有限差分法的Matlab程序(椭圆型方程)

泊松方程的有限差分法的MATLAB实现作者：冯立伟徐涛屈福志来源：《电脑知识与技术》2017年第13期摘要：泊松方程是物理及工程应用领域中一类非常重要的方程，研究其数值求解方法具有重要意义。

给出了使用有限差分法求解泊松方程的计算方法，并讨论了使用MATLAB编写计算程序，使用数值算例和静电场实例进行了数值实验，实验结果与理论一致，检验了算法的有效性。

关键词：泊松方程；五点差分格式；有限差分法中图分类号：TP311 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2017）13-0233-031概述物理过程，都可用椭圆型方程来描述。

其中最典型的方程是泊松（Poisson）方程。

传热学中带有稳定热源或内部无热源的稳定温度场的温度分布、流体动力学中不可压缩流体的稳定无旋流动、弹性力学中平衡问题及电磁学中静电场的电势等均满足泊松方程，泊松方程也是数值网格生成技术所遵循的基本方程。

因此，研究其数值求解方法具有重要意义。

MATLAB是目前应用最广泛的科学和工程计算软件。

MATLAB基于矩阵运算，具有强大数值运算能力，是方便实用、功能强大的数学软件；同时，MATLAB具有强大的图形绘制功能，用户只需提供绘图数据和指定绘图方式，用很少的程序指令就可得到将计算结果转化为直观、形象的图像。

使用MAT-LAB求解微分方程已有大量的研究。

因此，近些年来，越来越多的人开始使用MATLAB来求解泊松方程。

利用MAT-LAB强大的数值计算能力和图形绘制技术，可以实现使用差分法求解泊松方程并绘制出数值解的二维、三维图像，从而可以更好地理解泊松方程解的物理意义。

本文讨论使用差分法通过MATLAB编程求解二维矩形区域上的泊松方程，并使用两个算例进行检验和对结果进行分析。

边界条件为将未知解函数在内部节点上的值按行排列，组成解向量为：3差分格式的求解为了便于使用MATLAB编写程序，将差分方程转化为矩阵形式：4数值实验算例1：为了分析和比较差分格式在不同步长下的结果，使用2范数意义下的绝对误差和相对误差作为评价指标，表1给出了步长h=0.01取不同值的绝对误差和相对误差从表1可看出随着网格步长h的减小数值解的绝对误差和相对误差在变小。

南京理工大学课程考核论文课程名称：高等数值分析论文题目：有限差分法求解偏微分方程姓名：罗晨学号：成绩：有限差分法求解偏微分方程一、主要内容1.有限差分法求解偏微分方程，偏微分方程如一般形式的一维抛物线型方程：具体求解的偏微分方程如下：2.推导五种差分格式、截断误差并分析其稳定性；3.编写MATLAB程序实现五种差分格式对偏微分方程的求解及误差分析；4.结论及完成本次实验报告的感想。

二、推导几种差分格式的过程：有限差分法（finite-differencemethods ）是一种数值方法通过有限个微分方程近似求导从而寻求微分方程的近似解。

有限差分法的基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。

推导差分方程的过程中需要用到的泰勒展开公式如下：()2100000000()()()()()()()......()(())1!2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x o x x n +'''=+-+-++-+-(2-1)求解区域的网格划分步长参数如下：11k k k kt t x x h τ++-=⎧⎨-=⎩(2-2) 2.1古典显格式2.1.1古典显格式的推导由泰勒展开公式将(,)u x t 对时间展开得2,(,)(,)()()(())i i k i k k k uu x t u x t t t o t t t∂=+-+-∂(2-3) 当1k t t +=时有21,112,(,)(,)()()(())(,)()()i k i k i k k k k k i k i k uu x t u x t t t o t t tuu x t o tττ+++∂=+-+-∂∂=+⋅+∂(2-4)得到对时间的一阶偏导数1,(,)(,)()=()i k i k i k u x t u x t uo t ττ+-∂+∂(2-5) 由泰勒展开公式将(,)u x t 对位置展开得223,,21(,)(,)()()()()(())2!k i k i k i i k i i u uu x t u x t x x x x o x x x x∂∂=+-+-+-∂∂(2-6)当11i i x x x x +-==和时，代入式(2-6)得2231,1,1122231,1,1121(,)(,)()()()()(())2!1(,)(,)()()()()(())2!i k i k i k i i i k i i i i i k i k i k i i i k i i i iu u u x t u x t x x x x o x x x xu u u x t u x t x x x x o x x x x ++++----⎧∂∂=+-+-+-⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪=+-+-+-⎪∂∂⎩(2-7) 因为1k k x x h +-=，代入上式得2231,,22231,,21(,)(,)()()()2!1(,)(,)()()()2!i k i k i k i k i k i k i k i ku u u x t u x t h h o h x xu u u x t u x t h h o h x x +-⎧∂∂=+⋅+⋅+⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪=-⋅+⋅+⎪∂∂⎩(2-8) 得到对位置的二阶偏导数2211,22(,)2(,)(,)()()i k i k i k i k u x t u x t u x t uo h x h+--+∂=+∂(2-9) 将式(2-5)、(2-9)代入一般形式的抛物线型偏微分方程得(2-10)为了方便我们可以将式(2-10)写成11122k kk k k k i i i i i i u u u u u f h ατ++-⎡⎤--+-=⎢⎥⎣⎦(2-11) ()11122k k k k k k i i i i i i u u uu u f hτατ++----+=(2-12)最后得到古典显格式的差分格式为()111(12)k k k k k i i i i i u ra u r u u f ατ++-=-+++(2-13)2r hτ=其中，古典显格式的差分格式的截断误差是2()o h τ+。

matlab有限差分法一、前言Matlab是一种广泛应用于科学计算和工程领域的计算机软件，它具有简单易学、功能强大、易于编程等优点。

有限差分法（Finite Difference Method）是一种常用的数值解法，它将微分方程转化为差分方程，通过对差分方程进行离散化求解，得到微分方程的数值解。

本文将介绍如何使用Matlab实现有限差分法。

二、有限差分法基础1. 有限差分法原理有限差分法是一种通过将微分方程转化为离散形式来求解微分方程的数值方法。

其基本思想是将求解区域进行网格划分，然后在每个网格点上进行逼近。

假设要求解一个二阶常微分方程：$$y''(x)=f(x,y(x),y'(x))$$则可以将其转化为离散形式：$$\frac{y_{i+1}-2y_i+y_{i-1}}{h^2}=f(x_i,y_i,y'_i)$$其中$h$为网格步长，$y_i$表示在$x_i$处的函数值。

2. 一维情况下的有限差分法对于一维情况下的常微分方程：$$\frac{d^2 y}{dx^2}=f(x,y,y')$$可以使用中心差分法进行离散化：$$\frac{y_{i+1}-2y_i+y_{i-1}}{h^2}=f(x_i,y_i,y'_i)$$这个方程可以写成矩阵形式：$$A\vec{y}=\vec{b}$$其中$A$为系数矩阵，$\vec{y}$为函数值向量，$\vec{b}$为右端项向量。

三、Matlab实现有限差分法1. 一维情况下的有限差分法假设要求解的方程为：$$\frac{d^2 y}{dx^2}=-\sin(x)$$首先需要确定求解区域和网格步长。

在本例中，我们将求解区域设为$[0,2\pi]$，网格步长$h=0.01$。

则可以通过以下代码生成网格：```matlabx = 0:0.01:2*pi;```接下来需要构造系数矩阵和右端项向量。

根据上面的公式，系数矩阵应该是一个三对角矩阵，可以通过以下代码生成：```matlabn = length(x)-2;A = spdiags([-ones(n,1), 2*ones(n,1), -ones(n,1)], [-1 0 1], n, n); ```其中`spdiags`函数用于生成一个稀疏矩阵。

有限差分法的M a t l a b程序有限差分法的Matlab程序（椭圆型方程）function FD_PDE(fun,gun,a,b,c,d)% 用有限差分法求解矩形域上的Poisson方程tol=10^(-6); % 误差界N=1000; % 最大迭代次数n=20; % x轴方向的网格数m=20; % y轴方向的网格数h=(b-a)/n; % x轴方向的步长l=(d-c)/m; % y轴方向的步长for i=1:n-1x(i)=a+i*h;end % 定义网格点坐标for j=1:m-1y(j)=c+j*l;end % 定义网格点坐标u=zeros(n-1,m-1); %对u赋初值% 下面定义几个参数r=h^2/l^2;s=2*(1+r);k=1;% 应用Gauss-Seidel法求解差分方程while k<=N% 对靠近上边界的网格点进行处理% 对左上角的网格点进行处理z=(-h^2*fun(x(1),y(m-1))+gun(a,y(m-1))+r*gun(x(1),d)+r*u(1,m-2)+u(2,m-1))/s; norm=abs(z-u(1,m-1));u(1,m-1)=z;% 对靠近上边界的除第一点和最后点外网格点进行处理for i=2:n-2z=(-h^2*fun(x(i),y(m-1))+r*gun(x(i),d)+r*u(i,m-2)+u(i+1,m-1)+u(i-1,m-1))/s;if abs(u(i,m-1)-z)>norm;norm=abs(u(i,m-1)-z);endu(i,m-1)=z;end% 对右上角的网格点进行处理z=(-h^2*fun(x(n-1),y(m-1))+gun(b,y(m-1))+r*gun(x(n-1),d)+r*u(n-1,m-2)+u(n-2,m-1))/s; if abs(u(n-1,m-1)-z)>normnorm=abs(u(n-1,m-1)-z);endu(n-1,m-1)=z;% 对不靠近上下边界的网格点进行处理for j=m-2:-1:2% 对靠近左边界的网格点进行处理z=(-h^2*fun(x(1),y(j))+gun(a,y(j))+r*u(1,j+1)+r*u(1,j-1)+u(2,j))/s;if abs(u(1,j)-z)>normnorm=abs(u(1,j)-z);endu(1,j)=z;% 对不靠近左右边界的网格点进行处理for i=2:n-2z=(-h^2*fun(x(i),y(j))+u(i-1,j)+r*u(i,j+1)+r*u(i,j-1)+u(i+1,j))/s;if abs(u(i,j)-z)>normnorm=abs(u(i,j)-z);endu(i,j)=z;end% 对靠近右边界的网格点进行处理z=(-h^2*fun(x(n-1),y(j))+gun(b,y(j))+r*u(n-1,j+1)+r*u(n-1,j-1)+u(n-2,j))/s;if abs(u(n-1,j)-z)>normnorm=abs(u(n-1,j)-z);endu(n-1,j)=z;end% 对靠近下边界的网格点进行处理% 对左下角的网格点进行处理z=(-h^2*fun(x(1),y(1))+gun(a,y(1))+r*gun(x(1),c)+r*u(1,2)+u(2,1))/s;if abs(u(1,1)-z)>normnorm=abs(u(1,1)-z);endu(1,1)=z;% 对靠近下边界的除第一点和最后点外网格点进行处理for i=2:n-2z=(-h^2*fun(x(i),y(1))+r*gun(x(i),c)+r*u(i,2)+u(i+1,1)+u(i-1,1))/s;if abs(u(i,1)-z)>normnorm=abs(u(i,1)-z);endu(i,1)=z;end% 对右下角的网格点进行处理z=(-h^2*fun(x(n-1),y(1))+gun(b,y(1))+r*gun(x(n-1),c)+r*u(n-1,2)+u(n-2,1))/s;if abs(u(n-1,1)-z)>normnorm=abs(u(n-1,1)-z);endu(n-1,1)=z;% 结果输出if norm<=tolfid = fopen('FDresult.txt', 'wt');fprintf(fid,'\n********用有限差分法求解矩形域上Poisson方程的输出结果********\n\n'); fprintf(fid,'迭代次数: %d次\n\n',k);fprintf(fid,' x的值 y的值 u的值 u的真实值 |u-u(x,y)|\n');for i=1:n-1for j=1:m-1fprintf(fid, '%8.3f %8.3f %14.8f %14.8f %14.8f\n', [x(i),y(j),u(i,j),gun(x(i),y(j)),abs(u(i,j)-gun(x(i),y(j)))]);endendfclose(fid);break; % 用来结束while循环endk=k+1;endif k==N+1fid = fopen('FDresult.txt', 'wt');fprintf(fid,'超过最大迭代次数，求解失败！');fclose(fid);endclc[a1 a2 a3 a4] = textread('F:\aa.txt','%f %f %f %f');a = [a1 a2 a3];a=a';b=a4';[pa,mina,maxa,pb,minb,maxb]=premnmx(a,b);net =newrb(pa,pb,0,1.3,24,2);an =sim(net,pa);E = an - pb;m =sse(E)n = mse(E)[f1 f2 f3 f4]= textread('F:\bb.txt','%f %f %f %f');f = [f1 f2 f3];f=f';pf = tramnmx(f,mina,maxa);an2 = sim(net,pf);g =postmnmx(an2,minb,maxb);g= g';E2 = g- f4;mm =sse(E2)nn = mse(E2)。

南京理工大学课程考核论文课程名称：高等数值分析论文题目：有限差分法求解偏微分方程*名：**学号： 1成绩：有限差分法求解偏微分方程一、主要内容1.有限差分法求解偏微分方程，偏微分方程如一般形式的一维抛物线型方程：22(,)()u uf x t t xαα∂∂-=∂∂其中为常数具体求解的偏微分方程如下：22001(,0)sin()(0,)(1,)00u u x t x u x x u t u t t π⎧∂∂-=≤≤⎪∂∂⎪⎪⎪=⎨⎪⎪==≥⎪⎪⎩2.推导五种差分格式、截断误差并分析其稳定性；3.编写MATLAB 程序实现五种差分格式对偏微分方程的求解及误差分析；4.结论及完成本次实验报告的感想。

二、推导几种差分格式的过程：有限差分法（finite-difference methods ）是一种数值方法通过有限个微分方程近似求导从而寻求微分方程的近似解。

有限差分法的基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。

推导差分方程的过程中需要用到的泰勒展开公式如下：()2100000000()()()()()()()......()(())1!2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x o x x n +'''=+-+-++-+- (2-1)求解区域的网格划分步长参数如下：11k k k kt t x x h τ++-=⎧⎨-=⎩ (2-2) 2.1 古典显格式2.1.1 古典显格式的推导由泰勒展开公式将(,)u x t 对时间展开得 2,(,)(,)()()(())i i k i k k k uu x t u x t t t o t t t∂=+-+-∂ (2-3) 当1k t t +=时有21,112,(,)(,)()()(())(,)()()i k i k i k k k k k i k i k uu x t u x t t t o t t tuu x t o tττ+++∂=+-+-∂∂=+⋅+∂ (2-4)得到对时间的一阶偏导数1,(,)(,)()=()i k i k i k u x t u x t uo t ττ+-∂+∂ (2-5) 由泰勒展开公式将(,)u x t 对位置展开得223,,21(,)(,)()()()()(())2!k i k i k i i k i i u uu x t u x t x x x x o x x x x∂∂=+-+-+-∂∂ (2-6)当11i i x x x x +-==和时，代入式(2-6)得2231,1,1122231,1,1121(,)(,)()()()()(())2!1(,)(,)()()()()(())2!i k i k i k i i i k i i i i i k i k i k i i i k i i i iu uu x t u x t x x x x o x x x x u u u x t u x t x x x x o x x x x ++++----⎧∂∂=+-+-+-⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪=+-+-+-⎪∂∂⎩(2-7) 因为1k k x x h +-=，代入上式得2231,,22231,,21(,)(,)()()()2!1(,)(,)()()()2!i k i k i k i k i k i k i k i ku uu x t u x t h h o h x xu u u x t u x t h h o h x x +-⎧∂∂=+⋅+⋅+⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪=-⋅+⋅+⎪∂∂⎩ (2-8) 得到对位置的二阶偏导数2211,22(,)2(,)(,)()()i k i k i k i k u x t u x t u x t u o h x h+--+∂=+∂ (2-9) 将式(2-5)、(2-9)代入一般形式的抛物线型偏微分方程得21112(,)(,)(,)2(,)(,)(,)()i k i k i k i k i k i k u x t u x t u x t u x t u x t f x t o h h αττ++---+⎡⎤-=++⎢⎥⎣⎦(2-10)为了方便我们可以将式(2-10)写成11122k kk k k k i i i i i i u u u u u f h ατ++-⎡⎤--+-=⎢⎥⎣⎦(2-11) ()11122k k k k k k i i i i i i u u uu u f h τατ++----+= (2-12)最后得到古典显格式的差分格式为()111(12)k k k k k i i i i i u ra u r u u f ατ++-=-+++ (2-13)2r h τ=其中，古典显格式的差分格式的截断误差是2()o h τ+。

热传导方程有限差分法的MATLAB实现
史策
【期刊名称】《咸阳师范学院学报》
【年(卷),期】2009(24)4
【摘要】对于有界热传导齐次方程的混合问题,用分离变量法求解往往很复杂.为了更好地理解热传导方程的解,使用MATLAB软件将方程的解用图像表示出来.通过区域转换的思想,利用MATLAB编程实现一定区域内热传导方程的有限差分方法,数值表明了方法的可行性和稳定性.
【总页数】4页(P27-29,36)
【作者】史策
【作者单位】西安建筑科技大学,理学院,陕西,西安,710055
【正文语种】中文
【中图分类】O552
【相关文献】
1.有限差分法解薛定谔方程与MATLAB实现 [J], 刘晓军
2.放射性气体扩散方程有限差分法的MATLAB实现 [J], 龙亮;张振华;姜林;周科廷;莫懿新
3.泊松方程的有限差分法的MATLAB实现 [J], 冯立伟;徐涛;屈福志
4.拉普拉斯方程有限差分法的MATLAB实现 [J], 谢焕田;吴艳
5.基于MATLAB的电磁场二维场域有限差分法分析 [J], 林向会;谢本亮
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第1章前言1.1问题背景在史策教授的《一维热传导方程有限差分法的MATLAB实现》和曹刚教授的《一维偏微分方程的基本解》中，对偏微分方程的解得MATLAB实现问题进行过研究，但只停留在一维中，而实际中二维和三维的应用更加广泛。

诸如粒子扩散或神经细胞的动作电位。

也可以作为某些金融现象的模型，诸如布莱克-斯科尔斯模型与Ornstein-uhlenbeck过程。

热方程及其非线性的推广形式也被应用与影响分析。

在科学和技术发展过程中，科学的理论和科学的实验一直是两种重要的科学方法和手段。

虽然这两种科学方法都有十分重要的作用，但是一些研究对象往往由于他们的特性（例如太大或太小，太快或太慢）不能精确的用理论描述或用实验手段来实现。

自从计算机出现和发展以来，模拟那些不容易观察到的现象，得到实际应用所需要的数值结果，解释各种现象的规律和基本性质。

科学计算在各门自然科学和技术科学与工程科学中其越来越大的作用，在很多重要领域中成为不可缺少的重要工具。

而科学与工程计算中最重要的内容就是求解科学研究和工程技术中出现的各种各样的偏微分方程或方程组。

解偏微分方程已经成为科学与工程计算的核心内容，包括一些大型的计算和很多已经成为常规的计算。

为什么它在当代能发挥这样大的作用呢？第一是计算机本身有了很大的发展；第二是数值求解方程的计算法有了很大的发展，这两者对人们计算能力的发展都是十分重要的。

1.2问题现状近三十年来，解偏微分方程的理论和方法有了很大的发展，而且在各个学科技术的领域中应用也愈来愈广泛，在我国，偏微分方程数值解法作为一门课程，不但在计算数学专业，而且也在其他理工科专业的研究生的大学生中开设。

同时，求解热传导方程的数值算法也取得巨大进展，特别是有限差分法方面，此算法的特点是在内边界处设计不同于整体的格式，将全局的隐式计算化为局部的分段隐式计算。

而且精度上更好。

目前，在欧美各国MATLAB的使用十分普及。

在大学的数学、工程和科学系科，MATLAB苏佳园：二维热传导方程有限差分法的MATLAB实现被用作许多课程的辅助教学手段，MATLAB也成为大学生们必不可少的计算工具，甚至是一项必须掌握的基本技能。

有限差分法（Finite Difference Method）是一种数值方法，用于求解偏微分方程（PDEs）的近似解。

这种方法通过将连续的微分方程离散化，将其转化为一系列代数方程，从而在计算机上进行求解。

有限差分法特别适用于求解具有固定边界条件和初始条件的偏微分方程。

以下是有限差分法求解偏微分方程的基本步骤：1. 网格划分：首先，将问题的连续域划分为离散的网格点。

对于二维问题，这通常涉及到在空间和时间上进行网格划分，形成网格点的集合。

2. 离散化：使用差分公式将微分方程中的导数替换为差分。

例如，一阶导数可以用前向差分或后向差分近似，而二阶导数可以用中心差分近似。

3. 构建差分方程：在每个网格点上应用差分公式，将微分方程转化为代数方程。

对于边界条件，也需要进行相应的离散化处理。

4. 求解线性方程组：差分方程通常会导致一个线性方程组。

对于大型问题，这可能需要使用迭代方法或直接求解器来找到解。

5. 稳定性分析：在求解过程中，需要确保数值解的稳定性。

这涉及到对时间步长和空间步长的选择，以满足CFL（Courant-Friedrichs-Lewy）条件。

6. 迭代求解：对于时间依赖的问题，如热传导或波传播，可以通过时间步进方法（如显式或隐式方法）来迭代求解。

7. 结果分析：最后，分析数值解以验证其准确性，并与解析解（如果存在）进行比较。

有限差分法在处理规则区域和简单边界条件的问题时非常有效。

然而，对于具有复杂几何形状或边界条件的问题，可能需要更高级的数值方法，如有限元方法（FEM）或边界元方法（BEM）。

在实际应用中，有限差分法通常与计算机软件结合使用，如MATLAB、Python的SciPy库等，以便于高效地处理大规模问题。