第二章线性定常连续系统状态方程的解分解

2.1 状态空间描述的基本概念系统一般可用常微分方程在时域内描述，对复杂系统要求解高阶微分方程，这是相当困难的。

经典控制理论中采用拉氏变换法在复频域内描述系统，得到联系输入－输出关系的传递函数，基于传递函数设计单输入－单输出系统极为有效，可从传递函数的零点、极点分布得出系统定性特性，并已建立起一整套图解分析设计法，至今仍得到广泛成功地应用。

但传递函数对系统是一种外部描述，它不能描述处于系统内部的运动变量；且忽略了初始条件。

因此传递函数不能包含系统的所有信息。

由于六十年代以来，控制工程向复杂化、高性能方向发展，所需利用的信息不局限于输入量、输出量、误差等，还需要利用系统内部的状态变化规律，加之利用数字计算机技术进行分析设计及实时控制，因而可能处理复杂的时变、非线性、多输入－多输出系统的问题，但传递函数法在这新领域的应用受到很大限制。

于是需要用新的对系统内部进行描述的新方法－状态空间分析法。

第一节基本概念状态变量指描述系统运动的一组独立（数目最少的）变量。

一个用阶微分方程描述含有个独立变量的系统，当求得个独立变量随时间变化的规律时，系统状态可完全确定。

若变量数目多于，必有变量不独立；若少于，又不足以描述系统状态。

因此，当系统能用最少的个变量完全确定系统状态时，则称这个变量为系统的状态变量。

选取状态变量应满足以下条件：给定时刻的初始值，以及的输入值，可唯一确定系统将来的状态。

而时刻的状态表示时刻以前的系统运动的历史总结，故状态变量是对系统过去、现在和将来行为的描述。

状态变量的选取具有非唯一性，即可用某一组、也可用另一组数目最少的变量。

状态变量不一定要象系统输出量那样，在物理上是可测量或可观察的量，但在实用上毕竟还是选择容易测量的一些量，以便满足实现状态反馈、改善系统性能的需要。

状态向量把描述系统状态的个状态变量看作向量的分量，则称为状态向量，记以,上标为矩阵转置记号。

若状态向量由个分量组成，则称维状态向量。

现代控制理论学习指导书第一部分重点要点线性系统理论线性系统数学模型稳定性、可控性和可观测性单变量极点配置的条件和方法。

最优控制理论变分法极小值原理最优性原理动态规划最优估计理论参数估计方法掌握最小方差估计和线性最小方差估计方法状态估计方法预测法，滤波系统辨识理论经典辨识方法最小二乘辨识方法系统模型确定方法自适应控制理论用脉冲响应求传递函数的原理和方法。

两种设计方法智能控制理论掌握智能控制的基本概念、基本方法以及智能控制的特点。

了解分级递阶智能控制、专家控制、神经网络控制、模糊控制、学习控制和遗传算法控制的基本概念第二部分练习题填空题1.自然界存在两类系统：______静态系统____和______动态系统____。

2.系统的数学描述可分为___外部描述_______和___内部描述_______两种类型。

3.线性定常连续系统在输入为零时，由初始状态引起的运动称为___自由运动_______。

5.互为对偶系统的__特征方程________和___特征值_______相同。

6.任何状态不完全能控的线性定常连续系统，总可以分解成____完全能控______子系统和____完全不能控______ 子系统两部分。

7.任何状态不完全能观的线性定常连续系统，总可以分解成__完全能观测________子系统和____完全不能观测______子系统两部分。

8.对状态不完全能控又不完全能观的线性定常连续系统，总可以将系统分解___能控又能观测、能控但不能观测、不能控但能观测、不能控又不能观测四个子系统。

9.对SISO系统，状态完全能控能观的充要条件是系统的传递函数没有__零极点对消_。

10.李氏稳定性理论讨论的是动态系统各平衡态附近的局部稳定性问题。

11.经典控制理论讨论的是__在有界输入下，是否产生有界输出的输入输出稳定性问题，李氏方法讨论的是_动态系统各平衡态附近的局部稳定性问题。

12. ___状态反馈_______和__输出反馈________是控制系统设计中两种主要的反馈策略。

《现代控制理论》MOOC课程第二章系统状态空间表达式的解线性定常齐次状态方程的解状态转移矩阵线性定常非齐次状态方程的解线性时变系统状态方程的解控制系统状态空间表达式的解，就是求解系统x =A x +Bu y =Cx +Dux 0=x 0在给定初始条件和控制输入共同作用下，状态向量和输出向量的随时x 0=x 0u(t)间变化的运动规律。

x t ,y t 线性系统一定满足叠加原理。

系统在初始状态和控制输入共同作用下的运动x 0u(t)状态，可以分解为由初始状态和控制输入分别单独作用产生的运动状态x t x 0u(t)x 0u t x 0x t 和的叠加，即x t =x 0u t +x 0x tx 0x =A x +Buu =0x 0u t=零输入响应x =A x +Bux 0=0ux 0x t+零状态响应x =A x +Bux 0ux(t)响应定义为只有初始状态作用即，而无输入作用即时系统的状态响应。

x 0≠0零输入响应u ≡0x 0u t x 0x t 定义为只有输入作用即，而无初始状态作用即时系统的状态响应。

x 0=0零状态响应u ≢0x 0u t x =A x ，x 0=x 0零输入响应就是自治方程在非平衡初始状态作用下的自由解。

x 0x 0x t x =A x +Bu ，x 0=0零状态响应就是状态方程u 在平衡初始状态时，输入激励作用下的强迫运动。

第二章控制系统状态空间表达式的解零输入响应x e =0x 2u ≢0u ≠0响应x e =0x 2x 1x 0≠0t =t 0t =t 0u ≢0u ≠0x 1零状态响应x e =0x 2x 1t =t 0x 0=0x 0≠0《现代控制理论》MOOC课程2.1 线性定常齐次状态方程的解2.1 线性定常齐次状态方程的解一。

系统的零输入响应x 0u t =e At x 0，t ≥0线性定常系统齐次状态方程x =A x ，x 0=x 0，t ≥0(2−1)的解，即系统的零输入响应为：x 0u t eAt≜I +At +12!A 2t 2+⋯=෍k=0∞1k!A k tk式中，为系统矩阵A 的矩阵指数函数：e At 证明：令方程(2－1)的解为系数向量待定的一个幂级数，即x 0u t =b 0+b 1t +b 2t 2+⋯=෍k=0∞b k t k（2−2）其必满足方程(2－1)，将上式代入方程(2－1)可得b 1+2b 2t +3b 3t 2⋯比较可得：b 1=Ab 0，b 2=12Ab 1=12A 2b 0,⋯,b k =1k!A kb 0，⋯=A (b 0+b 1t +b 2t 2+⋯)x 0ut =(I +At +12!A 2t 2+13!A 3t 3+⋯)b 0将求得的待定系数，代入（2－2）式可得：由初始条件可得，故x 0u 0=x 0b 0=x 0x 0ut =(I +At +12!A 2t 2+13!A 3t 3+⋯)x 0=e At x 0得证线性定常系统零输入响应的几点说明如果取某个固定值，零输入响应就是状态空间中由初始状态经线性变换阵所导t x 0e At 所组成的一条轨线;x t 出的一个变换点。

第二章 状态空间表达式的解3-2-1 试求下列矩阵A 对应的状态转移矩阵φ（t ）。

（1） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2010A（2） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0410A（3）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2110A （4）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=452100010A（5）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=00100001000010A （6）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=λλλλ0100010000A【解】： （1）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-=Φ-----)2(10)2(11}201{])[()(11111s s s s L s sL A sI L t⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++-=---ttees s s s L 22105.05.01)2(10)2(5.05.01（2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=Φ-----t tt ts s s s s s L s sL A sI L t 2cos 2sin 22sin 5.02cos 444414}41{])[()(222211111（3）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++-+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-=Φ-----222211111)1()1(1)1(1)1(2}211{])[()(s s s s s s L s s L A sI L t⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--+=Φ------tttttt teetete e te t )(（4）特征值为：2,1321===λλλ。

由习题3-1-7(3)得将A 阵化成约当标准型的变换阵P 为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=421211101P ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-1211321201P线性变换后的系统矩阵为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==-20010011~1AP P A⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=t tt ttA e ete e e2~0000⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡===Φ-121132120000421211101)(21~t t tttA Ate te eePPeet⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--++-----++-----++--=Φt t ttt tt t t t t t t tt tt t ttt t tt t t e te eete ee te e e te e e te e ete e ete e e te e tee t 34838424225342222322)(222222222（5）为结构四重根的约旦标准型。

Chapter2状态方程的解我们要解决的问题是：在系统初始时刻0t t =时，初始状态为00)(x t x =的条件下，对该系统施加控制)(t u ，求出系统状态)(t x 的变化，即求解非齐次方程（0)(≠t u ）初值问题的解：000)()()()()()(t t x t x t u t B t x t A t x≥=+=或者在系统不加控制)(t u ，（0)(=t u 称为自由系统）的条件下，求出初值)(0t x 对系统状态)(t x 的影响，即求解齐次方程初值问题的解：000)(),()()(t t x t x t x t A t x≥==⇒⎩⎨⎧离散连续线性定常⇒⎩⎨⎧离散连续线性时变⎩⎨⎧⨯∆⇒⎩⎨⎧⨯∆数值解解析解非齐次数值解解析解齐次 2.1 线性定常系统状态方程的解2.1.1n 阶、线性、定常（无关与时间t A ）连续系统齐次状态方程的解我们知道：常系数线性微分方程（标量方程）)()(t ax t x= ，0)0(x x =，0≥t 其解为 000!)(x k t a x e t x k kk at∑∞===对齐次状态方程（矩阵方程）)()(t Ax t x= ，0)0(x x =，0≥t 很自然，仿照常系数线性微分方程，可得到n 阶线性、定常、连续系统齐次（0)(=t u ）状态方程的解000!)(x k t A x e t x k kk At∑∞=== 定义矩阵指数：k k k k k Att A k t A At I k t A e!121!220++++=≡∑∞= ，它仍是一个矩阵。

若初始时间为0t ，则状态方程的解为0000)(!)()(0x k t t A x et x k kk t t A ∑∞=--==∑∞=--=00)(!)(0k kk t t A k t t A e称为定常（连续）系统的状态转移矩阵。

)(0t t A e -物理意义：将系统从初始状态)(0t x 转移到（时刻t 的）状态)(t x 。