高等数学 北大版

北大版高等数学一北大版的高等数学一是大学本科阶段数学专业的一门基础课程，主要涉及微积分和数学分析的基本概念、定理和方法。

本文将从微积分和数学分析两个方面介绍高等数学一的主要内容和学习要点。

一、微积分微积分是高等数学一的重要组成部分，主要包括导数和积分两个方面。

导数是微积分的基础概念之一，它描述了函数在某一点上的变化率。

通过导数，我们可以研究函数的极值、函数的图像特征以及函数的变化规律。

在学习导数时，我们需要掌握导数的定义、常见函数的导数公式以及导数的运算规则。

积分是导数的逆运算，它描述了函数在某一区间上的累积效应。

通过积分，我们可以计算曲线下的面积、求解定积分和不定积分等。

在学习积分时，我们需要掌握积分的定义、常见函数的积分公式以及积分的运算规则。

二、数学分析数学分析是高等数学一的另一个重要组成部分，主要包括极限、连续和一致收敛等内容。

极限是数学分析的基本概念，它描述了函数或数列在某一点或无穷远处的趋势。

通过极限，我们可以研究函数的收敛性、函数的连续性以及函数的性质等。

在学习极限时，我们需要掌握极限的定义、常见函数的极限公式以及极限的运算规则。

连续是函数的重要性质之一，它描述了函数在某一点上的无间断性。

通过连续，我们可以研究函数的间断点、函数的可导性以及函数的性质等。

在学习连续时，我们需要掌握连续的定义、连续函数的性质以及连续函数的运算规则。

一致收敛是数学分析的重要概念之一，它描述了函数序列在整个定义域上的收敛性。

通过一致收敛，我们可以研究函数序列的性质、函数序列与极限函数的关系以及函数序列的收敛速度等。

在学习一致收敛时，我们需要掌握一致收敛的定义、一致收敛定理以及一致收敛与逐点收敛的区别。

三、学习要点在学习高等数学一时，我们需要注意以下几个要点：1. 掌握基本概念和定义：高等数学一涉及许多基本概念和定义，如导数、积分、极限、连续等，我们需要深入理解它们的含义和性质。

2. 理解定理和公式：高等数学一中有许多重要的定理和公式，如导数的四则运算、积分的换元法则、连续函数的性质等，我们需要掌握它们的证明过程和应用方法。

高等数学上教材北大版高等数学是大学教育中的一门基础学科，对于学习理工科的学生来说尤为重要。

而在中国的高等教育中，北京大学出版社出版的高等数学教材北大版一直被认为是该学科的权威教材之一。

本文将对该教材的特点和优势进行探讨。

北大版高等数学教材具有以下几个显著特点：一、权威性作为北大出版社所出版的教材，北大版高等数学教材自然具有权威性。

北京大学作为中国顶尖的综合性大学，其学科建设和师资力量在全国乃至全球都享有盛誉。

因此，其出版的教材在学术水准和教学质量上都得到了广泛认可。

二、综合性北大版高等数学教材全面、综合地介绍了高等数学的各个分支，并将各个分支之间的关联性进行了深入讲解。

无论是微积分、线性代数还是概率统计等内容，都被系统地收录在该教材中。

学生通过学习该教材，能够建立起对高等数学整个体系的全面认识。

三、严谨性高等数学作为一门严谨的学科，要求学生具备较高的逻辑思维和数学推理能力。

北大版高等数学教材在讲解过程中，注重逻辑严密性和思维透彻性。

它通过引入恰当的例题和习题，引导学生掌握数学的基本概念和方法，提高他们的解题能力。

四、实用性北大版高等数学教材在内容安排上注重实用性。

它不仅注重基本理论的阐述，还有大量的应用实例。

这些实例涵盖了工科、理科、社科等各个领域，使学生在学习数学的同时也能了解到它在现实中的广泛运用。

综上所述，高等数学上教材北大版以其权威性、综合性、严谨性和实用性而备受学界和学生的青睐。

它的出版不仅丰富了教材资源，也提升了高等数学教育的质量。

希望这门经典教材能够继续发挥其重要的作用，为培养更多的优秀数学人才做出贡献。

高等数学教材北大版高等数学是大学数学的一门重要课程，涵盖了微积分、线性代数和数学分析等主题。

北大版的高等数学教材以其严谨的教学内容和深入浅出的讲解方式而闻名。

本文将着重介绍北大版高等数学教材的特点和优势。

第一章微积分微积分是高等数学中最基础也是最重要的主题之一。

北大版高等数学教材以微积分作为课程的开篇，系统地介绍了微积分的基本概念和应用。

教材采用了清晰简明的语言和大量的例题和练习题，帮助学生理解微积分的核心思想和解题方法。

在微积分的学习过程中，北大版高等数学教材注重培养学生的问题解决能力和数学推理能力。

教材中的实例和习题设计精心，旨在引导学生通过具体问题来理解和掌握微积分的概念和技巧。

同时，教材也注重培养学生的数学思维和创新能力，鼓励学生运用所学的知识解决实际问题。

第二章线性代数线性代数是高等数学中另一个重要的主题。

北大版高等数学教材的线性代数部分覆盖了向量空间、线性变换、特征值和特征向量等基本概念和技巧。

教材采用了逻辑严谨和系统性强的教学方法，帮助学生建立起线性代数的完整知识体系。

线性代数在应用方面有着广泛的应用，北大版高等数学教材通过丰富的例题和练习题，引导学生将线性代数与实际问题相联系，培养学生的数学建模能力和解决实际问题的能力。

教材还着重强调线性代数与其他学科的关联性，帮助学生将线性代数的概念和方法应用于其他学科的学习和研究中。

第三章数学分析数学分析是高等数学中较为抽象和深入的主题，也是学习高等数学的重要环节。

北大版高等数学教材在数学分析的部分注重培养学生的抽象思维和逻辑推理能力。

教材采用了严密的推导和证明，帮助学生深入理解数学分析的理论框架和方法。

数学分析作为一门理论学科，北大版高等数学教材注重培养学生的数学严谨性和逻辑思维能力。

教材中的例题和习题旨在引导学生运用数学分析的理论和方法，探索和解决实际问题。

同时，教材也扩展了数学分析的应用领域，介绍了数学分析在物理学、工程学和经济学等领域的应用。

高等数学北大版教材解析高等数学是大学数学的延伸和拓展，是培养学生分析问题、解决问题和扩展思维的重要学科。

作为北大版教材的解析，旨在帮助学生更好地理解和掌握该教材中的知识点，提升数学水平。

1. 教材结构与内容概览高等数学北大版教材由多个章节组成，其中涵盖了微积分、无穷级数、多元函数与偏导数、重积分等内容。

每个章节都包含基本概念、定理及相关的例题和习题，以帮助学生逐步理解和掌握知识。

2. 微积分部分解析微积分是高等数学的核心，也是最为重要的部分之一。

在微积分部分中，教材解析注重讲解概念的含义、定理的证明以及实际问题的应用。

通过具体的例题分析，学生能够更好地理解微积分的思想和方法。

3. 无穷级数部分解析无穷级数是高等数学的重点和难点之一。

教材解析在无穷级数部分给出了一些常用的级数判别法，并通过详细的解题步骤和思路让学生能够更好地理解和掌握判别级数散散收敛的方法。

4. 多元函数与偏导数部分解析多元函数与偏导数的学习对于理解高等数学的整体结构具有重要意义。

教材解析在此部分对多元函数的性质、偏导数的计算以及隐函数与显函数的关系做了详细的阐述，从而帮助学生理清思路，解决复杂的数学问题。

5. 重积分部分解析重积分是高等数学中的一个重要内容，也是数学建模和实际问题求解中常用的方法之一。

教材解析通过实例的分析说明了重积分的基本原理、计算方法和应用，让学生能够灵活地运用重积分解决实际问题。

6. 总结与展望通过对高等数学北大版教材的解析，学生能够更好地理解教材中的知识点，掌握解题的思路和方法。

同时，教材解析也为学生们提供了一些问题的拓展和练习，以提高数学水平并应对更高难度的数学挑战。

【注意】以上文字仅为示例，实际写作时需要依据实际的高等数学北大版教材内容展开解析，字数限制可适当增加或缩减以满足要求。

同时，文章中的分节可以根据教材章节内容进行划分，而非使用“小节一”、“小标题”等术语。

高等数学教材北大版本高等数学作为大学本科中一门重要的基础数学课程，对于培养学生的数学思维能力和分析问题的能力具有重要意义。

北大版本的高等数学教材因其严谨的数学理论、生动的实例和详细的解题步骤而备受赞誉。

本文将对北大版本高等数学教材进行详细分析和评价。

第一章：函数与极限在第一章中，北大版本高等数学教材首先引入了函数的概念，并通过图像和方程的方式对函数进行了可视化和描述。

同时，教材对于函数的基本性质和常见类型的函数进行了详细的介绍，如幂函数、指数函数、对数函数等。

此外，教材还对于函数的极限进行了深入的研究，包括极限的定义、性质以及常用的计算方法。

通过学习这一章，学生能够对函数及其极限有一个清晰的认识，并且能够掌握基本的计算技巧。

第二章：导数与微分第二章主要围绕导数展开。

教材首先介绍了导数的定义和性质，然后对一元函数的导数进行了详细的讲解，包括常用导数的计算公式和求导法则。

接着，教材引入了微分的概念，并通过实际应用问题，如切线和法线的问题，对微分进行了深入的讨论。

此外，教材还涉及到隐函数、高阶导数以及微分中值定理等内容。

通过学习这一章，学生能够理解导数的几何意义以及导数在实际问题中的应用，同时掌握导数的计算方法。

第三章：微分中值定理与导数应用第三章主要着重讨论微分中值定理以及导数的应用。

教材首先对拉格朗日中值定理和柯西中值定理进行了讲解，并通过具体的例题让学生理解中值定理的几何意义和应用。

在导数应用方面，教材介绍了函数的单调性、凹凸性和极值问题，并通过典型的最值问题和优化问题，使学生掌握导数在经济学和自然科学中的广泛应用。

第四章：不定积分第四章主要围绕不定积分展开。

教材首先介绍了不定积分的定义和基本性质，然后对常见函数的原函数进行了详细的列举。

接着，教材讲解了不定积分的计算方法和换元积分法，帮助学生掌握不定积分的基本技巧。

此外，教材还涉及到定积分的概念和性质，并给出了定积分的计算方法和应用，如曲线长度、面积和体积计算等。

高等数学教材pdf北大高等数学教材PDF（北大）教材名称：高等数学作者：北京大学教育出版社引言：数学作为一门基础学科，在高等教育中占据着极为重要的地位。

高等数学作为数学学科中的重要组成部分，对于培养学生的逻辑思维能力、分析问题的能力以及创新能力起着至关重要的作用。

为了方便广大学生学习，北京大学教育出版社精心编写了一本名为《高等数学》的教材，并以PDF格式进行发布。

本文旨在介绍该教材的主要内容和特点，以及为学生提供的学习指导。

第一章：函数与极限本章主要介绍了函数的概念、性质以及常见函数类型，如幂函数、指数函数、对数函数等。

同时，还对极限的概念进行了详细阐述，包括极限的定义、性质和计算方法等。

通过学习本章内容，学生能够建立起对函数和极限的基本认知，并能够运用所学知识解决实际问题。

第二章：导数与微分导数与微分是高等数学的核心概念之一。

本章主要介绍了导数的概念、性质以及常见的求导法则，如常数规则、幂函数求导法则、指数函数求导法则等。

此外，还引入了微分的概念，并介绍了微分的几何意义和计算方法。

通过学习本章，学生能够掌握导数和微分的概念，理解其在实际问题中的应用，并能够灵活运用求导法则解决实际计算问题。

第三章：积分与不定积分本章内容围绕积分和不定积分展开。

首先介绍了积分的概念和性质，包括定积分、不定积分和定积分计算方法等。

然后，详细讨论了不定积分的概念、性质，以及常见的求不定积分法则，如换元法、分部积分法等。

通过学习本章，学生能够掌握积分和不定积分的概念，并能够灵活运用求积分法则解决实际计算问题。

第四章：定积分与应用在第四章中，我们将进一步深入研究定积分及其应用。

首先介绍了定积分的概念和性质，包括定积分的计算方法和几何意义。

然后，将定积分与应用问题相结合，包括曲线长度、曲线面积、物理应用等。

通过学习本章，学生能够掌握定积分的相关概念和计算方法，并能够运用所学知识解决实际应用问题。

第五章：微分方程微分方程作为高等数学的一个重要分支，具有广泛的应用价值。

北大高等数学教材哪本难北大高等数学教材是中国知名大学北京大学（Peking University）出版的一套教材系列，此系列教材内容深入、全面，被广大学生和数学爱好者所关注和研究。

其中有很多本书都以其难度较高而著名，那么在北大高等数学教材中，究竟哪本教材是最难的呢？接下来，本文将探讨北大高等数学教材中的难点所在，以及评述认为最难的一本教材。

首先，要谈到北大高等数学教材中的难点，不能不提到题目的设计和解题思路。

在这套教材中，不仅出现了大量复杂的计算题，更有许多具有创新性的问题需要学生运用数学知识解决。

这些问题往往需要学生在理解数学概念的基础上，灵活运用数学方法，形成自己的解决思路。

这种思维上的转变和拓展，对于许多学生来说都是一项巨大的挑战。

其次，北大高等数学教材中的难点还体现在知识的广度和深度上。

在这套教材中，不仅包含了微积分、线性代数、概率论等基础数学知识，更涉及到了高等数学的各个分支领域。

例如，微分方程、多元函数、级数等内容都被充分覆盖。

学生需要全面理解并掌握这些知识，才能在解题过程中游刃有余。

而对于没有接触过这些领域的学生来说，这些新知识的学习和理解可能会带来较大的困难。

最后，北大高等数学教材中难点的另一个重要因素是题目的抽象性和复杂性。

有些题目的表述较为抽象，需要学生结合自己的数学直觉去理解题意。

同时，这套教材中也包含了很多具有挑战性的证明题，学生需要通过严谨的数学推理来论证问题的正确性。

这些题目既考察了学生对数学概念的理解，又要求学生具备较强的逻辑思维和推导能力。

综上所述，北大高等数学教材中的难点主要体现在题目设计、知识广度和深度，以及题目的抽象性和复杂性上。

在这套教材中，有很多本书都非常具有挑战性，难以评断哪本最难。

不同的学生在面对不同的难题时，可能会有不同的感受和困惑。

因此，挑选适合自己的教材，根据自身的学习能力和兴趣爱好来学习数学，才是最重要的。

总结来说，北大高等数学教材中的难点主要来自于题目设计和解题思路上的挑战、知识广度和深度上的涉及，以及题目的抽象性和复杂性。

高等数学北大版下册教材高等数学北大版下册是近年来我国高等教育发展中的一项重要成果，是为培养具有创新精神和实践能力的高级技术和管理人才而设计的一门必修课程。

下面我们将从课程目标、教材结构、课程重点以及学习方法四个方面来介绍高等数学北大版下册教材。

一、课程目标高等数学北大版下册教材的主要目标是培养学生具备以下几个方面的能力：首先是建立数学基本概念及其应用的能力，包括函数、极限、微分、积分等；其次是具备解决实际问题的数学建模和求解能力，理解数学与其他学科的关联性；再次是培养学生的数学思维能力和数学证明的能力，锻炼学生的分析、推理和抽象能力；最后是提高学生的团队合作和创新能力，培养学生在实际工作中灵活运用数学知识解决问题的能力。

二、教材结构高等数学北大版下册教材按照知识点和难度递进的原则，共分为七个主要章节，具体包括：1. 极限与连续：介绍数列极限和函数极限的概念，以及函数的连续性和间断点的判定方法。

2. 导数与微分：探讨函数的导数与微分的定义，研究函数的不同iable性和求导法则。

3. 微分中值定理与导数的应用：介绍微分中值定理及其应用，例如泰勒公式、近似计算和解析几何等。

4. 不定积分：讲解不定积分的概念和基本性质，并且介绍常用的积分公式和方法。

5. 定积分：详细讨论定积分的基本概念和性质，以及定积分的计算方法和应用。

6. 定积分的应用：介绍定积分的应用，包括几何应用、物理应用和经济应用等。

7. 级数：引入级数的概念和性质，介绍常见的数项级数和函数项级数，并讨论级数的收敛性和发散性。

三、课程重点根据教材结构，高等数学北大版下册教材的重点如下：1. 极限与连续：重点掌握极限的定义、性质和计算方法，以及函数的连续性和间断点的判定方法。

2. 导数与微分：重点理解导数和微分的定义，掌握常见函数的导数计算方法，能够解决导数应用问题。

3. 不定积分与定积分：重点学习不定积分和定积分的概念和基本性质，掌握常见函数的积分计算方法和定积分应用方法。

北大高等数学b教材北大高等数学B教材是北京大学数学与应用数学系编写的一本教材，专为高等数学B课程而设计。

本教材涵盖了高等数学B课程的各个主题，旨在帮助学生全面理解和掌握数学的基本概念、原理和方法。

本文将对北大高等数学B教材的内容进行详细介绍。

1. 微积分部分在微积分部分中，教材首先介绍了极限和连续这两个基本概念。

它详细解释了极限的定义、性质和计算方法，并给出了一系列精确的例子和习题。

然后，教材讲述了导数和微分的概念，包括导数的定义和运算法则，以及一些常见函数的导数。

最后，教材引入了不定积分和定积分的概念，讲解了它们的基本性质和计算方法。

2. 线性代数部分线性代数部分主要介绍了向量和矩阵的基本知识。

教材首先讲解了向量的定义、线性运算和内积，以及向量的线性相关和线性无关的概念。

然后，它介绍了矩阵的定义、运算法则和特殊矩阵的性质。

接着，教材引入了矩阵的行列式和逆矩阵，并讲解了它们的计算方法。

最后，教材阐述了线性方程组和矩阵的秩的概念，包括求解线性方程组和判断矩阵秩的方法。

3. 多元函数微分学部分多元函数微分学部分主要涉及多元函数的导数、偏导数和极值。

教材详细讲解了多元函数的偏导数的计算法则和性质，以及二阶偏导数和高阶偏导数的概念。

接着，教材介绍了多元函数的极值和条件极值的求解方法。

最后，教材讲述了多元函数的隐函数和参数方程的求导法则。

4. 多元函数积分学部分多元函数积分学部分主要包括二重积分和三重积分的概念和计算方法。

教材介绍了二重积分的定义、性质和计算法则，包括直角坐标系和极坐标系下的二重积分计算方法。

然后，教材引入了三重积分的概念和计算方法，包括直角坐标系、柱坐标系和球坐标系下的三重积分计算方法。

最后，教材讲解了曲线积分和曲面积分的基本概念和运算法则。

综上所述，北大高等数学B教材是一本涵盖了微积分、线性代数、多元函数微分学和多元函数积分学的综合性教材。

它深入浅出地讲解了各个数学概念和原理，提供了丰富的例题和习题，以帮助学生掌握和运用数学知识。

第一章总练习题221.:581 2.3|58|1422.|58|6,586586,.3552(2)33,52333,015.5(3)|1||2|1(1)(2),2144,.22|2|,.2,2,4,2;2,3x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x y x y x y x y x y x -≥-≥-≥-≥-≤-≥≤-≤-≤-≤≤≤+≥-+≥-+≥-+≥=+-≤=+≤=->=求解下列不等式（）或或设试将表示成的函数当时当时解解解2.解222312312,4,(2).32,41(2), 4.313.1.22,4(1)44,0.1,0.4.:1232(1)2.222221211,.22123222n n y x y y y x y y x x x x x x x x x x n n n n ->=--≤⎧⎪=⎨->⎪⎩<+≥-<++<++>≥-≠+++++=-+==++的全部用数学归纳法证明下列等式当时,2-等式成立设等式对于成立,则解证1231111121211222112312222222124(1)(1)3222,22221..1(1)(2)123(1).(1)1(11)1(1)1,(1)(1)n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x nx x x nxx x x x x n x x ++++++-+++++=++++++++-+++=-+=-=-+-++++++=≠--++-===--即等式对于也成立故等式对于任意正整数皆成立当时证1,1212.1(1)123(1)(1)(1)n n n nnn n x nx x x nxn x n x x +--++++++++=++-等式成立设等式对于成立,则122122112211221221(1)(1)(1)(1)1(1)(12)(1)(1)1(1)(2)(1)(1)1(1)(2)(1)(1)1(2)(1),(1)1n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x nx x n x x n x nx x x n x x n x nx x x x n x n x nx x x x n x n x n x x n 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++--+++--+++=<+++=+--->+-⎛⎫⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<+=++⎛+ ⎝类似有对令证明序列单调上升而序列单调下降,并且令则由题中的不等式证证=11111111111(1)1,111111111(1)11(1)1111111,11111.1111(1)11n n nn n nn nn nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n +++++++⎫⎛⎫-+⎪ ⎪+⎛⎫⎭⎝⎭<++ ⎪⎝⎭-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+<++ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+<+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫+<+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎛⎫+ ⎛⎫⎝⎭++< ⎪+⎝⎭111111121111111111(1)1111(1)11111111111111111.1111111.111n n nn n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n n n +++++++⎛⎫-+⎪ ⎪+⎝⎭-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫++<+-+ ⎪ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫+<+-+ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<+ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫++>+ ⎪++⎝⎭⇔我们证明22111211111(1)11..(1)(1)1111,1,1,11.nn n n n n n n n n n n e e e n n n n ++++>+++++⇔>++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫→∞+→+→+<<+ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭最后不等式显然成立当时故9.求极限22222222221111lim 1111234111111112341324351111().2233442210.()lim (00, ()lim n n n n n n n n n n n n nxf x a nx ax nxf x nx a →∞→∞→∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭++==→→∞=≠+===+作函数)的图形.解解0;1/,0.x x ⎧⎨≠⎩1111.?,()[,]|()|,[,].,(),[,],max{||,||}1,|()|,[,].,|()|,[,],(),[,].12.f x a b M f x M x a b M N f x N x a b M M N f x M x a b M f x M x a b M f x M x a b <∀∈≤≤∀∈=+<∀∈<∀∈-<<∀∈1在关于有界函数的定义下证明函数在区间上为有界函数的充要条件为存在一个正的常数使得设存在常数使得M 取则有反之若存在一个正的常数使得则证12121212:()()[,],()()()()[,].,,|()|,|()|,[,].|()()||()||()|,|()()||()||()|,[,].113.:()cos 0y f x y g x a b f x g x f x g x a b M M f x M g x M x a b f x g x f x g x M M f x g x f x g x M M x a b f x x x xπ==+<<∀∈+≤+<+=<∀∈==证明若函数及在上均为有界函数则及也都是上的有界函数存在证明在的任一证,0().11(,),00,,,(),1()(,)0,()(21/2)cos(21/2)0,21/20().n x f x M n n M f n M n nf x f x n n n x f x δδδδδδπ→->><>=>-=→=++=→∞+→n 邻域内都是无界的但当时不是无穷大量任取一个邻域和取正整数满足和则故在无界.但是x 故当时不是无穷大量证11111000114.lim (1)ln (0).1ln 1,ln ln(1),.lim lim 10.ln(1)ln(1)lim lim ln(1)ln lim(1)ln 1,ln (1)ln ().ln(1)15.()()nn nn n n n n y y y y y n nn n x x x xx y x y n y x n y y y y e y y xn x x n y f x g x →∞→∞→∞→→→-=>-==+==-=++=+=+==-=→→∞+证明令则注意到我们有设及在实轴上有证00002022222220000.:()(),,()lim ()lim ()().1cos 116.lim.22sin 1cos 2sin 1sin 12lim lim lim lim 1422n n n n n x x x y y f x g x x x x f x f x g x g x x x x x y y x x y y →∞→∞→→→→→→===-=⎛⎫-==== ⎪⎝⎭定义且连续证明若与在有理数集合处处相等,则它们在整个实轴上处处相等.任取一个无理数取有理数序列证明证证0011000000001.2ln(1)17.:(1)lim 1;(2)lim .ln(1)(1)lim lim ln(1)ln lim(1)ln 1.(1)11(2)lim lim lim lim ln(1)ln(1)lim1.1x a xa y x y y y y y x a a a x x aa ax x x y y a a y e e e y x y y y e ye e e e e y e e e y x x x y ye e +→→→→→+→→→→→=+-==+=+=+==---====++==证明证0111018.()lim ()0,()lim ()()0.|()|,0||.0,0,0|||()|/.min{,},0||,|()()||()||()|,li x ax ay f x a f x y g x a f x g x g x M x a x a f x M x a f x g x f x g x M Mδεδδεδδδδεε→→====<<-<>><-<<=<-<=<=设在点附近有定义且有极限又设在点附近有定义,且是有界函数.证明设对于任意存在使得当时令则时故证m ()()0.x af xg x →=19.()(,),,()()|()|() () ()(),()(,).y f x c g x f x f x c g x c f x cc f x c g x g x =-∞+∞≤⎧⎪=>⎨⎪-<-⎩-∞+∞设在中连续又设为正的常数定义如下 当当当试画出的略图并证明在上连续0000000000000|()|,0,||lim ()lim ()()().(),0,||()lim ()lim ().(),().0,,0,x x x x x x x x f x c x x g x f x f x g x f x c x x f x c g x c c g x f x c g x c c δδδδεεδ→→→→<>-<===>>-<>=====><>一若则存在当时|f(x)|<c,g(x)=f(x),若则存在当时,g(x)=c,若则对于任意不妨设存在使证()0000121212|||()|.||.(),()(),|()()||()|,(),(),|()-()|0.()()min{(),}max{(),}().max{(),()}(|()()|()())/2.min x x f x c x x f x c g x f x g x g x f x c f x c g x c g x g x g x f x c f x c f x f x f x f x f x f x f x δεδεε-<-<-<≤=-=-<>==<=+--=-++得当时设若则若 则二利用证121212123123123111123{(),()}(|()()|(()())/2.120.()[,],[()()()],3,,[,].[,],().()()(),(),.()min{(),(),()},f x f x f x f x f x f x f x a b f x f x f x x x x a b c a b f c f x f x f x f x c x f x f x f x f x f ηηη=--++=++∈∈======设在上连续又设其中证明存在一点使得若则取即可否则设证31231313000000()min{(),(),()},()(),[,],,[,],().21.()(),()g(),,.0()g()()g()x f x f x f x f x f x f x x c a b f c y f x x g x x x kf x l x x k l l kf x l x x kf x l x x ηη=<<∈==+=+≠+在连续根据连续函数的中间值定理存在一点使得设 在点连续而在点附近有定义但在不连续问是否在连续其中为常数如果在连续;如果在解,l 0,000000||()[[()lg()]()]/.22.Dirichlet ..,()1;,()0;lim (),()11(1)lim 0;(2)lim (arctan )sin 12n n n n x x x x x g x kf x x kf x l x x x x D x x x D x D x D x x x x x →→∞→+∞=+-''→→→→+⎛⎫= ⎪+⎝⎭不连续,因否则将在连续证明函数处处不连续任意取取有理数列则取无理数列则故不存在在不连续.23.求下列极限:证222001/112132100;2tan 5tan 5/5(3)lim lim 5.ln(1)sin [[ln(1)]/]sin /1lim(1).24.()[0,),0().0,(),(),,().{x x y x y n n x x x x x x x x x x x y e y f x f x x a a f a a f a a f a π→→→→+=====++++=+==+∞≤≤≥===设函数在内连续且满足设是一任意数并假定一般地试证明11},lim .lim ,(),().(),{}()0(1,2,),{}n n n n n n n n n n n n a a l a l f x x f l l a f a a a a f a n a →∞→∞++====≤=≥=单调递减且极限存在若则是方程的根即单调递减.又单调递减有下界,证111lim ,lim lim ()(lim )().25.()(,),:(0)1,(1),()()().()((,)).()()().()()n n n n n n n n n x n n a l a l a f a f a f l y E x E E e E x y E x E y E x e x E x x E x E x E nx E x +→∞→∞→∞→∞======-∞+∞==+==∀∈-∞+∞++==故有极限.设则设函数在内有定义且处处连续并且满足下列条件证明用数学归纳法易得于是证11.,()(11)(1).1(0)(())()()(),().().1111,(1)()()()(),().11()()().,n n n n n n nn mmm n n n E n E E e E E n n E n E n e E n E n e E n e n E E n E n E e E E e n n n n m E E m E e e r E n n n -=++====+-=-=--======⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设是正整数则于对于任意整数对于任意整数即对于所有有理数lim ().,,(),()lim ()lim ().nn n r x x x x n n n r e x x E x E x E x e e e e →∞→∞→∞=→====n 对于无理数取有理数列x 由的连续性的连续性。