偏微分课程课件9_椭圆型方程的有限差分方法(I)

椭圆型方程的差分方法差分方法是一种数值计算方法，使用近似的差商来表示微分方程。

椭圆型方程是一类常见的偏微分方程，具有重要的数学和物理应用。

在本文中，我们将介绍椭圆型方程的差分方法，并讨论其优点和缺点。

一、椭圆型方程的差分近似L[u]=-∂(p∂u/∂x)/∂x-∂(q∂u/∂y)/∂y+r(x,y)u=f(x,y)其中，L[u]是一个偏微分算子，u(x,y)是未知函数，p(x,y)，q(x,y)，r(x,y)，f(x,y)是已知函数。

椭圆型方程的解通常在一个区域Ω上求解。

差分方法的主要思想是用网格来离散化区域Ω，将连续的偏微分方程转化为离散的代数方程。

对于椭圆型方程，我们可以选择矩形网格，其中Ω可以被划分为N*M个小矩形，并且网格的步长为Δx和Δy。

假设我们要在网格点(xi, yj)处求解未知函数的值uij，其中i和j分别表示网格的行索引和列索引。

我们可以使用中心差分法来近似x和y方向的偏导数，从而得到离散形式的椭圆型方程:L[u] ≈ -(p(xi+1/2, yj)(ui+1,j - ui-1,j)/Δx^2 + p(xi,yj+1/2)(ui,j+1 - ui,j-1)/Δy^2) + q(xi,yj)uij = f(xi,yj)其中，p(xi+1/2, yj)和p(xi, yj+1/2)分别表示在(xi+1/2, yj)和(xi, yj+1/2)处的系数。

可以通过有限差分方式计算出这些系数。

将上述公式在每个网格点(xi, yj)处形成一个方程，从而得到一个线性方程组。

通过求解这个线性方程组，我们可以得到网格点上的未知函数值。

二、椭圆型方程差分方法的优点和缺点差分方法是一种简单有效的数值计算方法，具有以下优点：1.可以处理任意形状的区域Ω：差分方法可以适应不规则网格和复杂区域，因此适用于各种几何形状的椭圆型方程求解。

2.数值稳定性：差分方法可以确保数值解的稳定性，避免数值上的不稳定问题。

3.线性时间复杂度：差分方法的计算复杂度通常是线性的，即解方程的时间随着网格点数的增加而线性增加。

椭圆形方程差分方法
椭圆形方程是一类常见的偏微分方程，其求解可以采用差分方法。

差分方法是指将连续问题离散化为在离散网格上求解的问题，其基本思想是将空间区域分割成若干个小区域，将时间区间分割成若干个小时间段，然后在每个小区域内近似计算方程的解。

对于椭圆形方程，我们可以采用有限差分方法求解。

有限差分方法是一种常用的差分方法，其将微分方程中的导数用差商表示，将连续的微分方程转化为离散的差分方程，然后求解差分方程得到问题的近似解。

具体来说，我们可以将椭圆形方程用一阶中心差分、二阶中心差分、五点差分等不同差分格式离散化，然后使用迭代方法求解差分方程的解。

其中，常用的迭代方法包括Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代、SOR迭代等。

通过不断迭代，我们可以逐渐接近椭圆形方程的解。

- 1 -。

第9章 偏微分方程的差分方法含有偏导数的微分方程称为偏微分方程。

由于变量的增多和区域的复杂性，求偏微分方程的精确解一般是不可能的，经常采用数值方法求方程的近似解。

偏微分方程的数值方法种类较多，最常用的方法是差分方法。

差分方法具有格式简单，程序易于实现，计算量小等优点，特别适合于规则区域上偏微分方程的近似求解。

本章将以一些典型的偏微分方程为例，介绍差分方法的基本原理和具体实现方法。

9.1椭圆型方程边值问题的差分方法9.1.1 差分方程的建立最典型的椭圆型方程是Poisson （泊松）方程G y x y x f yux u u ∈=∂∂+∂∂-≡∆-),(),,()(2222 （9.1）G 是x ,y 平面上的有界区域，其边界Γ为分段光滑的闭曲线。

当f (x ,y )≡0时，方程（9.1）称为Laplace(拉普拉斯）方程。

椭圆型方程的定解条件主要有如下三种边界条件第一边值条件 ),(y x u α=Γ （9.2） 第二边值条件),(y x nuβ=∂∂Γ （9.3） 第三边值条件 ),()(y x ku nuγ=+∂∂Γ （9.4） 这里，n 表示Γ上单位外法向，α(x,y ),β(x,y ),γ(x,y )和k (x,y )都是已知的函数，k (x,y )≥0。

满足方程（9.1）和上述三种边值条件之一的光滑函数u (x ,y )称为椭圆型方程边值问题的解。

用差分方法求解偏微分方程，就是要求出精确解u (x ,y )在区域G 的一些离散节点（x i ，y i ）上的近似值u i ,j ≈(x i ，y i ）。

差分方法的基本思想是，对求解区域G 做网格剖分，将偏微分方程在网格节点上离散化，导出精确解在网格节点上近似值所满足的差分方程，最终通过求解差分方程，通常为一个线性方程组，得到精确解在离散节点上的近似值。

设G ={0<x <a , 0<y <b }为矩形区域，在x ,y 平面上用两组平行直线x =ih 1, i =0,1,…,N 1, h 1=a /N 1 y =jh 2, j =0,1,…,N 2, h 2=b /N 2将G 剖分为网格区域，见图9-1。

椭圆型微分方程的有限差分法 主讲： 谭 林基本思想（步骤）：（1） 将求解区域（无限个点）限制在有限个离散点上，一般可通过网格剖分获得。

（2） 在离散点处，将求微分问题（无限计算问题）近似化为求若干（相邻）离散点上函数值的线性组合问题（有限计算问题），一般利用数值微商（分）（不同有限元法）。

形成所谓的差分方程。

（3） 差分方程的适定性、收敛性和稳定性分析。

（4） 差分方程的解法。

下面以两点边值问题为例介绍有限差分法全过程一、常见的有限差分方法 （1） 直接差分法模型问题1：椭圆型方程第一边值问题。

⎪⎩⎪⎨⎧==<<=+-=,)( ,)(a ,22βαb u a u b x f qu dx ud Lu 其中，],[,0)(),(,b a I x q I C f q =≥∈ 模型问题2：⎪⎩⎪⎨⎧==<<=++-=,)( ,)(a ,)(βαb u a u bx f qu dx du r dx du p d d Lu 其中，],[,0)(),(,,,0],[min 1b a I x q I C f q r p p I C p =≥∈>≥∈○1首先对模型问题1 讨论其有限差分方法的基本步骤 ●求解区域的离散化做均匀网格剖分：b x x x a N =<<<=Λ10其中，分点ih x x i +=0剖分步长n ab h -=● 在节点i x 处，对微分方程离散化22()ii x d uqu f x dx -+= )(12 )()(2)(344222211h O dx u d h dx u d h x u x u x u ii i i i +⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+--+有[]112()2()():()()()i i i i i i i u x u x u x Lu qu x hf x R u +--+=-+=+其中2434()()12i ih d u R u O h dx ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦记u 在节点N k x k )1(0,=数值解为 N k u k )1(0,=， 则有1)1(1 ,2:211-==++--=-+N i f u q hu u u u L i i i i i i i h (*1)比较知)()(:)(u R x f x u L i i i h +=所以[]()()i h i i R u L u x Lu =-表示用差分算子h L 代替微分算子L 产生的误差称之为（局部）截断误差。

第9章 偏微分方程的差分方法含有偏导数的微分方程称为偏微分方程。

由于变量的增多和区域的复杂性，求偏微分方程的精确解一般是不可能的，经常采用数值方法求方程的近似解。

偏微分方程的数值方法种类较多，最常用的方法是差分方法。

差分方法具有格式简单，程序易于实现，计算量小等优点，特别适合于规则区域上偏微分方程的近似求解。

本章将以一些典型的偏微分方程为例，介绍差分方法的基本原理和具体实现方法。

9.1椭圆型方程边值问题的差分方法9.1.1 差分方程的建立最典型的椭圆型方程是Poisson （泊松）方程G y x y x f yux u u ∈=∂∂+∂∂-≡∆-),(),,()(2222 （9.1）G 是x ,y 平面上的有界区域，其边界Γ为分段光滑的闭曲线。

当f (x ,y )≡0时，方程（9.1）称为Laplace(拉普拉斯）方程。

椭圆型方程的定解条件主要有如下三种边界条件第一边值条件 ),(y x u α=Γ （9.2） 第二边值条件),(y x nuβ=∂∂Γ （9.3） 第三边值条件 ),()(y x ku nuγ=+∂∂Γ （9.4） 这里，n 表示Γ上单位外法向，α(x,y ),β(x,y ),γ(x,y )和k (x,y )都是已知的函数，k (x,y )≥0。

满足方程（9.1）和上述三种边值条件之一的光滑函数u (x ,y )称为椭圆型方程边值问题的解。

用差分方法求解偏微分方程，就是要求出精确解u (x ,y )在区域G 的一些离散节点（x i ，y i ）上的近似值u i ,j ≈(x i ，y i ）。

差分方法的基本思想是，对求解区域G 做网格剖分，将偏微分方程在网格节点上离散化，导出精确解在网格节点上近似值所满足的差分方程，最终通过求解差分方程，通常为一个线性方程组，得到精确解在离散节点上的近似值。

设G ={0<x <a , 0<y <b }为矩形区域，在x ,y 平面上用两组平行直线x =ih 1, i =0,1,…,N 1, h 1=a /N 1 y =jh 2, j =0,1,…,N 2, h 2=b /N 2将G 剖分为网格区域，见图9-1。