2017年秋季新版北师大版八年级数学上学期2.7、二次根式课件56

第二章 实 数
2.7 二次根式
第1课时
• 1.能说出二次根式和最简二次根式的概念; • 2.能对根式进行化简.(重点)
•
一个长方形的长为9m,宽为8m,如果在面
积不变的情况下将这个长方形改为正方形,则
������������
这个正方形的边长为多少?解得边长为
,这个
数能不能化简呢?学习本节课的内容后,你就知
道了。
1.与小组的同学一起讨论:当 x 是怎样的实数时, ������ ������ 在实数 范围内有意义? ������ ������ 呢?归纳二次根式在实数范围内有意义的 条件.
当 x 取全体实数时, ������ ������ 在实数范围内有意义;当 x 取非负数 时, ������ ������ 在实数范围内有意义. 二次根式有意义的条件:被开方数为非负数.
������
= . ������ ������
������
最简二次根式的判断依据:被开方数不含分母,也不含能开 得尽方的因数或因式.
������ 1.二次根式:形如______ (������≥0)的式子叫作二次根式,
������ ______ 叫作被开方数.
������· ������ 2.二次根式的性质: ������������=____________ (������≥0,b≥0),
2.下面的式子是否是最简二次根式?如果不是,请把它们化 成最简二次根式.小组讨论总结最简二次根式的判断依据. (1) ������������;(2)
������ ������ + ������������ . ;(3) ������ ������
(1)(2)不是最简二次根式;(3)是最简二次根 式. �Байду номын сангаас����������=2 ������,

1 5 √
33 21 ×
2 3 ×
4 bb 0 √
5 a 2a 2√ 6 a bab ×
73 5m2 ×
8 x2 1 √
2、二次根式的性质
（1）计算下列各式，你能得到什么猜想?
49 36 6
4 9 23 6
4 2 93
4 2 93
（2）用计算器计算：
6 7 ＝ 6.480 ，6 7 ＝ 6.480 ；
6 7
＝ 0.9255 ，
6 7
＝ 0.9255
．
有何发现：
6
7＝
67 ，
6＝
7
6
7．
1、积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根 的积；
ab a b (a 0,b 0)
2、商的算术平方根等于被除式的算术平方根除 以除式的算术平方根.
例题讲解
例1：化简
（1）81 64 （2） 25 6 （3）
。
5 5
2
课堂小结
二次 根式
二次根式的定义
二次根式 的性质
最简二次根式
ab a • b (a 0, b 0)
a a (a 0, b 0)
b
b
第二章 实数
第二章 实数
2.7.1 二次根式
第一课时 二次根式及其化简
北师大版数学八年级上册
学习目标
1．理解二次根式的性质.（重点） 2．了解最简二次根式的定义.（重点） 3．会利用积的与商的算术平方根的性质化简 二次根式.（难点）
还记得有理数的一些运算法则吗？请运用相 关法则计算下列各式：
①－5m2+2 m2= 3m2
1 1 3 3 3 3 3 3
5 5 5 6 30 6 6 6 6 6

aa
(ab≥0，b≥b0)
知识解读
（1）在进行二次根式的乘法运算时，一定不能忽略被开方
数a，b均为非负数的条件；
（2）a必须是非负数，b必须是正数，式子 才成立.若a，
b都是负a数，则 ＞0，虽然 有意义，但
在a实数
范围内b无意义 a b
b a, b
例4 计算： 48 .
3
解： 48 48 16 4.
题型三 二次根式的加减运算在实际生活中的应用
例11“教师节”要到了，为了表示对老师的敬意，李 明做了两张大小不同的正方形壁画准备送给老师，其中一 张面积为800 cm2，另一张面积为450 cm2，他想如果再用 金彩带把壁画的边镶上会更漂亮，他现在有1.2 m长的金 彩带，请你帮助算一算，他的金彩带够用吗？如果不够， 还需买多长的金彩带？（ 2 ≈1.414，结果保留整数）
思路导图
计算出所需金彩 带的长度
将求出的长度与 1.2 m进行比较
根据比较 结果得出 结论
解：正方形壁画的边长分别为 800 cm， 450cm.
镶壁画边所用的金彩带长为 4 ( 800 450 )
4 (20 2 15 2) 140 2 197.96 (cm).
因为1.2 m=120 cm＜197.96 cm，
a a (a≥0，bb≥0) b
ab a b
知识解读
（1）
(a≥0，b≥0)中的a，b既可以是数，也可以是代数式，
但必a须b满cd足a≥0，ab≥·0.公b式·可c推·广到d多个非负因式的情况，如
(a≥0，b≥0，c≥0，d≥0)；
（2） a （a≥a0，b＞0）中的a，b既可以是数，也可以是代数式， 但a，b必须b 满足a≥b0，

3, s, 65， h ，分别从形式上 5
和被开方数上看有什么共同特点？ ①含有“ ” ②被开方数a ≥0
归纳总结
二次根式的定义 一般地，我们把形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式. “ ”称为二次根号，a叫做被开方数.
要点提醒
①外貌特征：含有“ 两个必备特征
”
②内在特征：被开方数a ≥0
[义务教育教科书]( B S ) 八 上 数 学 课 件
第二章 实数
2.7 二次根式
第1课时 二次根式及其化简
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
学习目标
1.了解二次根式的定义及最简二次根式；（重点）
2.运用二次根式有意义的条件解决相关问题.（难点）
导入新课
观察与思考
（1）如左图所示，礼盒的上面是
当堂练习
1. 下列式子中，不属于二次根式的是（ C ）
a C D
2.式子 A.x＞2
3.若
2 3x 6
有意义的条件是 C.x＜2
正方形，其面积为5，则它的边长
是
5
.如果其面积为S，则它
S
的边长是
.
（2）如左图所示，一个长方形的 围 栏，长是宽的2倍，面积为 130m2,则它的宽为 65 m.
（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时 间t(单位：s)与开始落下时离地面的高度h（单位： m)满足关系式h=5t2.如果用含有h的式子表示t,那么t 为
（2）设 y 1 x + x 1+2017，试求2x+y的值. （1）由题意可知a-2=0,b-3=0,c-4=0,解得a=2,b=3,c=4 解：
所以a-b+c=2-3+4=3;

⁠
因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式.
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数学 八年级上册 BS版
0 2典例讲练来自数学 八年级上册 BS版
3
（1）下列式子：① 5 ；②
1
；③
3
−4 ；④ − 4 ；
⑤ ＋ （ x ≥0， y ≥0）；⑥ 1 + 2 ＜ −
⑦
1
2
2 + 1 ； ⑧
1
2
；
2 + 2 + 1 . 其 中 ， 一 定 是 二 次 根 式 的
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解：①由－ x2≥0，得 x2≤0.
又因为 x2≥0，所以 x2＝0.所以 x ＝0.
故当 x ＝0时， − 2 有意义.
②由 x －4≥0，得 x ≥4.
故当 x ≥4时， − 4 有意义.
③由 x ＋2≥0，得 x ≥－2.
故当 x ≥－2时，
+2
有意义.
能称为二次根式，只能称为含有二次根式的式子.
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数学 八年级上册 BS版
（2）当 x 取什么实数时，下列各式有意义？
① − 2 ； ② − 4 ；
③
+2
；
2
④
+5
.

【思路导航】解这类问题应考虑两个方面：①二次根式的被开方
数大于或等于0；②分母不能等于0.列出不等式，求字母的取值
范围即可.
有 ②⑤⑦⑧ （填序号）.
【思路导航】根据二次根式的概念判断即可.
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【解析】因为②⑤⑦⑧式中都含有二次根号，且被开方数都为
非负数，根据二次根式的概念可知，它们都是二次根式.因为①

aa b
分母
a b
能开得尽方
a
ab
b
在前面学习了一些带有二次根号的式子，这些式 子都有一些共同的特征和一些性质，这些式子能像我 们以前学过的数一样进行运算吗？我们带着这些问题 走进课本，看能否解决你的问题.
例：当x、y都是实数，对于式子 4x24, (xy)2
1.都是二次根式吗？ （根据二次根式存在的条件判断）
直接9163412.
(2) 1 681 16 814936.
(3)
9x 64y2
9x 3 x 64y2 | 8 y |
(4)
5x 169y2
5x 169y2
5x . 13 | y |
(5) 8 11008 1 10091090.
(6) 54 9 63 6 3 6.
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
A x<3
D B
例1：当x是多少时, 3x 1在实数范围内有意义？
解析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或 等于0，所以3x－1≥0时， 3x 1 才有意义.
北师版·八年级数学·上册
2.7 二次根式
1.理解二次根式的概念及其性质； 2.理解最简二次根式的概念，会用性质对二次根式进 行化简. 3.会进行二次根式的运算，知道结果要为最简.
重点：理解二次根式和最简二次根式的概念，会进 行二次根式的化简.
难点：运用性质进行二次根式的运算.
阅读教材P41-46, 了解本节主要内容.
解：由3x－1≥0，得x≥ 1 . 3
因此当x≥ 1时， 3x1 在实数范围内有意义.

〔3〕、原式 2 5 3 5 1 5 6 5
5
5
〔4〕、原式 1 2 5 2 4 2 28 5
3
3
〔5〕、原式 6 1 6 1 6 6 5 6
23
6
2. 计算
，结果正确的选项是〔B
〕
3. 计算： 解：
4.一个直角三角形的两直角边分别是 5 cm和 45
cm，求这个三角形的面积。
〔2〕公式 a b a b（a≥0，b≥0），
a a （a≥0，b＞0）
bb
从左往右或从右往左在化简中能灵活运用．
提高题： x 2 3, y 2 3,
求x2 xy y 2
解： x 2 3, y 2 3, x y (2 3) （2 3） 2 3
xy (2 3)（2 3） 1
第二章 实数
§2.7.2 二次根式
第2课时
学习目标〔1分钟〕：
1.公式 a b a b〔a≥0，b≥0〕，
a a 〔a≥0,b＞0〕从右往左的运用． bb
2.了解二次根式的化简要求， 利用化简对实数进行简单的乘除、加减运算．
知识回忆
〔1〕被开方数中含有分母或者含有能开得尽的因 数、因式，那么需要化简；
5.一个长方形的长和宽分别是 2 1 cm和 2 1
cm。求它的面积S和它的对角线长。〔运用平方差公式〕
〔2〕两个公式
分别把下面两个式子 ab a b (a 0，b 0)， a a (a 0，b 0) bb
等号的左边与右边对换 ，就得到二次根式的乘 法法则和除法法则 :
自学指导1：5分钟
自学课本P44的例题3；进一步熟悉公式，并解答下题
例1Байду номын сангаас计算：
解：

替，移到根号外，其中把根号内的分母中的因式移到根号外 时，要注意应写在分母的位置上； (3)“三化”，即将分母有理化——化去被开方数中的分母． 注意：(1)分母中含有根式的式子不是最简二次根式；
(2)去根号时，忽视隐含条件，误将负数移到根号外； (3)去根号后漏掉括号．
例5 下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是最简二次根 式？不是最简二次根式的，请说明理由．
0.7 x 2 y 3 x .
商的算术平方根再探索 (1)商的算术平方根的性质的实质是逆用二次根式的除法
法则； (2)应用商的算术平方根的前提条件是商中被除式是非负
数，除式是正数； (3)商的算术平方根的性质的作用是化简二次根式，将分
母中的根号化去．
分母有理化 (1)定义：化去分母中根号的变形叫做分母有理化； (2)依据：分式的基本性质及 ( a )2 a (a≥0)； (3)方法：将分子和分母都乘分母的有理化因式．
积的算术平方根，等于__算__术__平__方__根__的__积__; 商的算术平方根，等于__算__术__平__方__根__的__商__;
例3 化简：
(1)
81 64;(2)
25 6;(3)
5 .
9
解：(1) 81 64 81 64 9 8 72;
(2) 25 6 25 6 5 6;
第二章 实数
2.7 二次根式 第1课时 二次根式及其性质
二次根式的定义 二次根式的性质 最简二次根式
观察下列代数式：
5, 11, 7.2, 49 , (c b)(c b)(其中b 24，c 25）. 121
可以发现，这些式子我们在前面都已学习过，它们的 共同特征是：都含有开平方运算，并且被开方数都是非负 数.

(2) 2 18- 50 1 45.
3
(2) 2 18 - 50 1 45
3
10 2-6 3 3 2
6 2-5 2 513源自2 -6 32 5课堂检测
基础巩固题
7.计算： （1）（ 32 2） 2
解：（1）（ 32 2） 2
4 2 2 2
5 2 2
5.
（2）
2
1
3
1 2-
探究新知
知识点 1 二次根式的混合运算 回顾
二次根式加减法的步骤：
（1）将每个二次根式化为最简二次根式；
（2）找出其中的同类二次根式； （3）合并同类二次根式.
交流归纳
一化 二找 三合并
探究新知
回顾 问题1 单项式与多项式、多项式与多项式的乘 法法则分别是什么? m(a+b+c)=ma+mb+mc； (m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb
（3）
A．
. B．
2
C．3 5 3
5 3 D．
5 3 5 3.
熟练掌握二次根式的混合运算的5运算法3则. 5 3
5 3
(1)求a,b,c的值；
设 单×多
(2)
则a1 b(填“>”“ <1”或 1
1
4 2 6 4 8 6
2018 2016
故能够成三角形，周长为
单×多
1 2
(2)化简： 解:∵
4 2 6 4 8 6
2018
（2019•兰州）计算： ＝（ ）
. 2016
7 二次根式（第3课时）
解：(1) （3）
=___2
前面两个问题的思路是：

二次根式的加减法
一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化
方法
成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式
进行合并
实质
实质
将被开方数相同的二次根式进行合并，只是把系
数相加减，根指数和被开方数不变
二次根式的加减运算可类比合并同类项来进行，
合并的依据是分配律
第二课时 二次根式的四则运算
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归纳总结
考
破
思路点拨
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第三课时 二次根式的混合运算
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解题通法
解决此类问题，可以把给出的复杂式子通
重
难
题 过二次根式的混合运算进行化简，再把给出的字母的值代
型 入化简后的式子计算求解．
突
破
破
［答案］ C
第二课时 二次根式的四则运算
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重
变式衍生
一个圆柱的侧面积为 32π，底面半径为
难
）
题 ，那么圆柱的高为 （A
型
A. 8
B. 16
突
破
C. 8
D. 16
第二课时 二次根式的四则运算
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解题通法
解决此类应用问题，首先要审清题意 ，列
重
难
题 出算式，再应用运算法则求解.
读
［答案］ 解：（1）原式=2 +
（2）原式=





−

2

+
=

+ − = − .
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；
第二课时 二次根式的四则运算
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二次根式乘除法的应用
重 ■题型