中考数学平面直角坐标系复习

中考数学复习考点知识归类讲解与练习专题01 平面直角坐标系与函数基本概念知识对接考点一、平面直角坐标系1．相关概念（1）平面直角坐标系（2）象限（3）点的坐标2.各象限内点的坐标的符号特征3.特殊位置点的坐标（1）坐标轴上的点（2）一三或二四象限角平分线上的点的坐标（3）平行于坐标轴的直线上的点的坐标（4）关于x轴、y轴、原点对称的点的坐标4.距离（1）平面上一点到x轴、y轴、原点的距离（2）坐标轴或平行于坐标轴的直线上两点间的距离（3）平面上任意两点间的距离5.坐标方法的简单应用（1）利用坐标表示地理位置（2）利用坐标表示平移1 / 27要点补充：点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：（1）点P(x,y)到x 轴的距离等于；（2）点P(x,y)到y 轴的距离等于；（3）点P(x,y)到原点的距离等于.考点二、函数及其图象1.变量与常量2.函数的概念3.函数的自变量的取值范围4.函数值5.函数的表示方法（解析法、列表法、图象法）6.函数图象要点补充：由函数解析式画其图像的一般步骤：（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来.专项训练一、单选题1．已知点P （a ，a+3）在第二象限，且点P 到x 轴的距离为2，则a 的值为（）A ．1-B ．5-C ．2-D ．2y x 22y x +【答案】A【分析】先判断a的取值，进而根据点P到x轴的距离为2得到a+3=2，解得即可．【详解】解：∵点P（a，a+3）在第二象限，∴30aa<⎧⎨+>⎩，∴-3＜a＜0，∵点P到x轴的距离为2，∴|a+3|=2，∴a+3=2，∴a=-1，故选：A．【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．2．在平面直角坐标系中，点P（3，4）关于y轴对称点的坐标为（）A．（﹣3，4）B．（3，4）C．（﹣3，﹣4）D．（4，﹣3）【答案】A【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．【详解】3 / 27解：点P （3，4）关于y 轴对称点的坐标为（－3，4），故选：A ．【点睛】此题主要考查了关于y 轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．3．如图，一个机器人从点O 出发，向正西方向走2m 到达点1A ；再向正北方向走4m 到达点2A ，再向正东方向走6m 到达点3A ，再向正南方向走8m 到达点4A ，再向正西方向走10m 到达点5A ，…按如此规律走下去，当机器人走到点20A 时，点20A 的坐标为（）A ．(20,20)-B ．(20,20)C ．(22,20)--D ．(22,22)-【答案】A【分析】 先求出A 1，A 2，A 3，…A 8，发现规律，根据规律求出A 20的坐标即可．【详解】解：∵一个机器人从点O 出发，向正西方向走2m 到达点1A ，点A 1在x 轴的负半轴上，∴A 1（-2,0）从点A 2开始，由点1A 再向正北方向走4m 到达点2A ，A 2（-2,4），由点2A 再向正东方向走6m 到达点3A ，A 3（6-2，4）即（4，4），由点3A 再向正南方向走8m 到达点4A ，A 4（4，4-8）即（4，-4），由点A 4再向正西方向走10m 到达点5A ，A 5（4-10，-4）即（-6，-4），由点A 5再向正北方向走12m 到达点A 6，A 6（-6，12-4）即（-6，8），5 / 27由点A 6再向再向正东方向走14m 到达点A 7，A 7（14-6，8）即（8，8），由点A 7再向正南方向走16m 到达点8A ，A 8（8，8-16）即（8，-8），观察图象可知，下标为偶数时在二四象限，下标为奇数时（除1外）在一三象限，下标被4整除在第四象限．且横坐标与下标相同，因为2054=⨯，所以20A 在第四象限，坐标为(20,20)-．故选择A ．【点睛】本题考查平面直角坐标系点的坐标规律问题，掌握求点的坐标方法与过程，利用下标与坐标的关系找出规律是解题关键．4．小娜驾车从哈尔滨到大庆．设她出发第x min 时的速度为y km/h ，图中的折线表示她在整个驾车过程中y 与x 之间的函数关系式．下列说法：（1）在77≤x ≤88时，小娜在休息；（2）小娜驾车的最高速度是120km/h ；（3）小娜出发第16.5min 时的速度为48km/h ；（4）如果汽车每行驶100km 耗油10升，那么小娜驾车在33≤x ≤66时耗油6.6升． 其中正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】根据函数图象对每个选项进行分析判断，最后得出结论．①观察图象在77≤x ≤88时，小娜在以时速96千米在行驶；②观察图象小娜的最高时速为120千米；③用待定系数法求出11≤x ≤22时的函数关系式，可求小娜出发第16.5min 时的速度；④小娜驾车在33≤x ≤66时时速为120千米/小时，依次求出小娜驾车在33≤x ≤66时行驶的路程，从而耗油量可求．【详解】解：①观察图象在77≤x ≤88时，小娜在以时速96千米在行驶；故①错误； ②观察图象小娜的最高时速为120千米，故②正确；③在11≤x ≤22时，设y ＝kx +b ．将（11，24）和（22，72）代入上式：11242272k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得：481124k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩． ∴482411y x =-． 当x ＝16.5min 时，y ＝48．∴小娜出发第16.5min 时的速度为48km /h ．故③正确；④由图象可知：小娜驾车在33≤x ≤66时时速为120千米/小时，∴车在33≤x ≤66时小娜行驶了66331206660-⨯=（千米）． ∴耗油为：66×10100＝6.6（升）．7 / 27故④正确；综上，正确的有②③④共三个．故选：C ．【点睛】本题主要考查了一次函数的应用．理解函数图象上的点的实际意义是解题的关键．另外待定系数法是确定函数解析式的重要方法．5．下列不能表示y 是x 的函数的是（）A ．B ．21y x =+C ．D ．【答案】C【分析】根据函数的定义（给定一个x 值都有唯一确定的y 值与它对应），对选项逐个判断即可．【详解】解：根据函数的定义（给定一个x 值都有唯一确定的y 值与它对应），对选项逐个判断， A ：观察列表数据发现，符合函数的定义，不符合题意；B ：观察x 与y 的等式发现，符合函数的定义，不符合题意；C ：观察函数图像发现，不符合函数的定义，符合题意；D ：观察函数图像发现，符合函数的定义，不符合题意；故选：C ．【点睛】此题主要考查了函数的定义，涉及到了函数的表示方法（解析法，图像法和列表法），熟练掌握函数的基础知识是解题的关键．x的函数的是（）6．下列各图象中，y不是．．A．B．C．D．【答案】B【分析】对于自变量x的每一个确定的值y都有唯一的确定值与其对应，则y是x的函数，根据函数的定义解答即可.【详解】根据函数的定义，选项A、C、D图象表示y是x的函数，B图象中对于x的一个值y有两个值对应，故B中y不是x的函数，故选：B.【点睛】此题考查函数的定义，函数图象，结合函数图象正确理解函数的定义是解题的关键.9 / 277．如图，在平面直角坐标系中，//AB DC ，AC BC ⊥，5CD AD ==，6AC =，将四边形ABCD向左平移m 个单位后，点B 恰好和原点O 重合，则m 的值是（）A ．11.4B ．11.6C ．12.4D ．12.6【答案】A【分析】 由题意可得，m 的值就是线段OB 的长度，过点D 作DE AC ⊥，过点C 作CF OB ⊥，根据勾股定理求得DE 的长度，再根据三角形相似求得BF ，矩形的性质得到OF ，即可求解．【详解】解：由题意可得，m 的值就是线段OB 的长度，过点D 作DE AC ⊥，过点C 作CF OB ⊥，如下图：∵5CD AD ==，DE AC ⊥ ∴132CE AC ==，90DEC ∠=︒由勾股定理得4DE =∵//AB DC∴DCE BAC ∠=∠，90ODC BOD ∠=∠=︒又∵AC BC⊥∴90 ACB CED∠=∠=︒∴DEC BCA△∽△∴DE CE CDBC AC AB==，即4356BC AB==解得8BC=，10AB=∵CF OB⊥∴90 ACB BFC∠=∠=︒∴BCF BAC∽△△∴BC BFAB BC=，即8108BF=解得 6.4BF=由题意可知四边形OFCD为矩形，∴5OF CD==11.4OB BF OF=+=故选A【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，图形的平移，矩形的判定与性质，勾股定理等，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．8．在平面直角坐标系中，已知点A(0，0)、B(2，2)、C(3，0)，若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标不可能为（）A．(﹣1，2) B．(5，2) C．(1，﹣2) D．(2，﹣2)【答案】D【分析】分三种情况：①BC为对角线时，②AB为对角线时，③AC为对角线时；由平行四边形的11 / 27性质容易得出点D 的坐标． 【详解】解：分三种情况：①BC 为对角线时，点D 的坐标为（5，2） ②AB 为对角线时，点D 的坐标为（﹣1，2）， ③AC 为对角线时，点D 的坐标为（1，﹣2），综上所述，点D 的坐标可能是（5，2）或（﹣1，2）或（1，﹣2）． 故选：D ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形的性质；熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．9．半径是R 的圆的周长C 2R π=，下列说法正确的是（） A ．C ，π，R 是变量，2是常量 B ．C 是变量，2，π，R 是常量 C ．R 是变量，2，π，C 是常量 D ．C ，R 是变量，2π是常量【答案】D 【分析】根据变量和常量的概念解答即可． 【详解】解：在半径是R 的圆的周长2C R π=中，C ，R 是变量，2π是常量． 故选D ． 【点睛】本题主要考查了变量和常量，在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量．10．关于变量x ，y 有如下关系：①6-=x y ；②24y x =；③2y x =；④3y x =．其中y 是x 函数的是（） A ．①③ B ．①②③④ C ．①③④ D ．①②③【答案】C 【分析】根据函数的定义可知，满足对于x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定函数的个数． 【详解】解：y 是x 函数的是①x -y =6；③y =2|x |；④3y x =； ∵x =1时，y =±2，∴对于y 2=4x ，y 不是x 的函数； 故选：C ． 【点睛】本题考查了函数的定义，函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x ，y ，对于x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值与之对应，则y 是x 的函数，x 叫自变量． 二、填空题11．若点()25,4P a a --到两坐标轴的距离相等，则点P 的坐标是______． 【答案】()1,1或()3,3-； 【分析】根据题意可得关于a 的绝对值方程，解方程可得a 的值，进一步即得答案. 【详解】解：∵P (2a -5，4-a )到两坐标轴的距离相等， ∴254a a -=-.13 / 27∴254a a -=-或25(4)a a -=--， 解得3a =或1a =，当3a =时，P 点坐标为（1，1）； 当1a =时，P 点坐标为（-3，3）． 故答案为：（1，1）或（-3，3）． 【点睛】本题考查了直角坐标系中点的坐标特征，根据题意列出方程是解题的关键.12．在平行四边形ABCD 中，点A 的坐标是（﹣1，0），点B 的坐标是（2，3），点D 的坐标是（3，1），则点C 的坐标是___． 【答案】（6，4）． 【分析】根据四边形ABCD 是平行四边形，可得AB∥DC ，且AB =DC ，根据坐标间关系可得2-（-1）=x C -3，3-0=y C -1，解得x C =6，y C =4即可． 【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB∥DC ，且AB =DC ， ∴2-（-1）=x C -3，3-0=y C -1， ∴x C =6，y C =4， 点C （6，4） 故答案为（6，4）．【点睛】本题考查平行四边形的性质，点的坐标关系建构方程，掌握平行四边形的性质，点的坐标关系建构方程．13．函数y＝182xx+-的自变量的取值范围是______．【答案】x≠4【分析】当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零，据此可得结论．【详解】解：由题可得，8﹣2x为分母，8﹣2x≠0，解得x≠4，∴函数182xyx+=-的自变量的取值范围是x≠4，故答案为：x≠4．【点睛】本题考查的是自变量的取值范围，由于此题表达式为分式，根据分式有意义的条件，分母不为零，得到自变量的取值范围．14．若一个函数图象经过点A（1，3），B（3，1），则关于此函数的说法：①该函数可能是一次函数；②点P（2，2.5），Q（2，3.5）不可能同时在该函数图象上；15 / 27③函数值y 一定随自变量x 的增大而减小；④可能存在自变量x 的某个取值范围，在这个范围内函数值y 随自变量x 增大而增大． 所有正确结论的序号是 ___． 【答案】①②④ 【分析】根据函数的定义，一次函数的图象及函数的性质一一分析即可求解． 【详解】解：①因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线，故该函数可能是一次函数，故正确；②由函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x ，y ，对于x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值与之对应，则y 是x 的函数，x 叫自变量，所以点P （2，2.5），Q （2，3.5）不可能同时在该函数图象上，故正确；③因为函数关系不确定，所以函数值y 不一定一直随自变量x 的增大而减小，故错误； ④可能存在自变量x 的某个取值范围，在这个范围内函数值y 随自变量x 增大而增大，故正确； 故答案为①②④． 【点睛】本题主要考查函数的定义及一次函数的图象与性质，熟练掌握函数的定义及一次函数的图象与性质是解题的关键．15．在圆周长公式2C r π=中，常量是__________． 【答案】2π 【分析】根据常量的定义即可解答． 【详解】解：圆周长公式2C r π=中，常量是2π， 故答案为：2π． 【点睛】本题考查了常量的定义，正确理解定义是关键．16．如图，平面直角坐标系中O 是原点，等边△OAB 的顶点A 的坐标是（2，0），点P 以每秒1个单位长度的速度，沿O →A →B →O →A …的路线作循环运动，点P 的坐标是__________________．【答案】12⎛ ⎝⎭【分析】计算前面7秒结束时的各点坐标，得出规律，再按规律进行解答便可． 【详解】解：由题意得，第1秒结束时P 点运动到了线段OA 的中点C 的位置，所以P 1的坐标为P 1（1，0）；第2秒结束时P 点运动到了点A 的位置，所以P 2的坐标为P 2（2，0）；第3秒结束时P 点运动到了线段AB 的中点D 的位置，如下图所示，过D点作x轴的垂线交于x2处，∵△OAB是等边三角形，且OA=2，∴在Rt△AD x2中，∠DA x2=60°，AD=1，∴21 2Ax=，2Dx=故D点的坐标为32⎛⎝⎭，即P332⎛⎝⎭;第4秒结束时P点运动到了点B的位置，同理过B点向x轴作垂线恰好交于点C，在Rt△OBC中，∠BOC =60°，2OB=，1OC=,BC故B点的坐标为（1，即P4（1；第5秒结束时P点运动到了线段OB的中点E的位置，根据点D即可得出E点的坐标为12⎛⎝⎭，即 P512⎛⎝⎭；第6秒结束时运动到了点O的位置，所以P6的坐标为P6（0，0）；第7秒结束时P点的坐标为P7（1，0），与P1相同；……17 / 27由上可知，P 点的坐标按每6秒进行循环， ∵2021÷8＝336……5，∴第2021秒结束后，点P 的坐标与P 5相同为12⎛ ⎝⎭，故答案为：12⎛ ⎝⎭．【点睛】本题主要考查了点的坐标特征，等边三角形的性质，数字规律，关键是求出前面几个点坐标，得出规律．17．平面直角坐标系中，点()5,3A -，()0,3B ，()5,0C -，在y 轴左侧一点(),P a b （0b ≠且点P 不在直线AB 上）．若40APO ∠=︒，BAP ∠与COP ∠的角平分线所在直线交于D 点．则ADO ∠的度数为______°．【答案】110或70 【分析】分两种情况，①点P 在AO 下方，设AP 与CO 交于点N ，过点N 作//NM AD ，先证明NM 平分PNO ∠，根据“三角形两内角平分线的夹角与第三个角的关系”，可以得出1902NMO P ∠=+∠，即可求解；②点P 在AO 上方，设PO 与AB 交于点M，过点M 作//NM OD ，先证明NM 平分PNA ∠，根据“三角形两内角平分线的夹角与第三个角的关系”，可以得出1902NMA P ∠=+∠，即可求解． 【详解】19 / 27解：分两种情况， ①点P 在AO 下方时，设AP 与CO 交于点N ，过点N 作//NM AD ，PAD PNM ∴∠=∠， //AB NO ， BAN ONP ∴∠=∠，AD 平分BAN ∠，12PAD BAN ∴∠=∠，12PNM ONP ∴∠=∠，NM∴平分ONP ∠，OM 平分NOP ∠，111(180)70222MNO NOM ONP PON NPO ∴∠+∠=∠+∠=-∠=︒，110NMO ∴∠=︒， //NM AD ，110ADO NMO ∴∠=∠=︒；①点P 在AO 上方时，设AB 与PO 交于点N ，过点N 作//NM OD ，POD PNM ∴∠=∠，//AB CO ，PNA POC ∴∠=∠，DO 平分POC ∠，12POD POC ∴∠=∠，12PNM PNA ∴∠=∠，NM∴平分ANP ∠，直线CD 平分NAP ∠，111(180)70222MNA NAM PNA PAN NPA ∴∠+∠=∠+∠=-∠=︒，110NMA ∴∠=︒， //NM AD ，18070ADO NMO ∴∠=-∠=， 70ADO ∴∠=︒或110︒．故答案为：70或110．【点睛】本题主要考查了三角形双内角平分线模型，平行线的性质，解题的关键是找基本模型． 18．一个三角形的底边长是3，高x 可以任意伸缩，面积为y ，y 随x 的变化变化，则其中的常量为________，y 随x 变化的解析式为______________． 【答案】3 32y x = 【分析】先根据变量与常量的定义，得到3为常量，x 和y 为变量，再根据三角形面积公式得到21 / 27y =12×3×x =32x （x ＞0）， 【详解】解：数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量，因此常量为底边长3，由三角形的面积公式得y 随x 变化的解析式为32y x =． 故答案为：3；32y x =. 【点睛】本题考查主要函数关系式中的变量与常量和列函数关系式解决本题的关键是要理解函数关系中常量和变量． 三、解答题19．已知一个圆柱的底面半径是3cm ，当圆柱的高(cm)h 变化时，圆柱的体积()3cm V 也随之变化．（1）在这个变化过程变量h 、V 中，自变量是______，因变量是______； （2）在这个变化过程中，写出圆柱的体积V 与高h 之间的关系式；（3）当圆柱的高h 由3cm 变化到6cm 时，圆柱的体积V 由______变化到______． 【答案】（1）h ，V ；（2）9V h π=；（3）327cm π，354cm π 【分析】（1）利用函数的概念进行回答；（2）利用圆柱的体积公式求解；（3）分别计算出h ＝3和6对应的函数值可得到V 的变化情况． 【详解】解：（1）在这个变化过程中，自变量是h ，因变量是V ；故答案为h ，V ；（2）V ＝π•32•h ＝9πh ；（3）当h ＝3cm 时，V ＝27πcm 3；当h ＝6cm 时，V ＝54πcm 3；所以当h 由3cm 变化到6cm 时，V 是由27πcm 3变化到54πcm 3．故答案为：27πcm3；54πcm3．【点睛】本题考查了函数关系式：用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式．函数解析式是等式．解决此题的关键是圆柱的体积公式．20．一辆大客车和一辆小轿车同时从甲地出发去乙地，匀速而行，大客车到达乙地后停止，小轿车到达乙地后停留4小时，再按照原速从乙地出发返回甲地，小轿车返回甲地后停止，已知两车距甲地的路程s千米与所用的时间t小时的关系如图所示，请结合图象解答下列问题：（1）在上述变化过程中，自变量是________；因变量是________；（2）小轿车的速度是________km/h，大客车的速度是________ km/h；（3）两车出发多少小时后两车相遇，两车相遇时，距离甲地的路程是多少？【答案】（1）t，s；（2）50，30；（3）15小时，450km【分析】（1）根据函数图像可得；（2）根据函数图象中的数据，可以计算出小轿车和大客车的速度；（3）设两车出发xh时，两车相遇，根据题意列出方程，解之可得x，再乘以大客车的速度可得到甲地的距离．【详解】解：（1）自变量是时间t；因变量是路程s；（2）由图象可得，小轿车的速度为：500÷10=50（km/h），大客车的速度为：500÷503=30（km/h），故答案为：50，30；（3）设两车出发x小时，两车相遇，30x+50（x-14）=500，解得，x=15，30x=30×15=450，即两车出发15h后两车相遇，两车相遇时，距离甲地的路程是450km，故答案为：15，450．【点睛】本题考查了从函数图像获取信息，一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，结合函数图像得到必要信息．21．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，C（4，0），A（a，3），B（a＋4，3）（1）求ΔOAC的面积；（2）若aOABC是菱形．【答案】（1）6；（2）见解析【分析】（1）过点A（a，3）作AE⊥x轴于点E，根据A（a，3），C（4，0）求出AE和OC的长度，23 / 27然后根据三角形面积公式求解即可；（2）首先根据点A 和点B 的纵坐标相同得到//AB OC ，然后结合AB OC =得到四边形OABC 是平行四边形，然后根据勾股定理求出OA 的长度，得到OA =OB ，根据菱形的判定定理即可证明． 【详解】解：（1）如图所示，过点A （a ，3）作AE ⊥x 轴于点E ，则AE =3， 又∵C （4，0）， ∴OC =4，∴S △OAC =11=43622OC AE ⨯⨯⨯⨯=．（2）若a =)A ，)43B ，， ∵A B y y =， ∴//AB OC ， ∵44AB OC ==，， ∴AB OC =．∴四边形OABC 是平行四边形， 过点A 作AE ⊥x 轴，则90AEO ∠=︒，3AE OE ==，∴4OA =，∴OA AB=，∴四边形OABC是菱形．【点睛】此题考查了三角形面积的求法，菱形的判定，解题的关键是根据题意找到坐标和线段的关系．22．定义：平面直角坐标系中，点M（a，b）和点N（m，n）的距离为MN，例如：点（3，2）和（4，0（1）在平面直角坐标系中，点（2，5-）和点（2，1）的距离是，点（72，3）和点（12，1-）的距离是；（2）在平面直角坐标系中，已知点M（2-，4）和N（6，3-），将线段MN平移到M ′ N′，点M的对应点是M′，点N的对应点是N′，若M′的坐标是（8-，m），且MM′=10，求点N′的坐标；（3）在平面直角坐标系中，已知点A在x轴上，点B在y轴上，点C的坐标是（12，5），若BC=13，且△ABC的面积是20，直接写出点A的坐标．【答案】（1）6，5；（2）当M′（-8，12）时，N′（0，5），当M′（-8，-4）时，N′（0，-11）；（3）（8，0）或（-8，0）或（16，0）或（32，0）【分析】（1）分别利用两点间距离公式求解即可．（2）构建方程求出m的值，可得结论．（3）设(0,)B t，构建方程求出t的值，可得结论．【详解】解：（1）点(2,5)-和点(2,1)的距离6，25 / 27点7(2，3)和点1(2，1)-的距离5=， 故答案为：6，5． （2）由题意，10MM '=，∴10=，12m =∴或4-，(8,12)M ∴'-或(8,4)--，当(8,12)M '-时，(0,5)N '， 当(8,4)M '--时，(0,11)N '-． （3）设(0,)B t ，(12,5)C ，13BC =，∴13，解得0t =或10，(0,0)B ∴或(0,10)，当(0,0)B 时，20ABC S ∆=，∴15202OA ⨯⨯=， 8OA ∴=，(8,0)A ∴或(8,0)-．当(0,10)B 时，20ABC BOC AOC AOB S S S S ∆∆∆∆=+-=或20ABC AOC AOB BOC S S S S ∆∆∆∆=--=，∴111101*********OA OA ⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯=或111101012520222OA OA ⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=，16OA ∴=或32，∴或(32,0)，A(16,0)综上所述，满足条件的点A的坐标为(8,0)或(8,0)-或(16,0)或(32,0)．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了两点间距离公式，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．27 / 27。

平面直角坐标系一．选择题（共10小题）1．下列各点中在第二象限的是（）A．（3，2） B．（﹣3，﹣2） C．（﹣3，2）D．（3，﹣2）2．在平面直角坐标系中，点（3，﹣4）所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知点P（x+3，x﹣4）在x轴上，则x的值为（）A．3 B．﹣3 C．﹣4 D．44．如图在正方形网格中，若A（1，1），B（2，0），则C点的坐标为（）A．（﹣3，﹣2） B．（3，﹣2）C．（﹣2，﹣3） D．（2，﹣3）5．如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1、O2、O3，…组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2017秒时，点P的坐标是（）A．（2016，0）B．（2017，1）C．（2017，﹣1）D．（2018，0）6．点P（﹣3，2）在平面直角坐标系中所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），…，按这样的运动规律，经过第2011次运动后，动点P的坐标是（）A．（2011，0）B．（2011，1）C．（2011，2）D．（2010，0）8．若x轴上的点P到y轴的距离为3，则点P的坐标为（）A．（0，3） B．（0，3）或（0，﹣3） C．（3，0） D．（3，0）或（﹣3，0）9．若点P（x，5）在第二象限内，则x应是（）A．正数 B．负数 C．非负数D．有理数10．若点P（x，y）的坐标满足xy=0，则点P的位置是（）A．在x轴上 B．在y轴上C．是坐标原点D．在x轴上或在y轴上二．填空题（共8小题）11．若点B（a，b）在第三象限，则点C（﹣a+1，3b﹣5）在第象限．12．点A的坐标（4，﹣3），它到x轴的距离为．13．已知点P的坐标为（2﹣a，3a+6），且点P到两坐标轴的距离相等，则a= ．14．已知点M（a，b），且a•b＞0，a+b＜0，则点M在第象限．15．在直角坐标系中，若点P（a﹣2，a+5）在y轴上，则点P的坐标为．16．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=x+2交x轴于点A，交y轴于点A1，点A2，A3，…在直线l上，点B1，B2，B3，…在x轴的正半轴上，若△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3，…，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第n个等腰直角三角形A n B n﹣1B n顶点B n的横坐标为．17．确定平面内某一点的位置一般需要个数据．18．在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（a，b），若规定以下三种变换：①△（a，b）=（﹣a，b）；②○（a，b）=（﹣a，﹣b）；③Ω（a，b）=（a，﹣b），按照以上变换例如：△（○（1，2））=（1，﹣2），则○（Ω（3，4））等于．三．解答题（共4小题）19．已知平面直角坐标系中有一点M（m﹣1，2m+3）（1）点M到x轴的距离为1时，M的坐标？（2）点N（5，﹣1）且MN∥x轴时，M的坐标？20．已知点P（a﹣2，2a+8），分别根据下列条件求出点P的坐标．（1）点P在x轴上；（2）点P在y轴上；（3）点Q的坐标为（1，5），直线PQ∥y轴；（4）点P到x轴、y轴的距离相等．21．如图，A（﹣1，0），C（1，4），点B在x轴上，且AB=3．（1）求点B的坐标；（2）求△ABC的面积；（3）在y轴上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为10？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．22．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（0，α），B（b，α），且α、b满足（a﹣2）2+|b﹣4|=0，现同时将点A，B分别向下平移2个单位，再向左平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，AB．（1）求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积S四边形ABCD（2）在y轴上是否存在一点M，连接MC，MD，使S△MCD=S四边形ABDC？若存在这样一点，求出点M的坐标，若不存在，试说明理由．（3）点P是线段BD上的一个动点，连接PA，PO，当点P在BD上移动时（不与B，D重合）的值是否发生变化，并说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．下列各点中在第二象限的是（）A．（3，2） B．（﹣3，﹣2） C．（﹣3，2）D．（3，﹣2）【分析】根据各象限内点的坐标特征对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、（3，2）在第一象限，故本选项错误；B、（﹣3，﹣2）在第三象限，故本选项错误；C、（﹣3，2）在第二象限，故本选项正确；D、（3，﹣2）在第四象限，故本选项错误．故选C．【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．2．在平面直角坐标系中，点（3，﹣4）所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】应先判断出点的横纵坐标的符号，进而判断点所在的象限．【解答】解：∵点的横坐标3＞0，纵坐标﹣4＜0，∴点P（3，﹣4）在第四象限．故选D．【点评】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点．四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．3．已知点P（x+3，x﹣4）在x轴上，则x的值为（）A．3 B．﹣3 C．﹣4 D．4【分析】直接利用x轴上点的纵坐标为0，进而得出答案．【解答】解：∵点P（x+3，x﹣4）在x轴上，∴x﹣4=0，解得：x=4，故选：D．【点评】此题主要考查了点的坐标，正确把握x轴上点的坐标性质是解题关键．4．如图在正方形网格中，若A（1，1），B（2，0），则C点的坐标为（）A．（﹣3，﹣2） B．（3，﹣2）C．（﹣2，﹣3） D．（2，﹣3）【分析】根据A（1，1），B（2，0），再结合图形即可确定出点C的坐标．【解答】解：∵点A的坐标是：（1，1），点B的坐标是：（2，0），∴点C的坐标是：（3，﹣2）．故选B．【点评】本题主要考查了点的坐标．点坐标就是在平面直角坐标系中，坐标平面内的点与一对有序实数是一一对应的关系，这对有序实数则为这个点的坐标点的坐标．5．如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1、O2、O3，…组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2017秒时，点P的坐标是（）A．（2016，0）B．（2017，1）C．（2017，﹣1）D．（2018，0）【分析】以时间为点P的下标，根据半圆的半径以及部分点P的坐标可找出规律“P4n（n，0），P4n+1（4n+1，1），P4n+2（4n+2，0），P4n+3（4n+3，﹣1）”，依此规律即可得出第2017秒时，点P的坐标．【解答】解：以时间为点P的下标．观察，发现规律：P0（0，0），P1（1，1），P2（2，0），P3（3，﹣1），P4（4，0），P5（5，1），…，∴P4n（n，0），P4n+1（4n+1，1），P4n+2（4n+2，0），P4n+3（4n+3，﹣1）．∵2017=504×4+1，∴第2017秒时，点P的坐标为（2017，1）．故选B【点评】本题考查了规律型中点的坐标，解题的关键是找出点P的变化规律“P4n（n，0），P4n+1（4n+1，1），P4n+2（4n+2，0），P4n+3（4n+3，﹣1）”．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据圆的半径及时间罗列出部分点P的坐标，根据坐标发现规律是关键．6．点P（﹣3，2）在平面直角坐标系中所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根据平面直角坐标系中点的坐标符号可得答案．【解答】解：点P（﹣3，2）在平面直角坐标系中所在的象限是第二象限，故选：B．【点评】此题主要考查了点的坐标，关键是掌握平面直角坐标系中个象限内的点的坐标符号，第一象限（+，+），第二象限（﹣，+），第三象限（﹣，﹣）第四象限（+，﹣）．7．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），…，按这样的运动规律，经过第2011次运动后，动点P的坐标是（）A．（2011，0）B．（2011，1）C．（2011，2）D．（2010，0）【分析】观察不难发现，点的横坐标等于运动的次数，纵坐标每4次为一个循环组循环，用2011除以4，余数是几则与第几次的纵坐标相同，然后求解即可．【解答】解：∵第1次运动到点（1，1），第2次运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），第4次运动到点（4，0），第5次运动到点（5，1）…，∴运动后点的横坐标等于运动的次数，第2011次运动后点P的横坐标为2011，纵坐标以1、0、2、0每4次为一个循环组循环，∵2011÷4=502…3，∴第2011次运动后动点P的纵坐标是第503个循环组的第3次运动，与第3次运动的点的纵坐标相同，为2，∴点P（2011，2）．故选C．【点评】本题是对点的坐标的规律的考查，根据图形观察出点的横坐标与纵坐标的变化规律是解题的关键．8．若x轴上的点P到y轴的距离为3，则点P的坐标为（）A．（0，3） B．（0，3）或（0，﹣3） C．（3，0） D．（3，0）或（﹣3，0）【分析】由于点P到y轴的距离是3，并且在x轴上，由此即可P横坐标和纵坐标，也就确定了P的坐标．【解答】解：∵P在x轴上，∴P的纵坐标为0，∵P到y轴的距离是3，∴P的横坐标为3或﹣3，∴点P坐标是（3，0）或（﹣3，0）．故选D．【点评】此题主要考查了根据点在坐标系中的位置及到坐标轴的距离确定点的坐标，解决这些问题要熟练掌握坐标系各个不同位置的坐标特点．9．若点P（x，5）在第二象限内，则x应是（）A．正数 B．负数 C．非负数D．有理数【分析】在第二象限时，横坐标＜0，纵坐标＞0，因而就可得到x＜0，即可得解．【解答】解：∵点P（x，5）在第二象限，∴x＜0，即x为负数．故选B．【点评】解决本题解决的关键是熟记在各象限内点的坐标的符号，第一象限点的坐标符号为（+，+），第二象限点的坐标符号为（﹣，+），第三象限点的坐标符号为（﹣，﹣），第四象限点的坐标符号为（+，﹣）．10．若点P（x，y）的坐标满足xy=0，则点P的位置是（）A．在x轴上 B．在y轴上C．是坐标原点D．在x轴上或在y轴上【分析】根据坐标轴上的点的坐标特点解答即可．【解答】解：因为xy=0，所以x、y中至少有一个是0；当x=0时，点在y轴上；当y=0时，点在x轴上．当x=0，y=0时是坐标原点．所以点P的位置是在x轴上或在y轴上．故选：D．【点评】本题主要考查了坐标轴上点的坐标特点，即点在x轴上点的坐标为纵坐标等于0；点在y轴上点的坐标为横坐标等于0．二．填空题（共8小题）11．若点B（a，b）在第三象限，则点C（﹣a+1，3b﹣5）在第四象限．【分析】先根据B（a，b）在第三象限判断出a，b的符号，进而判断出﹣a+1，3b﹣5的符号，即可判断出点C所在的象限．【解答】解：∵点B（a，b）在第三象限，∴a＜0，b＜0，∴﹣a+1＞0，3b﹣5＜0，则点C（﹣a+1，3b﹣5）满足点在第四象限的条件，故点C（﹣a+1，3b﹣5）在第四象限．【点评】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点．四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．12．点A的坐标（4，﹣3），它到x轴的距离为 3 ．【分析】求得﹣3的绝对值即为点A到x轴的距离．【解答】解：∵|﹣3|=3，∴点A（4，﹣3）到x轴的距离为3．故答案填：3．【点评】本题考查的是点的坐标的几何意义，用到的知识点为：点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值．13．已知点P的坐标为（2﹣a，3a+6），且点P到两坐标轴的距离相等，则a= ﹣1或﹣4 ．【分析】由于点P的坐标为（2﹣a，3a+6）到两坐标轴的距离相等，则|2﹣a|=|3a+6|，然后去绝对值得到关于a的两个一次方程，再解方程即可．【解答】解：根据题意得|2﹣a|=|3a+6|，所以2﹣a=3a+6或2﹣a=﹣（3a+6），解得a=﹣1或a=﹣4．故答案为﹣1或﹣4．【点评】本题考查了点的坐标：直角坐标系中点与有序实数对一一对应；在x轴上点的纵坐标为0，在y轴上点的横坐标为0；记住各象限点的坐标特点．14．已知点M（a，b），且a•b＞0，a+b＜0，则点M在第三象限．【分析】由于a•b＞0则a、b同号，而a+b＜0，于是a＜0，b＜0，然后根据各象限点的坐标特点进行判断．【解答】解：∵a•b＞0，∴a、b同号∵a+b＜0，∴a＜0，b＜0，∴点M（a，b）在第三象限．故答案为三．【点评】本题考查了坐标：直角坐标系中点与有序实数对一一对应；在x轴上点的纵坐标为0，在y轴上点的横坐标为0；记住各象限点的坐标特点．15．在直角坐标系中，若点P（a﹣2，a+5）在y轴上，则点P的坐标为（0，7）．【分析】让点P的横坐标为0列式求得a的值，即可求得点P的坐标．【解答】解：∵点P（a﹣2，a+5）在直角坐标系的y轴上，∴a﹣2=0，解得a=2，a+5=7，∴P坐标为（0，7）．故答案为：（0，7）．【点评】此题主要考查了点的坐标特点，解决本题的关键是掌握好坐标轴上的点的坐标的特征：y轴上的点的横坐标为0．16．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=x+2交x轴于点A，交y轴于点A1，点A2，A3，…在直线l上，点B1，B2，B3，…在x轴的正半轴上，若△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3，…，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第n个等腰直角三角形A n B n﹣1B n顶点B n的横坐标为2n+1﹣2 ．【分析】先求出B1、B2、B3…的坐标，探究规律后，即可根据规律解决问题．【解答】解：由题意得OA=OA1=2，∴OB1=OA1=2，B1B2=B1A2=4，B2A3=B2B3=8，∴B1（2，0），B2（6，0），B3（14，0）…，2=22﹣2，6=23﹣2，14=24﹣2，…∴B n的横坐标为2n+1﹣2．故答案为 2n+1﹣2．【点评】本题考查规律型：点的坐标、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是从特殊到一般，探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．17．确定平面内某一点的位置一般需要 2 个数据．【分析】坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的．【解答】解：∵确定一个点的坐标需要横、纵坐标，∴是2个数据．故填：2．【点评】本题考查的是有序数对应由2个数据构成．18．在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（a，b），若规定以下三种变换：①△（a，b）=（﹣a，b）；②○（a，b）=（﹣a，﹣b）；③Ω（a，b）=（a，﹣b），按照以上变换例如：△（○（1，2））=（1，﹣2），则○（Ω（3，4））等于（﹣3，4）．【分析】根据三种变换规律的特点解答即可．【解答】解：○（Ω（3，4））=○（3，﹣4）=（﹣3，4）．故答案为：（﹣3，4）．【点评】本题考查了点的坐标，读懂题目信息，理解三种变换的变换规律是解题的关键．三．解答题（共4小题）19．已知平面直角坐标系中有一点M（m﹣1，2m+3）（1）点M到x轴的距离为1时，M的坐标？（2）点N（5，﹣1）且MN∥x轴时，M的坐标？【分析】（1）根据题意可知2m+3的绝对值等于1，从而可以得到m的值，进而得到件M的坐标；（2）根据题意可知点M的纵坐标等于点N的纵坐标，从而可以得到m的值，进而得到件M 的坐标．【解答】解：（1）∵点M（m﹣1，2m+3），点M到x轴的距离为1，∴|2m+3|=1，解得，m=﹣1或m=﹣2，当m=﹣1时，点M的坐标为（﹣2，1），当m=﹣2时，点M的坐标为（﹣3，﹣1）；（2）∵点M（m﹣1，2m+3），点N（5，﹣1）且MN∥x轴，∴2m+3=﹣1，解得，m=﹣2，故点M的坐标为（﹣3，﹣1）．【点评】本题考查点的坐标，解题的关键是明确题意，求出m的值．20．已知点P（a﹣2，2a+8），分别根据下列条件求出点P的坐标．（1）点P在x轴上；（2）点P在y轴上；（3）点Q的坐标为（1，5），直线PQ∥y轴；（4）点P到x轴、y轴的距离相等．【分析】（1）利用x轴上点的坐标性质纵坐标为0，进而得出a的值，即可得出答案；（2）利用y轴上点的坐标性质横坐标为0，进而得出a的值，即可得出答案；（3）利用平行于y轴直线的性质，横坐标相等，进而得出a的值，进而得出答案；（4）利用点P到x轴、y轴的距离相等，得出横纵坐标相等或相反数进而得出答案．【解答】解：（1）∵点P（a﹣2，2a+8），在x轴上，∴2a+8=0，解得：a=﹣4，故a﹣2=﹣4﹣2=﹣6，则P（﹣6，0）；（2））∵点P（a﹣2，2a+8），在y轴上，∴a﹣2=0，解得：a=2，故2a+8=2×2+8=12，则P（0，12）；（3）∵点Q的坐标为（1，5），直线PQ∥y轴；，∴a﹣2=1，解得：a=3，故2a+8=14，则P（1，14）；（4）∵点P到x轴、y轴的距离相等，∴a﹣2=2a+8或a﹣2+2a+8=0，解得：a1=﹣10，a2=﹣2，故当a=﹣10则：a﹣2=﹣12，2a+8=﹣12，则P（﹣12，﹣12）；故当a=﹣2则：a﹣2=﹣4，2a+8=4，则P（﹣4，4）．综上所述：P（﹣12，﹣12），（﹣4，4）．【点评】此题主要考查了点的坐标性质，用到的知识点为：点到坐标轴的距离相等，那么点的横纵坐标相等或互为相反数以及在坐标轴上的点的性质．21．如图，A（﹣1，0），C（1，4），点B在x轴上，且AB=3．（1）求点B的坐标；（2）求△ABC的面积；（3）在y轴上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为10？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）分点B在点A的左边和右边两种情况解答；（2）利用三角形的面积公式列式计算即可得解；（3）利用三角形的面积公式列式求出点P到x轴的距离，然后分两种情况写出点P的坐标即可．【解答】解：（1）点B在点A的右边时，﹣1+3=2，点B在点A的左边时，﹣1﹣3=﹣4，所以，B的坐标为（2，0）或（﹣4，0）；（2）△ABC的面积=×3×4=6；（3）设点P到x轴的距离为h，则×3h=10，解得h=，点P在y轴正半轴时，P（0，），点P在y轴负半轴时，P（0，﹣），综上所述，点P的坐标为（0，）或（0，﹣）．【点评】本题考查了坐标与图形性质，主要利用了三角形的面积，难点在于要分情况讨论．22．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（0，α），B（b，α），且α、b满足（a﹣2）2+|b﹣4|=0，现同时将点A，B分别向下平移2个单位，再向左平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，AB．（1）求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积S四边形ABCD（2）在y轴上是否存在一点M，连接MC，MD，使S△MCD=S四边形ABDC？若存在这样一点，求出点M的坐标，若不存在，试说明理由．（3）点P是线段BD上的一个动点，连接PA，PO，当点P在BD上移动时（不与B，D重合）的值是否发生变化，并说明理由．【分析】（1）先由非负数性质求出a=2，b=4，再根据平移规律，得出点C，D的坐标，然后根据四边形ABDC的面积=AB×OA即可求解；（2）存在．设M坐标为（0，m），根据S△PAB=S四边形ABDC，列出方程求出m的值，即可确定M 点坐标；（3）过P点作PE∥AB交OC与E点，根据平行线的性质得∠BAP+∠DOP=∠APE+∠OPE=∠APO，故比值为1．【解答】解：（1）∵（a﹣2）2+|b﹣4|=0，∴a=2，b=4，∴A（0，2），B（4，2）．∵将点A，B分别向下平移2个单位，再向左平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，∴C（﹣1，0），D（3，0）．∴S四边形ABDC=AB×OA=4×2=8；（2）在y轴上存在一点M，使S△MCD=S四边形ABCD．设M坐标为（0，m）．∵S△MCD=S四边形ABDC，∴×4|m|=8，∴2|m|=8，解得m=±4．∴M（0，4）或（0，﹣4）；（3）当点P在BD上移动时， =1不变，理由如下：过点P作PE∥AB交OA于E．∵CD由AB平移得到，则CD∥AB，∴PE∥CD，∴∠BAP=∠APE，∠DOP=∠OPE，∴∠BAP+∠DOP=∠APE+∠OPE=∠APO，∴=1．【点评】本题考查了坐标与图形平移的关系，坐标与平行四边形性质的关系，平行线的性质及三角形、平行四边形的面积公式．关键是理解平移规律，作平行线将相关角进行转化．。

中考复习——平面直角坐标系、一次函数、反比例函数【知识梳理】一、平面直角坐标系1. 坐标平面上的点与 有序实数对 构成一一对应；2. 各象限点的坐标的符号；3. 坐标轴上的点的坐标特征．4. 点P （a ，b ）关于x 轴对称的点的坐标为 ；关于y 轴对称的点的坐标为 ；关于原点对称的点的坐标为5.两点之间的距离二、函数的概念1.概念：在一个变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有 的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数.2.自变量的取值范围： （1）使解析式 （2）实际问题具有 意义3.函数的表示方法； （1） （2） （3） 三、一次函数的概念、图象、性质1．正比例函数的一般形式是 （ ），一次函数的一般形式是 (k≠0). 2. 一次函数y kx b =+的图象是经过（ ， ）和（ ， ）两点的一条直线.4.若两个一次函数解析式中，k 相等，表示两直线 ；若两直线垂直，则 。

5.的大小决定直线的倾斜程度，越大，直线越 ；四、反比例函数的概念、图象、性质1．反比例函数：一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成y ＝ 或 或 （k 为常数，k≠0）的形式，那么称y 是x 的反比例函数． 2. 反比例函数的图象和性质k ＞0，b ＞0k ＞0，b ＜0k ＜0，b ＞0k ＜0，21212211P P )0()0()2(y y y P y P -＝，　，，，21212211P P )0()0()1(x x x P x P -＝，　，　，，　3．k 的几何含义：反比例函数y ＝k x(k≠0)中比例系数k 的几何意义，即过双曲线y ＝k x(k≠0)上任意一点P 作x 轴、y 轴垂线，设垂足分别为A 、B ，则所得矩形OAPB 的面积为 。

【例题精讲】 例1.函数22y x =-中自变量x 的取值范围是 ;函数y =x 的取值范围是 ．例2.已知点(13)A m -，与点(21)B n +，关于x 轴对称，则m = ，n = ． 例3.如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是（10，0），点B 的 坐标为（8，0）,点C 、D 在以OA 为直径的半圆M 上,且四边形OCDB 是平行四边形，点C 的坐标为例4．一次函数y=(3a+2)x －(4－b),求满足下列条件的a 、b 的取值范围。

知识回顾微专题专题12平面直角坐标系考点一：平面直角坐标系之坐标特点1.有序数对：有顺序的两个数a 与b 组成的数对叫做有序数对。

表示为()b a ，，可以用来表示位置。

2.平面直角坐标系各部分的坐标特点：①x 轴上的所有点的坐标可表示为()0 ，x 。

②y 轴上的所有点的坐标可表示为()y ，0。

③第一象限内的所有点的坐标横纵坐标都是正数。

即（﹢，﹢）。

④第二象限内的所有点的坐标横坐标是负数，纵坐标是正数。

即（﹣，﹢）。

⑤第三象限内的所有点的坐标横纵坐标都是负数。

即（﹣，﹣）。

⑥第四象限内的所有点的坐标横坐标是正数，纵坐标是负数。

即（﹢，﹣）。

3.点到坐标轴的距离：点()b a ，到横坐标的距离等于纵坐标的绝对值。

即b 。

点()b a ，到纵坐标的距离等于横坐标的绝对值。

即a 。

1．（2022•六盘水）两个小伙伴拿着如图的密码表玩听声音猜动物的游戏，若听到“咚咚﹣咚咚，咚﹣咚，咚咚咚﹣咚”表示的动物是“狗”，则听到“咚咚﹣咚，咚咚咚﹣咚咚，咚﹣咚咚咚”时，表示的动物是（）A ．狐狸B ．猫C ．蜜蜂D ．牛【分析】根据点的坐标解决此题．【解答】解：由题意知，咚咚﹣咚咚对应（2，2），咚﹣咚对应（1，1），咚咚咚﹣咚对应（3，1）．∴咚咚﹣咚对应（2，1），表示C；咚咚咚﹣咚咚对应（3，2），表示A；咚﹣咚咚咚对应（1，3），表示T．∴此时，表示的动物是猫．故选：B．2．（2022•柳州）如图，这是一个利用平面直角坐标系画出的某学校的示意图，如果这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，并且综合楼和食堂的坐标分别是（4，1）和（5，4），则教学楼的坐标是（）A．（1，1）B．（1，2）C．（2，1）D．（2，2）【分析】根据综合楼和食堂的坐标分别是（4，1）和（5，4），建立适当的平面直角坐标系，即可解答．【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系：∴教学楼的坐标是（2，2），故选：D．3．（2022•铜仁市）如图，在矩形ABCD中，A（﹣3，2），B（3，2），C（3，﹣1），则D的坐标为（）A．（﹣2，﹣1）B．（4，﹣1）C．（﹣3，﹣2）D．（﹣3，﹣1）【分析】先根据A、B的坐标求出AB的长，则CD＝AB＝6，并证明AB∥CD∥x轴，同理可得AD∥BC ∥y轴，由此即可得到答案．【解答】解：∵A（﹣3，2），B（3，2），∴AB＝6，AB∥x轴，∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝6，AB∥CD∥x轴，同理可得AD∥BC∥y轴，∵点C（3，﹣1），∴点D的坐标为（﹣3，﹣1），故选：D．4．（2022•宜昌）如图是一个教室平面示意图，我们把小刚的座位“第1列第3排”记为（1，3）．若小丽的座位为（3，2），以下四个座位中，与小丽相邻且能比较方便地讨论交流的同学的座位是（）A．（1，3）B．（3，4）C．（4，2）D．（2，4）【分析】直接利用点的坐标特点得出与小丽相邻且能比较方便地讨论交流的同学的座位位置．【解答】解：如图所示：与小丽相邻且能比较方便地讨论交流的同学的座位是（4，2）．故选：C．5．（2022•扬州）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，a2+1）所在象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据平方数非负数判断出点P的纵坐标是正数，再根据各象限内点的坐标特征解答．【解答】解：∵a2≥0，∴a2+1≥1，∴点P（﹣3，a2+1）所在的象限是第二象限．故选：B．6．（2022•乐山）点P（﹣1，2）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据各象限内点的坐标符号直接判断的判断即可．【解答】解：∵P（﹣1，2），横坐标为﹣1，纵坐标为：2，∴P点在第二象限．故选：B．7．（2022•攀枝花）若点A（﹣a，b）在第一象限，则点B（a，b）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】直接利用第一象限内点的坐标特点得出a、b的符号，进而得出答案．【解答】解：∵点A（﹣a，b）在第一象限内，∴﹣a＞0，b＞0，∴a＜0，∴点B（a，b）所在的象限是：第二象限．故选：B．8．（2022•衢州）在平面直角坐标系中，点A（﹣1，﹣2）落在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【分析】根据第三象限中点的坐标特征：横坐标为负数，纵坐标为负数，由此可确定A 点位置．【解答】解：∵﹣1＜0，﹣2＜0，∴点A （﹣1，﹣2）在第三象限，故选：C ．9．（2022•河池）如果点P （m ，1+2m ）在第三象限内，那么m 的取值范围是（）A ．﹣21＜m ＜0B ．m ＞﹣21C ．m ＜0D ．m ＜﹣21【分析】根据点P 在第三象限，即横纵坐标都是负数，据此即可列不等式组求得m 的范围．【解答】解：根据题意得，解①得m ＜0，解②得m ＜．则不等式组的解集是m ＜﹣．故选：D ．10．（2022•兰州）如图，小刚在兰州市平面地图的部分区域建立了平面直角坐标系，如果白塔山公园的坐标是（2，2），中山桥的坐标是（3，0），那么黄河母亲像的坐标是．【分析】根据白塔山公园的坐标是（2，2），中山桥的坐标是（3，0）画出直角坐标系，然后根据点的坐标的表示方法写出黄河母亲像的坐标；【解答】解：如图，根据白塔山公园的坐标是（2，2），中山桥的坐标是（3，0）画出直角坐标系，∴黄河母亲像的坐标是（﹣4，1）．故答案为：（﹣4，1）．11．（2022•广安）若点P（m+1，m）在第四象限，则点Q（﹣3，m+2）在第象限．【分析】根据点P（m+1，m）在第四象限，求出m的取值范围，得到1＜m+2＜2，进而得到点Q所在的象限．【解答】解：∵点P（m+1，m）在第四象限，∴，∴﹣1＜m＜0，∴1＜m+2＜2，∴点Q（﹣3，m+2）在第二象限，故答案为：二．12．（2022•鄂州）中国象棋文化历史久远．某校开展了以“纵横之间有智慧攻防转换有乐趣”为主题的中国象棋文化节．如图所示是某次对弈的残局图，如果建立平面直角坐标系，使“帥”位于点（﹣1，﹣2），“馬”位于点（2，﹣2），那么“兵”在同一坐标系下的坐标是．【分析】应用平面内点的平移规律进行计算即可得出答案．【解答】解：根据平面内点的平移规律可得，把“帅”向左平移两个单位，向上平移3个单位得到“兵”的位置，∴（﹣1﹣2，﹣2+3），即（﹣3，1）．故答案为：（﹣3，1）．13．（2022•烟台）观察如图所示的象棋棋盘，若“兵”所在的位置用（1，3）表示，“炮”所在的位置用（6，4）表示，那么“帅”所在的位置可表示为．【分析】直接利用已知点坐标得出原点位置进而得出答案．【解答】解：如图所示：“帅”所在的位置：（4，1），故答案为：（4，1）．考点二：平面直角坐标系之坐标变换知识回顾微专题1.平行于x 轴（垂直于y 轴）的直线上的点的坐标：纵坐标相等。

专题3.1 平面直角坐标系与一次函数、反比例函数（知识讲解）【基本考点要求】⒈结合实例，了解常量、变量和函数的概念，体会“变化与对应”的思想； ⒉会确定函数自变量的取值范围，即能用三种方法表示函数，又能恰当地选择图象去描述两个变量之间的关系；⒊理解正比例函数、反比例函数和一次函数的概念，会画他们的图象，能结合图象讨论这些函数的基本性质，能利用这些函数分析和解决有关的实际问题. 【知识点梳理】考点一、平面直角坐标系 1.平面直角坐标系平面内两条有公共原点且互相垂直的数轴构成了平面直角坐标系，坐标平面内一点对应的有序实数对叫做这点的坐标.在平面内建立了直角坐标系，就可以把“形”（平面内的点）和“数”（有序实数对）紧密结合起来.2．各象限内点的坐标的特点、坐标轴上点的坐标的特点 点P(x,y)在第一象限0,0>>⇔y x ； 点P(x,y)在第二象限0,0><⇔y x ； 点P(x,y)在第三象限0,0<<⇔y x ； 点P(x,y)在第四象限0,0<>⇔y x ；点P(x,y)在x 轴上0=⇔y ，x 为任意实数；点P(x,y)在y 轴上0=⇔x ，y 为任意实数；点P(x,y)既在x 轴上，又在y 轴上⇔x ，y 同时为零，即点P 坐标为（0，0）. 3.两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上⇔x 与y 相等；点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上⇔x 与y 互为相反数. 4.和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于x 轴的直线上的各点的纵坐标相同； 位于平行于y 轴的直线上的各点的横坐标相同. 5.关于x 轴、y 轴或原点对称的点的坐标的特征点P 与点p ′关于x 轴对称⇔横坐标相等，纵坐标互为相反数； 点P 与点p ′关于y 轴对称⇔纵坐标相等，横坐标互为相反数； 点P 与点p ′关于原点对称⇔横、纵坐标均互为相反数. 6.点P(x,y)到坐标轴及原点的距离 （1）点P(x,y)到x 轴的距离等于y ； （2）点P(x,y)到y 轴的距离等于x ； （3）点P(x,y)到原点的距离等于22y x +.特别说明：（1）注意：x 轴和y 轴上的点，不属于任何象限； （2）平面内点的坐标是有序实数对，当b a ≠时，（a ，b ）和（b ，a ）是两个不同点的坐标.考点二、函数 1.函数的概念设在某个变化过程中有两个变量x、y,如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与它相对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量.2.自变量的取值范围对于实际问题，自变量取值必须使实际问题有意义.对于纯数学问题，自变量取值应保证数学式子有意义.3．表示方法⑴解析法；⑵列表法；⑶图象法.4．画函数图象（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来.特别说明：（1）在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量；（2）确定自变量取值范围的原则：①使代数式有意义；②使实际问题有意义.考点三、几种基本函数（定义→图象→性质）1.正比例函数及其图象性质（1）正比例函数：如果y=kx(k是常数，k≠0)，那么y叫做x的正比例函数．（2）正比例函数y=kx（ k≠0)的图象：过（0，0），（1，K）两点的一条直线．（3）正比例函数y=kx（k≠0)的性质①当k＞0时，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；②当k＜0时，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小 .2.一次函数及其图象性质（1）一次函数：如果y=kx+b(k,b是常数，k≠0),那么y叫做x的一次函数．（2）一次函数y=kx+b（k≠0)的图象（3）一次函数y=kx+b （k ≠0)的图象的性质一次函数y ＝kx ＋b 的图象是经过(0，b )点和)0,(kb-点的一条直线．①当k>0时，y 随x 的增大而增大；②当k<0时，y 随x 的增大而减小．特别说明：（1）当b=0时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例；（2）确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式kx y =（k ≠0）中的常数k. 确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式b kx y +=（k ≠0）中的常数k 和b. 解这类问题的一般方法是待定系数法. 3.反比例函数及其图象性质 （1）定义：一般地，形如xky =（k 为常数，o k ≠）的函数称为反比例函数. 三种形式：k y x=(k ≠0)或kx y =1-(k ≠0)或xy=k(k ≠0). （2）反比例函数解析式的特征：①等号左边是函数y ，等号右边是一个分式.分子是不为零的常数k （也叫做比例系数k ），分母中含有自变量x ，且指数为1； ②比例系数0≠k ；③自变量x 的取值为一切非零实数； ④函数y 的取值是一切非零实数.（3）反比例函数的图象 ①图象的画法：描点法列表（应以O 为中心，沿O 的两边分别取三对或以上互为相反的数）； 描点（由小到大的顺序）；连线（从左到右光滑的曲线）.②反比例函数的图象是双曲线，xky =（k 为常数，0≠k ）中自变量0≠x ，函数值0≠y ，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交.③反比例函数的图象是轴对称图形（对称轴是x y =和x y -=）和中心对称图形（对称中心是坐标原点）.④反比例函数x k y =（0≠k ）中比例系数k 的几何意义是：过双曲线xk y = （0≠k ）上任意点引x 轴、y 轴的垂线，所得矩形面积为k . （4）反比例函数性质：反比例函数 )0(≠=k xky k 的符号k>0k<0图像性质①x 的取值范围是x ≠0， y 的取值范围是y ≠0； ②当k>0时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限.在每个象限内，y 随x 的增大而减小.①x 的取值范围是x ≠0，y 的取值范围是y ≠0；②当k<0时，函数图像的两个分支分别在第二、四象限.在每个象限内，y 随x 的增大而增大.（5）反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图象上一个点的坐标即可求出k ） （6）“反比例关系”与“反比例函数”： 成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数xky =中的两个变量必成反比例关系.特别说明：（1）用待定系数法求解析式（列方程[组]求解）；（2）利用一次（正比例）函数、反比例函数的图象求不等式的解集.【典型例题】类型一、坐标平面有关的计算1． 已知点P （3a ﹣15，2﹣a ）．（1）若点P 到x 轴的距离是1，试求出a 的值；（2）在（1）题的条件下，点Q 如果是点P 向上平移3个单位长度得到的，试求出点Q 的坐标；（3）若点P 位于第三象限且横、纵坐标都是整数，试求点P 的坐标．【答案】（1）1a =或3a =；（2）(12,4)Q -或(6,2)Q -；（3）(6,1)P --或(3,2)P --． 【分析】（1）根据“点P 到x 轴的距离是1”可得21a -=，由此即可求出a 的值；（2）先根据（1）的结论求出点P 的坐标，再根据点坐标的平移变换规律即可得； （3）先根据“点P 位于第三象限”可求出a 的取值范围，再根据“点P 的横、纵坐标都是整数”可求出a 的值，由此即可得出答案．解：（1）点P 到x 轴的距离是1，且(315,2)P a a --，21a ∴-=，即21a -=或21a -=-，解得1a =或3a =；（2）当1a =时，点P 的坐标为(12,1)P -， 则点Q 的坐标为(12,13)Q -+，即(12,4)Q -， 当3a =时，点P 的坐标为(6,1)P --， 则点Q 的坐标为(6,13)Q --+，即(6,2)Q -， 综上，点Q 的坐标为(12,4)Q -或(6,2)Q -； （3）点(315,2)P a a --位于第三象限，315020a a -<⎧∴⎨-<⎩，解得25a <<， 点P 的横、纵坐标都是整数，3a ∴=或4a =，当3a =时，3156,21a a -=--=-，则点P 的坐标为(6,1)P --， 当4a =时，3153,22a a -=--=-，则点P 的坐标为(3,2)P --， 综上，点P 的坐标为(6,1)P --或(3,2)P --．【点拨】本题考查了点到坐标轴的距离、象限内点的坐标特点、点的坐标平移规律和一元一次不等式组的解法等知识，属于基础题，熟练掌握平面直角坐标系的基本知识是解题关键．举一反三：【变式】已知点()22,5P a a -+，解答下列各题． （1）点P 在x 轴上，求出点P 的坐标；（2）点Q 的坐标为=()4,5，直线PQ y ∥轴；求出点P 的坐标；（3）若点P 在第二象限，且它到x 轴、y 轴的距离相等，求22012021a +的值． 【答案】（1）()12,0P -； （2）()4,8P ； （3）220120212020a += 【分析】（1）利用x 轴上P 点的纵坐标为0求解即可得；（2）利用平行于y 轴的直线上的点的横坐标相等列方程求解即可；（3）在第二象限，且到x 轴、y 轴的距离相等的点的横纵坐标互为相反数，再利用相反数的性质列方程求解可得1a =-，将其代入代数式求解即可．（1）解：∵点P 在x 轴上，∵P 点的纵坐标为0， ∵50a +=， 解得：5a =-， ∵2212a -=-， ∵()12,0P -．（2）解：∵直线PQ y ∥轴，∵224a -=， 解得：3a =， ∵58a +=， ∵()4,8P ． （3）解：∵点P 在第二象限，且它到x 轴、y 轴的距离相等， ∵2250a a -++=． 解得：1a =-． ∵22012021a + ()220112021=-+2020=，∵22012021a +的值为2020．【点拨】本题主要考查平面直角坐标系内点的坐标特点．分别考查了坐标轴上点的坐标特点、平行于坐标轴的直线上点坐标的特点、到坐标轴距离相等的点的坐标特点，理解题意，熟练掌握坐标系中不同条件下的坐标特点是解题关键．2．在平面直角坐标系中，将点(),1A a a -先向左平移3个单位得点1A ，再将1A 向上平移1个单位得点2A ，若点2A 落在第三象限，则a 的取值范围是（ ）A ．23a <<B ．3a <C ．2a >D ．2a <或3a >【答案】A【分析】根据点的平移规律可得()2311A a a --+，，再根据第三象限内点的坐标符号可得．解：点()1A a a -，先向左平移3个单位得点1A ，再将1A 向上平移1个单位得点()2311A a a --+，，点'A 位于第三象限，30110a a -<⎧∴⎨-+<⎩， 解得：23a <<， 故选：A ．【点拨】此题主要考查了坐标与图形变化-平移，关键是横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．举一反三：【变式1】平面直角坐标系中，将点A （2m ，1）沿着x 的正方向向右平移（23m +）个单位后得到B 点，则下列结论：①B 点的坐标为（223+m ，1）；①线段AB 的长为3个单位长度；①线段AB 所在的直线与x 轴平行；①点M （2m ，23m +）可能在线段AB 上；①点N （22m +，1）一定在线段AB 上．其中正确的结论有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】B【分析】根据平移的方式确定平移的坐标即可求得B 点的坐标，进而判断∵，根据平移的性质即可求得AB 的长，进而判断∵，根据平移的性质可得线段AB 所在的直线与x 轴平行，即可判断∵，根据纵坐标的特点即可判断∵∵解：∵点A （2m ，1）沿着x 的正方向向右平移（23m +）个单位后得到B 点， ∵B 点的坐标为（223+m ，1）； 故∵正确；则线段AB 的长为23m +； 故∵不正确；∵A （2m ，1），B （223+m ，1）；纵坐标相等，即点A ，B 到x 轴的距离相等 ∵线段AB 所在的直线与x 轴平行； 故∵正确若点M （2m ，23m +）在线段AB 上； 则231m +=，即21m =-，不存在实数21m =- 故点M （2m ，23m +）不在线段AB 上； 故∵不正确同理点N （22m +，1）在线段AB 上； 故∵正确综上所述，正确的有∵∵∵，共3个 故选B【点拨】本题考查了平移的性质，平面直角坐标系中点到坐标轴的距离，掌握平移的性质是解题的关键．类型二、一次函数3．在平面直角坐标系xOy 中，一次函数(0)y kx b k =+≠的图象由函数12y x =的图象向下平移1个单位长度得到．（1）求这个一次函数的解析式；（2）当2x >-时，对于x 的每一个值，函数(0)y mx m =≠的值大于一次函数y kx b =+的值，直接写出m 的取值范围．【答案】（1）112y x =-；（2）112m ≤≤ 【分析】（1）由图象的平移及题意可直接求得一次函数的解析式；（2）由题意可先假设函数()0y mx m =≠与一次函数y kx b =+的交点横坐标为2-，则由（1）可得：1m =，然后结合函数图象可进行求解．解：（1）由一次函数()0y kx b k =+≠的图象由函数12y x =的图象向下平移1个单位长度得到可得：一次函数的解析式为112y x =-； （2）由题意可先假设函数()0y mx m =≠与一次函数y kx b =+的交点横坐标为2-，则由（1）可得：()12212m -=⨯--，解得：1m =，函数图象如图所示：∵当2x >-时，对于x 的每一个值，函数()0y mx m =≠的值大于一次函数y kx b =+的值时，根据一次函数的k 表示直线的倾斜程度可得当12m =时，符合题意，当12m <时，则函数()0y mx m =≠与一次函数y kx b =+的交点在第一象限，此时就不符合题意，综上所述：112m ≤≤． 【点拨】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．举一反三：【变式】在平面直角坐标系xOy 中，一次函数(0)y kx b k =+≠的图象由函数y x =的图象平移得到，且经过点(0,1)-．（1）求这个一次函数的表达式；（2）当1x >时，对于x 的每一个值，函数y x m =-+的值小于一次函数y kx b =+的值，直接写出m 的取值范围．【答案】（1）1y x =-；（2）1m ≤ 【分析】（1）根据一次函数(0)y kx b k =+≠由y x =平移得到可得出k 值，然后将点（0，-1）代入y x b =+可得b 值即可求出解析式；（2）由题意可得临界值为当1x =时，两条直线都过点（1，0），即可得出当1x >时，y x m =-+都小于1y x =-，根据1x >，可得m 可取值1，可得出m 的取值范围．解：（1）∵一次函数(0)y kx b k =+≠的图象由函数y x =的图象平移得到， ∵1k =．∵一次函数y x b =+的图象过点(01)-，， ∵1b =-．∵这个一次函数的表达式为1y x =-． （2）由（1）得y=x -1， 解不等式-x+m ＜x -1得12m x +>由题意得11,2m +≤ 故m 的取值范围1m ≤【点拨】本题考查了求一次函数解析式，函数图像的平移，一次函数的图像，找出临界点是解题关键．4．为落实省体育中考的要求，增强学生的身体素质．某校计划今年购买一批篮球和实心球共100粒，已知去年篮球的单价为80元，实心球的单价为36元．由于物价上涨，预计今年篮球的价格比去年上涨20%，实心球的价格不变，若购买蓝球的总费用不低于购买实心球的总费用，为了完成这项采购计划，该校今年至少应投入多少元？【答案】为了完成这项采购计划，该校今年至少应投入5280元．【分析】设完成计划需购买x 个篮球，需要投入的费用为w 元，根据总价=单价×数量，即可得出w 关于x 的函数关系式，由购买篮球的总费用不低于购买实心球的总费用，即可得出关于x 的一元一次不等式，解之即可得出x 的取值范围，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．解：设完成计划需购买x 粒篮球，需要投入的费用为w 元．依题意，得w=80（1+20%）x +36（100-x）．化简得：w=60x+3600．因为购买篮球的总费用不低于购买实心球的总费用，所以：80（1+20%）x ≥36（100-x），解得x≥3 2711．又x是整数，所以x的最小值为28．因为k=60＞0，所以，w随x的增大而增大，所以，当x=28时，w的最小值为60×28+3600=5280．答：为了完成这项采购计划，该校今年至少应投入5280元．【点拨】本题考查了一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，根据各量之间的关系，找出题目中得函数关系式是解题的关键．【变式】2021年春，河南某高校为做好新型冠状病毒感染的防治工作，计划为教职工购买一批洗手液（每人2瓶）．学校派王老师去商场购买，他在商场了解到，某个牌子的洗手液有两种优惠活动：活动一：一律打9折；活动二：当购买量不超过100瓶时，按原价销售；当购买量超过100瓶时，超过的部分打8折．已知所需费用y（元）与购买洗手液的数量x（瓶）之间的函数图象如图所示．（1）根据图象可知，洗手液的单价为元/瓶，请直接写出y与x之间的函数关系式；（2）请求出a的值；（3）如果该高校共有m名教职工，请你帮王老师设计最省钱的购买方案．【答案】（1）4，1 3.6y x =，()24(100)3.280100x x y x x ≤⎧=⎨+>⎩．（2）720a =元；（3）当100m <时选活动一：一律打9折合算；当100m =时选活动一：活动二均可，当100m >时选活动二合算．【分析】（1）利用购买100瓶费用400元，洗手液的单价为400÷100=4元/瓶，根据单价×件数=费用均可列出函数均可；（2）利用两函数值相等联立方程组 3.63.280a x a x =⎧⎨=+⎩，解方程组均可； （3）该高校共有m 名教职工，教职工购买一批洗手液（每人2瓶）．一共买2m 瓶分类三种情况两函数作差比较均可．解：（1）400元购买100瓶，洗手液的单价为400÷100=4元/瓶，19410y x =⨯⋅， 1 3.6y x =，()24(100)3.280100x x y x x ≤⎧=⎨+>⎩， 故答案为4，1 3.6y x =，()24(100)3.280100x x y x x ≤⎧=⎨+>⎩． （2）联立 3.63.280a x a x =⎧⎨=+⎩， 解得720{200a x ==， ∵720a =；（3）该高校共有m 名教职工，教职工购买一批洗手液（每人2瓶）．一共买2m 瓶， 当2200m 时，即100m <时选活动一：一律打9折合算；∵12 3.6242 1.6050y y m m m m -=⨯-⨯=-<≤，；()12 3.62 3.22800.880050100y y m m m m -=⨯-⨯-=-<<≤；当100m =时选活动一：活动二均可，()12 3.62 3.22800.8800100y y m m m m -=⨯-⨯-=-==；当100m >时选活动二合算，()12 3.62 3.22800.8800100y y m m m m -=⨯-⨯-=->>．【点拨】本题考查列一次函数关系，利用一次函数值相等联立方程组，解方程组，根据函数自变量的取值范围进项方案设计，掌握列一次函数关系的方法，利用函数值相等联立方程组，解方程组，根据函数自变量的取值范围进项方案设计．类型三、反比例函数5．如图，一次函数11y k x b =+的图象与反比例函数22k y x=的图象相交于A 、B 两点，其中点A 的坐标为()1,2，点B 的纵坐标为1-．（1）求这两个函数的表达式；（2）点C 为反比例函数图象上的一点，且点C 在点A 的上方，当CAB AOB S S =△△时，求点C 的坐标．【答案】（1）一次函数的解析式为y 1=x +1，反比例函数的解析式为y 2=2x；（2）C 点的坐标为（-．【分析】（1）把A 点坐标代入反比例函数解析式可求得k 2的值，把点B 的纵坐标代入求得横坐标，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；（2）根据题意点C 就是直线y =x +1向上平移1个单位后与反比例函数的交点，求得平移后的直线解析式，与反比例函数解析式联立，解方程组即可求得C 的坐标．解：（1）把点A （1，2）代入反比例函数y 2=2k x得，k 2=1×2=2， ∵反比例函数的解析式为y 2=2x ， 将y =-1代入y 2=2x 得，-1=2x，交点x =-2， ∵B （-2，-1），将A 、B 的坐标代入y 1=k 1x +b 得221k b k b +=⎧⎨-+=-⎩， 解得11k b =⎧⎨=⎩， ∵一次函数的解析式为y 1=x +1；（2）∵y 1=x +1，∵直线与y 轴的交点为（0，1），∵点C 为反比例函数图象上的一点，且点C 在点A 的上方，S ∵CAB =S ∵AOB ，∵点C 就是直线y =x +1向上平移1个单位后与反比例函数的交点，将直线y =x +1向上平移1个单位后得到y =x +2，解22y x y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩得11x y ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩11x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩（舍） ， ∵C 点的坐标为（-．【点拨】本题考查了一次函数和反比例函数的交点，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．举一反三：【变式】如图，反比例函数(k 0,x 0)k y x=≠>的图象与矩形OABC 的边AB ，BC 分别交于点F ，点E ，点D 为x 轴负半轴上的点，4CDE S =△．（1）求反比例函数的表达式；（2）求证：BE BF CE AF=．【答案】（1）8y x=；（2）见解析 【分析】 （1）连接OE ，根据矩形的性质得到//BC AD ，得到4COE DCE S S ==△△，由点E 在反比例函数(k 0,x 0)k y x=≠>的图象上，于是得到结论； （2）设8,E m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，8,F n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，于是得到8,B n m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(),0A n ，求得CE m =，BE n m =-，()888n m BF m n mn-=-=，8AF n =，即可得到结论． 解：（1）如图，连接OE ．∵四边形OABC 是矩形，∵//BC AD ．∵4COE DCE S S ==△△．∵点E 在反比例函数(k 0,x 0)k y x =≠>的图象上， ∵8k ．∵反比例函数的表达式为8y x=； （2）点F ，点E 在反比例函数(k 0,x 0)k y x =≠>的图象上， ∵设8,E m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，8,F n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭． ∵8,B n m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(,0)A n ． ∵CE m =，BE n m =-，888()n m BF m n mn -=-=，8AF n=． ∵BE n m CE m-=，8()8n m BF n m mn AF m n--==． ∵BE BF CE AF=．【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数的解析式，反比例函数k 的几何意义，矩形的性质，正确理解题意是解题的关键．类型四、函数综合应用6、已知：如图，双曲线y=k x（k ≠0）与直线y ＝mx （m ≠0）交于A （2，4）、B 两点，点D 是x 轴上一点，C 在双曲线上且是AD 的中点．（1）求双曲线和直线AB 的函数表达式；（2）连结BC ，求△ABC 的面积．【答案】（1）8y x=；y =2x ；（2）12 【分析】 （1）把A 点坐标代入双曲线和直线AB 的解析式中求解即可；（2）分别求出B ，C 的坐标，然后求出三角形ABC 的三边长，利用勾股定理的逆定理判定三角形ABC 为直角三角形，然后求解面积即可．解：（1）∵双曲线y=k x（k ≠0）与直线y ＝mx （m ≠0）交于A （2，4）， ∵4242k m⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得28m k =⎧⎨=⎩， ∵双曲线的解析式为8y x=，直线AB 的解析式为2y x =； （2）设8,C m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(),0D n ， ∵C 是AD 的中点， ∵240,22n C ++⎛⎫ ⎪⎝⎭即2,22n C +⎛⎫ ⎪⎝⎭ ∵82m=， ∵4m =,∵C （4，2）， 联立82y x y x⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得24x y =-⎧⎨=-⎩或24x y =⎧⎨=⎩（舍去）， ∵B （-2，-4），∵()()22242248AC =-+-=，()()222244272BC =--+--=，()()222224480AB =--+--=，∵222AC BC AB +=，∵∵ABC 是直角三角形，∵111222ABC S =AC BC=⨯△．【点拨】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合，待定系数法求函数解析式，勾股定理的逆定理，两点距离公式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．举一反三：【变式】如图所示，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()0m ,，0m <，点B 与点A 关于原点对称，直线y =与双曲线k y x=交于C ，()1,D t 两点． （1）求双曲线的解析式；（2）当四边形ACBD 为矩形时，求m 的值．【答案】（1）y =（2）-2 【分析】 （1）由点D 的坐标结合反比例函数图象上点的坐标特征即可求出t 值，进而得出点D 的坐标，代入双曲线即可求出解析式；（2）根据勾股定理得出OD 长度，再根据矩形的性质可得出OB ＝OA=OC=OD =2，根据点 A 的坐标即可求出m 值．解：（1）将()1,D t 代入y =，得：t =∵(D ，∵1k =∵双曲线的解析式是y =．（2）由(D 得：2OD =． ∵四边形ACBD 为矩形，∵12AO BO AB ==，12CO DO CD ==，AB CD =， ∵2AO BO CO DO ====，又∵0m <，∵2m =-．【点拨】本题考查了正比例函数的性质与反比例函数的性质，矩形的性质，解题的关键是根据矩形性质找出OA=OD ，本题属于中档题，难度不大，熟知各函数和各图形的性质是解题关键.7．如图，在平面直角坐标系中，点B 坐标是（3，4），BA ①x 轴于点A ，点B 在反比例函数y ＝k x（k ＞0，x ＞0）的图象上，将①OAB 向右平移，得到①O 'A 'B '，O 'B '交双曲线于点C （3a ，a ）．（1）求k ，a 的值；（2）求出①OAB 向右平移到O A B '''△的距离；（3）连接OB ，BC ，OC ，求①OBC 的面积．【答案】（1）12k =，2a =；（2）∵OAB 向右平移4.5个单位长度得到O A B '''△；（3）9OBC S =【分析】（1）根据题意可直接进行求解k 的值，然后再把点C 代入进行求解即可；（2）过点C 作CD ∵x 轴于点D ，由（1）可得CD =2，进而可得点D 为O A ''的中点，然后问题可求解；（3）由（1）及题意易得OBC ADCB S S =梯形，然后根据梯形的面积公式进行求解即可． 解：（1）∵点B 坐标是（3，4），BA ∵x 轴于点A ，点B 在反比例函数y ＝k x的图象上， ∵3412k =⨯=，∵O 'B '交双曲线于点C （3a ，a ），∵312a a ⋅=，解得：2a =±，∵x ＞0，∵2a =；（2）过点C 作CD ∵x 轴于点D ，如图所示：由（1）可得：点()6,2C ，∵OD =6，CD =2，由平移的性质可得：4,3AB A B OA O A ''''====，90OAB O A B '''∠=∠=︒， ∵CD//A B ''，∵O DC O A B ''''∽， ∵12CD O D A B O A '==''''， ∵ 1.5O D '=，∵ 4.5OO OD O D ''=-=，∵∵OAB 向右平移4.5个单位长度得到O A B '''△；（3）如（2）图，∵,OBC ODC OAB ODCB ADCB ODCB SS S S S S =-=-四边形梯形四边形，由反比例函数k 的几何意义可得2OAB ODC k S S ==， ∵OBC ADCB S S =梯形，由（2）可得：3,4,2,6OA AB CD OD ====，∵3AD OD OA =-=，∵()()11243922OBC ADCB S S CD AB AD ==⨯+⨯=⨯+⨯=梯形．【点拨】本题主要考查反比例函数k 的几何意义及与几何的综合，熟练掌握反比例函数k 的几何意义及函数的性质是解题的关键．。