分数的基本性质课件

分数的基本性质定义
分数的基本性质是指分数的分子和分 母同时乘以或除以同一个非零数，分 数的值不变的性质。
具体描述
如果有一个分数$frac{a}{b}$，其中$a$是分子 ，$b$是分母，那么我们可以将分子和分母同 时乘以或除以同一个非零数$k$，得到新的分 数$frac{a times k}{b times k}$或$frac{a div k}{b div k}$，这两个新的分数与原分数 $frac{a}{b}$相等。
在进行分数的乘法和除法运算时 ，我们可以利用分数的基本性质 ，将分子和分母同时乘以或除以
同一个数，使计算变得简单。
分数的基本性质的证明
证明方法一
通过具体的数学推导和证明，我们可以证明分数的基本性质。我们可以选择一个 具体的非零数$k$，然后通过代数运算证明新的分数与原分数相等。
证明方法二
我们也可以使用数学归纳法来证明分数的基本性质。首先，我们验证基本性质在 $k=1$时成立，然后假设在某个$k$时性质成立，再证明在$k+1$时性质也成立 。这样我们就可以得出结论：分数的基本性质对于任何非零数$k$都成立。
《分数的基本性质》 ppt课件
目录
CONTENTS
• 分数简介 • 分数的基本性质 • 分数运算规则 • 分数与小数的关系 • 分数的实际应用
01 分数简介
分数的定义
分数是一种数学表达 方式，表示整体的一 部分。
分子表示被除数，分 母表示除数，分数线 表示除号。
分数的定义包括分子 、分母和分数线三个 部分。
分数的基本性质应用
约分
利用分数的基本性质，我们可以 将一个复杂的分数化为最简形式 ，即分子和分母没有公因数的分 数。约分是简化分数计算的重要

分数与百分数的转换
百分数可以通过乘以100来转换为分数，而分数也可以通过除以100来转换为百分数。这种转换关系使得我们可 以利用百分数或分数进行计算和比较。
分数的四则运算及混合运算
加法
分数的加法运算需要先将两个分数的分母统一，然后将分 子相加。例如：1/2+2/3=3/6+4/6=7/6。
减法
分数的减法运算同样需要先将两个分数的分母统一，然后 将分子相减。例如：1/2-1/3=3/6-2/6=1/6。
由整数和真分数组成的分 数，如2又3/4。
02
分数的性质
分数的基本性质
分数相等
如果两个分数的分子与分母分别 相等，那么这两个分数相等。
分数不等
如果两个分数的分子与分母不全 相等，那么这两个分数不等。
分数的唯一性
对于任何一个分数，只有一个分 数与之相等。
分数的大小比较
分子相同
如果两个分数的分子相同，那么分母越大的分数越小。
在数学中的应用
代数
在代数中，分数是重要的基础概念之一 。分数的运算性质在代数方程的求解和 化简中有着广泛的应用。
VS
几何
在几何学中，分数经常用来描述图形的比 例和面积。例如，一个矩形被分割成若干 个小的矩形，每个小矩形的面积占总面积 的比例可以用分数来表示。
在科学中的应用
要点一
化学
在化学中，分数被广泛应用于表示化学反应的平衡常数和 化学式中元素的原子个数比例。例如，水的化学式是H2O ，其中氢和氧原子的个数比例是2:1。
乘法
分数的乘法运算需要将分子与分子相乘，分母与分母相乘 。例如：(1/2)x(3/4)=1x3/(2x4)=3/8。
除法
分数的除法运算需要将除数的分子与被除数的分母相乘， 除数的分母与被除数的分子相乘。例如： (1/2)/(3/4)=1x4/(2x3)=4/6=2/3。

这个猴 子……
那就平均分成8 块，给他2块吧！
根据商不变的规律……
1÷4＝（1×2）÷（4×2）＝2÷8＝
2 8
1
这4幅图有什么相 同点和不同点？
（） （） （） （）
四个大正方形都相同， 平均分的份数不同。 涂色部分的面积相等。
1 用分数表示图中的涂色部分，你发现了什么？
（
1 2
）＝
（
2 4
）＝
义务教育冀教版四年级下册
五 分数的意义和性质
第6课时 分数的基本性质
情境导入
把这张饼平均分成 师父，我吃得多，
4块，每人一块吧！多给我一块吧！
这个猴 子……
那就平均分成8 块，给他2块吧！
在这个故事中，你了解到哪些数学信息，想到了什么问题？
探究新知
把这张饼平均分成 师父，我吃得多，
4块，每人一块吧！多给我一块吧！
分数的分子和分母 都除以相同的数， 分数的大小不变。
讨论：分数的分子和分母能同时乘或除以0吗？
分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0 除外）， 分数的大小不变。这叫做分数的基本性质。
练一练
(教材P57 T1)
1.把
1 3
和
10 24
分别化成分母是12而大小不变的分数。
1 3
＝
1×（ 3×（
4 4
））＝（142
）
10 24
＝
10÷（ 24÷（
2 2
））＝（152 ）
(教材P57 T2)
2.在方框里填上合适的数。
×4
÷3
5 8
＝
20 32
×4
3 6
＝
9 18
÷3

验证
×3
？=
÷4
？=
×3
÷4
= 3÷4 = (3×3)÷(4×3) =
= 4÷8 =(4÷4)÷(8÷4) =
（×）
0 不能做除数
猜想
验证
得出结论
分数基本性质
分数的分子与分母同时乘或除以相同的数（ 零除外 ）， 分数的大小(× )
1.在括号里填上合适的数。
北师大版 五年级上册 第五单元 分数的意义
120÷30= 4 (120×3)÷(30×3)= 4 (120×10)÷(30×10)= 4 (120÷2)÷(30÷2)= 4 (120÷10)÷(30÷10)= 4
商不变规律
用分数表示涂色部分
=
=
=
=
=
=
思考：
1、从左到右观察，这四个分数的分子，分母怎样变化得到下一个分 数且分数的大小不变；
÷2
÷2
÷2
÷2
÷2
÷2
÷4
÷8
分数的分子与分母同时除以相同的数，分数的大小不变。
思考：
1、从左到右观察，这四个分数的分子，分母怎样变化得到下一 个分数且分数的大小不变？ 2、从右到左观察，这四个分数的分子，分母怎样变化得到下一 个分数且分数的大小不变？
猜想
分数的分子与分母同时乘或除以相同的数，分数的大小不变。
2.
=
=
从左到右观察
×8 ×4
×2
×2
×2
×2
×2
×2
×4 ×8
分数的分子与分母同时乘相同的数，分数的大小不变。
思考：
1、从左到右观察，这四个分数的分子，分母怎样变化得到下一 个分数且分数的大小不变；

演变过程
在数学发展的过程中，分数经历了许多演变。从最初的分数 形式，如用线段、图形等表示部分与整体的关系，到后来的 分数运算，如加、减、乘、除等，分数逐渐成为数学体系中 不可或缺的一部分。
分数的文化意义
文化中的分数
分数在文化中也有着广泛的应用。例如，在文学作品中，分数常常被用来表现 人物的性格、品质或关系。在音乐中，分数也被用02
03
分数除法的定义
将一个分数的分子除以另 一个分数，所得结果即为 两个分数的商。
分数除法的性质
分数除法满足倒数性质， 即一个数除以一个分数等 于这个数乘以这个分数的 倒数。
分数除法的应用
在日常生活和数学运算中 ，分数除法被广泛应用， 如计算速度、密度等。
约分与通分
约分
将一个分数化简为最简形式的过程称 为约分。最简形式是指分子和分母没 有公因式。
分数线
表示除法的结果，通常用斜线 表示。
分数的种类
真分数
分子小于分母，值小于1。
假分数
分子大于或等于分母，值大于或等于1。
整数
特殊的假分数，分子等于分母。
分数的符号
分子符号
用小圆点表示，写在分数上面的 数字或字母。
分母符号
用短横线表示，写在分数下面的 数字或字母。
02
CATALOGUE
分数的性质
通过学习分数，学生可以培养逻辑思维和抽象思维能力。分数的概念涉及到部分 与整体的关系，这种思考方式有助于学生理解其他数学概念，如比例、百分数等 。
06
CATALOGUE
分数的拓展与提高
分数的证明方法
定义法
通过定义分数，利用数学逻辑 证明分数的性质。
反证法
假设结论不成立，通过推理得 出矛盾，从而证明结论成立。

10
11
请你当法官 （说明理由）
4 9
＝
4÷ 2 9÷ 3
＝2 3
2 9
＝
2 ×4 9 ×4
＝
8 36
2 4
＝
2 × 1.5 4 × 1.5
＝
3 6
4 5
＝
4÷ 2 5× 3
＝2 3
（ ×）
（√ ）
（√ ）
（×）
12
口头填空:
∶ ∶
∶ ∶
13
例2、把 2 和 10化成分母是12，而大小不变的分数。 3 24
2 3
＝（1182）
3 5
＝ 21 （35）
6 21
＝（
2 7
）
27 39
＝（193）
20
在括号里填上合适的数。
5 8
＝
20 ( 32)
24 42
＝
(
4) 7
(
4 5
)＝
48 60
8 12
＝
( (
24 ) 36 )
21
（对的打“√”, 错的打“×” ）
1.分数的分子和分母加上同一个数，分数的大小不变。（ ×）
1
2.把 3的分子扩大3倍，要使分数的大小不变，它
的分母应该（ 扩大3倍）．
3.把
4 12
的分母缩小4倍，要使分数的大小不变，
它的分子应该（ 缩小）4倍．
4.把一个分数的分子扩大5倍，分母也扩大5倍，
这个分数的值（
不变）
5. 25的分子加8，要使分数的大小不变，它的分 子应乘（ 5）或加（ 2）0
23
“右相边同那的样数列”是式指行哪吗？ 为什么些？数？
3

真分数 ＜ 1
假分数 ≥1
带分数
3、基本性质
加减
约分
4、分数小数互化
单位“1”
分数单位
整数
通分
最简分数
分子、分母 最大公因数
(互质数)
分母 最小公倍数
同分母分数
一个整体
分数
分母10、100… 再化简
小数
分子÷分母
4、把下面各数按照从小到大的顺序排列。
1 2.8 0.32
14
一、填空
分母是12的最简真分数有( )
每段长( )米,每段占全长的( )。
02
单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了演示发布的良好效果，请言简意赅地阐述您的观点。
(3) 把7米长的绳子平均分成5段,
01
两个学生进行投篮比赛，下面是他们比赛的结果。
姓名
投中次数
投篮总数
被除数
除数
a
b
小结：分数与除法的关系
本单元学习的主要内容
1
2
3
4
5
小结：真分数、假分数和带分数
与1的关系
带分数大于1；
真分数小于1；
假分数大于1或者等于1；
01
02
03
04
05
06
07
本单元学习的主要内容
分 数 的 意 义 和 性 质
意义
分数的意义，单位“1”的含义
17 8
3 4
＝3÷4＝0.75
3 4
17 8
＝17÷8＝2.125
0.32 < < 1 < < 2.8
17 8
3 4
“一箱梨吃去了 。”这是把( )看做单位“1”，把它平均分成了( )份，吃去的梨有这样的( )份，剩下这箱梨的( ) 。

=
=
12
8 ÷1.5
9
3 ÷3
=
=
12
4 ÷3
6
3 ÷2
=
=
8
4 ÷2
分数的分子除以相同的数，分数的大小不变。
8
分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数 （，零分除数外的）大小不变。
叫做分数的基本性质。
这就
在除法里被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，商不变。这就是商不变 的性质。
9
例2
2
10
把 和 化成分母是12而大小
=
12
12÷ 3
= 1 （×） 3
1 =
4
4
4÷ 4 =
8
8÷ 8
4 = 4÷ 4
8
8÷ 4
3 = 3÷3
6
6×3
3 = 3×3
6
6×3
（×） （×）
13
2.判断并订正。
5 = 5×3
6
6×3
15
=
（√）
18
3 = 3÷ 3
12
12÷ 4
3
3÷ 3
=
12
12÷ 3
= 1 （×） 3
1 =
4
4
4÷ 4 =
6
6×3
3 = 3×3
6
6×3
3 = 3÷3
6
6÷3
（×） （×）
15
3
16
3、 把 和 化成分母是10而大小
不变的分数。 5
20
思考 ：
6
（） ＝
１8
（）
…… =
16
你知道，阿凡提为什么会笑 吗？他对三兄弟讲了哪些话？

的性质。
例2
把 和32 化21成40 分母是12而大小 不变的分数。
2 3
2× 4 = 3× 4
8
= 12
10 24
=
10 ÷ 24 ÷
2 2
=
5 12
做一做
1.口答:
3 10
=
3 × (3) (9) 10×( 3 ) = 30
４ 20
４÷ = 20÷
(0）
= 1158（√）
4 8
=
4÷ 4 8÷ 8
（×）
4 8
=
4÷ 4 8÷ 4
3 12
=132÷÷
3 4
3 = 3÷ 3 12 12÷ 3
=
1（×） 3
=
1
4
3 6
3 6
= =
3÷3 6×3 3×3 6×3
（×）
2.判断并订正。
5 6
=
5×3 6×3
= 1158（√）
4 8
=
4÷ 4 8÷ 8
（×）
10 15
＝（３2 ）
１ ３
＝（６2 ）
2.判断并订正。
5 6
=
5×3 6×3
= 1158（√）
4 8
=
4÷ 4 8÷ 8
（×）
4 8
=
4÷ 4 8÷ 4
3 12
=132÷÷
3 4
=
1（×） 3
3 6
=
3÷3 6×3
（×）
3 = 3÷ 3 12 12÷ 3
=
1
4
2.判断并订正。
5 6
=
5×3 6×3
=
1（×） 3
=

观察小结
1 = 2 2 4
3 = 6
3 = 6 4 8
9 = 16
讨论探究
小组合作学习要求：
（1）每个学习小组找出一组大小相等 的分数，并想办法证明这组分数大小 相等。
（2）思考：在写分数的过 程中你们发现了什么规律？
例题
1 2
=
1 = 2 2 4 1 = 3 2 6 2 = 3 4 6
2 = 4 ×2 ×2 ×3 ×3 ×1.5 ×1.5

1、再长的路一步一步得走也能走到终点，再近的距离不迈开第一步永远也不会到达。 2、从善如登，从恶如崩。 3、现在决定未来，知识改变命运。 4、当你能梦的时候就不要放弃梦。 5、龙吟八洲行壮志，凤舞九天挥鸿图。 6、天下大事，必作于细；天下难事，必作于易。 7、当你把高尔夫球打不进时，球洞只是陷阱；打进时，它就是成功。 8、真正的爱，应该超越生命的长度、心灵的宽度、灵魂的深度。 9、永远不要逃避问题，因为时间不会给弱者任何回报。 10、评价一个人对你的好坏，有钱的看他愿不愿对你花时间，没钱的愿不愿意为你花钱。 11、明天是世上增值最快的一块土地，因它充满了希望。 12、得意时应善待他人，因为你失意时会需要他们。 13、人生最大的错误是不断担心会犯错。 14、忍别人所不能忍的痛，吃别人所不能吃的苦，是为了收获别人得不到的收获。 15、不管怎样，仍要坚持，没有梦想，永远到不了远方。 16、心态决定命运，自信走向成功。 17、第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力的。 18、励志照亮人生，创业改变命运。 19、就算生活让你再蛋疼，也要笑着学会忍。 20、当你能飞的时候就不要放弃飞。 21、所有欺骗中，自欺是最为严重的。 22、糊涂一点就会快乐一点。有的人有的事，想得太多会疼，想不通会头疼，想通了会心痛。 23、天行健君子以自强不息；地势坤君子以厚德载物。 24、态度决定高度，思路决定出路，细节关乎命运。 25、世上最累人的事，莫过於虚伪的过日子。 26、事不三思终有悔，人能百忍自无忧。 27、智者，一切求自己；愚者，一切求他人。 28、有时候，生活不免走向低谷，才能迎接你的下一个高点。 29、乐观本身就是一种成功。乌云后面依然是灿烂的晴天。 30、经验是由痛苦中粹取出来的。 31、绳锯木断，水滴石穿。 32、肯承认错误则错已改了一半。 33、快乐不是因为拥有的多而是计较的少。 34、好方法事半功倍，好习惯受益终身。 35、生命可以不轰轰烈烈，但应掷地有声。 36、每临大事，心必静心，静则神明，豁然冰释。 37、别人认识你是你的面容和躯体，人们定义你是你的头脑和心灵。 38、当一个人真正觉悟的一刻，他放弃追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世界的真正财富。 39、人的价值，在遭受诱惑的一瞬间被决定。 40、事虽微，不为不成；道虽迩，不行不至。 41、好好扮演自己的角色，做自己该做的事。 42、自信人生二百年，会当水击三千里。 43、要纠正别人之前，先反省自己有没有犯错。 44、仁慈是一种聋子能听到、哑巴能了解的语言。 45、不可能！只存在于蠢人的字典里。 46、在浩瀚的宇宙里，每天都只是一瞬，活在今天，忘掉昨天。 47、小事成就大事，细节成就完美。 48、凡真心尝试助人者，没有不帮到自己的。 49、人往往会这样，顺风顺水，人的智力就会下降一些；如果突遇挫折，智力就会应激增长。 50、想像力比知识更重要。不是无知，而是对无知的无知，才是知的死亡。 51、对于最有能力的领航人风浪总是格外的汹涌。 52、思想如钻子，必须集中在一点钻下去才有力量。 53、年少时，梦想在心中激扬迸进，势不可挡，只是我们还没学会去战斗。经过一番努力，我们终于学会了战斗，却已没有了拼搏的勇气。因此，我们转向自身，攻击自己，成为自己最大的敌人。 54、最伟大的思想和行动往往需要最微不足道的开始。 55、不积小流无以成江海，不积跬步无以至千里。 56、远大抱负始于高中，辉煌人生起于今日。 57、理想的路总是为有信心的人预备着。 58、抱最大的希望，为最大的努力，做最坏的打算。 59、世上除了生死，都是小事。从今天开始，每天微笑吧。 60、一勤天下无难事，一懒天下皆难事。 61、在清醒中孤独，总好过于在喧嚣人群中寂寞。 62、心里的感觉总会是这样，你越期待的会越行越远，你越在乎的对你的伤害越大。 63、彩虹风雨后，成功细节中。 64、有些事你是绕不过去的，你现在逃避，你以后就会话十倍的精力去面对。 65、只要有信心，就能在信念中行走。 66、每天告诉自己一次，我真的很不错。 67、心中有理想 再累也快乐 68、发光并非太阳的专利，你也可以发光。 69、任何山都可以移动，只要把沙土一卡车一卡车运走即可。 70、当你的希望一个个落空，你也要坚定，要沉着！ 71、生命太过短暂，今天放弃了明天不一定能得到。 72、只要路是对的，就不怕路远。 73、如果一个人爱你、特别在乎你，有一个表现是他还是有点怕你。 74、先知三日，富贵十年。付诸行动，你就会得到力量。 75、爱的力量大到可以使人忘记一切，却又小到连一粒嫉妒的沙石也不能容纳。 76、好习惯成就一生，坏习惯毁人前程。 77、年轻就是这样，有错过有遗憾，最后才会学着珍惜。 78、时间不会停下来等你，我们现在过的每一天，都是余生中最年轻的一天。 79、在极度失望时，上天总会给你一点希望；在你感到痛苦时，又会让你偶遇一些温暖。在这忽冷忽热中，我们学会了看护自己，学会了坚强。 80、乐观者在灾祸中看到机会；悲观者在机会中看到灾祸。

分数的种类
真分数
分子小于分母，值小于1。
假分数
分子大于或等于分母，值大于或等于1。
带分数
整数与真分数之和。
分数的表示方法
01
02
03
文字表示法
用“几分之几”表示分数 。
符号表示法
用“a/b”表示分数，其 中a是分子，b是分母。
图形表示法
用平面图形或立体图形表 示分数。
02
CATALOGUE
分数的基本性质
分数的混合运算
分数的混合运算的顺序
按照先乘除后加减的顺序进行计算，即先进行乘法和除法运算，再进行加法和 减法运算。
分数的混合运算的例子
如(2/3 + 1/4) × (3/4 - 1/2) = 1/4，表示先计算括号内的加法和减法，再将结 果与括号外的分数相乘，最后得到新的分数1/4。
04
CATALOGUE
分数的基本性质的证明
证明分数的基本性质可以通过代数方法 进行。例如，设分数为a/b（a、b为整 数，b≠0），当分子和分母同时乘以一 个非零数n时，得到新的分数为na/nb ，可以看出na/nb=a/b，即分数的值
没有改变。
同样地，当分子和分母同时除以一个非 零数n时，也可以证明分数的基本性质
。
通过证明可以得出结论：分数的分子和 分母同时乘以或除以同一个非零数，分
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目 录
• 分数简介 • 分数的基本性质 • 分数的基本运算 • 分数与小数的关系 • 分数在实际生活中的应用
01
CATALOGUE
分数简介
分数的定义
分数是一种数学表达 方式，表示整体的一 部分。
分子表示被除数，分 母表示除数，分数线 表示除号。

• 独立完成76页例2与做一做，然后互相 交流。
• 作业： • 课本77页1、2、3、4题。
温故探新
1、说出下列分数的意义、分数单位和它包含有几个 这样的分数单位。
58 7
23 3 6
9
6 9 15 100 4 8 12
2、商不变规律。
（1）计算：120÷30
12÷3
（2）说一说，你有什么发现？
3、分数与除法的关系。
被的例1和76 页的例2先试着学学。
• 小组活动。
• 用三张白纸做：
1、把第一张纸平均分成2份，涂出其中1份。
2、把第二张纸平均分成4份，涂出其中2份。
3、把第三张纸平均分成8份，涂出其中4份。
4、比一比涂色的部分，看看它们的大小。
一个是整张纸的 1 ，一个是整张纸的 2 ，一个
是整张纸的
4
2
4
，为什么是相等的呢？
8
能不能用一个等式表示出它们的关系呢？
• 分析比较，探索规律。
124 248
X4
X2
X2
124 248
X2 X4
X2 小结：分数的分子 和分母同时乘相同 的数，分数的大小 不变。
÷4
÷2
÷2
124 248
÷2 ÷4
÷ 2 小结：分数的分子 和分母同时除以相 同的数，分数的大 小不变。
• 归纳规律。
分数的分子和分母同时乘或者除以相同的 数（0除外），分数的大小不变。
分数的基本性质
• 分数的基本性质与商不变规律的联系。 想一想，根据分数与除法的关系，以及整 除法中商不变的规律，你能说明分数的基 本性质吗？
① 分子相当于被除数，分母相当于除数；
② 被除数和除数同时乘或除以相同的数就 相当于分子和分母同时除以相同的数；

带分数
整数和真分数合成的数叫做带 分数。
既约分数
分子和分母互质的分数叫做既 约分数。
02
CATALOGUE
分数的基本性质
分数的基本性质
分数的基本性质
分数的分子和分母同时乘或除以 相同的数（0除外），分数的大小 不变。
举例说明
如$frac{2}{3}$，分子和分母同时 乘2得到$frac{4}{6}$，同时除以2 得到$frac{1}{1.5}$，但它们的大 小不变。
理解分数加法的意义和原则
详细描述
分数加法是指将两个分数合并成一个分数的运算。在进行分数加法时，需要找到 两个分数的公共分母，然后对分子进行相加。如果分子相加后的结果大于分母， 则需要进位。
分数的减法运算
总结词
理解分数减法的意义和原则
详细描述
分数减法是指从一个分数中减去另一个分数的运算。在进行分数减法时，同样需要找到两个分数的公共分母，然 后对分子进行相减。如果结果为负数，则需要在结果中借位。
分数的乘法运算
总结词
理解分数乘法的意义和原则
详细描述
分数乘法是指将一个分数乘以另一个分数的运算。在进行分数乘法时，需要找到两个分数的公共分母 ，然后将分子相乘。如果结果分子大于分母，则需要进位。
分数的除法运算
总结词
理解分数除法的意义和原则
详细描述
分数除法是指将一个分数除以另一个分数的运算。在进行分 数除法时，需要找到被除数的倒数，然后将倒数与除数相乘 。如果结果为负数，则需要在结果中借位。
分数的表示方法
分数可以用普通书写方式表示， 例如：1/2、2/3等。
分数也可以用斜线表示法表示， 例如：1/2可以表示为5/10或 2/4。
分数还可以用百分数表示，例如 ：1/2可以表示为50%。