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例如： P
y x2 y2
， Q
x x2 y2
，在复连通域
1 2 2 D ( x , y ) x y 4 中，具有连续偏导数， 2
Q y2 x2 P 2 x ( x y 2 )2 y
x y 1
2
2
Pdx Qdy 2 0
2．定理 2
若向量值函数 A( x , y ){ P ( x , y ),Q ( x , y )} 在单连
通域 D 上有一阶连续偏导数，则以下四个命题等价： P Q （1） ( x, y )D ，有 ； y x
（2）沿 D 内任意的逐段光滑闭曲线 C，有
C PdxQdy0 ； Pdx Qdy 与路径无关，只与位于 D 内的 （3 ） C ( AB )
B ( 2,0)
x
kx k (1 y ) y W F ds dx dy C C r3 r3 A (0,1)
其中 C： y 2 x x 2 ， x : 20 。
M ( x, y)
o
B ( 2,0)
x
∵ P
kx r3
， Q
k (1 y ) r3
P 3kx(1 y ) Q ， ， y x r5
其中 C： y 2 x x 2 ， x : 20 。
M ( x, y)
o
B ( 2,0)
x
P 3kx(1 y ) Q ∵ P ， Q ， ， y x r3 r3 r5 Q P C OB ( x y )dxdy C OB D OB BO
y
A (0,1)
则 MA{ x,1 y} ，
r MA x 2 (1 y)2 ，
M ( x, y)
o
MA k kx k (1 y ) F F { x, 1 y}{ , }， 3 3 3 r r MA r
B ( 2,0)
x
kx k (1 y ) y W F ds dx dy C C r3 r3 A (0,1)
2u 2u ∵ P,Q 有一阶连续偏导数，即 , 连续， xy yx P Q ∴ 。 y x
Q P 定理 2 表明在单连通域内，若 ，则曲线积分与 x y
路径无关，此时可以选择特殊的路径计算曲线积分。
注意：定理 2 中的区域 D 必须是单连通域，若 D 是
复连通域定理 2 就不一定成立。
0 k (1 y ) ∴W dx dy BO r 3 2 r3
kx
k (1 y )
kx
kx ( x 2 1)
1 dx k (1 )。 3 5 2
xdy ydx 例 2 计算 I 2 ，其中 C 是以点 A( 2, 0) 2 C x 9 y
为圆心，半径为 R( R 2) 的圆周，取逆时针方向。 y x Q 解： P 2 ， ， x 9 y2 x2 9 y2
( x, y) ( x , y )
Pdx Qdy 。
下面来证明 du Pdx Qdy 。
∵曲线积分与路径无关， ∴取由点 A 到点 B 是沿
y
B( x , y )
C ( x x , y )
任意光滑曲线，点 B 到 点 C 是平行 x 轴的线段。 ∵ u( x x , y ) u( x , y )
0
y
0
y y y 2 2 [arctan ] 0 arctan . x y x x
xdy
设 A( x , y ) 为 D 内一定点，
由于曲线积分与路径无关，故
y
N ( x , y)
B( x, y )
取 AMB 为积分路线，得：
u( x , y )
( x, y)
若 C1与C1 相交，则再引曲 线C 3 ，使 C 3 与 C1 , C 2 均 不 相 交，
由
C1 PdxQdy C3 PdxQdy
C2 PdxQdy C3 PdxQdy
C1 PdxQdy C2 PdxQdy 。
由（3） （4） 。
∵曲线积分与路径无关，
∴取定起点 A( x , y ) D ，曲线积分则是终点( x , y )D 的函数，记为u( x , y ) ，即 u( x , y )
∴曲线积分与路径无关，取直线段 BO 为 积分路径，
0 k (1 y ) ∴W dx dy BO r 3 2 r3
kx
kx ( x 2 1)
1 dx k (1 )。 3 5 2
3．定义 1 若函数 u( x , y ) 的全微分 du Pdx Qdy ，则称
起点 A 与终点 B 有关。
（4）在 D 内存在二元函数u( x , y ) ，使得 du Pdx Qdy 。
证明：由（1） （2） 。 设R 是C 所包围的区域，
∵ D 是单连通域，∴ R D 。 ∵在 R 上有
Q P ∴由 Green 公式得 Pdx Qdy ( )dxdy 0 。 C x y
Q P ， x y
由（2） （3） 。
R
A, B D ，以不同的路线C1 , C 2 连结 A 与B 。
①若 C1与C1 不相交，
则 PdxQdy0 ， C2 C 1
y A
C1 C2
B
o
x
∴
C2 Pdx Qdy C2 C 1 C1 C 1 Pdx Qdy 。
y x y
2 2
， Q
x x y
2 2
，则有
P y2 x2 Q 在右半平面内恒成立， 2 2 2 y ( x y ) x
y
C ( x, y)
故
xdy ydx x y
2 2
是某个函数的全微分。
取如图所示的积分路线，则有
o
A(1,0)
B( x ,0)
x
( x , y ) xdy ydx xdy ydx xdy ydx u( x , y ) (1,0) x 2 y 2 AB x 2 y 2 BC x 2 y 2
u( x , y ) 是表达式 Pdx Qdy 的一个原函数。
若 P ( x , y ),Q( x , y ) 在单连通域 D 上具有一阶连续偏导数，
P Q 则 Pdx Qdy 在 D 内存在原函数的充要条件是 ， y x
且 Pdx Qdy 的所有原函数为
u( x , y )
例 1．设位于点 ( 0, 1) 的质点 A 对质点 M 的引力大小为 k A与 M 之 间 的 距 离） （k 为常数， r 为 质 点 ，质点沿 2 r 曲线 y 2 x x 2 自 B( 2, 0) 运动到O(0, 0) ，求在此运动
中质点 A 对质点 M 的引力所作的功 W。
解：设质点 M 的 位置为( x , y ) ，
2 x
P 2 Q x 且 ， y x
y
∴曲线积分 I 与路径无关。
把积分路径改为直线段AO ，
o
A(2,0)x
则 I
0 2
3 xe x dx 3 [ xe x e x ] 0 3 [e2 (1 2)1] 。
2
例 1．设位于点 ( 0, 1) 的质点 A 对质点 M 的引力大小为 k A与 M 之 间 的 距 离） （k 为常数， r 为 质 点 ，质点沿 2 r 曲线 y 2 x x 2 自 B( 2, 0) 运动到O(0, 0) ，求在此运动
1 3 例 3．计算 I ( x y 3 xe )dx ( x ysiny )dy ，其中 C 是 C 3
2 x
摆线 x t sint , y 1 cost 从点 A( 2, 0) 到点 O(0, 0) 的一段弧。
1 3 解： P ( x , y ) x y 3 xe ， Q( x , y ) x ysiny ， 3 ∵ P ( x , y ), Q( x , y ) 在全平面上连续，
( x, y) ( x , y )
P ( x , y )dx Q( x , y )dy C
其中 C 为任意常数， ( x , y ) D 。
4．定理 3 （曲线积分基本定理）
设 P ( x, y ),Q( x, y ) 在单连通域 D 上连续，若 u( x , y ) 是 Pdx Qdy 的一个原函数，而 A( x1 , y1 ) 和 B( x2 , y2 ) 是 D 内任意两点，则
C : x 2 9 y 2 2 ，则在C与C 所围成的复连通区域 D 上，满足 Green 公 式的条件，得
Q P ( )dxdy 0 , C C C C C C x y x2 9 y2 D y
∴ I
P ( x x, y )x ，0 1 。(积分中值定理)
∵ P ( x , y ) 在点 B ( x , y ) 上连续，
u u( x x , y ) u( x , y ) ∴ lim lim P ( x x , y ) P ( x , y ). x x0 x x0
( x2 , y2 ) Pdx Qdy u( x2 , y2 ) u( x1 , y1 ) u( x , y ) ( x , y ) . C( AB ) 1 1
例 4．验证：
xdy ydx
2 2
x y 的全微分，并求出一个这样的函数。
在右半平面 ( x 0) 内是某个函数
证明：令 P
Q P P 9 y2 x2 Q 0 （( x , y ) (0,0) ） ， 。 2 2 2 x y y ( x 9 y ) x
（1）当R 2 时，
