线性系统1

第三章 线性时不变系统的标准形与最小阶实现把系统动态方程化为等价的简单而典型的形式，对于揭示系统代数结构的本质特征，以及系统的分析与设计将会带来很大的方便，因此利用等价变换化系统动态方程为标准形的问题成为线性系统理论中的一个重要课题。

在第一章中已经指出，动态方程等价变换的矩阵P 是由状态空间基底的选取来决定的。

因此常把构造P 阵的问题化为选取状态空间适当基底的问题来讨论。

由于所给的条件不同和选取基底的方法不同，从而可以得到各种不同形式的标准形。

在实际实用中，常是根据所研究问题的需要而决定采用什么样的标准形。

本章所介绍的几种标准形，是以后讨论极点配置和观测器设计等问题时要用到的。

实现问题，也是线性系统理论的重要课题之一。

这是因为：状态空间方法在系统设计和计算上都是以动态方程为基础的，为了应用这些方法，我们需要把传递函数阵用动态方程予以实现，特别是在有些实际问题中，由于系统物理过程比较复杂，通过分析的方法来建立它的动态方程十分困难，甚至不可能，这时可能采取途径之一就是先确定输入输出间的传递函数阵，然后根据传递函数阵来确定系统的动态方程。

其次，复杂系统的设计往往希望能在模拟计算机或数字计算机上仿真，以便在构成物理系统之前就能检查它的特性，系统的动态方程描述则比较便于仿真，例如在模拟机上指定积分器的输出作为变量，就很容易仿真系统。

在实际应用中，动态方程实现也提供了运算放大器电路综合传递函数的一个方法。

每一个可实现的传递函数阵，可以有无限多个实现。

我们感兴趣的是这些实现中维数最小的实现，即最小阶实现。

在实用中，最小阶实现在网络综合和系统仿真时，所用到的元件和积分器最少，从经济和灵敏度的角度来看是必要的。

关于有理函数阵的最小阶实现问题，定理2—20及定理2—21是基本的，本章则着重于构成最小阶实现的方法。

§3—1系统的标准形关于等价变换 等价变换的关系A PAPB PBC CP 11,,--===其中P 为坐标变换阵，即有x Px =。

线性系统理论线性系统理论是一个广泛应用的数学分支，该分支研究线性系统的性质、行为和解决方案。

线性系统可以描述很多现实世界中的问题，包括电子、机械、化学和经济系统等。

在这篇文章中，我们将探讨线性系统理论的基础、应用、稳定性和控制等不同方面。

一、线性系统基础线性系统是一种对于输入响应线性的系统。

当输入为零时，系统的响应为零，称之为零输入响应。

当没有外界干扰时，系统内部存在固有的动态响应，称之为自然响应。

当有外界输入时，系统将对输入做出响应，称之为强制响应。

线性系统具有很多性质，可以让我们更好地理解系统的行为。

其中一个重要的性质是线性可加性，就是说当输入是线性可加的时候，输出也是线性可加的。

换句话说，如果我们有两个输入信号，将它们分别输入到系统中，我们可以在系统的输出中将它们加起来，并得到对应的输出信号。

另外一个重要的性质是时不变性，就是说当输入信号的时间变化时，输出信号的时间变化也会随之发生。

这个性质告诉我们，系统的行为不随着时间的改变而改变。

除此之外，线性系统还有其他很多性质，比如可逆性、稳定性、因果性等等。

二、线性系统的应用线性系统有着广泛的应用，它们可以用来描述很多各种各样的问题，包括但不限于电子电路、航天控制、化学反应、经济系统等等。

下面我们来看看这些应用领域中的具体案例。

1. 电子电路线性系统在电子电路中有着广泛应用。

例如，如果我们想要设计一个低通滤波器，以使高频信号被抑制，我们可以使用线性系统来描述它的行为。

我们可以将电子电路看作一个输入信号到输出信号的转换器。

这个转换器的输出信号可以通过控制电子器件的电流、电压等参数来实现。

这种线性系统可以用来滤掉任何频率的信号，因此在广播和通信中也有广泛的应用。

2. 航天控制航天控制是线性系统理论的一个应用重点。

它包括控制飞行器姿态、轨道以及动力学行为。

在这些问题中，线性可变系统被广泛应用。

这种系统的输出信号是受到飞行器的控制和环境因素的影响。

控制器的任务是计算信号，以引导飞行员和总体系统实现期望的性能和特征。

第1章线性系统的数学描述建立起系统中各变量间的数学关系和变换关系，是系统分析与综合的前提条件。

由于分析方法或解决问题的目的不同，描述系统行为的数学方程也有所不同。

在线性系统时域理论中所使用的数学描述可分为两大类，即系统的输入-输出描述和系统的状态空间描述。

系统的输入-输出描述又称为外部描述，他是通过建立系统的输入和输出之间的数学关系来描述系统特性的。

在经典线性系统控制理论中的传递函数和微分方程都属于系统的外部描述。

系统的状态空间描述又称为内部描述，它选用能够完善描述系统行为的被称为状态的内部变量，通过建立状态和系统的输入以及输出之间的数学关系，来描述系统行为的。

系统的外部描述不是对系统的全部特性的描述，而状态空间描述是对系统行为的完善描述。

本章首先论述系统的外部描述，接着着重讨论系统的内部描述。

线性系统的状态空间描述是分析和综合线性系统的基础，在此给出线性系统状态空间的概念、组成方法、基本性质、描述特性和变换等，这些概念和结论对于后面的各章的讨论是不可缺少的。

1.1线性系统的输入-输出描述系统的输入－输出描述揭示了系统的输入和输出之间的某种数学关系。

在建立系统输入—输出描述时，可以假设系统的内部特性是完全未知的，即将系统看作一个“黑箱”。

向该“黑箱”施加各种类型的输入并测量出与之相应的输出，根据这些输入－输出数据，可以确定出系统的输入和输出之间的数学关系。

在图1-1所示的系统中，外部对系统施加的作用或激励称为系统的输入变量，系统对外部的影响则称为系统的输出变量。

假设系统有p 个输入，q 个输出，分别用12,,p u u u ⋅⋅⋅和12,,,q y y y ⋅⋅⋅来表示，或记为向量的形式：12[]Tp u u u =⋅⋅⋅u ，12[]T q y y y =⋅⋅⋅y ，称u 、y 为系统的外部变量，其中"T"表示向量的转置。

图1-1系统的外部描述如果系统只有一个输入和一个输出(p 1,1)q ==，则称系统为单变量系统，用符号SISO 表示；当系统的输入量或输出量多于一个时．则称其为多变量系统，用符号MIMO 表示。

第二章 线性系统的状态空间描述§2-1 状态空间的基本概念1、状态：系统的状态，是指系统的过去、现在和将来的状况。

（如：一个质点作直线运动，它的状态就是它每个时刻的位置和速度）2、状态变量：能完全表征系统运行状态的最小数目的一组变量。

（如果用最少的n 个变量x 1(t)， x 2(t)，……， x n (t)就能完全描述系统的状态，那么这n 个变量就是一组状态变量。

）3、状态向量：设一个系统有n 个状态变量，即x 1(t)，x 2(t)，……，x n (t)，用这n 个状态变量作为分量构成的向量x(t)称为该系统的状态向量。

记为Tn t x t x t x t x )](,),(),([)(21 =4、状态空间：由n 个状态变量作为坐标轴所构成的n 维空间，称为状态空间。

引入了状态和状态空间的概念之后，就可以建立动力学系统的状态空间描述了。

从结构的角度讲，一个动力学系统可用图2-1所示的方块图来表示。

其中x(t)表征系统的状态变量，u(t)为系统控制量（即输入量），y(t)为系统的输出变量。

与输入—输出描述不同，状态空间描述把系统动态过程的描述考虑为一个更为细致的过程：输入引起系统状态的变化，而状态和输入则决定了输出的变化。

5、状态方程：状态变量的一阶导数与状态变量、输入量的关系，称为系统的状态方程。

例：设单输入线性定常系统(LTI-Linear Time Invariant )的状态变量为x 1(t)，x 2(t)，……，x n (t)，输入为u(t),则一般形式的状态方程为：)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(2211222221212112121111t u b t x t a t x t a t x a t x t u b t x t a t x t a t x a t x t u b t x t a t x t a t x a t x n n nn n n nn n n n ++++='++++='++++='图2-1 动力学系统结构示意图上式可写成向量—矩阵形式：其中：6、输出方程：在指定系统输出的情况下，该输出与状态变量、输入量之间的函数关系式，称为系统的输出方程。

线性系统原理及应用线性系统原理及应用线性系统是一类重要的数学模型，其原理基于线性方程组的理论，在工程、物理、经济等领域有广泛的应用。

本文将介绍线性系统的基本原理，并讨论其在不同领域中的应用。

一、线性系统的原理线性系统是指满足线性性质的系统，其特点是符合叠加原理和比例原理。

1. 叠加原理：对于任意输入信号，线性系统的输出等于各个输入信号分别作用于系统时的输出之和。

即系统对于输入信号的响应是可相加的。

数学表示为：y(t) = k1*x1(t) + k2*x2(t) + ... + kn*xn(t)，其中y(t)为系统的输出，x1(t)、x2(t)、...、xn(t)为不同的输入信号，k1、k2、...、kn为对应的系数。

2. 比例原理：线性系统对于输入信号的放大或缩小会使得输出信号也按相同的比例放大或缩小。

即系统对于输入信号的响应是可比例的。

数学表示为：y(t) = a*x(t)，其中y(t)为系统的输出，x(t)为输入信号，a为比例系数。

线性系统满足叠加原理和比例原理的特性，可使其在分析和处理复杂问题时更加灵活和方便。

二、线性系统的应用线性系统在各个领域中都有广泛的应用，以下将分别介绍其在工程、物理和经济领域的应用。

1. 工程领域的应用线性系统在工程领域中广泛应用于控制系统、通信系统、信号处理等方面。

在控制系统中，线性系统被用于描述系统的动态特性和稳定性，通过对系统输入信号和输出信号的分析和处理，实现对系统的控制和稳定。

在通信系统中，线性系统被用于信号传输和调制解调过程的分析和设计，通过对信号的处理和传输，实现高质量的通信。

在信号处理中，线性系统被用于对信号进行滤波、降噪、增强等处理，提高信号的质量和可靠性。

2. 物理领域的应用在物理领域中，线性系统被广泛应用于描述和分析力学、电磁学、声学等问题。

在力学中，线性系统被用于描述刚体和弹性体的振动特性、动力学过程和结构响应等问题。

在电磁学中，线性系统被用于描述电路元件、天线、传感器等的电特性、电磁场分布和辐射特性等问题。

线性系统理论一、主要内容本课程是一门信息科学的专业基础课程，阐述分析和综合线性多变量系统的理论、方法和工程上的实用性，本理论在控制技术、计算方法和信号处理等领域有着广泛的应用。

1、系统、系统模型，线性系统理论基本内容2、状态、状态空间，状态和状态空间的数学描述，连续变量动态的状态空间描述，系统输入输出描述与状态空间描述的关系，LTI系统的特征结构，状态方程的约当规范型，系统状态方程与传递函数矩阵的关系，组合系统的状态空间描述3、连续时间LTI系统的运动分析，状态转移矩阵和脉冲响应矩阵，连续时间LTV系统的运动分析，连续时间LTI系统的时间离散化，离散时间线性系统的运动分析4、线性系统的能控性和能观测性，连续时间LTI系统的能控性和能观测性判据，离散时间线性系统的能控性和能观测性判据5、对偶系统和对偶性原理，时间离散化线性系统保持能控性和能观测性的条件，能控和能观测规范型，连续时间LTI系统的结构分解6、系统外部和内部稳定性，李亚普诺夫稳定的基本概念，李亚普诺夫第二方法的主要定理，连续时间线性系统的状态运动稳定性判据，离散时间线性系统的状态运动稳定性判据7、系统综合问题，状态反馈和输出反馈，状态重构和状态观测器，降维状态观测器，状态观测器状态反馈系统的等价性问题二、线性系统及其研究的对象一般说来，许多物理系统在其工作点的附近都可以近似地用一个有限维的线性系统来描述，这不仅是由于线性系统便于从数学上进行处理，更为重要的，它可以在相当广泛的范围内反映系统在工作点附近的本质。

因此，线性系统理论研究对象是 (线性的)模型系统，不是物理系统。

控制理论发展到今天，包括了众多的分支，如最优控制，鲁棒控制，自适应控制等。

但可以毫不夸张地说，线性系统的理论几乎是所有现代控制理论分支的基础，也是其它相关学科如通讯理论等的基础。

三、研究线性系统的基本工具研究有限维线性系统的基本工具是线性代数或矩阵论。

用线性代数的基本理论来处理系统与控制理论中的问题，往往易于把握住问题的核心而得到理论上深刻的结果。

线性系统 论 线性系统理论(Linear System Theory)程鹏 教授 编写北京航空航天大学内部讲义参考书：一、矩阵方面： 1.(日)须田信英等，曹长修译 信英等 曹 修 ： 《自动控制中的矩阵理论》 科学出版社 1979 2 黄琳 ： 2.黄琳 《系统与控制理论中的线性代数》, 科学出版社 1984 3 韩京清，许可康 ，何关钰： 3.韩京清，许可康 《线性系统理论的代数基础》，辽宁科技出版社1987二、线性系统理论方面： 1. T.KAILATH：Linear Systems 1985年有中译本，李清泉等译：凯拉斯： 年有中译本 李清泉等译：凯拉斯：《线性系 统》。

2. C.T.CHEN: Linear System Theory and Design (王纪文、毛剑琴等译 王纪文 毛剑琴等译)： 《线性系统理论与设计》，1988年中译本 3. 郑大钟： 《线性系统理论》 清华大学出版社，1992 其余见篇末文献。

课程的地位与目的本课程是控制科学与工程一级学科研究生的公共学 位课和专业基础课。

通过本课程学习，要求学生掌握线性系统的 一般概念和分析研究线性系统的一般方法，为进一 步学习其它控制理论奠定坚实的基础。

步学习其它控制理论奠定坚实的基础 本课程理论性强，用到较多数学工具，因此， 对培养学生的抽象思维、逻辑思维，提高学生运 用数学知识处理控制问题的能力具有重要作用。

一、控制论产生的背景社会背景现代社会的生产和管理对于高度自动化水平的需要社会一旦有技术上的需要，则这种需要就会比十所大学更 能把科学推向前进。

—— 恩格斯直接原因二战期间，维纳参加了火炮控制和电子计算机的研制工作。

1943年，维纳、毕格罗和罗森勃吕特三人共同发表了 年，维纳、毕格罗和罗森勃吕特三人共同发表了《 《行为、 目的和目的论》 目的和目的论 》，首先提出了“控制论”这个概念，第一次把 只属于生物的有目的的行为赋予机器 阐明了控制论的基本思 只属于生物的有目的的行为赋予机器，阐明了控制论的基本思 想。

第一篇线性系统理论尽管任何实际系统都含有非线性因素，但在一定条件下，许多实际系统可用线性模型充分地加以描述，加之在数学上处理线性系统又较为方便，因此线性控制系统理论在控制工程学科领域中占有重要地位，是应用最优控制、最优估计与滤波、系统辨识、自适应控制等现代控制理论及构造各类现代控制系统的基础．众所周知，经典线性控制系统理论以传递函数为主要数学工具，侧重研究系统外部特性，这种方法在分析设计单变量系统时卓有成效，但随着航空航天、工业过程控制等高技术的发展，系统越来越复杂，需要分析与设计多变量系统。

5O年代末、60年代初，学者卡尔曼等人将古典力学中的状态、状态空间概念加以发展与推广，用来描述多变量控制系统，并深刻揭示了用状态空间描述的系统的内部结构特性，如可控性与可观测性，从而奠定了现代线性控制系统的理论基础。

在此基础上形成了适于多变量系统的状态反馈、输出反馈等新的反馈设计方法，以实现系统闭环极点的任意配置、消除或抑制扰动、稳定并精确地跟踪、解除或削弱交叉耦合影响，达到满足系统的各项动、静态性能指标要求。

本篇将系统介绍现代线性系统理论的基本内容。

第一章介绍状态空间分析法一般理论，主要介绍定常连续、时变连续、离散系统状态空间数学模型的建立及其解的特性．第二章介绍系统以状态空间描述后内部结构特性（含稳定性、可控性、可观测性）的分析方法，详细论证了定常系统各种结构特性的判别准则，对时变系统情况只作简介；其中应用李雅普诺夫理论所作的稳定性分析只限于线性系统。

第三章着重介绍用状态反馈实现闭环极点任意配置的系统综合方法。

第一章状态空间分析法经典控制理论中基于传递函数建立起来的如频率特性、根轨迹等一整套图解分析设计方法，对单输入-单输出系统极为有效，至今仍在广泛成功地应用。

- 1 -- 2 -由于60年代以来，控制工程向复杂化、高性能方向发展，需处理多输入-多输出、时变、非线性等方面的问题，加之数字计算机技术的卓越成果，有可能对这些复杂系统进行分析设计和实时控制，于是推动了状态空间分析设计方法的形成和发展．运用状态空间描述系统，是现代控制理论的重要标志，它弥补了用传递函数描述系统的许多不足之处，诸如传递函数对于处在系统内部的中间变量不便描述，甚至对某些中间变量还不能够描述，忽略了初始条件的影响。