最新备战中考数学专题练习(全国通用)-反比例函数系数K的几何意义(含答案)

备考2024年中考数学二轮复习-函数_反比例函数_反比例函数系数k的几何意义-综合题专训及答案反比例函数系数k的几何意义综合题专训1、(2019盘锦.中考真卷) 如图，四边形ABCD是矩形，点A在第四象限y1＝﹣的图象上，点B在第一象限y2＝的图象上，AB交x轴于点E，点C与点D在y轴上，AD＝，S矩形OCBE＝ S矩形ODAE.（1）求点B的坐标.（2）若点P在x轴上，S△BPE＝3，求直线BP的解析式.2、(2019镇江.中考真卷) 如图，点和点是反比例函数图象上的两点，一次函数的图象经过点，与轴交于点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，连接 .已知与的面积满足 .（1）＝，＝；（2）已知点在线段上，当时，求点的坐标.3、(2018常州.中考真卷) 如图，已知点A在反比例函数y= （x＞0）的图象上，过点A作AC⊥x轴，垂足是C，AC=OC．一次函数y=kx+b的图象经过点A，与y轴的正半轴交于点B．（1）求点A的坐标；（2）若四边形ABOC的面积是3，求一次函数y=kx+b的表达式．4、(2017兴化.中考模拟) 已知点A（1，2）、点 B在双曲线y= （x＞0）上，过B作BC⊥x轴于点C，如图，P是y轴上一点，（1）求k的值及△PBC的面积；（2）设点M（x1，y1）、N（x2，y2）（x2＞x1＞0）是双曲线y= （x＞0）上的任意两点，s= ，t= ，试判断s与t 的大小关系，并说明理由．5、(2018深圳.中考模拟) 如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点B，与y轴交于点A，与反比例函数y= 的图象在第二象限交于点C，CE⊥x轴，垂足为点E，tan∠ABO= ，OB=4，OE=2．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点D是反比例函数图象在第四象限上的点，过点D作DF⊥y轴，垂足为点F，连接OD、BF．如果S△BAF=4S△DFO，求点D的坐标．6、(2018河南.中考模拟) 如图，点P是反比例函数y= （k＞0）图象在第一象限上的一个动点，过P作x轴的垂线，垂足为M，若△POM的面积为2．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点B坐标为（0，﹣2），点A为直线y=x与反比例函数y= （k＞0）图象在第一象限上的交点，连接AB，过A作AC⊥y 轴于点C，若△ABC与△POM相似，求点P的坐标．7、(2017黄冈.中考模拟) 如图，正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点B在函数y= （k＞0，x＞0）的图象上点P（m，n）是函数图象上任意一点，过点P分别作x轴y轴的垂线，垂足分别为E，F．并设矩形OEPF和正方形OABC不重合的部分的面积为S．（1）求k的值；（2）当S= 时，求P点的坐标；（3）写出S关于m的关系式．8、(2017黄冈.中考模拟) 反比例函数y= 在第一象限的图象如图所示，过点A（1，0）作x轴的垂线，交反比例函数y= 的图象于点M，△AOM的面积为3．（1）求反比例函数的解析式；（2）设点B的坐标为（t，0），其中t＞1．若以AB为一边的正方形有一个顶点在反比例函数y= 的图象上，求t的值．9、(2020辽宁.中考模拟) 如图，已知∠AOB=90°，∠OAB=30°，反比例函数的图象过点，反比例函数的图象过点A.（1）求和的值.（2）过点B作BC∥x轴，与双曲线交于点C.求△OAC的面积.10、(2017湖北.中考真卷) 如图，∠AOB=90°，反比例函数y=﹣（x＜0）的图象过点A（﹣1，a），反比例函数y= （k＞0，x＞0）的图象过点B，且AB∥x轴．（1）求a和k的值；（2）过点B作MN∥OA，交x轴于点M，交y轴于点N，交双曲线y= 于另一点，求△OBC的面积．11、(2018株洲.中考真卷) 如图，已知函数的图象与一次函数的图象相交不同的点A、B，过点A作AD⊥轴于点D，连接AO，其中点A的横坐标为，△AOD的面积为2.（1）求的值及 =4时的值；（2）记表示为不超过的最大整数，例如：，，设 ,若，求值12、(2017常德.中考真卷) 如图，已知反比例函数y= 的图象经过点A（4，m），AB⊥x轴，且△AOB的面积为2．（1）求k和m的值；（2）若点C（x，y）也在反比例函数y= 的图象上，当﹣3≤x≤﹣1时，求函数值y的取值范围．13、(2018深圳.中考模拟) 如图，直线y=3x与双曲线y= （k≠0，且x＞0）交于点A，点A的横坐标是1．（1）求点A的坐标及双曲线的解析式；（2）点B是双曲线上一点，且点B的纵坐标是1，连接OB，AB，求△AOB的面积．14、(2018广州.中考真卷) 设P（x，0）是x轴上的一个动点，它与原点的距离为。

中考压轴题反比例函数综合（八大题型+解题方法）1.求交点坐标联立反比例函数与一次函数图象的解析式进行求解，特别地，反比例函数与正比例函数图象的两个交点关于原点对称.2.结合图象比较函数值的大小如图，一次函数y=k1x+b与反比例函数图象交于A,B 两点，过点A,B分别作y 轴的平行线，连同y 轴，将平面分为I,Ⅱ,Ⅲ,IV 四部分，在I,Ⅲ区域内，y₁<y₂,自变量的取值范围为x<x B或0<x<x A;在Ⅱ,IV区域内，y1>y₂,自变量的取值范围为x B<x<0或x>x A.3.反比例函数系数k的几何意义及常用面积模型目录：题型1：反比例函数与几何的解答证明 题型2：存在性问题题型3：反比例函数的代数综合 题型4：动态问题、新定义综合 题型5：定值问题 题型6：取值范围问题 题型7：最值问题题型8：情景探究题（含以实际生活为背景题）题型1：反比例函数与几何的解答证明1．（2024·湖南株洲·一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 在x 轴上，OC 在y 轴上，4OA =，2OC =（不与B ，C 重合），反比例函数()0,0k y k x x=＞＞的图像经过点D ，且与AB 交于点E ，连接OD ，OE ，DE ．(1)若点D 的横坐标为1． ①求k 的值；②点P 在x 轴上，当ODE 的面积等于ODP 的面积时，试求点P 的坐标； (2)延长ED 交y 轴于点F ，连接AC ，判断四边形AEFC 的形状 【答案】(1)①2；②15,04⎛⎫ ⎪⎝⎭或15,04⎛⎫− ⎪⎝⎭(2)四边形AEFC 是平行四边形，理由见解析【分析】（1）①根据矩形的性质得到90BCO B AOC ∠=∠=∠=︒，得()1,2D ，把()1,2D 代入()0,0ky k x x=＞＞即可得到结论；②由D ，E 都在反比例函数ky x =的图像上，得到1COD AOE S S ==△△，根据三角形的面积公式得到1111315241243222224ODE S =⨯−⨯⨯−⨯⨯−⨯⨯=△，设(),0P x ，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；（2）连接AC ，根据题意得到,22k D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，4,4k E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设EF 的函数解析式为y ax b =+，解方程得到84k OF +=，求得24kCF OF AE =−==，根据平行四边形的判定定理即可得到结论．【解析】（1）解：①∵四边形ABCO 是矩形，4OA =， ∴90BCO B AOC ∠=∠=∠=︒，4BC OA ==， ∵2OC =，点D 的横坐标为1， ∴()1,2D ，2AB OC ==，∵反比例函数()0,0ky k x x =＞＞的图像经过点D ，∴122k =⨯=， ∴k 的值为2； ②∵()1,2D ，∴1CD =，∵D ，E 都在反比例函数2y x =的图像上，∴1COD AOE S S ==△△，∴111422AOE S OA AE AE==⋅=⨯△，∴12AE =，∴13222BE AB AE =−=−=， ∴1111315241243222224ODES =⨯−⨯⨯−⨯⨯−⨯⨯=△，∵点P 在x 轴上，ODE 的面积等于ODP 的面积， 设(),0P x ，∴115224ODP S x =⨯⨯=△， 解得：154x =或154x =−，∴点P 的坐标为15,04⎛⎫ ⎪⎝⎭或15,04⎛⎫− ⎪⎝⎭；（2）四边形AEFC AEFC 是平行四边形． 理由：连接AC ，∵4OA =，2OC =，D ，E 都在反比例函数()0,0ky k x x =＞＞的图像上，∴,22k D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，4,4k E ⎛⎫⎪⎝⎭，设EF 的函数解析式为：y ax b =+，∴2244k a b k a b ⎧⨯+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得：1284a kb ⎧=−⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩， ∴EF 的函数解析式为：1824k y x +=−+， 当0x =时，得：84ky +=，∴84k OF +=， ∴24kCF OF AE =−==，又∵CF AE ∥，∴四边形AEFC 是平行四边形．【点睛】本题是反比例函数与几何的综合，考查待定系数法确定解析式，反比例函数图像上的点的坐标的特征，矩形的性质，平行四边形的判定，三角形的面积等知识点．掌握反比例函数图像上的点的坐标的特征，矩形的性质是解题的关键．题型2：存在性问题2．（2024·四川成都·二模）如图①，O 为坐标原点，点B 在x 轴的正半轴上，四边形OACB 是平行四边形，4sin 5AOB ∠=，反比例函数(0)ky k x =>在第一象限内的图象经过点A ，与BC 交于点F ．(1)若10OA =，求反比例函数解析式；(2)若点F 为BC 的中点，且AOF 的面积12S =，求OA 的长和点C 的坐标；(3)在（2）中的条件下，过点F 作EF OB ∥，交OA 于点E （如图②)，点P 为直线EF 上的一个动点，连接PA ，PO ．是否存在这样的点P ，使以P 、O 、A 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)48(0)y x x =>C(3)存在，满足条件的点P 或(或或(【分析】（1）先过点A 作AH OB ⊥，根据4sin 5AOB ∠=，10OA =，求出AH 和OH 的值，从而得出A 点坐标，再把它代入反比例函数中，求出k 的值，即可求出反比例函数的解析式； （2）先设(0)OA a a =>，过点F 作FM x ⊥轴于M ，根据4sin 5AOB ∠=，得出45AH a =，35OH a=，求出AOHS △的值，根据12AOF S =△，求出平行四边形AOBC 的面积，根据F 为BC 的中点，求出6OBF S =△，根据12BF a =，FBM AOB ∠=∠，得出12BMFS BM FM =⋅，23650FOM S a =+△，再根据点A ，F 都在k y x =的图象上，12AOHSk=，求出a ，最后根据AOBC S OB AH =⋅平行四边形，得出OB AC ==C 的坐标；（3）分别根据当90APO ∠=︒时，在OA 的两侧各有一点P ，得出1P ，2P ；当90PAO ∠=︒时，求出3P ；当90POA ∠=︒时，求出4P 即可．【解析】（1）解：过点A 作AH OB ⊥于H ，4sin 5AOB ∠=，10OA =，8AH ∴=，6OH =，A ∴点坐标为(6,8)，根据题意得：86k=，可得：48k =，∴反比例函数解析式：48(0)y x x =>；（2）设(0)OA a a =>，过点F 作FM x ⊥轴于M ，过点C 作CN x ⊥轴于点N ， 由平行四边形性质可证得OH BN =，4sin 5AOB ∠=，45AH a ∴=，35OH a=， 2143625525AOHS a a a ∴=⋅⋅=△，12AOF S =△，24AOBC S ∴=平行四边形，F 为BC 的中点，6OBFS∴=，12BF a=，FBM AOB ∠=∠，25FM a ∴=，310BM a =，2112332251050BMF S BM FM a a a ∴=⋅=⋅⋅=△，23650FOMOBFBMFSSSa ∴=+=+，点A ，F 都在ky x =的图象上，12AOH FOM S S k ∴==△△，∴226362550a a =+，a ∴OA ∴=AH ∴=OH =24AOBC S OB AH =⋅=平行四边形，OB AC ∴==ON OB OH ∴=+=C ∴；（3）由（2）可知A ，B 0)，F ．存在三种情况：当90APO ∠=︒时，在OA 的两侧各有一点P ，如图，设PF 交OA 于点J ，则J此时，AJ PJ OJ ==，P ∴，(P '，当90PAO ∠=︒时，如图，过点A 作AK OB ⊥于点K ，交PF 于点L ．由AKO PLA △∽△，可得PLP ，当90POA ∠=︒时，同理可得(P ．综上所述，满足条件的点P 的坐标为或(或或(．【点睛】此题考查了反比例函数的综合，用到的知识点是三角函数、平行四边形、反比例函数、三角形的面积等，解题的关键是数形结合思想的运用．3．（2024·广东湛江·一模）【建立模型】（1）如图1，点B 是线段CD 上的一点，AC BC ⊥，AB BE ⊥，ED BD ⊥，垂足分别为C ，B ，D ，AB BE =．求证：ACB BDE ≌；【类比迁移】（2）如图2，点()3,A a −在反比例函数3y x=图象上，连接OA ，将OA 绕点O 逆时针旋转90︒到OB ，若反比例函数k y x =经过点B ．求反比例函数ky x=的解析式； 【拓展延伸】（3）如图3抛物线223y x x +−与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于C 点，已知点()0,1Q −，连接AQ ，抛物线上是否存在点M ，便得45MAQ ∠=︒，若存在，求出点M 的横坐标．【答案】（1）见解析；（2）3y x =−；（3）M 的坐标为39,24⎛⎫ ⎪⎝⎭或()1,4−−．【分析】（1）根据题意得出90C D ABE ︒∠=∠=∠=，A EBD ∠=∠，证明()AAS ACB BDE ≌，即可得证；（2）如图2，分别过点A ，B 作AC x ⊥轴，BD x ⊥轴，垂足分别为C ，D ．求解()3,1A −−，1AC =，3OC =．利用ACO ODB ≌△△，可得()1,3B −；由反比例函数ky x =经过点()1,3B −，可得3k =−，可得答案；（3）如图3，当M 点位于x 轴上方，且45MAQ ∠=︒，过点Q 作QD AQ ⊥，交MA 于点D ，过点D 作DE y⊥轴于点E ．证明AQO QDE ≌，可得AO QE =，OQ DE =，可得()1,2D ，求解1322AM y x =+：，令2132322x x x +=+−， 可得M 的坐标为39,24⎛⎫ ⎪⎝⎭；如图，当M 点位于x 轴下方，且45MAQ ∠=︒，同理可得()1,4D −−，AM 为26y x =−−．由22623x x x −−=+−，可得M 的坐标是()1,4−−．【解析】证明：（1）如图，∵AC BC ⊥，AB BE ⊥，ED BD ⊥， ∴90C D ABE ︒∠=∠=∠=，∴90,90ABC A ABC EBD ∠+∠=︒∠+∠=︒， ∴A EBD ∠=∠， 又∵AB BE =， ∴()AAS ACB BDE ≌．（2）①如图2，分别过点A ，B 作AC x ⊥轴，BD x ⊥轴，垂足分别为C ，D ．将()3,A a −代入3y x =得：1a =−，∴()3,1A −−，1AC =，3OC =．同（1）可得ACO ODB ≌△△， ∴1OD AC ==，3BD OC ==， ∴()1,3B −，∵反比例函数ky x =经过点()1,3B −，∴3k =−， ∴3y x =−；（3）存在；如图3，当M 点位于x 轴上方，且45MAQ ∠=︒，过点Q 作QD AQ ⊥，交MA 于点D ，过点D 作DE y ⊥轴于点E ．∵45MAQ ∠=︒，QD AQ ⊥， ∴45MAQ ADQ ∠=∠=︒， ∴AQ QD =，∵DE y ⊥轴，QD AQ ⊥，∴90AQO EQD EQD QDE ∠+∠=∠+∠=︒，90AOQ QED ∠=∠=︒， ∴AQO QDE ∠=∠， ∵AQ QD =， ∴AQO QDE ≌， ∴AO QE =，OQ DE =，令2230y x x =+−=，得13x =−，21x =，∴3AO QE ==，又()0,1Q −，∴1OQ DE ==， ∴()1,2D ，设AM 为y kx b =+，则230k b k b +=⎧⎨−+=⎩，，解得：1232k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴1322AM y x =+： 令2132322x x x +=+−，得132x =，23x =−(舍去)， 当32x =时，233923224y ⎛⎫=+⨯−= ⎪⎝⎭， ∴39,24M ⎛⎫⎪⎝⎭；如图，当M 点位于x 轴下方，且45MAQ ∠=︒，同理可得()1,4D −−，AM 为26y x =−−．由22623x x x −−=+−，得11x =−，23x =−(舍去)∴当=1x −时，()()212134y =−+⨯−−=−，∴()1,4M −−．综上：M 的坐标为39,24⎛⎫⎪⎝⎭或()1,4−−．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，反比例函数的应用，二次函数的性质，一元二次方程的解法，熟练的利用类比的方法解题是关键．题型3：反比例函数的代数综合4．（2024·湖南长沙·一模）若一次函数y mx n =+与反比例函数ky x=同时经过点(),P x y 则称二次函数2y mx nx k +=-为一次函数与反比例函数的“共享函数”，称点P 为共享点．(1)判断21y x =−与3y x=是否存在“共享函数”，如果存在，请说明理由；(2)已知：整数m ，n ，t 满足条件8t n m ＜＜，并且一次函数()122=+++y n x m 与反比例函数2024y x=存在“共享函数”()()2102024y m t x m t x ++−=-，求m 的值．(3)若一次函数y x m =+和反比例函数213m y x+=在自变量x 的值满足的6m x m ≤≤+的情况下．其“共享函数”的最小值为3，求其“共享函数”的解析式．【答案】(1)3,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭或()1,3P −−，见解析 (2)2(3)2429y x x =+−或(29155y x x −−−=【分析】（1）判断21y x =−与3y x =是否有交点，计算即可；（2）根据定义，12210n m tm m t +=+⎧⎨+=−⎩，得到39869n m n t +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，结合8t n m ＜＜，构造不等式组解答即可． （3）根据定义，得“共享函数”为()22225131324m m y x mx m x ⎛⎫+−+=+−− ⎪⎝⎭=结合6m x m ≤≤+，“共享函数”的最小值为3，分类计算即可．本题考查了新定义，解方程组，解不等式组，抛物线的增减性，熟练掌握定义，抛物线的增减性是解题的关键．【解析】（1）21y x =−与3y x =存在“共享函数”，理由如下：根据题意，得213y x y x =−⎧⎪⎨=⎪⎩，解得322x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，13x y =−⎧⎨=−⎩，故函数同时经过3,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭或()1,3P −−， 故21y x =−与3y x =存在“共享函数”．（2）∵一次函数()122=+++y n x m 与反比例函数2024y x =存在“共享函数”()()2102024y m t x m t x ++−=-，∴12210n m tm m t +=+⎧⎨+=−⎩，解得39869n m n t +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩， ∵8t n m ＜＜， ∴82489869n n m n n +⎧=⎪⎪⎨+⎪⎪⎩＜＞，解得24n 6＜＜， ∴327n +9＜＜， ∴339n +1＜＜，∴13m ＜＜， ∵m 是整数， ∴2m =．（3）根据定义，得一次函数y x m =+和反比例函数213m y x +=的“共享函数”为 ()22225131324m m y x mx m x ⎛⎫+−+=+−− ⎪⎝⎭=，∵()22225131324m m y x mx m x ⎛⎫+−+=+−− ⎪⎝⎭=．∴抛物线开口向上，对称轴为直线2mx =−，函数有最小值25134m −−，且点与对称轴的距离越大，函数值越大，∵6m x m ≤≤+，当62mx m =−+≥时，即4m ≤−时，∵11622m m m m ⎛⎫⎛⎫−−+−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＞， ∴6x m =+时，函数取得最小值，且为2225613182324m m y m m m ⎛⎫=++−−=++ ⎪⎝⎭，又函数有最小值3，∴218233m m ++=，解得99m m =−=−故9m =− ∴“共享函数”为(29155y x x −−−=当2m x m =−≤时，即0m ≥时，∵11622m m m m ⎛⎫⎛⎫−−+−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＜， ∴x m =时，函数取得最小值，且为2225131324m m y m m ⎛⎫=+−−=− ⎪⎝⎭，又函数有最小值3，∴2133m −=，解得4,4m m ==−（舍去）； 故4m =，∴“共享函数”为2429y x x =+−； 当62mm m −+＜＜时，即40m −＜＜时，∴2mx =−时，函数取得最小值，且为25134m y =−−，又函数有最小值3，∴251334m −−=， 方程无解，综上所述，一次函数y x m =+和反比例函数213m y x += 的“共享函数”为2429y x x =+−或(29155y x x −−−=5．（2024·江苏南京·模拟预测）若一次函数y mx n =+与反比例函数ky x=同时经过点(,)P x y 则称二次函数2y mx nx k =+−为一次函数与反比例函数的“共享函数”，称点P 为共享点．(1)判断21y x =−与3y x=是否存在“共享函数”，如果存在，请求出“共享点”．如果不存在，请说明理由； (2)已知：整数m ，n ，t 满足条件8t n m <<，并且一次函数(1)22y n x m =+++与反比例函数2024y x=存在“共享函数” 2()(10)2024y m t x m t x =++−−，求m 的值．(3)若一次函数y x m =+和反比例函数213m y x+=在自变量x 的值满足的6m x m ≤≤+的情况下．其“共享函数”的最小值为3，求其“共享函数”的解析式．【答案】(1)点P 的坐标为：3(2，2)或(1,3)−−；(2)2m =(3)222(13)(9(155y x mx m x x =+−+=+−−+或2429y x x =+−．【分析】（1）联立21y x =−与3y x =并整理得：2230x x −−=，即可求解；（2）由题意得12210n m t m m t +=+⎧⎨+=−⎩，解得39869n m n t +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，而8t n m <<，故624n <<，则9327n <+<，故13m <<，m 是整数，故2m =；（3）①当162m m +≤−时，即4m ≤−，6x m =+，函数取得最小值，即22(6)(6)133m m m m +++−−=，即可求解；②当162m m m <−<+，即40m −<<，函数在12x m=−处取得最小值，即22211()13322m m m −−−−=，即可求解；③当0m ≥时，函数在x m =处，取得最小值，即可求解． 【解析】（1）解：（1）21y x =−与3y x =存在“共享函数”，理由如下：联立21y x =−与3y x =并整理得：2230x x −−=，解得：32x =或1−， 故点P 的坐标为：3(2，2)或(1,3)−−；（2）解：一次函数(1)22y n x m =+++与反比例函数2024y x =存在“共享函数”2()(10)2024y m t x m t x =++−−，依据“共享函数”的定义得： 12210n m tm m t +=+⎧⎨+=−⎩，解得：39869n m n t +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩， 8t n m <<，∴8698249n n n n +⎧<⎪⎪⎨+⎪<⎪⎩， 解得：624n <<；9327n ∴<+<， 13m ∴<<，m 是整数，2m ∴=；（3）解：由y x m =+和反比例函数213m y x +=得：“共享函数”的解析式为22(13)y x mx m =+−+， 函数的对称轴为：12x m=−； ①当162m m+≤−时，即4m ≤−， 6x m =+，函数取得最小值，即22(6)(6)133m m m m +++−−=，解得9m =−9−②当162m m m <−<+，即40m −<<， 函数在12x m =−处取得最小值，即22211()13322m m m −−−−=，无解；③当0m ≥时，函数在x m =处，取得最小值，即222133m m m +−−=，解得：4m =±（舍去4)−，综上，9m =−4，故“共享函数”的解析式为222(13)(9(155y x mx m x x =+−+=+−−+或2429y x x =+−．【点睛】本题是一道二次函数的综合题，主要考查了一次函数与反比例函数的性质，一次函数与反比例函数图象上点的坐标的特征，二次函数的性质，一元一次不等式组的解法，一元二次方程的解法．本题是阅读型题目，理解题干中的定义并熟练应用是解题的关键．6．（2024·湖南长沙·模拟预测）我们规定：若二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，且0a ≠）与x 轴的两个交点的横坐标1x ，2x 满足122x x =−，则称该二次函数为“强基函数”，其中点()1,0x ，()2,0x 称为该“强基函数”的一对“基点”．(1)判断：下列函数中，为“强基函数”的是______（仅填序号）．①228y x x =−−；②21y x x =++．(2)已知二次函数()2221y x t x t t =−+++为“强基函数”，求：当12x −≤≤时，函数22391y x tx t =+++的最大值．(3)已知直线1y x =−+与x 轴交于点C ，与双曲线()20y x x=−<交于点A ，点B 的坐标为()3,0−．若点()1,0x ，()2,0x 是某“强基函数”的一对“基点”，()12,P x x 位于ACB △内部．①求1x 的取值范围；②若1x 为整数，是否存在满足条件的“强基函数”2y x bx c =++？若存在，请求出该“强基函数”的解析式；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)① (2)当23t =−时函数最大值为8或当13t =−时函数最大值为4；(3)①1x 的取值范围是：120x −<<或110x −<<；②21122y x x =+−【分析】（1）根据抛物线与x 轴的交点情况的判定方法分别判定①与②与x 轴的交点情况，再求解交点坐标，结合新定义，从而可得答案； （2）由()22210y x t x t t =−+++=时，可得1x t=，21x t =+，或11x t =+，2x t=，当122x x =−时，根据新定义可得23t =−或13t =−，再分情况求解函数的最大值即可；（3））①先得到点A 、B 、C 的坐标，然后分122x x =−或212x x =−两种情况，列出关于1x 的不等式组，然后解不等式组即可；②根据1x 为整数，先求出1x 的值，然后根据二次函数的交点式直接得到二次函数的解析式即可．【解析】（1）解：①∵228y x x =−−； ∴()()2Δ2418432360=−−⨯⨯−=+=>，∴抛物线与x 轴有两个交点，∵228=0x x −−，∴14x =，22x =−，∴122x x =−，∴228y x x =−−是“强基函数” ②∵21y x x =++， ∴214111430∆=−⨯⨯=−=−<，∴抛物线与x 轴没有交点，∴21y x x =++不是“强基函数” 故答案为：①； （2）∵二次函数()2221y x t x t t=−+++为“强基函数”，∴()()22Δ21410t t t ⎡⎤=−+−+=>⎣⎦，∵()22210y x t x t t =−+++=时， ∴1x t=，21x t =+，或11x t =+，2x t=，当122x x =−时，∴()21t t =−+或12t t +=−，解得：23t =−或13t =−，当23t =−时，函数为225y x x =−+，如图，∵12x −≤≤，此时当=1x −时，函数最大值为1258y =++=； 当13t =−时，函数为22y x x =−+，如图，∵12x −≤≤，此时当=1x −或2x =时，函数最大值为1124y =++=；（3）①联立()201y x x y x ⎧=−<⎪⎨⎪=−+⎩，解得：12x y =−⎧⎨=⎩， ∴点A 的坐标为：()1,2−，把0y =代入 1y x =−+得：10x −+=， 解得：1x =，∴点C 的坐标为()1,0， 设直线AB 为1y kx b =+，∴11302k b k b −+=⎧⎨−+=⎩，解得：113k b =⎧⎨=⎩，∴直线AB 的解析式为：3y x =+， ∵点()1,0x ，()2,0x 是某“强基函数”的一对“基点”， ()12,P x x 位于ACB △内部．当122x x =−时， ∴111,2P x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭， ∴点P 在直线2xy =−上，∵点111,2P x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭位于以A 、B 、C 三点所构成的三角形内部，如图，∴1111103212x x x x x ⎧⎪<⎪⎪−+⎨⎪⎪−−+⎪⎩＜＜， 解得：120x −<<；当212x x =−时，∵P 点坐标为()11,2x x −，∴点P 在直线2y x =−上，∵点P 位于以A 、B 、C 三点所构成的三角形内部，如图，∴1111102321x x x x x <⎧⎪−<+⎨⎪−<−+⎩，解得：110x −<<；综上分析可知，1x 的取值范围是：120x −<<或110x −<<；②存在；理由如下：∵1x 为整数，∴当120x −<<时，11x =−，∴此时212x =，此时，“强基函数”的一对“基点”为()1,0−，1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴“强基函数”为()21111222y x x x x ⎛⎫=+−=+− ⎪⎝⎭； 当110x −<<时，则没有符合条件的整数1x 的值，不存在符合条件的“强基函数”； 综上，“强基函数”为21122y x x =+−． 【点睛】本题考查的是一次函数，反比例函数，二次函数的综合应用，新定义的含义，本题难度大，灵活应用各知识点，理解新定义的含义是解题的关键．题型4：动态问题、新定义综合7．（2024·山东济南·一模）如图1，直线14y ax =+经过点()2,0A ，交反比例函数2k y x=的图象于点()1,B m −，点P 为第二象限内反比例函数图象上的一个动点．(1)求反比例函数2y 的表达式；(2)过点P 作PC x ∥轴交直线AB 于点C ，连接AP ，BP ，若ACP △的面积是BPC △面积的2倍，请求出点P 坐标；(3)平面上任意一点(),Q x y ，沿射线BA Q '，点Q '怡好在反比例函数2k y x=的图象上；①请写出Q 点纵坐标y 关于Q 点横坐标x 的函数关系式3y =______；②定义}{()()min ,a a b a b b a b ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则函数{}13min ,Y y y =的最大值为______． 【答案】(1)26y x =−(2)点P 坐标为1,122⎛⎫− ⎪⎝⎭或3,42⎛⎫− ⎪⎝⎭ (3)①3621y x =−++；②8【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，坐标与图形，解题的关键是运用分类讨论的思想．（1）先根据点()2,0A 求出1y 的解析式，然后求出点B 的坐标，最后将点B 的坐标代入2y 中，求出k ，即可求解；（2）分两种情况讨论：当点P 在AB 下方时，当点P 在AB 上方时，结合“若ACP △的面积是BPC △面积的2倍”，求出点C 的坐标，将点C 的纵坐标代入反比例函数解析式，即可求解；（3）①根据题意可得：(),Q x y 向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到点Q '，则()1,2Q x y +'−，将其代入26y x =−中，即可求解；②分为：当{}131min ,Y y y y ==时，13y y ≤；当{}133min ,Y y y y ==时，13y y >；分别解不等式即可求解．【解析】（1）解：直线14y ax =+经过点()2,0A ，，∴240x +=， 解得：2a =−，∴124y x =−+，点()1,B m −在直线124y x =−+上，∴()2146m =−⨯−+=，∴()1,6B −，∴166k =−⨯=−， ∴26y x =−；（2）①当点P 在AB 下方时，2ACP BPC S S =，∴:2:1AC BC =，过点C 作CH x ⊥轴于点H ，过点B 作BR x ⊥轴于点R ，∴23AC CH AB BR ==， ∴23C B y y =，()1,6B −，∴4C y =，把4C y =代入26y x =−中， 得：32C x =−， ∴3,42P ⎛⎫− ⎪⎝⎭； ②当点P 在AB 上方时，2ACP BPC S S =，∴:1:1AB BC =，∴B 为AC 的中点，()2,0A ，()1,6B −，∴()4,12C −，把12y =代入26y x =−中，得：12x =−， ∴1,122P ⎛⎫− ⎪⎝⎭，综上所述，点P 的坐标为1,122⎛⎫− ⎪⎝⎭或3,42⎛⎫− ⎪⎝⎭；（3）① 由(),Q x y ，沿射线BA Q '， 得：(),Q x y 向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到点Q '，∴()1,2Q x y +'−，点()1,2Q x y +'−恰好在反比例函数26y x =−的图象上， ∴621y x −=−+， ∴3621y x =−++；②a ．当{}131min ,Y y y y ==时，13y y ≤， 即62421x x −+≤−++， 当1x >−时，()()()2141621x x x x −+++≤−++，解得：2x ≥或2x ≤−（舍去），∴2x =时，函数{}131min ,Y y y y ==有最大值，最大值为2240−⨯+=；当1x <−时，()()()2141621x x x x −+++≥−++，解得：21x −≤<−，∴2x =−时，函数{}131min ,Y y y y ==有最大值，最大值为()2248−⨯−+=；b ．当{}133min ,Y y y y ==时，13y y >， 即62421x x −+>−++，当1x >−时，()()()2141621x x x x −+++>−++，解得：2x >或<2x −（舍去）， ∴362021y >−+=+，即0Y >；当1x <−时，()()()2141621x x x x −+++<−++，解得：2<<1x −−，∴328y <<，即28Y <<；综上所述，函数{}13min ,Y y y =的最大值为8，故答案为：8．8．（2024·四川成都·一模）如图，矩形OABC 交反比例函数k y x=于点D ，已知点()0,4A ，点()2,0C −，2ACD S =△．(1)求k 的值；(2)若过点D 的直线分别交x 轴，y 轴于R ，Q 两点，2DRDQ =，求该直线的解析式； (3)若四边形有一个内角为60︒，且有一条对角线平分一个内角，则称这个四边形为“角分四边形”．已知点P在y 轴负半轴上运动，点Q 在x 轴正半轴上运动，若四边形ACPQ 为“角分四边形”，求点P 与点Q 的坐标．【答案】(1)4k =−；(2)26y x =+或22y x =−+；(3)(()020P ,,Q ,−或 ()()04320P ,,−或()()040P ,,Q −【分析】（1）利用面积及矩形的性质，用待定系数法即可求解；（2）分两种情况讨论求解：R 在x 轴正半轴上和在负半轴上两种情况分别求解即可；（3）分三种情况：当AO 平分CAQ ∠，60CPQ ∠=︒时，当CO 平分ACP ∠，60CPQ ∠=︒时，当CO 平分ACP ∠，60AQP ∠=︒时，分别结合图形求解. 【解析】（1）解：2ACD S =△， 即122AD OA ⨯⨯=， ()0,4A ，1422AD ∴⨯=，1AD ∴=，()1,4D ∴−， 41k∴=−，4k ∴=−；（2）①如图，当2DR DQ =时，13DQ RQ =，AD OR ，13DQ AD RQ OR ∴==，1AD =，3OR ∴=，()3,0R ∴−，设直线RQ 为11y k x b =+， 把()3,0R −，()1,4D −代入11y k x b =+，得1111304k b k b −+=⎧⎨−+=⎩，解得1126k b =⎧⎨=⎩，直线RQ 为26y x =+，②如图，当2DR DQ =时，1DQ RQ =，AD OR ，1DQ AD RQ OR ∴==，1AD =，1OR ∴=，()1,0R ∴，设直线RQ 为22y k x b =+，把()1,0R ，()1,4D −代入22y k x b =+，得222204k b k b +=⎧⎨−+=⎩，解得2222k b =−⎧⎨=⎩，直线RQ 为22y x =−+，综上所述，直线RQ 的表达式为26y x =+或22y x =−+；（3）解：①当AO 平分CAQ ∠，60CPQ ∠=︒时，CAO QAO AO AOAOC AOQ ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=⎩，()ASA AOC AOQ ∴≌， CO QO ∴=即AP 垂直平分CQ ，()2,0Q ∴，60CPQ ∠=︒，30CPO ∴∠=︒，tan30OC OP ∴===︒，(0,P ∴−，②当CO 平分ACP ∠，60CPQ ∠=︒时，同理ACO PCO ≌，得4OA OP ==，()0,4P ∴−，PC == 作CM PQ ⊥于M ，60CPQ ∠=︒，1cos602PM PC ∴=⨯︒==sin60CM PC =⨯︒== 90POQ CMQ ,PQO PQO ∠=∠=︒∠=∠，CMQ POQ ∴∽，MQ CM OQ OP ∴=，即MQ OQ =，)2222OQ OP PQ MQ +==② ，联立①，②，解得32OQ =或32OQ =(舍），()32,0Q ∴，③当CO 平分ACP ∠，60AQP ∠=︒时，同理 ACO PCO ≌，得4OA OP ==，AC CP = 同理ACQ PCQ ≌，得AQ PQ =∴APQ 是等边三角形()0,4P ∴−，8AP AQ PQ ,===OQ =， ()Q ∴，综上所述，P 、Q 的坐标为(()0,,2,0P Q −或 ()()0,4,32,0P Q −或()()0,4,P Q −.【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，解直角三角形，求一次函数解析式，相似三角形的性质和判定，正确作出辅助线，解方程组，灵活运用待定系数法求函数解析式是解本题的关键． 题型5：定值问题9．（2024·山东济南·模拟预测）如图①，已知点()1,0A −，()0,2B −，ABCD Y 的边AD 与y 轴交于点E ，且E 为AD 的中点，双曲线k y x=经过C 、D 两点．(1)求k 的值；(2)点P 在双曲线k y x=上，点Q 在y 轴上，若以点A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点Q 的坐标；(3)以线段AB 为对角线作正方形AFBH （如图③），点T 是边AF 上一动点，M 是HT 的中点，MN HT ⊥，交AB 于N ，当点T 在AF 上运动时，MN HT 的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围：若不改变，请求出其值，并给出你的证明．【答案】(1)4k =(2)()0,6或()0,2或()0,6− (3)12MN HT =，其值不发生改变，证明见解析【分析】（1）根据中点坐标公式可得，1D x =，设()1,D t ，由平行四边形对角线中点坐标相同可知()2,2C t −，再根据反比例函数的性质求出t 的值即可；（2）由（1）知4k =可知反比例函数的解析式为4y x =，再由点P 在双曲线4y x =上，点Q 在y 轴上，设()0,Q q ，4P p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，再分以AB 为边和以AB 为对角线两种情况求出x 的值，故可得出P 、Q 的坐标；（3）连NH 、NT 、NF ，易证NF NH NT ==，故NTF NFT AHN ∠=∠=∠，90TNH TAH ∠=∠=︒，12MN HT =由此即可得出结论．【解析】（1）解：∵()1,0A −，E 为AD 中点且点E 在y 轴上，1D x ∴=， 设()1,D t ，()C m n ，，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AC BD 、的中点坐标相同， ∴101222022m t n +−⎧=⎪⎪⎨−+⎪=⎪⎩， ∴22m n t ==−，()22C t ∴−，，∵C 、D 都在反比例函数4y x =的图象上，()22k t t ∴==−，4t ∴=， 4k ∴=；（2）解：由（1）知4k =，∴反比例函数的解析式为4y x =，点P 在双曲线4x 上，点Q 在y 轴上，∴设()0,Q q ，4P p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，①当AB 为边时：如图1，若ABPQ 为平行四边形，则1002240422p q p −++⎧=⎪⎪⎨−⎪−=⎪⎩，解得16p q =⎧⎨=⎩，此时()11,4P ，()10,6Q ；如图2，若ABQP 为平行四边形，则1002242022p q p −++⎧=⎪⎪⎨−+⎪+=⎪⎩，解得16p q =−⎧⎨=−⎩，此时()21,4P −−，()20,6Q −；②如图3，当AB 为对角线时，则010*******p q p +−+⎧=⎪⎪⎨+⎪−=⎪⎩解得12p q =−⎧⎨=⎩，()31,4P ∴−−，()30,2Q ；综上所述，满足题意的Q 的坐标为()0,6或()0,2或()0,6−；（3）解：12MN HT =，其值不发生改变，证明如下： 如图4，连NH 、NT 、NF ，∵M 是HT 的中点，MN HT ⊥，∴MN 是线段HT 的垂直平分线，NT NH ∴=，四边形AFBH 是正方形，45ABF ABH ∴∠=∠=︒，在BFN 与BHN △中，BF BH NBF NBH BN BN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS BFN BHN ∴≌，NF NH NT ∴==，BFN BHN ∠=∠，∵90BFA BHA ==︒∠∠，NTF NFT AHN ∴∠=∠=∠，∵180ATN NTF ∠+∠=︒，∴180ATN AHN ∠+∠=︒，∴3601809090TNH ∠=︒−︒−︒=︒．12MN HT ∴=， ∴12MN HT =．三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等相关知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.10．（2024·山东济南·二模）如图①，已知点(1,0)A −，(0,2)B −，ABCD Y 的边AD 与y 轴交于点E ，且E 为AD 的中点，双曲线k y x=经过C 、D 两点．(1)求k 的值；(2)点P 在双曲线k y x=上，点Q 在y 轴上，若以点A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点Q 的坐标；(3)以线段AB 为对角线作正方形AFBH （如图③)，点T 是边AF 上一动点，M 是HT 的中点，MN HT ⊥，交AB 于N ，当点T 在AF 上运动时，MN HT的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围：若不改变，请求出其值，并给出你的证明．【答案】(1)4k =(2)1(0,6)Q ，2(0,6)Q −，3(0,2)Q(3)结论：MN HT 的值不发生改变，12MN HT =证明见解析【分析】（1）设(1,)D t ，由DC AB ∥，可知(2,2)C t −，再根据反比例函数的性质求出t 的值即可；（2）由（1）知4k =可知反比例函数的解析式为4y x =，再由点P 在双曲线4y x =上，点Q 在y 轴上，设(0,)Q y ，4(,)P x x ，再分以AB 为边和以AB 为对角线两种情况求出x 的值，故可得出P 、Q 的坐标；（3）连NH 、NT 、NF ，易证NF NH NT ==，故NTF NFT AHN ∠=∠=∠，90TNH TAH ∠=∠=︒，12MN HT =由此即可得出结论．【解析】（1）解：(1,0)A −，(0,2)B −，E 为AD 中点， 1D x ∴=，设(1,)D t ，又DC AB ∥，(2,2)C t ∴−，24t t ∴=−，4t ∴=，4k ∴=；（2）解：由（1）知4k =，∴反比例函数的解析式为4y x =，点P 在双曲线4x 上，点Q 在y 轴上，∴设(0,)Q y ，4(,)P x x ， ①当AB 为边时：如图1，若ABPQ 为平行四边形，则102x −+=，解得1x =，此时1(1,4)P ，1(0,6)Q ；如图2，若ABQP 为平行四边形，则122x −=， 解得=1x −，此时2(1,4)P −−，2(0,6)Q −；②如图3，当AB 为对角线时，AP BQ =，且AP BQ ∥； ∴122x −=，解得=1x −，3(1,4)P ∴−−，3(0,2)Q ；故1(1,4)P ，1(0,6)Q ；2(1,4)P −−，2(0,6)Q −；3(1,4)P −−，3(0,2)Q ；（3） 解：结论：MNHT 的值不发生改变，理由：如图4，连NH 、NT 、NF ，MN 是线段HT 的垂直平分线，NT NH ∴=，四边形AFBH 是正方形，ABF ABH ∴∠=∠，在BFN 与BHN △中，BF BH ABF ABH BN BN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BFN BHN SAS ∴≌，NF NH NT ∴==， NTF NFT AHN ∴∠=∠=∠，四边形ATNH 中，180ATN NTF ∠+∠=︒，而NTF NFT AHN ∠=∠=∠，所以，180ATN AHN ∠+∠=︒，所以，四边形ATNH 内角和为360︒，所以3601809090TNH ∠=︒−︒−︒=︒．12MN HT ∴=， ∴12MN HT =．【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式、正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等相关知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.题型6：取值范围问题11．（2024·江苏宿迁·二模）中国象棋棋盘上双方的分界处称为“楚河汉界”，以“楚河汉界”比喻双方对垒的分界线．在平面直角坐标系中，为了对两个图形进行分界，对“楚河汉界线”给出如下定义：点()11,P x y 是图形1G 上的任意一点，点()22,Q x y 是图形2G 上的任意一点，若存在直线()0l y kx b k =+≠∶满足11y kx b ≤+且22y kx b ≥+，则直线(0)y k b k =+≠就是图形1G 与2G 的“楚河汉界线”．例如：如图1，直线4l y x =−−∶是函数6(0)y x x=<的图像与正方形OABC 的一条“楚河汉界线”．(1)在直线①2y x =−，②41y x =−，③23y x =−+，④31y x =−−中，是图1函数6(0)y x x=<的图像与正方形OABC 的“楚河汉界线”的有______；（填序号） (2)如图2，第一象限的等腰直角EDF 的两腰分别与坐标轴平行，直角顶点D 的坐标是()2,1，EDF 与O 的“楚河汉界线”有且只有一条，求出此“楚河汉界线”的表达式；(3)正方形1111D C B A 的一边在y 轴上，其他三边都在y 轴的右侧，点(2,)M t 是此正方形的中心，若存在直线2y x b =−+是函数2)304(2y x x x =−++≤≤的图像与正方形1111D C B A 的“楚河汉界线”，求t 的取值范围．【答案】(1)①④；(2)25y x =−+；(3)7t ≤−或9t ≥．【分析】（1）根据定义，结合图象，可判断出直线为3y x =−或31y x =−−与双曲线6(0)y x x =<及正方形ABCD最多有一个公共点，即可求解；（2）先作出以原点O 为圆心且经过EDF 的顶点D 的圆，再过点D 作O 的切线，求出该直线的解析式即可；（3）先由抛物线与直线组成方程组，则该方程组有唯一一组解，再考虑直线与正方形有唯一公共点的情形，数形结合，分类讨论，求出t【解析】（1）解：如图，从图可知，2y x =−与双曲线6(0)y x x =<和正方形OABC 只有一个公共点，31y x =−−与双曲线6(0)y x x =<和正方形OABC 没有公共点，41y x =−、23y x =−+不在双曲线6(0)y x x =<及正方形ABCD 之间， 根据“楚河汉界线”定义可知，直线2y x =−，31y x =−−是双曲线6(0)y x x =<与正方形OABC 的“楚河汉界线”， 故答案为：①④；（2）解：如图，连接OD ，以O 为圆心，OD 长为半径作O ，作DG x ⊥轴于点G ，过点D 作O 的切线DM ，则MD OD ⊥，∵MD OD ⊥，DG x ⊥轴， ∴90ODM OGD ∠=∠=︒， ∴90MOD OMD ∠+∠=︒， ∵90MOD DOG ∠+∠=︒， ∴OMD DOG ∠=∠， ∴tan tan OMD DOG ∠=∠， ∵()2,1D ，∴1DG =，2OG =，∴1tan tan 2DG OMD DOG OG ∠=∠==，OG ==∵tan ODOMD DM ∠=，∴12=，∴1122MN DM ∴==⨯=∴5OM =，∴()0,5M ，设直线MD 的解析式为y mx n =+，把()0,5M 、()2,1D 代入得，521n m n =⎧⎨+=⎩，解得25m n =−⎧⎨=⎩，∴25y x =−+，∴EDF 与O 的“楚河汉界线”为25y x =−+； （3）解：由2223y x b y x x =−+⎧⎨=−++⎩得，2430x x b −+−=， ∵直线与抛物线有唯一公共点， ∴0=，∴164120b −+=，解得7b =， ∴此时的“楚河汉界线”为27y x =−+，当正方形1111D C B A 在直线27y x =−+上方时，如图，∵点()2,M t 是此正方形的中心，∴顶点()10,2A t −，∵顶点()10,2A t −不能在直线27y x =−+下方，得27t −≥，解得9t ≥；当正方形1111D C B A 在直线27y x =−下方时，如图，对于抛物线223y x x =−++，当0x =时，3y =；当4x =时，5y =−； ∴直线23y x =−+恰好经过点()0,3和点()4,5−；对于直线23y x =−+，当4x =时，5y =−，由()12,2C t +不能在直线23y x =−+上方，得25t ≤−+， 解得7t ≤−；综上所述，7t ≤−或9t ≥．【点睛】此题考查了一次函数、正方形的性质、三角函数、一次函数的应用、二元二次方程组，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．题型7：最值问题12．（2024·辽宁·一模）【发现问题】随着时代的发展，在现代城市设计中，有许多街道是设计的相互垂直或平行的，因此往往不能沿直线行走到目的地，只能按直角拐弯的方式行走．我们可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy ，对两点()11,A x y 和()22,B x y ，用以下方式定义两点间的“折线距离”：()1212,d A B x x y y =−+−．【提出问题】（1）①已知点()4,1A ，则(),d O A =______；②函数()2630y x x =+−≤≤的图象如图1，B 是图象上一点，若(),5d O B =，则点B 的坐标为______； （2）函数()30y x x=>的图象如图2，该函数图象上是否存在点C ，使(),2d O C =？若存在，求出其坐标；若不存在，请说明理由； 【拓展运用】（3）已知函数()21460y x x x =−+≥和函数()2231y x x =+≥−的图象如图3，D 是函数1y 图象上的一点，E是函数2y 图象上的一点，当(),d O D 和(),d O E 分别取到最小值的时候，请求出(),d D E 的值．【答案】（1）①5；②()14，（2）不存在，理由见解析（3）()15,4d D E =【分析】本题在新定义下考查了一次方程和分式方程的解法，二次函数的最值，关键是紧靠定义来构造方程和函数．（1）①代入定义中的公式求； ②设出函数()2630y x x =+−≤≤的图象上点B 的坐标，通过(),5d O B =建立方程，解方程；（2）设出函数()30y x x =>的图象上点C 的坐标，通过(),2d O C =建立方程，看方程解的情况；（3）设出函数()21460y x x x =−+≥的图象上点D 的坐标，将()d O D ，表示成函数，利用二次函数的性质求函数最值，可求得点D 的坐标；设出函数()2231y x x =+≥−的图象上点E 的坐标，利用一次函数的性质，可求得点E 的坐标；再按定义求得(),d D E 的值即可．【解析】 解：（1）①∵点()4,1A ，点()00O ，，∴()40105d O A =−+−=，；故答案为：5； ②设点()26B x x +，，∵(),5d O B =， ∴265x x ++=，∵30x −≤≤， ∴265x x −++=， ∴=1x −， ∴点()14B ，．故答案为：()14，； （2）不存在，理由如下：设点3C m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， ∵(),2d O C =，∴32m m +=，∵0m >， ∴32m m +=，∴2230m m −+=，∵80∆=−<，∴此方程没有实数根， ∴不存在符合条件的点C ；（3）设点D 为()246n nn −+，，∴()246d O D n n n =+−+，，∵0n ≥，()2246220n n n −+=−+>，∴()222315463624d O D n n n n n n ⎛⎫=+−+=−+=−+⎪⎝⎭，， ∴当32n =时，()d O D ，最小，最小值为154，此时点D 坐标为3924⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 设点E 为()23e e +，，∴()23d O Ee e =++，，当10e −≤<时，()233d O Ee e e =−++=+，，∴当1e =−时，()d O E ，最小，最小值为2；当0e ≥时，()2333d O Ee e e =++=+，，∴当0e =时，()d O E ，最小，最小值为3；∴此时点E 坐标为()11−，．∴()395515,1124244d D E =−−+−=+=．13．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知直线132y x =−与反比例函数ky x=的图象交于点()8,Q t ，与y 轴交于点R ，动直线()08x m m =<<与反比例函数的图象交于点K ，与直线QR 交于点T ．(1)求t 的值及反比例函数的表达式；(2)当m 为何值时，RKT △的面积最大，且最大值为多少？ (3)如图2，ABCO 的顶点C 在反比例函数()0ky x x=>的图象上，点P 为反比例函数图象上一动点，过点P 作MN x ∥轴交OC 于点N ，交AB 于点M ．当点P 的纵坐标为2，点C 的横坐标为1且8OA =时，求PNPM的值．【答案】(1)1t =，反比例函数的表达式为8y x =； (2)当3m =时，RKT △的面积最大，且最大值为254；(3)1517PN PM =【分析】（1）将()8,Q t 代入直线132y x =−，求出t 的值，再将点Q 的坐标代入反比例函数，求出k 的值，即可得到反比例函数解析式；（2）设8,K m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,32T m m ⎛⎫− ⎪⎝⎭，则81813322KT m m m m ⎛⎫=−−=−+ ⎪⎝⎭，进而表示出 RKT RTKQTKS SS=+△()2125344m =−−+，结合二次函数的性质，即可求出最值；（3）先求出P 、C 两点的坐标，再利用待定系数法求出直线OC 的解析式，进而得到点N 的坐标，得出PN的长，然后利用平行四边形的性质，得出PM 的长，即可求出PNPM 的值．【解析】（1）解：()8,Q t 在直线132y x =−上，18312t ∴=⨯−=，()8,1Q ∴，()8,1Q 在反比例函数ky x =上，818k ∴=⨯=，。

反比例函数K 的几何意义专项训练及答案（中考复习）1、如图（1）所示，已知反比例函数 y =x k 和 y =x 1分别过点 A 和点 B ，且 AB // x 轴， S ABC △ =23，点C 是 x 轴上任意一点，则 k =____________. 2、如图（2）所示,矩形ABOC 的顶点B ，C 分别在x 轴，y 轴上,顶点A 在第二象限,点B 的坐标为(-2,0)，将线段OC 绕点O 逆时针旋转60°至线段0D,若反比例函数y=xk （k ≠0）的图像经过A ，D 两点，则k 的值为_____________. 3、如图（3）所示,面积为25的Rt △OAB 的斜边OB 在x 轴上，∠ABO=30°，反比例函数y=xk 的图象恰好经过点A ，则k 的值为______________.4、如图(4)所示,A ⎪⎭⎫ ⎝⎛1y 21，，B ()2y 2，为反比例数y=x 2图象上的两点，动点P(x,0)在x 轴上运动,当|AP-BPI 的值最大时，连接OA ，则△AOP 的面积为_________.5、如图(5)所示,反比例函数y=x12在第一象限内的分支经过菱形OACB 的顶点A,B,且点A,B 的横纵坐标都为正整数,则点C 的坐标为__________________.6、如图（6）所示,在反比例函数y=xk 的图象上有A,B 两点,过点A 作AC ⊥x 轴，交x 轴于点C ，连接BC 并延长交y 轴于点D,连接AB,AD,若BD=4CD,ABD S △=8,则k 的值为__________________.（1）（2） （3）7、如图（7）所示,直线y=3x-6分别交x ，y 轴于点A ，B ，M 是反比例函数y=xa (x>0)的图象上位于直线AB 上方的一点，MC//x 轴交AB 于点C,MD ⊥MC 交AB 于点D,若AC ·BD=43则a 的值为__________.8如图(8)所示，正方形ABCD 的顶点A.B 分别在x ，y 轴上，tan ABO=3,正方形的面积为10,反比例函数y=xk 的图象经过点D,则k 的值是_______________. 9如图（9）所示,在平面直角坐标系中,△OAB 的顶点A 在反比例函数y=x 1上，顶点B 在反比例函数y=xk 上,AB ∥x 轴,△OAB 的面积是3，则k 的值为____________. 10、如图（10）所示,在平面直角坐标系中,等边三角形的顶点 A 在反比例函数y=x 1（x>0）上,顶点B,C 在反比例函数y=xk (x>0)上,且点B,C 关于直线y=x 对称.若等边三角形的边长为62，则k 的值为________________.（4） （5） （6） （7） （8） （9） （10）参考答案1、-22、3316-3、5-4、55、（13,13）或（8,8）或（7,7）6、-47、-38、-69、7 10、13。

2023年中考数学重难点专题练习-反比例函数系数k 的几何意义1．如图，点C 是反比例函数k y x=图象的一点，点C 的坐标为(4,)1-．(1)求反比例函数解析式；(2)若一次函数3y ax =+与反比例函数k y x=相交于A ，C 点，求点A 的坐标； (3)在x 轴上是否存在一个点P ，使得PAC △的面积为10，如果存在，求出点P 的坐标，如果不存在，请说明理由．2．如图，已知反比例函数k y x=（k 为常数，0k ≠）的图像经过第二象限内的点A ，过A 点作AB x ⊥轴，垂足为B ，AOB 的面积为1，A 的半径为1．(1)k =___________，当A 与x 轴相切时，A 点坐标为___________(2)点C 为y 轴上一动点，当AOB 为等腰直角三角形且AOC 面积为3时，求出点C 坐标．3．如图，已知反比例函数y ＝k x图象的一支经过点A （2，3）和点B （点B 在点A 的右侧），作BC ⊥y 轴，垂足为C ，连接AC ，AB ．(1)求反比例函数的解析式；(2)若⊥ABC 的面积为7，求B 点的坐标．4．如图，一次函数1y x =+与反比例函数k y x=的图象相交于2A m （，），B 两点，分别连接OA ，OB ．(1)求这个反比例函数的表达式(2)求AOB ∆的面积．5．如图，点A 为函数()>0k y x x=图象上的一点，过点A 作x 轴的平行线交 y 轴于点B ，连接OA ，如果AOB 的面积为2，求k 的值．6．如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，Rt OAB ∆的直角顶点B 在x 轴的正半轴上，点A 在第一象限，反比例函数(0)k y x x =>的图象经过OA 的中点C ．交AB 于点D ，连结CD ．若ACD ∆的面积是43，则k 的值是_____．7．如图，已知反比例函数1m y x =和一次函数2y kx b =+的图像交于点()3,,621A B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，两点．(1)求m 、n 的值；(2)连接OA OB 、，求AOB 的面积．8．如图，一次函数()20y kx k k =-≠的图象与反比例函数1(10)m y m x-=-≠的图象交于点C ，与x 轴交于点A ，过点C 作CB y ⊥轴，垂足为B ，若3ABC S =△．（1）求点A 的坐标及m 的值；（2）若AB =9．如图，已知一次函数1y kx b =+与反比例函数2k y x=的图象交于第一象限内的点(16)A ，和(6)B m ，，与x 轴交于点C ，交y 轴于点D ．(1)分别求出这两个函数的表达式；(2)连接OA 、OB ，求AOB ∆的面积；(3)点P 为坐标平面内的点，若点O ，A ，C ，P 组成的四边形是平行四边形，请直接写出点P 的坐标．10．如图，直线2y x =-+与反比例函数k y x=（0k ≠）的图象交于(),3A a ，()3,B b 两点，过点A 作AC x ⊥轴于点C ，过点B 作BD x ⊥轴于点D ．(1)求a 、b 的值及反比例函数的解析式；(2)若点P 在直线2y x =-+上，且ACP BDP SS =，请求出此时点P 的坐标．11．如图，点A 、B 分别在反比例函数11(0)k y x x =>和22(0)k y x x =>的图象上，线段AB 与x 轴相交于点P ．(1)如图⊥，若AB x ⊥轴，且||2||AP PB =，121k k +=．求1k 、2k 的值；(2)如图⊥，若点P 是线段AB 的中点，且OAB 的面积为2．求12k k -的值．12．如图，点P 在反比例函数6y x=第一象限的图象上，PA x ⊥轴于点A ，则OPA 的面积为___________．13．如图，Rt ⊥ABO 的顶点A 是双曲线k y x =与直线y ＝－x ＋（k ＋1）在第四象限的交点，AB ⊥x 轴于B ，且32ABO S ∆=．(1)求这两个函数的解析式；(2)求直线与双曲线的两个交点A 、C 的坐标和⊥AOC 的面积．14．如图，已知一次函数22y x =+的图像与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，与反比例函数(0,0)k y k x x=>>的图像交于点C ，且2BC AB =，点(,1)E a 在反比例函数的图像上．(1)求反比例函数的表达式；(2)若直线EC 交y 轴于点D ，求BCD △的面积．15．如图，一次函数(0)y kx b k =+≠与反比例函数m y x=(0m ≠，0)x >的图象交于(1,6)A ，(3,)B n 两点，AE x ⊥轴于点E ，BC x ⊥轴于点C ．(1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)根据图象直接写出+kx b >m x(0)x >时的x 的取值范围； (3)求AOB 的面积．16．如图，一次函数()10y k x b k =+≠与反比例函数()20k y x x =>的图像交于()1,6A ，()3,B m 两点．(1)求反比例函数和一次函数的解析式：(2)根据图象直接写出21k k x b x +<时，x 的取值范围： (3)求AOB 的面积．17．如图，反比例函数1(0)k y x x =>的图像与一次函数2y ax b =+的图像交于A （1，m ），B （3，n ）两点，过点A 作AC 垂直于x 轴于点C ， 3.OAC S ∆=(1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)当12y y >时，求x 的取值范围．参考答案：1．(1)4y x=-； (2)()14-，； (3)存在，P 点的坐标为()1,0-或()7,0．2．(1)2-，()2,1-；(2)(或(0,-．3．(1)6y x =； (2)209(,)310B4．(1)2y x =； (2)32 ．5．46．1697．(1)6m =，4n = (2)454AOB S =△8．（1）（2，0），m =-5；（2）2455y x -=+ 9．(1)6y x=，7y x =-+ (2)352 (3)点P 的坐标为：(86)，，(66)-，，(66)-，10．(1)a =-1，b =-1，3y x=- (2)()0,2P 或()3,5-11．(1)12k =，21k =-；(2)124k k -=．12．313．(1)3y x=-，y =-x -2 (2)A （1，-3），C （-3，1），Δ4AOC S =14．(1)12(0)y x x=> (2)515．(1)6y x =，28y x =-+ (2)13x <<(3)816．(1)28y x =-+，6y x=(2)01x <<或3x >(3)817．(1)反比例函数关系式为16y x =，一次函数的关系式为228y x +＝- (2)0＜x ＜1或x ＞3。

反比例函数系数k 的几何意义一 、选择题（本大题共1小题）1.反比例函数xky =的图像如图所示，点M 是该函数图像上一点，MN 垂直于x 轴，垂足是点N ，如果2MON S ∆=，则k 的值为（ ）A. 2B. 2-C. 4D. 4-二 、填空题（本大题共5小题）2.直线y kx =（0k >）与双曲线4y x=交于11(,)A x y 、22(,)B x y 两点，则122127x y x y -的值等于3.如图，已知双曲线()0k y x x=>经过矩形OABC 边AB 的中点F 且交BC 于E ，四边形OEBF 的面积为2，则k = ．4.如图，在Rt AOB ∆中，点A 是直线y x m =+与双曲线my x=在第一象限的交点，且2AOB S ∆=，则m 的值是_____.5.已知反比例函数8y x=上两点A ，B 的横坐标分别为2-，8，则OAB ∆的面积为6.两个反比例函数ky x =和1y x =在第一象限内的图象如图所示，点P 在k y x=的图象上，PC x ⊥轴于点C ，交1y x =的图象于点A ，PD y ⊥轴于点D ，交1y x=的图象于点B ，当点P 在k y x=的图象上运动时，以下结论： ①ODB ∆与OCA ∆的面积相等； ②四边形PAOB 的面积不会发生变化； ③PA 与PB 始终相等；④当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点．其中一定正确的是 （把你认为正确结论的序号都填上，少填或错填不给分）．三 、解答题（本大题共5小题）7.如图，已知一次函数y kx b =+的图象与反比例函数8y x=-的图象交于A 、B 两点，且A 点的横坐标和B 点的纵坐标都是2- ⑴求一次函数解析式1x⑵AOB ∆的面积8.如图，一次函数y kx b =+的图像与反比例函数my x=的图像交于(21)(1)A B n -，，，两点．（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式； （2）求AOB ∆的面积．9.如图，函数y x =-与4y x=-的函数图象交于A B 、两点，过点A 作CA y ⊥轴于C 点，则BOC △的面积为 ．10.如图，一次函数y kx b =+的图像与反比例函数my x=的图像交于(21)(1)A B n -，，，两点．（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式； （2）求AOB ∆的面积．11.如图，点A 、B 在反比例函数k y x=(0k >)的图象上，且点A 、B 的横坐标分别为a 和2a (0a >)AC x ⊥轴，垂足为C ，AOC ∆的面积为2． （1）求反比例函数的解析式；（2）若点(a -，1y )，(2a -，2y )也在反比例函数的图象上，试比较1y 与2y 的大小；（3）求AOB ∆的面积．反比例函数系数k 的几何意义答案解析一 、选择题1.D二 、填空题2.20；双曲线以及正比例函数图象都是关于原点成中心对称，因此12x x =-，12y y =-，∴12224x y x y =-=-，21224x y x y =-=-3.24.4；已知2AOB S ∆=. ∴22m =，∵0m >，∴4m =.5.15；反比例函数k 的几何意义及双曲线的中心对称性6.①②④①根据上节课结论易知成立；②1PAOB PDOC BDO ACO S S S S k ∆∆=--=-，结论成立.③根据题意可得：PC PD k ⋅=，1BD PC ⋅=，1AC PD ⋅=，111PC PD k PA PC AC PC PD PD PD ⋅--=-=-==，111PC PD k PB PD BD PD PC PC PC⋅--=-=-==， PC PD ≡/，所以PA PB ≡/.④根据1BD PC AC PD ⋅==⋅，故PC PDAC BD=可知成立.也可利用结论③中的推导. 其中一定正确的是①②④.三 、解答题7.利用反比例函数k 的几何意义以及中心对称转化面积⑴一次函数解析式为2y x =-+ ⑵6AOB S ∆=x∴(2)12m =-⨯=-．∴反比例函数的表达式为2y x=-．∵点()1B n ，也在反比例函数2y x=-的图像上， ∴2n =-，即()12B -，． 把点()21A -，，点()12B -，代入一次函数y kx b =+中，得 212k b k b -+=⎧⎨+=-⎩，解得11k b =-⎧⎨=-⎩∴一次函数的表达式为1y x =--．（2）方法一、在1y x =--中，当0y =时，得1x =-．∴直线1y x =--与x 轴的交点为()10C -，． ∵线段OC 将AOB ∆分成AOC ∆和BOC ∆，∴1113121112222AOB AOC BOC S S S =+=⨯⨯+⨯⨯=+=△△△．方法二、延长BO 交双曲线于点D ，连接AD ，过点A ，D 作x 轴的垂线，垂足分别为E 、F ，则点B 与点D 关于原点对称，所以1()2OAB ODA ADFE S S S AE DF EF ∆∆===+⋅梯形∵(1,2)B - ∴(1,2)D - ∴1AE =，2DF =，1EF =， ∴13()22OAB ODA ADFE S S S AE DF EF ∆∆===+⋅=梯形9.2x∴(2)12m =-⨯=-．∴反比例函数的表达式为2y x=-．∵点()1B n ，也在反比例函数2y x=-的图像上， ∴2n =-，即()12B -，． 把点()21A -，，点()12B -，代入一次函数y kx b =+中，得 212k b k b -+=⎧⎨+=-⎩，解得11k b =-⎧⎨=-⎩∴一次函数的表达式为1y x =--．（2）方法一、在1y x =--中，当0y =时，得1x =-．∴直线1y x =--与x 轴的交点为()10C -，． ∵线段OC 将AOB ∆分成AOC ∆和BOC ∆，∴1113121112222AOB AOC BOC S S S =+=⨯⨯+⨯⨯=+=△△△．方法二、延长BO 交双曲线于点D ，连接AD ，过点A ，D 作x 轴的垂线，垂足分别为E 、F ，则点B 与点D 关于原点对称，所以1()2OAB ODA ADFE S S S AE DF EF ∆∆===+⋅梯形∵(1,2)B - ∴(1,2)D - ∴1AE =，2DF =，1EF =， ∴13()22OAB ODA ADFE S S S AE DF EF ∆∆===+⋅=梯形∴（1）反比例函数的表达式为2y x=-，一次函数的表达式为1y x =--．（2）32．11.解析反比例函数k 的几何意义，以及面积的转化⑴由题意设A (a ，k a )，则11222AOC k S a k a ∆=⋅⋅==，得4k = 故反比例函数的解析式为4y x=⑵因为反比例函数4y x=，在每一象限内，y 随x 的增大而减小，由0a >，得2a a ->-，所以12y y <⑶如图，作BD x ⊥轴于D ，设AC 与OB 相交于点E ， 易知AOE ECDB S s ∆=梯形，故AOB ACDB S s ∆=梯形，易求4AC a =，2BD a =，CD a =，所以142()32AOB ACDB S S a a a∆==+⋅=梯形。

专题11反比例函数中K的几何意义的两种考法类型一、求比例系数K的值【答案】37-【点睛】本题考查了求反比例函数解析式、相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，解题关键是恰当的作辅助线，构建相似三角形求点的坐标．【答案】2【分析】过点,A C分别作x轴的垂线，垂足分别为可得4EBAE=，设(),A m n，则(,0E mAEO CFB ∴∠=∠90=︒四边形ABCD 是平行四边形,AO BC AO BC∴=∥AOE CBF∴∠=∠AOE CBF∴ ≌AE CF ∴=，OE BF=OB OE OB BF∴-=-即OF EB=CF x ⊥ 轴，C 在4y x=-上，2AEB CFO S S ∴==△△四边形OABC 是正方形，90B ∴∠=︒，45BCA ∠=︒，2BD BE == ，45BDE BED ∴∠=∠=︒，DE BDE BCA ∴∠=∠，【答案】-12【分析】连接OE，CE，过点A作AF⊥x轴，过点与B关于原点对称，再由BE⊥AE，AE为∠km<），由已知条件AC=3DC，DHm）（0得到S△HDC=14S△ADG，所以S△AOC=S△AOF+S梯形【详解】解：连接OE，CE，过点A作AF【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义，借助直角三角形和角平分线，将△的面积是解题的关键．【答案】103【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征可得△ABE 和△BCD 的面积，再由【详解】解： 点A ，B 的横坐标分别为(0,)3k D ∴且E 、B 、D 的纵坐标相等，且都为∵点E 在反比例函数8y x=上，1()()2ABE E B A B S x x y y ∆∴=-⨯-⨯∵193ABE BCD S S ∆∆+=，∴8k -类型二、根据比例系数求面积△AOB＝．【答案】12a22ba-【分析】设B（m，b m），A（形的面积可得结论．【详解】解：设B（m，b m），【答案】44150【分析】根据点D 的坐标(2,2m n ∆BEF 的面积．【详解】解：如图，过点D 作DM 在矩形OABC 中，AB OA ⊥，OC AB =，BC OA =，DM AB ∴∥，ΔΔODM OBA ∴∽，:::OD OB DM AB OM OA ∴==．设点D 坐标为(2,2)m n ，其中m ，2OM m ∴=，2DM n =．【变式训练1】已知，如图，双曲线y x=与直线(0)y kx k =>）相交于,A B 两点，AC x ⊥轴于C ，BD x ⊥轴于D ，点E 是AC 的中点，BC 与y 轴相交于点F ，连接,DF DE ，分别与直线y kx =相交于点G 和点H ，则图中阴影部分的面积是________．【答案】8【详解】：连接AD ，如图所示：由,A B 是双曲线12y x=与直线y kx =的交点，易得OA OB =，OC OD =，6AOC BOC BOD AOD S S S S ====△△△△．∴12ABD ABC S S ==△△，∵AC ∥BD ，OF ∥BD ，E 是AC 中点，O 是DC 中点，∴AHE ∆∽BHD ∆，OCF ∆∽DCB ∆，∴12AE AH EH BD HB DH ===，12OF FG OG BD DG BG ===，∴:1:2ADH BDH S S =△△，:1:2BDG DOG S S ∆=△，:1:4AEH BDH S S =△△，1:4AGD BFG S S =△△：，∴2ADH S =△，4BDH S =△，2AHE S =△，∴123DOG BODS S ==△△，∴628ADG AOD DOG S S S =+=+=△△△，∴124BGF ADGS S ==△△，∴12228ABC AEH BGF S S S S =--=--=△△△阴影部分．【变式训练2】如图，平行四边形OABC 的顶点O ，B 在y 轴上，顶点A 在2y x =-上，顶点C 在9y x=上，则平行四边形OABC 的面积是．【答案】11【分析】过点A 作AE y ⊥于点E ，过点C 作CD y ⊥轴于点D ，因为四边形OABC 是平行四边形，可证得四边形OABC 是平行四边形，OA BC AOE CBD ∴=∠=∠，，AE y CD y ⊥⊥ ，，90AEO CDB ∴∠=∠=︒，()AEO CDB AAS ∴ ≌，∴AEO CDB S S = ，【答案】6【分析】设M 点的坐标为1,b b ⎛ ⎝进而求出AOB 的面积．∴MOE AOF ∽，根据反比例函数与三角形的面积关系可得：∴0.5124MOE S S == ，【答案】3【分析】由点C的坐标利用反比例函数图像上点的坐标特征即可求出反比例函数关系式，再根据平行四边形的性质结合点A、O、C的坐标即可求出点可求出点D的坐标，再令反比例函数关系式中的长度，根据三角形的面积公式即可得出结论；【详解】解：∵反比例函数∵点D 为线段AB 的中点，点∴点11(,2)2D ，令4y x=中2y =，则2x =，∴点()2,2P ，∴117222PD =-=，EP ED =12APH AEF CFEA PFEH S S S S S =-=- 矩形四边形四边形DFP DFEH PFEH S S S =- 梯形四边形∵点A 在反比例函数a y x =（0a >，0x >）的图象上，点∴=CFEA S a b a b+=-矩形1【答案】5【分析】作AH⊥OB于H，CE⊥y轴于E，DF∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，【答案】22/122【分析】连接OB交MN于Q，即点Q为OB的中点，过点Q作则22=2OHQk S=△；过点C'作【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，矩形的性质，平行四边形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，三角形面积公式，正确作出辅助线是解题的关键．3．如图，P为第一象限内一点，过则S△ABO=．【答案】16【分析】延长BP交x轴于点M，过点设点B12,tt⎛⎫⎪⎝⎭，根据S△BOP=4，可求得ABMN=S△AON+S△AOB，且BOM S△【详解】如图，延长BP交x轴于点则四边形APMN是矩形，∴AP=MN，AN=PM，设点B的横坐标为t，点A，B在函数y=12x上，∴B12,tt⎛⎫ ⎪⎝⎭，∵S△BOP=4，【点睛】此题考查了反比例函数的系数积，正确作出辅助线是解本题的关键．4．如图，点A在函数12( y xx =>轴，且AB＝34AC，则BC＝【答案】5 2【分析】延长CA、BA交坐标轴于数系数k的几何意义得到设A （m ，n ），∵点A 在函数()120y x x =>的图像上，点∴S 四边形CDOF =S 四边形BEOG =18，∴S 四边形AEDC =S 四边形ABGF ，∴AC •m =AB •n ，∵AB =34AC ，∴m =34n ，∴34n •n =12，∴4n =，∴(3,4)A ，【答案】(2，42)【分析】连接OE，根据反比例函数系数n=82m，进一步求得AOB∵反比例函数82(0) y xx=>∴1822AOES=⨯△，42 =，【答案】212022【分析】根据反比例函数上的点向1122331||12OB C OB C OB C S S S k ∆∆∆====形的面积，找出规律即可得出结论．【详解】解：根据题意可知1OB C S ∆（1）若L 过点1T ，则k =（2）若曲线L 使得18T T ～这些点分布在它的两侧，每侧各【答案】4823【分析】（1）由题意可求18T T ～这些点的坐标，将点【答案】②③④【分析】由2OFM kS = 可判断①过A 作AK x ⊥轴于点K ，类比②从而得到OAB ONM ∠=∠可判断【详解】解：①，2k <- ，∴-④，由③可知OA OB ON OM=OAB ONM∴~ OAB ONM∴∠=∠AB NM④正确；故答案为：②③④．【答案】5y x=【分析】利用等积法，得到1,2MF ON MF ON =∥，进而得到AME △的面积，进而得到∴1,4MF AB MF AB =∥，∴AEB FEM ∽，∴::1:4ME BE MF AB ==，∴::1:AME ABE S S ME BE ==【答案】8⊥轴于点N，过点【分析】过点C作CN x()()A aB b，先证明(0,,,0≌MDA OAB【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是掌握反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形对应边相等．【答案】4【分析】过点D作DN⊥Q在反比例函数上，则平行线的判定，得OC∥【详解】过点D作DN⊥【点睛】本题考查反比例函数和几何的综合，解题的关键是掌握反比例函数的图象和性质，矩形的性质，的几何意义．，14．如图，四边形AOBC 边形AOBC 的对角线AB 【答案】185【分析】由CDB ODA ∽5【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，反比例函数【答案】3215-【分析】根据图形的特点，先求出【详解】+解：如图所示，为4a ；过点D 作DG y ⊥作CF x ⊥轴交于点F ，连接(ΔΔOCD ODG GOFCD S S S =-五边形GOFCD GHCD S S = 五边形直角梯形ΔOCD GHCD S S ∴=直角梯形，()GHCD S GD HC =+⨯直角梯形Δ15OCD GHCD S S ∴==-直角梯形:1:3BD AD = ，ΔΔ:1:3BDO ACD S S ∴=，∵ADC △的面积为3，Δ1BDO S =，ΔΔΔ4OCD BDO ACD S S S ∴=+=∴1548k -=，3215k ∴=-．故答案为：3215-【点睛】本题考查了反比例函数系数于k 的表达式是解本题的关键，综合性较强，难度较大．。

备考2024年中考数学二轮复习-函数_反比例函数_反比例函数系数k的几何意义-单选题专训及答案反比例函数系数k的几何意义单选题专训1、(2012抚顺.中考真卷) 如图，过点P（2，3）分别作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D，PC、PD分别交反比例函数y= （x＞0）的图象于点A、B，则四边形BOAP的面积为（）A . 3B . 3.5C . 4D . 52、(2017石家庄.中考模拟) 如图，在平面直角坐标系中，一条直线与反比例函数y= （x＞0）的图象交于两点A、B，与x轴交于点C，且点B是AC的中点，分别过两点A、B作x轴的平行线，与反比例函数y= （x＞0）的图象交于两点D、E，连接DE，则四边形ABED的面积为（）A . 4B .C . 5D .3、(2019温州.中考模拟) 如图，矩形 OABC 的顶点 O 在坐标原点，顶点 A，C 分别在 x，y 轴的正半轴上，顶点 B 在反比例函数 y = （k 为常数，k＞0，x＞0）的图象上，将矩形 OABC 绕点 B 逆时针方向旋转 90°得到矩形 BC‘O’A‘，点 O 的对应点O¢ 恰好落在此反比例函数图象上.延长 A’O‘，交 x轴于点 D，若四边形C’ADO‘ 的面积为 2，则 k 的值为（）A . +1B . -1C . 2 +2D . 2 -24、(2016余姚.中考模拟) 如图，矩形OABC上，点A、C分别在x、y轴上，点B在反比例位于第二象限的图象上，矩形面积为6，则k的值是（）A . 3B . 6C . ﹣3D . ﹣65、(2017北仑.中考模拟) 如图，等腰三角形ABC的底边BC在x轴正半轴上，点A在第一象限，延长AB交y轴负半轴于点D，延长CA 到点E，使AE=AC，双曲线y= （x＞0）的图象过点E．若△BCD的面积为2 ，则k的值为（）A . 4B . 4C . 2D . 26、(2019包河.中考模拟) 如图，若反比例函数y= （x＜0）的图象经过点（- ，4），点A为图象上任意一点，点B在x轴负半轴上，连接AO，AB，当AB=OA时，△AOB的面积为（）A . 1B . 2C . 4D . 无法确定7、(2017宿州.中考模拟) 点P反比例函数y=﹣的图象上，过点P分别作坐标轴的垂线段PM、PN，则四边形OMPN的面积=（）A .B . 2C . 2D . 18、(2019夏津.中考模拟) 如图，平行于x轴的直线与函数y= （k1>0，x>0），y= （k2>0,x>0)的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为4，则k1-k2的值为（）A . 8B . -8C . 4D . -49、(2017蒙阴.中考模拟) 如图，双曲线y= （k＞0）与⊙O在第一象限内交于P、Q两点，分别过P、Q两点向x轴和y轴作垂线，已知点P坐标为（1，3），则图中阴影部分的面积为（）A . 1B . 2C . 3D . 410、(2018河南.中考模拟) 如图，已知反比例函数y= 与正比例函数y=kx（k＜0）的图象相交于A，B两点，AC垂直x轴于C，则△ABC的面积为（）A . 3B . 2C . kD . k211、(2017濮阳.中考模拟) 如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y1= （x＞0）及y2= （x＞0）的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，已知△OAB的面积为2，则k1﹣k2的值为（）A . 2B . 3C . 4D . ﹣412、(2016河南.中考真卷) 如图，过反比例函数y= （x＞0）的图象上一点A作AB⊥x轴于点B，连接AO，若S△AOB=2，则k的值为（ ）A . 2B . 3C . 4D . 513、(2019株洲.中考真卷) 如图所示，在直角平面坐标系中，点为反比例函数上不同的三点，连接，过点作轴于点，过点分别作垂直轴于点，与相交于点，记、、四边形的面积分别为、、，则（）A .B .C .D .14、(2018湛江.中考模拟) 如图，P是反比例函数图象上第二象限内一点，若矩形PEOF的面积为3，则反比例函数的解析式是（）A . y=B . y=﹣C . y=D . y=15、(2016宝安.中考模拟) 如图，在平面直角坐标系上，△ABC的顶点A和C分别在x轴、y轴的正半轴上，且AB∥y轴，点B （1，3），将△ABC以点B为旋转中心顺时针方向旋转90°得到△DBE，恰好有一反比例函数y= 图像恰好过点D，则k的值为（）A . 6B . ﹣6C . 9D . ﹣916、(2022任城.中考模拟) 如图，是函数上两点，为一动点，作轴，轴，下列说法正确的是( )①；②；③若，则平分；④若，则A . ①③B . ②③C . ②④D . ③④17、(2011玉林.中考真卷) 如图，是反比例函数y= 和y= （k1＜k2）在第一象限的图象，直线AB∥x轴，并分别交两条曲线于A、B两点，若S△AOB=4，则k2﹣k1的值是（ ）A . 1B . 2C . 4D . 818、(2019昆明.中考模拟) 如图所示，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过矩形OABC的对角线AC的中点M，分别与AB，BC交于点D，E，若矩形OABC的面积为8，则k的值为（）A . ﹣2B . ﹣2C . 2D . ﹣219、(2017.中考模拟) 如图，Rt△ABC的顶点B在反比例函数的图象上，AC边在x轴上，已知∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，则图中阴影部分的面积是（）A . 12B . 4C . 12-3D .20、(2019吉林.中考模拟) 如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的对角线OB在y轴正半轴上，点A，C分别在函数y＝（x＞0），y＝（x＜0）的图象上，分别过点A，C作AD⊥x轴于点D，CE⊥x轴于点E，若|k1|：|k2|＝9：4，则AD：CE的值为（ ）A . 2：3B . 3：2C . 4：9D . 9：421、(2019鄂尔多斯.中考模拟) 如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y＝（x＞0）与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BD＝3AD，且△ODE的面积是9，则k＝（）A .B .C .D . 1222、(2020四川.中考模拟) 如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙A切y轴于点B，且点A在反比例函数y= （x＞0）的图象上，连接OA交⊙A于点C，且点C为OA中点，则图中阴影部分的面积为（）A . 4 ﹣B . 4 -C . 2 -D . 2 -23、(2021四川.中考模拟) 如图，在平面直角坐标系中，函数 y = kx 与 y = - 的图象交于 A、B 两点，过 A 作 y 轴的垂线，交函数的图象于点 C，连接 BC，则△ABC 的面积为（）A . 2B . 4C . 6D . 824、(2020石家庄.中考模拟) 如图，点（）是反比例函数上的动点，过分别作轴，轴的垂线，垂足分别为， .随着的增大，四边形的面积（）A . 增大B . 减小C . 不确定D . 不变25、(2021满洲里.中考模拟) 如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，交反比例函数的图象于点C．P为y轴上一点，连接，．则的面积为（）A . 5B . 6C . 11D . 1226、(2020威海.中考真卷) 如图，点，点都在反比例函数的图象上，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为点M，N．连接，，．若四边形的面积记作，的面积记作，则（）A .B .C .D .27、(2020安阳.中考模拟) 如图，直线y=kx（k＞0）与双曲线y=交于A，B两点，BC⊥x轴于C，连接AC交y轴于D，下列结论：①A、B关于原点对称；②△ABC的面积为定值；③D是AC的中点；④S△AOD=．其中正确结论的个数为（ ）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个28、(2021三台.中考模拟) 如图，矩形ABCD的顶点A和对称中心在反比例函数（k≠0，x＞0），若矩形ABCD的面积为10，则k的值为（）A . 10B . 4C . 3D . 5 29。

备考2024年中考数学二轮复习-函数_反比例函数_反比例函数系数k的几何意义反比例函数系数k的几何意义专训单选题：1、(2017盂.中考模拟) 如图，矩形OABC上，点A、C分别在x、y轴上，点B在反比例y= 位于第二象限的图象上，矩形面积为6，则k的值是（）A . 3B . 6C . ﹣6D . ﹣32、(2018舟山.中考真卷) 如图，点C在反比例函数（x＞0）的图象上，过点C的直线与x轴，y轴分别交于点A，B，且AB=BC，△AOB的面积为1，则k的值为（）A . 1B . 2C . 3D . 43、(2017郑州.中考模拟) 如图，四边形AOBC和四边形CDEF都是正方形，边OA在x轴上，边OB在y轴上，点D在边CB上，反比例函数y= 在第二象限的图象经过点E，则正方形AOBC和正方形CDEF的面积之差为（）A . 12B . 10C . 8D . 64、(2019株洲.中考真卷) 如图所示，在直角平面坐标系中，点为反比例函数上不同的三点，连接，过点作轴于点，过点分别作垂直轴于点，与相交于点，记、、四边形的面积分别为、、，则（）A .B .C .D .5、(2018重庆.中考真卷) 如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B在反比例函数（，）的图象上，横坐标分别为1，4，对角线轴．若菱形ABCD的面积为，则k的值为（）A .B .C . 4D . 56、(2016贵州.中考真卷) 如图，点A为反比例函数图象上一点，过A作AB⊥x轴于点B，连接OA，则△ABO的面积为（ ）A . ﹣4B . 4C . ﹣2D . 27、(2019秦安.中考模拟) 如图所示，是反比例函数图象上的两点，过向坐标轴引垂线，垂足分别为，若四边形的面积为，则四边形的面积为（）A .B .C .D .8、(2020临洮.中考模拟) 反比例函数y= (k>0)在第一象限内的图象如图，点M是图象上一点，MP垂直x轴于点P，如果△MOP的面积为1，那么k的值是（）A . 1B . 2C . 4D .9、(2021芜湖.中考模拟) 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点在反比例函数上，顶点在反比例函数上，点在轴的正半轴上，则平行四边形的面积是（）A .B .C . 3D . 510、(2021江都.中考模拟) 如图，的顶点在轴上，横坐标相等的顶点、分别在与图象上，则的面积为（）A .B .C .D .填空题：11、(2016温州.中考真卷) 如图，点A，B在反比例函数y= （k＞0）的图象上，AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足C，D分别在x轴的正、负半轴上，CD=k，已知AB=2AC，E是AB的中点，且△BCE的面积是△ADE的面积的2倍，则k的值是________12、(2017鹰潭.中考模拟) 如图：M为反比例函数图象上一点，MA⊥y轴于A，S△MAO=2时，k=________．13、(2017曹.中考模拟) 如图，反比例函数y= （k≠0）的图象经过A，B两点，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，连接AO，连接BO交AC于点E，若OC=CD，四边形BDCE的面积为2，则k的值为________．14、(2019贵池.中考模拟) 如图，AB是反比例函数y＝在第一象限内的图象上的两点，且A、B两点的横坐标分别是1和3，则S△AOB＝________．15、(2020北京.中考模拟) 如图，点在双曲线上，过点作轴于点，点在线段上且，双曲线经过点，则 ________．16、(2020遵义.中考模拟) 如图，已知双曲线经过矩形OABC边AB的中点F，交BC于点E，且四边形OEBF的面积为2，则k=________.17、(2020湖州.中考真卷) 如图，已知在平面直角坐标系xOy中，Rt△OAB的直角顶点B在x轴的正半轴上，点A在第一象限，反比例函数 (x＞0)的图象经过OA的中点C，交AB于点D，连结CD.若△ACD的面积是2，则k的值是________.18、(2021雁塔.中考模拟) 如图，直线AB分别与反比例函数y＝（k≠0）和y＝的图象交于A点和B点，与y轴交于P点，且P为线段AB的中点，作AC⊥x轴于C点，BD⊥x轴于D点，若四边形ABDC的面积是8，则k的值为.解答题：19、(2018红桥.中考模拟) 如图，已知反比例函数y= （k≠0）的图象经过点A（﹣2，m），过点A作AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为4．（Ⅰ）求k和m的值；（Ⅱ）设C（x，y）是该反比例函数图象上一点，当1≤x≤4时，求函数值y的取值范围．20、(2019.中考模拟) 如图，已知反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点A（﹣2，m），过点A作AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为4.（Ⅰ）求k和m的值；（Ⅱ）设C（x，y）是该反比例函数图象上一点，当1≤x≤4时，求函数值y的取值范围.21、(2017曹.中考模拟) 如图，OA⊥OB，AB⊥x轴于C，点A（，1）在反比例函数y= 的图象上．（1）求反比例函数y= 的表达式；（2）在x轴的负半轴上存在一点P，使S△AOP= S△AOB，求点P的坐标．22、(2017黄冈.中考模拟) 如图，点A为函数图象上一点，连结OA，交函数的图象于点B，点C是x轴上一点，且AO=AC，求△ABC的面积．23、(2017株洲.中考真卷) 如图所示，Rt△PAB的直角顶点P（3，4）在函数y= （x＞0）的图象上，顶点A、B在函数y= （x＞0，0＜t＜k）的图象上，PA∥y轴，连接OP，OA，记△OPA的面积为S△OPA，△PAB的面积为S△PAB，设w=S△OPA﹣S△PAB．①求k的值以及w关于t的表达式；②若用w max和w min分别表示函数w的最大值和最小值，令T=w max+a2﹣a，其中a为实数，求T min．24、(2020呼和浩特.中考模拟) 如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴相交于点M，与y轴相交于点N，Rt△MON的外心为点A（，﹣2），反比例函数y= （x＞0）的图象过点A．（1）求直线l的解析式；（2）在函数y= （x＞0）的图象上取异于点A的一点B，作BC⊥x轴于点C，连接OB交直线l于点P．若△ONP的面积是△OBC面积的3倍，求点P的坐标．25、(2018深圳.中考模拟) 如图，直线y=3x与双曲线y= （k≠0，且x＞0）交于点A，点A的横坐标是1．（1）求点A的坐标及双曲线的解析式；（2）点B是双曲线上一点，且点B的纵坐标是1，连接OB，AB，求△AOB的面积．反比例函数系数k的几何意义答案1.答案：C2.答案：D3.答案：C4.答案：B5.答案：D6.答案：D7.答案：C8.答案：B9.答案：10.答案：11.答案：12.答案：13.答案：14.答案：15.答案：16.答案：17.答案：18.答案：19.答案：20.答案：21.答案：22.答案：23.答案：24.答案：25.答案：。

专题02 反比例函数中k 的几何意义【知识点梳理】1．反比例函数图象中有关图形的面积2．涉及三角形的面积型当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解．（1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S △ABC =2S △ACO =|k |；（2）如图②，已知一次函数与反比例函数y =k x 交于A 、B 两点，且一次函数与x 轴交于点C ，则S △AOB =S △AOC +S △BOC =12OC ⋅|y A |+12OC ⋅|y B |=12OC ⋅(|y A |+|y B |)；（3）如图③，已知反比例函数y =k x 的图象上的两点，其坐标分别为(x A ，y A )，(x B ，y B )，C 为AB 延长线与x 轴的交点，则S △AOB =S △AOC –S △BOC =12OC ⋅|y A |–12OC ⋅|y B |=12OC ⋅(|y A |―|y B |)． 【典例分析】题型1：一点在反比例函数图象上【例1】如图，反比例函数y =k x (k ≠0)的图象上有一点A ，AB 平行于x 轴交y 轴于点B ，△ABO 的面积是3，则反比例函数的解析式是( )A. y =32xB. y =3xC. y =6xD. y =34x【答案】C【解析】解：如图，过点A作AC⊥x轴于点C.则四边形ABOC是矩形，∴S△ABO=S△AOC=3，∴|k|=S矩形ABCO=S△ABO+S△AOC=6，∴k=6或k=―6．又∵函数图象位于第一象限，∴k>0，∴k=6.则反比函数解析式为y=6．x故答案为：C.【练1】如图，P是反比例函数图象在第二象限上的一点，矩形PEOF的面积为5，则反比例函数的表达式是________．【答案】y=―5x(k≠0)，【解析】解：设反比例函数的表达式是y=kx由题意知，S矩形PEOF=|k|=5，所以k=±5，又反比例函数图象在第二象限上，k<0，所以k=―5，即反比例函数的表达式是y=―5．x（x＞0）的图象上，过点A作AD⊥y轴于点D，延长AD至点C，【练2】如图，点A在反比例函数y=kx使AD＝DC，过点A作AB⊥x轴于点B，连接BC交y轴于点E．若△ABC的面积为6，则k的值为 ．【答案】6【解析】解：连接BD ，如图，∵AD ＝DC ，∴S △ADB ＝S △BDC =12S △BAC =12×6＝3，∵AD ⊥y 轴于点D ，AB ⊥x 轴，∴四边形OBAD 为矩形，∴S 矩形OBAD ＝2S △ADB ＝2×3＝6，∴k ＝6．故答案为：6．【练3】如图，在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数y =―8x 在第二象限的图象上有一点A ，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，则S △AOB ＝ ．【答案】4【解析】解：设点A 的坐标为（a ，―8a ），∵反比例函数y =―4x 在第二象限的图象上有一点A ，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，∴S △AOB =a⋅(8a )2=4，故答案为：4．题型2：两点在反比例函数图象上【例2】如图，双曲线y=kx与△OAB交于点A，C，已知A，B，C三点横坐标的比为5：5：2，且S△OAB＝21，则k＝ ．【答案】8【解析】解：如图，过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CD⊥x轴于点D，∵A，B，C三点横坐标的比为5：5：2，∴设A、B的横坐标为5a，则C点的横坐标为2a，∵S△OAB＝21，∴12AB⋅5a=21，∴AB=42 5a，∵双曲线y=kx与△OAB交于点A，C，∴CD=k2a，AE=k5a，OD＝2a，OE＝5a，∴BE=k42 5a，∵CD∥BE，∴△OCD∽△OBE，∴CDBE=ODOE，k5a 2a 5a，解得，k＝8，故答案为：8．【练1】如图，矩形ABCD的顶点A和对称中心在反比例函数y=kx（k≠0，x＞0）的图象上，若矩形ABCD 的面积为12，则k的值为（ ）A．6B．C．D．12【答案】A【解析】设A（m，km），∴AB=km，∵矩形的面积为12，∴BC=12km=12mk，∴矩形对称中心的坐标为：（m+12×12mk，12×km），即（m+6mk，k2m）∵对称中心在y=kx的图象上，∴k2m =km6mk，∴mk﹣6m＝0，∴m（k﹣6）＝0，∴m＝0（不符合题意，舍去）或k＝6，故选：A．【练2】如图，点A、B在反比例函数y=kx的图象上，过点A、B作x轴的垂线，垂足分别是M、N，射线AB交x轴于点C，若OM＝MN＝NC，四边形AMNB的面积是3，则k的值为（ ）A．-2B．-4C．2D．4【答案】B【解析】解：∵点A、B在反比例函数y的图象上，∴S△AOM=12|k|，∵OM＝MN＝NC，∴AM＝2BN，∴S△AOM=13S△AOC，S△ACM＝4S△BCN，S△ACM＝2S△AOM，∵四边形AMNB的面积是3，∴S△BCN＝1，∴S△AOM＝2，∴|k|＝4，∵反比例函数y=kx的图象在第二四象限，∴k＝﹣4，故答案为：B．【练3】如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的两边OA，OC落在坐标轴上，反比例函数y=kx的图象分别交BC，OB于点D，点E，且BDCD =54，若S△AOE＝24，则k的值为 ．【答案】-16【解析】解：设点B的坐标为（a，b），则点D的坐标为（kb，b），点A的坐标为（a，0），∴BD=kb ―a，BC＝﹣a，CD=―kb，AB＝b，∵BDCD =54，∴4×（kb ―a）＝5×（―kb），∴ab=94k，设点E坐标为（m，n），∵S △AOE ＝12，即―12an ＝12，∴n =―24a，∵点E 在反比例函数y =k x 上，∴E （―ak 24，―24a），∵S △AOE ＝S 矩形OABC ﹣S △OBC ﹣S △ABE ＝﹣ab ―12（﹣ab ）―12b （―ak 24―a ）＝12，∴abk ＝576，把abk ＝576代入ab =94k 得，94k 2＝576，即k 2＝162，解得k ＝±16，由图象可知，k ＜0，∴k ＝﹣16．故答案为：-16【练4※】如图，过原点的直线与反比例函数y =k x (k >0)的图象交于A ，B 两点，点A 在第一象限点C 在x 轴正半轴上，连结AC 交反比例函数图象于点D .AE 为∠BAC 的平分线，过点B 作AE 的垂线，垂足为E ，连结DE .若AC =3DC ，ΔADE 的面积为8，则k 的值为________.【答案】6【解析】解：连接OE ，CE ，过点A 作AF ⊥x 轴，过点D 作DH ⊥x 轴，过点D 作DG ⊥AF ，∵过原点的直线与反比例函数y=k x （k ＞0）的图象交于A ，B 两点，∴A 与B 关于原点对称，∴O 是AB 的中点，∵BE ⊥AE ，∴OE=OA ，∴∠OAE=∠AEO ，∵AE 为∠BAC 的平分线，∴∠DAE=∠AEO ，∴AD ∥OE ，∴S △ACE =S △AOC ，∵AC=3DC ，△ADE 的面积为8，∴S △ACE =S △AOC =12，设点A （m ，k m ），∵AC=3DC ，DH ∥AF ，∴3DH=AF ，∴D （3m ，k 3m ），∵CH ∥GD ，AG ∥DH ，∴△DHC ∽△AGD ，∴S △HDC =14S △ADG ，∵S △AOC =S △AOF +S 梯形AFHD +S △HDC=12k +12×(DH +AF)×FH +S ΔHDC=12k +12×4k 3m ×2m +12×14×2k 3m ×2m=12k +4k 3+k 6=12，∴2k=12，∴k=6；故答案为：6.【例4】如图，在平面直角坐标系中，△OAB 的顶点A 在x 轴正半轴上，OC 是△OAB 的中线，点B 、C 在反比例函数y =2x （x ＞0）的图象上，则△OAB 的面积等于 ．【答案】3【解答】解：如图，过点B 、点C 作x 轴的垂线，垂足为D ，E ，则BD ∥CE ，∴CE BD =AE AD =AC AB ，∵OC 是△OAB 的中线，∴CE BD =AE AD =AC AB =12，设CE ＝m ，则BD ＝2m ，∴C 的横坐标为 2m ，B 的横坐标为1m ，∴OD =1m ，OE =2m ，∴DE ＝OE ﹣OD =1m ，∴AE ＝DE =1m ，∴OA ＝OE +AE =3m ，∴S △OAB =12OA •BD =12×3m ×2m ＝3．故答案为：3．【练1】如图，Rt △AOB 的一条直角边OB 在x 轴上，双曲线y =k x (x ＞0)经过斜边OA 的中点C ，与另一直角边交于点D ．若S △OCD ＝9，则S △OBD 的值为 ．【答案】6【解析】解：如图，过C点作CE⊥x轴，垂足为E．∵Rt△OAB中，∠OBA＝90°，∴CE∥AB，∵C为Rt△OAB斜边OA的中点C，∴CE为Rt△OAB的中位线，∵△OEC∽△OBA，∴OCOA =12．∵双曲线的解析式是y=kx，即xy＝k∴S△BOD＝S△COE=12|k|，∴S△AOB＝4S△COE＝2|k|，由S△AOB﹣S△BOD＝S△AOD＝2S△DOC＝18，得2k―12k＝18，k＝12，S△BOD＝S△COE=12k＝6，故答案为：6．【练2】在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点A(x,y)，我们把点A的“倒数点”．如图，矩形OCDE的顶点C为(3,0)，顶点E在y轴上，函数y=2x(x>0)的图象与DE交于点A．若点B是点A 的“倒数点”，且点B 在矩形OCDE 的一边上，则△OBC 的面积为_________．【答案】14或32【解析】解：根据题意，∵点A (x,y )的“倒数点”，∴x ≠0，y ≠0，∴点B 不可能在坐标轴上；∵点A 在函数y =2x (x >0)的图像上，设点A 为(x,2x )，则点B 为(1x ,x 2)，∵点C 为(3,0)，∴OC =3，①当点B 在边DE 上时；点A 与点B 都在边DE 上，∴点A 与点B 的纵坐标相同，即2x =x 2，解得：x=2，经检验，x=2是原分式方程的解；∴点B 为（12，1），∴△OBC 的面积为：S =12×3×1=32；②当点B 在边CD 上时；点B 与点C 的横坐标相同，∴1x =3，解得：x =13，经检验，x =13是原分式方程的解；∴点B 为(3,16)，∴△OBC 的面积为：S =12×3×16=14；故答案为：14或32．题型3：两个反比例函数综合问题【例5※】如图，经过原点O 的直线与反比例函数y ＝a x （a ＞0）的图象交于A ，D 两点（点A 在第一象限），点B ，C ，E 在反比例函数y ＝b x （b ＜0）的图象上，AB ∥y 轴，AE ∥CD ∥x 轴，五边形ABCDE 的面积为56，四边形ABCD 的面积为32，则a ﹣b 的值为__，b a 的值为__．【答案】24；﹣13【解析】解：如图，连接AC ，OE ，OC ，OB ，延长AB 交DC 的延长线于T ，设AB 交x 轴于K ．由题意A ，D 关于原点对称，∴A ，D 的纵坐标的绝对值相等，∵AE ∥CD ，∴E ，C 的纵坐标的绝对值相等，∵E ，C 在反比例函数y ＝b x 的图象上，∴E ，C 关于原点对称，∴E ，O ，C 共线，∵OE ＝OC ，OA ＝OD ，∴四边形ACDE 是平行四边形，∴S △ADE ＝S △ADC ＝S 五边形ABCDE ﹣S 四边形ABCD ＝56﹣32＝24，∴S △AOE ＝S △DEO ＝12，∴12a ﹣12b ＝12，∴a ﹣b ＝24，∵S △AOC ＝S △AOB ＝12，∴BC ∥AD ，∴BC AD ＝TB TA ，∵S △ACB ＝32﹣24＝8，∴S △ADC ：S △ABC ＝24：8＝1：3，∴BC ：AD ＝1：3，∴TB ：TA ＝1：3，设BT ＝a ，则AT ＝3a ，AK ＝TK ＝1.5k ，BK ＝0.5k ，∴AK ：BK ＝3：1，∴S △AOK S △BKO ＝1212a b -＝13，∴a b ＝﹣13．故答案为24，﹣13．【练1】如图，直线l ⊥x 轴于点P ，且与反比例函数y 1=k 1x （x ＞0）及y 2=k 2x （x ＞0）的图象分别交于点A ，B ，连接OA ，OB ，已知△OAB 的面积为3，则k 1﹣k 2＝ ．【答案】6【解析】解：∵反比例函数y 1=k 1x （x ＞0）及y 2=k 2x （x ＞0）的图象均在第一象限内，∴k 1＞0，k 2＞0．∵AP ⊥x轴，∴S △OAP =12k 1，S △OBP =12k 2．∴S △OAB ＝S △OAP ﹣S △OBP =12（k 1﹣k 2）＝3，解得：k 1﹣k 2＝6．故答案为：6【练2】双曲线C 1：y =k 1x 和C 2：y =k 2x 如图所示，点A 是C 1上一点，分别过点A 作AB ⊥x 轴，AC ⊥y 轴，垂足分别为点B 、点C ，AB ，AC 与C 2分别交于点D 、点E ，若四边形ADOE 的面积为4，则k 1﹣k 2＝ ．【答案】-4【解析】解：∵D ，E 在反比例函数y =k 2x 的图象上，且图象在第二象限，∴S △OBD =12OB •BD =―12k 2，S △OCE =12OC •CE =―12k 2，∵A 在反比例函数y =k 1x 的图象上，且图象在第二象限，∴S 矩形ABOC ＝OB •OC ＝﹣k 1∴k 1﹣k 2＝﹣[﹣k 1﹣（﹣k 2）]＝﹣（S 矩形ABOC ﹣S △OBD ﹣S △OCE ）＝﹣S 四边形ADOE ＝﹣4，故答案为：﹣4．【练3】如图，点A 是第一象限内双曲线y =m x （m ＞0）上一点，过点A 作AB ∥x 轴，交双曲线y =n x （n ＜0）于点B ，作AC ∥y 轴，交双曲线y =n x （n ＜0）于点C ，连接BC ．若△ABC 的面积为92，则m ，n 的值不可能是（ ）A ．m =19，n =―109B ．m =14，n =―54C ．m ＝1，n ＝﹣2D ．m ＝4，n ＝﹣2【答案】A【解析】解：设点A 的坐标为（a ，m a ），∵AB ∥x 轴，AC ∥y 轴，∴点B 的纵坐标为m a ，点C 的横坐标为a ，将y =m a 代入反比例函数y =n x 得，x =an m ，∴B （an m ，m a ），∴AB ＝a ―an m ，将x ＝a 代入反比例函数y =n x 得，y =n a ，∴C （a ，n a ），∴AC =m n a ，∵S △ABC =12AB •AC =12（a ―an m ）×m n a =(m n )22m =92，即（m ﹣n ）2＝9m ，当m =19，n =―109时，不满足（m ﹣n ）2＝9m ，因此选项A 符合题意；当m =14，n =―54时，当m ＝1，n ＝﹣2时，当m ＝4，n ＝﹣2时，均满足（m ﹣n ）2＝9m ，因此选项B 、C 、D 均不符合题意；故选：A ．。

抢分秘籍08反比例函数和几何图形综合问题（压轴通关）目录【中考预测】预测考向，总结常考点及应对的策略【误区点拨】点拨常见的易错点【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略（含新考法、新情境等）反比例函数和几何图形综合题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。

每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。

1．从考点频率看，反比例函数中的K 值和三角形、平行四边形、特殊的平行四边形的综合是考查的重点，也是高频考点、必考点。

2．从题型角度看，以解答题的第五题或第六题为主，分值8分左右，着实不少！题型一反比例函数与三角形的综合问题【例1】（2024·安徽合肥·一模）如图，在平面直角坐标系中，OAB 是边长为4的等边三角形，反比例函数(0)ky k x=>的图象经过边OA 的中点C ．（1）k =．（2）若反比例函数ky x=的图象与边AB 交于点D ，则tan DOB ∠=．本题考查了求反比例函数的解析式，反比例函数与一次函数交点的求解，以及锐角三角函数的应用，正确添加辅助线是解题的关键．【例2】（2024·河南·一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，()6,0A ，()2,2B ，反比例函数()0ky x x=>的图象经过点B ．(1)求反比例函数的表达式．(2)将OAB 绕点B 逆时针旋转得到O A B ''△，点O '恰好落在OA 上，请求出图中阴影部分的面积．1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数(0)k y x x=>的图象和ABC 都在第一象限内，5,AB AC BC x ==∥轴，且8BC =，点A 的坐标为()6,10．(1)若反比例函数(0)k y x x=>的图象经过点B ，求此反比例函数的解析式；(2)若将ABC 向下平移(0)m m >个单位长度，,A C 两点的对应点恰好同时落在反比例函数(0)k y x x=>图象上，求m 的值．2.（2023·江苏盐城·一模）如图，在Rt ABC 中，8AC =，4BC =，AC x ⊥轴，垂足为C ，AB 边与y 轴交于点D ，反比例函数()0ky x x=>，的图象经过点A ．(1)若14BD AB =，求直线AB 和反比例函数的表达式；(2)若8k =，将AB 边沿AC 边所在直线翻折，交反比例函数的图象于点E ，交x 轴于点F ，求点E 的坐标．题型二反比例函数与平行四边形的综合问题【例1】（新考法，拓视野）（2023·江西萍乡·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，ABC 的边AB 在y 轴上，AC x ∥轴，点C 的坐标为()4,6,3AB =，将ABC 向下方平移，得到DEF ，且点A 的对应点D 落在反比例函数()0ky x x=>的图象上，点B 的对应点E 落在x 轴上，连接,OD ∥OD BC ．(1)求证：四边形ODFE 为平行四边形；(2)求反比例函数(0)k y x x=>的表达式；(3)求ABC 平移的距离及线段BC 扫过的面积．本题是反比例函数的综合题，考查了平移的性质、平行四边形的判定与性质、平行线的性质、反比例函数系数k 的几何意义、勾股定理以及三角形的面积，解题的关键是：1（）由平移的性质及平行线的性质，找出DF OE ∥及OD EF ∥；（2）利用平移的性质及平行四边形的性质，找出点D 的坐标；（3）利用勾股定理及平行四边形的性质，求出BE 的长及平行四边形BCFE 的面积．【例2】（2024·山东济南·一模）如图，一次函数112y x =-+的图象与反比例函数()0k y x x =<的图象交于点(),2P a ，与y 轴交于点Q ．(1)求a 、k 的值；(2)直线AB 过点P ，与反比例函数图象交于点A ，与x 轴交于点B ，AP PB =，连接AQ ．①求APQ △的面积；②点M 在反比例函数的图象上，点N 在x 轴上，若以点M 、N 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点M 坐标．1．（2024·河南鹤壁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是平行四边形，反比例函数()0ky x x=>的图象经过点A 和BC 的中点D ，6AB =，四边形OABC 的面积是48．(1)求点A ，D 的坐标及反比例函数的表达式；(2)若点M 是四边形OABC 内部反比例函数()0ky x x=>图象上一动点(不含边界)，当直线y x m =+经过点M 时，请直接写出m 的取值范围．2．（2024·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2y x=与直线2y x =交于点A 、点B ，点C 为双曲线上点A 右侧的一点，过点B 作BD AC ∥，交y 轴于点D ，连接BC CD 、．(1)如图1，求点A 、B 的坐标；(2)如图2，若四边形ABDC 是平行四边形，求BD 长；(3)如图1，当四边形ABDC 的面积为4时，求直线AC 的解析式．3．（2024·四川成都·一模）如图，一次函数133y x =+的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，与反比例函数2ky x=交于两点(6)E m ，和F ．且点()3C n ，在反比例函数图象上．(1)求反比例函数的解析式以及点F 的坐标；(2)点P 在反比例函数第一象限的图象上，连接CE ，CF 和CP ，若415ECP ECF S S =V V ，求点P 的横坐标；(3)点M 在x 轴上运动，点N 在反比例函数2ky x=的图象上运动，以点E ，F ，M 和N 为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点M 的坐标．题型三反比例函数与矩形的综合问题【例1】（2024·贵州·一模）如图，在矩形ABOC 中，46AB AC ==，，D 是边AB 的中点，反比例函数()10ky x x=<的图象经过点D ，交边AC 于点E ，直线DE 的表达式为：()20y mx n m =+≠(1)求反比例函数的表达式和直线DE 的表达式；(2)根据图象直接写出当12y y >时，x 的取值范围．本题主要考查了反比例函数与一次函数综合：先由矩形的性质，利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而求出点E 的坐标，再利用待定系数法求出一次函数解析式即可；根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量的取值范围即可得到答案．【例2】（2023·贵州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，反比例函数()0ky x x=>的图象分别与,AB BC 交于点()4,1D 和点E ，且点D 为AB 的中点．(1)求反比例函数的表达式和点E 的坐标；(2)若一次函数y x m =+与反比例函数()0ky x x=>的图象相交于点M ，当点M 在反比例函数图象上,D E 之间的部分时（点M 可与点,D E 重合），直接写出m 的取值范围．1．（2024·辽宁丹东·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数()0y kx k =>与反比例函数3y x=的图象分别交于A 、C 两点，已知点B 与点D 关于坐标原点O 成中心对称，且点B 的坐标为()0m ，．其中0m >．(1)四边形ABCD 是____．(填写四边形ABCD 的形状)(2)当点A 的坐标为()3n ，时，四边形ABCD 是矩形，求mn 的值．(3)试探究：随着k 与m 的变化，四边形ABCD 能不能成为菱形？若能，请直接写出k 的值；若不能，请说明理由．2．如图1，矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上，反比例函数ky x=（0,0k x ≠>）在第一象限内的图象经过点D 、E ，(1)点F 为对角线OB 上一点，满足2OF BF =，点()6,E m 在边BC 上，且1tan 2BOC ∠=，求反比例函数解析式；(2)在（1）的条件下，反比例函数上是否存在点Q ，满足:2:1OBC OBQ S S = ，若存在，求点Q 的横坐标；(3)我们把有一个内角为45︒的三角形称为“美好三角形”，这个45︒的内角称为“美好角”，这个角的两边称为“美好边”，如图2，若点B 的坐标为()2,1，则当ODE 为“美好三角形”时，直接写出反比例函数表达式中k 的值．题型四反比例函数与菱形的综合问题【例1】（2024·河南信阳·一模）如图，菱形OABC 的边OA 在x 轴上，且()2,0A ，(B ，点C 在反比例函数ky x=的图象上．(1)求反比例函数ky x=的表达式；(2)当菱形OABC 绕点O 逆时针旋转150︒时，判断点C 的对应点C '是否在ky x=的图象上；并直接写出CC '所在的直线解析式．题目主要考查反比例函数与特殊四边形的性质，解三角形的应用，旋转的性质等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键.【例2】（2024·河南安阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的边OA 在x 轴上，点B 的坐标为(6,，点C 在反比例函数的图象上，以点O 为圆心，OC 长为半径画 AC ．(1)求反比例函数的表达式；(2)阴影部分的面积为______．（用含π的式子表示）1．（2024·河南开封·一模）如图，ABC 的顶点坐标分别为(A ，()1,0B ，(C ，反比例函数()0ky x x=>的图象经过点C ．(1)求k 的值．(2)点D 在反比例函数()0ky x x=>的图象上，且BD AC ⊥于点E ，DE BE =，请说明四边形ABCD 是菱形．(3)是否存在除点D 外可与A ，B ，C 三点共同组成菱形的点P ？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2024·河南周口·一模）如图，在平面直角坐标系中，扇形AOB 上的点()1,3A 在反比例函数ky x=的图象上，点()3,1B -在第四象限，菱形OCDE 的顶点D 在x 轴的负半轴上，顶点E 在反比例函数ky x=的图象上．(1)k 的值为；(2)求AOB ∠的度数；(3)请直接写出图中阴影部分面积之和．3．（2023·河南新乡·一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 为反比例函数k y x =图象上一点，AB y ⊥轴于点B ，且8AOB S =△，点M 为反比例函数k y x=图象上第四象限内一动点，过点M 作MC x ⊥轴于点C ，取x 轴上一点D ，使得OD OC =，连接DM 交y 轴于点E ，点F 是点E 关于直线MC 的对称点．(1)求反比例函数的表达式；(2)试判断点F 是否在反比例函数k y x=的图象上，并说明四边形EMFC 的形状．题型五反比例函数与正方形形的综合问题【例1】（新考法，拓视野）（2024·河南商丘·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点B 与原点重合，点A ，C 分别在y 轴正半轴和x 轴正半轴上，将正方形ABCD 沿x 轴正方向平移4个单位长度后得到正方形A B C D ''''，已知正方形ABCD 的边长为2，E 为A B ''的中点，反比例函数()0k y x x=>的图象恰好经过点E ．(1)求反比例函数的表达式．(2)若反比例函数()0k y x x=>的图象与正方形A B C D ''''的边C D ''交于点F ，连接D E '，EF ，求D EF ' 的面积．(3)连接C D '，判断点E 是否在线段C D '上，并说明理由．本题考查了正方形的性质，平移的性质，反比例函数的图象与性质，待定系数法求反比例函数表达式及一次函数表达式．【例2】（2024·河北石家庄·一模）如图，已知平面直角坐标系中有一个22⨯的正方形网格，网格的横线、纵线分别与x 轴、y 轴平行，每个小正方形的边长为1．点N 的坐标为(3,3)．（1）点M 的坐标为．（2）若双曲线:(0)k L y x x =>与正方形网格线有两个交点，则满足条件的正整数k 的值有个．1．（2024·山东济南·二模）如图①，已知点(1,0)A -，(0,2)B -，ABCD Y 的边AD 与y 轴交于点E ，且E 为AD 的中点，双曲线k y x=经过C 、D 两点．(1)求k的值；(2)点P在双曲线kyx=上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点Q的坐标；(3)以线段AB为对角线作正方形AFBH（如图③)，点T是边AF上一动点，M是HT的中点，MN HT⊥，交AB于N，当点T在AF上运动时，MNHT的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围：若不改变，请求出其值，并给出你的证明．。