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D
三类基本方程中包括15个方程. (平衡方程3个,几何方程6个,物理方程6个) 含有6个应力分量,6个应变分量,3个位移分量 (共15个未知量) 三种解题方法:位移法,应力法,混合法 目前有限元法主要采用的是位移法,它是以三个位移 分量作为基本未知量的.
三、虚位移原理
x
F x dy 1
x
dy
拉力做的功:
dx
x dx
1 dW F x dx 2
将F代入:
1 dW x x dxdy 2
储存在微分体内的应变能:
x
x
dy
1 dU dW x x dxdy 2
单位体积内的应变能:
dx
x dx
如果微分体上还有 y 和 xy 的作用,弹性体单位 体积应变能:
3.物理方程 物理方程描述应力分量和应变分量之间的关系,这 种关系与材料的物理特性有关.
物理方程有六个: E:弹性模量 G:切变弹性模量 1 x ( x y z ) :泊松比 E 1 E y ( y z x ) G E 2(1 ) 1 z ( z x y ) E 矩阵形式 1 xy xy G 1 D 称为弹性矩阵,由弹性模量和泊松比确定, yz yz G 与坐标无关 1 zx zx G
(1-3)
d1
o
yi
yi 1
d2
a
h x i xi 1
b
x
y
对每个内节点 yi1 yixi ,若用差分近似 y( x) 代替微分,有
y ( xi 1 ) y ( xi ) y( xi ) h yi 1 yi yi (1 4) h
同样
o
d x y ( xi 1 ) 1 y( x i 1 ) y ( i i) i )2 d1 h h y( xi ) h y ( xi 1 ) 2 y ( xi ) y ( xi 1 ) a h xh 2 b i xi 1 yi 1 2 yi yi 1 (1 5) 2 h
y0 d1 ,
yn d2
线性方程组
(1 7)
变分法
变分原理:微分方程边值问题的解等价于相应泛函极值 问题的解.
边值问题的求解 泛函极值的求解
泛函 :给定满足一定条件的函数集合 A:{y(x)}, 和实数 集合R。设y(x)是A中的函数,V是R中的变量,若A和V 之间存在一个对应关系 , 就是 A 中的每个函数 y(x),R 中都有唯一的V值与之对应,则称V是函数y(x)的泛函, 记为V=V(y(x))。 A称为泛函的定义域,可变函数y(x)称为自变函数,依赖 自变函数而变的量V,称为自变函数的泛函。
x y z xy yz zx
4.位移
●弹性体变形实际上是弹性体内质点的位置发生变
化,这种位置的改变称为位移,用d表示.
●位移可分解为x
、y、z三个坐标轴上的投影u、v、
w,称为位移分量. 沿坐标轴正方向的位移分量为正,反之为负.
●位移的矩阵表示
d u
1 2 3
4 5
第一章 绪论 第二章 有限元法的基本原理 第三章 轴对称问题的有限元解法 第四章 杆件系统的有限元法 第五章 空间问题的有限元法
6 7 8
第六章 动态分析有限元法 第七章 热分析有限元法
第八章 有限元建模方法
9
第九章 ANSYS分析实例
船体在弯扭联合作用下的结构“应力-变形”有限元分析
1.平衡方程 弹性体受力以后仍处于平衡状态,因此其上的应力 和体力在x,y,z三个方向上分别满足以下平衡方程 x xy xz pvx 0 x y z xy y yz pvy 0 x y z xz yz z pvz 0 x y z 平衡方程是弹性体内部必须满足的条件
能够处理复杂的边界条件 能够保证规定的工程精度 能够处理不同类型的材料 线性静力分析 动态分析 非线性分析 热分析 过程仿真
有限元法的应用范围
流场分析 电磁场计算
在产品开发中的应用:CAD/CAE/CAM
有限元法是CAE的主要方法源自1 2 34 5第一章 绪论 第二章 有限元法的基本原理 第三章 轴对称问题的有限元解法 第四章 杆件系统的有限元法 第五章 空间问题的有限元法
1.虚功与虚应变能 应变能 弹性体在外力作用下要发生变形 , 外力对弹性体 做功。若不考虑变形中的热量损失 ,弹性体的动能及 外界阻尼,则外力功将全部转换为储存于弹性体内的 位能---应变能。当外力去掉后,应变能将使弹性体恢 复原状。
厚度为1的微分体,在水平方向拉 力F的作用下发生了位移 x dx 拉力表达式:
1
(1-9)
现用一试探函数近似原边值问题的解，试探函数设为 以下多项式形式
( x) 1 ( x x 2 ) 2 ( x x3 ) 3 ( x x 4 )
i ( x xi 1 )
i 1 n
n ( x x n1 )
(1-10)
1 , 2 , , n 为待定系数。 式中，
v w
T
二、弹性力学的基本方程 弹性力学中的基本假设： 1、连续性假设：物体是连续的 2、均匀性假设：物体由同一材料组成 3、各向同性假设：物体各个方向的性能相同 4、物体是完全弹性的 （符合上述4个条件的称为理想弹性体） 5、位移和形变是微小的。 弹性力学基本方程描述弹性体内任一点应力,应变,位 移以及外力之间的关系,它包括平衡方程,几何方程和 物理方程三类.
(1-11)
将求出的系数代入(1-10)，就可得到试探函数的表达 式，即原边值问题的近似解。
有限元法
有限元法是在差分法和变分法的基础上发展起来的一 种数值方法 , 它吸取了差分法对求解域进行离散处理 的启示,又继承了里兹法选择试探函数的合理方法. 基本思想:离散,分片插值
1.离散: 单元间的互相作用只能通 过节点传递 单元 （网格） 节点
机械工程有限元法基础
机电工程系 周培
有限元法是根据变分原理求解数学物理问题的一 种数值方法.
它从最初的固体力学领域 从简单的静力分析
拓展到了 发展到了
电磁学,流体力学,传热学, 声学等领域 动态分析,非线性分析, 多物理场耦合分析等复 杂问题的计算
有限元法现已成为计算机数值模拟中的一种主要手段. 现广泛应用于机械、电子、航空航天、汽车、船舶、 建筑以及石油化工等领域.
第二章 有限元法的基本原理
线性弹性平面问题 第一节 弹性力学相关知识 一、弹性力学中的物理量: 载荷,应力,应变,位移 1.载荷 载荷是外界作用在弹性体上的力,又称外力.它包括 体力,面力和集中力三种形式.
体力矩阵
{Pv } Pvx
Pvy
Pvz
T
面力矩阵 集中力矩阵
{Ps } Psx
弹性体在外载作用下的实位移是可能的虚位移。 弹性体在平衡状态下发生虚位移时,外力要做虚功, 大小为
W f R
T
虚功
虚位移
外力
在发生虚位移的过程中,弹性体内将产生虚应变 。 应力在虚应变上所做的虚功是储存在弹性体内的虚 应变能,若用 U 表示虚应变能,则
x y z xy yz zx
应力矩阵
T
xz
xy
z
x
yx
x
微分体的应力分量
3.应变
注意!
z
zx
xz
z
正应变
zy
yz
xy yx
伸长为正,缩短为负
y
o
y
y
切应变 直角减小为正,增大为负 应变的矩阵表示：
T
x
x
z
微分体的应变分量
y y( ix
y
x
将(1-4)(1-5)代入(1-3),得 yi 1 2 yi yi 1 yi 1 yi yi fi 2 h h
(i 1, 2, , n 1)
即 (1 h) yi1 (2 h h2 ) yi yi1 fi (i 1, 2, , n 1) (1 6) 再由(1-3)中的边界条件,有
1 U x x 2 1 应变能: U x x dxdy 2
1 U ( x x y y xy xy ) 2
虚位移 是指在约束条件允许的范围内弹性体可能发 生的任意微小的位移。
它并未实际发生，只是说明产生位移的可能性。 它的发生与时间无关,与弹性体所受的外载无关。
2.几何方程 几何方程描述几何量应变和位移之间的关系,其矩 阵形式为 u
x x v 0 x y y w 0 z z u v xy y x y yz v w 0 zx z y w u z x z 0 y 0 x z 0 0 0 u z v 0 w y x
2.分片插值
变分法一般用于求解函数较规则和边界条件较简单 的问题.
分片插值的思想: 针对每一个单元选择试探函数(插值函数), 积分计算在单元内完成. y
实际分布曲线C1 整体试探函数C2 分片插值函数
O
a
一维函数的整体插值与分片插值
b
x
第二节 有限元法的应用
能够分析形状复杂的结构
有限元法的优越性
数值法
差分法
基本思想 : 用均匀的网格离散求解域 , 用离散点的差分 代替微分,从而将连续的微分方程和边界条件转化为网 格节点处的差分方程,并用差分方程的解作为边值问题 的近似解.
