郑州大学《有限元原理》课件：第五章非线性有限元法

A B A
PAi PBi
（i= x , y , z ）
(5.8) (5.9)
Az Bz 0 z
Ai Bi
（i= x , y ）
同时要满足沿接触面的切平面方向不滑动的条件：
PBz 0 和 PB2x PB2y f PBz
以上式中， 0 z 是接触面在 z 方向的初始间隙，f 是接触面之间的滑动摩擦系数。 (2) 滑动接触条件
Q
向接触力是不可逆的。 因此，凡是考虑接触面切向摩擦力的接触问题，都应当按复杂加载过程来研究，即通过 增量的方式求解。对于不考虑摩擦的可逆过程，是一种简单加载过程，可以一步加载完成求 解。 5.3 弹性接触问题有限元基本方程和柔度法求解 假设 A、B 是相互接触的两个物体，为了研究的方便，将它们分开，代之以接触力 PA B 和 P ，如图 5.4 所示。然后建立各自的有限元支配方程：
K 2δ 2 R2
(5.2)
再由式（5.2）解得δ 2 ，进一步计算接触力 P2 ，将δ 2 和 P2 代入接触条件，验算接触条件是
否满足。这样不断的迭代循环，直至δ n 和 Pn 满足接触条件为止，此时得到的解答就是真实 接触状态下的解答。 在以上的研究中， 没有考虑接触面的摩擦力。 不考虑摩擦力的接触过程是一种可逆的过 程，即最终结果与加载途径无关。此时，只需要进行一次加载，就能得到最终稳定的解。如 果考虑接触面的摩擦力，接触过程就是不可逆的，必须采用增量加载的方法进行接触分析。 1973 年，Tusta 和 Yamaji 的文章详细讨论了接触过程的可逆性和不可逆性。 从 Wilson 和 Parsons 的方法可看出， 每一次接触状态的改变， 都要重新形成整体劲度矩 阵，求解全部的支配方程，既占内存，又费机时。实际上，接触状态的改变是局部的，只有 与接触区域有关的一小部分需要变动，为此又提出一些改进的方法。 1975 年， Francavilla 和 Zienkiewicz 提出相对简单的柔度法。 图 5.1 示出两个相互接触的物体 A 和 B，假定 A 上有外力 R 作用，B 有固定边界。接触面作用在 A 上的接触力是 PJ ，作用在 B 上的接 触力是 PJ ，对于二维问题，

有限体积法 (Finite Volume Method)
其基本思路是：将计算区域划分为一系列不重复的控制体积，并使每个网格点周围有一个控制体积；将待解的微分方程对每一个控制体积积分，便得出一组离散方程。其中的未知数是网格点上的因变量的数值。为了求出控制体积的积分，必须假定值在网格点之间的变化规律，即假设值的分段的分布的分布剖面。
1-2 应力的概念
作用于弹性体的外力(或称荷载)可能有两种： 表面力，是分布于物体表面的力，如静水压力，一物体与另一物体之间的接触压力等。单位面积上的表面力通常分解为平行于座标轴的三个成分，用记号 来表示。 体力，是分布于物体体积内的外力，如重力、磁力、惯性力等。单位体积内的体力亦可分解为三个成分，用记号X、Y、Z表示。 弹性体受外力以后，其内部将产生应力。
边界元法 （Boundary Element Method）
边界元法是一种继有限元法之后发展起来的一种新的数值方法，与有限元法不同，边界元法仅在定义域的边界划分单元，用满足控制方程的函数去逼近边界条件。所以边界元与有限元相比具有单元和未知数少、数据准备简单等优点，但边界元法解非线性问题时，遇到同非线性项相对应的区域积分，这种积分奇异点处的强烈的奇异性，使求解遇到困难。边界元法在塑性问题中应用还比较少。
弹性力学 — 区别与联系 — 材料力学 弹性力学与材料力学既有联系又有区别。它们都同属于固体力学领域，但弹性力学研究的对象更普遍，分析的方法更严密，研究的结果更精确，因而应用的范围更广泛。 弹性力学 固有弱点： 由于研究对象的变形状态较复杂，处理的方法又较严谨，因而解算问题时，往往需要冗长的数学运算。但为了简化计算，便于数学处理，它仍然保留了材料力学中关于材料性质的假定：
塑性有限元常用软件

3）理论基础简明，物理概念清晰，且可在不同的水平上建 立起对该法的理解；
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4）具有灵活性和适用性，适应性强。它可以把形状 不同、性质不同的单元组集起来求解，故特别适 用于求解由不同构件组合的结构，应用范围极为 广泛。它不仅能成功地处理如应力分析中的非均 匀材料、各向异性材料、非线性应力应变以及复 杂的边界条件等问题，且随着其理论基础和方法 的逐步完善，还能成功地用来求解如热传导、流 体力学及电磁场领域的许多问题。
双金属片 受热变形
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第二节 有限元法的分类
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一、结构有限元法的分类
结构有限元法可以分为两类，即线弹性有限元 法和非线性有限元法。其中线弹性有限元法是非 线性有限元法的基础，二者不但在分析方法和研 究步骤上有类似之处，而且后者常常要引用前者 的某些结果。
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1.线弹性有限元 线弹性有限元是以理想弹性体为研究对象的，
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有限元法是一种以计算机为手段，通过离散化 将研究对象变换成一个与原始结构近似的数学模 型，再经过一系列规范化的步骤以求解应力、应 变、位移等参数的数值计算方法。
所谓离散化就是将一个连续体分割成若干个通 过节点相连的单元，这样一个有无限个自由度的 结构就变换成一个具有有限个自由度的近似结构。 该过程还包括对单元和节点进行编码以及局部坐 标系和整体坐标系的确定。
下的响应； ➢ 模型中所有单元响应的“和”给出了设计的总
体响应； ➢ 单元中未知量的个数是有限的，因此称为“有
限单元”。
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2）节点（node）
单元与单元之间的联结点，称为节点。在有限 元法中，节点就是空间中的坐标位置，它具有物
理特性，且存在相互物理作用。
载荷
节点: 空间中的坐标位置，具有

有限单元法
一、数值模拟方法概述 二、有限单元法简介 三、有限单元法分析步骤 四、利用有限元软件进行工程分析
一、数值模拟方法概述
工程技术领域中的许多力学问题和场问题，如固 体力学中的位移场、应力场分析、电磁学中的电磁 分析、振动特性分析、热力学中的温度场分析，流 体力学中的流场分析等，都可以归结为在给定边界 条件下求解其控制方程的问题。
结构矩阵分析方法认为：整体结构可以看作是由有限 个力学小单元相互连接而组成的集合体，每个单元的 力学特征可以看作建筑物的砖瓦，装配在一起就能提 供整体结构的力学特性。
结构矩阵分析方法分析的结构本身都明显地由杆件组 成，杆件的特征可通过经典的位移法分析建立。
虽然矩阵位移法整个分析方法和步骤都与有限单元法 相似，也是用矩阵来表达、用计算机来求解，但是它 与目前广泛应用的有限单元法是有本质区别的。
❖ 国际上早在20世纪50年代末、60年代初就投入大量的人力和 物力开发具有强大功能的有限元分析程序。其中最为著名的是 由美国国家宇航局（NASA）在1965年委托美国计算科学公司 和贝尔航空系统公司开发的NASTRAN有限元分析系统。该系 统发展至今已有几十个版本，是目前世界上规模最大、功能最 强的有限元分析系统。
有限元法
既可以分析杆系结构，又分析非杆系的连续 体结构。
三、有限单元法简介
有限单元法的常用术语：
有限元模型 是真实系统理想化的数学抽象。
定义
真实系统
有限元模型
自由度（DOFs－ degree of freedoms）
自由度(DOFs) 用于描述一个物理场的响应特性。
UY ROTY
ROTZ UZ
UX ROTX
目前在工程技术领域内常用的数值模拟方法有： 1、有限单元法FEM（ Finite Element Method） 2、边界元法BEM（Boundary Element Method ） 3、有限差分法FDM（ Finite Difference Method 4、离散单元法DEM（Discrete Element Method） 其中有限单元法是最具实用性和应用最广泛的。