用五点有限差分格式求解椭圆型方程(偏微分方程) 程序3

五点差分格式求解椭圆型偏微分方程（解线性方程组方法）五点差分格式是一种常用的数值方法，用于求解椭圆型偏微分方程。

该方法将偏微分方程中的二阶导数项用差分近似替代，并将偏微分方程转化为一个线性方程组。

本文将介绍五点差分格式的推导过程，并使用该方法求解一个简单的椭圆型偏微分方程。

假设我们要求解的偏微分方程为：∂²u/∂x²+∂²u/∂y²=f(x,y)其中，u是未知函数，f(x,y)是已知函数。

我们将该方程离散化，将坐标(x,y)分别用h表示，将u(x,y)用U(i,j)表示，其中i和j分别表示x和y的离散位置。

我们可以使用中心差分近似来计算二阶导数，得到：∂²u/∂x²≈(U(i+1,j)-2U(i,j)+U(i-1,j))/h²∂²u/∂y²≈(U(i,j+1)-2U(i,j)+U(i,j-1))/h²将上述近似代入原方程，得到：(U(i+1,j)-2U(i,j)+U(i-1,j))/h²+(U(i, j+1) - 2U(i, j) + U(i, j-1)) / h² = f(ih, jh)整理上述方程，得到：U(i+1, j) + U(i-1, j) + U(i, j+1) + U(i, j-1) - 4U(i, j) = h² * f(ih, jh)该方程表示了U(i,j)与其相邻四个点的关系。

我们可以将整个区域离散化为一个网格，每个网格点都满足类似的方程。

离散化后的方程可以写成一个线性方程组的形式。

例如，在一个矩形区域内，我们将x轴和y轴的区间划分为n个小区间，即x轴上的取值为0, h, 2h, ..., nh；y轴上的取值为0, h,2h, ..., nh。

在该区域内，一共有(n-1)²个内部网格点。

我们可以将这些网格点按照其中一种顺序依次编号，从而将线性方程组表示为一个矩阵方程。

南京理工大学课程考核论文课程名称：高等数值分析论文题目：有限差分法求解偏微分方程*名：**学号： 1成绩：有限差分法求解偏微分方程一、主要内容1.有限差分法求解偏微分方程，偏微分方程如一般形式的一维抛物线型方程：22(,)()u uf x t t xαα∂∂-=∂∂其中为常数具体求解的偏微分方程如下：22001(,0)sin()(0,)(1,)00u u x t x u x x u t u t t π⎧∂∂-=≤≤⎪∂∂⎪⎪⎪=⎨⎪⎪==≥⎪⎪⎩2.推导五种差分格式、截断误差并分析其稳定性；3.编写MATLAB 程序实现五种差分格式对偏微分方程的求解及误差分析；4.结论及完成本次实验报告的感想。

二、推导几种差分格式的过程：有限差分法（finite-difference methods ）是一种数值方法通过有限个微分方程近似求导从而寻求微分方程的近似解。

有限差分法的基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。

推导差分方程的过程中需要用到的泰勒展开公式如下：()2100000000()()()()()()()......()(())1!2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x o x x n +'''=+-+-++-+- (2-1)求解区域的网格划分步长参数如下：11k k k kt t x x h τ++-=⎧⎨-=⎩ (2-2) 2.1 古典显格式2.1.1 古典显格式的推导由泰勒展开公式将(,)u x t 对时间展开得 2,(,)(,)()()(())i i k i k k k uu x t u x t t t o t t t∂=+-+-∂ (2-3) 当1k t t +=时有21,112,(,)(,)()()(())(,)()()i k i k i k k k k k i k i k uu x t u x t t t o t t tuu x t o tττ+++∂=+-+-∂∂=+⋅+∂ (2-4)得到对时间的一阶偏导数1,(,)(,)()=()i k i k i k u x t u x t uo t ττ+-∂+∂ (2-5) 由泰勒展开公式将(,)u x t 对位置展开得223,,21(,)(,)()()()()(())2!k i k i k i i k i i u uu x t u x t x x x x o x x x x∂∂=+-+-+-∂∂ (2-6)当11i i x x x x +-==和时，代入式(2-6)得2231,1,1122231,1,1121(,)(,)()()()()(())2!1(,)(,)()()()()(())2!i k i k i k i i i k i i i i i k i k i k i i i k i i i iu uu x t u x t x x x x o x x x x u u u x t u x t x x x x o x x x x ++++----⎧∂∂=+-+-+-⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪=+-+-+-⎪∂∂⎩(2-7) 因为1k k x x h +-=，代入上式得2231,,22231,,21(,)(,)()()()2!1(,)(,)()()()2!i k i k i k i k i k i k i k i ku uu x t u x t h h o h x xu u u x t u x t h h o h x x +-⎧∂∂=+⋅+⋅+⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪=-⋅+⋅+⎪∂∂⎩ (2-8) 得到对位置的二阶偏导数2211,22(,)2(,)(,)()()i k i k i k i k u x t u x t u x t u o h x h+--+∂=+∂ (2-9) 将式(2-5)、(2-9)代入一般形式的抛物线型偏微分方程得21112(,)(,)(,)2(,)(,)(,)()i k i k i k i k i k i k u x t u x t u x t u x t u x t f x t o h h αττ++---+⎡⎤-=++⎢⎥⎣⎦(2-10)为了方便我们可以将式(2-10)写成11122k kk k k k i i i i i i u u u u u f h ατ++-⎡⎤--+-=⎢⎥⎣⎦(2-11) ()11122k k k k k k i i i i i i u u uu u f h τατ++----+= (2-12)最后得到古典显格式的差分格式为()111(12)k k k k k i i i i i u ra u r u u f ατ++-=-+++ (2-13)2r h τ=其中，古典显格式的差分格式的截断误差是2()o h τ+。

有限差分法解偏微分方程综述绪论有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。

在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。

有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。

该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。

有限差分法以Taylor 级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。

该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。

对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。

从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。

考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。

目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。

差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。

构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。

其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。

通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。

有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。

五点差分格式求解poisson方程五点差分格式是一种常用的数值求解偏微分方程的方法，特别适用于求解Poisson方程。

本文将介绍五点差分格式的原理和求解Poisson方程的具体步骤。

1. 五点差分格式原理：五点差分格式是一种离散化方法，将求解区域离散成网格，通过近似代替微分方程中的导数项，从而转化为代数方程组。

该方法利用了函数在离散的点上的函数值和导数值之间的关系，通过求解差分方程组来获得解的近似值。

2. Poisson方程的离散化：Poisson方程是一个二阶偏微分方程，可表示为：∇^2 u = f其中，u是未知函数，f是已知函数。

我们要在给定的边界条件下求解u。

为了使用五点差分格式，我们需要对方程进行离散化。

将求解区域离散为网格，假设网格的步长为h，则u的离散点可表示为(u_{i, j})，其中i和j分别表示网格点的行坐标和列坐标，通过对函数u在(u_{i, j})点上的二阶导数进行近似，Poisson方程可以转化为：(u_{i+1, j} + u_{i-1, j} + u_{i, j+1} + u_{i, j-1} - 4u_{i, j}) / h^2 = f_{i, j}这就是离散化后的差分方程。

3. 求解步骤：(1) 确定求解区域和边界条件：首先需要确定方程的求解区域和边界条件。

根据实际问题设定，将求解区域划分为适当大小的网格，并给出边界条件。

(2) 建立差分方程：将Poisson方程离散化为差分方程，根据离散点上的函数值和导数值之间的关系，建立差分方程组。

(3) 求解差分方程组：利用代数方法，将差分方程组转化为线性方程组，并求解该方程组获得离散点上的近似解。

(4) 进行后处理：根据求解的离散点上的近似解，可以进行相应的后处理操作，如可视化等，以获得更直观的结果。

4. 参考内容：(1) "Numerical Methods for Engineers and Scientists" by Amos Gilat and Vish Subramaniam：该书介绍了五点差分格式等常用的数值方法，并给出了详细的计算步骤和示例。

《微分方程数值解》大作业（一）——椭圆型方程编程计算：采用五点差分格式求如下椭圆型方程2222uu x y f (x,y),(x,y);∂∂∂∂--=∈Ω其中f (x,y)、Ω及边条件为：1． f (x,y)0,= (1,2)(0,1)Ω=⨯， 且边条件如下：222u(x,0)2ln x,u(x,1)ln(x 1)1x 2;u(1,y)ln(1y ),u(2,y)ln(4y ),0y 1.⎧==+<<⎪⎨=+=+<<⎪⎩， 问题存在精确解为： 22(,)ln()u x y x y =+2．f (x,y)4,=- (0,1)(0,2)Ω=⨯，且边条件如下：2222u(x,0)x ,u(x,2)(x 2)0x 1;u(0,y)y ,u(1,y)(y 1),0y 2.⎧==-<<⎪⎨==-<<⎪⎩， 问题存在精确解为： 2(,)()u x y x y =-3．f (x,y)cos(x y)cos(x y),=++- (0,)(0,)2πΩ=π⨯，且边条件如下：u(x,0)cos x,u(x,)00x ;2u(0,y)cos y,u(,y)cos y,0y .2π⎧==<<π⎪⎪⎨π⎪=π=-<<⎪⎩， 问题存在精确解为： (,)cos cos u x y x y =.代码：主函数1，差分解function g=fivepoints(x1,x2,y1,y2,M,N)%变步长法h=(x2-x1)/M; %横轴步长k=(y2-y21/N; %纵轴步长m=M-1;n=N-1;h1=h^2;r=h1/k^2; %五点中的上下两个点的系数t=2+2*r; %五点中的中心点的系数x=x1+(x2-x1)*(0:M)/M; %x，y向量表示横纵坐标y=y1+(y2-y1)*(0:N)/N;a=zeros(m*n,m*n);b=zeros(m*n,1);%初始化a，b矩阵，a为系数矩阵%内部的（m-2）*（n-2）个点for i=2:m-1for j=2:n-1a(i+(j-1)*m,:)=[zeros(1,i-1+(j-2)*m) -r zeros(1,m-2) -1 t -1 zeros(1,m-2) -r zeros(1,(n-j)*m-i)];b(i+(j-1)*m)=h1*f(x(i+1),y(j+1));endend%下边缘j=1;for i=2:m-1a(i+(j-1)*m,:)=[zeros(1,i-2) -1 t -1 zeros(1,m-2) -r zeros(1,(n-j)*m-i)];b(i+(j-1)*m)=h1*f(x(i+1),y(j+1))+r*bottom(x(i+1));end;%右边缘i=m;for j=2:n-1a(i+(j-1)*m,:)=[zeros(1,(j-1)*m-1) -r zeros(1,m-2) -1 t zeros(1,m-1) -r zeros(1,(n-j)*m-i)];b(i+(j-1)*m)=h1*f(x(i+1),y(j+1))+right(y(j+1));end%上边缘j=n;for i=2:m-1a(i+(j-1)*m,:)=[zeros(1,i-1+(j-2)*m) -r zeros(1,m-2) -1 t -1 zeros(1,m-i-1)];b(i+(j-1)*m)=h1*f(x(i+1),y(j+1))+r*top(x(i+1));end%左边缘i=1;for j=2:n-1a(i+(j-1)*m,:)=[zeros(1,i-1+(j-2)*m) -r zeros(1,m-1) t -1 zeros(1,m-2) -rzeros(1,(n-j)*m-i)];b(i+(j-1)*m)=h1*f(x(i+1),y(j+1))+left(y(j+1));end;%左下角的那个点i=1;j=1;a(1,:)=[t -1 zeros(1,m-2) -r zeros(1,(n-1)*m-1)];b(1)=h1*f(x(2),y(2))+r*bottom(x(2))+left(y(2));%右下角的那个点i=m;j=1;a(i+(j-1)*m,:)=[zeros(1,m-2) -1 t zeros(1,m-1) -r zeros(1,(n-2)*m)]; b(i+(j-1)*m)=h1*f(x(i+1),y(j+1))+r*bottom(x(i+1))+right(y(j+1)); %左上角的那个点i=1;j=n;a(i+(j-1)*m,:)=[zeros(1,(n-2)*m) -r zeros(1,m-1) t -1 zeros(1,m-2)]; b(i+(j-1)*m)=h1*f(x(i+1),y(j+1))+r*top(x(i+1))+left(y(j+1));%右上角的那个点i=m;j=n;a(i+(j-1)*m,:)=[zeros(1,(n-1)*m-1) -r zeros(1,m-2) -1 t];b(i+(j-1)*m)=h1*f(x(i+1),y(j+1))+r*top(x(i+1))+right(y(j+1));u=a\bab2，精确解：function g=ni(x1,x2,y1,y2,M,N)m=M-1;n=N-1;x=x1+(x2-x1)*(0:M)/M;y=y1+(y2-y1)*(0:N)/N;for i=1:mfor j=1:nu1(i+(j-1)*m)=f1(x(i+1),y(j+1))endend（1）辅助函数function g=f(x,y)g=0;function g=bottom(x)g=2*log(x);function g=right(y)g=log(4+y^2);function g=top(x)g=log(x^2+1);function g=left(y)g=log(1+y^2);function g=f1(x,y)g=log(x^2+y^2);运行fivepoints(1,2,0,1,4,4)u =数值解0.4847467147016780.8376456266975491.1390195099193150.5944295076643080.9158860659528741.1974022894530100.7539416986884711.0340668399966291.287784599003526a =4 -1 0 -1 0 0 0 0 0 -1 4 -1 0 -1 0 0 0 0 0 -1 4 0 0 -1 0 0 0 -1 0 0 4 -1 0 -1 0 0 0 -1 0 -1 4 -1 0 -1 0 0 0 -1 0 -1 4 0 0 -1 0 0 0 -1 0 0 4 -1 0 0 0 0 0 -1 0 -1 4 -1 0 0 0 0 0 -1 0 -1 4b =0.5069117244448540.8109302162163292.5210301235267010.2231435513142101.4469189829363251.3872704470929461.1786549963416462.919669266564466运行ni(1,2,0,1,4,4)u1 =精确解Columns 1 through 30.485507815781701 0.838329190404443 1.139434283188365 Columns 4 through 60.594707107746693 0.916290731874155 1.197703191312341 Columns 7 through 90.753771802376380 1.034073767530539 1.287854288306638 误差很小（2）辅助函数function g=f(x,y)g=-4;function g=bottom(x)g=x^2;function g=right(y)g=(y-1)^2;function g=top(x)g=(x-2)^2;function g=left(y)g=y^2;function g=f1(x,y)g=(x-y)^2;fivepoints(1,2,0,1,4,4)fivepoints(0,1,0,2,4,4)u =0.062500000000000-0.0000000000000000.0625000000000000.5625000000000000.2500000000000000.0625000000000001.5625000000000001.0000000000000000.562500000000000a =Columns 1 through 32.500000000000000 -1.000000000000000 0 -1.000000000000000 2.500000000000000-1.0000000000000000 -1.000000000000000 2.500000000000000 -0.250000000000000 0 00 -0.250000000000000 00 0 -0.2500000000000000 0 00 0 00 0 0Columns 4 through 6-0.250000000000000 0 00 -0.250000000000000 00 0 -0.2500000000000002.500000000000000 -1.000000000000000 0 -1.000000000000000 2.500000000000000-1.0000000000000000 -1.000000000000000 2.500000000000000 -0.250000000000000 0 00 -0.250000000000000 00 0 -0.250000000000000Columns 7 through 90 0 00 0 00 0 0-0.250000000000000 0 00 -0.250000000000000 00 0 -0.2500000000000002.500000000000000 -1.000000000000000 0 -1.000000000000000 2.500000000000000-1.0000000000000000 -1.000000000000000 2.500000000000000b =0.015625000000000-0.1875000000000000.1406250000000000.750000000000000-0.250000000000000-0.2500000000000002.7656250000000000.3125000000000000.390625000000000精确解ni(0,1,0,2,4,4)u1 =u1 =Columns 1 through 30.062500000000000 0 0.062500000000000 Columns 4 through 60.562500000000000 0.2500000000000000.062500000000000Columns 7 through 91.562500000000000 1.0000000000000000.562500000000000误差很小（3）辅助函数function g=f(x,y)g=cosd(x+y)+cosd(x-y);function g=bottom(x)g=cosd(x);function g=right(y)g=-cosd(y);function g=top(x)g=0;function g=left(y)g=cosd(y);function g=f1(x,y)g=cosd(x)*cosd(y);数值解Pi=3.1415926fivepoints(0,pi,0,pi/2,4,4)u =0.6578183624886530.000000024999241-0.6578183271343870.5049807980892560.000000019229497-0.5049807708946410.2736443626241530.000000010432161-0.273644347870850a =10 -1 0 -4 0 0 0 0 0 -1 10 -1 0 -4 0 0 0 0 0 -1 10 0 0 -4 0 0 0 -4 0 0 10 -1 0 -4 0 0 0 -4 0 -1 10 -1 0 -4 0 0 0 -4 0 -1 10 0 0 -4 0 0 0 -4 0 0 10 -1 0 0 0 0 0 -4 0 -1 10 -1 0 0 0 0 0 -4 0 -1 10b =4.5582604075302670.000000137720159-4.5582602127645491.323957*********0.000000023374742-1.3239570281549570.7165204234523470.000000012650320-0.716520405562093精确解ni(0,pi,0,pi/2,4,4)u1 =Columns 1 through 30.653281493003155 0.000000024755257-0.653281457993935Columns 4 through 60.500000013397448 0.000000018946853-0.499999986602551Columns 7 through 90.270598066826879 0.000000010253963-0.270598052325585误差很小注：（1）需要对数值解与精确解作比较，以及不同步长选取下的误差比较。

第4章 椭圆型方程的有限差分法§ 2 一维差分格式1、用积分插值法导出逼近微分方程的差分格式。

, d / du 、 du 上 , Lu=- (p )+r +qu=f,a<x<b, dx dx dxu(a)= a ,u(b)=如果系数p,q,r 以及右端f 光滑，则可用中矩形公式计算得解：考虑在［a,b ］内任一小区间［x ⑴，x (2)］，将上式在此区间上积分得 X ⑵d dU曲 d ；(p(x)d ；)dxW(x ⑴)W(x ⑵)x(2)dU(1) r ——dxxdx x ⑵dU 」 xr dxx (2) x (1) qudx X (2)X (1) qudxX (2)x (1)fdXX ⑵X (1) fdX其中，W(x) p吧特别地，取［X ⑴，X ⑵］为对偶单元［x i 1/2 , x i 1/2 ］，则W (x i 1/2)W(x i 1/2)x1/2dUr ——dxxi 1/2 qudxxi 1/ 2xi 1/ 2 fdx 。

Xi 1/ 2-J..将(1.2)改写成—dxW(x)再沿［x i 1/2, x i 1/2］积分，得U i U iX iW(x) dx , Xi 1p(x)矩形公式，得W 1/2a iU i U ih i a iNdx x1 p(x)］xi 1/ 2又qUdxXi 1/ 2h ih i2：d i U i , d ixi 1/ 2 x q(x)dxX1/2x1/2dU , r ——dx.U i 1 U i 1bi "T-2 h i h i 1x 1/2 xr(x)dxxi1/22ih i h i 1x1/ 2 f (x)dxxi 1/2(1.1) (1.2)利用中(1.3)(1.4)(1.5)(1.6)将(1.3) ~ (1.5)代入1.1),即得微分方程的差分格式a iU i U i 1h*h i h i 1)d i U b^Ui21-(h i h i 1) i则逼近阶为O(h 2)。

数学与计算科学学院实验报告
实验项目名称椭圆型方程数值解
所属课程名称微分方程数值解法
实验类型验证
实验日期
班级信计0902
学号
姓名
成绩
附录1：源程序
附录2：实验报告填写说明
1．实验项目名称：要求与实验教学大纲一致。

2．实验目的：目的要明确，要抓住重点，符合实验教学大纲要求。

3．实验原理：简要说明本实验项目所涉及的理论知识。

4．实验环境：实验用的软、硬件环境。

5．实验方案（思路、步骤和方法等）：这是实验报告极其重要的内容。

概括整个实验过程。

对于验证性实验，要写明依据何种原理、操作方法进行实验，要写明需要经过哪几个步骤来实现其操作。

对于设计性和综合性实验，在上述内容基础上还应该画出流程图、设
计思路和设计方法，再配以相应的文字说明。

对于创新性实验，还应注明其创新点、特色。

6．实验过程（实验中涉及的记录、数据、分析）：写明具体实验方案的具体实施步骤，包括实验过程中的记录、数据和相应的分析。

7．实验结论（结果）：根据实验过程中得到的结果，做出结论。

8．实验小结：本次实验心得体会、思考和建议。

9．指导教师评语及成绩：指导教师依据学生的实际报告内容，给出本次实验报告的评价。