现代控制理论-4.1g 线性连续系统的能控性
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4.1 线性连续系统的能控性
卡尔曼在60年代初首先提出状态能控性和能观性。其 后的发展表明,这两个概念对回答被控系统能否进行控 制与综合等基本性问题,对于控制和状态估计问题的研 究,有着极其重要的意义。
系统能控性指的是控制作用对被控系统的状态和输出 进行控制的可能性。
能控?
r维u(t)
状态 n维x(t)
m维y(t)
能控?
u
+ x1 -
+
C1
R
u R
R x2 +-
C2 R
-
x2
1 RC 2
x2
由上述状态方程可知,状态变量x2(t)的值,即电桥中电容C2 的电压,是自由衰减的,并不受输入u的控制。
因此,该电压的值不能在有限时间内衰减至零,即该状 态变量是不能由输入变量控制到原点。
具有这种特性的系统称为状态不能控的。
本节首先从物理直观性来讨论状态能控的基本含义,然后再 引出状态能控性的定义。 下面将看到,这种从直观到抽象的讨论,对于理解能控性 严格定义的确切含义是有益的。
本节讲授顺序为: 能控性的直观讨论 状态能控性的定义 线性定常连续系统的状态能控性判别 线性定常连续系统的输出能控性 线性时变连续系统的状态能控性
能控性的直观讨论(5/12)
例 某并联双水槽系统如图4-2所示,其截面积均为A,它们通
过阀门O均匀地输入等量液体,即其流量QO相同。
O
QO
QO
1
h1 h2
2
Q1
Q2
图4-2并联双水槽系统
能控性的直观讨论(6/12)
当阀门1和2的开度不变时, 设它们在平衡工作点邻域 阀门阻力相等并可视为常 数,记为R。
系统能控性指的是控制作用对被控系统的状态和输出 进行控制的可能性。
能控?
r维u(t)
状态 n维x(t)
m维y(t)
能控?
u
+ x1 -
+
C1
R
u R
R x2 +-
C2 R
-
x2
1 RC 2
x2
由上述状态方程可知,状态变量x2(t)的值,即电桥中电容C2 的电压,是自由衰减的,并不受输入u的控制。
因此,该电压的值不能在有限时间内衰减至零,即该状 态变量是不能由输入变量控制到原点。
具有这种特性的系统称为状态不能控的。
本节首先从物理直观性来讨论状态能控的基本含义,然后再 引出状态能控性的定义。 下面将看到,这种从直观到抽象的讨论,对于理解能控性 严格定义的确切含义是有益的。
本节讲授顺序为: 能控性的直观讨论 状态能控性的定义 线性定常连续系统的状态能控性判别 线性定常连续系统的输出能控性 线性时变连续系统的状态能控性
能控性的直观讨论(5/12)
例 某并联双水槽系统如图4-2所示,其截面积均为A,它们通
过阀门O均匀地输入等量液体,即其流量QO相同。
O
QO
QO
1
h1 h2
2
Q1
Q2
图4-2并联双水槽系统
能控性的直观讨论(6/12)
当阀门1和2的开度不变时, 设它们在平衡工作点邻域 阀门阻力相等并可视为常 数,记为R。
现代控制理论：CH4 线性系统的能控性与能观测性
x(t1)=0 ，根据定义可知系统为完全能控。
16
第4章 线性系统的能控性和能观测性
必要性：已知系统完全能控，欲证Wc[0, t1] 非奇异。反
设Wc[0, t1]为奇异，即存在某个非零向量 x0 Rn ，使
x0TWc[0, t1]x0 0
0 x0TWc[0,t1] x0
t1 0
x0T
e
以系统完全能控；但输出y只能反映状态变量x2，不
能反映状态变量x1，所以系统不完全能观测。
4
第4章 线性系统的能控性和能观测性
例4-2： 系统的原理图如图4-2所示
选取x1= iL，x2= uc， y = uc，
iL L R
R
u R uc R
图4-2 桥式电路
原理图表明：控制量u可以控制状态x1，但对状
11
第4章 线性系统的能控性和能观测性
4．状态能达与系统能达
对于线性时变系统
x A(t)x B(t)u x(t0 ) x0 t J
若 存 在 能 将 状 态 x(t0)=0 转 移 到 x(tf)=xf 的 控 制 作用，则称状态xf是t0时刻能达的。
若xf对任意初始时刻t0 J都是能达的，则称状 态xf为一致能达。若系统对于状态空间中的每一个 非零状态都是时刻t0能达的，则称该系统是t0时刻 完全能达的，或简称系统是t0时刻能达的。
证：充分性：已知Wc[0, t1]为非奇异，欲证系统为完 全能控，采用构造法来证明。对任一非零初始状态x0 可构造控制u(t)为：
u(t) BT eATtWc1[0,t1]x0, t 0,t1
则u(t)作用下系统状态x(t)在t1时刻的结果:
x(t1) eAt1 x0
t1 eA(t1t) Bu(t)dt
现代控制理论4-1
变换后的约当标准型每个约当块的最后一行所对应 Bˆ 阵中各行的
J1
xˆ
xˆ
元素不全为0。
Bˆ u
Jn
例：判别系统的可控性
2 1 0
1)x
0
2x2u
可控
x1 x2
2 x1 2 x2
x2 2u
2 1 1
第四章 控制系统的能控性和能观性
教学内容:
1.线性控制系统能控性和能观测性概述。 2.线性连续系统的能控性。 3.线性连续系统的能观测性。 4.线性离散系统的能控性和能观测性。 5.对偶性原理。
1 0 1
x
0
3
x
0
u
y [0 1]x
6.系统的能控性和能观测性与传递函数阵的关系。
0 1
1 0
2 1
2 0
4 1
rankM 3n
能控
26 6 17 0 0 1 0 4 2
M
MT
6
3
2
rank(MMT)3
17 2 21
2、具有约当标准型的系统的能控性判别
1）特征值互异：xAxBu能控的充要条件是经过非奇异变
换后的约当标准型 1
解：
Mb
பைடு நூலகம்1 x
Ab
2
0 1
1 0
x2
x1
u
rankM2
满秩，能控
2 0 1
3)x0 2 x1u
X2
解： Mb
能控性的定义1连续系统的能控性（Controllability）定义
能控性的定义1.连续系统的能控性(Controllability)定义：对于线性（定常、时变）连续系（常）系统，若对状态空间中的任意状态和另一状态存在一个有限的时间)(0t x，存在一个有限的时间和一个分段连续输入，能在)(1t x),(1tt)(tu),(1tt 内使状态转移到，则称此状态是能控的否则称为不能控的)(1t x能控的，否则称为不能控的PnP 0若系统所有状态都是能控的，则称此系态完全能控的简称系系统是状态完全能控的，简称系统是能控的能控的。
2离散系统的能控性2.离散系统的能控性在有限采样间隔[0T]内若存在无约在有限采样间隔[0，nT]内，若存在无约束的阶梯控制序列，能)1(,),0( n u u 使系统从任意初态转移到任意终则称该系统是状态完全能控的)0(x 态，则称该系统是状态完全能控的，简称是能控的。
)(n x不失一般性，可以把终端状态规定为状态空间不失般性，可以把终端状态规定为状态空间中的原点。
也可以把初始状态规定为状态空间常中的原点，第二种情况通常称为系统的能达性。
对于线性定常（连续离散）系统能对于线性定常（连续、离散）系统，能控性和能达性是等价的能控性判别准则线性定常（连续离散）系统{A B}状线性定常（连续、离散）系统{A，B}状态完全能控的充分必要条件是，由A，B构成的满秩。
即21n c rankS rank B AB A B A B n -⎡⎤== ⎣⎦⎥⎤⎢⎡⎥⎤⎢⎡-0221 ux x ⎥⎥⎦⎢⎢⎣+⎥⎥⎦⎢⎢⎣--=10331020⎤⎡-820B A 解:[]⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎣-==11310002AB B Sc 23c rankS n =<=所以，系统不（完全）能控。
所，系不（）能控⎤⎡⎤⎡0010 u x x ⎥⎥⎥⎢⎢⎢+⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢---=106116100解⎦⎣⎣⎤⎡100解:⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎣--=2561610cS ==nrankS c 3所以系统状态完全能控所以，系统状态完全能控。
现代控制理论(12-17讲：第4章知识点)
0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 x y x 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0
MIMO系统，n=5，r=5，独立特征向量为2， C阵对应列 (1、4列)，线性无关, 故系统状态完全能观。
4-4 线性定常离散系统的能控性和能观性
故系统是不能观测的。
y 3 2 0 x
18
例2：判定如下系统的能观性。
1 0 3 x x 7 u 0 3
0 0 1 y x 0 u 1 1
故系统是能观测的。
特别要注意特征值互异的条件，否则会影 响判定结论的正确性。
解： n=3、 r=1 有
0 2 8 Q c B AB A 2 B 0 0 0 1 3 11
显然：
rankQc 2( n)
4
故系统是不能控的。
3、能控性判据之二 (1)、系统特征值互异的情况：
若线性定常系统： Ax + Bu , 具有n个互不相同的 x 特征值，则其状态完全能控的充分必要条件是，系统经非 奇异变换后的状态方程式：
C 1 1 rankQo rank 1 n CA 5 5
故系统是不能观测的.（detQo=0）
16
例2：判定如下系统的能观性。
2 1 1 x x 1 u 1 3
1 0 y x 1 0
b1 0
故系统状态不可控。
特别要注意特征值互异的条件，否则会影 响判定结论的正确性。
(2)、系统具有重特征值的情况： 若线性定常系统： Ax + Bu , 具有重特征值，且 x 每一个重特征值只对应一个独立特征向量，则其状态完全能 控的充分必要条件是，系统经非奇异变换后的Jordan规范形：
现代控制理论能控性和能观测性
I A1
B
I A
B f
(3-21)
式中B 为元素埏是I A的伴随矩阵。方程(3-21)两端右 乘 I A得：
BI A f I
(3-22)
由于 B 的元素 I A代数余子式，均为 n 1 次多项式，
故据矩阵加法运算规则，可将其分解为n个矩阵之和：
B
B n1 n1
B n2 n2
Bn1 I
Bn2 Bn1A an1I
Bn3 Bn2A an2I
M
B0 B1A a1I
B0A a0I
Bn1An An
Bn2An1 Bn1An an1An1
Bn3An2 Bn2An1 an2An2 M
0 1 M 1 －2 M 2 3
S2 G2 G2 L 2G2 0 0 M 0 1 0 M 0
0 M 0 0 1 M 1 －2
显见出现全零行，rankS2 2 3 ，故不能控。
多输入系统能控阵 S2，其行数小于列数，在计算列写能控阵时， 若有显时见可通过矩计S阵2算的秩为Sn的2，秩S便T2 是不否必为把n来判矩断S阵2多的输所入有系列统都的写能出控。性。 这只是需因计为算，一当次n阶非行奇列S异式2 时即，可确定能必S控非2 性奇ST2，异但，在而计算 为S方2 S阵T2 ，
系统矩阵 的阶数，或系统特征方程的阶次数。
以上研究假定了终态 x 0 0。若令终态为任意给定状态xn
则方程(3-2)变为：
n 1
nx 0 x n n1igu i
i0
(3-9)
方程两端左乘 n ，有
x 0－nx n 1g 2g L
u0
ng
u 1
M
u n 1
(3-10)
现代控制理论线性控制系统的能控性与能观性基础知识资料PPT课件
u(t)
x(t0 )
x2
x0 x(t f ) 0
所有非零状态
x0 在t0 时刻能控 系统在t0 时刻完全能控
所有时刻
系统一致能控
x1
x(t1)
t0
x(t2 )
t1
线性定常 系统的能 控性与 t0 无关
t
t2
第11页/共45页
x(t0 ) 0 x(t1) 0 x(t0 ) 0 x(t1) 0
第1页/共45页
能控性和能观测性的基本概念：
20世纪60年代初，由卡尔曼提出， 与状态空间描述相对应。
卡尔曼
能控性：反映了控制输入对系统状态的制约能力。 输入能否控制状态（控制问题）
能观测性：反映了输出对系统状态的判断能力。 状态能否由输出反映（估计问题）
第2页/共45页
由于系统需用状态方程和输出方程两个方程来描述输入-输出 关系，状态作为被控量，输出量仅是状态的线性组合，于是有 “能否找到使任意初态转移到任意终态的控制量”的问题，即能 控性问题。并非所有状态都受输入量的控制，或只存在使任意初 态转移到确定终态而不是任意终态的控制。还有“能否由测量到 的输出量来确定出各状态分量”的问题，即能观测性问题。
a2
1 a2 a1 a22
rankM 3 n 故系统的状态完全能控！
此形式的状态方程为能控标准型
第35页/共45页
[例] 判别如下系统的能控性
x1 1 2 2 x1 2
x 2
0
1
1
x2
0
u
x3 1 0 1 x3 1
[解]：
2 4 0
M b Ab A2b 0 1
0 0 2
3
4 1 0
现代控制理论_线性控制系统的能控性与能观性
系统不能观测！
0 7 x x 5 1 2 0 y 3 2 0 x 0 3 1
n 1
标量
x(t0 ) A j b i
j 0
n 1
0 2 n 1 1 b Ab A b A b n 1
若系统是能控的，那么对于任意给定的初始状态 x(t0)都应从上述方程中解出 0， 1，…， n 1来。
3.2.3 线性定常系统的输出能控性 在分析和设计控制系统的许多情况下，被控制量 有时不是系统的状态，而是系统的输出，因此有必要 研究系统的输出是否能控的问题。 定义 对于系统(A，B，C，D)，如果存在一个无 约束的控制矢量u(t)，在有限时间 [t0，tf]内，能将 任一给定的初始输出 y(t0)转移到任一指定的最终输出 y(tf )，那么就称(A，B，C，D)是输出完全能控的， 或简称输出是能控的。
0 1 A 0 2
1 0 0 1 0 0 0 2
0 0 1 0
0 1 B 0 0
0 0 0 2
[例] m1 1, m2 0.5, k 1 分析制导分离模块的能控性。
1 (t ), x1 (t ), x 2 (t ), x2 (t ), x
[解]：
3 2 5 4 2 1 1 1 2 2 2 4 4 M B AB A B 1 1 2 2 4 4
rank M 2 dim A 3
系统不能控！
[例] m1 1, m2 0.5, k 1 分析制导分离模块的能控性。
A 为元素各异的对角阵， b 阵出现全零行，不能控
华南农业大学现代控制理论课件第四章 能控性和能观测性1讲
10
4.1 线性定常连续系统的能控性
本节主要内容 能控性定义 能控性判据
状态能控判据 输出能控判据
11
4.1 线性定常连续系统的能控性
• 含义：
能控性：u(t)
x(t) 状态方程
一、能控性定义（可控性）
1、状态能控性 x Ax Bu
对于线性定常系统，如果存在一个分段连续的输 入能在有限时间间隔内，使得系统从任意一个初 始状态转移到任意的终止状态，则称此系统是状 态完全能控的，简称系统是能控的。
4 1 0 0 0 4 0 x x （3） 3 1 2 0 0 3 0 1 0 u 0 1
解：(1) ∵ 2 0 ∴ 系统是能控的。 (2) 系统不能控的。 (3) 系统不能控的。
29
取x1 i L , x 2 uc , y uc
当R1R4≠R2R3，即电桥不平衡时，输入u能控 制x1和x2所有状态变量，称系统是能控的。
9
引言—问题的提出
例4.3 RLC网络
同样 取x1 i L , x 2 uc , y uc 当R1R4=R2R3，即电桥平衡时，电感中的电流 作为电路的一个状态是不能由输出变量来确 定的，称该系统是不能观测的。
例4.4 判别下列状态方程的能控性。
2 （1） x 0
解：（1） n 2
Qc B
1 1 x 0u 1
AB A2 B An1B
1 2 [ B AB] 0 0 rankQ 1 n c
∴ 系统状态不完全能控。
x 0
x Bu n
中，B 阵不存在全零行。
4.1 线性定常连续系统的能控性
本节主要内容 能控性定义 能控性判据
状态能控判据 输出能控判据
11
4.1 线性定常连续系统的能控性
• 含义：
能控性：u(t)
x(t) 状态方程
一、能控性定义（可控性）
1、状态能控性 x Ax Bu
对于线性定常系统，如果存在一个分段连续的输 入能在有限时间间隔内，使得系统从任意一个初 始状态转移到任意的终止状态，则称此系统是状 态完全能控的，简称系统是能控的。
4 1 0 0 0 4 0 x x （3） 3 1 2 0 0 3 0 1 0 u 0 1
解：(1) ∵ 2 0 ∴ 系统是能控的。 (2) 系统不能控的。 (3) 系统不能控的。
29
取x1 i L , x 2 uc , y uc
当R1R4≠R2R3，即电桥不平衡时，输入u能控 制x1和x2所有状态变量，称系统是能控的。
9
引言—问题的提出
例4.3 RLC网络
同样 取x1 i L , x 2 uc , y uc 当R1R4=R2R3，即电桥平衡时，电感中的电流 作为电路的一个状态是不能由输出变量来确 定的，称该系统是不能观测的。
例4.4 判别下列状态方程的能控性。
2 （1） x 0
解：（1） n 2
Qc B
1 1 x 0u 1
AB A2 B An1B
1 2 [ B AB] 0 0 rankQ 1 n c
∴ 系统状态不完全能控。
x 0
x Bu n
中，B 阵不存在全零行。
现代控制理论-第四章 能控性能观性
1 x1 (k) 1
2
x
2
(k
)
0
1x3 (k) 0
0
0 1
u1 u2
(k) (k )
只要计算出矩阵[H,GH ]的秩，即可
1 0 1 1
rank H GH rank 0 1 1 2 3
0 0 0 0
第四章 线性系统的能控性与能观性
§4.1 线性定常系统的能控性及其判据
§4.1.1 连续系统的能控性
定义4.1.1 线性定常连续系统的状态方程为
x Ax Bu
给定系统一个初始状态 x(t0 )，如果在 t1 t0 的有限 时间区间 [t0 , t1 ]内，存在容许控制 u(t) ，使 x(t1) 0 ，则 称系统状态在 时t0 刻是能控的；如果系统对任意一个初始
续系统的能观测性和能检测性等价。
3）状态空间中所有有限点都是能观测的，则系统才是 能观测的。
4）系统的输入 u(t) 以及确定性的干扰信号 f (t) 均不改变 系统的能观测性。
第四章 线性系统的能控性与能观性
定理4.2.1 线性定常连续系统为能观测的充分必要条件 是以下格拉姆能观性矩阵满秩，即
应用凯-哈定理，有
n1
eAτ a0 (τ)I a1(τ) A an1(τ) An-1 ai (τ) Ai i0
整理得
x(0)
n1
AiB
tf 0
ai (τ)u(τ) d τ
i0
第四章 线性系统的能控性与能观性
βi1
令
tf 0
ai (τ)u(τ) d
1 1
t 0
e(tτ)u(τ) d
现代控制理论-4-线性系统的能控性和能观测性-第7讲
能控性的定义
能控性是指对于一个线性系统，如果 存在一个控制输入，使得系统状态能 够在有限的时间内从任意初始状态转 移到任意目标状态，则称该系统为能 控的。
能控性的判断依据是系统的能控性矩 阵，如果该矩阵满秩，则系统能控。
能观测性的定义
能观测性是指对于一个线性系统，如果存在一个观测器，能够通过系统的输出测量并估计出系统的所有状态，则称该系统为 能观测的。
传递函数判据
对于线性时不变系统，如果传递 函数的零点和极点个数满足一定 条件，则系统能观测；否则系统 不能观测。
03
能控性和能观测性的应用
在控制系统设计中的应用
系统性能分析
通过分析系统的能控性和能观测性，可以评估系统的稳定 性和动态性能，从而优化系统设计。
控制器设计
在控制器设计中，需要考虑系统的能控性和能观测性，以 确保控制器能够有效地控制系统的状态并观测系统的状态。
初始状态和目标状态
系统初始和目标状态的定义，以及它们对最优控 制策略的影响。
最优控制问题的求解方法
动态规划
将最优控制问题分解为一系列子问题， 通过求解子问题的最优解逐步逼近原问
题的最优解。
极大值原理
通过求解极值条件来找到最优控制输 入，适用于具有特定性能指标的最优
控制问题。
线性二次调节器
通过最小化状态和控制输入的二次范 数来求解最优控制问题，适用于线性 二次最优控制问题。
现代控制理论-4-线性系统 的能控性和能观测性-第7讲
目录
• 线性系统的能控性和能观测性的 定义
• 能控性和能观测性的判定方法 • 能控性和能观测性的应用 • 线性系统的状态反馈和状态观测
器设计
目录
• 线性系统的最优控制问题 • 现代控制理论的发展趋势和前沿
现代控制理论线性控制系统的能控与能观性
判断线性控制系统稳定性的方法有多 种，如劳斯判据、赫尔维茨判据等。
03
能控性与能观性概念
能控性概念
能控性是指对于一个线性控制系统，如果存在一个控 制输入，使得状态变量从任意初始状态能够被驱动到
任意目标状态，则称该系统是能控的。
能控性的判断依据是系统的能控性矩阵，如果该矩阵 非奇异，则系统是能控的，否则系统不能控。
线性控制系统是控制系统的一种重要 类型，其能控性和能观性是评价系统 性能的重要指标。
研究意义
能控性和能观性是现代控制理论中的基本概念，对线性控制系统的分析和设计具有重要意义。
研究线性控制系统的能控性和能观性有助于深入了解系统的动态行为，为优化控制策略和控制系统的 稳定性提供理论支持。
02
线性控制系统基础
04
线性控制系统的能控性分析
能控性的判断方法
矩阵判据
通过判断线性系统的状态矩阵是否满足能控性矩阵的 条件，从而判断系统的能控性。
传递函数判据
根据线性系统的传递函数，通过分析其极点和零点， 判断系统的能控性。
状态方程判据
通过分析线性系统的状态方程，判断其是否具有能控 性。
能控性的改善方法
增加控制输入
能观性分析
能观性分析在智能交通系统中同样重要，它 有助于确定交通系统的状态是否能被其传感 器完全监测。这涉及到对传感器精度、道路 条件以及传感器布局等因素的考虑。
07
结论与展望
研究结论
1
线性控制系统能控性与能观性是现代控制理论中 的重要概念，对于系统的分析和设计具有重要意 义。
2
通过研究线性控制系统的能控性和能观性，可以 深入了解系统的动态特性和行为，为控制系统设 计和优化提供理论支持。
现代控制理论_线性控制系统的能控性与能观性基础知识资料47页PPT
现代控制理论_线性控制系统的能控性 与能观性基础知识资料
21、没有人陪你走一辈子，所以你要 适应孤 独，没 有人会 帮你一 辈子， 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该 是坚强 。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首，因 为这种 德性保 证了所 有其余 的德性 。--温 斯顿． 丘吉尔 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 们的脚 放上一 段时间 ，以便 让别一 只脚能 够再往 上登。
Байду номын сангаас 谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
21、没有人陪你走一辈子，所以你要 适应孤 独，没 有人会 帮你一 辈子， 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该 是坚强 。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首，因 为这种 德性保 证了所 有其余 的德性 。--温 斯顿． 丘吉尔 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 们的脚 放上一 段时间 ，以便 让别一 只脚能 够再往 上登。
Байду номын сангаас 谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
31 线性连续系统的能控性
3、能观性是Y(t)反应X(t)的能力，回答是否 能通过Y(t)的量测来确定X(t)的问题。
古典中：C(s)既是输出又是被控量
(1)、 C(s)肯定与R(s)有关系 ， (2)、 C(s)肯定是可测量的， 因此，只要满足稳定，肯定能控能观 现代中：
被控制量是X（状态变量）
问题：
1、每个状态X (t)是否受u(t)控制 2、状态变量在系统内部，能否通过观测Y (t)来 测量X (t)
3 1 0 0 0 (4)、A 0 3 0, B 2 1 0 0 3 0 1
0 4 1 0 (5)、A 0 4 0 , B 1 0 2 0 4
1 A 2 b a2 a1 a2 2
解：
0 x 0 a0
0 0 b 1
0 1 Ab a2
故
0 0 1 M 0 1 a2 2 1 a2 a1 a2
所以A为约旦阵，但有两个相同特征值的约旦块 对应b虽为最后一行全为0的元素行，仍不能控， 可算出rank[M]<3.
结论：系统的能控性，取决于状态方程中的A和B。
解： x1 x1 u x2 2 x2 u
x1 x2 都与u有关，所以
状态完全能控，即能控
1 1 M B AB 1 2 M 0, 秩为2， 满秩，能控
例3.2有系统如下，判断其是否能控
0 x 0 a0 1 0 a1 1 0 a1 0 0 1 x 0 u a 2 1 0 0 1 x 0 u a 2 1
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能控性的直观讨论(7/12)
由各水槽中所盛水量的平 衡关系和流量与压力(水面 高度)的关系,有
O
QO
QO
1
h1 h2
2
Q1
Q2
A1 A2
dh1
dt dh2
dt
QO Q1 QO Q2
h1 RQ1 h2 RQ2
其中代表平衡工作点附近的变化量。
Ch.4 线性系统的能控性和 能观性
本章简介(1/1)
本章简介
本章讨论线性系统的结构性分析问题。 主要介绍 动态系统的状态空间模型分析的两个基本结构性质 ----状态能控性和能观性,以及 这两个性质在状态空间模型的结构分解和线性变换 中的应用, 并引入能控规范形和能观规范形, 以及实现问题与最小实现的概念。 本章最后介绍基于Matlab的控制系统的结构性分析问 题的程序设计与计算。
能控性的直观讨论(8/12)
选上述方程中变化量h1和h2为状态变量,将状态变量 带入方程中并消去中间变量Q1和Q2消去,则有
x1 x2
1
AR 1
AR
x1 x2
1 A
Qo
1 A
Qo
解上述状态方程,可得
x1 (t )
exp
-t AR
卡尔曼在60年代初首先提出状态能控性和能观性。其 后的发展表明,这两个概念对回答被控系统能否进行控 制与综合等基本性问题,对于控制和状态估计问题的研 究,有着极其重要的意义。
系统能控性指的是控制作用对被控系统的状态和输出 进行控制的可能性。
能控?
r维u(t)
状态 n维x(t)
m维y(t)
能控?
O
QO
QO
1
h1 h2
2
数,记为R。
Q1
Q2
图中h1(t)和h2(t)分别为水槽液面高度,Q1(t)和Q2(t)分 别为流量。
该双水槽系统的状态能控性可分析如下:
对本例的流体力学系统,假设对两个水槽的流入和流出的 水流体已处于平衡。
下面仅考虑流量QO的变化量QO所引起的水槽水位 的变化。
x1
1 A
t 0exp t -τ AR NhomakorabeaQo
(
)d
x2 (t)
exp
-t AR
x2
1 A
t 0
exp
t -τ AR
Qo
(
)d
能控性的直观讨论(9/12)
由上述解可知,当初始状态x1(0)和x2(0)不等时,则x1(t)和 x2(t)的状态轨迹完全不相同,即在有限时间内两条状态 轨线不相交。
目录
概述 4.1 线性连续系统的能控性 4.2 线性连续系统的能观性 4.3 线性定常离散系统的能控性和能观性 4.4 对偶性原理 4.5 线性系统的结构性分解和零极点相消 4.6 能控规范形和能观规范形 4.7 实现问题 4.8 Matlab问题 本章小结
下面通过实例来说明能控性的意义 。
能控性的直观讨论(5/12)
例 某并联双水槽系统如图4-2所示,其截面积均为A,它们通
过阀门O均匀地输入等量液体,即其流量QO相同。
O
QO
QO
1
h1 h2
2
Q1
Q2
图4-2并联双水槽系统
能控性的直观讨论(6/12)
当阀门1和2的开度不变时, 设它们在平衡工作点邻域 阀门阻力相等并可视为常
因此,对该系统,无论如何控制流入的流量QO(t),都不能 使两水槽的液面高度的变化量h1(t)和h2(t)在有限时 间内同时为零,即液面高度不完全能进行任意控制。
上面用实际系统初步说明了能控性的基本含义,能控性在系 统状态空间模型上的反映可由如下两个例子说明。
能控性的直观讨论(10/12)
线性连续系统的能控性(1/2)
4.1 线性连续系统的能控性
本节主要讨论线性定常连续系统的状态能控性和输出能控
性问题。
关键问题:
重点喔!
1. 基本概念: 状态能控性和输出能控性
2. 基本方法: 状态能控性和输出能控性的判别方法
3. 状态能控性的物理意义和在状态空间中的几何意 义
能控性的直观讨论(1/12)
目录(1/1)
概述(1/5)
概述
本章讨论线性定常系统的定性分析--结构性问题和系统综 合问题,主要内容有: 结构性问题--能控性、能观性、对偶原理 结构分解 能控规范形和能观规范形 系统实现 系统综合问题--状态反馈和状态观测器
概述(2/5)
动态系统的能控性和能观性是揭示动态系统不变的本质特 征的两个重要的基本结构特性。
所以,无论是从理论还是实践,经典控制理论和技术一般 不涉及到能否控制和能否观测的问题。
概述(5/5)
现代控制理论中着眼于对表征MIMO系统内部特性和动态 变化的状态进行分析、优化和控制。
状态变量向量的维数一般比输入向量的维数高,这里存 在多维状态能否由少维输入控制的问题。
此外,状态变量是表征系统动态变化的一组内部变量,有 时并不能直接测量或间接测量,故存在能否利用可测量 或观测的输出输出的信息来构造系统状态的问题。
概述(3/5)
能观性反映由能直接测量的输入输出的量测值来确定 反映系统内部动态特性的状态的可能性。
状态
u(t)
x(t)
y(t)
能观测?
为什么经典控制理论没有涉及到这两个结构性问题?
概述(4/5)
这是因为经典控制理论所讨论的是SISO系统输入输出的分 析和综合问题,它的输入输出间的动态关系可以唯一地由传 递函数所确定。
因此,给定输入,则一定会存在唯一的输出与之对应。
反之,对期望输出信号,总可找到相应的输入信号 (即控制量)使系统输出按要求进行控制,不存在能 否控制的问题。
此外,输出一般是可直接测量,不然,则应能间接测量。
否则,就无从对进行反馈控制和考核系统所达到的 性能指标。
因此,在这里不存在输出能否测量(观测)的问题。
4.1.1 能控性的直观讨论
状态能控性反映输入u(t)对状态x(t)的控制能力。 如果状态变量x(t)由任意初始时刻的任意初始状态引起 的运动都能由输入(控制项)来影响,并能在有限时间内 控制到空间原点,那么称系统是能控的, 或者更确切地说,是状态能控的。 否则,就称系统为不完全能控的。