专升本基础班练习题7多元函数积分学.doc

第七章 多元函数积分学典型习题解答与提示习 题 7-11．（1）2σ=⎰⎰DV x yd ； （2）|sin |σ=⎰⎰DV xy d 。

2．提示：利用σσ=⎰⎰Dd 。

3．（1）小于零； （2）零； （3）大于零； （4）大于零。

4．（1）利用估值不等式(),σσσ≤≤⎰⎰Dm f x y d M 易于发现，当(),x y 在边界时，函数1++x y 取得最小值和最大值，已知01,02≤≤≤≤x y ，故114≤++≤x y ，即1,4==m M ，122σσ==⨯=⎰⎰Dd ，所以()218σ≤++≤⎰⎰Dx y d ；（2）提示，()()11max ,,min ,100102====M f x y m f x y ，200σ=， 故10051原积分2≤≤。

5．（1）0； （2）0； （3）124=I I 。

习 题 7-21．（1）3223a ； （2）9； （3）12； （4）0。

2．（1）83；（2）16；（3）令=DI ，1022⎡⎤===⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰I dx ，=t ，则21,2=-=-x t dx tdt ，()()()0122418212415I t t t dt tt dt =--=-=⎰⎰； （4）22222211arctan ⎤⎤==⎥⎥++⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰y y y D yy yx dxdy dx dy dy x y x y y()2111arctan arctan ln 1424ππ⎤⎡=-=-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦y dy y y y y1ln 2122=-； （5）111111+-+++----=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰x xx yx yx y x x Dedxdy dx e dy dx e dy1111110[][]+++-----=+⎰⎰x y x x y x x x e dx e dx()()01211211+---=-+-⎰⎰x x e e dx e e dx0121121101122+---⎡⎤⎡⎤=-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦x x e e x ex e1=-e e。

多元函数积分练习题在多元函数积分练习中，我们将探讨如何计算多元函数的积分。

多元函数是指具有多个变量的函数，而积分是一种数学运算，用于求解函数在某个区域上的面积、体积或总和等概念。

在本文中，我们将提供几个多元函数积分的练习题，以帮助读者加深对该概念的理解。

练习题1：计算函数 $f(x,y)=\exp(x^2+y^2)$ 在区域 $D=\{(x,y)|0\leq x\leq 1,0\leq y\leq 1\}$ 上的积分。

解答：首先，我们可以将该积分分解为两次单变量积分的形式，即：$$\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}e^{x^2+y^2}dydx$$对于第一步积分，我们需要将 $e^{x^2+y^2}$ 视为关于 $y$ 的函数，将 $x$ 视为常数，进行积分。

这里我们使用换元法，令 $u = x^2 + y^2$，则 $du = 2ydy$。

首先计算积分的下限，当 $y=0$ 时，$u=x^2$；当 $y=1$ 时，$u=x^2+1$。

进而，对于第一次积分，我们有：$$\int_{0}^{1}\int_{x^2}^{x^2+1}e^udu dx$$接下来，对于第二步积分，我们需要将 $x^2$ 和 $x^2+1$ 视为常数，将 $u$ 视为变量进行积分。

这里我们可以直接计算积分 $e^u$，而无需再次进行换元。

对于第二次积分，我们有：$$\int_{0}^{1} \left(e^{x^2+1}-e^{x^2}\right)dx$$将上述两次积分结果相乘，我们得到最终的积分结果为：$$\int_{0}^{1} \left(e^{x^2+1}-e^{x^2}\right)dx$$练习题2：计算函数 $f(x,y)=xy^2$ 在区域 $D=\{(x,y)|1\leq x\leq 2, 0\leq y\leq3\}$ 上的积分。

解答：我们可以直接计算该函数在给定区域上的积分。

首先，我们计算函数 $f(x,y)=xy^2$ 在区域 $D$ 上的积分。

第十一章多元函数的积分学1. 计算下列二重积分：(1) ，；(2) ，；(3) ，；(4) ，．2 . 将二重积分化为不同顺序的累次积分：(1) 由轴与所围成；(2) 由及所围成；(3) 由和围成；(4) ．3 .改变下列累次积分的次序：(1) ；(2) ；(3) ．4 .设在所积分的区域上连续，证明．5. 计算下列二重积分：(1) ( ), 是由围成的区域；(2) 是由和围成的区域；(3) ：；(4) ：；(5) 由所围成；(6) 由所围成；(7) 是以和为顶点的三角形；(8) 由和所围成．6. 求下列二重积分：(1) ；(2) ；(3) ．7. 用极坐标变换将化为累次积分：(1) ：半圆；(2) ：半环；(3) ：圆；(4) ：正方形．8. 用极坐标变换计算下列二重积分：(1) ：；(2) 是圆的内部；(3) 由双纽线围成；(4) 由阿基米德螺线和半射线围成；(5) 由对数螺线和半射线围成．9. 在下列积分中引入新变量，将它们化为累次积分：(1) 若；(2) ( ) ，若；(3) ，其中＝，若；(4) ，其中＝( ) ，若．10 .作适当的变量代换，求下列积分：(1) 是由围成的区域；(2) 由围成；(3) 由围成．11 、利用二重积分求由下列曲面围成的立体的体积：(1) ；(2) ；(3) 球面与圆柱面（）的公共部分；(4) ( ) ；(6) ；(6) ．第十一章调用外部程序组件概览在ABAP/4 中，有多种使事务模块化的选项可供选择。

这些选项包括所有可以调用程序外部代码组件的方法。

这些外部组件可以是功能模块、其它事务、对话模块或报表。

内容嵌入程序调用.................................................................................................................................. １外部程序和滚动区 ..................................................................................................................... １外部程序和LUW 处理 ............................................................................................................... １调用功能模块.................................................................................................................................. ２访问功能库.................................................................................................................................. ２进行调用 ..................................................................................................................................... ２使用功能模块接口 ..................................................................................................................... ２处理例外情况 ............................................................................................................................ ３调用其它事务.................................................................................................................................. ４转到事务 ..................................................................................................................................... ４调用事务 ..................................................................................................................................... ４调用与调用程序共享SAP LUW 的事务 ................................................................................... ４调用对话模块.................................................................................................................................. ４运行时执行对话模块.................................................................................................................. ４用事务作为对话模块.................................................................................................................. ４提交报表........................................................................................................................................... ５向报表传送数据......................................................................................................................... ６保存或打印报表......................................................................................................................... ７在程序间传送数据........................................................................................................................... ７用SPA/GPA 参数传送数据...................................................................................................... ７详细信息，参见：嵌入程序调用(页１)调用功能模块(页２)调用其它事务(页４)调用对话模块(页４)提交报表(页５)在程序间传送数据(页７)嵌入程序调用外部程序组件由系统进行维护，对所有程序都可用。

[专升本类试卷]河北专接本数学（多元函数积分学）模拟试卷3一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1 设D1：一1≤x≤1，一1≤y≤1，则(x2+y2)dxdy=( )．2 设区域D是单位圆x2+y2≤1在第一象限的部分，则二重积分=( )．3 设D是平面区域0≤x≤1，0≤y≤2，则二重积分=( )．（A）；（B）1；（C）4；（D）2．4 设，x+y=1围成的，则I1，I2的大小关系为( )．（A）I1=I2；（B）I1＞I2；（C）I1＜I2；（D）I1≥I2．5 设D={(x+y)｜x2+y2≤a2}，若，则a=( )．二、填空题6 设D是平面区域x2+y2≤1，则二重积分=__________．7 设I=，交换积分次序后I=__________．8 交换积分次序∫01dy∫0y f(x，y)dx+∫12dy∫02—y f(x，y)dx=__________．9 设D是平面区域一1≤x≤1，0≤y≤2，则二重积分=__________．10 设L是正向曲线x2+y2=R2，则曲线积分∮L xy2dy—x2ydx=__________．三、综合题11 计算xe xy dxdy，其中D是由0≤x≤1，一1≤y≤0围成的区域．12 计算(3x+2y)dxdy，其中D是由两条坐标轴及直线x+ky=2围成的闭区域．13 计算，其中D是由1≤x≤2，3≤y≤4围成的区域．14 计算xcos(x+y)dxdy，其中D是顶点分别为(0，0)，(π，0)和(π，π)的三角形闭区域．15 计算∫13dx∫x—12siny2dy．16 计算(x2+3x2y+y3)dxdy，其中D是由0≤x≤1，0≤y≤1围成的区域．17 计算(1—2x—3y)dxdy，其中D是由直线2x+3y=1与两坐标轴围成的区域．18 计算xy2dxdy，其中D是由圆周x2+y2=4及y轴所围成的右半闭区域．19 计算(x+6y)dxdy，其中D是由y=x，y=5x，x=1围成的区域．20 计算xydxdy，其中D是由直线y=x一1与抛物线y2=2x+6所围成的闭区域。

专升本（国家）-专升本⾼等数学（⼀）分类模拟多元函数微积分学（三）.doc专升本⾼等数学(-)分类模拟多元函数微积分学(三)⼀、选择题dz1、⼆元函数z=(l+2x)3y ,则⽯等于 ____________A. 3y (l+2x)3y_1 B ? 6y (l+2x) 3y_1C ?(l+2x)3y ：Ln(：L+2x)D ? 6y (l + 2x)3ydz2^ 设z=cos (x 3y 2),则⼱，等于 ___________A. 2x 3ysin (x 3y 2) B ? -sin (x'y ：) C ? ⼀2x 3ysin (x 3y 2) D ? 3x 2y 2sin (x 3y 2)剽3> z=5xy ,则处 IA ?50B ?25 C. 501n5 D. 251n5] afgQ4、已知f (xy, x+y) =x 3+y 3,则 “⼯°，等于A ? 3y 2-3x-3yB ? 3y 2+3x+3y C. 3x 2-3x-3yD ? 3x?+3x+3y(In y)x dr ⼗亍(In y)^{dy(In yY\n (In y)dz+丄(In y)T }dyC ?(：Lny) x ln (lny) dx+ (lny) x_1dy(In v )JIn (In ^y)dr+ —(In y)T ~[dy D . y6、函数z=x 2+y 3在点(1, -1)处的全微分dz | (i, -i )等于 ____________A. 2dx-3dyB. 2dx+3dyC. dx+dy D ? dx-dyA. (1GW2 B ?5、设⼄=(lny) J 贝Ijdz 等于 _________7、设f(x, 为 _________ y)为⼆元连续函数, p (D )drdy = J dj*jV (x ，5?)dx 则积分区域可以表⽰(L2)等于A.B.c.D?8^设f(x, y)为连续函数，⼆次积分A J^cLrJ f(x.y)dyc.W f(x,y)dx交换积分次序后等于^cU?J^/(jr ，5r)dy (dx|" /(\r^y)dyB.D. J 。

专升本数学对应章节练习题一、极限的概念与运算1. 计算极限：\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\]\[\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}\]2. 判断极限的存在性：\[\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}\]\[\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2}\]二、导数与微分1. 求导数：\[y = x^3 - 3x^2 + 2, \quad y' = ?\]\[y = \sin x + e^x, \quad y' = ?\]2. 导数的应用：\[f(x) = x^2, \quad f'(2) = ?\]\[f(x) = \ln x, \quad f'(1) = ? \]三、积分1. 计算不定积分：\[\int (3x^2 - 2x + 1) \, dx\]\[\int \frac{1}{x} \, dx\]2. 计算定积分：\[\int_{0}^{1} x^2 \, dx\]\[\int_{1}^{e} \frac{1}{x} \, dx \]四、多元函数微分法1. 求偏导数：\[z = x^2 + y^2, \quad \frac{\partial z}{\partial x} = ?\]\[z = xy, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = ?\]2. 应用偏导数：\[z = x^2y, \quad \text{在点} (1,1) \text{处的全微分} dz = ? \]五、无穷级数1. 判断级数收敛性：\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\]\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\]2. 求级数和：\[S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}\]六、常微分方程1. 求解一阶微分方程：\[\frac{dy}{dx} = 2x, \quad y|_{x=0} = 1\]2. 求解二阶微分方程：\[y'' + 4y = 0, \quad y|_{x=0} = 0, \quad y'|_{x=0} = 1\]通过以上练习题，可以对专升本数学中的重要概念和运算进行复习和巩固，帮助学生在考试中取得好成绩。

多元函数积分学；微分方程 试题1. 求22()Dx y dxdy +⎰⎰，D y ≤≤.2. 设(,)f x y 为有界闭区域{}222(,)D x y x y a =+≤上的连续函数，求201lim (,)a Df x y dxdy a π→⎰⎰.3.求I=)Dy d σ⎰⎰，D ：由224x y +≤和22(1)1x y ++≥围成.4.求I=110xdx --⎰⎰.5.交换212(,)xdx f x y dy -⎰的积分次序.6.交换积分次序：111422104(,)+(,)yydy f x y dx dy f x y dx ⎰⎰⎰.7.求22max(,)xy De dxdy ⎰⎰，其中：{}(,)01,01D x y x y =≤≤≤≤.8.设区域222:D x y R +≤，求2222()Dx y dxdy a b +⎰⎰.9.设区域{}22:(,)1,0D x y x y x +≤≥，求I=2211Dxydxdy x y+++⎰⎰.10.设(,)f x y 为连续函数，222()(,)x y t F t f x y dxdy +≤=⎰⎰，求()F t '.11.求Dσ,其中D 是由直线0)y a a =->和直线y x =-所围成的区域.12.设()f x 在[,]a b 上连续，且()0f x >，试证：21()()()bb a af x dx dx b a f x ≥-⎰⎰.13.设()f x 在[,]a b 上连续， 试证：11()()=()()()bybn n aaady y x f x dx b t f t dt n N n -+--∈⎰⎰⎰.14.求Dσ,其中D 为22+1x y =的上半圆与222x y y +=的下半圆所围成的区域.15.设{}22=(,)0,0D x y x y x y +≤≥≥,22[1]x y ++表示不超过221x y ++的最大整数，求22[1]Dxy x y dxdy ⋅++⎰⎰.16.设(,)f x y 具有二阶连续偏导数，且(1,)0f y =，(,1)0f x =，(,)Df x y dxdy a =⎰⎰，其中：{}=(,)01,01D x y x y ≤≤≤≤，求：I=(,)xyDxyf x y dxdy ''⎰⎰.17.求2211lim ()()nnn i j nn i n j →∞==++∑∑.1.求方程tan cos y y x x '+=的通解.2.求方程22x y xy y '+=满足初始条件11x y ==的特解.3.求方程2ln xy y x x '+=满足119x y ==-的特解.4.解方程2223(36)(64)0y yx dy y x x dx +++=.5.设()f x 有连续的导函数，且对任意常数a 和b ，有2()()()a b f a b e f b e f a +=+，(0)f e '=，求()f x .6.求方程30xy y '''+=的通解.7.求方程20yy y '''+=满足初始条件01x y ==，012x y ='=的特解.8.求方程21y y '''=+的通解.9.解方程4dy y dx x=+(0,0)y x >≠.10.求方程22420250d x dxx dt dt-+=的通解.11.求方程(4)61280y y y y ''''''-+-=的通解.12.求方程(4)5360y y y ''+-=的通解.13.求方程424220d x d xx dt dt++=的通解.14.求方程(4)0y y -=的通解.15.求方程8252cos y y y x '''++=之通解.16.求方程26(9)1y y a y ''''''+++=的通解，其中1a >.17.设线性无关的函数1y ，2y ，3y 均为二阶非齐次线性方程()()()y p x y q x y f x '''++=的解，12,c c 为任意常数，试说明1122123(1)c y c y c c y ++--为非齐次线性方程的通解.18.设12(sin cos )x y e c x c x =+为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，求方程.19.设123cos 2sin 2x y c e c x c x =++123(,,c c c 常数)为某三阶常系数线性齐次微分方程的通解，求该方程.20.设2sin x ，2cos x 是方程()()0y p x y q x y '''++=的解，12,c c 为常数，则不能构成该方程通解的是（ ）A ．2212cos sin c x c x + B. 12cos 2c c x + C. 2212sin 2tan c x c x + D. 212cos c c x +21.求方程2322cos x y y y x xe x '''-+=-+的通解.22.若连续函数()f x 满足关系式：20()=()ln 22x tf x f dt +⎰，求()f x 表达式.23.设()y y x =在(,)-∞+∞内有二阶导数，且0y '≠，()x x y =是()y y x =的反函数，试求微分方程232(sin )()0d x dxy x dy dy++=的通解.24.求方程222420d y dyxx y dx dx++=(0)x >的通解.25.设1()y x x =，22()x y x x e =+，23()(1)x y x x e =+是二阶常系数线性方程12()y a y a y f x '''++=的三个特解，求该方程的通解及该方程.27.设1y ，2y 为一阶线性非齐次微分方程()()y p x y q x '+=的两个特解，12y y λμ+ 为该方程的解，12y y λμ-为该方程对应的齐次方程的解，求λ和μ的值.28.设()y y x =为二阶常系数微分方程3x y py qy e '''++=满足初始条件(0)(0)0y y '==之特解，求20ln(1)lim()x x y x →+.30.设()y y x =满足20()()xty t dt x y x =+⎰，求()y x .。

专升本高等数学(一)-多元函数微积分学(二)(总分：99.98，做题时间：90分钟)一、{{B}}选择题{{/B}}(总题数：9，分数：18.00)1.设z=ln(x2+y)，则等于A． B． C． D（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 本题主要考查简单二元函数偏导数的计算． [*](答案为B)2.设z=(lny)xy∙ A.xy(lny)xy-1∙ B.(lny)xy lnlny∙ C.y(lny)xy lnlny∙ D.x(lny)xy lnlny（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 本题主要考查简单二元函数偏导数的计算． [*](答案为C)3.设z=sin(xy2)∙ A.-2xycos(xy2)∙ B.-y2cos(xy2)∙ C.2xycos(xy2)∙ D.y2cos(xy2)（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 本题主要考查简单二元函数偏导数的计算． [*]．(答案为C)4.已知f(xy，x-y)=x2+y2∙ A.2+2y∙ B.2-2y∙ C.2x+2y∙ D.2x-2y（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：[解析] 本题主要考查简单二元函数偏导数的计算．f(xy，x-y)=x2+y2=(x-y)2+2xy，f(x，y)=2x+y2，[*]，[*]．(答案为A)5.函数z=3x2y+2xy3在点(1，1)处的全微分dz|(1，1)等于∙ A.4dx-3dy∙ B.4dx+3dy∙ C.8dx+9dy∙ D.8dx-9dy（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：[解析] [*]，[*]，dz|(1，1)8dx+9dy．(答案为C)6.______∙ A.{(x，y)|x2+y2≤4}∙ B.{(x，y)|x2+y2≤4且x≠0}∙ C.{(x，y)|x2+y2≤4且x≠0，y≠0}∙ D.{(x，y)|x2+y2≤4且y≠0}（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：7.______∙ A.{(x，y)|0＜x2+y2≤2}∙ B.{(x，y)|0≤x2+y2≤2}∙ C.{(x，y)|0＜x2+y2＜2}∙ D.{(x，y)|0≤x2+y2＜2}（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：8.设f(x，y)=，则=______ A． B． C． D（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：9.设，则f(x，y)=______A． B． C D．xe x（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：二、{{B}}填空题{{/B}}(总题数：13，分数：26.00)10.，则．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：[解析] 根据二元函数的定义，函数关系只取决于定义域与对应法则，而与变量所选用的记号无关，如果函数表达式中的第一自变量用记号u表示，第二自变量用记号v表示，则给定的函数对应法则为[*]．如果将第一自变量u用[*]替换，第二自变量v用[*]替换，则有 [*]11.f(x，y)=2x2+y2，则f(xy，x2-y2)= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：x4+y4）解析：[解析] f(xy，x2-y2)=2(xy)2+(x2-y2)2=x4+y4．12.f(x+y，x-y)=x2-y2，则f(x，y)=______．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：xy）解析：[解析] 解法Ⅰ (置换法)令[*]解得[*]代入给定函数，则有 [*]，因为函数关系与变量所选用的记号无关，再用字母x，y代换字母u，v，则有f(x，y)=xy 解法Ⅱ (拼凑法)由于f(x+y，x-y)=(x+y)(x-y)，则有f(x，y)=xy13.f(xy，x-y)=x2+y2+xy，则f(x，y)=______．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：3x+y2）解析：[解析] 由于f(xy，x-y)=x2+y2+xy=(x-y)2+3xy，则有f(x，y)=3x+y2．14.设函数z=x2+ye x．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：2x+ye x）解析：[解析] 本题主要考查计算二元函数的一阶偏导数．[*]=2x+ye x．15.设z=sin(x2y)．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：x2cos(x2y)）解析：[解析] 本题主要考查计算二元函数的一阶偏导数． [*]．16.设z=，则．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：1）解析：[解析] 本题主要考查计算二元函数的一阶偏导数．解法Ⅰ [*]，[*]．解法Ⅱ 由于是求函数[*]在点(1，0)处对x的偏导数，可先求出z(x，0)，即将y=0代入函数[*]，可得到关于x的一元函数，然后再求其在x=1处的导数．[*]，[*]．17.函数z=ln(1+x2-y2)的全微分dz=______．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：[解析] [*]， [*]．18.设z=ln(x+y2)．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：dx）解析：[解析] 本题主要考查计算二元函数的一阶全微分．解法Ⅰ [*]，[*]，[*]．解法Ⅱ [*]，[*]．19.设z=x2y+siny．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：2x）解析：[解析] 本题主要考查计算二元函数的二阶混合偏导数． [*]．20.函数z=z(x，y)是由方程x2z+2y2z2+y=0确定，则dz=______．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：[解析] 两种解法如下．解法Ⅰ (公式法)令F(x，y，z)=x2z+2y2z2+y，分别求出三元函数F(x，y，z)对x，y，z的导数，对其中一个变量求导时，其他两个变量视为常数．[*]，[*]解法Ⅱ (直接微分法)将方程两边同时求微分d(x2z)+d(2y2z2)+dy=0，2xdxz+x2dz+4ydy2+4y2zdz+dy=0，经整理，得(x2+4y2z)dz=-2xzdx-(4yz2+1)dy，即[*]．21.函数f(x，y)=4(x-y)-x2-y2的极大值点是______．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：8）解析：[解析] 解方程组[*]得驻点(2，-2)，计算[*]，B2-AC=-4＜0，A=-2＜0，所以函数的极大值点为(2，-2)，极大值为f(2，-2)=8．22. 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：{(x，y)|1＜x2+y2≤2}）解析：三、{{B}}解答题{{/B}}(总题数：1，分数：56.00)求下列二元函数的定义域．（分数：55.98）3.11）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(由于分式函数，要求分式的分母不为零，而对于根式函数，要求偶次方根号下的被开方式必须大于或等于零，则有[*]所以D={(x，y)|0＜x2+y2≤4}，此函数的定义域是以点(0，0)为圆心，以2为半径的圆周及圆周所围成的不含圆心、不含圆周上及圆周内的y轴部分的有界半开半闭区域(如下图)．[*])解析：(2).z=ln(y2-2x+1)．（分数：3.11）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(由于对数函数，要求真数式必须大于零，则有y2-2x+1＞0，即y2＞2x-1．所以D={(x，y)|y2＞2x-1}，此函数的定义域是以点([*]，0)为顶点，以x为对称轴，开口向右的抛物线所围成的左侧无界开区域(如下图)．[*])解析：3.11）正确答案：(对于函数arcsinf(x，y)，arccosf(x，y)，要求|f(x，y)|≤1，则有 [*]即[*] 所以D={(x，y)|-2≤x≤2，-3≤y≤3}，此函数的定义域是直线x=-2，x=2，y=-3，y=3所围成的有界闭区域(如下图)．[*]) 解析：3.11）__________________________________________________________________________________________正确答案：(要使函数解析式有意义，自变量x，y应同时满足[*]即[*]亦即[*]所以D={(x，y)|y2≤4x，x2+y2＜1且x≠0，y≠0}，此函数的定义域是抛物线y2=4x和圆x2+y2=1所围成的，但不含原点及抛物线间劣弧段的有界半开半闭区域(如下图)．[*])解析：(5).，求 3.11）__________________________________________________________________________________________正确答案：([*]， [*]．)解析：(6).设z=e u sinv，u=xy，v=x+y 3.11）__________________________________________________________________________________________正确答案：(根据二元复合函数求导的链式法则，有[*]=e xy sin(x+y)y+e xy cos(x+y)=e xy[ysin(x+y)+cos(x+y)]，[*]=e xy sin(x+y)x+e xy cos(x+y)=e xy[xsin(x+y)+cos(x+y)]．)解析：(7).设z=f(u，v)，而u=x2y，，其中f(u，v) 3.11）__________________________________________________________________________________________正确答案：(本题主要考查用二元复合函数的链式法则求偏导数． [*])解析：(8).设z=f(xy，x2+y2)，且f 3.11）__________________________________________________________________________________________正确答案：(本题主要考查用二元复合函数的链式法则求偏导数．设z=f(u，v)，u=xy，v=x2+y2，[*])解析：(9).设函数z=arctan(xy)+2x2+y，求dz．（分数：3.11）__________________________________________________________________________________________正确答案：(本题主要考查计算二元函数的全微分． [*])解析：(10).dz．（分数：3.11）正确答案：([*])解析：(11).设函数f(u，v)dz．（分数：3.11）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(本题主要考查计算二元复合函数的全微分． [*]， [*])解析：(12).设函数z=ln(2-x+y) 3.11）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*]．)解析：(13).设函数z=ln(1-x+y)+x2y 3.11）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*]．)解析：(14).设函数，求 3.11）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(15).设函数z=z(x，y)是由方程x2+y2-xyz2=0 3.11）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(令F(x，y，z)=x2+y3-xyz2，分别求出三元函数F(x，y，z)对x，y，z的导数，对其中一个变量求导时，其他两个变量视为常数．[*])解析：(16).设z=f(x，y)是由方程F(x+mz，y+nz)=0所确定，其中m、n为常数，F(u，v)为可微分函数，数：3.11）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(本题主要考查计算二元函数的偏导数．设 F(u，v)=0，u=x+mz，v=y+nz， [*] [*])解析：(17).设z=z(x，y)是由方程yz+x2+z=0所确定，求dz．（分数：3.11）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(令F(x，y，z)=yz+x2+z，分别求出三元函数F(x，y，z)对x，y，z的导数，对其中一个变量求导时，其他两个变量视为常数．[*])解析：(18).设函数z=z(x，y)是由方程z=x+ye z 3.11）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(令F(x，y，z)=x+ye z-z，[*])解析：。

多元函数积分1. 利用积分区域的对称性化简多元函数的积分1.1 利用积分区域的对称性化简多元函数的重积分题型一 计算积分区域具有对称性，被积函数具有奇偶性的重积分类型（一） 计算积分区域具有对称性、被积函数具有奇偶性的二重积分常用下述命题简化计算二重积分.命题1 若f(x,y)在积分区域D 上连续，且D 关于y 轴（或x 轴）对称，则（1）f(x,y)是D 上关于x （或y ）的奇函数时，有⎰⎰=Ddxdy y x f 0),(；（2）f(x,y)是D 上关于x （或y ）的偶函数时，有⎰⎰⎰⎰=D D dxdy y x f dxdy y x f 1),(2),(；其中D 1是D 落在y 轴（或x 轴）一侧的那一部分区域.命题2 若D 关于x 轴、y 轴对称，D 1为D 中对应于x ≥0,y ≥0（或x ≤0,y ≤0）的部分，则⎰⎰⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧-=--=-=-=D D y x f y x f y x f y x f y x f y x f dxdy y x f dxdy y x f ).,(),(),(,0),,(),(),(,),(4),(1或 命题3 设积分区域D 对称于原点，对称于原点的两部分记为D 1和D 2.（1）;),(2),(),,(),(1⎰⎰⎰⎰==--D D d y x f d y x f y x f y x f σσ则若（2）.0),(),,(),(⎰⎰=-=--Dd y x f y x f y x f σ则若命题4 积分区域D 关于y x ,具有轮换对称性，则⎰⎰⎰⎰⎰⎰+==DD D d x y f y x f d x y f d y x f σσσ)],(),([21),(),( 记D 位于直线y=x 上半部分区域为D 1,则⎰⎰⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧-===D D y x f x y f y x f x y f dxdy y x f dxdy y x f ),,(),(,0),,(),( ,),(2),(1类型（二） 计算积分区域具有对称性，被积函数具有奇偶性的三重积分.常用下述命题简化具有上述性质的三重积分的计算.命题1若Ω关于xOy 平面对称，而Ω1是Ω对应于z ≥0的部分，则⎪⎩⎪⎨⎧Ω∈∀=-Ω∈∀--=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ;),,(),,,(),,(,),,(2,),,(),,,(),,(,0),,(1z y x z y x f z y x f d z y x f z y x z y x f z y x f d z y x f υυ 若Ω关于yOz 平面（或zOx 平面）对称，f 关于x （或y ）为奇函数或偶函数有类似结论.命题2 若Ω关于xOy 平面和xOz 平面均对称（即关于x 轴对称），而Ω1为Ω对应于z ≥0,y ≥0的部分，则⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ为奇函数；或关于，当为偶函数，关于当z y f z y f d z y x f d z y x f 0,,),,(4),,(1υυ 若Ω关于xOz 平面和yOz 平面均对称（即关于z 轴对称），或者关于xOy 平面和yOz 平面均对称，那么也有类似结论.命题3 如果积分区域Ω关于三个坐标平面对称，而Ω1是Ω位于第一象限的部分，则⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ为奇函数；或或关于，当均为偶函数，关于当z y x f z y x f d z y x f d z y x f 0,,,),,(8),,(1υυ 命题4 若积分区域Ω关于原点对称，且被积函数关于x,y,z 为奇函数，即.0),,(),,,(),,(=----=⎰⎰⎰Ωυd z y x f z y x f z y x f 则题型三 计算积分区域具有轮换对称性的三重积分命题5 如果积分区域关于变量x,y,z 具有轮换对称性（即x 换成y,y 换成z,z 换成x ，其表达式不变），则⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩΩ++===υυυυd y x z f x z y f z y x f d y x z f d x z y f d z y x f )],,(),,(),,([31),,(),,(),,(.1.2 利用积分区域的对称性化简第一类曲线积分、曲面积分题型一 计算积分曲线（面）具有对称性的第一类曲线（面）积分类型（一） 计算积分曲线具有对称性的第一类曲线积分命题1.2.1 设曲线L 关于y 轴对称，则⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰，0,),(2),(1L L ds y x f s d y x f 是奇函数，关于是偶函数，关于x y x f x y x f ),(),( 其中L 1是L 在x ≥0的那段曲线，即L 1是L 在y 轴右侧的部分；若曲线L 关于x 轴对称，则有上述类似结论. 命题1.2.2 设f(x,y)在分段光滑曲线L 上连续，若L 关于原点对称，则⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰，LL ds y x f s d y x f ),(2,0),( 为偶函数，关于若为奇函数，关于若),(),(),(),(y x y x f y x y x f 其中L 1为L 的右半平面或上半平面部分.类型（二） 计算积分曲面具有对称性的第一类曲面积分第一类曲面积分的奇偶对称性与三重积分类似，可利用下述命题简化计算.命题1.2.3 设积分曲面Σ关于yOz 对称，则⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰⎰⎰∑∑1),,(2,0),,(dS z y x f dS z y x f 为偶函数，关于当为奇函数，关于当x z y x f x z y x f ),,(),,( 其中Σ1是Σ在yOz 面的前侧部分.若Σ关于另外两坐标面有对称性，则有类似结论.注意 不能把Σ向xOy 面上投影，因第一类曲面积分的Σ投影域面积不能为0. 题型二 计算平面积分曲线关于y=x 对称的第一类曲线积分命题1.2.4 若L 关于直线y=x 对称，则⎰⎰=L Lds x y f ds y x f ),(),(. 题型三 计算空间积分曲线具有轮换对称性的第一类曲线积分命题1.2.5 若曲线Γ方程中的三变量x,y,z 具有轮换对称性，则⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΓΓΓΓΓΓ====ds z ds y ds x zds yds xds 222,. 1.3 利用积分区域的对称性化简第二类曲线积分、曲面积分题型一 计算积分曲线具有对称性的第二类曲线积分第二类曲线积分的奇偶对称性与第一类曲线积分相反，有下述结论.命题1.3.1 设L 为平面上分段光滑的定向曲线，P(x,y),Q(x,y)连续，（1）L 关于y 轴对称，L 1是L 在y 轴右侧部分，则⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰,),(2,0),(1L L dx y x P dx y x P 为偶函数；关于若为奇函数，关于若x y x P x y x P ),(),( ⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰,),(2,0),(Q 1L L dy y x Q dy y x .),(),(为奇函数关于若为偶函数，关于若x y x Q x y x Q （2）L 关于x 轴对称，L 1为L 在x 轴上侧部分，则⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰,),(2,0),(1L L dx y x P dx y x P 为奇函数；关于若为偶函数，关于若y y x P y y x P ),(),( ⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰,),(2,0),(1L L dy y x Q dy y x Q .),(),(为偶函数关于若为奇函数，关于若y y x Q y y x Q （3）L 关于原点对称，L 1是L 在y 轴右侧或x 轴上侧部分，则⎪⎩⎪⎨⎧+=+⎰⎰⎰,2,0),(),(1L L L Qdy Pdx dy y x Q dx y x P .),(),(),,(),(),(),,(为奇函数关于若为偶函数，关于若y x y x Q y x P y x y x Q y x P （4）L 关于y=x 对称，则.),(),(),(),(),(),(⎰⎰⎰+-=+=+-LL L dx x y Q dy x y P dx x y Q dy x y P dy y x Q dx y x P 即若L 关于y=x 对称，将x 与y 对调，则L 关于直线y=x 翻转，即L 化为L —.因而第二类曲线积分没有轮换对称性.题型二 计算积分曲面具有对称性的第二类曲面积分命题1.3.2 设Σ关于yOz 面对称，则⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰⎰⎰∑∑,0,),,(2),,(1dydz z y x P dydz z y x P .),,(),,(为偶函数关于当为奇函数，关于当x z y x P x z y x P 其中Σ1是Σ在yOz 面的前侧部分.这里对坐标y 和z 的第二类曲面积分只能考虑Σ关于yOz 面的对称性，而不能考虑其他面，这一点也与第一类曲面积分不同.2. 交换积分次序及转换二次积分题型一 交换二次积分的积分次序※直接例题，无讲解.题型二 转换二次积分转换二次积分是指将极坐标系（或直角坐标系）下的二次积分转换成直角坐标系（或极坐标系）下的二次积分.由极坐标系（或直角坐标系）下的二次积分的内外层积分限写出相应的二重积分区域D 的极坐标（或直角坐标）表示，再确定该区域D 在直角坐标系（或极坐标系）中的图形，然后配置积分限.3. 计算二重积分题型一 计算被积函数分区域给出的二重积分含绝对值符号、最值符号max 或min 及含符号函数、取整函数的被积函数，实际上都是分区域给出的函数，计算其二重积分都需分块计算.题型二 计算圆域或部分圆域上的二重积分当积分区域的边界由圆弧、过原点的射线（段）组成，而且被积函数为)(22y x f y x m n +或)/(x y f y x m n 的形状时，常作坐标变换θθsin ,cos r y r x ==，利用极坐标系计算比较简单.为此，引进新变量r,θ,得到用极坐标（r ，θ）计算二重积分的公式：⎰⎰⎰⎰=')sin ,cos (),(D D rdrd r r f dxdy y x f θθθ （其中rd θdr 是极坐标系下的面积元素）. 用极坐标系计算的二重积分，就积分区域来说，常是圆域（或其一部分）、圆环域、扇形域等，可按其圆心所在位置分为下述六个类型（其中a,b,c 均为常数）.类型（一） 计算圆域x 2+y 2≤a 上的二重积分.类型（二） 计算圆域x 2+y 2≤2ax 上的二重积分.类型（三） 计算圆域x 2+y 2≤-2ax 上的二重积分.类型（四） 计算圆域x 2+y 2≤2ay 上的二重积分.类型（五） 计算圆域x 2+y 2≤-2ay 上的二重积分.类型（六） 计算圆域x 2+y 2≤2ax+2by+c 上的二重积分.4. 计算三重积分题型一 计算积分区域的边界方程均为一次的三重积分当积分区域Ω主要由平面围成时，宜用直角坐标系计算，如果积分区域Ω的边界方程中含某个坐标变量的方程只有两个，则可先对该坐标变量积分。

多元函数积分学100题（附答案）一．计算下列二重积分1. (1)Dx y d σ--⎰⎰，其中:0,0,1D x y x y ≥≥+≤；2.22Dyd xyσ+⎰⎰，其中2:,1D y x y y ≤≤≤≤；3. xyDxe d σ⎰⎰ ，其中1:2,12D y x x≤≤≤≤；4. x yDed σ+⎰⎰，其中:1D x y +≤；5. Dxyd σ⎰⎰，其中D 是由1y x =-及226y x =+所围成的闭区域；6. (2)Dx y d σ+⎰⎰，其中D 是由22y x =及21y x =+所围成的闭区域；7.2sin Dy d σ⎰⎰，其中D 是由0,1x y ==及y x =所围成的闭区域；8．3(3)Dx y d σ+⎰⎰，其中D 是由22,4y x y x ==及1y =所围成的闭区域； 9.Dσ⎰⎰，其中2:D x y ≤≤10. 1Dx d y σ+⎰⎰，其中D 是由21,2y x y x =+=及0x =所围成的闭区域；11. 2Dy x d σ-⎰⎰，其中:01,01D x y ≤≤≤≤；12. Dxy d σ⎰⎰，其中222:D x y a +≤；13. 22x yDed σ+⎰⎰，其中22:4D x y +≤；14.22ln(1)Dx y d σ++⎰⎰，其中22:1,0,0D x y x y +≤≥≥；15.arctanDy d xσ⎰⎰，其中D 是由22224,1,x y x y +=+=及0,y y x ==围成的第一象限内的闭区域；16. Dσ⎰⎰，其中22:D x y Rx +≤；17. 2214Dx y d σ+-⎰⎰，其中22:1D x y +≤；18. Dσ⎰⎰，其中22:D x y x +≤；19. Dσ⎰⎰，其中22:1,0,0D x y x y +≤≥≥；20. 22Dx y d σ⎰⎰，其中D 是由两条双曲线1,2,xy xy ==及,4y x y x ==围成的第一象限内的闭区域；21. 2222()Dx y d abσ+⎰⎰，其中2222:1x y D ab+≤；22. 222yxdx edy -⎰⎰； 23. 66cos yx dy dx xππ⎰⎰；24. 设D 是以点(0,0),(1,2),(2,1)O A B 为顶点的三角形区域，求Dxdxdy ⎰⎰；25. 设212,0(,)0x yx y x f x y ⎧≤≤≤≤=⎨⎩，其他.，求(,)Df x y dxdy ⎰⎰，其中22:2D x y x +≥；26. Dσ⎰⎰，其中D是由0)y a a =-+>及y x =-所围成的闭区域；27. 221()2[1]x y Dy xedxdy ++⎰⎰，其中D 是直线,1y x y ==-及1x =围成的闭区域；28. 22()22sin()x y Dex y dxdy π-+-+⎰⎰，其中22:D x y π+≤；29. )Dy d σ⎰⎰，其中D 是由圆224x y +=及22(1)1x y ++=所围成的平面区域；30. Dydxdy ⎰⎰，其中D是由曲线x =及2,0,2x y y =-==所围成的平面区域；二． 计算下列三重积分31. 2(1)d x y z υΩ+++⎰⎰⎰，其中Ω是由1x y z ++=和三个坐标平面所围成的空间闭区域；32. xyzd υΩ⎰⎰⎰，其中Ω是由1,,,0x y x z y z ====所围成的空间闭区域；33. 23xy z d υΩ⎰⎰⎰，其中Ω是由,1,,0z xy y y x z ====所围成的空间闭区域；34. ||z e d υΩ⎰⎰⎰，其中Ω：2221x y z ++≤；35. 222222ln(1)1z x y z d x y zυ++++++⎰⎰⎰，其中Ω：2221x y z ++≤；36. ()x z d υΩ+⎰⎰⎰，其中Ω是由z z ==所围成的立体区域；37. 22xye d υ--Ω⎰⎰⎰，其中Ω：221,01x y z +≤≤≤；38. zd υΩ⎰⎰⎰，其中Ω是由22,z x y z =+=39. x y zΩ++⎰⎰⎰，其中Ω是由2221x y z ++≤所围成的第一象限内的闭区域；40. 22()x y d υΩ+⎰⎰⎰，其中Ω：22212,0,0x y z x y ≤++≤≥≥；41. υΩ⎰⎰⎰，其中Ω是由0,3,0y z z y ====所围成的空间闭区域；42. zd υΩ⎰⎰⎰，其中Ω：2222222(),x y z a a x y z ++-≤+≤；43. υΩ⎰⎰⎰，其中Ω是由球面222x y z z ++=所围成的空间闭区域；44. 22()x y d υΩ+⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面22225()4x y z +=及平面5z =所围成的空间闭区域；45. 22()x y d υΩ+⎰⎰⎰，其中Ω：0,0a b z <≤≤≥；三．重积分的应用46. 求球面2222x y z ++=与抛物面22z x y =+所围立体的体积； 47. 求球面2222x y z a ++=被柱面22x y ax +=所截那部分面积；48. 平面薄片所占的区域D 由抛物线2y x =及直线y x =围成，面密度2(,)x y x y μ=，求质心坐标； 49. 设球体Ω：2222x y z Rz ++≤各点处的密度等于该点到原点的距离的平方，求该球体的质心； 50. 设均匀平面薄片所占区域D 由抛物线29,22y x x ==围成，求转动惯量,x y I I .四、计算下列曲线积分51. Lxyds ⎰，其中L 是22y x =从原点到点(2,2)A 的一段弧；52. Lyds ⎰，其中L 是y x =-上从1x =-到1x =的一段弧；53. Lxds ⎰，其中L 是直线y x =及抛物线2y x =所围成的区域的整个边界； 54. 22()x y ds +⎰，其中L 是摆线(cos sin ),(sin cos ),02x a t t t y a t t t t π=+=-≤≤；55. 2Ly ds ⎰，其中L 为摆线的一拱：(sin ),(1cos ),02x a t t y a t t π=-=-≤≤；56. 2221ds x y zΓ++⎰，其中Γ是曲线cos ,sin ,t t tx e t y e t z e ===上从0t =到2t =的一段弧；57. 2x yzds Γ⎰，其中Γ是折线A B C D ,其中(0,0,0),(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2)A B C D ；58. 22()Lx y dx -⎰, 其中L 是抛物线2y x =上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧；59. Lxydx ⎰，其中L 是圆周222()(0)x a y a a -+=>及x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界（按逆时针方向绕行）；60. Lydx xdy +⎰，其中L 为圆周cos ,sin x R t y R t ==上对应于0t =到2t π=的一段弧；61. 22()()Lx y dx x y dyx y+--+⎰，其中L 为圆周222(0)x y a a +=>（按逆时针方向绕行）；62. 2x dx zdy ydz Γ+-⎰， Γ是曲线,cos ,sin x k y a z a θθθ===上对应于0θ=到θπ=的一段弧；63. (1)xdx ydy x y dz Γ+++-⎰，其中Γ是从点(1,1,1)到点(2,3,4)的一段直线；64. dx dy ydz Γ-+⎰ ，其中Γ是有向闭折线段A B C A ，其中(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)A B C ；65. ()()Lx y dx y x dy ++-⎰，其中L 是曲线2221,1x t t y t =++=+上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧；66. (24)(536)Lx y dx y x dy -+++-⎰ ，其中L 为三顶点(0,0),(3,0),(3,2)的三角形正向边界；67. 222(cos 2sin )(sin 2)xxLx y x xy x y e dx x x ye dy +-+-⎰ ，L 为正向星形线222333(0)x y a a +=>；68. 22()(sin )Lx y dx x y dy --+⎰，其中L 为圆周y =(0,0)到点(1,1)的一段弧；69. 222()Lydx xdy x y -+⎰，其中L 是圆周22(1)2x y -+=，方向为逆时针方向；70. 证明(2,1)423(1,0)(23)(4)xy y dx x xy dy -++-⎰与路径无关，并计算其值；71. 验证22(2cos cos )(2sin sin )x y y x dx y x x y dy ++-是某个函数(,)u x y 的全微分，并求(,)u x y ； 72. 解全微分方程(2)0yye dx xe y dy +-=； 73. 设曲线积分2()Lxy dx y x dy ϕ+⎰与路径无关，其中()x ϕ具有连续导数，且(0)0ϕ=，试计算(1,1)2(0,0)()xy dx y x dy ϕ+⎰的值；74. 设Γ是曲线23,,x t y t z t ===上从0t =到1t =的一段弧，把对坐标的第二型曲线积分Pdx Q dy Rdz Γ++⎰化为对弧长的第一型曲线积分；75. 把对坐标的第二型曲线积分LP d x Q d y+⎰化为对弧长的第一型曲线积分，其中L 为圆周y =(0,0)到点(1,1)的一段弧；五、计算下列曲面积分76. 4(2)3z x y dS ∑++⎰⎰，其中∑为平面1234x y z ++=在第一卦限中的部分；77. 2(22)z xy x x dS ∑+--⎰⎰，其中∑为平面226x y z ++=在第一卦限中的部分；78. ()x y z dS ∑++⎰⎰，其中∑为球面2222x y z a ++=上(0)z h h a ≥<<的部分；79. ()xy yz zx dS ∑++⎰⎰，其中∑为锥面z =222x y ax +=所截得的部分；80. 22()x y dS ∑+⎰⎰，其中∑为锥面z =及平面1z =所围成的区域的整个边界曲面；81. ()x y dydz ∑+⎰⎰，∑是以原点为中心，边长为2a 的正方体,,x a y a z a ≤≤≤的整个表面的外侧；82.2z dxdy ∑⎰⎰，其中∑是上半球面z =22(0)x y ax a +=>之外部分的外侧；83. 2()z x dydz xdxdy ∑+-⎰⎰，∑是旋转抛物面221()2z x y =+介于平面0z =及2z =之间部分的下侧；84.[(,,)][2(,,)][(,,)]f x y z x dydz f x y z y dzdx f x y z z dxdy ∑+++++⎰⎰，其中∑是平面1x y z -+=在第四卦限部分的上侧；85. 22()x y dzdx zdxdy ∑++⎰⎰，其中∑为锥面z =1z =所截下在第一卦限部分的下侧；86. 化第二型曲面积分(,,)(,,)(,,)P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy ∑++⎰⎰为第一型曲面积分，其中∑是平面平面326x y ++=在第一卦限部分的上侧；六、高斯公式和斯托克斯公式87. 222x dydz y dzdx z dxdy ∑++⎰⎰ ，其中∑为平面0,,0,,0,x x a y y a z z a ======所围立体表面的外侧；88. 333x dydz y dzdx z dxdy ∑++⎰⎰ ，其中∑为球面2222x y z a ++=的外侧；89. 2232()(2)xz dydz x y z dzdx xy y z dxdy ∑+-++⎰⎰ ，其中∑为上半球体0z ≤≤的外侧；90. xdydz ydzdx zdxdy ∑++⎰⎰ ， ∑是介于平面0,3z z ==之间的圆柱体229x y +≤的表面的外侧；91. 24xzdydz y dzdx yzdxdy ∑-+⎰⎰ ，其中∑为平面0,1,0,1,0,1x x y y z z ======所围立体表面的外侧；92. 求向量场2(23)()(2)x z xz y y z =+-+++A i j k穿过球面∑：222(3)(1)(2)9x y z -+++-=流向外侧的通量；93. 323232()()()x az dydz y ax dzdx z ay dxdy ∑+++++⎰⎰，其中∑为上半球面z =的上侧；94. ydx zdy xdz Γ++⎰，其中Γ为圆周2222,x y z a ++=0x y z ++=，若从x 轴的正向看去，取逆时针方向；95. ()()()y z dx z x dy x y dz Γ-+-+-⎰，其中Γ为椭圆222x y a +=，1(0,0)x z a b ab+=>>，若从x轴的正向看去，取逆时针方向； 96. ABC Azdx xdy ydz ++⎰，其中A B C A 是以(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)A B C 为顶点的三角形边界曲线，它的正向与这个三角形所在平面上侧的法向量之间符合右手法则；97. 223ydx xdy z dz Γ+-⎰ ，其中Γ为圆周2229x y z ++=，0z =，若从z 轴的正向看去，取逆时针98.()()()z y dx x z dy x y dz Γ-+-+-⎰，其中Γ是曲线221,x y +=2x y z -+=，若从z 轴的正向看去，取顺时针方向；99. 求向量场32()()3x z x yz xy =-++-A i j k沿闭曲线Γ（从z 轴的正向看取逆时针方向）的环流量，其中Γ为圆周20z z =-=；100. 求向量场(23)(3)(2)x y x z y x =-+-+-A i j k的旋度.参考答案： 1. 16， 2.1ln 2122-， 3.421(2)2e e e --， 4. 1e e-，5. 36， 6.3215，7. 1cos 12-， 8. 25， 9. 655， 10.91ln 3ln 282--， 11.1130， 12.42a， 13. 4(1)e π-，14.(2ln 21)4π-，15. 2364π，16. 34()33Rπ-，17. 516π，18. 815，19.284ππ-，20.7ln 23，21.2abπ ，22.41(1)2e--，23. 12，24.32，25.4920，26. 221()162a π-，27. 23-， 28.(1)2e ππ+，29. 16(32)9π-，30. 42π-， 31. 3ln 24-， 32.148， 33.1312， 34. 2π，35. 0， 36.8π，37. 1(1)e π--，38.712π， 39.1cos 12π-， 40.21)15π-， 41. 8， 42. 476a π， 43.10π，44. 8π，45.554()15b a π-， 46.76π ，47. 22(2)a π-，48. 3535(,)4854 ，49. 5(0,0,)4R ，50.7296,57. 51. 1315+， 52. 53. 11)12， 54. 2322(21)a ππ+，55.325615a ，2)2e --, 57. 9, 58.5615-, 59. 312a π-, 60. 0, 61. 2π-，62. 33213k a ππ-， 63. 13， 64.12， 65.323，66. 12, 67. 0, 68.17sin 246-, 69. π-,70. 5, 71. 22cos sin x y y x C ++，72. 2yxe y C -=， 73.12， 74. Γ⎰，75. (1)]Lx Q ds +-⎰，76. , 77. 274-, 78. 22()a a h π-, 79.4,80.12+, 81. 38a ， 82.41132a π， 83. 4π， 84.12，85. 146π-，86. 32()555P Q dS ∑++⎰⎰,87. 43a , 88.5125a π, 89.525a π, 90. 81π, 91.32， 92. 108π， 93.52920a π， 94. 2a ，95. 2()a a b π-+ ，96. 32, 97. 9π, 98. 2π-, 99. 12π, 100. 246=++rot A i j k.。

多元函数积分学100题（附答案）一．计算下列二重积分1.(1)Dx y d σ--⎰⎰，其中:0,0,1D x y x y ≥≥+≤；2.22Dy d x y σ+⎰⎰，其中2:,1D y x y y ≤≤≤≤ 3. xyDxe d σ⎰⎰ ，其中1:2,12D y x x≤≤≤≤； 4. x y De d σ+⎰⎰，其中:1D x y +≤； 5. Dxyd σ⎰⎰，其中D 是由1y x =-及226y x =+所围成的闭区域； 6. (2)Dx y d σ+⎰⎰，其中D 是由22y x =及21y x =+所围成的闭区域； 7. 2sin Dy d σ⎰⎰，其中D 是由0,1x y ==及y x =所围成的闭区域；8．2(3)Dx y d σ+⎰⎰，其中D 是由22,4y x y x ==及1y =所围成的闭区域； 9.Dσ⎰⎰，其中2:D x y ≤≤ 10. 1Dxd y σ+⎰⎰，其中D 是由21,2y x y x =+=及0x =所围成的闭区域； 11. 2Dy x d σ-⎰⎰，其中:01,01D x y ≤≤≤≤； 12. D xy d σ⎰⎰，其中222:D x y a +≤；13. 22x y Ded σ+⎰⎰，其中22:4D x y +≤；14.22ln(1)Dx y d σ++⎰⎰，其中22:1,0,0D x y x y +≤≥≥； 15.arctan Dyd x σ⎰⎰，其中D 是由22224,1,x y x y +=+=及0,y y x ==围成的第一象限内的闭区域；16.Dσ，其中22:D x y Rx +≤；17.2214Dx y d σ+-⎰⎰，其中22:1D x y +≤；18.Dσ，其中22:D x y x +≤；19. Dσ⎰⎰，其中22:1,0,0D x y x y +≤≥≥； 20.22Dx y d σ⎰⎰，其中D 是由两条双曲线1,2,xy xy ==及,4y x y x ==围成的第一象限内的闭区域； 21. 2222()Dx y d a b σ+⎰⎰，其中2222:1x y D a b +≤；22.222y xdx edy -⎰⎰； 23. 66cos yxdy dx xππ⎰⎰； 24. 设D 是以点(0,0),(1,2),(2,1)O A B 为顶点的三角形区域，求Dxdxdy ⎰⎰；25. 设212,0(,)0x y x y x f x y ⎧≤≤≤≤=⎨⎩，其他.，求(,)Df x y dxdy ⎰⎰，其中22:2D x y x +≥；26.Dσ，其中D是由0)y a a =-+>及y x =-所围成的闭区域； 27. 221()2[1]x y D y xedxdy ++⎰⎰，其中D 是直线,1y x y ==-及1x =围成的闭区域；28. 22()22sin()x y De x y dxdy π-+-+⎰⎰，其中22:D x y π+≤；29. )Dy d σ⎰⎰，其中D 是由圆224x y +=及22(1)1x y ++=所围成的平面区域；30. Dydxdy ⎰⎰，其中D是由曲线x =及2,0,2x y y =-==所围成的平面区域；二． 计算下列三重积分31. 2(1)d x y z υΩ+++⎰⎰⎰，其中Ω是由1x y z ++=和三个坐标平面所围成的空间闭区域； 32. xyzd υΩ⎰⎰⎰，其中Ω是由1,,,0x y x z y z ====所围成的空间闭区域；33. 23xy z d υΩ⎰⎰⎰，其中Ω是由,1,,0z xy y y x z ====所围成的空间闭区域；34.||z e d υΩ⎰⎰⎰，其中Ω：2221x y z ++≤； 35. 222222ln(1)1z x y z d x y z υΩ++++++⎰⎰⎰，其中Ω：2221x y z ++≤；36. ()x z d υΩ+⎰⎰⎰，其中Ω是由z z == 37. 22xy e d υ--Ω⎰⎰⎰，其中Ω：221,01x y z +≤≤≤；38.zd υΩ⎰⎰⎰，其中Ω是由22,z x y z =+=39. Ω，其中Ω是由2221x y z ++≤所围成的第一象限内的闭区域； 40. 22()x y d υΩ+⎰⎰⎰，其中Ω：22212,0,0x y z x y ≤++≤≥≥；41. υΩ⎰⎰⎰，其中Ω是由0,3,0y z z y ====所围成的空间闭区域；42. zd υΩ⎰⎰⎰，其中Ω：2222222(),x y z a a x y z ++-≤+≤；43. υΩ⎰⎰⎰，其中Ω是由球面222x y z z ++=所围成的空间闭区域；44. 22()xy d υΩ+⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面22225()4x y z +=及平面5z =所围成的空间闭区域；45. 22()xy d υΩ+⎰⎰⎰，其中Ω：0,0a b z <≤≤≥；三．重积分的应用46. 求球面2222x y z ++=与抛物面22z x y =+所围立体的体积； 47. 求球面2222x y z a ++=被柱面22x y ax +=所截那部分面积；48. 平面薄片所占的区域D 由抛物线2y x =及直线y x =围成，面密度2(,)x y x y μ=，求质心坐标；49. 设球体Ω：2222x y z Rz ++≤各点处的密度等于该点到原点的距离的平方，求该球体的质心； 50. 设均匀平面薄片所占区域D 由抛物线29,22y x x ==围成，求转动惯量,x y I I .参考答案： 1. 16， 2. 1ln 2122-， 3. 421(2)2e e e --， 4. 1e e -，5. 36， 6.3215， 7. 1cos12-， 8. 25， 9. 655， 10. 91ln 3ln 282--， 11. 1130， 12. 42a ， 13. 4(1)e π-，14. (2ln 21)4π-，15. 2364π，16. 34()33R π- ，17. 516π，18. 815 ，19. 284ππ-，20. 7ln 23 ，21. 2ab π ，22. 41(1)2e --，23. 12，24. 32，25. 4920，26. 221()162a π-，27. 23-， 28. (1)2e ππ+，29.16(32)9π-，30. 42π-， 31. 3ln 24-， 32. 148， 33. 1312， 34. 2π，35. 0， 36. 8π，37. 1(1)e π--，38. 712π， 39. 1cos12π-， 40. 21)15π， 41. 8， 42. 476a π， 43. 10π，44. 8π，45.554()15b a π-， 46. ，47. 22(2)a π-，48. 3535(,)4854 ，49. 5(0,0,)4R ，50. 7296,57.四、计算下列曲线积分51. Lxyds ⎰，其中L 是22y x =从原点到点(2,2)A 的一段弧；52. Lyds ⎰，其中L 是y x =-上从1x =-到1x =的一段弧；53. Lxds ⎰，其中L 是直线y x =及抛物线2y x =所围成的区域的整个边界；54. 22()Lx y ds +⎰，其中L 是摆线(cos sin ),(sin cos ),02x a t t t y a t t t t π=+=-≤≤； 55.2Ly ds ⎰，其中L 为摆线的一拱：(sin ),(1cos ),02x a t t y a t t π=-=-≤≤；56.2221ds x y z Γ++⎰，其中Γ是曲线cos ,sin ,t t tx e t y e t z e ===上从0t =到2t =的一段弧； 57. 2x yzds Γ⎰，其中Γ是折线ABCD ,其中(0,0,0),(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2)A B C D ；58. 22()Lxy dx -⎰, 其中L 是抛物线2y x =上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧；59.Lxydx ⎰，其中L 是圆周222()(0)x a y a a -+=>及x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界（按逆时针方向绕行）； 60.Lydx xdy +⎰，其中L 为圆周cos ,sin x R t y R t ==上对应于0t =到2t π=的一段弧； 61.22()()Lx y dx x y dyx y+--+⎰，其中L 为圆周222(0)x y a a +=>（按逆时针方向绕行）； 62. 2x dx zdy ydz Γ+-⎰， Γ是曲线,cos ,sin x k y a z a θθθ===上对应于0θ=到θπ=的一段弧； 63. (1)xdx ydy x y dz Γ+++-⎰，其中Γ是从点(1,1,1)到点(2,3,4)的一段直线；64. dx dy ydz Γ-+⎰，其中Γ是有向闭折线段ABCA ，其中(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)A B C ；65. ()()Lx y dx y x dy ++-⎰，其中L 是曲线2221,1x t t y t =++=+上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧； 66. (24)(536)Lx y dx y x dy -+++-⎰，其中L 为三顶点(0,0),(3,0),(3,2)的三角形正向边界；67. 222(cos 2sin )(sin 2)x xLx y x xy x y e dx x x ye dy +-+-⎰，L 为正向星形线222333(0)x y a a +=>；68.22()(sin )Lxy dx x y dy --+⎰，其中L 为圆周y =上由点(0,0)到点(1,1)的一段弧；69.222()L ydx xdy x y -+⎰，其中L 是圆周22(1)2x y -+=，方向为逆时针方向；70. 证明(2,1)423(1,0)(23)(4)xy y dx x xy dy -++-⎰与路径无关，并计算其值；71. 验证22(2cos cos )(2sin sin )x y y x dx y x x y dy ++-是某个函数(,)u x y 的全微分，并求(,)u x y ； 72. 解全微分方程(2)0y y e dx xe y dy +-=； 73. 设曲线积分2()Lxy dx y x dy ϕ+⎰与路径无关，其中()x ϕ具有连续导数，且(0)0ϕ=，试计算(1,1)2(0,0)()xy dx y x dy ϕ+⎰的值；74. 设Γ是曲线23,,x t y t z t ===上从0t =到1t =的一段弧，把对坐标的第二型曲线积分Pdx Qdy Rdz Γ++⎰化为对弧长的第一型曲线积分；75. 把对坐标的第二型曲线积分LPdx Qdy +⎰化为对弧长的第一型曲线积分，其中L 为圆周y =(0,0)到点(1,1)的一段弧；五、计算下列曲面积分76. 4(2)3z x y dS ∑++⎰⎰，其中∑为平面1234x y z ++=在第一卦限中的部分；77. 2(22)z xy x x dS ∑+--⎰⎰，其中∑为平面226x y z ++=在第一卦限中的部分； 78.()x y z dS ∑++⎰⎰，其中∑为球面2222x y z a ++=上(0)z h h a ≥<<的部分；79.()xy yz zx dS ∑++⎰⎰，其中∑为锥面z =被柱面222x y ax +=所截得的部分；80.22()xy dS ∑+⎰⎰，其中∑为锥面z =及平面1z =所围成的区域的整个边界曲面；81.()x y dydz ∑+⎰⎰，∑是以原点为中心，边长为2a 的正方体,,x a y a z a ≤≤≤的整个表面的外侧；82.2z dxdy ∑⎰⎰，其中∑是上半球面z =22(0)x y ax a +=>之外部分的外侧；83. 2()z x dydz xdxdy ∑+-⎰⎰，∑是旋转抛物面221()2z x y =+介于平面0z =及2z =之间部分的下侧； 84.[(,,)][2(,,)][(,,)]f x y z x dydz f x y z y dzdx f x y z z dxdy ∑+++++⎰⎰，其中∑是平面1x y z -+=在第四卦限部分的上侧；85.22()x y dzdx zdxdy ∑++⎰⎰，其中∑为锥面z =被平面1z =所截下在第一卦限部分的下侧； 86. 化第二型曲面积分(,,)(,,)(,,)P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy ∑++⎰⎰为第一型曲面积分，其中∑是平面平面326x y ++=在第一卦限部分的上侧；六、高斯公式和斯托克斯公式87.222x dydz y dzdx z dxdy ∑++⎰⎰，其中∑为平面0,,0,,0,x x a y y a z z a ======所围立体表面的外侧； 88. 333x dydz y dzdx z dxdy ∑++⎰⎰，其中∑为球面2222x y z a ++=的外侧；89.2232()(2)xz dydz x y z dzdx xy y z dxdy ∑+-++⎰⎰，其中∑为上半球体0z ≤≤的外侧； 90. xdydz ydzdx zdxdy ∑++⎰⎰， ∑是介于平面0,3z z ==之间的圆柱体229x y +≤的表面的外侧； 91.24xzdydz y dzdx yzdxdy ∑-+⎰⎰，其中∑为平面0,1,0,1,0,1x x y y z z ======所围立体表面的外侧；92. 求向量场2(23)()(2)x z xz y y z =+-+++A i j k 穿过球面∑：222(3)(1)(2)9x y z -+++-=流向外侧的通量；93.323232()()()x az dydz y ax dzdx z ay dxdy ∑+++++⎰⎰，其中∑为上半球面z =侧； 94.ydx zdy xdz Γ++⎰，其中Γ为圆周2222,x y z a ++=0x y z ++=，若从x 轴的正向看去，取逆时针方向； 95.()()()y z dx z x dy x y dz Γ-+-+-⎰，其中Γ为椭圆222x y a +=，1(0,0)x z a b a b+=>>，若从x 轴的正向看去，取逆时针方向； 96.ABCAzdx xdy ydz ++⎰，其中ABCA 是以(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)A B C 为顶点的三角形边界曲线，它的正向与这个三角形所在平面上侧的法向量之间符合右手法则； 97. 223ydx xdy z dz Γ+-⎰，其中Γ为圆周2229x y z ++=，0z =，若从z 轴的正向看去，取逆时针98.()()()z y dx x z dy x y dz Γ-+-+-⎰，其中Γ是曲线221,x y +=2x y z -+=，若从z 轴的正向看去，取顺时针方向；99. 求向量场32()()3x z x yz xy =-++-A i j k 沿闭曲线Γ（从z 轴的正向看取逆时针方向）的环流量，其中Γ为圆周20z z ==；100. 求向量场(23)(3)(2)x y x z y x =-+-+-A i j k 的旋度.参考答案： 115+， 52. ， 53. 11)12， 54. 2322(21)a ππ+，55. 325615a ，2)e --, 57. 9, 58.5615-, 59. 312a π-, 60. 0, 61. 2π-， 62. 33213k a ππ-， 63. 13， 64.92， 65. 323，66. 12, 67. 0, 68. 17sin 246-, 69. π-, 70. 5, 71. 22cos sin x y y x C ++，72. 2yxe y C -=， 73.12， 74. ⎰，75.(1)]Lx Q ds +-⎰，76. , 77. 274-, 78. 22()a a h π-, 79.4,80.,81. 38a ， 82. 41132a π， 83. 4π， 84. 12，85. 146π-，86. 32()55P Q R dS ∑++⎰⎰,87. 43a , 88.5125a π, 89. 525a π, 90. 81π, 91. 32， 92. 108π， 93. 52920a π， 94. 2a ，95. 2()a ab π-+ ，96. 32, 97. 9π, 98. 2π-, 99. 12π, 100. 246=++rotA i j k .。

专升本高数一练习题一、函数、极限与连续1. 求函数的值：设函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1，求f(-1)的值。

2. 函数的奇偶性：判断函数f(x) = x^3 - 2x^2 + x的奇偶性。

3. 极限的计算：计算极限lim (x→2) [(x^2 - 4) / (x - 2)]。

4. 连续性的判断：判断函数g(x) = sin(x)在x=0处是否连续。

二、导数与微分1. 导数的定义：设f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c，求f'(x)。

2. 复合函数的导数：设u(x) = ln(x)，v(x) = x^2，求复合函数(u∘v)'(x)。

3. 隐函数的导数：若y^2 = x^3 - 3x，求y'。

4. 高阶导数：已知f(x) = e^x，求f''(x)。

三、微分中值定理及其应用1. 罗尔定理的应用：设f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(a) = f(b)，证明存在至少一个c∈(a,b)使得f'(c) = 0。

2. 拉格朗日中值定理：设f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，证明存在至少一个c∈(a,b)使得f'(c) = (f(b) - f(a)) /(b - a)。

3. 柯西中值定理：设f(x)和g(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且g'(x)≠0，证明存在至少一个c∈(a,b)使得(f'(c)g(b) - f(b)g'(c)) / (g(b) - g(a)) = f(b) - f(a)。

四、不定积分1. 基本积分公式：计算∫x^2 dx。

2. 换元积分法：计算∫(2x + 1)^5 dx。

3. 分部积分法：计算∫e^x sin(x) dx。

4. 有理函数的积分：计算∫(x^2 + 1) / (x^3 + 3x) dx。

第七章 多元积分学一.二重积分的概念多元函数的积分学是一元函数积分学的推广.一元函数的积分学中，大家知道，引入定积分概念的基本思想方法可以概括成九个字：分割----代替-----求和-----取极限。

如果把这种思想方法推广到多元函数中去，就得到重积分的概念.例1．确定积分σd y x y x ⎰⎰≤+⎪⎭⎫⎝⎛+1||||22ln 的正、负号。

解：由定义，0>σd ，所以只须确定被积函数在积分区域1|||:|≤+y x D 上的符号即可。

为此，先画出积分区域D 的草图。

（作图，D 为正方形区域）。

我们说：在区域D 内任意一点都有.0ln ,12222≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+⇒≤+y x yx 事实上，由于对于任意的(),,D y x ∈有：1||||≤+y x -----（3）， （3）式两边同时积分，得：1||||2101||||22222<-≤+<⇒≤++y x y x yx yx 。

所以，σd y x y x ⎰⎰≤+⎪⎭⎫⎝⎛+1||||22ln 取负号。

注意：其实，通过作图可显见.122≤+yx例2．比较()σd D y x ⎰⎰+2与的大小。

其中，D 是圆域()().21222≤+--y x解：只须考察,1<+y x 还是1>+y x ？（作图即可显见1≥+y x ） 由于对于任意的(),,D y x ∈有： ()().21222≤+--y x ---（4），所以，()()()2224221222221-+≤+⇒≤+-+-+--y x y x x y x y x ，故，()()().102232y x y x y x y x ++≤⇒≥+⇒≥-+所以，()≤⎰⎰+σd Dy x 2。

例3．估计()σd y x I D⎰⎰++=10的大小。

其中，.4:22≤+yx D解：由性质6，问题的关键在于求被积函数()10,++=y x y x f 在闭区域.4:22≤+yx D 上()σd Dy x ⎰⎰+3()σd Dy x ⎰⎰+3的最值。

高等数学练习题 第七章 多元函数微积分系 专业 班 姓名 学号 第一节 空间解析几何基础知识 第二节 多元函数的概念一．选择题1．方程22480x y z +-+=表示 （D ） （A ）平面 （B ）柱面 （C ）球 （D ）抛物面 2．函数)ln(1y x z +=的定义域 （ C ）（A ）0>+y x （B ）0)ln(≠+y x （C ）1>+y x （D ）1≠+y x 3．设)1(-+=x f y z ，且当1=y x z =时，则)(y f = （ D ）（A ）1-y （B ）y （C ）2+y （D ）)2(+y y4．若)0()l n(),(22>>--=y x y x x y x f ，则),(y x y x f -+= （ B ）（A ）)ln(y x - （B ）)ln(2y x -（C ）)ln (ln 21y x - （D ）)ln(2y x - 二．填空题1．点(4,3,5)M -到x 轴的距离d2．若一球面以点(1,3,2)-为球心且过原点，则其方程为3．与Z 轴和点)1,3,1(-A 等距离的点的轨迹方程是_____ _ ___4． 球面：07442222=--+-++z y x z y x 的球心是点__________，半径=R __； 5. ln()z y x =-+的定义域6．设函数32(,)23f x y x xy y =-+，则(x f y =7．已知22),(y x xy y x f -=+，则=),(y x f 8．已知vu ww u w v u f ++=),,(，则),,(xy y x y x f -+=222(1)(3)(2)14x y z -+-++=2262110z x y z --++=(1,2,2)-422{(,)|1,0}x y x y y x +<>≥3()3x xy y -+2222(1)1(1)x xy x y y y --=++2()()xy xx y xy ++三．计算题1．y xy y x )sin(lim)0,2(),(→解：sin()xy xy ≤∴ 当(,)(2,0)x y →时，sin()2xy y→ 则原式＝2 2．24lim)0,0(),(-+→xy xy y x解：2==∴原式＝(,)(0,0)lim 2)4x y →=3．2222222)0,0(),()(cos 1limy x y x ey x y x +→++-解：2211()2x y -+∴原式＝2222222(,)(0,0)1()2lim ()x y x y x y x y e+→++ ＝222(,)(0,0)1lim2x y x y e+→＝12高等数学练习题 第七章 多元函数微积分系 专业 班 姓名 学号第三节 偏导数 第四节 全微分一．选择题1．设),(y x f z =，则),(00y x xz ∂∂= （ B ）（A ）x y x f y y x x f x ∆-∆+∆+→∆),(),(lim00000（B ）xy x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim 00000（C ）x y x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim0000（D ）xy x f y y x f x ∆-∆+→∆),(),(lim 000002．若xy z ln =，则dz 等于 （ B ）（A ）y x y x y y x x ln ln ln ln + （B ）dy yxy dx x y y x x ln ln ln ln +（C ）ln ln ln ln x xy x y ydx dy x + （D ）xyy x ln ln 3．设22()z yf x y =-，则 11z zx y y∂∂+=∂∂ （ A ） （A ）221()f x y y -； （B ）4f yf y '+； （C ）0； （D ）1y二．填空题1．设)cos(2y x z =，则yz∂∂= 2．设22),(y x y x y x f +-+=，则=')4,3(x f3．设)sin(),(223y x ey x y x f xy--+=，则=)1,1(x f4．设432),,(z y x z y x f =，则),,(z y x f z =5．设函数2sin()(1y z y xy y e -=+-，则(1,0)|z x∂=∂6．设2232),(y xy x y x f -+=，则),(y x f xy''= 7．设y x e u xsin -=，则yx u∂∂∂2在点)1,2(π处的值为22sin()x x y -251e +2234x y z 14322e π-8．函数y x xy z ++=22arctan 的全微分=dz三．计算题 1．设xzyau ）（1=, 求z y x u u u '''，，解： 1()'ln ln xz xzyx u zayy a -=-⋅ 1()1'ln xz xz yy u xzyaa --=- 1()'ln ln xz xzyz u xy aa y -=-⋅2．设)ln(2y x z +=，求在点（1，0）处的全微分 解：22dx ydydz x y+=+ (1,0)|d z d x = 3．设)11(yx ez +-=，求证z yz y x z x222=∂∂+∂∂ 证：11()21x y z e x x -+∂=∂ 11()21x y z ey y-+∂=∂ 1111()()22222211x yx yz z x y x e y ex y x y-+-+∂∂+=+∂∂＝11()22x yez -+=4．验证 nx ey tkn sin 2-=满足22xyk t y ∂∂=∂∂证：22sin kn t y kn e nx t -∂=-∂ 2c o s k n t y n e n x x -∂=∂ 2222s i n k n ty n e n x x-∂=-∂ ∴22xy k t y ∂∂=∂∂22(4)(1)1()1()y x x dx dy xy xy +++++高等数学练习题 第七章 多元函数微积分系 专业 班 姓名 学号第五节 多元复合函数与隐函数微分法（一）一．选择题1．设)(),,(,ln 2y v y x u v u z ψϕ===均为可微函数，则=∂∂yz（ C ） （A ）vu v u 2ln 2+（B ）v u v y 2ln 2+ϕ （C ）ψϕ'+v u v u y 2ln 2 （D ）vu y ψϕ'22．设(,)2323z f x y x y =+，f 具有二阶连续偏导数，则2zx y∂=∂∂ （B ）（A ）226621112222615276f x y f x y f x yf '''''''+++ （B ）()235211122226666f xy x y f x y f xy f '''''''++++ （C ）()235111222666f xy x y f x y f ''''''+++ （D ）226611122261527f x y f x y f ''''''++ 二．填空题1．设22v u z +=，而y x v y x u -=+=,，则yzx z ∂∂+∂∂= 2．设yx ez 2-=，而t x sin =，3t y =，则dtdz = 3．设z =)()(1y x y xy f x ++ϕ，f 和ϕ具有二阶连续导数，则yx z ∂∂∂2= '''()''(y f x y y x yϕϕ++++ 4．设f 具有一阶连续偏导数，),(22xye y xf u -=，则u x∂=∂ ；uy∂=∂ . 三．计算题1．设y x z arctan =，而v u x +=，v u y -=，求vz u z ∂∂+∂∂ 解：2211[]1()xz u x y yy∂=-∂+2211[]1()z x v y y y ∂=+∂+ 4()x y +22(cos 6)x y t t e--122''xy xf ye f +122''xy yf xe f -+222z z y u v x y ∂∂+=∂∂+2．设1)(2--=a z y e u ax ，而x a y sin =，xz cos =，求dx du 解：222cos sin ()111ax ax ax du a ae x e xe y z dx a a a =-++--- 2()1ax e yay az az a a=-++- 2222(1)sin (1)(1)1ax axa e x a e y a a a ++==-- 3．设sin()(,)x z xy x y =+ϕ，求2zx y∂∂∂，其中(,)u v ϕ有二阶偏导数。

可编辑修改精选全文完整版第八章 多元函数微分法及其应用 复习题及解答一、选择题 1. 极限= （提示：令22y k x =） （ B ）(A) 等于0 (B) 不存在 (C) 等于(D) 存在且不等于0或2、设函数，则极限= （ C ）（提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小）(A) 不存在 (B) 等于1 (C) 等于0 (D) 等于2 3、设函数，则(,)f x y （ A ）（提示：①在220x y +≠，(,)f x y 处处连续；②在0,0x y →→ ，令y kx =，200(0,0)x x y f →→→=== ，故在220x y +=，函数亦连续.所以，(,)f x y 在整个定义域内处处连续.）(A) 处处连续 (B) 处处有极限，但不连续 (C) 仅在（0,0）点连续 (D) 除（0,0）点外处处连续4、函数在点处具有偏导数是它在该点存在全微分的 （ A ） (A)必要而非充分条件(B)充分而非必要条件(C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件 5、设，则= （ B ）(A)(B)(C)(D)6、设，则 （ A ）（A ） （B ） （C ） （D ）7、设yxz arctan=，v u x +=，v u y -=，则=+v u z z （ C ） （A ）22v u v u -- （B ）22v u u v -- （C ）22v u v u +- （D ）22v u uv +-8、若，则= （ D ） (A) (B)(C)(D)9、设，则（ A ）(A) 2 (B) 1+ln2 (C) 0 (D) 1 10、设，则 （ D ）(A) (B)(C) (D)11、曲线在点处的法平面方程是 （C ） (A) (B)(C)(D)12、曲线在点处的切线方程是 （A ）(A) 842204x z y --=-=(B) (C) (D)13、曲面在点处的切平面方程为 （D ）（A ） （B ）（C ）（D ）14、曲面在点处的法线方程为 （A ）（A ） （B ） （C ） （D ）15、设函数，则点是函数 的 （ B ）（A ）极大值点但非最大值点 （B ）极大值点且是最大值点（C ）极小值点但非最小值点 （D ）极小值点且是最小值点 16、设函数具有二阶连续偏导数，在处，有2)()(,0)()(,0)(,0)(000000======P f P f P f P f P f P f yx xy yy xx y x ，则（ C ）（A ）点是函数的极大值点 （B ）点是函数的极小值点（C ）点非函数的极值点 （D ）条件不够，无法判定17、函数在222421x y z ++=条件下的极大值是 （ C ）(A) (B) (C) (D)二、填空题 1、极限= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：2、极限=⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：3、函数的定义域为 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：4、函数的定义域为 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：，5、设函数，则= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：6、设函数，则= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：222x y x-（22()()(,)()()2x y x y x y f x y x y x y x y x+--+-==++-）7、设，要使处处连续，则A= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：8、设，要使在（0，0）处连续，则A= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：19、函数221x y z x +=-的间断点是 .答：直线10x -=上的所有点10、函数的间断点为 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：直线及11、设，则_________ .答：3cos5 12、设，则= _________ .答：1 13、设，则=_________ .答：14、设，则在极坐标系下，= _________ .答：015、设，则= _________.答：16、设，则= ___________ .答：17、函数由所确定，则= ___________ .答：18、设函数由方程所确定，则= _______ .答：19、由方程所确定的函数在点（1，0，－1）处的全微分= _________ .答：20、曲线在点处的切线方程是_________.答：21、曲线在对应于点处的法平面方程是___________. 答：01132=+--e y x22、曲面在点处的法线方程为_________ .答：eze y x 22212=-+=- 23、曲面在点处的切平面方程是_________.答：24、设函数由方程确定，则函数的驻点是_________ .答：（－1，2） 27、函数的驻点是_________.答：（1，1）25、若函数在点处取得极值，则常数_________，_________.答：0，426、函数在条件下的极大值是_______答：三、计算题1、求下列二元函数的定义域，并绘出定义域的图形.(1) z = (2)ln()z x y =+ (3)1ln()z x y =+ (4)ln(1)z xy =-解：(1)要使函数z =有意义，必须有2210x y --≥，即有221x y +≤.故所求函数的定义域为22{(,)|1}D x y x y =+≤,图形为图3.1(2)要使函数ln()z x y =+有意义，必须有0x y +>.故所有函数的定义域为{}(,)|0D x y x y =+>，图形为图3.2(3)要使函数1ln()z x y =+有意义，必须有ln()0x y +≠，即0x y +>且1x y +≠.故该函数的定义域为{}(,)|01D x y x y x y =+>+≠，，图形为图3.3(4)要使函数ln(1)z xy =-有意义，必须有10xy ->.故该函数的定义域为{(,)|1}D x y xy =>，图形为图3.4图3.1 图3.2图3.3 图3.4 2、求极限 .解：= 43、求极限 .解：原式=4、求极限 .解：= -85、设，求.解：6、设，求.解：7、设函数由所确定，试求（其中）.解一：原式两边对求导得，则同理可得：解二：xy xz F F y z xy yz F F x z x y y x ++-=-=++-=-=∂∂∂∂, 8、求函数的极值.解：由，得驻点074334>=--==yyyxxy xx z z z z D，函数在点处取极小值.9、设，而，求.解：=-++(sin )3432t t e x y10、设，求.解：11、设，求.解：，，12、求函数的全微分.解：四、应用题1、要造一容积为128立方米的长方体敞口水池，已知水池侧壁的单位造价是底部的2倍，问水池的尺寸应如何选择，方能使其造价最低？ 解：设水池的长、宽、高分别为米.水池底部的单位造价为. 则水池造价 且令由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==++==++==++=01280440404xyz L xy y x L xz z x L yz z y L z y x λλλλ得由于实际问题必定存在最小值，因此当水池的长、宽、高分别为8米、8米、2米时，其造价最低.2、某工厂生产两种商品的日产量分别为x 和y （件），总成本函数22128),(y xy x y x C +-=（元）.商品的限额为42=+y x ，求最小成本. 解：约束条件为042),(=-+=y x y x ϕ，构造拉格朗日函数22(,,)812(42)F x y x xy y x y λλ=-+++-，解方程组160240420x y F x y F x y F x y λλλ'⎧=-+=⎪'=-++=⎨⎪'=+-=⎩，得唯一驻点)17,25(),(=y x ，由实际情况知，)17,25(),(=y x 就是使总成本最小的点，最小成本为8043)17,25(=C （元）.3、某工厂生产两种产品甲和乙，出售单价分别为10元与9元，生产x 单位的产品甲与生产y 单位的产品乙的总费用是)33(01.03240022y xy x y x +++++元， 求取得最大利润时，两种产品的产量各为多少？解：),(y x L 表示获得的总利润，则总利润等于总收益与总费用之差，即有利润目标函数)]33(01.032400[)910(),(22y xy x y x y x y x L +++++-+=)0,0(,400)33(01.06822>>-++-+=y x y xy x y x ，令⎩⎨⎧=+-='=+-='0)6(01.060)6(01.08y x L y x L yx，解得唯一驻点（120，80）.又因06.0,01.0,006.0-=''=-=''=<-=''=yy xy xx L C L B L A ，得0105.332>⨯=--B AC .得极大值320)80,120(=L . 根据实际情况，此极大值就是最大值．故生产120单位产品甲与80单位产品乙时所得利润最大320元. 五、证明题 1、设)11(yx e z +-=, 求证z yz y x z x 222=∂∂+∂∂.证明： 因为2)11(1x e x z y x ⋅=∂∂+-, 2)11(1ye y z y x ⋅=∂∂+-, 所以z e e yz y x z x y x y x 2)11()11(22=+=∂∂+∂∂+-+- 2、证明函数nx ey tkn sin 2-=满足关系式22x y k t y ∂∂=∂∂ 证明：因为nx e kn kn nx e ty tkn t kn sin )(sin 2222⋅-=-⋅⋅=∂∂--, nx nex y tkn cos 2-=∂∂, nx e n xy t kn sin 2222--=∂∂, nx ekn xy k tkn sin 2222--=∂∂, 所以22xy k t y ∂∂=∂∂.3、设z =xy +xF (u ), 而xyu =, F (u )为可导函数, 证明xy z y z y x z x +=∂∂+∂∂⋅.证明：y z y x z x ∂∂⋅+∂∂⋅])([])()([yu u F x x y x u u F x u F y x ∂∂'+⋅+∂∂'++=)]([)]()([u F x y u F xyu F y x '+⋅+'-+==xy +xF (u )+xy =z +xy .。