微积分II(甲)多元函数积分学练习解答

第七章 多元函数积分学典型习题解答与提示习 题 7-11．（1）2σ=⎰⎰DV x yd ； （2）|sin |σ=⎰⎰DV xy d 。

2．提示：利用σσ=⎰⎰Dd 。

3．（1）小于零； （2）零； （3）大于零； （4）大于零。

4．（1）利用估值不等式(),σσσ≤≤⎰⎰Dm f x y d M 易于发现，当(),x y 在边界时，函数1++x y 取得最小值和最大值，已知01,02≤≤≤≤x y ，故114≤++≤x y ，即1,4==m M ，122σσ==⨯=⎰⎰Dd ，所以()218σ≤++≤⎰⎰Dx y d ；（2）提示，()()11max ,,min ,100102====M f x y m f x y ，200σ=， 故10051原积分2≤≤。

5．（1）0； （2）0； （3）124=I I 。

习 题 7-21．（1）3223a ； （2）9； （3）12； （4）0。

2．（1）83；（2）16；（3）令=DI ，1022⎡⎤===⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰I dx ，=t ，则21,2=-=-x t dx tdt ，()()()0122418212415I t t t dt tt dt =--=-=⎰⎰； （4）22222211arctan ⎤⎤==⎥⎥++⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰y y y D yy yx dxdy dx dy dy x y x y y()2111arctan arctan ln 1424ππ⎤⎡=-=-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦y dy y y y y1ln 2122=-； （5）111111+-+++----=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰x xx yx yx y x x Dedxdy dx e dy dx e dy1111110[][]+++-----=+⎰⎰x y x x y x x x e dx e dx()()01211211+---=-+-⎰⎰x x e e dx e e dx0121121101122+---⎡⎤⎡⎤=-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦x x e e x ex e1=-e e。

微积分II （甲）多元函数积分学练习题解答１.计算二重积分22d D x yσ⎰⎰，其中D 是由1,,2y x y x x ===所围成的闭区域． 解：222121x xDx xyd dx dy y σ=⎰⎰⎰⎰ ()231124x x dx =-=⎰ ２.计算二重积分Dxyd σ⎰⎰，其中D 是由直线2y y x ==、和2y x =所围成的闭区域．解：202yy Dxyd dy xydx σ=⎰⎰⎰⎰2234003338322y dy y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎰ ３. 作出积分区域的图形,交换积分次序,计算10dy ⎰.解：21021)9x I dx ==⎰⎰４．计算二重积分2,{(,)Dy xd D x y x σ-=≤⎰⎰ 解： 12D D D =⋃（1D 是所有阴影部分面积）12222DD D y x d y x d y x d σσσ-=-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()2211222101x xdx x y dy dx y x dy --=-+-⎰⎰⎰⎰11424111146(22)2215x dx x x dx --=+-+=⎰⎰． ５.用极坐标计算Dσ⎰⎰，其中D 为{22(,)|4,0,0x y x y x y +≤≥≥．解：32233220cos cos =cos cos =4DDDr r rdrd r drd d r dr d r dr ππσθθθθθθθθ=⋅⋅==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰６. 设D 为闭区域22{(,)|2}x y x y y +≤，将二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰化为极坐标下的累次积分．2解：Ｉ＝2sin 0(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθ⎰⎰．７. 设D 为闭区域22{(,)|2,}x y x y x y x +≤≤，将二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰化为极坐标下的累次积分．解：Ｉ＝2cos 402(cos ,sin )d f r r rdr πθπθθθ-⎰⎰．8. 利用二重积分计算由曲面22z x y =+和平面1z =所围成的立体的体积. 解 设所求体积为V ，则有=V ()221Dxy d σ--⎰⎰，其中 (){}22,1D x y xy =+≤，于是=V ()()22211D Dxy d r rdrd σθ--=-⎰⎰⎰⎰=()212012d r rdr ππθ-=⎰⎰.9.求由三个坐标面和平面1=+y x 及抛物面z y x -=+622所围立体的体积． 解 设所求体积为V ，则有=V ()⎰⎰--Dd y xσ226，其中 (){}x y x y x D -≤≤≤≤=10,10,，于是=V ()⎰⎰--Dd y xσ226=()112206x dx xy dy ---⎰⎰()1323011766136x x x x dx ⎡⎤=--+--=⎢⎥⎣⎦⎰10．求由()π≤≤=x x y 0sin 与0=y 所围的均质薄板的质量中心． 解 设该薄板所在区域为D ，则 该均质薄板的面积为 0sin 2S xdx π==⎰，又有 sin 00x Dxd dx xdy πσπ==⎰⎰⎰⎰， 及sin 04x Dyd dx y dy ππσ==⎰⎰⎰⎰，由均质平面薄片的质量中心公式可得所求质量中心坐标为⎪⎭⎫⎝⎛8,2ππ．二、三重积分11. 求xydV Ω⎰⎰⎰，其中Ω为1x y +=,1z =与三个坐标面所围成的三棱柱体．解xydV Ω⎰⎰⎰111x dx dy xydz -=⎰⎰⎰=1100x dx xydy -⎰⎰()120111224x x dx =-=⎰． 12. 求()⎰⎰⎰Ω+++dV z y x 311，其中Ω为三个坐标面与平面1=++z y x 所围成的四面体．解()⎰⎰⎰Ω+++dV z y x 311()111300011x x y dx dy dz x y z ---=+++⎰⎰⎰ =()1121318821x dx x dy x y -⎡⎤-+⎢⎥++⎢⎥⎣⎦⎰⎰()1013115ln 2218828x dx x ⎡⎤⎛⎫=-+=-⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎣⎦⎰． 13．计算下列三重积分⎰⎰⎰Ω+dV y x z 22 ，其中Ω由22z x y =+及平面1z =围成． 解 Ω在z xoy =平面上的投影区域为22{(,)1}x y x y +≤ 可用柱面坐标计算：221211122200012401224(1).21r r d r dr zdz r dr z r r dr πθπππΩ⎛⎫== ⎪⎝⎭=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 14. 计算,⎰⎰⎰ΩzdV 其中Ω是由球面4222=++z y x 与抛物面z y x 322=+所围成(在抛物面内的那一部分)的闭区域．解 球面4222=++z y x 与抛物面z y x 322=+的交线为2222243x y z x y z⎧++=⎪⎨+=⎪⎩ 从中解得两曲面交线为,1=z 223x y +=，Ω在xOy 面上的投影区域为:D ,30≤≤r πθ20≤≤，利用柱面坐标，对投影区域D 内任一点),,(θr 有2243r z r -≤≤， 所以I 23r DzdV rdrd θΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰2203r d zdz πθ=⋅⎰⎰⎰π413=． 15．计算()d V z y x⎰⎰⎰Ω++222，其中Ω是球体1222≤++z y x ．解()⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=++θϕρϕρd d d dV z y xsin 42222140004sin 5d d d ππθϕϕρρπ==⎰⎰⎰16. 计算球体22222a z y x ≤++在锥面22y x z +=上方部分Ω的体积．解 在球面坐标系中, :Ω,20a r ≤≤,40πϕ≤≤πθ20≤≤，故所求体积V ⎰⎰⎰Ω=dV 2240sin d d d ππθϕρϕρ=⎰⎰⎰42sin ππϕϕ=⎰.)12(343a -=π17．求由曲面)0(2222>=++a az z y x 及222z y x =+（含有z 轴部分）所围成空间的体积．解 在球面坐标下计算⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ==θϕρϕρd d d dV V sin 222cos 240sin a d d d ππϕθϕϕρρ=⎰⎰⎰3334082cos sin 3a d a ππϕϕϕπ==⎰．18. 立体Ω是圆柱面122=+y x 内部, 平面2=z 下方, 抛物面221y x z --=上方部分, 其上任一点的密度与它到z 轴之距离成正比(比例系数为K )， 求Ω的质量m ．解 据题意得，密度函数为,),,(22y x K z y x +=ρ所以.),,(22⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ+==dV y x K dV z y x m ρ利用柱面坐标，先对z 积分，Ω在xOy 平面上投影域D 为},1),({22≤+=y x y x D故222212122001()r Dr m Kr rdrd dz K r drd dzK d r dr dzπθθθ-Ω-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰1220162(1)15KK r r dr ππ=+=⎰． 三、曲线积分19． 计算⎰Γxdl ，其中 Γ是由x y =和2x y = 围成的区域的整个边界。

第七章 多元函数积分学典型习题解答与提示习 题 7-11．（1）2σ=⎰⎰DV xyd ； （2）|sin |σ=⎰⎰DV xy d 。

2．提示：利用σσ=⎰⎰Dd 。

3．（1）小于零； （2）零； （3）大于零； （4）大于零。

4．（1）利用估值不等式(),σσσ≤≤⎰⎰Dm f x y d M 易于发现，当(),x y 在边界时，函数1++x y 取得最小值和最大值，已知01,02≤≤≤≤x y ，故114≤++≤x y ，即1,4==m M ，122σσ==⨯=⎰⎰Dd ，所以()218σ≤++≤⎰⎰Dx y d ；（2）提示，()()11m ax ,,m in ,100102====M f x y m fx y ，200σ=，故10051原积分2≤≤。

5．（1）0； （2）0； （3）124=I I 。

习 题 7-21．（1）3223a ； （2）9； （3）12； （4）0。

2．（1）83； （2）16；（3）令=⎰⎰DI ，122⎡⎤===⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰I dx ，=t ，则21,2=-=-x t dx tdt ，()()()0122418212415I tt t dt ttdt =--=-=⎰⎰；（4）22222211arctan ⎤⎤==⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰yyy Dyy yx dxdy dx dy dy x yx y y()2111arctan arctan ln 1424ππ⎤⎡=-=-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦y dy y y y y1ln 2122=-；（5）0111111+-+++----=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰x x x y x yx yx x De dxdy dx edy dx edy1111110[][]+++-----=+⎰⎰x yx x yxx x edx edx()()01211211+---=-+-⎰⎰x x eedx e edx121121101122+---⎡⎤⎡⎤=-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦x x e e x ex e 1=-e e。

微积分II （甲）多元函数积分学练习题一、二重积分 １.计算二重积分22d Dx yσ⎰⎰，其中D 是由1,,2y x y x x ===所围成的闭区域． ２.计算二重积分Dxyd σ⎰⎰，其中D 是由直线2y y x ==、和2y x =所围成的闭区域．３. 作出积分区域的图形,交换积分次序,计算10dy ⎰.４．计算二重积分2,{(,)1,02}Dy xd D x y x y σ-=≤≤≤⎰⎰５.用极坐标计算Dσ⎰⎰，其中D 为{}22(,)|4,0,0x y x y x y +≤≥≥．６. 设D 为闭区域22{(,)|2}x y x y y +≤，将二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰化为极坐标下的累次积分．７. 设D 为闭区域22{(,)|2,}x y x y x y x +≤≤，将二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰化为极坐标下的累次积分．8. 利用二重积分计算由曲面22z x y =+和平面1z =所围成的立体的体积. 9.求由三个坐标面和平面1=+y x 及抛物面z y x -=+622所围立体的体积． 10．求由()π≤≤=x x y 0sin 与0=y 所围的均质薄板的质量中心．二、三重积分 11. 求xydV Ω⎰⎰⎰，其中Ω为1x y +=,1z =与三个坐标面所围成的三棱柱体．12. 求()⎰⎰⎰Ω+++dV z y x 311，其中Ω为三个坐标面与平面1=++z y x 所围成的四面体． 13．计算下列三重积分⎰⎰⎰Ω+dV y x z 22 ，其中Ω由22z x y =+及平面1z =围成． 14. 计算,⎰⎰⎰ΩzdV 其中Ω是由球面4222=++z y x与抛物面z y x 322=+所围成(在抛物面内的那一部分)的闭区域． 15．计算()d V z y x⎰⎰⎰Ω++222，其中Ω是球体1222≤++z y x ．16. 计算球体22222a z y x ≤++在锥面22y x z +=上方部分Ω的体积．17．求由曲面)0(2222>=++a az z y x 及222z y x =+（含有z 轴部分）所围成空间的体积．18. 立体Ω是圆柱面122=+y x 内部, 平面2=z 下方, 抛物面221y x z --=上方部分, 其上任一点的密度与它到z 轴之距离成正比(比例系数为K )， 求Ω的质量m ．三、曲线积分19． 计算⎰Γxdl ，其中 Γ是由x y =和2x y = 围成的区域的整个边界。

专升本高等数学(一)-多元函数微积分学(二)(总分：99.98，做题时间：90分钟)一、{{B}}选择题{{/B}}(总题数：9，分数：18.00)1.设z=ln(x2+y)，则等于A． B． C． D（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 本题主要考查简单二元函数偏导数的计算． [*](答案为B)2.设z=(lny)xy∙ A.xy(lny)xy-1∙ B.(lny)xy lnlny∙ C.y(lny)xy lnlny∙ D.x(lny)xy lnlny（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 本题主要考查简单二元函数偏导数的计算． [*](答案为C)3.设z=sin(xy2)∙ A.-2xycos(xy2)∙ B.-y2cos(xy2)∙ C.2xycos(xy2)∙ D.y2cos(xy2)（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 本题主要考查简单二元函数偏导数的计算． [*]．(答案为C)4.已知f(xy，x-y)=x2+y2∙ A.2+2y∙ B.2-2y∙ C.2x+2y∙ D.2x-2y（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：[解析] 本题主要考查简单二元函数偏导数的计算．f(xy，x-y)=x2+y2=(x-y)2+2xy，f(x，y)=2x+y2，[*]，[*]．(答案为A)5.函数z=3x2y+2xy3在点(1，1)处的全微分dz|(1，1)等于∙ A.4dx-3dy∙ B.4dx+3dy∙ C.8dx+9dy∙ D.8dx-9dy（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：[解析] [*]，[*]，dz|(1，1)8dx+9dy．(答案为C)6.______∙ A.{(x，y)|x2+y2≤4}∙ B.{(x，y)|x2+y2≤4且x≠0}∙ C.{(x，y)|x2+y2≤4且x≠0，y≠0}∙ D.{(x，y)|x2+y2≤4且y≠0}（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：7.______∙ A.{(x，y)|0＜x2+y2≤2}∙ B.{(x，y)|0≤x2+y2≤2}∙ C.{(x，y)|0＜x2+y2＜2}∙ D.{(x，y)|0≤x2+y2＜2}（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：8.设f(x，y)=，则=______ A． B． C． D（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：9.设，则f(x，y)=______A． B． C D．xe x（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：二、{{B}}填空题{{/B}}(总题数：13，分数：26.00)10.，则．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：[解析] 根据二元函数的定义，函数关系只取决于定义域与对应法则，而与变量所选用的记号无关，如果函数表达式中的第一自变量用记号u表示，第二自变量用记号v表示，则给定的函数对应法则为[*]．如果将第一自变量u用[*]替换，第二自变量v用[*]替换，则有 [*]11.f(x，y)=2x2+y2，则f(xy，x2-y2)= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：x4+y4）解析：[解析] f(xy，x2-y2)=2(xy)2+(x2-y2)2=x4+y4．12.f(x+y，x-y)=x2-y2，则f(x，y)=______．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：xy）解析：[解析] 解法Ⅰ (置换法)令[*]解得[*]代入给定函数，则有 [*]，因为函数关系与变量所选用的记号无关，再用字母x，y代换字母u，v，则有f(x，y)=xy 解法Ⅱ (拼凑法)由于f(x+y，x-y)=(x+y)(x-y)，则有f(x，y)=xy13.f(xy，x-y)=x2+y2+xy，则f(x，y)=______．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：3x+y2）解析：[解析] 由于f(xy，x-y)=x2+y2+xy=(x-y)2+3xy，则有f(x，y)=3x+y2．14.设函数z=x2+ye x．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：2x+ye x）解析：[解析] 本题主要考查计算二元函数的一阶偏导数．[*]=2x+ye x．15.设z=sin(x2y)．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：x2cos(x2y)）解析：[解析] 本题主要考查计算二元函数的一阶偏导数． [*]．16.设z=，则．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：1）解析：[解析] 本题主要考查计算二元函数的一阶偏导数．解法Ⅰ [*]，[*]．解法Ⅱ 由于是求函数[*]在点(1，0)处对x的偏导数，可先求出z(x，0)，即将y=0代入函数[*]，可得到关于x的一元函数，然后再求其在x=1处的导数．[*]，[*]．17.函数z=ln(1+x2-y2)的全微分dz=______．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：[解析] [*]， [*]．18.设z=ln(x+y2)．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：dx）解析：[解析] 本题主要考查计算二元函数的一阶全微分．解法Ⅰ [*]，[*]，[*]．解法Ⅱ [*]，[*]．19.设z=x2y+siny．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：2x）解析：[解析] 本题主要考查计算二元函数的二阶混合偏导数． [*]．20.函数z=z(x，y)是由方程x2z+2y2z2+y=0确定，则dz=______．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：[解析] 两种解法如下．解法Ⅰ (公式法)令F(x，y，z)=x2z+2y2z2+y，分别求出三元函数F(x，y，z)对x，y，z的导数，对其中一个变量求导时，其他两个变量视为常数．[*]，[*]解法Ⅱ (直接微分法)将方程两边同时求微分d(x2z)+d(2y2z2)+dy=0，2xdxz+x2dz+4ydy2+4y2zdz+dy=0，经整理，得(x2+4y2z)dz=-2xzdx-(4yz2+1)dy，即[*]．21.函数f(x，y)=4(x-y)-x2-y2的极大值点是______．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：8）解析：[解析] 解方程组[*]得驻点(2，-2)，计算[*]，B2-AC=-4＜0，A=-2＜0，所以函数的极大值点为(2，-2)，极大值为f(2，-2)=8．22. 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：{(x，y)|1＜x2+y2≤2}）解析：三、{{B}}解答题{{/B}}(总题数：1，分数：56.00)求下列二元函数的定义域．（分数：55.98）3.11）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(由于分式函数，要求分式的分母不为零，而对于根式函数，要求偶次方根号下的被开方式必须大于或等于零，则有[*]所以D={(x，y)|0＜x2+y2≤4}，此函数的定义域是以点(0，0)为圆心，以2为半径的圆周及圆周所围成的不含圆心、不含圆周上及圆周内的y轴部分的有界半开半闭区域(如下图)．[*])解析：(2).z=ln(y2-2x+1)．（分数：3.11）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(由于对数函数，要求真数式必须大于零，则有y2-2x+1＞0，即y2＞2x-1．所以D={(x，y)|y2＞2x-1}，此函数的定义域是以点([*]，0)为顶点，以x为对称轴，开口向右的抛物线所围成的左侧无界开区域(如下图)．[*])解析：3.11）正确答案：(对于函数arcsinf(x，y)，arccosf(x，y)，要求|f(x，y)|≤1，则有 [*]即[*] 所以D={(x，y)|-2≤x≤2，-3≤y≤3}，此函数的定义域是直线x=-2，x=2，y=-3，y=3所围成的有界闭区域(如下图)．[*]) 解析：3.11）__________________________________________________________________________________________正确答案：(要使函数解析式有意义，自变量x，y应同时满足[*]即[*]亦即[*]所以D={(x，y)|y2≤4x，x2+y2＜1且x≠0，y≠0}，此函数的定义域是抛物线y2=4x和圆x2+y2=1所围成的，但不含原点及抛物线间劣弧段的有界半开半闭区域(如下图)．[*])解析：(5).，求 3.11）__________________________________________________________________________________________正确答案：([*]， [*]．)解析：(6).设z=e u sinv，u=xy，v=x+y 3.11）__________________________________________________________________________________________正确答案：(根据二元复合函数求导的链式法则，有[*]=e xy sin(x+y)y+e xy cos(x+y)=e xy[ysin(x+y)+cos(x+y)]，[*]=e xy sin(x+y)x+e xy cos(x+y)=e xy[xsin(x+y)+cos(x+y)]．)解析：(7).设z=f(u，v)，而u=x2y，，其中f(u，v) 3.11）__________________________________________________________________________________________正确答案：(本题主要考查用二元复合函数的链式法则求偏导数． [*])解析：(8).设z=f(xy，x2+y2)，且f 3.11）__________________________________________________________________________________________正确答案：(本题主要考查用二元复合函数的链式法则求偏导数．设z=f(u，v)，u=xy，v=x2+y2，[*])解析：(9).设函数z=arctan(xy)+2x2+y，求dz．（分数：3.11）__________________________________________________________________________________________正确答案：(本题主要考查计算二元函数的全微分． [*])解析：(10).dz．（分数：3.11）正确答案：([*])解析：(11).设函数f(u，v)dz．（分数：3.11）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(本题主要考查计算二元复合函数的全微分． [*]， [*])解析：(12).设函数z=ln(2-x+y) 3.11）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*]．)解析：(13).设函数z=ln(1-x+y)+x2y 3.11）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*]．)解析：(14).设函数，求 3.11）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(15).设函数z=z(x，y)是由方程x2+y2-xyz2=0 3.11）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(令F(x，y，z)=x2+y3-xyz2，分别求出三元函数F(x，y，z)对x，y，z的导数，对其中一个变量求导时，其他两个变量视为常数．[*])解析：(16).设z=f(x，y)是由方程F(x+mz，y+nz)=0所确定，其中m、n为常数，F(u，v)为可微分函数，数：3.11）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(本题主要考查计算二元函数的偏导数．设 F(u，v)=0，u=x+mz，v=y+nz， [*] [*])解析：(17).设z=z(x，y)是由方程yz+x2+z=0所确定，求dz．（分数：3.11）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(令F(x，y，z)=yz+x2+z，分别求出三元函数F(x，y，z)对x，y，z的导数，对其中一个变量求导时，其他两个变量视为常数．[*])解析：(18).设函数z=z(x，y)是由方程z=x+ye z 3.11）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(令F(x，y，z)=x+ye z-z，[*])解析：。

考研数学二（多元函数微积分）历年真题试卷汇编2(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．(2010年)设函数z＝z(χ，y)由方程F()＝0确定，其中F为可微函数，且F′2≠0，则【】A．χ．B．z．C．－χ．D．－z．正确答案：B解析：由隐函数求导公式得知识模块：多元函数微积分2．(2010年) 【】A．B．C．D．正确答案：D解析：知识模块：多元函数微积分3．(2011年)设函数f(χ)，g(χ)均有二阶连续导数，满足f(0)＞0，g(0)＜0，且f′(0)＝g′(0)＝0，则函数z＝f(χ)g(y)在点(0，0)处取得极小值的一个充分条件是【】A．f〞(0)＜0，g〞(0)＞0．B．f〞(0)＜0，g〞(0)＜0．C．f〞(0)＞0，g〞(0)＞0．D．f〞(0)＞0，g〞(0)＜0．正确答案：A解析：则AC＝B2＞0 故z＝f(χ)g(y)在(0，0)点取极小值．应选A．知识模块：多元函数微积分4．(2012年)设函数f(χ，y)可微，且对任意χ，y都有型＜0，则使不等式f(χ1，y1)＜f(χ2，y2)成立的一个充分条件是【】A．χ1＞χ2，y1＜y2B．χ1＞χ2，y1＞y2C．χ1＜χ2，y1＜y2D．χ1＜χ2，y1＞y2正确答案：D解析：由于偏导数本质上就是一元函数导数，则由型可知，f(χ，y)关于变量χ是单调增的，关于变量y是单调减的．因此，当χ1＜χ2，y1＞y2时，f(χ1，y1)＜f(χ2，y1)，f(χ2，y1)＜f(χ2，y2) 则f(χ1，y1)＜f(χ2，y2) 故应选D．知识模块：多元函数微积分5．(2012年)设区域D由曲线y＝sinχ＝±，y＝1围成，则(χy5－1)dχdy ＝【】A．πB．2C．－2D．－π正确答案：D解析：作辅助线y＝－sinχ(－≤χ≤0)．如图，将区域D分为两部分D1和D2，其中D1关于χ轴对称，D2关于y轴对称，而χy5分别关于变量χ和y 都是奇函数，则知识模块：多元函数微积分6．(2013年)设z＝f(χy)，其中函数f可微，则【】A．2yf′(χy)．B．－2yf′(χy)．C．f(χy)．D．－f(χy)．正确答案：A解析：知识模块：多元函数微积分7．(2013年)设Dk是圆域D＝{(χ，y)｜χ2＋y2≤1)在第k象限的部分，记IK＝(y－χ)dχdy(k＝1，2，3，4)，则【】A．I1＞0．B．I2＞0．C．I3＞0．D．I4＞0．正确答案：B解析：由于D1和D3关于直线y＝χ对称，则而在D2上，y－χ＞0，在D4上y－χ＜0，则I2＞0，I4＜0 故应选B．知识模块：多元函数微积分8．(2014年)设函数u(χ，y)在有界闭区域D上连续，在D的内部具有2阶连续偏导数，且满足≠0及＝0，则【】A．u(χ，y)的最大值和最小值都在D的边界上取得B．u(χ，y)的最大值和最小值都在D的内部取得C．u(χ，y)的最大值在D的内部取得，最小值都在D的边界上取得D．u(χ，y)的最小值在D的内部取得，最大值都在D的边界上取得正确答案：A解析：由题设可知，B≠0，A＋C＝0，则AC－B2＜0 故函数u(χ，y)在区域D内无极值点，因此，u(χ，y)的最大值和最小值都在D的边界上取得．故应选A．知识模块：多元函数微积分9．(2015年)设函数f(u，v)满足f(χ＋y，)＝χ2－y2，则依次是【】A．，0B．0，C．－，0D．0，－正确答案：D解析：故应选D．知识模块：多元函数微积分10．(2015年)设D是第一象限中由曲线2χy＝1，4χy＝1与直线y＝χ，y＝χ围成的平面区域，函数f(χ，y)在D上连续，则(χ，y)dχdy＝【】A．B．C．D．正确答案：B解析：由题设知积分域D如图所示，曲线2χy＝1，4χy＝1在极坐标下方程分别为2r2cosθsinθ＝1，4r2cosθsinθ＝1 即，直线y＝χ，y ＝χ在极坐标下的方程为，则故应选B．知识模块：多元函数微积分填空题11．(2014年)设z＝z(χ，y)是由方程e2yz＋χ＋y2＋z＝确定的函数，则dz＝_______．正确答案：－(dχ＋dy)．解析：将χ＝y＝代入e2yz＋χ＋y2＋z＝得知识模块：多元函数微积分12．(2015年)若函数z＝z(χ，y)由方程eχ＋2y＋3z＋χyz＝1确定，则dz｜(0，0)＝________．正确答案：－(dχ＋2dy)．解析：将χ＝0，y＝0代入eχ＋2y＋3z＋χyz＝1中得e3z＝1，则z＝0 方程eχ＋2y＋3z＋χyz＝1两端微分得eχ＋2y＋3z(dχ＋2dy＋3dz)＋yzdχ＋χzdy＋χydz＝0 将χ＝0，y＝0，z＝0代入上式得dχ＋2dy＋3dz＝0 则dz｜(1，0)＝－(dχ＋2dy)．知识模块：多元函数微积分13．(2011年)设平面区域D由直线y＝χ，圆χ2＋y2＝2y及y轴所围成，则二重积分χydσ＝_______．正确答案：解析：知识模块：多元函数微积分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

微积分II(甲)期末练习卷一． 微分方程问题(本大题共 3 题，每题 5分，共15 分)1． 求解微分方程 20(4)2,1x y x xy y ='-==.解：222(4)2, (4)dy dy x x xy dx dx y x -==-； ()()122222121,　4(4)(4)ln ln 4, 4,　c dy x dy dxd x y x y x y x C ye x ==---=-+=±-⎰⎰⎰⎰记1cC e =±，得通解：()24y C x =-， 由01x y==，得14C =-，所以微分方程特解为()2144y x =-- 点评：此题考可分离变量微分方程掌握情况。

可分离变量微分方程的关键是将方程通过因式分解，使,x y “分家”，变成：()()f y dy g x dx =形式，然后积分。

本题还要注意1cC e =±的变化。

2.求解微分方程 22x y xy xe -'-=.解: 2()2,()x p x x q x xe -=-=,()222222222222(2)(2)22221241144x dx x dxx x x x x x x x x x x xy e xe e dx C e xe e dx C e xe dx C e e d x C e e C e Ce ----------⎡⎤⎰⎰⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤=+=--+⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰点评： 本题为典型的一阶线性微分方程()()y p x y q x '+=，这类方程只要记住公式：()()()p x dx p x dxy e q x e dx C -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰注意公式中三个不定积分计算后不需要另再加积分常数，因为本公式中已经有C 了。

3.求解微分方程 2xy y e '''+=. 解一： 设y p '=，得2xp p e '+=，222323211　33dx dxx x x x x x xp e e e dx C e e dx C e e C e Ce ----⎡⎤⎰⎰⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰即 22221,3111332x x x x x x y e Ce y e Ce dx e Ce C ---'=+⎛⎫⎛⎫=+=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰通解为： 21213x xy e C e C -=++点评：对可降阶的三种二阶微分方程如何求解问题需要掌握。