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FC-空间中的KKM型定理，重合点定理，非空交定理及其
应用的开题报告
一、研究背景
KKM定理、重合点定理和非空交定理是函数分析中常用的工具，它们在拓扑学、优化理论、非合作博弈论等领域中得到广泛应用。
在许多实际问题中，需要研究空间中的点和集合之间的关系，这时这些定理就发挥了重要的作用。
二、研究内容
本文针对FC-空间中的KKM型定理、重合点定理和非空交定理展开研究，探讨它们的定义、性质和应用，具体包括以下内容：
1. FC-空间的定义及其性质
2. KKM型定理的定义、性质和应用
3. 重合点定理的定义、性质和应用
4. 非空交定理的定义、性质和应用
5. 定理的证明及应用举例
三、研究方法
本文将采用文献阅读、分析和证明等方法进行研究。
在阅读相关文献的基础上，分析各定理的性质和应用，通过具体的例子和证明，深入理解各定理的本质和作用。
四、预期成果
通过本文的研究，可以深入了解FC-空间中的KKM型定理、重合点定理和非空交定理的定义、性质和应用，掌握定理的证明方法，为实际问题的研究提供理论支持，同时也为相关领域的发展提供参考。
第二章 拓扑空间2.1拓扑空间的概念2.1.1拓扑定义2.1.1设X 是一集合，T 是X 的一子集族。
如果T 满足：（1）,X T ∅∈；（2）有限交封闭；（3）任意并封闭。
则称T 为X 上的一拓扑，而T 的成员叫X 的开集。
例：{},T X =∅叫X 上的平庸拓扑；{}A |A T X =⊆叫X 上的离散拓扑；典型拓扑：余有限拓扑、余可数拓扑、有心拓扑、去心拓扑定义2.1.2 Y 的子空间拓扑或相对拓扑：母空间的开集交上Y 即可。
定义2.1.3 设(X,T )是拓扑空间，∼是X 上的等价关系，等价类的集合为[]{}/|X x x X =∈∼，自然投影:/p X X →∼定义为()[]p x x =。
令(){}1//|T U X p U T −=⊆∈∼∼叫/X ∼上的商拓扑，()/,/T X ∼∼叫商空间。
下面证明/T ∼是/X ∼上拓扑。
(1)由于()1p T −∅=∅∈，()1/p X X T −=∈∼，即,//X T ∅∈∼∼；(2)设/A T ⊆∼为有限集，由于()11U U U A Ap p U −−∈∈⎛⎞=⎜⎟⎝⎠∩∩，且满足()1p U T −∈，由拓扑T 对有限交封闭有，()1U A p U T −∈∈∩，从而U U /AT ∈∈∼∩；(3) /A T ∀⊆∼，由于()11U U A Ap U p U −−∈∈⎛⎞=⎜⎟⎝⎠∪∪，类似地，由拓扑T 对任意并封闭有，()1U A p U T −∈∈∪，从而U /AU T ∈∈∼∪。
综上所述，/T ∼是/X ∼上拓扑。
定理2.1.1设(X,T )是拓扑空间，F 是X 的闭集族，则（1）,X F ∅∈；（2）有限并封闭；（3）任意交封闭。
定理2.1.2设(X,T )是拓扑空间，F 是X 的闭集族，Y ⊆ X，则Y |F 是Y 作为子 空间的闭集族。
2.1.2 领域系定义2.1.5设X 是拓扑空间，包含x 的开集叫x 的开领域。
定义2.1.6设X 是拓扑空间，如果A 内存在x 的开领域，则称A 是x 的领域。
考研拓扑知识点详解拓扑学是现代数学的一个重要分支，它研究的是空间中的性质，不依赖于度量、坐标系以及连续性的概念。
在考研数学中，拓扑学也是一个重要的知识点，涉及到许多基本概念和定理。
本文将对考研拓扑知识点进行详细解析，帮助考生深入理解和掌握这些知识。
一、拓扑空间与拓扑结构拓扑学研究的对象是拓扑空间，它是一个集合和在该集合上定义的一个拓扑结构的组合。
拓扑结构包括开集合和闭集合两个重要概念。
开集合是指拓扑空间中的一个子集，满足以下三个条件：首先，空集和整个拓扑空间本身都是开集合；其次，开集合的有限交集仍然是开集合；最后，开集合的任意并集仍然是开集合。
闭集合是指拓扑空间中的一个子集，满足以下三个条件：首先，空集和整个拓扑空间本身都是闭集合；其次，闭集合的有限并集仍然是闭集合；最后，闭集合的任意交集仍然是闭集合。
拓扑学中的一个基本定理是：一个集合与它的闭包唯一确定一个拓扑空间。
二、连续映射与同胚在拓扑学中，映射是指把一个集合的元素映射到另一个集合的元素上。
连续映射是指在两个拓扑空间之间的映射，满足以下条件：对于任意一个开集合，在映射之前和之后，它们的原像都是开集合。
同胚是指两个拓扑空间之间的一种映射关系，满足以下条件：首先，这个映射是双射的；其次，它是连续映射；最后，它的逆映射也是连续映射。
三、拓扑空间的性质拓扑空间具有许多性质，其中一些重要的性质如下：1. 连通性：一个拓扑空间是连通的，如果它不能表示为两个非空的、不相交的开集合的并。
连通性是拓扑空间的重要性质，可以帮助我们了解空间的整体性质。
2. 紧致性：一个拓扑空间是紧致的，如果它的任何一个开覆盖都有有限的子覆盖。
紧致性是拓扑空间的重要性质，它能够保证一些重要的定理成立。
3. 完备性：一个拓扑空间是完备的，如果它的任何柯西序列都收敛于该空间中的某个点。
完备性是拓扑空间的重要性质，它能够保证一些重要的定理成立。
四、拓扑基与拓扑生成拓扑基是指一个拓扑空间中的一个子集合，满足以下条件：首先，它可以表示拓扑空间的任意开集为它包含的基本开集的并集；其次，任意两个基本开集的交集都可以用其他基本开集表示。
图像拓扑意义下KKM点集的通有稳定性杨彦龙;陈治友【摘要】为了获得在图像拓扑意义下上半连续KKM映射的KKM点集的通有稳定性,即在Baire分类意义下,绝大多数KKM映象的KKM点都是本质的.通过构造上半连续KKM映射G所组成的集合M,并定义M上的KKM映射的图像之间的Hausdorff度量,证明了M是完备度量空间.然后利用usco方法,在证明了M上的KKM点集映射F是紧值上半连续的,从而由Fort定理得到F在M上是通有连续的,即F是通有稳定的.【期刊名称】《贵阳学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(011)003【总页数】3页(P1-3)【关键词】图像拓扑;通有稳定性;本质KKM点;剩余集;上半连续【作者】杨彦龙;陈治友【作者单位】贵州大学计算机科学与技术学院,贵州贵阳550025;贵阳学院数学与信息科学学院,贵州贵阳550005【正文语种】中文【中图分类】O177.911929年波兰数学家Kanaster, Kuratowski和Mazurkiewicz首次证明了KKM定理[1], 并由此形成的KKM技巧以及各种形式的理论推广[2-6], 特别是Ky Fan将该定理推广至无限维空间后[7], KKM技巧及理论在非线性分析中得到了更加广泛的应用。
比如变分问题、最佳逼近问题、均衡问题等都可以转化为KKM问题。
另一方面, 许多非线性问题的解并不唯一, KKM问题的解也是如此,例如Nash平衡问题解的不唯一性, 使得博弈论专家们不得不考虑解的“精炼”问题, 也就是如何寻找稳定的解。
在现实问题中, 收集信息、构造模型及计算求解等过程中, 不可避免地出现与实际问题有出入的“扰动”。
基于以上原因, 在[8-13]等工作的基础上, 特别是Yu和Xiang在[9]中考虑KKM映射的扰动, 本文利用图像拓扑, 证明了在Baire分类意义下, 绝大多数KKM映射都是本质的。
下面先给出必要的预备知识,然后考虑上半连续KKM映射的图像扰动, 即在图像拓扑意义下, 利用usco方法, 证明上半连续KKM映射的KKM点集的通有稳定性。
非成像光学的边缘光线原理非成像光学的边缘光线原理非成像光学的边缘光线原理说明，从光源到目标边缘的边缘光线映射能够应用到非成像器件的设计。
然而，在大多数的非成像反射器，包括复合抛物面聚焦器（CPC），至少部分辐射光经过多次反射，一些光线甚至出现被多次反射，最后的检测揭示光源的一些边缘光线没有映射到目标边缘上，尽管这个CPC在二维空间是理想的。
使用一个拓扑的方法，我们改善了边缘光线原理的公式，来确保对所有的情况都是正确的。
我们提出两种一般原理的不同版本。
第一种涉及到不同区域的边界与不同数目的反射器相一致。
第二个版本用仅有的单一反射器来说明，但是它涉及到了一个增加的辅助相位空间。
我们讨论边缘光线原理作为一个非成像器件的设计程序的使用。
CPC用来说明论据的每个部分。
1.说明非成像光学的目标是从一个扩展光源传输辐射光到目标上，用这样的方法得到在目标上的辐射光的详细分布。
这个非成像器件的设计是基于边缘光线原理，它说明光源的光线从光源的边缘应该到达目标的边缘。
一个表面的边缘被定义为通过光源表面的边缘或者与它相切。
尽管边缘光线的概念已经广泛的应用，但是没有边缘光线原理的公式被提出，也没有严格的证据证明它的正确性。
此外，最简单的和看起来最自然的原理公式在大多数的非成像系统里被违背了，尤其在复合抛物面聚焦器（CPC ）非成像设计的原型中。
本文中我们采用一种拓扑的方法来规定和证明一般边缘光线原理。
这个原理可以当做非成像光学器件设计的强有力的指南，它是基于折射和反射的基础（在文章中我们频繁的使用反射这个术语，为了简便起见即使反射和折射都被使用）。
这个原理同样的和非成像光学的两个最重要的应用级别相适应，它被称为采集问题（例如，太阳能收集器的设计，当人们想将太阳辐射收集到一个收集器中，它要尽可能的小）和照明问题（例如，灯具的设计，它通过改变灯的光线方向产生在远处目标面上希望的照度）。
我们分析的一个必要的假设是光学系统的所有的组成都是完美的镜面：每一条光线传播有唯一的路径。
第4章 连通性重要知识点本章讨论拓扑空间的几种拓扑不变性质，包括连通性，局部连通性和弧连通性，并且涉及某些简单的应用．这些拓扑不变性质的研究也使我们能够区别一些互不同胚的空间． §4．1 连通空间本节重点: 掌握连通与不连通的定义.掌握如何证明一个集合的连通与否?掌握连通性的拓扑不变性、有限可积性、可商性。
我们先通过直观的方式考察一个例子．在实数空间R 中的两个区间（0，l ）和［1，2），尽管它们互不相交，但它们的并（0，1）U ［l ，2）＝（0，2）却是一个“整体”；而另外两个区间（0，1）和（1，2），它们的并（0，1）U （1，2）是明显的两个“部分”．产生上述不同情形的原因在于，对于前一种情形，区间（0，l ）有一个凝聚点1在［1，2）中；而对于后一种情形，两个区间中的任何一个都没有凝聚点在另一个中．我们通过以下的定义，用术语来区别这两种情形．定义4．1．1设A 和B 是拓扑空间X 中的两个子集．如果∅=⋂⋃⋂)()(A B B A则称子集A 和B 是隔离的．明显地，定义中的条件等价于∅=⋂B A 和 ∅=⋂A B 同时成立，也就是说，A 与B 无交并且其中的任何一个不包含另一个的任何凝聚点．应用这一术语我们就可以说，在实数空间R 中，子集（0，1）和（1，2）是隔离的，而子集（0，l ）和[1，2) 不是隔离的．又例如，易见，平庸空间中任何两个非空子集都不是隔离的，而在离散空间中任何两个无交的子集都是隔离的．定义4．1．2 设X 是一个拓扑空间．如果X 中有两个非空的隔离子集A 和B 使得X=A ∪B ，则称X 是一个不连通空间；否则，则称X 是一个连通空间．显然，包含着多于两个点的离散空间是不连通空间，而任何平庸空间都是连通空间． 定理4．1．1设X 是一个拓扑空间．则下列条件等价：（l ）X 是一个不连通空间；（2）X 中存在着两个非空的闭子集A 和B 使得A ∩B=∅ 和 A ∪B ＝ X 成立；（3） X 中存在着两个非空的开子集A 和B 使得A ∩B=∅ 和 A ∪B ＝ X 成立；（4）X 中存在着一个既开又闭的非空真子集．证明（l ）蕴涵（2）: 设（1）成立．令A 和B 是X 中的两个非空的隔离子集使得 A ∪B ＝X ，显然 A ∩B=∅，并且这时我们有B B B A B B A B X B B =⋂⋃⋂=⋃⋂=⋂=)()()(因此B 是X 中的一个闭子集；同理A 也是一个X 中的一个闭子集．这证明了集合A 和B 满足条件（2）中的要求．（2）蕴涵（3）．如果X 的子集A 和B 满足条件（2）中的要求，所以A 、B 为闭集，则由于这时有A ＝B /和B=A '，因此A 、B 也是开集，所以A 和B 也满足条件（3）中的要求．（3）蕴涵（4）．如果X 的子集A 和B 满足条件（3）中的要求，所以A 、B 是开集，则由A ＝B '和B=A '易见A 和B 都是X 中的闭集，因此A 、B 是X 中既开又闭的真（∵A 、B ≠∅，A ∪B=X ，∴A 、B ≠X ）子集，所以条件（4）成立．（4）蕴涵（l ）．设X 中有一个既开又闭的非空真子集A ．令B=A '．则A 和B 都是X 中的非空的闭子集，它们是无交的并且使得A ∪B=X ．易见两个无交的闭子集必定是隔离的（因为闭集的闭包仍为自己）．因此（l ）成立．例4. 1．1 有理数集Q 作为实数空间R 的子空间是一个不连通空间．这是因为对于任何一个无理数r ∈R-Q ，集合（-∞，r ）∩Q ＝（－∞，r]∩Q 是子空间Q 中的一个既开又闭的非空真子集．定理4．1．2 实数空间R 是一个连通空间．证明 我们用反证法来证明这个定理．假设实数空间R 是不连通空间．则根据定理4．1．1，在R 中有两个非空闭集A 和B 使得A ∩B=∅ 和 A ∪B ＝ R 成立．任意选取a ∈A 和b ∈B ，不失一般性可设a ＜b ．令A ~=A ∩[a,b]，和B ~=B ∩[a,b]．于是A ~和B ~是R 中的两个非空闭集分别包含a 和b ，并且使得A ~∩B ~=∅和A ~∪B ~=[a ，b]成立．集合A ~有上界b ，故有上确界，设为b ~．由于A ~是一个闭集，所以b ~∈A ~，并且因此可见b ~＜b ，因为b ~＝b 将导致b ∈A ~∩B ~，而这与A ~∩B ~=∅矛盾．因此（b ~，b]⊂B ~．由于B ~是一个闭集，所以b ~∈B ~．这又导致b ~∈A ~∩B ~，也与A ~∩B ~=∅矛盾．定义4．1．3设Y 是拓扑空间X 的一个子集．如果Y 作为X 的子空间是一个连通空间，则称Y 是X 的一个连通子集；否则，称Y 是X 的一个不连通子集．拓扑空间X 的子集Y 是否是连通的，按照定义只与子空间Y 的拓扑有关(即Y 的连通与否与X 的连通与否没有关系.)．因此，如果X Z Y ⊂⊂，则Y 是X 的连通子集当且仅当Y 是Z 的连通子集．这一点后面要经常用到．定理4．1．3 设Y 是拓扑空间X 的一个子集，A ，B ⊂Y ．则A 和B 是子空间Y 中的隔离子集当且仅当它们是拓扑空间X 中的隔离子集．因此，Y 是X 的一个不连通子集当且仅当存在Y 中的两个非空隔离子集A 和B 使得A ∪B ＝Y(定义)当且仅当存在X 中的两个非空隔离子集A 和B 使得A ∪B ＝Y ．证明 因为 ))(())(())()(())()(()))((()))((())(())((A B C B A C A Y B C B Y A C A Y B C B Y A C A B C B A C X X X X X X Y Y ⋂⋃⋂=⋂⋂⋃⋂⋂=⋂⋂⋃⋂⋂=⋂⋃⋂因此根据隔离子集的定义可见定理成立．定理4．1．4 设Y 是拓扑空间X 中的一个连通子集．如果X 中有隔离子集A 和B 使得 Y ⊂A U B ，则或者 Y ⊂A ，或者 Y ⊂B ．证明 如果A 和B 是X 中的隔离子集使得Y ⊂AUB ，则∅=⋂⋃⋂⋂=⋂⋂⋃⋂⋂⊂⋂⋂⋂⋃⋂⋂⋂)()(()()())(())((A B B A Y A Y B B Y A Y A Y B Y B Y A 这说明A ∩Y 和B ∩Y 也是隔离子集．然而（A ∩Y ）∪（B ∩Y ）＝（A ∪B ）∩Y ＝Y因此根据定理4．1．3，集合A ∩Y 和B ∩Y 中必有一个是空集．如果 A ∩Y=∅，据上式立即可见 Y ⊂B ，如果 B ∩Y ＝ ∅，同理可见Y ⊂A ．定理4．1．5设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集，Z ⊂X 满足条件Y Z Y ⊂⊂．则 Z 也是X 的一个连通子集．证明 假设Z 是X 中的一个不连通子集．根据定理4．1．3，在 X 中有非空隔离子集A 和B 使得Z=A ∪B ．因此 Y ⊂AUB ．由于Y 是连通的，根据定理4．1．4，或者Y ⊂A ，∅=⋂=⇒∅=⋂⊂⋂⇒⊂⊂B Z B B A B Z A Y Z或者Y ⊂B,同理,∅=A 。
( 点集拓扑学拓扑 ) 知识点————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：第 4 章连通性重要知识点本章议论拓扑空间的几种拓扑不变性质，包含连通性，局部连通性和弧连通性，而且波及某些简单的应用．这些拓扑不变性质的研究也使我们能够差别一些互不一样胚的空间．§ 4． 1连通空间本节要点 : 掌握连通与不连通的定义.掌握怎样证明一个会合的连通与否?掌握连通性的拓扑不变性、有限可积性、可商性。
我们先经过直观的方式观察一个例子．在实数空间R 中的两个区间（0，l）和［ 1，2），只管它们互不订交，但它们的并（0，1）U［l ，2）＝（ 0，2）倒是一个“整体” ；而此外两个区间（ 0， 1）和（ 1，2），它们的并（ 0，1） U（ 1，2）是明显的两个“部分”．产生上述不一样情况的原由在于，对于前一种情况，区间（0，l ）有一个凝集点 1 在［ 1， 2）中；而对于后一种情况，两个区间中的任何一个都没有凝集点在另一此中．我们经过以下的定义，用术语来差别这两种情况．定义 4． 1． 1 设 A 和 B 是拓扑空间X 中的两个子集．假如(A B) (B A)则称子集 A 和 B 是隔绝的．明显地，定义中的条件等价于 A B和B A同时成立，也就是说，A 与 B 无交而且此中的任何一个不包含另一个的任何凝集点．应用这一术语我们就能够说，在实数空间R 中，子集（ 0， 1）和（ 1， 2）是隔绝的，而子集（ 0， l ）和 [1， 2) 不是隔绝的．又比如，易见，平凡空间中任何两个非空子集都不是隔绝的，而在失散空间中任何两个无交的子集都是隔绝的．定义 4．1．2 设 X 是一个拓扑空间．假如 X 中有两个非空的隔绝子集 A 和 B 使得 X=A∪B ，则称 X 是一个不连通空间；不然，则称X 是一个连通空间．明显，包含着多于两个点的失散空间是不连通空间，而任何平凡空间都是连通空间．定理 4． 1． 1 设 X 是一个拓扑空间．则以下条件等价：（ l） X 是一个不连通空间；（ 2）X 中存在着两个非空的闭子集 A 和 B 使得 A ∩ B=和A∪B＝X成立；（ 3） X 中存在着两个非空的开子集 A 和 B 使得 A ∩ B=和A∪B＝X成立；（ 4）X 中存在着一个既开又闭的非空真子集．证明（ l）蕴涵（ 2） : 设（ 1）成立．令 A 和 B 是 X 中的两个非空的隔绝子集使得A ∪B＝ X，明显 A ∩B=，而且这时我们有B B X B( A B) ( B A) ( B B) B所以 B 是 X 中的一个闭子集；同理知足条件（ 2）中的要求．（ 2）蕴涵（ 3）．假如 X 的子集则因为这时有 A ＝B /和 B= A，所以A 也是一个X 中的一个闭子集．这证了然会合 A 和 BA 和B 知足条件（ 2）中的要求，所以 A 、 B 为闭集，A、 B 也是开集，所以 A 和 B 也知足条件（3）中的要求．则由（ 3）蕴涵（ 4）．假如A＝B和B=A易见X 的子集 A 和 B 知足条件（ 3）中的要求，所以 A 、 B 是开集，A 和B 都是 X 中的闭集，所以 A 、 B 是 X 中既开又闭的真（∵A 、 B≠，A∪B=X，∴ A、B≠ X）子集，所以条件（4）成立．（ 4）蕴涵（ l）．设 X 中有一个既开又闭的非空真子集 A ．令 B= A．则 A 和 B 都是X 中的非空的闭子集，它们是无交的而且使得 A ∪ B=X ．易见两个无交的闭子集必然是隔绝的（因为闭集的闭包仍为自己）．所以（ l ）成立．例 4. 1． 1 有理数集 Q 作为实数空间 R 的子空间是一个不连通空间．这是因为对于任何一个无理数 r∈ R-Q，会合（ -∞， r）∩ Q＝（－∞， r] ∩ Q 是子空间 Q 中的一个既开又闭的非空真子集．定理 4． 1． 2实数空间R 是一个连通空间．证明我们用反证法来证明这个定理．假定实数空间R 是不连通空间．则依据定理4．1． 1，在 R 中有两个非空闭集 A 和B使得 A ∩B=和 A ∪ B＝ R 成立．随意选用a∈ A 和 b∈ B，不失一般性可设~ a＜ b．令A =A~~~~∩[a,b] ，和B=B∩ [a,b] ．于是A和B是 R 中的两个非空闭集分别包含 a 和 b，而且使得A∩~~~~~．因为~B =和 A ∪ B =[a，b]成立．会合A有上界 b，故有上确界，设为b A 是一个闭集，~~~~~~~~矛盾．因所以 b∈ A ，而且所以可见 b ＜b，因为 b ＝b将致使b∈ A ∩ B ，而这与 A ∩ B = ~~~~~~~~~~此（ b ，b]B．因为 B 是一个闭集，所以 b∈ B．这又致使 b ∈ A ∩ B ，也与 A ∩ B =矛盾．定义 4．1．3 设 Y 是拓扑空间X 的一个子集．假如 Y 作为 X 的子空间是一个连通空间，则称Y是X的一个连通子集；不然，称Y 是 X 的一个不连通子集．拓扑空间X 的子集 Y 是不是连通的，依据定义只与子空间Y 的拓扑相关 (即 Y 的连通与否与 X 的连通与否没相关系.)．所以，假如Y Z X ，则Y是X的连通子集当且仅当Y 是 Z 的连通子集．这一点后边要常常用到．定理 4．1． 3 设 Y 是拓扑空间X 的一个子集， A ，B Y．则 A 和 B 是子空间Y 中的隔绝子集当且仅当它们是拓扑空间X 中的隔绝子集．所以， Y 是 X 的一个不连通子集当且仅当存在∪B ＝ Y( 定义 )当且仅当存在X 中的两个非空隔绝子集证明因为Y 中的两个非空隔绝子集AA 和B 使得 A∪B＝Y．和 B使得A(C Y(A)B) (C Y( B)A) ((C X( A)Y)B) ((C X( B)Y)A) (C X( A)(Y B))(C X(B)(Y A))(C X( A)B) (C X( B)A)所以依据隔绝子集的定义可见定理成立．得定理 4．1． 4 设Y AUB，则或许Y是拓扑空间X 中的一个连通子集．假如Y A，或许Y B．X 中有隔绝子集 A 和B使证明假如 A 和B 是X 中的隔绝子集使得Y AUB，则((A Y) B Y) ((B Y) A Y) (A Y B) (B Y A)Y (( A B )( B A)这说明 A∩Y所以依据定理立刻可见Y 和 B∩ Y 也是隔绝子集．但是（A∩Y）∪（ B∩Y）＝（ A ∪B）∩ Y＝Y4．1． 3，会合 A ∩ Y 和 B ∩ Y 中必有一个是空集．假如B，假如B∩Y＝，同理可见Y A ．A∩Y=，据上式定理4．1． 5设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集，Z X 知足条件Y Z Y．则Z 也是X 的一个连通子集．证明假定 Z是X中的一个不连通子集．依据定理4．1．3，在X 中有非空隔绝子集A 和B 使得Z=A ∪ B ．所以Y AUB ．因为Y 是连通的，依据定理4． 1． 4，或许Y A ，Z Y A Z B A B B Z B或许Y B,同理 , A。
