第一章 拓扑空间与

拓扑空间的基本概念拓扑空间是数学中重要的概念，它是研究点集的开集和收敛性质的一种数学结构。

在现代数学中，拓扑空间理论是非常重要的一个分支，它不仅在纯数学中有着广泛的应用，也在物理学、工程学等其他学科中有着深远的影响。

本文将介绍拓扑空间的基本概念，包括拓扑空间的定义、开集、闭集、邻域、连通性等内容，帮助读者更好地理解和掌握这一重要的数学概念。

1. 拓扑空间的定义在介绍拓扑空间的基本概念之前，首先需要给出拓扑空间的定义。

拓扑空间是一个集合X上的一种拓扑结构，它是X的子集族T的一个元素，满足以下三条性质：（1）X和空集∅都是T的元素；（2）T中任意多个元素的交集仍然是T的元素；（3）T中有限个元素的并集仍然是T的元素。

满足上述性质的集合族T被称为X上的一个拓扑结构，而(X, T)被称为拓扑空间。

在拓扑空间中，集合X的元素被称为点，集合T的元素被称为开集。

2. 开集和闭集在拓扑空间中，开集和闭集是非常重要的概念。

开集是指拓扑空间中的一个子集，对于该子集中的每个点，都存在一个包含该点的开球，使得该开球完全包含在该子集中。

换句话说，开集是指对于其中的每个点，都存在一个邻域完全包含在该集合中。

闭集则是开集的补集。

换句话说，闭集是指包含了其所有极限点的集合。

在拓扑空间中，开集和闭集是相辅相成的概念，它们共同构成了拓扑结构的基础。

3. 邻域邻域是拓扑空间中另一个重要的概念。

给定拓扑空间X中的一个点x，邻域是包含x的一个开集。

换句话说，邻域是指包含了该点附近所有点的一个开集。

邻域的概念是用来描述点与点之间的接近程度，它在分析拓扑空间中点的性质和集合的性质时起着重要作用。

4. 连通性在拓扑空间中，连通性是一个重要的性质。

一个拓扑空间被称为连通的，如果它不可以被表示为两个不相交的非空开集的并。

换句话说，一个拓扑空间是连通的，如果任何两点之间都存在一条连续的曲线。

连通性是描述拓扑空间整体结构的一个重要性质，它反映了空间中点之间的连续性和联系性。

《数学系（点集拓扑学）》教学大纲
学时：51学时学分：3
适用专业：数学与应用数学专业
大纲执笔人：李伯权大纲审定人：孙国正
一、说明
1、课程的性质、地位和任务
拓扑学是基础性的数学分支，它研究几何图形在连续变形(即拓扑变换)下保持不变的性质，即拓扑性质。

目前，拓扑学的概念、方法和理论已经广泛地渗透到现代数学以及邻近学科的许多领域，并且有了日益重要的应用；又鉴于在今后中学数学的教学改革中有可能渗入某些拓扑知识，因此无论从数学教材的现代化和师范性的要求来看，本课程的设置都是必要的。

点集拓扑学又称一般拓扑学，它是拓扑学的基础，它主要研究拓扑空间的自身结构与其间的连续映射的学科。

本课程主要介绍点集拓扑学的基本概念和基础理论，通过本课程的学习可以使学生从较高观点观察、分析已学过的数学分析、函数论和几何的内容，加深对这些内容的认识与理解，并为进一步学习现代数学提供必要的基础。

2、课程教学的基本要求
（1）通过本课程的学习，学生应掌握点集拓扑的一些基本概念与应用拓扑学解决实际问题的能力。

以便为以后进一步学习、研究
现代数学打好基础；另一方面培养学生理论联系实际和分析问
题解决问题的能力。

（2）系统掌握点集拓扑的基本知识。

其基本内容包括：拓扑空间和连续映射的定义及其基本性质，构造新的拓扑空间的方法，各
种拓扑不变性质，如连通性、分离性、紧性、度量空间的完备
性等以及这些拓扑不变性之间的相互关联，这些拓扑不变性的
可积、可遗传等性质，基本群及其应用。

掌握点集拓扑中的证。

拓扑空间的基本概念与性质拓扑空间是数学中的一个重要概念，它在分析、代数、几何等领域中起着重要的作用。

本文将介绍拓扑空间的基本概念及其性质。

一、引言拓扑空间是由集合和集合上的拓扑结构构成的一种数学结构。

它是一种比度量空间更一般的空间，可以用于描述不同度量之间的性质。

拓扑空间的研究为数学领域的许多问题提供了新的解决方法。

二、拓扑空间的定义拓扑空间由以下三条公理定义：首先，给定一个非空集合X，X的全体子集构成的集合Τ称为X上的一个拓扑。

拓扑中的元素称为开集。

其次，空集和整个集合X都是开集。

最后，开集的任意并、有限交以及有限并仍然是开集。

三、开集与闭集拓扑空间中的开集具有以下性质：首先，空集和整个集合X都是开集。

其次，任意两个开集的交集仍然是开集。

最后，开集的任意并仍然是开集。

闭集是指和开集互补的集合。

四、邻域与极限点在拓扑空间中，邻域是指包含某个点的开集。

极限点是指在拓扑空间中，存在序列中的某一点，使得该点的任意邻域都与序列中的无穷个点相交。

五、连续映射拓扑空间中，连续映射是指保持拓扑结构的映射。

即，对于任意开集V，其原像在定义域中是一个开集。

连续映射有以下性质：首先，恒等映射是连续的。

其次，连续映射的复合仍然是连续的。

最后，如果映射的像是开集，那么定义域中的原像也是开集。

六、拓扑空间的性质拓扑空间具有许多重要的性质：首先，有限集在拓扑空间中是闭集。

其次，连续映射保持极限点。

最后，具有有限子覆盖性质的拓扑空间是紧致的。

七、子空间拓扑空间的子集上也可以定义一个拓扑结构，这样的子集称为子空间。

子空间具有许多与原空间相似的性质。

八、紧致性紧致性是拓扑空间中的重要概念之一。

一个拓扑空间是紧致的，当且仅当它的每一个开覆盖都有有限子覆盖。

九、拓扑空间的分类不同的拓扑空间之间可以存在同胚。

同胚是指两个拓扑空间之间存在一个双射，且该双射及其逆映射都是连续映射。

十、总结本文介绍了拓扑空间的基本概念与性质。

拓扑空间是数学中的一个重要研究对象，它可以用于描述不同度量之间的性质。

河北师大点集拓扑优质课件 1[1]0一、教学内容本节课我们将学习《点集拓扑》教材的第一章“拓扑空间与连续性”的第3节“紧致性”。

具体内容包括：理解紧致性的概念、探讨紧致空间的性质、掌握闭区间上的连续函数的属性以及探讨紧致性与有限覆盖定理之间的关系。

二、教学目标1. 让学生理解并掌握紧致性的定义，能够识别常见的紧致空间。

2. 培养学生运用紧致性解决实际问题的能力，理解紧致性在拓扑空间中的重要性。

3. 让学生掌握闭区间上连续函数的性质，并能运用这些性质解决相关问题。

三、教学难点与重点重点：紧致性的定义及性质，闭区间上连续函数的性质。

难点：理解紧致性与其他拓扑性质之间的关系，运用紧致性解决实际问题。

四、教具与学具准备1. 教具：PPT课件、黑板、粉笔。

2. 学具：教材、笔记本、文具。

五、教学过程1. 实践情景引入：通过展示地球仪上的紧致集合（如大陆），引导学生思考紧致性在实际生活中的应用。

2. 知识讲解：(1) 紧致性的定义：介绍紧致性的概念，通过示例让学生理解并掌握紧致集合的特点。

(2) 紧致空间的性质：讲解紧致空间的性质，如闭集、有限覆盖定理等。

(3) 闭区间上连续函数的性质：介绍闭区间上连续函数的性质，如有界性、最大值最小值定理等。

3. 例题讲解：讲解典型例题，引导学生运用所学知识解决实际问题。

4. 随堂练习：布置相关练习题，让学生巩固所学知识。

六、板书设计1. 紧致性的定义2. 紧致空间的性质3. 闭区间上连续函数的性质4. 典型例题及解题方法七、作业设计1. 作业题目：(2) 设f(x)在闭区间[0,1]上连续，证明f(x)在[0,1]上有界。

2. 答案：(1) A为紧致集合，B不为紧致集合。

(2) 证明：由于闭区间[0,1]为紧致集合，根据闭区间上连续函数的性质，f(x)在[0,1]上有界。

八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对紧致性的理解程度，以及对闭区间上连续函数性质的掌握情况。

第一章、拓扑学基础1.1拓扑空间概念拓扑空间是一个二元组(S, O)，这里S是给定集合，O是由S的一些子集构成的集类，其元素称为开集，并满足如下开集公理：T1 ∅, S∈O（即，∅, S是开集）；T2 若U1，U2∈O，则U1⋂U2∈O（即，O对有限交封闭）；T3 开集的任意并集还是开集（即，O对任意并封闭）。

註记满足上述开集公理的O，也称为集合S上的拓扑，（S, O）为相应的拓扑空间，也记为S。

例子实数集合ℝ上的标准拓扑：开集定义为若干个开区间的并集。

不难验证：这里定义的开集满足开集公理。

只需说明：两个开区间的交集为空集或开区间。

例子离散拓扑与平凡拓扑对给定的集合S，定义下列两个拓扑：(S,O1): O1由S的所有子集构成，它是S上的拓扑（最大拓扑）。

(S,O2): O2={∅，S}，它是S上的拓扑（最小拓扑）。

练习给出实数集合ℝ上三种不同的拓扑空间结构。

练习设S是一个集合，O由∅，S及S的某个固定子集A的所有子集构成。

验证O是S上的拓扑。

从而，(S，O)是一个拓扑空间。

概念设(S, O)是拓扑空间，称A⊂S是闭集，如果S\A是开集。

拓扑空间S的所有闭集构成集合，记为C。

命题拓扑空间S中的闭集满足闭集公理C1 ∅, S∈C；C2 若A1，A2∈C，则A1⋃A2∈C（即，C对有限并封闭）；C3 闭集的任意交集还是闭集（即，C对任意交封闭）。

证明：利用下列等式可证。

S\(A1⋃A2)=(S\A1)⋂(S\A2)，S\(B ii。

i)=(S\B i)註记开集公理与闭集公理是等价的：若S中的某些子集指定为闭集，并满足闭集公理。

则S是拓扑空间，其开集由闭集的余集所构成。

概念对拓扑空间S，点u∈S的开邻域是指包含u的开集U；子集A⊂S的开邻域是指包含A的开子集；一个点（或子集）的邻域是一个子集，它包含该点（或该子集）的一个开邻域。

例子对拓扑空间ℝ，U=(-1，1)是0的开邻域；W=[-1，1]是0的邻域。

拓扑学的拓扑空间拓扑学是数学的一个重要分支，研究的对象是拓扑空间及其性质。

拓扑空间是集合论的一个应用领域，它是指任意一个集合及其上的拓扑结构。

本文将介绍拓扑空间的定义、性质以及与其他数学概念的关系。

一、拓扑空间的定义拓扑空间由两个部分组成：一个是集合，另一个是定义在这个集合上的拓扑结构。

集合可以是有限的，也可以是无限的。

拓扑结构则规定了集合中元素之间的接近方式或者邻近关系。

具体地说，拓扑结构包括了开集的概念和满足一定条件的子集之间的关系。

二、拓扑空间的性质1. 开集和闭集：在拓扑空间中，开集是指满足包含于自身内部的集合，闭集则是指包含它所有极限点的集合。

开集和闭集是拓扑空间中的基本概念，它们具有很多重要的性质。

2. 连通性：拓扑空间中的一个重要性质是连通性。

连通性是指拓扑空间中不存在可以将其划分为非空、互不相交且一个集合开，另一个集合闭的两个子集。

连通性在拓扑学和几何学中有广泛的应用，它刻画了空间的固有性质。

3. 同胚和同伦：同胚是指两个拓扑空间之间的一个一一映射，而且这个映射和其逆映射都是连续的。

同胚将一个拓扑空间映射到另一个拓扑空间，保持了拓扑结构的性质。

同伦是拓扑学中的一个关键概念，它刻画了两个空间之间的变形关系。

三、拓扑空间与其他数学概念的关系1. 拓扑空间与度量空间：度量空间是由距离函数所构成的空间，它是拓扑空间的一种特殊情况。

拓扑空间可以通过引入度量而变成度量空间，而度量空间中也能定义拓扑。

2. 拓扑空间与集合论：拓扑空间是集合论的一个应用领域，它运用了集合的概念和理论。

在拓扑学中，集合的元素被看作是拓扑空间中的点，而集合的子集则对应于拓扑空间的开集和闭集。

3. 拓扑空间与几何学：几何学是研究空间形状和性质的学科，而拓扑学则研究了几何学中的一些基本概念和性质。

拓扑空间提供了一种抽象的框架来研究几何学中的问题，使得研究更加一般化和推广。

总结：拓扑学的拓扑空间是集合论的一个重要应用领域，它研究了集合和集合上拓扑结构之间的关系，具有许多有趣的性质。

拓扑学的基本概念与拓扑空间拓扑学是数学的一个分支，研究的对象是空间的性质与结构，而不关注其度量或形状。

拓扑学的基本概念包括拓扑空间、连续映射、开集、闭集等，它们构成了拓扑学的基础。

一、拓扑空间的定义与基本性质拓扑空间是拓扑学中最基本的概念之一。

一个集合X，若其满足以下三个条件，则称X是一个拓扑空间：1. X本身与空集∅是开集；2. 任意多个开集的交集仍是开集；3. 有限多个开集的并集仍是开集。

在拓扑空间中，我们可以定义许多重要的概念和性质。

例如，连续映射是拓扑空间之间的一种映射，它在保持点与点之间的接近程度方面具有重要作用。

连续映射的定义是：若拓扑空间X和Y上的一个映射f满足对于任意开集V，其原像f^(-1)(V)是X上的开集，则称f是一个连续映射。

二、开集与闭集在拓扑学中，开集和闭集是两个基本的概念。

开集是指拓扑空间中的一个子集，满足其包含的每个点都是该空间中的一个内点。

闭集是指拓扑空间中的一个子集，满足其包含了该空间中的所有边界点。

开集和闭集具有一些基本的性质：1. 空集∅和整个拓扑空间X既是开集又是闭集；2. 有限个开集的并集是开集，有限个闭集的交集是闭集；3. 任意多个开集的交集是开集，任意多个闭集的并集是闭集。

三、拓扑基与拓扑生成拓扑基和拓扑生成是拓扑学中用于描述拓扑空间性质的重要工具。

拓扑基是指拓扑空间中的一个子集合，满足以下两个条件：1. 拓扑基中的每个元素都是开集；2. 对于任意开集U和任意元素x∈U，存在一个拓扑基中的元素B，使得x∈B且B⊆U。

通过拓扑基，我们可以用更简洁的方式描述拓扑空间中的开集。

拓扑基的定义有助于我们研究拓扑空间的性质和结构。

拓扑生成是指通过给定的拓扑生成集合，来定义拓扑空间中的开集。

拓扑生成集合是一个集合，满足以下两个条件：1. 拓扑生成集合中的每个元素都是开集；2. 对于任意开集U，其包含的点都属于拓扑生成集合中的某个元素。

拓扑基和拓扑生成的引入，使得我们可以根据拓扑空间的结构特点和需要，选择不同的刻画方式，方便地研究和构造拓扑空间。

一般拓扑学基础一、拓扑空间与拓扑结构拓扑空间是一个集合，它具有某种特殊的结构，称为拓扑。

这种结构可以定义在集合上的元素之间，形成一种具有邻近关系的抽象概念。

拓扑空间中的元素称为点，点之间的邻近关系可以描述为点集的并集和交集。

拓扑结构是定义在集合上的一个子集族，它满足以下三个性质：1. 任意两个不同的点不是邻近的；2. 任意一个点集合包含在一个邻近的点集合中；3. 任意一个点集合的邻近点集合的并集是整个空间的一个邻近点集合。

二、拓扑空间的连通性连通性是拓扑空间的一个基本性质，它描述了一个空间无法被分成两个非空的不相交的子集。

换句话说，一个拓扑空间是连通的，如果它不能被分成两个分离的子集。

连通性的性质可以根据不同的定义进行分类。

例如，一个空间是强连通的，如果任何两个点都可以通过一个连续路径连接起来；如果一个空间中的任何两个不相交的开集都可以被分成不相交的闭集，则该空间是弱连通的。

三、紧致性紧致性是拓扑空间的一个重要的性质，它表示空间中的点集可以紧凑地被包含在一个有限的范围内。

具体来说，如果一个空间中的任何点集都可以被包含在一个有限的闭集内，则该空间是紧致的。

紧致性的性质有很多分类，例如，一个空间是完备的，如果它的任何闭集都是紧致的；一个空间是局部紧致的，如果它的任何点都有一个紧致的邻域。

四、分离公理与豪斯道夫空间分离公理是拓扑空间的一个基本假设，它保证了空间的点的分离性质。

根据分离公理，任何一个非空的空间可以分解成若干个不相交的子空间的并集。

满足分离公理的空间称为豪斯道夫空间。

五、度量空间与完备度量空间度量空间是一个具有度量概念的拓扑空间，它是一个具有欧几里得距离的特殊拓扑空间。

在度量空间中，任意两个点之间的距离可以由它们的特征函数的值来计算。

满足某种性质的度量空间称为完备度量空间。

例如，如果一个度量空间的任何柯西序列都收敛到一个极限，则该空间是完备的。

六、映射与同胚映射是从一个拓扑空间到另一个拓扑空间的连续函数。

第一章、拓扑学基础1.1拓扑空间概念拓扑空间是一个二元组(S, O)，这里S是给定集合，O是由S的一些子集构成的集类，其元素称为开集，并满足如下开集公理：T1 ∅, S∈O（即，∅, S是开集）；T2 若U1，U2∈O，则U1⋂U2∈O（即，O对有限交封闭）；T3 开集的任意并集还是开集（即，O对任意并封闭）。

註记满足上述开集公理的O，也称为集合S上的拓扑，（S, O）为相应的拓扑空间，也记为S。

例子实数集合ℝ上的标准拓扑：开集定义为若干个开区间的并集。

不难验证：这里定义的开集满足开集公理。

只需说明：两个开区间的交集为空集或开区间。

例子离散拓扑与平凡拓扑对给定的集合S，定义下列两个拓扑：(S,O1): O1由S的所有子集构成，它是S上的拓扑（最大拓扑）。

(S,O2): O2={∅，S}，它是S上的拓扑（最小拓扑）。

练习给出实数集合ℝ上三种不同的拓扑空间结构。

练习设S是一个集合，O由∅，S及S的某个固定子集A的所有子集构成。

验证O是S上的拓扑。

从而，(S，O)是一个拓扑空间。

概念设(S, O)是拓扑空间，称A⊂S是闭集，如果S\A是开集。

拓扑空间S的所有闭集构成集合，记为C。

命题拓扑空间S中的闭集满足闭集公理C1 ∅, S∈C；C2 若A1，A2∈C，则A1⋃A2∈C（即，C对有限并封闭）；C3 闭集的任意交集还是闭集（即，C对任意交封闭）。

证明：利用下列等式可证。

S\(A1⋃A2)=(S\A1)⋂(S\A2)，S\(B ii。

i)=(S\B i)註记开集公理与闭集公理是等价的：若S中的某些子集指定为闭集，并满足闭集公理。

则S是拓扑空间，其开集由闭集的余集所构成。

概念对拓扑空间S，点u∈S的开邻域是指包含u的开集U；子集A⊂S的开邻域是指包含A的开子集；一个点（或子集）的邻域是一个子集，它包含该点（或该子集）的一个开邻域。

例子对拓扑空间ℝ，U=(-1，1)是0的开邻域；W=[-1，1]是0的邻域。

§3拓扑空间一、基本概念[拓扑与拓扑空间]假定D是一个集，τ⊆2D（就是τ的每个元素都是D的子集），且满足条件：(i) φ∈τ，D∈τ；(ii) 任何一族属于τ的集的和集属于τ；(iii) 任何有限个属于τ的集的通集属于τ，那末称τ为D的一个拓扑，称<D,τ>这个有序对（见§1，二）为一个拓扑空间.假定X=<D,τ>是一个拓扑空间，那末D的每个元素都称为X里的点，D的每个子集都称为X里的点集，特别，D称为X的承载点集.τ的每个元素（是D的特殊子集）都称为X 里的开集，τ称为X的拓扑.在不至于引起误解的情况下，也往往把一个拓扑空间跟它的承载点集混为一谈.[凝固拓扑与分散拓扑] 注意，任何一个集D的拓扑总是存在的.比如{φ，D}就是D的一个拓扑，称为D的凝固拓扑，<D，{φ，D}>称为一个凝固空间，在这个凝固空间里，开集只有φ和D.还有2D也是D的一个拓扑，称为D的分散拓扑，<D,2D>称为分散空间，在这个分散空间里，任何点集都是开集.[诱导拓扑与拓扑子空间] 假定X是一个拓扑空间，A是X里的一个点集.把X里的任何一个开集跟A的通集称为A的一个相对开集，那末A的所有相对开集全体τ'是A的一个拓扑，称为A的诱导拓扑，<A,τ'>称为X的一个拓扑子空间.注意，凡是说拓扑子空间，它的拓扑一定是指诱导拓扑.[拓扑的粗细] 假定τ1和τ2都是集D的拓扑，τ1⊂τ2，那末说τ1比τ2粗，或者说τ比τ1细.2一个集D的每个拓扑都是2D的一个子集，因此是22D的一个元素，应用划分公理，一个集D的所有拓扑的全体是一个集，称为D的拓扑族，而粗细关系是这个拓扑族里的一个小大关系，不过还不是次序，因为D的不同的拓扑不一定可以比粗细.因此，D的拓扑族按照这个粗细关系是一个分行集.不过，当D的元素不止一个时，D一定有最粗的拓扑，那就是凝固拓扑，也一定有最细的拓扑，那就是分散拓扑.[拓扑亚基与拓扑的确定] 虽然一个集D的任何一族子集的全体只要满足上面定义的条*实数的进位制见第一章，§1，一.件（i），（ii），（iii）就可以取做拓扑，但是要验证这些条件是否满足往往不很方便.通常要利用拓扑亚基的概念来确定一个拓扑.假定σ 是集D 的一族子集（就是σ⊆2D ），把D 的所有掩盖σ 的拓扑τ（就是τ⊇σ）的通集记作τ0，那末不难看到，τ0是一个拓扑，并且是掩盖σ 的最粗的拓扑.τ0称为σ 所繁殖的拓扑，而σ称为τ0的一个亚基.任何一个拓扑τ都是它自己所繁殖的拓扑，因此都是自己的一个亚基.由这定义知道，集D 的任何一族子集可以繁殖出一个唯一的拓扑来.例1 （一维实数空间R 1）把实数全体记作R 1.由所有区间（a ，b ）（当a ≥b ，（a ，b ）表示空集）的全体所繁殖的拓扑τ1称为R 1的普通拓扑.以后如果没有另外说明，就把R 1当作具备这个普通拓扑的拓扑空间，称为一维实数空间.R 1当作集看还有别的拓扑，除凝固拓扑、分散拓扑外，比如由所有的半闭区间（a ，b ]（就是{x |b x a ≤< }，当a ≥b 时，（a ，b ]表示空集）全体也繁殖出一个拓扑来.但是这些都不是普通拓扑，如果要采用这些拓扑，要另外声明.[拓扑基] 假定σ 是一个拓扑空间X 里的一族开集的全体.如果X 里任何一个开集都是一族属于σ 的开集的和集，那末称σ为X 的拓扑的一个基.显然X 的拓扑自己就是自己的一个基. 由这定义知道，如果σ 是拓扑空间X 的拓扑的一个基，那末一定是X 的拓扑的一个亚基. 定理 一个集D 的一族子集的全体σ 是它所繁殖的拓扑的一个基的充分必要条件是：对任何A ∈σ，任何B ∈σ 和任何x ∈A ∩B ，存在C ∈σ,使x ∈C ⊆A ∩B .因此可以看到，所有实数区间（a ，b ）的全体是R 1的普通拓扑的一个基，因为属于任何两个区间的通集的任何一个实数x ，一定属于这个通集的一个子区间，因此还知道R 1里的任何一个开集都是区间的和集.[开邻域、邻域与基本邻域] 假定一个拓扑空间里的一点x 属于一个开集，那末称这开集为x 的一个开邻域.假定一个点集掩盖x 的一个点邻域，那末称这点集为x 的一个邻域.假设x 的一个开邻域属于这空间的拓扑的基，那末称这开邻域为x 的一个基本邻域.一个拓扑空间里的一个点集S 是开集的充分必要条件：属于S 的每一点都至少有一个基本邻域被S 所掩盖.开集也可用基本邻域的概念来定义.这是通常利用拓扑基来确定拓扑的另一个办法.例如这样规定：假定S 是一个实数集.如果对任何x ∈S ，存在一个区间（a ，b ）使x ∈（a ，b ）⊆S ，那末称S 为一个开集.所有这种开集全体正好就是R 1的普通拓扑.[拓扑乘积空间] 假定{X h |h ∈H }是一个拓扑空间族，X h =< D h τh >,那末h h k k h A D A |)({≠⨯⨯是τh 的任何一个元素，h 是H 的任何一个元素}是Hh h D ∈⨯的一个子集族，由这个子集族繁殖出H h h D ∈⨯的一个拓扑τ，称为这族τh 的乘积拓扑.把<H h h D ∈⨯,τ>称为这族拓扑空间X h 的拓扑乘积空间.注意，{H h h A ∈⨯|A h 是τh 的任何一个元素}这个集族所繁殖的拓扑一般比乘积拓扑细.只有对有限个拓扑空间的乘积，才跟乘积拓扑一致.在不至于引起误解的情况，这个拓扑乘积空间往往就记作它的承载点集Hh h D ∈⨯，因为说到拓扑乘积空间，意思就是它的拓扑是乘积拓扑.[n 维实数空间与n 维区间] 把所有实数全体记作R 1.由例1可知R 1是一维实数空间.当n是一个正整数时，n 个R 1的拓扑乘积空间个n R R R 111⨯⨯⨯,记作R n ，称为n 维实数空间. 如果把n 个区间的直接积),(),(11n n b a b a ⨯⨯ 称为n 维区间（如果其中某个（a i ，b i ）=φ的话，这个直接积也当作φ理解），那末由拓扑乘积空间的定义知道，R n 的拓扑就是所有n 维区间的全体繁殖出来的拓扑，而且所有n 维区间的全体是这个拓扑的一个基.换句话说，R n 里的任何一个开集都是n 维区间的和集.二、 点集的基本拓扑概念[内部·外部·边界·包] 假定S 是拓扑空间X =<D ,τ>里的一个点集，也就是S ⊆D ，那末相对于S 可以把X 里的点分为三类：1° 内点与内部.如果对一点x 存在一个开集V ，使x ∈V ⊆S ，那末称x 为S 的内点. S 的所有内点的全体，称为S 的内部，记作N （S ），S 的内部是S 的子集.2° 外点与外部.S 的余集D \S 的内点称为S 的外点.S 的所有外点的全体称为S 的外部，S 的外部是S 的余集的子集.3o 边界点与边界.既不是S 的内点也不是S 的外点的点称为S 的边界点.S 的边界点的全体称为S 的边界，记作B （S ）.S ∪B (S )称为S 的包，记作S =S ∪B （S ）.它们之间的基本关系如下：点集S 的边界同时也是S 的余集的边界.点集S 的包的余集就是S 的外部；S 的余集的包的余集就是S 的内部.点集S 的包就是S 的内部和S 的边界的和集，也就是说S =S ∪B （S ）=N （S ）∪B （S ）；注意，一般S 和)(S N 不一定相等，也就是S =N (S )∪B （N (S )）不一定成立.[处处稠密与无一处稠密] 假定P 和Q 是一个拓扑空间里的点集，Q P Q ⊇ ，那末称P 在Q 里处处稠密.假定P 的外部在Q 里处处稠密，那末称P 在Q 里无一处稠密.注意，这里“P 的外部”不能换成“P 的余集”.例如，有理数全体在一维实数空间R 1里处处稠密.无理数全体在R 1里也是处处稠密.整数全体在R 1里无一处稠密.一个不空区间（a ，b ）在R 1里既不处处稠密也不无一处稠密.[开集与闭集] 一个拓扑空间<D ,τ>里的开集的概念是基本的（本节，一），一个开集的余集称为闭集.1° 点集S 为开集的充分必要条件是：S 等于它的内部，或者说S 的每个边界点都不属于S .2° 点集S 为闭集的充分必要条件是：S 等于它的包，或者说S 的每个边界点都属于S .3°点集S既是开集又是闭集的充分必要条件是：S的边界是空集.例如φ和D都是既开又闭的.4°点集S不是开集也不是闭集的充分必要条件是：B（S）∩S≠φ并且B（S）∩S≠B（S）.例如在R1里，不空的区间（a，b）开而不闭，半闭区间（a，b]不开不闭，闭区间[a，b]闭而不开，有理数全体不开不闭，无理数全体不开不闭，整数全体闭而不开，R1既开又闭.此外，由闭集的定义得到三个跟开集相对偶的性质：1°φ是闭集，D是闭集；2°任何一族闭集的通集是闭集；3°任何有限个闭集的和集是闭集.[孤立点、聚点与导集] 假定S是拓扑空间里的一个点集，一点x∈S并且x有一个邻域G使G∩S={x}，那末称x为S的孤立点.假定y∈S（S表示S的包），但y不是S的孤立点，那末称y为S的聚点.一点y是点集S的聚点的充分必要条件是：对y的任何一个邻域L，（L\{y}）∩S≠φ.由定义知道，一个点集S的任何一个孤立点一定是S的边界点，而一个点集的任何一个内点一定是S的聚点，但是倒过来说显然不行.S的聚点的全体也称为S的导集，记作S'.S的包S可以表示为：S=S∪S'=（S的孤立点的全体）∪S'[孤立点集、自密集与完全集]对一个拓扑空间里的任何一个点集S，这空间里的全部点可以分为三类：S的外点，S的孤立点，还有S的聚点.聚点包括S的内点和不孤立的边界点.没有聚点的点集称为孤立点集（分散点集），因为它的诱导拓扑一定是分散拓扑.没有孤立点的点集S（就是S⊆S'）称为自密集.特别如果S自密并且闭，那末S称为完全集.因为S为闭集的充分必要条件是：S'⊆S，所以S是完全集的充分必要条件是：S=S'.三、拓扑空间的分离程度·可数公理1.不同分离程度的拓扑空间[T0空间] 如果拓扑空间X里任何不同的两点中至少有一点有一个邻域不包含另一点，那末称X为T0空间.[T1空间]如果拓扑空间X里任何不同的两点一定各有邻域不包含另一点，那末称X为T1空间.X是T1空间的充分必要条件是：X里任何一个只包含一点x的集{x}是闭集.[T2空间——豪斯道夫空间] 如果拓扑空间X里任何不同的两点一定各有邻域彼此没有公共点，那末称X为T2空间，也称分离空间.[正则空间] 假定对拓扑空间X里任何一个闭集S和任何一点x∉S，一定有两个开集U 和V，使U⊇S，V∍x且U∩V≠φ，那末称X为正则空间.[T3的空间]正则的T1空间称为T3空间.[正常空间] 假定对拓扑空间X 里任何两个没有公共点的闭集A 和B 一定有两个开集U 和V 使U ⊇A ,V ⊇B 且U ∩V =φ，那末称X 为正常空间.[T 4空间] 正常的T 1空间称为T 4空间.例如n 维实数空间就是T 4空间.定义所说的分离程度强弱次序如下：正常 正则 T 4 T 3 T 2 T 1 T 0箭头表示“必是”.如T 4空间必是T 3空间，又必是正常空间.至于正常和正则是不能比较分离强弱程度的，它们跟T 2 ,T 1与T 0也是不能比较的.2. 可数性[邻域基] 假定σ 是拓扑空间里一点x 的一个邻域族，对x 的任何一个邻域U ，一定存在V ∈σ 使V ⊆U 成立，那末称σ 为x 的一个邻域基.[合盖族] 假定一族点集的和集掩盖一个集S ，那末称这族点集的全体是S 的一个合盖族.[第一可数空间] 假定拓扑空间X 里任何一点有可数的邻域基，那末称这个空间为第一可数空间（“满足第一可数公理”的空间）.[林德略夫空间] 假定一个拓扑空间里任何一个点集的任何一个合盖开集族有可数的子合盖族，那末称这个空间为林德略夫空间.[可分空间] 假定在一个拓扑空间X 里有可数点集处处稠密，那末称这空间为可分空间.[第二可数空间] 有可数的拓扑基的空间称为第二可数空间（“满足第二可数公理”的空间）.它们有下面的强弱关系：第一可数第二可数 可 分林德略夫例如，n 维实数空间R n 是一个第二可数空间，因为{),(1i i ni b a =⨯|a i 和b i 都是有理数}显然是它的一个可数的拓扑基.因此R n 又是第一可数空间、可分空间和林德略夫空间.四、 极限与连续[变换的极限] 假定f 是把一个拓扑空间X 里的一个点集A 变进另一个拓扑空间Y 的变换.又假定x 0是A 的一个聚点.如果Y 里有一点y 0，对y 0的任何一个邻域V ，x 0有一个邻域G ，使f （(G \{ x 0}）∩A ）⊆V那末称y 0为f 在x 0的极限，记作0)(lim 0y x f x x A =→∍注意，1o 假定y 0是f 在点x 0∈A'的极限，那末只有两种情形，一种情形是x 0有一个邻域G 使f （(G \{ x 0}）∩A ）={ y 0}成立，否则就是对x 0的任何一个邻域G ，y 0都是f （(G \{ x 0}）∩A ）的一个聚点.2o 一般，)(lim 0x f x x A →∍不一定存在，存在的话也不一定唯一.但是特别当f 是把A 变进一个T 2空间的变换时，)(lim 0x f x x A →∍要么不存在，要么存在并且唯一. [连续变换] 假定f 是把一个拓扑空间里的点集A 变进一个拓扑空间的变换.假定x 0是A 的孤立点或者x 0是A 的聚点而)(lim 0x f x x A →∍=f （x 0），那么称f 在x 0连续. 如果f （x ）在每一点x ∈A 都连续，那末称f 在A 里连续，或称f 为A 的连续变换.定理 把拓扑空间里的一个点集A 变进一个拓扑空间的变换f 是A 的连续变换的充分必要条件是：f （A ）的任何一个相对开集的象源（就是这个相对开集里每一点的象源的全体）是A 的相对开集（条件中的“开”可以改成“闭”）.[使一个变换连续的最粗的拓扑] 假定一个变换f 把一个集A 变进一个拓扑空间的承载点集B ，那末把f （A ）的所有相对开集的象源全体当作A 的一个拓扑亚基，就得到A 的一个拓扑τ.这个拓扑τ 就是使f 在A 里连续的最粗的拓扑.特别当f 是在集A 里定义的实函数（或者实泛函）*时，f 可以看作把A 变进R 1的变换，于是所有形如{x |x ∈A 并且a <f (x )<b }的子集（其中a 和b 是任意实数）全体就可以繁殖出使f 连续的最粗的拓扑.[开拓定理——体策定理] 假定f 是正常空间X 的一个闭集B 里的连续有界实函数，对任何x ∈B ，M x f m ≤≤)(成立，那末存在一个函数g 在X （X 的承载点集）里连续，并且对所有的x ∈B ,)()(x f x g =，而对X 里所有的点x ，M x g m ≤≤)(成立.它是下面实变函数连续函数性质的推广：假定A 是一个拓扑空间里的点集，f 1，f 2，⋯是A 里一列连续函数，一致收敛于函数f （也就是对任何正数ε ，存在正整数N ，使| f n （x ）-f （x ）|<ε 对任何x ∈A 和任何n >N 成立），那末f 在A 里连续.[拓扑变换与同胚] 假定X 和Y 都是拓扑空间，f 是一个把X 的承载点集一对一地变上Y 的承载点集的变换，在变换f 下，X 里的每个开集的象是Y 里的开集，Y 里的每个开集的象源也是X 里的开集，那末称f 为一个把X 变上Y 的拓扑变换（同胚变换），称X 和Y 在f 下同胚 * 当A 是一个函数族时，习惯上把在A 里定义的实函数称为实泛函.或者拓扑地等价.定理 把拓扑空间X 的承载点集一对一地变上拓扑空间Y 的承载点集的变换为拓扑变换的充分必要条件是：f 可逆连续（就是f 和f -1都是连续变换）.五、 点网在实变数分析中，数列、函数列、函数值列等等是常见的基本工具.这些概念可以用拓扑空间里的点列这样一个统一的概念来概括.不过对一般拓扑空间的极限理论，点列的概念是过分狭隘的，应该推广为点网的概念，点网的作用就相当于实变数分析中点列所起的作用.[汇总集] 假定Q 是一个集，Q 里有一个大小关系<，并且满足条件：（i ）对任何p ∈Q 和q ∈Q ，式子p <q , p =q , q <p 有一个且只有一个成立；（ii ）若p , q , r 都属于Q ，并且p <q 和q <r 都成立，则p <r 成立；（iii ）对任何p ∈Q 和q ∈Q ，存在r ∈Q 使p <r , q <r 都成立.那末称Q 为汇总集.由定义看到，汇总集就是满足条件（iii ）的分行集.[点网] 一个汇总集Q 变进一个拓扑空间X 的变换f 称为X 里的点网，通常把一点q ∈Q 的象f （q ）记作x q ，于是< x q |q ∈Q >={{f (q ), q }|q ∈Q }是一个点网.特别当Q 是有限序数的全体ω或者正整数的全体时，点网< x q |q ∈Q >称为点列.[点网极限的两种定义]1° 假定Q 是一个汇总集，把Q 看作分散空间.任意取一个不属于Q 的事物（比如就是Q 自己）记作∞，称为Q 的无限大（终极）.把∞和Q 里所有比某个元素p 大的元素q 的全体（就是{∞}∪{q |q ∈Q 并且q >p }）规定为Q ∪{∞}里的一个开集.在上面规定下，在Q ∪{∞}里繁殖一个拓扑.在这拓扑下，Q 成了一个拓扑空间里的点集，∞是Q 的唯一的聚点. 拓扑空间X 里的一个点网< x q |q ∈Q >是一个把Q 变进X 的变换，因此由上节变换的极限的定义，得到q q Q x ∞→∍lim 的概念，这个极限如果存在的话，就称为点网< x q |q ∈Q >的极限.在这个极限记号里∞不妨省去，写成q Qq x ∈lim ，这是因为除∞外，没有别的聚点. 如果一个点网的极限存在，则称这点网收敛于这个极限.2° 假定< x q |q ∈Q >是拓扑空间里的一个点网，那末a x q Qq =∈lim 的意思就是对a 的任一邻域V ，总存在一个p ∈Q ，使对所有的q >p , x q ∈V 成立.这就跟通常点列极限的定义在形式上更加一致了.[子网与聚限] 假定Q 1是一个汇总集Q 的没有上界的子集（也就是Q 里没有元素能比Q 1的所有元素都大），那末称Q 1为Q 的共终极的子汇总集.取这名字的理由是Q 1必然也是一个汇总集，并且在Q ∪{∞}里，终极∞也是Q 1的唯一聚点.假定< x q |q ∈Q >是一个点网，又假定Q 1是Q 的一个共终极的子汇总集，那末< x q |q ∈ Q 1>称为< x q |q ∈Q >的子网.更一般，设Q 1是一个汇总集，变换q (q 1)把Q 1变进Q 去，∞=∈)(lim 111q q Q q ,那末称>∈<11)(|1Q q x q q 为< x q |q ∈Q >的一个子网.一个点网的子网的极限称为这个点网的一个聚限.定理1 在一个拓扑空间里，一点x 0为一个点集A 的聚点的充分必要条件是：A \{ x 0 }里有一个点网收敛于x 0.推论 在一个第一可数空间里，一点x 0为点集A 的聚点的充分必要条件是：A \{ x 0 }有一个点列收敛于x 0.定理2 假定A 是一个拓扑空间里的一个子集，x 0是A 的聚点，f 是把A 变进一个拓扑空间的变换，那末0)(lim 0y x f x x A =→∍ 的充分必要条件是：对A \{ x 0 }里所有收敛于x 0的点网 < x p |p ∈Q >，0)(lim y x f p Qp =∈. [变换族的点点收敛拓扑] 把一个集A 变进一个拓扑空间Y 的变换的全体是叠集A Y .A Y 实际上可以看作直接积Ax ∈⨯Y x ，这里每个Y x 都是同一个Y ，因为每个变换f 可以理解为有序组<f (x )|x ∈A >.由于Y 是拓扑空间，可以把A Y 或者Ax ∈⨯Y x 看作拓扑乘积.A Y 的这个乘积拓扑称为点点收敛拓扑.定理 假定A 是一个集，Y 是一个拓扑空间，那末跟A Y 的别的拓扑比较，点点收敛拓扑的特点是：A Y 里的任何一个点网< f p |p ∈Q >收敛的充分必要条件是：对每一个x ∈A ，Y 里的点网< f p (x )|p ∈Q >都收敛.。

拓扑空间的定义与拓扑性质拓扑空间是数学领域中的一个重要概念，它为我们研究集合上的连续性和收敛性提供了一种基本框架。

在本文中，我们将介绍拓扑空间的定义以及一些与其相关的基本性质。

一、拓扑空间的定义拓扑空间是通过引入开集的概念来定义的。

设X为一个非空集合，如果对于X的一个子集T满足以下三个条件，那么T被称为X上的一个拓扑：1. X和空集∅都是T中的元素。

2. T中的任意有限交集仍然属于T。

3. T中的任意并集仍然属于T。

满足以上条件的拓扑T，我们称之为集合X上的一个拓扑空间，常记作(X, T)。

二、基本性质1. 极限点：在拓扑空间中，我们可以定义集合中元素的极限点。

设A为集合X的一个子集，x为X的一个点，如果对于A中任意一个开集U，都存在y∈U∩(A\{x})，则称x为A的一个极限点。

2. 连续映射：设(X, T1)和(Y, T2)为两个拓扑空间，f:X→Y为一个函数。

如果对于任意开集V∈T2，f^{-1}(V)∈T1，那么我们称f为从X 到Y的一个连续映射。

3. Hausdorff空间：如果一个拓扑空间中的任意两个不同点都有不相交的开集包含它们，那么我们称该空间是Hausdorff空间。

4. 连通性：一个拓扑空间中，如果不存在非空开集U和V，使得U和V是互不相交的且它们的并集为整个空间X，那么我们称X是一个连通空间。

5. 紧性：如果对于一个拓扑空间中的任意一个开覆盖，都存在有限个开集使得它们的并集覆盖整个空间X，那么我们称该空间是紧的。

三、例子1. 实数空间上的常规拓扑是一个拓扑空间。

其中的开集是实数轴上的开区间。

2. 度量空间：如果一个拓扑空间中的拓扑可以由一个度量函数产生，那么我们称该空间是度量空间。

3. 离散拓扑：对于一个集合X，如果X上的所有子集都是开集，那么我们称这个集合上的拓扑空间为离散拓扑。

4. 有限补拓扑：对于一个集合X和它的一个子集A，如果X\{A}是X中的有限集，那么我们称X上的一个拓扑空间为有限补拓扑。