最新北师版九年级数学下册2.3.1确立二次函数表达式一重点习题

课堂导练 2．(2020·江西)已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c 是常数，a≠0)
的自变量 x 与函数值 y 的部分对应值如下表：
x … －2 －1 0 1 2 … y … m 0 －3 n －3 … (1) 根 据 以 上 信 息 ， 可 知 抛 物 线 开 口 向 ____上____ ， 对 称 轴 为 __直__线__x_＝__1____； (2)求抛物线的表达式及 m，n 的值；
课后训练 9．(2020·攀枝花)如图，开口向下的抛物线与 x 轴交于点 A(－1，
0)，B(2，0)，与 y 轴交于点 C(0，4)，点 P 是第一象限内抛 物线上的一点． (1)求该抛物线所对应的函数表达式；
课后训练
解：∵A(－1，0)，B(2，0)，C(0，4)， ∴设抛物线所对应的函数表达式为 y＝a(x＋1)(x－2)，将 C(0，4)的坐标代入 y＝a(x＋1)(x－2)，整理得 4＝－2a， 解得 a＝－2，∴该抛物线所对应的函数表达式为
课后训练
8．已知 A(1，0)，B(0，－1)，C(－1，2)，D(2，－1)，E(4，2) 五个点，抛物线 y＝a(x－1)2＋k(a＞0)经过其中三个点．
(1)求证：C，E 两点不可能同时在抛物线 y＝a(x－1)2＋k (a＞0)上．
课后训练
证明：由题意可知，抛物线的对称轴为直线 x＝1.若 C(－1，2) 在此抛物线上，则 C 点关于直线 x＝1 的对称点(3，2)也在此抛 物线上．∴点 E(4，2)不在此抛物线上．∴C，E 两点不可能同时 在抛物线 y＝a(x－1)2＋k(a＞0)上．
精彩一题 10．(中考·宁波已知抛物线 y＝－12x2＋bx＋c 经过点(1，0)，0，32. (1)求该抛物线的函数表达式；

九年级下册第二章 二次函数一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的图像和性质1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：（1）当｜a ｜越大，抛物线开口越小；当｜a ｜越小，抛物线的开口越大。

（2）最大值或最小值：当a ＞0，且x ＝0时函数有最小值，最小值是0； 当a ＜0，且x ＝0时函数有最大值，最大值是0。

2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。

3. ()2y a x h =-的性质： 左加右减。

4. ()2y a x h k =-+的性质：5.c bx ax y ++=2的性质二次函数c bx ax y ++=2配方成ab ac a b x a y 44)2(22-++=则抛物线的①对称轴：x =a b 2- ②顶点坐标：（ab 2-，a b ac 442-）③增减性：若a>0，则当x<ab2-时，y 随x 的增大而减小．．．．．； 当x>ab2-时，y 随x 的增大而增大。

．．．．．． 若a<0，则当x<ab2-时，y 随x 的增大而增大．．．．．； 当x>ab2-时，y 随x 的增大而减小。

．．．．．． ④最值：若a>0，则当x=ab2-时，a b ac y 442-=最小；若a<0，则当x=ab2-时，a b ac y 442-=最大三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，．五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.①先找出顶点（a b 2-，ab ac 442-），画出对称轴x=ab2-；②找出图象上关于直线x=ab2-对称的四个点（如与坐标的交点等）；一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. ③把上述五点连成光滑的曲线。

课程讲授
3 利用“交点式”求二次函数的解析式
练一练：如图，此抛物线的解析式是（ D ）
A. y 1 x2 x 4 2
B. y 1 x2 x 4 2
C. y 1 x2 x 4 2
D. y 1 x2 x 4 2
随堂练习
1.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（-3，0），（0，3）， （2，-5），则这个二次函数的解析式为___y_=_-x_2_-_2_x_+_3____. 2.如图所示的抛物线的解析式为__y_=_2_x_2-_4_x_+_2_7____.
-3 -2 -1 O 1 2 3
x
新知导入
试一试：根据所学知识，完成下列内容. y
9
这个抛物线的解析式为
6
y=_3_（x-_1_）2
3
（2,3）
-3 -2 -1 O 1 2 3
x
新知导入
试一试：根据所学知识，完成下列内容. y
9
这个抛物线的解析式为
6
y=_3_（x-_1_）2+_2__
3 （1,2）
-3 -2 -1 O 1 2 3
x
课程讲授
1 利用“一般式”求二次函数的解析式
问题1：我们已经知道由两点就可以确定一条直线，那 么由几个点的坐标就可以确定二次函数呢？
y = a x2 + b x + c
含有___3_个待定系数,需要__3__个抛物线上的点 的坐标就能求出来其解析式.
课程讲授
1 利用“一般式”求二次函数的解析式
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1 利用“一般式”求二次函数的解析式
练一练：已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（-1，0

确定二次函数的表达式一、选择题1．若二次函数y=x2+bx-2的图象与x轴的一个交点为（1，0），则该二次函数的表达式为（）A．y=x2-2x B．y=x2+x-1 C．y=x2+x-2 D．y=x2-x-22．若二次函数的图象经过点（1，10），顶点坐标为（-1，-2），则此二次函数的表达式为（）A．y=3x2+6x+1 B．y=3x2+6x-1 C．y=3x2-6x+1 D．y=-3x2-6x+1 3．如图，抛物线的函数表达式是（）A．y=x2-x+2 B．y=x2+x+2 C．y=-x2-x+2 D．y=-x2+x+2 4．若y=ax2+bx+c，则由表格某某息可知y与x之间的函数表达式是（）A．y=x2-4x+3 B．．y=x2-4x+8 5．已知二次函数y=x2+bx+c，若b+c=0，则它的图象一定过点（）A．（-1，-1）B．（1，-1） C．（-1，1）D．（1，1）二、填空题6．在二次函数y=x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表，则m的值为________．7．若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A（2，1），且经过点B（1，0），则此抛物线的表达式为___________．8．如果一条抛物线的形状与抛物线y=-x2+2的形状相同，且顶点坐标是（4，-2），那么它的函数表达式是__________．9．二次函数的图象如图，则其表达式为__________．10．如果抛物线经过A（-1，-6），B（1，-2），C（2，3）三点，那么抛物线的函数表达式为__________．三、解答题11．如图，已知抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为M（0，-1），与x轴交于A，B两点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）判断△MAB的形状，并说明理由．12．如图，一拱桥的截面呈抛物线形状，拱桥两端点与水面的距离都是1 m，拱桥的跨度为10 m，拱桥与水面的最大距离是5 m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4 m的景观灯．（1）建立适当的直角坐标系并求出抛物线对应的函数表达式；（2）求两盏景观灯之间的水平距离．13．如图，已知二次函数y=x2+mx+n的图象经过点P（-3，1），对称轴是经过点（-1，0）且平行于y轴的直线．（1）求m，n的值；（2）若一次函数y=kx+b的图象经过点P，与x轴相交于点A，与二次函数的图象相交于另一点B，点B在点P的右侧，PA：PB=1：5，求一次函数的表达式．14．已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）的图象经过A，B，C，D四个点，其中横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：求：（1（2）△ABD的面积．15．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设P是直线l上的一个动点，当点P到点A，B的距离之和最小时，求点P的坐标．16．如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过A（-1，0），B（3，0）两点．（1）求抛物线的表达式和顶点坐标；（2）当0<x<3时，求y的取值X围；（3）P为抛物线上一点，若S△PAB =10，求出此时点P的坐标．参考答案一、1．C 2．A 3．D 4．A 5．D二、6．-1 7．y=-x2+4x-3 8．y=（x-4）2-2或y=-（x-4）2-29．y=-x2+2x+3 10．y=x2+2x-5三、11．解：（1）∵在抛物线的函数表达式中二次项系数为1，且顶点为M（0，-1），∴其函数表达式为y=x2-1．（2）△MAB是等腰直角三角形．理由如下：当y=0时，x2-1=0，∴x=±1．∵点M的坐标为（0，-1），∴OA=OB=OM，∴∠OAM=∠OMA=∠OBM=∠OMB=45°，∴∠AMB=90°，∴△MAB是直角三角形，且MA=MB，∴△MAB是等腰直角三角形．12．解：（1）答案不唯一，如建立如图的平面直角坐标系．由题意知，抛物线的顶点坐标为（5，5），与y轴的交点坐标是（0，1）．设抛物线对应的函数表达式是y=a（x-5）2+5．把（0，1）代入y=a（x-5）2+5，得a=-，∴y=-（x-5）2+5（0≤x≤10）．（2）由题意知，两盏景观灯的纵坐标都是4，令4=-（x-5）2+5，∴425（x-5）2=1，∴x1=，x2=．∴两盏景观灯之间的水平距离为-=5（m）．13．解：（1）∵抛物线的对称轴是经过点（-1，0）且平行于y轴的直线，∴-=-1，解得m=2．∵二次函数y=x2+mx+n的图象经过点P（-3，1），∴9-3m+n=1，∴n=3m-8=-2．（2）∵m=2，n=-2，∴二次函数的表达式为y=x2+2x-2．如图，分别过点P，B作PC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，则PC∥BD，∴．∵点P的坐标为（-3，1），∴PC=1．∵PA：PB=1：5，∴，∴BD=6，∴点B的纵坐标为6．令6=x2+2x-2，解得x1=2，x2=-4（舍去），∴点B的坐标为（2，6）．∴解得∴一次函数的表达式为y=x+4．14．解：（1）把A，B，C三点的坐标分别代入y=ax2+bx+c，得解得所以二次函数的表达式为y=-x2+3x+3．（2）S△ABD =×3×4=6．15．解：（1）分别将A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）代入y=ax2+bx+c，得解得∴抛物线的函数关系式为y=x2-2x-3．（2）当点P在x轴上时，P，A，B三点在一条直线上，则点P到点A，B的距离之和最小，此时点P的横坐标x=-=1．∴点P的坐标为（1，0）．16．解：（1）把A（-1，0），B（3，0）分别代入y=x2+bx+c，得解得∴抛物线的表达式为y=x2-2x-3．∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4，∴抛物线的顶点坐标为（1，-4）．（2）由图象可知，当0<x<3时，-4≤y<0．（3）∵A（-1，0），B（3，0），∴AB=4．设P（x，y），则S△PAB =AB·|y|=2|y|=10，∴|y|=5，∴y=±5．①当y=5时，x2-2x-3=5，解得x1=-2，x2=4，此时点P的坐标为（-2，5）或（4，5）．②当y=-5时，x2-2x-3=-5，方程无实数解．综上所述，点P的坐标为（-2，5）或（4，5）．。