关 于 拓 扑 空 间 的 定 义

拓扑空间通过引入收敛序列极限唯一的拓扑空间, 即T12 空间, 以及将分离性公理中的点代之以紧集, 得到一类T ii 空间( i = 0, 1, 2), 并且研究它们之间的紧密关系。

问题1!紧致性∀一章里有这样的问题: !证明H ausdorff空间收敛序列的极限是唯一的∀。

此命题即为: 若X 为T2 空间, 则X 中收敛序列极限唯一。

那么, 它的逆命题成立吗? 若不成立, 则需附加什么条件, 才能使收敛序列极限唯一的拓扑空间等价于T2 空间?问题2对于拓扑空间, 一些分离性公理被熟知, 如T0 空间、T1 空间、T2 空间、T3 空间、T4 空间等。

1. 1T1 与T1 2 空间定义1如果拓扑空间(X, T ) 的任一收敛序列极限唯一, 那么称X 为T1 2 空间。

定义2设{ a n } 是拓扑空间X 中的序列, A n = {x #X | i ∃n, x = a i }, 如果! n0, 使得当n ∃n0 时,A n = A n0为m元集, 则序列{ a n } 称作X 的m元序列,当m为1时, 序列{ a n } 称为X 的单元序列。

常值序列显然是单元序列。

定理1如果X 是T1 空间, 那么X 的单元序列极限唯一。

证设{ a n } 是X 的单元序列, 那么! n0, n ∃n0时,a n = a为常值, 显然lim n% & a n = a。

若l im n% & a n =b ∋a, 则对∀b的开邻域U b 有a # U b, 即不存在b的开邻域U, 使得a # U, 这与X 是T1 空间矛盾, 因而定理得证。

推论1若X 是T1 空间, 则X 中常值序列的极限唯一。

定理2如果X 是T1空间, 那么X 的m (m > 1) 元序列{ a n } 不收敛。

证{ a n } 为X 的m元序列, 故! n0, s. .t n ∃n0时,A n = A n0为m 元素(m > 1)。

拓扑线性空间基础刘培德编著武汉大学出版社2002年・武汉内容简介本书讲述拓扑线性空间的一般理论和它们的某些应用。

全书由六章和两个附录组成。

前面三章叙述拓扑线性空间的基本理论。

第一章包括拓扑线性空间的基本属性,局部基的构造,局部凸空间的特征。

第二章是在拓扑线性空间框架下的共鸣定理、开映射定理、闭图像定理以及线性泛函的Ha hn-Ba na c h延拓定理等。

第三章讲解局部凸空间的共轭理论。

后面三章分别讲述广义函数、Ba na ch代数以及算子谱论和算子半群。

附录一叙述了关于集合论的几个公理,附录二集中地阐述了本书用到的点集拓扑方面的基本知识。

本书是为数学学科各专业研究生编写的教材,也可以作为相关教师或数学工作者进一步学习泛函分析知识的参考书。

前 言本书讲述拓扑线性空间特别是局部凸空间的一般理论和它们的某些应用,是为基础数学、概率统计以及计算数学、应用数学等专业研究生撰写的教材。

简单地说,拓扑线性空间是一类其线性结构与最一般的拓扑结构有机结合起来的集合。

有关拓扑线性空间的理论就是研究这种拓扑代数结构以及把它们应用于分析问题的方法。

拓扑线性空间理论作为泛函分析学科的一个分支产生于20世纪40～50年代。

在这段时期以前,人们集中地研究了度量空间上的类似结构,这主要是H ilbert 空间和Banach 空间以及这些空间上的算子。

从H ilb ert 空间和Banach 空间的研究转到拓扑线性空间的研究是泛函分析发展史上里程碑式的进展。

无论如何,拓扑线性空间至今仍然是现代数学乃至自然科学中与之有关的各种问题和理论讨论或阐述的最广泛的框架。

历史的回顾可以帮助我们理解这一进展的意义。

泛函分析萌发于从19世纪向20世纪转折的时期,最早的工作是由Volterra ,F redholm ,H ilb ert 以及Riese,Fischer 等人做出的,他们的研究最终导致了Hilbert 空间的建立。

这些工作还紧密地联系着经典数学物理中的实际问题,一批优秀的数学家开始认识到数学问题的抽象表述与抽象空间理论的威力与意义。

点集拓扑学点集拓扑学（Point Set Topology），有时也被称为一般拓扑学（General Topology），是数学的拓扑学的一个分支。

它研究拓扑空间以及定义在其上的数学结构的基本性质。

这一分支起源于以下几个领域：对实数轴上点集的细致研究，流形的概念，度量空间的概念，以及早期的泛函分析。

它的表述形式大概在1940年左右就已经成文化了。

通过这种可以为所有数学分支适用的表述形式，点集拓扑学基本上抓住了所有的对连续性的直观认识。

具体地说，在点集拓扑学的定义和定理的证明中使用了一些基本术语，诸如：•开集和闭集•开核和闭包•邻域和邻近性•紧致空间•连续函数•数列的极限，网络，以及滤子•分离公理度量空间在数学中，度量空间是一个集合，在其中可以定义在这个集合的元素之间的距离（叫做度量）的概念。

度量空间中最符合我们对于现实直观理解的是三维欧几里得空间。

事实上，“度量”的概念就是对从欧几里得距离的四个周知的性质引发的欧几里得度量的推广。

欧几里得度量定义了在两个点之间的距离为连接它们的直线的长度。

空间的几何性质依赖于所选择的度量，通过使用不同的度量我们可以构造有趣的非欧几里得几何，比如在广义相对论中用到的几何。

度量空间还引发拓扑性质如开集和闭集，这导致了对更抽象的拓扑空间的研究。

【性质】度量空间是元组(M,d)，这里的M 是集合而 d 是在M 上的度量(metric)，就是函数使得•d(x, y) ≥ 0 (非负性)•d(x, y) = 0 当且仅当 x = y (不可区分者的同一性)•d(x, y) = d(y, x) (对称性)•d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (三角不等式)。

函数d 也叫做“距离函数”或简单的叫做“距离”。

经常对度量空间省略d 而只写M，如果在上下文中可明确使用了什么度量。

不要求第二、第三或第四个条件分别导致伪度量空间、准度量空间或半度量空间的概念。

第一个条件实际上可以从其他三个得出: 2d(x, y) = d(x, y) + d(y, x) ≥ d(x,x) = 0.它做为度量空间的性质更恰当一些，但是很多课本都把它包括在定义中。

拓扑空间维基百科，自由的百科全书汉漢▼上圖為三點集合{1,2,3}上四個拓撲的例子和兩個反例。

左下角的集合並不是個拓撲空間，因為缺少{2}和{3}的聯集{2,3}；右下角的集合也不是個拓撲空間，因為缺少{1,2}和{2,3}的交集{2}。

拓扑空间是一种数学结构，可以在上頭形式化地定義出如收敛、连通、连续等概念。

拓扑空间在现代数学的各个分支都有应用，是一个居于中心地位的、统一性的概念。

拓扑空间有独立研究的价值，研究拓扑空间的数学分支称为拓扑学。

目录[隐藏]• 1 定义o 1.1 例子• 2 拓扑之间的关系• 3 连续映射• 4 等價定义o 4.1 闭集o 4.2 邻域o 4.3 闭包运算o 4.4 开核运算o 4.5 网• 5 拓扑空间的例子• 6 拓扑空间的构造•7 拓扑空间的分类o7.1 分离性o7.2 可数性o7.3 连通性o7.4 紧性o7.5 可度量化•8 拥有代数结构的拓扑空间•9 拥有序结构的拓扑空间•10 历史•11 参考书目拓撲空間是一個集合 X，和一個包含 X 的子集族 τ，其滿足如下公理：1. 空集和 X 都屬於 τ。

2. τ 內任意个集合的並集都仍然會屬於 τ。

3. τ 內任意两個集合的交集也仍然會屬於 τ。

滿足上述公理的集族 τ 即稱為 X 的拓撲。

X 內的元素通常稱做「點」，但它們其實可以是任意的元素。

裡面的「點」為函數的拓撲空間稱為「函數空間」。

τ 內的集合稱為開集，而其在 X 內的補集則稱為閉集。

一個集合可能是開放的、封閉的、非開非閉或亦開亦閉。

[编辑]例子1. X = {1,2,3,4} 和 X 內兩個子集組成的集族 τ = {∅, X} 會形成一個平庸拓扑（简体中文）／密著拓撲（繁体中文）。

2. X = {1,2,3,4} 和 X 內六個子集組成的集族 τ = {∅,{2},{1,2},{2,3},{1,2,3},{1,2,3,4}} 會形成另一個拓撲。

3. X = ℤ（整數集合）及集族 τ 等於所有的有限整數子集加上 ℤ 自身不是一個拓撲，因為（例如）所有不包含零的有限集合的聯集是無限的，但不是 ℤ 的全部，因此不在 τ 內。

代数拓扑集合拓扑代数拓扑拓扑关系拓扑结构_笔记学空间数据库的时候，拓扑⽅⾯内容笔记拓扑是研究⼏何图形或空间在连续改变形状后还能保持不变的⼀些性质的⼀个学科。

它只考虑物体间的位置关系⽽不考虑它们的形状和⼤⼩。

“拓扑”就是把实体抽象成与其⼤⼩、形状⽆关的“点”，⽽把连接实体的线路抽象成“线”，进⽽以图的形式来表⽰这些点与线之间关系的⽅法，其⽬的在于研究这些点、线之间的相连关系。

表⽰点和线之间关系的图被称为拓扑结构图。

拓扑结构与⼏何结构属于两个不同的数学概念。

在⼏何结构中，我们要考察的是点、线、⾯之间的位置关系，或者说⼏何结构强调的是点与线所构成的形状及⼤⼩。

如梯形、正⽅形、平⾏四边形及圆都属于不同的⼏何结构，但从拓扑结构的⾓度去看，由于点、线间的连接关系相同，从⽽具有相同的拓扑结构即环型结构。

也就是说，不同的⼏何结构可能具有相同的拓扑结构。

如三⾓形变成四边形、原型、环形，⾓度、长度、⾯积、形状等等都很可能发⽣变化。

此时，不必考虑它们的形状和⼤⼩（如长度、⾯积、形状等等这些），只考虑物体间的位置、结构关系，只专注于在连续改变形状后还能保持不变的⼀些性质(如他们都是⼀个圈)，这就是拓扑学。

拓扑学历史拓扑英⽂名是Topology，直译是地志学，最早指研究地形、地貌相类似的有关学科。

⼏何拓扑学是⼗九世纪形成的⼀门数学分⽀，它属于⼏何学的范畴。

有关拓扑学的⼀些内容早在⼗⼋世纪就出现了。

那时候发现的⼀些孤⽴的问题，在后来的拓扑学的形成中占着重要的地位。

1679年德国数学家莱布尼茨提出的名词拓扑学，起初叫形势分析学，他在17世纪提出“位置的⼏何学”（geometria situs）和“位相分析”（analysis situs）的说法。

1736年欧拉在解决了七桥问题，给当时数学界引起很多思考；1750年欧拉在发表了多⾯体公式；1833年⾼斯在电动⼒学中⽤线积分定义了空间中两条封闭曲线的环绕数。

1847年 J.B.利斯廷根据希腊⽂τπο和λγο（“位置”和“研究”），提出Topology这⼀数学名词，即拓扑学。