非线性有限元课件2

1. 增量切线刚度法 将荷载分成若干增量段
dσ DT dε
材料非线性有限元解法ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
由于材料和结构的弹塑性行为与应力、 应变的历史有关，因此弹塑性问题的本构方程必 须用增量形式表示。同时这类问题与非线性弹性 问题数值求解的差别还在于塑性问题应力－应变 关系不再具有单调连续的显式。尽管在任意应变 下，应力都必须在当时的屈服面上或屈服面内， 但要具体地确定每一个应力分量的精确值是不可 能的，需用以下两点来确定： 1. 对于规定的应力值及加载方向，弹塑性切 线矩阵 DT Dep 已知； 2. 应力通过 dσ DT dε 积分求得。至于每一增量步的计算， 可以采用N－R法或初应力法等。

第一篇 物理非线性有限元的一般解法第一节 概述从数学角度考虑，对于偏微分方程边值问题或初值问题，如果域内的控制方程是线性方程，边界条件也是给定的线性条件，就是线性问题。

线性问题的适定性提法可保证问题的解存在、唯一而且稳定。

线性问题具有一系列重要特性，例如其解具有比例特性，求解中可用叠加原理等等。

线性有限元法就是这样一类问题，它最后归结为一个线性代数方程组的求解。

只要力学建模过程处理合理，其解不仅唯一，而且具有很高的可靠性，因此已在工程界得到了广泛的应用，并已成为必不可少的一种辅助设计手段，在不少行业中，已正式成为设计规范的一个组成部分而强制性执行。

工程中所有的问题都是非线性的，为适应工程问题的需要，在解决某些具体问题时，往往忽略一些次要因素，将它们近似地作为线性问题处理，这也是完全合理的。

但是我们不能因此认为一切问题均可以简化为线性问题。

必须注意到有许多工程问题，应用非线性理论才能得到符合实际的结果。

为适应工程应用的需要，非线性有限元是目前进行非线性问题数值计算中最有效的方法之一。

因此，有必要对非线性有限元的基础知识作较为全面的阐述，以使读者有足够的基础知识，能够理解非线性有限元的各种基本方法，选择和比较不同近似计算方法，正确处理建模和计算分析中所遇到的困难。

本篇主要介绍材料非线性有限元的一般数值解法。

所谓材料非线性指的是材料的物理定律是非线性的。

材料非线性问题可以分为二类。

第一类是非线性弹性问题，例如橡皮、塑料、岩石、土壤等材料是属于这一类，它的非线性性质是十分明显的。

第二类是非线性弹塑性问题，材料超过屈服极限以后就呈现出非线性性质，各种结构的弹塑性分析就是这类问题。

若在加载过程，这两类材料非线性问题在本质上相同的，只要写出非线性物理定律而在计算方法上是完全一样。

但是卸载过程中就会出现不同的现象，非线性弹性问题是可逆过程，卸载后结构会恢复到加载前的位置；非线性弹性问题是不可逆的，它将会出现残余变形。

5.5 动力学问题有限元法
1
Non-linear behaviour of solids: ◆ material non-linearity ◆ Geometric non-linearity ■Material non-linearity: ●the loading and unloading response of the material is different. ● Typical here is the case of classical elastic–plastic and viscoelastic behavior, nonlinear ■ Finite deformation: Geometric non-linearity 大变形
(λ ) n +1 = (∆λ ) n +1 + (λ ) n
Softening range
u
土，混凝土，岩石等材 料，表现出软化现象。 混凝土开裂后的分析
12Biblioteka n (∆u ) = [k (u n )]{u n } − λ{ f E }n = R n [ k ]T n
写成矢量形式 F(u , λ ) = [k (u )] u − λ ⋅ f E
n n n n n
n
0
把u和λ作为未知量，一阶Taylor展开
n
F(u
n +1
n
,λ
n +1
∂F ∂k ( u ) n = → [ k ] T ∂ u ∂ u
n n n n
∂F ∂F n ) ≈ F(u , λ ) + ∆u + ∆λn ∂u ∂λ n n n

一点的位移f = [u v w]T与单元结点位移δ e 之间的关系：
f = Nδ e
(1-3)
Ni反映了单元内位移的分布形状，所以又称形函数。对于d个结点的三维单元，
⎡N1 0 0 N2 0 0
Nd 0 0 ⎤
N=
⎢ ⎢
0
N1
0
0 N2
0 "" 0 N d
0
⎥ ⎥
(1-4)
⎢⎣ 0 0 N1 0 0 N 2
x e =[x1 y1 z1 x2 y2 z2……xd yd zd]T 为单元各结点的整体坐标。
(1-7)
（2）单元的结点荷载 R e
[ ] [ ] 作 用 在 单 元 上 的 集 中 力 P = Px Py Pz T ， 体 力 p = X Y Z T 及 面 力
[ ] p = X Y Z T 必须转换成等效的单元结点荷载列阵 Re ，
其中 δ1,δ 2 ,",δ n 是未知量，ψ1,ψ2 ,",ψn 是 δ1,δ 2 ,",δ n 的非线性函数，现引用矢量记号 δ = [δ1 δ 2 " δ n ]T ψ = [ψ1 ψ 2 " ψ n ]T
上述方程组可表示为
ψ(δ) = 0
还可以将它改写为
ψ(δ) ≡ F (δ) − R ≡ K (δ)δ − R = 0 K (δ) 是一个 n × n 的矩阵，其元素 kij 是矢量 δ 的函数，R 为已知矢量。在位移有限元中, δ 代表未知的结点位移， F (δ) 是等效结点力， R 为等效结点荷载，方程 ψ(δ) = 0 表示结点
式中
4
∫ U e = 1 εT σdv V2
(1-25)
∫ ∫ V e = − f T P − f T pdv − f T pds