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反比例函数中k的几何意义的应用
k在反比例函数中具有重要的几何意义，以下列举一些它的应用。
1. 直线反比例函数：k反映直线斜率的倒数，即斜率m=-k。
当给定直
线k值时，由定点和k值可以求出斜率m，从而可以绘制出这条直线。
2. 圆反比例函数：k反映圆半径r的倒数，即r=1/k。
当给定圆k值时，由定点和k值可以求出圆半径，从而可以绘制出这个圆。
3. 抛物线反比例函数：k反映抛物线的开口方向，当k > 0时，抛物线
向右开口；当k < 0时，抛物线向左开口。
4. 双曲线反比例函数：k反映双曲线的开口方向，当k＞0时，双曲线
开口向右；当k＜0时，双曲线开口向左。
5. 其他函数反比例函数：k可以反映此类函数中曲线的凹凸，当k > 0时，曲线是凹曲线；当k < 0时，曲线是凸曲线。
总之，k在反比例函数中应用广泛，几乎所有的函数都可以用反比例函
数表示。
它的几何意义非常重要，不仅仅可以根据k值绘制出各种曲线，而且可以了解曲线的开口方向以及凹凸方向。
因此，k在反比例函
数绘制中发挥着重要的作用。
反比例函数中K的几何意义
在反比例函数中，K表示比例系数或常数，也被称为反比例常数。
它
是用来确定两个变量之间反比关系的重要参数。
反比例函数的一般形式为：y=K/x，其中K表示比例系数。
K的几何意义可以通过分析反比例函数的图像得出。
反比例函数的图
像是一个双曲线，特点是曲线趋向于两个坐标轴。
下面将详细讨论K的几
何意义。
1.K的符号对于曲线的位置以及开口方向具有重要影响。
如果K为正数，那么曲线将位于第一和第三象限，并且开口方向为右上和左下。
如果
K为负数，那么曲线将位于第二和第四象限，并且开口方向为左上和右下。
2.K的绝对值越大，曲线就越“陡峭”。
当K增大时，曲线将更加接
近于坐标轴，并且在原点附近的斜率会越来越大。
反之，当K变小时，曲
线将更加平缓，斜率将减小。
3.K决定了特定坐标点的函数值。
例如，在函数y=K/x中，当x为K 时，y的值将为1、这是因为x与y成反比关系，而K是这种关系的常数。
4.K还决定了曲线相对于坐标轴的位置。
具体而言，当K增大时，曲
线将向坐标轴移动，而当K减小时，曲线将远离坐标轴。
总之，K代表了反比例函数中的比例系数或常数，它对于函数的位置、开口方向、陡峭程度以及特定坐标点的函数值都具有重要影响。
通过对K
的分析，我们可以更好地理解和解释反比例函数的几何特征。
反比例函数比例系数k 的几何意义知识梳理：如图所示，过双曲线)0(k≠=k xy 上任一点),(y x P 作x 轴、y 轴的垂线PM 、PN,垂足为M 、N ，所得矩形PMON 的面积S=PM •PN=|y|•|x|.,y xk=∴||k S k xy ==，。
反比例函数图像上任意一点“对应的直角三角形的面积”S=21│k │ 反比例函数图像上任意一点“对应的矩形的面积”S=│k │这就说明，过双曲线上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得到的矩形的面积为常数|k|。
这是系数k 几何意义,明确了k 的几何意义，会给解题带来许多方便。
典例精析专题一 K 值与面积直接应用 例1：已知如图，A 是反比例函数ky x=的图象上的一点，AB 丄x 轴于点B ，且△ABO 的面积是3，则k 的值是（ ）A 、3B 、﹣3C 、6D 、﹣6变式练习1：如图，点P 是反比例函数6y x=图象上的一点，则矩形PEOF 的面积是 ．变式练习2： 如图：点A 在双曲线 ky x=上，AB 丄x 轴于B ，且△AOB 的面积S △AOB =2，则k= ．变式练习3：如图，A 是反比例函数图象上一点，过点A 作AB ⊥y 轴于点B ，点P 在x 轴上:△ABP的面积为2，则这个反比例函数的解析式为______________．OABxy:变式练习4：如图反比例函数4y x=-的图象与直线13y x =-的交点为A ，B ，过点A 作y 轴的平行线与过点B 作x 轴的平行线相交于点C ，则ABC △的面积为（ ） A ．8 B ．6C ．4D ．2B 为双曲线x12-y =上的点，AD ⊥x 轴于D,BC ⊥y 轴于点C ，则四边形ABCD 的面积为 。
例2：如图1所示，直线l 与双曲线)0(ky >=k x交A 、B 两点，P 是AB 上的点，试比较⊿AOC 的面积S 1，⊿BOD 的面积S 2，⊿POE 的面积S 3的大小： 。
在反比例函数中，k代表常数。
它在几何上表示函数图像与坐标轴的关系，具体解题技巧如下：
求解比例关系：在已知的反比例函数中，通过给定的函数表达式或已知的点，可以建立函数的比例关系。
使用这些已知信息，可以得出k 的值。
图像特征分析：观察反比例函数的图像特征，特别是与坐标轴的关系。
在反比例函数中，k 的值可以表示函数图像与坐标轴之间的比例关系。
当k > 0 时，函数图像与坐标轴之间存在正比例关系。
函数图像可能与x 轴正向逼近，与y 轴正向逼近，或同时逼近两个轴。
当k < 0 时，函数图像与坐标轴之间存在反比例关系。
函数图像可能与x 轴正向逼近，与y 轴负向逼近，或同时逼近两个轴。
当k = 0 时，函数图像与x 轴平行或与y 轴平行，即函数图像不存在与坐标轴的交点。
推测几何意义：根据反比例函数的性质，可以推测k 的几何意义。
当k > 0 时，k 可以表示函数图像与坐标轴之间的比例系数。
它可以表示函数图像在与x 轴或y 轴的交点处的斜率。
当k < 0 时，k 的绝对值可以表示函数图像与坐标轴之间的反比例系数。
它可以表示函数图像在与x 轴或y 轴的交点处的斜率的相反数。
需要注意的是，以上是一般性的解题技巧，具体问题可能需要结合具体的题目和函数表达式进行分析和求解。
同时，绘制函数图像可以帮助更好地理解和观察几何意义。
19.6反比例函数中比例系数k的几何意义一、复习旧知：1.反比例函数的表达式有______种形式，分别是_________________________.2.反比例函数的图象是_______________.3.反比例函数的图象性质是:_____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ 二、创设情境---自主探究1.已知：如图1，∠AED=∠B ，AD=y ，AE=2，AB=x ，AC=6，写出y 与x 的函数关系式.2.已知：如图2，在△ABC 中，∠C=90°，BC=x ，AC=y ，S △ABC =6，则y 与x 的函数 表达式为：________________.3.已知：如图3，在矩形ACBH 中，BC=x ，AC=y ，S 矩形ACBH =12，则y 与x 的函数 表达式为：4观察2题和3题中图形面积与函数表达式中的k 值有怎样的关系.三、学习新知---合作探究已知点A （-6,2）、B （3，m ）是反比例函数图象上的两点，根据要求完成下列问题： 1.反比例函数的表达式：________________________; 点B 坐标__________. 2.在平面直角坐标系中画出函数图象.图1图2图33.过点A 分别向x 轴和y 轴作垂线，垂足为点C 和点H ，连接AO （1）则S △AOC =_________. （2）则S 矩形ACOH =__________.4. 过点B 分别向x 轴和y 轴作垂线，垂足为点E 和点F ，连接BO （1）则S △BOF =__________. （2）则S 矩形BEOF =___________.5.观察问题3和问题4的结果有怎样的关系，它们的结果与反比例函数解析式中的k 又有怎样的关系？小结：如图，在反比例函数xky =（k ≠0）上任意一点P(x,y)，过这一点分别作x 轴和y 轴的垂线PM 、PN ，连接OP ，则S △POM =___________ ； S 矩形PMON =___________.四、学以致用—自主练习1.已知：反比例函数图象上一点A ，过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，作AB ⊥y 轴于 点B ，连接AO.（1）若点A （2,3），则反比例解析式k=_____; S △AOC =____； S 矩形ABOC =_____.（2）若S △AOC =4，且反比例函数图象在一、三象限内，则反比例函数表达式：__________ （3）若S 矩形ABOC =5，则反比例函数表达式：______________________________________ 2.计算与双曲线xky =（k ≠0）上的点有关的图形面积.。
反比例函数针对训练
基础训练
一．填空题
1．已知反比例函数x
k
y =
的图象经过点(3，2-)，则函数解析式为_________，x ＞0时，y 随x 的增大而_________；
2．反比例函数x
y 6
=
的图象在第_________象限. 3．直线x y 2=与双曲线x
y 1
=的交点为_________；
4．如图1，正比例函数)0(>=k kx y 与反比例函数x
y 1
=
的图象相交于 A 、C 两点，过A 作x 轴的垂线交x 轴于B ，连结BC ，则△ABC 的面积S =_________. 二．选择题
5．在双曲线x y 2
-=上的点是 （ ） （A ） (34-，23-) （B ） (34-，2
3) （C ） (1，2) （D ） (21
，1）
6．反比例函数4
22
)1(---=m m
x m y ，当x ＜0时，y 随x 的增大而增大，则m 的值是（ ）
（A ） 1- （B ） 3 （C ） 1-或3 （D ） 2
7．如图2所示，A 、B 是函数x
y 1
-=
的图象上关于原点O 对称 的任意两点，AC ∥x 轴，BC ∥y 轴，△ABC 的面积为S ，则 （ ） （A ） S =1 （B ） S =2
（C ） 1＜S ＜2
（D ） S ＜2
8．已知反比例函数x
m
y 21-=
的图象上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，当x 1＜0＜x 2时，有y 1＜y 2，则m 的取值范围是 （ ） （A ） m ＞0
（B ） m ＞
2
1 （C ） m ＜0 （D ） m ＜
2
1 9．若(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)都是x
y 5
-=的图象上的点，且x 1＜0＜x 2＜x 3.则下列各式准确的是 （ ）
（A ） y 1＞y 2＞y 3 （B ） y 1＜y 2＜y 3 （C ） y 2＞y 1＞y 3 （D ） y 2＜y 3＜y 1
10．双曲线x
y 21
-
=y 经过点(3-，y )，则y 等于 （ ） （A ） 61
（B ） 6
1- （C ） 6 （D ） 6-
11．当梯形上、下底之和一定时，梯形的面积与梯形的高的函数关系是（）
（A
）正比例函数（B）反比例函数（C）二次函数（D）都不是12．如果反比例函数
x
k
y=的图象经过(2
-，1)，那么直线1
2-
=x
k
y上的一个点是（）
（A）(0，1) （B）(
2
1
，0) （C）(1，－1) （D）(3，7)
13．面积为2的△ABC，一边长x，这边上的高为y，则y与x的变化规律用图象表示大致是（）
反比例函数y= k/x (k≠0)中比例系数k的几何意义，即过双曲线y=k/x (k≠0)上任意一点引x轴、y轴垂线,所得矩形面积为│k│
1、如图，反比例函数4
y
x
=-的图象与直线
1
3
y x
=-的交点为A，B，过点A作y轴的平行线与过点B作x轴的平行线相交于点C，则ABC
△的面积为（）
6
B是反比例函数y＝
2
x(x＞0)图象上的一个动点，当点B的纵坐标逐渐减小时，△OAB的面积将（）
A．逐渐增大B．逐渐减小C．不变D．先增大后减小
3、如图12，A、B是函数2
y
x
=的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥
x轴，AC∥y轴，△ABC的面积记为S，则（）
第3题
D
B A
y
x
O C
A ． 2S =
B ． 4S =
C ．24S <<
D ．4S >
4、如图，已知双曲线)0k (x
k y ＞=经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于点C ．若△OBC 的面积为3，则k ＝____________．
5、如图5所示，P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2），……P n （x n ，y n ）在函数y=
x
9
（x ＞0）的图象上，△OP 1A 1，△P 2A 1A 2，△P 3A 2A 3……△P n A n －1A n ……都是等腰直角三角形，斜边OA 1，A 1A 2……A n-1A n ，都在x 轴上，则y 1+y 2+…y n = 。
6、如图，已知点A 、B 在双曲线x k y =（x ＞0）上，AC ⊥x 轴于点C ，BD ⊥y 轴于点D ，AC
与BD 交于点P ，P 是AC 的中点，若△ABP 的面积为3，则k ＝ ． 7、如图，在第一象限内,点P （2，3）,M ()2,a 是双曲线)0(≠=
k x
k
y 上的两点,PA ⊥x 轴于点A,MB ⊥x 轴于点B,PA 与OM 交于点C,则△OAC 的面积为 8、如图，若正方形OABC 的顶点B 和正方形ADEF 的顶点E 都在函数 1
y x
=（0x >）的图象上，则点E 的坐标是（ ， ）.
9、如图，点A 、B 是双曲线3y x
=上的点，分别经过A 、B 两点向x 轴、y 轴作垂线段，
若1S =阴影，则12S S += ． 10、如图，已知双曲线(0)k
y k x
=
<经过直角三角形OAB 斜边OA 的中点D ，且与直角边AB 相交于点C ．若点A 的坐标为（6-，4），则△AOC 的面积为 （ ） A ．12 B ．9 C ．6 D ．4
11、如图，A 是反比例函数图象上一点，过点A 作AB ⊥y 轴于点B ，点P 在x 轴上，△ABP
的面积为2，则这个反比例函数的解析式为______________．
第5题图
y
x
O
A
B
P C
D
第6题图
第8题图
x
y
A
B
O
1
S 2
S 9题图。
