1.3.2杨辉三角与二项式的性质

1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质1．杨辉三角的特点(1)在同一行中每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等．(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即C rn ＋1＝C r －1n ＋C rn2．二项式系数的性质题型一、二项式系数与二项展开式中项的系数的区别例1、已知(x 23＋3x 2)n 的展开式中，各项系数和与它的二项式系数和的比为32. (1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项． [解析] 令x ＝1得，展开式中各项系数和为(1＋3)n ＝22n . 又展开式中二项式系数和为2n ，∴22n2n＝32，n ＝5. (1)∵n ＝5，展开式共6项，∴二项式系数最大的项为第三、四两项，∴T 3＝C 25(x 23 )3(3x 2)2＝90x 6，T 4＝C 35(x 23 )2(3x 2)3＝270x 223 . (2)设展开式中第k ＋1项的系数最大， 则由T k ＋1＝C k 5(x 23 )5－k (3x 2)k ＝3k C k 5x10+4k3， 得⎩⎨⎧3k C k 5≥3k －1C k －15，3k C k5≥3k ＋1C k ＋15，∴72≤k ≤92，∴k ＝4， 即展开式中系数最大的项为T 5＝C 45(x 23 )(3x 2)4＝405x 263 .例2、(1)若nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+421展开式中前三项系数成等差数列．则展开式中系数最大的项为________．(2)在(1＋2x )n 的展开式中，末三项的二项式系数和为56，则展开式中系数最大的项为________． [答案] (1)7·x 35 和7·x 74(2)15360x 7 题型二、求展开式中各项系数之和例3、已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7.求：(1)a 1＋a 2＋…＋a 7；(2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7；(3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6；(4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|. [解析] 令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝－1① 令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝37② (1)∵a 0＝C 07＝1，∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝－2. (2)由(①－②)÷2，得a 1＋a 3＋a 5＋a 7－1－372＝－1 094.(3)由(①＋②)÷2，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6－1＋372＝1 093.(4)方法一：(1－2x )7的展开式中，a 0，a 2，a 4，a 6大于零，而a 1，a 3，a 5，a 7小于零， ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7) ＝1 093＋1 094＝2 187.方法二：∵|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|是(1＋2x )7展开式中各项的系数和． ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝37＝2 187.例4(1)(x ＋a x )·(2x －1x)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )A ．－40B ．－20C ．20D ．40(2)若(2x ＋3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2的值为________．[解析] (1)令x ＝1得，(1＋a )·(2－1)5＝2，∴a ＝1，(2x －1x )5展开式的通项T r ＋1＝C r 5(2x )5－r ·(－1x)r ＝(－1)r ·25－r C r 5x5－2r. r ＝0、1、2、3、4、5.令5－2r ＝－1得r ＝3，令5－2r ＝1得，r ＝2.∴展开式的常数项为：(－1)3·22C 35＋(－1)2·23C 25＝40. (2)对于(2x ＋3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4， 令x ＝1得(2＋3)4＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4， 令x ＝－1得(3－2)4＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4， 两式相乘得1＝(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2， 故答案为1.题型三、与杨辉三角有关的问题例5、如图，在“杨辉三角”中，斜线AB 的上方，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，…，记其前n 项和为S n ，求S 19的值.[解析] 由图知，数列的首项是C 22，第2项是C 12，第3项是C 23，第4项是C 13，…，第18项是C 110，第19项是C 211，∴S 19＝C 22＋C 12＋C 23＋C 13＋…＋C 210＋C 110＋C 211 ＝(C 12＋C 13＋C 14＋…＋C 110)＋(C 22＋C 23＋C 24＋…＋C 211) ＝(2＋3＋4＋…＋10)＋(C 33＋C 23＋…＋C 211)＝(2＋10)×92＋C 312 ＝54＋12×11×101×2×3＝274.例6、如图所示，满足：①第n 行首尾两数均为n ；②表中的递推关系类似杨辉三角，将第n (n ≥2)行的第m 个数记作a (n ，m )，则a (100,2)＝________.1 2 2 3 4 3 4 7 7 4 5 11 14 11 5 6 16 25 25 16 6…[解析] 由a (n ，m )的定义知，a (100,2)表示表中第100行第2个数，注意观察可以发现，从第三行开始，每一行的第二个数都等于它的上一行肩上两个数字的和，故a (100,2)＝a (99,1)＋a (99,2)＝a (99,1)＋a (98,1)＋a (98,2) ＝a (99,1)＋a (98,1)＋a (97,1)＋a (97,2)＝…… ＝a (99,1)＋a (98,1)＋a (97,1)＋…＋a (2,1)＋a (2,2) ＝(99＋98＋97＋…＋2)＋2 ＝98×(99＋2)2＋2＝4951. 题型四、求系数最大的项例7、已知(3x ＋x )2n 的展开式的二项式系数的和比(3x －1)n 的展开式的二项式系数的和大992.求(2x －1x )2n的展开式中，(1)二项式系数最大的项；(2)系数的绝对值最大的项．[解析] 由题意22n －2n ＝992，解得n ＝5.(1)(2x －1x )10的展开式中第6项的二项式系数最大，即T 6＝T 5＋1＝C 510·(2x )5·(－1x )5＝－8 064. (2)设第r ＋1项的系数的绝对值最大， 则T r ＋1＝C r 10·(2x )10－r ·(－1x )r＝(－1)r ·C r 10·210－r ·x 10－2r，∴⎩⎨⎧C r 10·210－r ≥C r －110·210－r ＋1，C r 10·210－r ≥C r ＋110·210－r －1. ∴⎩⎨⎧C r 10≥2C r －110，2C r 10≥C r ＋110.即⎩⎨⎧11－r ≥2r ，2(r ＋1)≥10－r . 解得83≤r ≤113.∵0≤r ≤10，且r ∈N ，∴r ＝3.故系数的绝对值最大的项是第4项，即T 4＝－15360x 4. 例8、已知(1＋2x )n 的展开式所有的二项式系数之和为128. (1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中的系数最大项．[解析] (1)由题意知2n ＝128，所以n ＝7.在二项式系数C 07，C 17，C 27，…，C 77中，最大的是C 37与C 47，故二项式系数最大项是第4项与第5项，即T 4＝C 37(2x )3＝280x 3与T 5＝C 47(2x )4＝560x 4.(2)设第r ＋1项的系数最大，则由⎩⎨⎧T r ＋1≥T r ，T r ＋1≥T r ＋2⇒⎩⎨⎧ C r 72r ≥C r －172r －1，C r 72r ≥C r ＋172r ＋1⇒⎩⎨⎧3r ≤16，3r ≥13，由于r 是整数，故r ＝5，所以系数最大的是第6项，即T 6＝C 57(2x )5＝672x 5. 例9、已知(2x －1)n 的展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小316，求C 2n ＋C 4n ＋C 6n ＋…＋C n n 的值.[正解] 设f (x )＝(2x －1)n ＝a 0＋a 1x ＋…＋a n x n ，且奇次方项系数和为A ，偶次方项系数和为B ，则依题意可得，A ＝a 1＋a 3＋a 5＋…，B ＝a 0＋a 2＋a 4＋…，且B －A ＝316，令x ＝－1得，f (－1)＝(－3)n ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋(－1)n a n ＝(a 0＋a 2＋…)－(a 1＋a 3＋…) ＝B －A ＝316＝(－3)16， ∴n ＝16.从而C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＋C n n ＝C 016＋C 216＋C 416＋…＋C 1616＝216－1＝215. ∴C 2n ＋C 4n ＋…＋C n n ＝215－1.课后作业一、选择题 1．若(3x －1x)n的展开式中各项系数之和为256，则展开式的常数项是( ) A ．第3项 B ．第4项 C ．第5项 D ．第6项[答案] C[解析] 令x ＝1，得出(3x －1x)n的展开式中各项系数和为(3－1)n ＝256，解得n ＝8； ∴(3x －1x)8的展开式通项公式为： T r ＋1＝C r 8·(3x )8－r ·(－1x)r ＝(－1)r ·38－r ·C r 8·x 4－r ， 令4－r ＝0，解得r ＝4.∴展开式的常数项是T r ＋1＝T 5，即第5项．故选C ．2．若9n ＋C 1n ＋1·9n －1＋…＋C n －1n ＋1·9＋C nn ＋1是11的倍数，则自然数n 为( )A ．奇数B ．偶数C ．3的倍数D ．被3除余1的数[答案] A[解析] 9n ＋C 1n ＋1·9n －1＋…＋C n －1n ＋1·9＋C n n ＋1＝19(9n ＋1＋C 1n ＋19n ＋…＋C n －1n ＋192＋C n n ＋19＋C n ＋1n ＋1)－19 ＝19(9＋1)n ＋1－19＝19(10n ＋1－1)是11的倍数， ∴n ＋1为偶数，∴n 为奇数．3．若a 为正实数，且(ax －1x)2016的展开式中各项系数的和为1，则该展开式第2016项为( )A ．1x 2016B ．－1x 2016C ．4032x 2014D ．－4032x2014[答案] D[解析]由条件知，(a －1)2016＝1，∴a －1＝±1， ∵a 为正实数，∴a ＝2. ∴展开式的第2016项为： T 2016＝C 20152016·(2x )·(－1x )2015 ＝－2C 12016·x －2014＝－4032x－2014，故选D ．4．若二项式(2x ＋a x )7的展开式中1x3的系数是84，则实数a ＝( )A ．2B ．54 C ．1 D ．24[答案] C[解析] 二项式(2x ＋a x )7的通项公式为T r ＋1＝C r 7(2x )7－r (a x )r ＝C r 727－r a r x 7－2r，令7－2r ＝－3，得r ＝5.故展开式中1x3的系数是C 5722a 5＝84，解得a ＝1. 5．已知(x －ax )8展开式中常数项为1120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是________.[答案] 1或38[解析] T r ＋1＝C r 8x 8－r(－a x )r ＝(－a )r ·C r 8·x 8－2r，令8－2r ＝0得r ＝4，由条件知，a 4C 48＝1120，∴a ＝±2， 令x ＝1得展开式各项系数的和为1或38.6．在二项式(x ＋3x )n 的展开式中，各项系数之和为A ，各项二项式系数之和为B ，且A ＋B＝72，则n ＝________.[答案] 3[解析] 由题意可知，B ＝2n ，A ＝4n ，由A ＋B ＝72，得4n ＋2n ＝72，∴2n ＝8，∴n ＝3. 7．设(1－2x )2017＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2017x 2017(x ∈R ).(1)求a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2017的值． (2)求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2017的值． (3)求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 2017|的值． [解析] (1)令x ＝1，得：a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2017＝(－1)2017＝－1①(2)令x ＝－1，得：a 0－a 1＋a 2－…－a 2017＝32017② ①－②得：2(a 1＋a 3＋…＋a 2015＋a 2017)＝－1－32017， ∴a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2017＝－1＋320172.(3)∵T r ＋1＝C r 2017·12017－r ·(－2x )r ＝(－1)r ·C r 2017·(2x )r ， ∴a 2k －1<0(k ∈N *)，a 2k >0(k ∈N *)． ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 2017| ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 2016－a 2017 ＝320178．若n 为正奇数，则7n ＋C 1n ·7n －1＋C 2n ·7n －2＋…＋C n －1n ·7被9除所得的余数是( ) A ．0 B ．2 C ．7 D ．8[答案] C[解析] 原式＝(7＋1)n －C n n ＝8n －1＝(9－1)n －1＝9n －C 1n ·9n －1＋C 2n ·9n －2－…＋C n －1n ·9(－1)n －1＋(－1)n －1，n 为正奇数，(－1)n －1＝－2＝－9＋7，则余数为7.9．设(3x －1)8＝a 8x 8＋a 7x 7＋…＋a 1x ＋a 0，则(1)a 8＋a 7＋…＋a 1＝________； (2)a 8＋a 6＋a 4＋a 2＋a 0＝________. [答案] (1)255 (2)32896 [解析] 令x ＝0，得a 0＝1. (1)令x ＝1得(3－1)8＝a 8＋a 7＋…＋a 1＋a 0，①∴a 8＋a 7＋…＋a 2＋a 1＝28－a 0＝256－1＝255. (2)令x ＝－1得(－3－1)8＝a 8－a 7＋a 6－…－a 1＋a 0.② ①＋②得28＋48＝2(a 8＋a 6＋a 4＋a 2＋a 0)， ∴a 8＋a 6＋a 4＋a 2＋a 0＝12(28＋48)＝32 896.10．在(2x －3y )10的展开式中，求： (1)二项式系数的和； (2)各项系数的和；(3)x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和．[解析] 设(2x －3y )10＝a 0x 10＋a 1x 9y ＋a 2x 8y 2＋…＋a 10y 10，(*) 由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和．(1)二项式系数和为C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210.(2)令x ＝y ＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1. (3)x 的奇次项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9＝1－5102；x 的偶次项系数和为a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10＝1＋5102.11．在二项式(x ＋12x)n的展开式中，前三项系数成等差数列.(1)求展开式中的常数项； (2)求展开式中系数最大的项．[解析] (1)二项式(x ＋12x )n 的展开式中，前三项系数分别为1，n 2，n (n －1)8，再根据前三项系数成等差数列，可得n ＝1＋n (n －1)8，求得n ＝8或n ＝1(舍去)．故二项式(x ＋12x)8的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 8·2－r ·x 4－r . 令4－r ＝0，求得r ＝4，可得展开式的常数项为T 5＝C 48·(12)4＝358. (2)设第r ＋1项的系数最大，则由⎩⎨⎧C r 8·(12)r ≥C r ＋18·(12)r ＋1C r 8·(12)r≥C r －18·(12)r －1，求得2≤r ≤3，因为r ∈Z ，所以r ＝2或r ＝3，故第三项和第四项的系数最大，再利用通项公式可得系数最大的项为T 3＝7x 2，T 4＝7x .。

“杨辉三角与二项式系数的性质”说课一、教材分析：二项式系数性质是《二项式定理》的重要内容之一，教学应通过揭示二项式定理是代数中乘法公式的推广，了解二项式定理的推广过程，理解从特殊到一般的思维方法，培养学生的观察归纳能力、抽象思维能力和逻辑思维能力。

结合二项式定理介绍“杨辉三角”，对学生进行爱国主义教育，激励学生的民族自豪感。

二项式定理是组合知识与多项式知识的结合，教学时应特别注意让学生掌握二项展开式的通项公式。

二项展开式的性质有比较广泛的应用，尤其要注意赋值法在证明组和数等式时的应用。

发现从杨辉三角去探索二项式系数性质有助于学生掌握这部分知识，提高其数学能力。

二项展开式的性质运用涉及项、项数、系数、二项式系数等容易混淆的一些概念，还由于a,b 的变化使得计算比较复杂，教学时要抓住通项公式，并结合具体问题加以分析、比较，避免产生误解。

二、教学过程： 复习回顾：［引入］计算(a+b)n 展开式的二项式系数并填入下表:师：通过计算填表，你发现了什么？大家思考一下如何迅速准确地写出二项式系数？生：写出二项展开式的系数运用计算器，或者组和数公式。

每一行的系数具有对称性。

师：除此以外还有什么规律呢?上表写成如下形式:能借助上面的表示形式发现一些新的规律吗? ［稍让学生思考］师：(首先从横向观察，启发学生发现规律1，纠正表达错误) 规律1：首末两项系数为1，与首末两项等距离的系数相等。

(再从上、下两行系数观察，画出斜线寻找规律2)规律2：除首末两项系数外，每一个数都等于它肩上两个数和。

师：再提问()7b a +=7652433425677213535217b ab b a b a b a b a b a a +++++++［由此类比、归纳提问学生，并一同写出()7a b +二项式系数(1，7，21，35，35，21，7，1)］ 师：[归纳小结]启用观察、类比、归纳的方法我们得到二项式系数的两个规律，可见应用观察、分析、类比、归纳的方法是我们获得新知识的重要途径。

2018学年第⼆学期⾼⼆数学《杨辉三⾓与⼆项式系数的性质》学案含答案1.3.2“杨辉三⾓”与⼆项式系数的性质学习⽬标 1.了解杨辉三⾓，会⽤杨辉三⾓求⼆项式乘⽅次数不⼤时的各项的⼆项式系数.2.理解⼆项式系数的性质并灵活运⽤(重、难点).知识点1杨辉三⾓的特点(1)在同⼀⾏中每⾏两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；(2)在相邻的两⾏中，除1外的每⼀个数都等于它“肩上”两个数的和，即C r n＋1＋C r n.＝C r－1n【预习评价】(1)杨辉三⾓的第n⾏数字规律与⼆项展开式有何联系？提⽰杨辉三⾓的第n⾏数字规律是⼆项式(a＋b)n展开式的⼆项式系数，即(a ＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b1＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n.(2)C03＋C14＋C25＋…＋C1821＝________.解析原式＝C04＋C14＋C25＋…＋C1821＝C15＋C25＋…＋C1821＝…＝C1721＋C1821＝C1822＝C422＝7 315.答案7 315知识点2⼆项式系数的性质相等，且同时取得最⼤值【预习评价】(1)⼆项展开式中系数最⼤项是中间⼀项(共奇数项)或中间两项(共偶数项)，这种说法对吗？提⽰错误.⼆项展开式中项的系数与⼆项式系数是不同的，⼆项式系数最⼤项是中间⼀项(共奇数项)或中间两项(共偶数项)，但是项的系数的最⼤值与项其他数字因数的⼤⼩有关.(2)在(x ＋y )n 的展开式中，第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最⼤的项是( ) A.第6项B.第5项C.第5，6项D.第6，7项解析由题意，得第4项与第8项的系数相等，则其⼆项式系数也相等，∴C 3n ＝C 7n ，由组合数的性质，得n ＝10.∴展开式中⼆项式系数最⼤的项为第6项，它也是系数最⼤的项. 答案 A题型⼀与杨辉三⾓有关的问题【例1】如图在“杨辉三⾓”中，斜线AB 的上⽅，从1开始箭头所⽰的数组成⼀个锯齿形数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，记其前n 项和为S n ，求S 19的值.解由题图知，数列中的⾸项是C22，第2项是C12，第3项是C23，第4项是C13，…，第17项是C210，第18项是C110，第19项是C211.∴S19＝(C12＋C22)＋(C13＋C23)＋(C14＋C24)＋…＋(C110＋C210)＋C211＝C23＋C24＋C25＋…＋C211＋C211＝C33＋C23＋C24＋C25＋…＋C211－1＋C211＝C312－1＋C211＝274.规律⽅法解决与杨辉三⾓有关问题的⼀般思路(1)观察找出每⼀⾏数据间的相互联系以及⾏与⾏间数据的相互联系.(2)将数据间的这种联系⽤数学式表达出来，使问题得解.(3)注意观察⽅向：横看、竖看、斜看、连续看、隔⾏看，从多⾓度观察.【训练1】如图，在由⼆项式系数所构成的杨辉三⾓中，第________⾏中从左到右第14与第15个数的⽐为2∶3.第0⾏1第1⾏1 1第2⾏12 1第3⾏133 1第4⾏1464 1第5⾏1510105 1………解析设第n⾏从左⾄右第14与第15个数之⽐为2∶3，则C13n∶C14n＝2∶3.∴3C13n＝2C14n，即3·n！13！·（n－13）！＝2·n！14！·（n－14）！，得：3n－13＝214，∴n＝34.答案34【例2】已知(2x －1)5＝a 0x 5＋a 1x 4＋a 2x 3＋a 3x 2＋a 4x ＋a 5，求a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5.解令x ＝1，得：(2×1－1)5＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，∴a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝1.【迁移1】 (变换所求)例2条件不变，求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|. 解∵(2x －1)5的展开式中偶数项的系数为负值，∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5. 令x ＝－1，得：[2×(－1)－1]5＝－a 0＋a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5，即a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝－(－3)5＝35，∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＝35＝243.【迁移2】 (变换所求)例2条件不变，求a 1＋a 3＋a 5. 解由上题得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝1，a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝243，两式相减得a 1＋a 3＋a 5＝12×(1－243)＝－121.规律⽅法 (1)赋值法是求⼆项展开式系数及有关问题的常⽤⽅法，注意取值要有利于问题的解决，可以取⼀个值或⼏个值，也可以取⼏组值，解决问题时要避免漏项.(2)⼀般地，对于多项式f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，各项系数和为f (1)，奇次项系数和为12[f (1)－f (－1)]，偶次项系数和为12[f (1)＋f (－1)]，a 0＝f (0). 【训练2】已知(1－3x )8＝a 0＋a 1x ＋…＋a 7x 7＋a 8x 8.求： (1)a 0＋a 1＋…＋a 8； (2)a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8；(3)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 8|.解 (1)令x ＝1，得a 0＋a 1＋…＋a 8＝(－2)8＝256.① (2)令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＋a 8＝48.②①＋②，得2(a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8)＝28＋48，∴a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝12×(28＋48)＝32 896.(3)由于(1－3x )8＝C 08＋C 18×(－3x )＋C 28×(－3x )2＋…＋C 88×(－3x )8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8，故a 0，a 2，a 4，a 6，a 8＞0，a 1，a 3，a 5，a 7＜0，∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 8|＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 8＝48＝65 536. 题型三⼆项式系数性质的应⽤【例3】已知f (x )＝(3x 2＋3x 2)n 展开式中各项的系数和⽐各项的⼆项式系数和⼤992.(1)求展开式中⼆项式系数最⼤的项； (2)求展开式中系数最⼤的项.解 (1)令x ＝1，则⼆项式各项系数的和为f (1)＝(1＋3)n ＝4n ，⼜展开式中各项的⼆项式系数之和为2n .由题意知，4n －2n ＝992. ∴(2n )2－2n －992＝0，∴(2n ＋31)(2n －32)＝0，∴2n ＝－31(舍)或2n ＝32，∴n ＝5.由于n ＝5为奇数，所以展开式中⼆项式系数最⼤的项为中间两项，它们分别是 T 3＝C 25(x 23)3(3x 2)2＝90x 6， T 4＝C 35(x 23)2(3x 2)3＝270x 223.(2)展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 53r·x 23(5＋2r ).假设T r ＋1项系数最⼤，则有C r 5·3r ≥C r －15·3r －1，C r 5·3r ≥C r ＋15·3r ＋1，∴5！（5－r ）！r ！×3≥5！（6－r ）！（r －1）！，5！（5－r ）！r ！≥5！（4－r ）！（r ＋1）！×3.∴3r ≥16－r ，15－r ≥3r ＋1.∴72≤r ≤92，∵r ∈N ，∴r ＝4.∴展开式中系数最⼤的项为T 5＝C 45·34x 263＝405x 263. 规律⽅法 (1)求⼆项式系数最⼤的项，要依据⼆项式系数的性质对(a ＋b )n 中的n 进⾏讨论，n 为奇数时中间两项的⼆项式系数最⼤；n 为偶数时，中间⼀项的⼆项式系数最⼤.(2)求展开式中系数最⼤项与求⼆项式系数最⼤项是不同的.求展开式系数最⼤的项，如求(a ＋bx )n (a 、b ∈R 展开式中系数最⼤的项，⼀般是采⽤待定系数法.设展开式各项系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第r ＋1项系数最⼤，应⽤A r ≥A r －1， A r ≥A r ＋1解出r 来，即得系数最⼤的项. 【训练3】已知? ????x －2x 2n(n ∈N *)的展开式中第5项的系数与第3项的系数的⽐是10∶1.(1)求展开式中各项系数的和； (2)求展开式中含x 32的项；(3)求展开式中系数的绝对值最⼤的项.解∵? ????x －2x 2n 的展开式的通项是T r ＋1＝C r n (x )n －r ·－2x 2r＝(－2)r C rn x n －5r 2(0≤r ≤n ，r ∈N )，∴T 5＝T 4＋1＝24C 4n x n 2－10，T 3＝T 2＋1＝22C 2n x n2－5.∵24C 4n 22C 2n＝101，∴n 2－5n －24＝0，解得n ＝8或n ＝－3(舍去).(1)令x ＝1，则? ????x －2x 28＝(1－2)8＝1，即所求各项系数的和为1. (2)展开式的通项为T r ＋1＝(－2)r C r8x 8－5r 2(0≤r ≤8，r ∈N ).令8－5r 2＝32，得r ＝1，∴展开式中含x 32的项为T 2＝T 1＋1＝(－2)1C 18x 32＝－16x 32.(3)展开式的第r 项、第r ＋1项、第r ＋2项的系数的绝对值分别为C r －182r －1，C r 82r ，C r ＋182r ＋1.若第r ＋1项的系数绝对值最⼤，则有C r －182r －1≤C r 82r ，C r 82r ≥C r ＋182r ＋1，解得5≤r ≤6，故系数的绝对值最⼤的项为第6项和第7项，即 T 6＝－1 792x －172，T 7＝1 7921x 11.课堂达标1.(1＋x )2n ＋1的展开式中，⼆项式系数最⼤的项所在的项数是( ) A.n ，n ＋1B.n －1，nC.n ＋1，n ＋2D.n ＋2，n ＋3解析 2n ＋1为奇数，展开式中中间两项的⼆项式系数最⼤，分别为第? ????2n ＋1－12＋1项，第? ????2n ＋1＋12＋1项，即第(n ＋1)项与第(n ＋2)项.故选C. 答案 C2.设(x 2＋1)(2x ＋1)9＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 11(x ＋2)11，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11的值为( ) A.－2B.－1C.1D.2解析令x ＝－1，则原式化为 [(－1)2＋1][2×(－1)＋1]9＝－2＝a 0＋a 1(2－1)＋a 2(2－1)2＋…＋a 11(2－1)11，∴a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＝－2. 答案 A3.在(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )6的展开式中，x 2的系数为________.解析 (1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )6的展开式中x 2的系数为C 22＋C 23＋C 24＋C 25＋C 26＝35. 答案 354.设(3x －2)6＝a 0＋a 1(2x －1)＋a 2(2x －1)2＋…＋a 6(2x －1)6，则a 1＋a 3＋a 5a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝________.解析令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 6＝1，令x ＝0，得a 0－a 1＋a 2＋…＋a 6＝64，两式相减，得2(a 1＋a 3＋a 5)＝－63，两式相加，得2(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)＝65，故a 1＋a 3＋a 5a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－6365. 答案－63655.已知(2x －1)n ⼆项展开式中，奇次项系数的和⽐偶次项系数的和⼩38，求C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n 的值.解设(2x －1)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，且奇次项的系数和为A ，偶次项的系数和为B .则A ＝a 1＋a 3＋a 5＋…，B ＝a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋….由已知可知：B－A＝38.令x＝－1，得：a0－a1＋a2－a3＋…＋a n(－1)n＝(－3)n，即：(a0＋a2＋a4＋a6＋…)－(a1＋a3＋a5＋a7＋…)＝(－3)n.即：B－A＝(－3)n.∴(－3)n＝38＝(－3)8，∴n＝8.由⼆项式系数性质可得：C1n＋C2n＋C3n＋…＋C n n＝2n－C0n＝28－1.课堂⼩结1.⼆项式系数的性质可从杨辉三⾓中直观地看出.2.求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定.⼀般地对字母赋的值为0，1或－1，但在解决具体问题时要灵活掌握.3.注意以下两点：(1)区分开⼆项式系数与项的系数.(2)求解有关系数最⼤时的不等式组时，注意其中r∈{0，1，2，…，n}的范围.基础过关1.已知(a＋b)n的⼆项展开式中只有第5项的⼆项式系数最⼤，则n等于()A.11B.10C.9D.8解析∵(a＋b)n的⼆项展开式中只有第5项的⼆项式系数最⼤，∴⼆项展开式共有9项，即n＋1＝9，∴n＝8.答案 D2.(x－1)11展开式中x的奇次项系数之和是()A.－2 048B.－1 023C.－1 024D.1 024解析(x－1)11＝a0x11＋a1x10＋a2x9＋…＋a11，令x＝－1，则－a0＋a1－a2＋…＋a11＝－211，令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a11＝0，∴a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10＝210＝1 024. 答案 D3.(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n 的展开式中各项系数和为( ) A.2n ＋1 B.2n －1 C.2n ＋1－1D.2n ＋1－2解析令x ＝1，则2＋22＋…＋2n ＝2n ＋1－2. 答案 D4.若C 2n ＋620＝C n ＋220(n ∈N *)，且(2－x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，则a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)n a n ＝________.解析由C 2n ＋620＝C n ＋220可知n ＝4，令x ＝－1，可得a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)n a n ＝81. 答案 815.在(a －b )10的⼆项展开式中，系数最⼩的项是________.解析在(a －b )10的⼆项展开式中，奇数项的系数为正，偶数项的系数为负，且偶数项系数的绝对值为对应的⼆项式系数，因为展开式中第6项的⼆项式系数最⼤，所以系数最⼩的项为T 6＝C 510a 5(－b )5＝－252a 5b 5.答案－252a 5b 56.若x 4(x ＋3)8＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 12(x ＋2)12，求log 2(a 1＋a 3＋…＋a 11)的值.解令x ＝－1，∴28＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＋a 12. 令x ＝－3，∴0＝a 0－a 1＋a 2－…－a 11＋a 12，∴28＝2(a 1＋a 3＋…＋a 11)，∴a 1＋a 3＋…＋a 11＝27，∴log 2(a 1＋a 3＋…＋a 11)＝log 227＝7.7.设a ≠0，n 是⼤于1的⾃然数，? ?1＋x a n 的展开式为a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n .若点A i (i ，a i )，(i ＝0，1，2)的位置如图所⽰，求a 的值.解由题意知，A 0(0，1)，A 1(1，3)，A 2(2，4). 故a 0＝1，a 1＝3，a 2＝4. 由? ?1＋x a n 的展开式的通项知， T r ＋1＝C r n ? ???x a r(r ＝0，1，2，…，n ).故C 1n a ＝3，C 2na 2＝4，解得a ＝3.能⼒提升8.在?1x ＋51x 3n的展开式中，所有奇数项系数之和为1 024，则中间项系数是( ) A.330B.462C.682D.792解析∵⼆项式的展开式中所有项的⼆项式系数和为2n ，⽽所有偶数项的⼆项式系数和与所有奇数项的⼆项式系数和相等，故由题意得2n －1＝1 024，∴n ＝11，∴展开式共12项，中间项为第六项、第七项，其系数为C 511＝C 611＝462.答案 B9.(1＋ax ＋by )n 的展开式中不含x 的项的系数的绝对值的和为243，不含y 的项的系数的绝对值的和为32，则a ，b ，n 的值可能为( ) A.a ＝2，b ＝－1，n ＝5 B.a ＝－2，b ＝－1，n ＝6 C.a ＝－1，b ＝2，n ＝6D.a ＝1，b ＝2，n ＝5解析根据展开式的特点，通过特殊值法找到符合要求的各项系数的绝对值的和，通过⽅程组解决.只要令x＝0，y＝1，即得到(1＋ax＋by)n的展开式中不含x 的项的系数的和为(1＋b)n，令x＝1，y＝0，即得到(1＋ax＋by)n的展开式中不含y的项的系数的和为(1＋a)n.如果a，b是正值，这些系数的和也就是系数绝对值的和，如果a，b中有负值，相应地，分别令y＝－1，x＝0；x＝－1，y＝0.此时的和式分别为(1－b)n，(1－a)n，由此可知符合要求的各项系数的绝对值的和为(1＋|b|)n，(1＋|a|)n.根据题意(1＋|b|)n＝243＝35，(1＋|a|)n＝32＝25，因此n＝5，|a|＝1，|b|＝2.故选D.答案 D10.设m为正整数，(x＋y)2m展开式的⼆项式系数的最⼤值为a，(x＋y)2m＋1展开式的⼆项式系数的最⼤值为b，若13a＝7b，则m＝________.解析由题知a＝C m2m，b＝C m＋12m＋1，∴13C m2m＝7C m＋12m＋1，即13×（2m）！m！m！＝7×（2m＋1）！（m＋1）！m！，解得m＝6.答案 611.(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________. 解析(1＋x)4展开式的通项为T r＋1＝C r4x r，由题意可知a(C14＋C34)＋C04＋C24＋C44＝32，解得a＝3.答案 312.在(2x－3y)10的展开式中，求：(1)各项的⼆项式系数的和；(2)奇数项的⼆项式系数的和与偶数项的⼆项式系数的和；(3)各项系数之和；(4)奇数项系数的和与偶数项系数的和.解在(2x－3y)10的展开式中：(1)各项的⼆项式系数的和为C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210＝1 024. (2)奇数项的⼆项式系数的和为C 010＋C 210＋…＋C 1010＝29＝512. 偶数项的⼆项式系数的和为C 110＋C 310＋…＋C 910＝29＝512.(3)设(2x －3y )10＝a 0x 10＋a 1x 9y ＋a 2x 8y 2＋…＋a 10y 10(*)，各项系数之和即为a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10，由于(*)是恒等式，故可⽤“赋值法”求解.令(*)中x ＝y ＝1，得各项系数之和为(2－3)10＝(－1)10＝1.(4)奇数项系数的和为a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10，偶数项系数的和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9.由(3)知a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝1. ①令(*)中x ＝1，y ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10＝510. ②①＋②，得2(a 0＋a 2＋…＋a 10)＝1＋510，故奇数项系数的和为1＋5102；①－②，得2(a 1＋a 3＋…＋a 9)＝1－510，故偶数项系数的和为1－5102.13.(选做题)已知(3x ＋x 2)2n 的展开式的系数和⽐(3x －1)n 的展开式的系数和⼤992，求? ?2x －1x 2n 的展开式中：(1)⼆项式系数最⼤的项； (2)系数的绝对值最⼤的项.解由题意得22n －2n ＝992，解得n ＝5.(1)? ?2x －1x 10的展开式中第6项的⼆项式系数最⼤，即T 6＝C 510·(2x )5·?－1x 5＝－8 064.(2)设第k ＋1项的系数的绝对值最⼤，则T k ＋1＝C k 10·(2x )10－k ·?－1x k＝(－1)k ·C k 10·210－k ·x 10－2k . ∴C k 10·210－k ≥C k －110·210－k ＋1，C k 10·210－k ≥C k ＋110·210－k －1，得C k 10≥2C k －110，2C k 10≥C k ＋110，即11－k ≥2k ，2（k ＋1）≥10－k . ∴83≤k ≤113，∴k ＝3，故系数的绝对值最⼤的是第4项 T 4＝(－1)3C 310·27·x 4＝－15 360x 4.。

1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质一、三维目标1.知识与技能(1)能认识杨辉三角，并能利用它解决实际问题．(2)记住二项式系数的性质，并能解决相关问题．2．过程与方法通过观察、分析杨辉三角数表的特点，掌握二项式系数的性质．3．情感、态度与价值观通过“杨辉三角”的学习，了解中华民族的历史，增强爱国主义意识．二、重点、难点重点：二项式系数的性质．难点：杨辉三角的结构．教学时从先简单(a＋b)1，(a＋b)2，(a＋b)3的展开式中系数出发，进一步过渡到杨辉三角的结构，让学生由浅入深地认识杨辉三角，从而化解难点．引导学生建立“杨辉三角”与二项式系数的性质之间关系的直觉，通过例题与练习让学生应用性质解决问题，更深地理解性质，以强化重点、化解难点．三、教学建议本节课是将二项式系数性质的讨论与“杨辉三角”结合起来，主要是因为“杨辉三角”蕴含了丰富的内容，由它可以直观看出二项式系数的性质，教学时应采用启发探究式教学，让学生在观察中归纳总结二项式系数的性质，在教学时可以引导学生从函数的角度研究二项式系数的性质，可以画出它的图象，利用几何直观，数形结合地进行思考，这对学生发现规律、形成证明思路有很大好处．四、教学流程创设问题情境，提出问题．⇒引导学生回答所提问题，认识杨辉三角、理解二项式系数性质．⇒通过例1及互动探究，进一步认识杨辉三角的结构特点．⇒通过例2及变式训练，使学生掌握展开式系数和的求法．⇒通过例3及变式训练，使学生掌握二项式系数的综合应用．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正．间的直觉，并探索其中的规律．(1)观察“杨辉三角”发现规律①第一行中各数之和为多少？第二、三、四、五行呢？由此你能得出怎样的结论？ ②观察第3行中2与第2行各数之间什么关系？ 第4行中3与第2行各数之间什么关系？ 第5行中的4、6与第4行各数之间有什么关系？ 由此你能得出怎样的结论？【提示】 (1)①20,21,22,23,24，第n 行各数之和为2n －1.②2＝1＋1,3＝2＋1,4＝1＋3,6＝3＋3，相邻两行中，除1外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，设C r n ＋1表示任一不为1的数，则它“肩上”两数分别为C r －1n ，C r n ，所以C r n ＋1＝C r －1n ＋C rn .1．杨辉三角的特点(1)在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等．(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即C r n ＋1＝C r －1n ＋C rn . 2．二项式系数的性质(1)对称性：在(a ＋b )n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C 0n ＝C n n ，C 1n ＝C n －1n ，…，C rn ＝C n －rn .(2)增减性与最大值：当k ＜n ＋12时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值．当n 是偶数时，中间一项的二项式系数C n2n 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项的二项式系数Cn －12n，Cn ＋12n相等，且同时取得最大值．3．二项式系数的和 (1)C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n.(2)C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1.图1－3－1例 1 如图1－3－1所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，…，记其前n项和为S n，求S16的值．【思路探究】观察数列的特点、它在杨辉三角中的位置，或者联系二项式系数的性质，直接对数列求和即可．【自主解答】由题意及杨辉三角的特点可得：S16＝(1＋2)＋(3＋3)＋(6＋4)＋(10＋5)＋…＋(36＋9)＝(C22＋C12)＋(C23＋C13)＋(C24＋C14)＋…＋(C29＋C19)＝(C22＋C23＋C24＋...＋C29)＋(2＋3＋ (9)＝C310＋＋2＝164.解决与杨辉三角有关的问题的一般思路：(1)观察：对题目进行多角度观察，找出每一行的数与数之间，行与行之间的数的规律．(2)表达：将发现的规律用数学式子表达．(3)结论：由数学表达式得出结论．本例条件不变，若改为求S21，则结果如何？【解】S21＝(1＋2)＋(3＋3)＋(6＋4)＋…＋(55＋11)＋66＝(C22＋C12)＋(C23＋C13)＋(C24＋C14)＋…＋(C211＋C111)＋C212＝(C22＋C23＋C24＋......C212)＋(2＋3＋ (11)＝C313＋＋2＝286＋65＝351.设(1－2x)2 012＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 012·x2 012(x∈R)．(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2 012的值．(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2 011的值．(3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 012|的值．【思路探究】先观察所要求的式子与展开式各项的特点，用赋值法求解．【自主解答】 (1)令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 012＝(－1)2 012＝1.①(2)令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…＋a 2 012＝32 012.②①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 2 011)＝1－32 012， ∴a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 011＝1－32 0122.(3)∵T r ＋1＝C r2012(－2x )r＝(－1)r·C r2 012·(2x )r， ∴a 2k －1＜0(k ∈N *)，a 2k ＞0(k ∈N )． ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 2 012| ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 2 012＝32 012.1．本题根据问题恒等式的特点采用“特殊值”法即“赋值法”，这是一种重要的方法，适用于恒等式． 2．“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x ＝0可得常数项，令x ＝1可得所有项系数之和，令x ＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差．已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，求 (1)a 1＋a 2＋…＋a 7；(2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7，a 0＋a 2＋a 4＋a 6.【解】 (1)∵(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7， 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7＝－1，①令x ＝0，得a 0＝1， ∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝－2. (2)令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 6－a 7＝37＝2187，②由①、②得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1 094， a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝1 093.例3 已知f (x )＝(3x 2＋3x 2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项．【思路探究】 求二项式系数最大的项，利用性质知展开式中中间项(或中间两项)是二项式系数最大的项；求展开式中系数最大的项，必须将x ，y 的系数均考虑进去，包括“＋”、“－”号．【自主解答】 令x ＝1，则二项式各项系数的和为f (1)＝(1＋3)n＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n .由题意知，4n －2n＝992.∴(2n )2－2n－992＝0， ∴(2n＋31)(2n－32)＝0，∴2n＝－31(舍去)，或2n＝32，∴n ＝5.(1)由于n ＝5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是假设T r ＋1项系数最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧C r 53r≥C r －15·3r －1，C r 53r ≥C r ＋15·3r ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧5！－r ！r ！×3≥5！－r ！r －！，5！－r ！r ！≥5！－r ！r ＋！×3，∴⎩⎪⎨⎪⎧3r ≥16－r ，15－r ≥3r ＋1.∴72≤r ≤92，∵r ∈N ，∴r ＝4.1．求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．2．求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组，解不等式的方法求得．求(1＋2x )7的展开式中的二项式系数最大项与系数最大项．【解】 在二项式系数C 07，C 17，C 27，…，C 77中，最大的是C 37与C 47，故二项式系数最大项是第4项与第5项，即T 4＝C 37(2x )3＝280x 3与T 5＝C 47(2x )4＝560x 4.设第r ＋1项的系数最大，则由⎩⎪⎨⎪⎧T r ＋1≥T r ，T r ＋1≥T r ＋2⇒⎩⎪⎨⎪⎧C r 72r≥C r －172r －1，C r 72r≥C r ＋172r ＋1⇒⎩⎪⎨⎪⎧3r ≤16，3r ≥13，由于r 是整数，故r ＝5，所以系数最大的是第6项，即T 6＝C 57(2x )5＝672x 5.忽视二项式系数和致误例4 已知(2x －1)n 二项展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小38，则C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C nn 的值为( )A ．28B ．28－1 C ．27D ．27－1 【错解】 设(2x －1)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n， 令A ＝a 1＋a 3＋a 5＋…，B ＝a 0＋a 2＋a 4＋…， 由题意知B －A ＝38.令x ＝－1得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a n (－1)n ＝(－3)n， ∴(a 0＋a 2＋…)－(a 1＋a 3＋…)＝(－3)n∴B －A ＝(－3)n ＝38，∴n ＝8.由二项式系数性质可得，a 1n ＋a 2n ＋…＋C n n ＝2n ＝28【答案】 A【错因分析】 误将C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n 看作是二项展开式各项二项式系数和，忽略了C 0n . 【防范措施】 (1)解答本题应认真审题，搞清已知条件以及所要求的结论，避免失误．(2)解决此类问题时，要对二项式系数的性质熟练把握，尤其是赋值法，要根据题目的要求，灵活赋给字母所取的不同值．【正解】 设(2x －1)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，且奇次项的系数和为A ，偶次项的系数和为B . 则A ＝a 1＋a 3＋a 5＋…，B ＝a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋…. 由已知可知：B －A ＝38.令x ＝－1， 得：a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a n (－1)n ＝(－3)n，即：(a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋…)－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋…)＝(－3)n， 即：B －A ＝(－3)n .∴(－3)n ＝38＝(－3)8，∴n ＝8. 由二项式系数性质可得：C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n ＝2n －C 0n ＝28－1. 【答案】 B二项式系数的有关性质的形成过程体现了观察——归纳——猜想——证明的数学方法，并且在归纳证明的过程中应用了函数、方程等数学思想，大致对应如下：对称性应用了组合数的性质增减性与最大值应用了组合数公式、 分类讨论思想等系数和应用了赋值法、方程思想 1．(a ＋b )7的各二项式系数的最大值为( ) A ．21 B ．35 C ．34 D ．70【解析】【答案】 B2．在(a－b)20的二项展开式中，二项式系数与第6项二项式系数相同的项是( ) A．第15项B．第16项C．第17项D．第18项【解析】由二项式系数的性质知与第6项系数相等的项应为倒数第6项，即第16项．【答案】 B3．(1＋2x)2n的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是第________项．【解析】(1＋2x)2n的展开式中共有2n＋1项，中间一项的系数最大，即第n＋1项．【答案】n＋14．已知(1－2x＋3x2)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a13x13＋a14x14，试求：(1)a0＋a1＋a2＋…＋a14；(2)a1＋a3＋a5＋…＋a13.【解】(1)在已知等式中令x＝1，则得：a0＋a1＋a2＋…＋a13＋a14＝27＝128.①(2)在已知等式中令x＝－1，则得：a0－a1＋a2－a3＋…－a13＋a14＝67.②①－②得：2(a1＋a3＋a5＋…＋a13)＝27－67＝－279 808.因此，a1＋a3＋a5＋…＋a13＝－139 904.。