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可分解的高次不等式的解法
浙江省诸暨市学勉中学（311811） 郭天平
解不等式是初等数学重要内容之一，高中数学常出现高次不等式，通常解法是化为不等式组或者用列表法或者用数轴标根法求解。本文通过不同解法的比较，来说明“数轴标根法”在求解一类可分解的高次不等式独特之处。
例1 解不等式()()()0423>--+x x x
解法一：原不等式可化为()()⎩⎨
⎧>-->+04203x x x 或()()⎩
⎨⎧<--<+0420
3x x x
即⎩⎨
⎧><->423x x x 或或⎩⎨⎧<<-<4
23
x x ，即23<<-x 或4>x
∴原不等式的解集为{}423|><<-x x x 或
【评注】 此种方法的本质是分类讨论，强化了“或”与“且”，进一步渗透了“交”与“并”的思想方法。
解法二：不等式（或方程）有三个零点，-3，2，4，先在数轴上标出零点，这些零点把数轴分成了若干个区间。
针对这些区间，逐一讨论各因式的符号，情况列表如下：
从上表可看出()()()0423>--+x x x 的解集为{}423|><<-x x x 或 解法三：先在数轴上标出零点（标出根）。 根标出来后，不是分区间进行验证讨论，而是直接标出综合因式()()()423--+x x x 的正负号
（如上图），再根据题目要求，直接写出解集为{}423|><<-x x x 或
【评注】这种方法常称为是“数轴标根法”，有些书上称为是“串针引线法”。这种方
x
法的本质是“列表讨论法”的简化及提炼。这样的“线”也可看成是函数
()()()423--+=x x x y 的图象草图。(y 轴未画)
通过上述三种方法的比较，我们不难看出，用“数轴标根法”来解可分解的高次不等式直观又简单。具体方法步骤如下：
①将不等式等价化为()()21x x x x --…())0(0<>-n x x 形式，并将各因式x 的系数化“+”；(为了统一方便)
②求出对应方程()()21x x x x --…()0=-n x x 的根（或称零点），并在数轴上表示出来；
③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点，但要注意“奇穿偶不穿”（“奇穿偶不穿”是指当左侧()x f 有相同因式()n
x x 1-时，n 为奇数时，曲线在1x 点处穿过数轴；n 为偶
数时，曲线在1x 点处不穿过数轴）
④若不等式（x 的系数化“+”后）是“0>”,则找“线”在x 轴上方的区间；若不等式是“0<”,则找“线”在x 轴下方的区间.
例2 解不等式()()()01323
2
<+--x x x
解析 ①检查各因式中x 的符号均正；
②求得相应方程的根为：-1，2，3（注意：2是二重根，3是三重根）； ③在数轴上表示各根并穿线，每个根穿一次（自右上方开始），如下图：
④∴原不等式的解集为()()3,22,1 -
【评注】∵3是三重根，∴在C 处来回穿三次，∵2是二重根，∴在B 处穿两次，结果相当于没穿. 若些不等式若带“=”号，点画为实心，解集边界处应有等号；另外，线虽不穿2点，但2=x 满足“=”的条件，不能漏掉.
例3 解不等式()()03
24
32≤+---x x x x x
解析 先将原不等式等价化为不等式()
()()032432<+---x x x x x 且
2,0,3≠≠-≠x x x ，
即()()()()04132<-++-x x x x x 且2,0,3≠≠-≠x x x ，用“数轴标根法”
∴原不等式的解是()[)(]4,20,13, --∞-
【评注】在不等式时我们应该考虑不等式左式的定义域，也就是在标根时要注意根的取舍，否则会产生增根或失根的误解.
例4 解关于x 的不等式：()
()0122<++-a x x x .
解析 此不等式是含参数a 的高次不等式，a x -=是不等式对应方程的其中一根，但对它的位置我们无法确定，因此要对a 的所处位置进行讨论
①将二次项系数化“+”并分解为：()()()034>++-a x x x ； ②相应方程的根为：a --,4,3； ③讨论：
ⅰ）当4>-a ，即4- ∴原不等式的解集为()()+∞--,4,3a . ⅱ）当43<-<-a ，即34<<-a 时，各根在数轴上的分布及穿线如下： ∴原不等式的解集为()()+∞--,4,3 a ⅲ）当3-<-a ，即3>a 时，各根在数轴上的分布及穿线如下： ∴原不等式的解集为()()+∞--,43, a ⅳ0）当4=-a ，即4=a 时，各根在数轴上的分布及穿线如下： ∴原不等式的解集为()+∞-,3 ⅴ）当3-=-a ，即3=a 时，各根在数轴上的分布及穿线如下： ∴原不等式的解集为()+∞,4。 综上所得，当4-a 时，原不等式的解集为()()+∞--,43, a ； 当4=a 时，原不等式的解集为()+∞-,3； 当3=a 时，原不等式的解集为()+∞,4。 【评注】此题意在于让大家熟练用“数轴标根法”解高次不等式，培养分类讨论的思想，题中对当3=a 与4=a 时这两种情况，不少同学容易漏解，不加以讨论。
