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数学模型解的存在性解的唯一性解的稳定性解的一些性质解的表达式}适定性数值解存储量计算时间区域方程定解条件回顾：问题的离散第5章椭圆型方程的差分方法§1-3Poisson方程一.区域矩形圆环离散(差分法):网格剖分矩形区域i i i i二.差分格式224412(i,j)(i,j-1)(i,j+1)(i+1,j)(i-1,j)2. 九点差分格式x x2222222h2222121222221212三. 边界条件的处理(矩形区域)xy0(,)i x y I 10(,)x y +J+1(,)i x y )j y(注:四. 差分格式的性质:111 .i i i i i i +-解的存在唯一性与边界条件无关0000002(11002. (,)x y i i i ii ih ji i j h u u x y +→→+−−−→差分方程解的收敛性2||||||2h h hji h h jjji i h i D D D u D D a u u u a D x ∂⋃∂≤+∆插入引理：设是定义在上的函数，那么有max max max 其中为矩形区域的方向的边长.x.3差分格式的稳定性五. 极坐标下的差分格式22+x y注：r∂r(,)i j r θθπR六. 一般区域DDyO x第一类边界条件：T QP δyh第三类边界条件：PQQPnnPQ Q PnnPQR1θu u ux y n u ux y ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 2θQRT PS注：没有统一的近似，只要合理就好。
§4变系数方程abxy 矩形区域iP1Q 3Q 2Q 3N4Q 2N4N1N,i jD+-i i i i i i 11。
椭圆微分方程及其求解方法椭圆微分方程是常见的一类偏微分方程，它在自然科学、工程技术、金融数学等诸多领域中都有着广泛的应用。
本文将介绍椭圆微分方程的基础概念、分类、本征值问题及求解方法等内容。
一、椭圆微分方程的基本概念椭圆微分方程通常具有形如$$\begin{cases}Lu(x)=f(x), & x\in \Omega, \\u(x)=g(x), & x\in \partial\Omega, \\\end{cases}$$其中，$Lu(x)$是一线性偏微分算子，$\Omega$为区域（一般指开集上的连通子集），$\partial\Omega$为$\Omega$的边界，$f(x)$和$g(x)$为已知函数，求解$u(x)$满足上述条件。
椭圆微分方程中的偏微分算子$Lu(x)$通常具有形如$$Lu(x)=\sum_{i,j=1}^na_{i,j}(x)\frac{\partial^2}{\partial x_i\partial x_j}u(x)+\sum_{k=1}^nb_k(x)\frac{\partial}{\partialx_k}u(x)+c(x)u(x),$$其中，$n$为空间维数，$a_{i,j}(x)$、$b_k(x)$和$c(x)$都是已知函数。
二、椭圆微分方程的分类根据椭圆微分方程中的偏微分算子$Lu(x)$的性质，椭圆微分方程可分为一般椭圆型、二阶椭圆型和高阶椭圆型三类。
其中，一般椭圆型指的是$Lu(x)$的主部分系数矩阵在$\overline{\Omega}$上正定（即对于任意$x\in\overline{\Omega}$和非零$u\in\mathbb{R}^n$，均满足$u^T A(x)u>0$），二阶椭圆型指的是$Lu(x)$仅包含二次微分项，而高阶椭圆型则指的是$Lu(x)$中至少包含有三次或以上的微分项。
三、椭圆微分方程的本征值问题对于某些特殊的椭圆微分方程，我们可以考虑它们的本征值问题。
椭圆型方程差分方法
椭圆型方程是数学中的一种重要的偏微分方程类型，它的求解在科学计算和工程实践中有着广泛的应用。
而差分方法是求解偏微分方程的主要数值方法之一。
椭圆型方程的差分方法主要包括有限差分法、谱方法和有限元方法等。
其中，有限差分法是最常用的一种方法，它将偏微分方程转化为离散的代数方程组，通过数值迭代求解。
有限差分法的基本思想是将求解区域分成若干个网格，通过差分近似替代导数运算，将偏微分方程转化为一组代数方程，然后通过迭代方法求解。
在椭圆型方程的差分求解中，有限差分法具有计算简单、适用范围广等优点。
但是，它也有一些缺点，如误差随时间积累，收敛速度慢等问题。
因此，在实际应用中，需要权衡不同方法的优劣，选择最适合的方法进行求解。
总的来说，椭圆型方程的差分方法是求解偏微分方程的重要工具，它为科学计算和工程实践提供了有效的数值求解手段。
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第4章 椭圆型方程的有限差分法§2 一维差分格式1、用积分插值法导出逼近微分方程的差分格式。
d du du Lu=-(p)+r +qu=f,a<x<b,dx dx dx u(a)=α,u(b)=β.⎧⎪⎨⎪⎩ 解：考虑在[a,b]内任一小区间(1)(2)[,]x x，将上式在此区间上积分得(2)(2)(2)(2)(1)(1)(1)(1)-(())x x x x x x x x d du dup x dx r dx qudx f dx dx dx dx++=⎰⎰⎰⎰ 或 (2)(2)(2)(1)(1)(1)(1)(2)()()x x x x x x du W x W x r dx qudx f dx dx-++=⎰⎰⎰（1.1） 其中，()()duW x p x dx=（1.2）特别地，取(1)(2)[,]x x为对偶单元1/21/2[,]i i x x -+，则1/21/21/21/21/21/21/21/2()()i i i i i i x x x i i x x x duW x W x rdx qudx f dx dx+++----+-++=⎰⎰⎰。
将（1.2）改写成()()du W x dx p x =，再沿1/21/2[,]i i x x -+积分，得11()()i i x i i x W x u u dx p x ---=⎰，利用中矩形公式，得1111/21,[]()ii x i i i ii x i iu u dx W a a h h p x -----≈=⎰（1.3）又1/21/21/21/2112,()2i i i i x x i i i i i x x i i h h qudx d u d q x dx h h ++--+++≈=+⎰⎰ （1.4）1/21/21/21/21112,()2i i i i x x i i i i x x i i u u du rdx b b r x dx dx h h ++--+-+-≈=+⎰⎰ （1.5）1/21/212()i i x i x i i f x dx h h ϕ+-+=+⎰（1.6）将（1.3）~（1.5）代入（1.1），即得微分方程的差分格式1111111111()()222i i i i i i i i i i i i i i i i i i u u u u u u a a h h d u b h h h h ϕ+-+-++++⎡⎤-----+++=+⎢⎥⎣⎦。
如果系数p,q,r 以及右端f 光滑，则可用中矩形公式计算得1/21/2(),(),(),().i i i i ii i i i i a p p x di q q x bi r r x f f x ϕ--==⎧⎪==⎪⎨==⎪⎪==⎩▌2、导出10111000101()()022u u h ha d u h ααϕ--+-+-+=对01()()()p a u a u a αα'-=+的逼近阶。
解：1011011()()x x dx a p p a h p x -⎡⎤===⎢⎥⎣⎦⎰， 1200012()x x d qdx q q a h ===⎰，1200012()x x fdx f f a h ϕ===⎰ 记01()()()()Lu a p a u a u a αα'=---，10110000101231110110001012111100010()()()22()()()()2()()()22()[()()]()()()222h u u h hL u a p q u f h h u a h u a u a O h u h h p a q u f h h h h p a u a u a O h q u f αααααα-=-+-+-+'''+++-=-+-+-+'''=-+++-+-+2111000000()()()()()()222h h h hR u L u x Lu x p a u a q u f O h ''=-=-+++则逼近阶为2()O h 。
▌§3 矩形网的差分格式1、 用积分插值法构造逼近方程 ()[()()]k u k k f x x y y∂∂∂∂-∇∇=-+=∂∂∂∂ （*）的第一边值问题的五点差分格式，这里min (,)0k k x y k =≥>解：考虑xy 平面上一有界区域G ，其边界Γ为分段光滑曲线，且满足第一边值条件：(,)|(,),(,)u x y x y x y G αΓ=∈∂取定沿x 轴和y 轴方向上的步长12h h 和，并作对偶剖分。
记1/211()2i x i h -=- ，1/221()2j y j h -=-,作两族与坐标轴平行的直线1/21/2,,0,1,...i i x x i j --==±和y=y ，其交点属于G 内部者为对偶剖分的内点，直线与边界Γ的交点为对偶剖分的界点。
对于任一正则内点(,)i j x y ，考虑对偶剖分的网点：1/21/2(,)i j A x y --，1/21/2(,)i j B x y +-，1/21/2(,)i j C x y ++，1/21/2(,)i j D x y -+，用ABCDA 表示以A,B,C,D 为顶点的矩形，其内部区域记为ij G ，于ij G 上对（*）积分。
1/21/21/21/21/21/2(,)(,)(,)(,)(,)i i y i i i i ABCDA y u k x y dxdy k x y u x y k x y u x y dy x x x x +-++--∂∂∂∂⎛⎫⎡⎤=- ⎪⎢⎥∂∂∂∂⎝⎭⎣⎦⎰⎰利用中矩形公式有1/21/21/21/22(,)(,)(,)(,)(,)i j i j i j i j ABCDA u k x y dxdy k x y u x y k x y u x y h x x x x ++--∂∂∂∂⎛⎫⎡⎤≈- ⎪⎢⎥∂∂∂∂⎝⎭⎣⎦⎰ 类似地有1/21/21/21/21(,)(,)(,)(,)(,)i j i j i j i j ABCDA u k x y dxdy k x y u x y k x y u x y h y y y y ++--⎛⎫⎡⎤∂∂∂∂≈- ⎪⎢⎥∂∂∂∂⎝⎭⎣⎦⎰ 此外有12(,)(,)iji j G f x y dxdy f x y h h ≈⎰⎰将上面的积分近似式中出现的偏导数用差商代替，代入（*）式，并同时除以12h h ，就得到（*）式的差分方程：1/2,1,1/2,,1,,1/2,1,1/2,,1221211[()()][()()]i j i j ij i j i j i j i j i j ij i j i j i j ij k u u k u u k u u k u u f h h ++--++----------=▌2、 用差分法求解边值问题222221,1,1,5,100,1u k u x y k u x y ⎧-∆+=-+<⎪=⎨=+=⎪⎩。
解：令cos ,sin x r y r θθ==，则整个xy 平面变成r θ平面上的半带形域{01,02}r θπ≤≤≤≤，从而(,)u x y 满足的上述边值问题转化为极坐标形式下(,)u r θ满足的边值问题就可转化为22,22111(,)1,(,)(0,1)(0,2)|0r r u u u r k u r r G r r r r u θθθπθ=⎧⎡⎤∂∂∂⎛⎫-∆=-++=-∈=⨯⎪ ⎪⎢⎥∂∂∂⎝⎭⎨⎣⎦⎪=⎩首先关于区域G 分别取等步长1/,2/r h N h M θπ==进行网格划分，令1,0,1,2,,1,0,1,,1i r j r ih i N jh j M θθ=+=-==-这样就在半带形区域上形成了网格节点(,)j j r θ，再对变量r 的取值范围(0,1)作对偶剖分1211(),0,1,2,,12r i ri h i N +=++=-。
作中心差分得：11221111222211221,1,11(,)(,)221,(,)(,)(,),()111()j j i i i j j j i i r j ij r j iji i rrr ri j ij i i i i r r r r i iu u u u u u r rr rr h r h r u r r u r u u r r r r r r h r r r r θθθθθ-++--+-++++----∂∂⎡⎤⎡⎤≈≈⎢⎥⎢⎥∂∂⎣⎦⎣⎦⎧⎫-++∂∂∂∂⎪⎪⎡⎤⎡⎤⎡⎤≈-≈⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎩⎭1,22,1,12222(,)211iji jr i j ij i j ir u h u u u u r r h θθθ-+--+⎡⎤∂≈⎢⎥∂⎣⎦ 代入到原边值问题中，则得到差分方程：111122221,1,,1,122220()2111,(1,2,,1;1,2,,1),(0,1,2,,)0,(0,1,2,,)i j ij i j i i i i i j ij i j ij i r i i iM Nj r u r r u r u u u u k u r h r h i N j M u u i N u j M θ+-++--+--++⎡⎤-+-++=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦=-=-====。
