般情况下误差不可以避免，只能想办法减小．而错误是由于操作不当引起的，在实验过程中可以避免．
2．有效数字
(1)可靠数字：通过直接读数获得的准确数字．
(2)存疑数字：通过估读得到的那部分数字．
(3)有效数字：测量结果中能够反映被测量大小的带有一位存疑数字的全部数字．
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数据的误差与有效数字在科学研究、实验、工程设计和生产过程中，数据的准确性是至关重要的。

然而，由于各种因素的干扰，我们很难获得完全准确的测量结果。

因此，了解数据的误差以及有效数字的概念对于正确分析和解释数据至关重要。

一、误差的概念和分类误差是指测量结果和实际值之间的差距。

它可以由多种因素引起，包括仪器精度、操作技巧、环境条件等。

根据误差的来源和性质，可以将误差分为系统误差和随机误差。

1. 系统误差系统误差是由于测量仪器的固有缺陷或操作方法的不准确性而引起的。

它具有固定的方向和大小，使得测量结果偏离了实际值。

系统误差可以通过校正仪器或改进操作方法来减小。

2. 随机误差随机误差是由于各种无法预测的因素引起的。

它的出现是由于实验过程中的不确定性，使得多次测量结果有一定的差异。

随机误差可以通过多次重复测量并取平均值的方法来减小。

二、有效数字的概念和表示方法有效数字是指测量结果中具有实际意义和可靠性的数字。

它可以帮助我们更好地了解数据的精度和准确性。

根据有效数字的规则，我们可以将测量结果进行截断或四舍五入来表示。

1. 规则一：非零数字是有效数字在测量结果中，所有非零数字都是有效数字。

例如，测量结果为12.345，其中的1、2、3、4、5都是有效数字。

2. 规则二：零位于非零数字之间时是有效数字当零位于非零数字之间时，它也是有效数字。

例如，测量结果为1.2034，其中的0也是有效数字。

3. 规则三：首位零不是有效数字当测量结果的首位出现零时，它不是有效数字。

例如，测量结果为0.0456，其中的首位零不是有效数字。

4. 规则四：末尾零位于小数点之后时是有效数字当测量结果的末尾有零，并且小数点在末尾零的右侧时，末尾的零是有效数字。

例如，测量结果为450.0，其中的末尾零是有效数字。

三、误差的表示和有效数字的应用在数据分析和科学计算中，正确地表示误差和应用有效数字是非常重要的。

以下是一些常见的方法和技巧：1. 误差范围表示对于实验测量结果，可以用一个误差范围来表示。