人教版九年级数学下二次函数最全的中考二次函数知识点总结

人教版九年级数学二次函数在中考中知识点总结

一、相关概念及定义

1 二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，

，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，

可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：

（1）等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．

（2）a b c ，

，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数各种形式之间的变换

1二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2

的形式，其中

a

b a

c k a b h 4422

-=-=，.

2 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；

③()2

h x a y -=；④()k h x a y +-=2

；⑤c bx ax y ++=2. 三、二次函数解析式的表示方法

1 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；

2 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；

3 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.

4 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法

1 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.

一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，

、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，

，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.

2 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.

五、二次函数2ax y =的性质

六、二次函数2y ax c =+的性质

七、二次函数

y a x h =-的性质：

八、二次函数

y a x h k =-+的性质

九、抛物线

y ax bx c =++的三要素：开口方向、对称轴、顶点.

1 a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0

a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.

2对称轴：平行于y 轴（或重合）的直线记作2b

x a

=-

.特别地，y 轴记作直线0=x . 3顶点坐标：），（a

b a

c a b 4422

--

4顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 十、抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,与函数图像的关系 1 二次项系数a

二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．

⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；

⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．

总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的

大小决定开口的大小． 2一次项系数b

在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，

当0b >时，02b

a -

<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02b

a -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；

当0b <时，02b

a

->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．

⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即

当0b >时，02b

a ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；

当0b =时，02b

a -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；

当0b <时，02b

a

-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．

总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．

总结： 3常数项c

⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；

⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0；

⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．

总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 十一、求抛物线的顶点、对称轴的方法

1公式法：a b ac a b x a c bx ax y 44222

2

-+⎪⎭⎫ ⎝

⎛

+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，

对称轴是直线a

b

x 2-=.

2配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2

的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.

3运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.

用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 十二、用待定系数法求二次函数的解析式

1一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式.

2顶点式：()k h x a y +-=2

.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

3交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=.

十三、直线与抛物线的交点

1y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ).

2与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2).

3抛物线与x 轴的交点:二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；

②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. 4平行于x 轴的直线与抛物线的交点

可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标

相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.

5 一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G

的交点，由方程组 2

y kx n

y ax bx c =+⎧⎨=++⎩

的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.

6抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故

a

c

x x a b x x =

⋅-=+2121,()()a a ac b a c a b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=--=-=-=44422

212

2122121

十四、二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1关于x 轴对称