测量与误差课件

• 第二组：
l l l 5, 6, 10
算术平均值分别为 L1, L2
L l l l l 1( )14
1 41 2
4 4
i
i1
L l l l l 1( )110
2 65 6
6 10
j j5
其中误差分别为：
m L1
m 4
m m ,
L1
L2
m2
4
将上式平方，得 2 z i k 2 2 xi (i 1 ,2 n )
求和，并除以n，得
2z k2 2x
n
n
m z
2z n
m x
2x n
m2z

k
2
m
2 x
mz kmx
结论：观测值与常数乘积的中误差，等于观测值中误差乘常数。
最后答案为SAB=11.7m士0.1m
3、线性函救
设有线性函数： z k 1 x 1 k 2 x 2 k n x n
则有
m 2 z ( k 1 m x 1 ) 2 ( k 2 m x 2 ) 2 ( k n m x n ) 2
例5 设有线性函救
z144x1194x2114x3
(2)用钢尺丈量某正方形四条边的边长为 li mli 其中: l 1 l 2 l 3 l 4 l 且 m l 1 m l 2 m l 3 m l 4 m l 求该正方形的周长S和面积A的中误差.
解: (1)周长 S4l , 全微分: dS4dl
周长面的积中误差为, mS 4ml
每个角的测角中误差：m
7.54.3" 3
2
1 3
由于DJ6一测回角度中误差为：

.
8
⑵ 方法误差
由于测量方法不合理造成的误差称为方法误差。
例如：用普通模拟式万用表测量高阻上的电压。
1mA 100k
100V 50V ?
100k v
电压表 内阻
.
9
习题2.9被测电阻Rx，电压表的内阻为RV，电流表的内阻为RI
I
V
Rx
I
V
Rx
(a)
(b)
对于图(a)：
R'x
=
U I
=
(RV
// Rx I
.
4
② 用“约定真值” 代替“真值”
实际测量中常把高一等级的计量标准测得的实际 值作为真值使用。
“实际值”≈“约定真值”。
在本章第2、3。4。5节中讨论误差时是基 于“约定真值”己知的条件下进行的。
③ 用“不确定度” 评定测量结果
在本章第6节中详细讨论。逆向思维，回避真值，
研究不能确定的程度。例如用卷皮尺量长度，不
)I
=
Rx RV Rx +RV
R =
R'x
-
Rx
=
-Rx2 Rx +RV
对于图（a）当电压表内阻RV很大时可选a方案。
对于图（b）当电流表内阻RI很小时可用b方案。
.
10
⑶ 理论误差
测量方法建立在近似公式或不完整的理论基础上以及用近似值计 算测量结果时所引起的误差称为理论误差。例如，用谐振法测量 频率时，常用的公式为
例：不同人用不同的电压表测量市. 电，都是220v左右。
7
3. 误差的来源
⑴ 仪器误差 指针式仪表的零点漂移、刻度误差以及非线性引起误差；
非线性

DAB DAC
SinCSin61 SinBSi8n9
0.875
DAB C
DASCCinoBsC 5S0Ci8no69s 1 24.244
DAB B
DACSSiinn2C BCosB 50SSin6in218C9o8s9
0.763
利用误差传播定律公式计算
m D A B 0 .82 7 0 .0 5 2 2 2 .2 4 2 4 2 0 4 2 0 .72 6 2 0 3 2 0 .0m 1
计算结果：mA＜mB，表明A组的观测精度比B组高。
二、 相对误差
中误差是一种绝对误差，当观测误差与观测值的大小有关时， 必须用相对误差这一精度指标来衡量。
相对误差：某量观测值中误差与相应观测值的比值。即
K m 1 L
L
m
注意：经纬仪测角，不能用相对误差来衡量测角精度。
三、 极限误差 由于偶然误差的分布服从于正态分布，故它们出现的概率为：
m 2 m 半 2 1 2 1 "7"
（6）上、下半测回角值之差的容许误差
取 △容=2m
2 .4 1 7 4 0"
6.4 等精度直接观测值的最可靠值及其中误差
一、观测值的最可靠值
在相同的观测条件下，对真值为X的某量进行n次观测，其观 测值分别为l1 , l2 ，… ln ，。由真误差计算公式可得：
果误差出现符号和大小均相同或按一定的规律变化，这种误 差称为系统误差。 （2）特点：具有积累性，对测量结果的影响大。
（3）处理方法：
1）计算改正；
2）采用一定的观测方法（对称观测）；
3）校正仪器，将系统误差限制在允许范围内。
2.偶然误差 在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如果误差出现 符号和大小均不确定，但从大量的误差总体来看，又符合一定 的统计规律，这类误差称为偶然误差。

C 方法2:利用标杆
E
A
M
N
B
F
D
新课讲解
方法要点
运用方法2：观测者的眼在计算
时还要用到观测者E 的眼睛离地面的
高度.
A
M
N
B
F
D
新课讲解
方法3:利用镜子 C
A
BE
D
新课讲解
方法要点
运用方法3：光线的入射角等于
反射角.
C
A
BE
D
课外实践
任务：全班同学以数学小组为 单位，组长负责，分头到运动场进 行实际的测量，被测物是旗杆,方法 自选。
要求：课外完成，写出实践报 告，计算出旗杆高度。
课堂练习
实践探索： 一油桶高0.8m，桶内有油，一根木棒长1米，从桶
盖小口斜插入桶内一端到桶底，另一端到小口，抽出木 棒，量得棒上浸油部分长为0.8m，则桶内油面的高度为 多少米？
A
答案：0.64米
DE
C
B
课堂小结
1.本节课你有哪些收获(知识方面和 操作方面)？
2.在运用科学知识进行实践过程中, 你具有了哪些能力?你是否想到最优的 方法？
思考：
1.你还有哪些测量旗杆高度的方法？ 2.上面所用的三种测量方法各有哪 些优缺点？ 3.这些方法理论上都可以，但测量 肯定会有误差，怎样才能减小误 差？
课堂练习
张明同学想利用树影测校园内的树高. 他在某一时刻测得小树高为1.5米时，其 影长为1.2米.当他测量教学楼旁的一棵 大树影长时，因大树靠近教学楼，有一 部分影子在教学楼的墙上. 经测量，大 树在地面部分的影长为6.4米，墙上影长 为1.4米，那么这棵大树高约 _____ 米.
第22章 相似形

大量的偶然误差具有统计性，或称之为 具有概率论的规律。
（三）误差处理原则
粗差（错误） 测错，记错，算错……可以避免
错误在测量成果中不允许存在，舍弃重测。
防止粗差和提高成果精度（偶然误差方面）
“ 多余观测”发现粗差剔除或重测，由 多余观测产生的往返差、不符值、闭合差， 可根据差值大小评定精度，超限重测，不超 限调整之。
系统误差应尽可能按其产生的原因和 规律加以改正、抵消或削弱，如： 校正 仪器、观测值加改正数、对称观测：水准， 前后视距离相等；测角，盘左盘右取平均 值。
不同时间的多次观测，有可能削弱部 分情况不明的系统误差
四、偶然误差的特性 测量误差理论主要讨论具有偶然误差的
一系列观测值中如何求得最可靠的结果和评 定成果的精度
n
n
可证明其合理性和可靠性
推导过程
设未知量的真值为X，可写出观测值的真 误差公式为
i li X （i=1，2，…，n） 将上式相加得
1 2 n ( l1 l2 ln ) nX
或
[][l]nX
故
X l
nn
观测值的算术平均值 x 算术平均值真误差x
则有
X xx
由偶然误差第四特性知道，当观测次数无限 增多时，Δx趋近于零，
标准差为
第二节 评定精度的标准
为对观测值的精度作出科学的评定，常 用中误差、极限误差、相对误差为评定精度 的标准。
一.中误差
定义 在相同条件下，对某量（真值为X）
进行n次观测，观测值l1，l2，……，ln，偶然误
差（真误差）Δ1， Δ2，……，Δn，则中误 差M的定义式为：
M 2 lim n n
误差的容许误差，即Δ容=2m 或 Δ容=3m 。

22
R
Rx 1
Rx Rv
1
R
Rx 1
RA Rx
1
电流表外接
电流表内接 23
2. 误差来源
①.仪器误差
②.方一致及其在空间上的梯度随 时间变化，引起测量仪器的量值变化而产 生的误差.
24
2. 误差来源
①.仪器误差 ②.方法误差 ③.环境误差 ④.人员误差
单摆：
g本地 9.79m 2s2
g9 .78 9 .7 29 0 .0 2m 1 s2
三线摆: g9 .79 9 .5 79 0 .2 00 m s2 3
气垫导轨: g9 .8 19 .7 19 0 .0 2m 2 s2
修正值： (修正 )N 值 （真 -N 值 i(测） 量值）
即： N(真值 N） i(测量值 （） 修正值）
15
2. 误差来源
①.仪器误差
由于仪器本身的不完善或调整使 用不当，提供的标准欠准或随时间的 不稳定性等产生的误差.
16
天平测质量
17
砝码准确性
18
标尺刻度准确性
19
天平的不等臂
20
天平的变动性
21
2. 误差来源
①.仪器误差 ②.方法误差
由于实验方法和理论的不完善或测量 所依据的公式的近似性而导致的误差.
（二）用算术平均值表示测量结果
n次：N1，N2，．．．Ni，．．．Nn
任一次的测量误差：
'Ni Ni N
n
'Ni 0 （n→ ∞）
i 1
n
(N 1N ) (N 2N ) . .(.N nN ) N i n N 0
1 n
N n
i1
Ni

3.880
（1）中误差
中误差——在一定的观测条件下，各个真误 差平方的平均数的平方根
m 21 22 2n []
n
n
例如： 距离观测值： 3.867 距离观测值： 3.860 距离的真值 = 3.866
3.866 3.868 3.862 3.870
3.865 3.877
课堂练习
【例5－1】对三角形的内角进行两组观 测（各测10次），根据两组观测值中的偶然 误差（真误差），分别计算其中误差。
三、测量误差的类型
•系统误差
•误差在大小、符号上表现出系统性，或者在观测过程 中按照一定的规律变化，或者为一常数。
•偶然误差 如果误差在大小和符号上都表现出偶然性，即从单个 误差看，该误差的大小和符号没有规律
•粗差
•错误
偶然误差的规律性
在相同的观测条件下， 独立的观测360个 三角形的全部内角。
2.用DJ6型光学经纬仪对某水平角进行了五个测回观测, 其角度分别为132°18′12″,132°18′09″, 132°18′18″, 132°18′15″, 132°18′06″。计算其算 术平均值、观测值的中误差和算术平均值的中误差。
3.在一个三角形中, 观测了两个内角α 和β , 其中误差 为mα = ±6″, mβ = ±8″, 求第三个角度γ 的中误差 mγ 。
根据：偶然误差的特性(1)
P(m m) 68.3%
P(2m 2m) 95.5%
P(3m 3m) 99.7%
取极限误差(容许误差)： 或：
容 3m 容 2m
31.7% 4.5% 0.3%
1.误差能避免吗? 产生误差的主要原因是什 么?
2.怎样区分测量工作中的误差和错误? 3.偶然误差和系统误差有什么不同? 偶然误 差有哪些特点? 4.测量误差主要分为几类? 如何消除?

例如：用天平测量物体质量，当天平不等臂时，测出物 体质量总是偏大或偏小；当我们的手表走的很慢时，测出 每一天的时间总是小于24小时；仪器零点未校正；温度引 起阻值的变化。
第三页，编辑于星期五：十三点 二十六分。
l 系统误差的消除： 由于系统误差主要是由于仪器不完善，方法（或理论）
不完善、环境影响而产生，在实验过程中要不断积累经验， 认真分析系统误差产生的原因，采取适当的措施来消除。
系统误差不能通过多次测量取平均值的方式来减小或消 除，但它可归结为一个或几个因素的函数，并可用解析公式、
曲线或列表的方式表示，这些曲线或表格称为误差修正曲线或 误差修正表，。通过这种方法可研究出系统误差的变化规律， 最终达到修正或消除系统误差的目的。
第四页，编辑于星期五：十三点 二十六分。
2、 随机误差
量的真值是不可测得的。
第一页，编辑于星期五：十三点 二十六分。
4、 误差：测量值和真值之间总会存在或多或少的 偏差，这种偏差就称为测量值的误差。 设被测量的 真值为 X,测量值为x,则测量误差为 △=x－X , 我 所测得的一切数据都毫无例外地包含一定的误差， 因而误差存在于一切测量之中。
5、测量的任务是： （1）设法使测量值中的误差减到最小。 （2）求出在测量条件下被测量的最近真值。 （3）估计最近真值的可靠程度。
由于系统误差主要是由于仪器不完善，方法（或理论）不完善、环境影响而产生，在实验过程中要不断积累经验，认真分析系统误差产生的原 因，采取适当的措施来消除。
l 随机误差的消除： 当我们的手表走的很慢时，测出每一天的时间总是小于24小时；
设被测量的真值为 X,测量值为x,则测量误差为 △=x－X , 我们所测得的一切数据都毫无例外地包含一定的误差，因而误差存在于一切测量之中。

1 K限 2K中误差 D
△= L观– L理 = L-X
D
9.5cm =X
0
10
N1 2 3 4 5 6 7 L 9.4 9.7 9.5 9.6 9.3 9.2 9.6 △ 0.1 -0.2 0 -0.1 0.2 0.3 -0.1
Δ
o•
• •
• •
• •
N
（2）偶然误差的示例：
1)读数误差(水准测量)
1.5
1.6
1.7
1589 中丝读数： 1590
[例] 已知：D1=100m, m1=±0.02m，D2=200m，m2=±0.02m， 求： K1, K2
解：
K1
m1
D1
0.02 100
1 5000
K2
m2
D2
0.02 200
110000, 精度高。
3、相对极限误差
当绝对误差为极限误差时，K 称为相对极限误差。测量中取 相对极限误差为相对中误差的两倍，即
§5-1 测量误差概述
测量实践中可以发现，测量结果不可避免 的存在误差，比如： 1、对同一量多次观测，其观测值不相同。 2、观测值之和不等于理论值：
三角形 α+β+γ≠180°
闭合水准测量 ∑h≠0
一、测量误差及其来源
1、测量误差： 观测值：对某一被观测量进行直接观测所获得的数 值。 真值 ：任一观测量, 客观存在的能代表其大小的数值 （1）误差——真值与观测值之差（严格：真误差）
➢ 方差和中误差 ➢ 极限误差 ➢ 相对误差。
一、方差和中误差
➢ 定义: 在相同观测条件下，对某量（真值为X）进行n次 独立观测，观测值为：L1、L2、…、Ln；其相应的真误差为 Δ1，Δ2，……，Δn；则定义该组观测值的

二、问题引领，新知探究
3.机械停表读数 ：
先看分针，分针在2分 到2.5分钟之间，说明 秒针在转2分钟后的第 1圈。
根据分针已经知道 秒针在转2分后的 第一圈所以读出6s。
停表的读数为： 2min6s 或 126s
。
二、问题引领，新知探究
练一练：
停表的读数为 1 min 39.8 s 即 99.8 s。
误差能消除吗？误差是错误吗？ 不能避免，误差不是错误。
如何减小误差？ 1.多次测量求平均值； 2.选用精密的测量工具； 3.改进测量方法；
二、问题引领，新知探究
误差与错误对比
误差
错误
仪器不够精确或测量方 不遵守测量仪器的使用规
产生原因
法不完善；测量者估读 时的偏差及环境对仪器
则或者读取测量结果时粗 心等人为的错误。
停表的读数为 1 min 37.6 s 即 97.6 s。
二、问题引领，新知探究
读出下图的长度和时间：
甲刻度尺的读数是 2.3 cm 甲刻度尺的读数是 2.41 cm
不是！ 时间： 126 s
二、问题引领，新知探究
上边的例子可以看出，在测量长度、时间以及其他物理量时， 受所用仪器和测量方法的限制，测量值 和 真实值 之间总会有差 别，这就是误差。
行业PPT模板：/hangye/ PPT素材下载：/sucai/ PPT图表下载：/tubiao/ PPT教程： /powerpoint/ Excel教程：/excel/ PPT课件下载：/kejian/ 试卷下载：/shiti/ PPT论坛：
度值是 1mm ，其中有一次记录结果是错误的，它是 14.82cm ，本次测 量的结果记作14.82cm 。
四、课堂小结，回扣目标

系统误差
随机误差
粗大误差
02 系统误差
系统误差的特点
确定性
系统误差是确定的，可以通过数学模型或公 式表示。
可预测性
系统误差可以通过一定的方法进行预测或估 算。
重复性
在相同条件下，系统误差会重复出现。
周期性
某些系统误差呈现周期性变化。
系统误差的来源
仪器缺陷
测量仪器本身存在的缺陷或误差，如 刻度不准确、零点偏移等。
非系统性
过失误差通常是由于测量过程中的失误或疏忽造成的，因此它不 具备系统性，不会按照一定的规律影响测量结果。
不可预测性
由于过失误差是由于人为因素引起的，通常难以提前预测或估计其 大小。
随机性
过失误差的大小和方向通常都是随机的，没有固定的模式或趋势。
过失误差的来源
操作失误
测量过程中的操作失误，如读错刻度、按下 错误的按钮等。
不确定度的来源
随机效应和系统效应。随 机效应导致随机测量不确 定度，而系统效应导致系 统测量不确定度。
测量不确定度的评估方法
直接测量法
通过直接观测和数据处理计 算测量不确定度。
1
间接测量法
通过观测多个量来计算总不 确定度，并考虑各量之间的
相互影响。
蒙特卡洛模拟法
通过随机抽样方法模拟观测 数据的分布，并计算测量不 确定度。
定期校准仪器
确保测量仪器的准确性和可靠性，及时修复 故障。
实施复核制度
对测量结果进行复核，检查是否有记录错误 ，并进行修正。
05 测量不确定度
测量不确定度的定义
01
02
03
测量不确定度
表示测量结果的可信程度 或可靠性的参数了测量结果的不确 定性，即测量结果的不肯 定程度。