高次不等式的解法

分式不等式高次不等式的解法好嘞，今天咱们就聊聊分式不等式和高次不等式。

听起来可能有点深奥，但其实它们就像一块块拼图，慢慢拼起来，最终能看到完整的画面。

分式不等式就像那种在食堂排队的场景，前面有人，后面有人，你得算好什么时候能吃到好吃的。

而高次不等式呢，哎呀，就像是那种复杂的关系，很多变量在里面，让人头疼不已，但别担心，咱们慢慢来，大家一起摸索。

分式不等式可真是个“小怪兽”，它的形式一般是这样的：(frac{f(x){g(x) > 0) 或者(frac{f(x){g(x) < 0)。

听起来是不是有点吓人？但最重要的就是分子和分母的零点。

说白了，找到那些能让分式为零的地方，就像找到了藏宝图的关键点。

找到了零点，接下来就得分析它们在哪个区间内是正数，在哪个区间内是负数。

就像做一道菜，得先把材料准备齐全，再慢慢调味。

在分析区间的时候，可以把数轴拿出来，标上分子和分母的零点。

这样一来，数轴就像一条长长的铁路，每一个零点都是一个车站。

我们从左往右走，观察每一个区间的符号变化。

要是分子和分母都是正的，嘿，这区间就肯定是正的；反之亦然。

这里面呢，还有一种情况，就是分母不能为零，这一点得时刻记心上，不然可就“翻车”了。

咱们再来说说高次不等式。

这玩意儿一般看起来都是个大方程，比如说 (ax^n +bx^{n1 + ... > 0)。

一看到这个就感觉头皮发麻，没关系，咱们可以分步来解决。

高次不等式就像是一场足球比赛，首先得找出关键球员，也就是它的零点。

这个时候你需要用到求根公式、因式分解，甚至是图像法。

每个零点就像是比赛中的进球，一旦找到，比赛的走势就清楚多了。

找到了零点之后，接下来的步骤就像在赛场上找到合适的战术。

得把数轴又拿出来，看看在每个区间内，函数的符号到底是怎样的。

这就需要我们根据函数的次数，来判断在某些区间是正是负。

高次项的系数一旦确定了，整个比赛的结果也就差不多了。

正的就代表胜利，负的就得痛痛快快地接受失败。

穿根法解高次不等式一.方法:先因式分解,再使用穿根法.注意:因式分解后,整理成每个因式中未知数得系数为正。

使用方法:①在数轴上标出化简后各因式得根,使等号成立得根,标为实点,等号不成立得根要标虚点。

②自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿).③数轴上方曲线对应区域使“〉”成立, 下方曲线对应区域使“<”成立.例1:解不等式(1) (x+4)(x+5)2(2－ｘ)3<0(2) 错误!≤1解:(1) 原不等式等价于(x ＋４)(x+5)2(x —２)3＞0(2)根据穿根法如图 不等式解集为 {x x< １ 3 或＼f( 1 , 2 )【例２】 解不等式:(１)2x 3－x 2—1５x 〉０;(2)(x+4)(x+5)2(2—x)3<0。

【分析】 如果多项式f(x)可分解为n 个一次式得积,则一元高次不等式ｆ(x)＞0(或f(ｘ)＜0)可用“穿根法"求解,但要注意处理好有重根得情况、 解:(1)原不等式可化为x(２ｘ＋５)(x-3)〉0顺轴.然后从右上开始画曲线顺次经过三个根,其解集如图(５－1)得阴影部分.(2)原不等式等价于(x+4)(ｘ+5)2(ｘ-2)3＞0∴原不等式解集为｛x|ｘ＜-5或－５＜ｘ〈—4或x ＞2｝、【说明】 用“穿根法”解不等式时应注意．．．．．．．．．．．．．．:．①各一次项中．．．．．．x ．得．系数必为正．．．．．;．②对于偶次或奇次重根可参照．．．．．．．．．．．．．(．２．)．得解法转化为不含重．．．．．．．．．根得不等式．．．．．,．也可直接用“穿根法．．．．．．．．．",．．但注意．．．“奇穿偶不穿”．．．．．．．.．其法如图．．．．(5．．－．２．)．.． 二.数轴标根法”又称“数轴穿根法”第一步:通过不等式得诸多性质对不等式进行移项,使得右侧为0。

(注意:一定要保证x 前得系数为正数)例如:将x^3—2x^2—x+2>0化为(x-2)(x-１)(x+1)＞０第二步:将不等号换成等号解出所有根。

穿根法解高次不等式一．方法:先因式分解,再使用穿根法.注意:因式分解后,整理成每个因式中未知数的系数为正.使用方法:①在数轴上标出化简后各因式的根,使等号成立的根,标为实点,等号不成立的根要标虚点.②自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿).③数轴上方曲线对应区域使“>”成立, 下方曲线对应区域使“<”成立.例1:解不等式(1) (x+4)(x+5)2(2-x)3<0(2) x 2-4x+1 3x 2-7x+2 ≤1解:(1) 原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3>0根据穿根法如图不等式解集为{x ∣x>2或(2) 变形为 (2x-1)(x-1)(3x-1)(x-2) ≥0根据穿根法如图不等式解集为{x x< 1 3 或 1 2 ≤x ≤1或x>2}.【例2】 解不等式：(1)2x 3-x 2-15x ＞0；(2)(x+4)(x+5)2(2-x)3＜0．【分析】 如果多项式f(x)可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式f(x)＞0(或f(x)＜0)可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况．解：(1)原不等式可化为x(2x+5)(x-3)＞0顺轴．然后从右上开始画曲线顺次经过三个根，其解集如图(5－1)的阴影部分．(2)原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3＞0∴原不等式解集为｛x|x ＜-5或-5＜x ＜-4或x ＞2｝．【说明】 用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．x ．的系．．数必为正；②对于偶次或奇次重根可参照．．．．．．．．．．．．．．．．．．(2)．．．的解法转化为不含重根．．．．．．．．．．的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意．．．．．．．．．．．．．．．．．．．“奇穿偶不穿”．．．．．．．．其法如．．．．图．(5．．－．2)．．．．二．数轴标根法”又称“数轴穿根法”第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。

高次不等式解法口诀高次不等式是数学中的一种常见不等式，其解法口诀是我们需要掌握的基本知识。

在高中和大学的数学学习中，我们经常会遇到很多高次不等式，因此，掌握解法口诀是我们必须具备的能力。

首先是求解一元一次高次不等式的方法。

这种方法通常是将不等式化为标准形式，即ax+b<c，然后解出x的值。

但是，有时候我们需要解的是多个一元一次不等式，这时就需要用到不等式的解法口诀。

解法口诀一是：当a>0时，x<(c-b)/a；当a<0时，x>(c-b)/a。

这个口诀告诉我们，在一元一次不等式中，如果a>0，那么x的值就是小于(c-b)/a；如果a<0，那么x的值就是大于(c-b)/a。

这个口诀的实质是利用了a的正负性，将不等式转化为两个简单的不等式。

解法口诀二是：当a>0时，x<(c-b)/a；当a<0时，x>(c-b)/a。

这个口诀与上面的口诀类似，只是将a的正负性调换了。

这个口诀的意义在于，它提供了一种通用的解法，不论a的正负性如何，都可以用这个口诀来解一元一次不等式。

接下来是解法口诀三：当a>0时，x<(c-b)/a；当a<0时，x>(c-b)/a。

这个口诀与解法口诀一类似，只是将c替换成了a+b。

这个口诀的意义在于，它可以将一元一次不等式转化为两个简单的一元一次不等式，从而更容易地求解。

除了这三个口诀，还有一些其他的解法口诀，如解法口诀四：当a>0时，x<(c-b)/a；当a<0时，x>[(c-b)/a]。

这个口诀告诉我们在解法口诀一的基础上，将不等式中的x求反了。

还有一些其他的解法口诀，如解法口诀五：当a>0时，x<(c-b)/a；当a<0时，x>[(c-b)/a]。

第二讲 解一元高次、绝对值、无理不等式一、学习目标：掌握一元高次、绝对值、无理不等式的解法重点：一元高次、绝对值的解法难点：绝对值不等式的解法二、学习对象：（一） 一元高次不等式的解法（数轴标根法）1.数轴标根法解高次不等式（整式和分式）的步骤：(1）转化找根：把不等号一边化为零，另一边分解为几个一次因式的积或商的形式，且一次项系数为正，找出不等式对应方程的所有根.(2) 画轴标根：画出数轴，把根从小到大依次在数轴上表示出来.(3) 画出曲线：自右而左，自上而下，依次穿根（重根的处理： “奇穿偶切”）.（4）写出结论：根据波浪线在数轴的上方（>0）还是下方(<0)，写出这个不等式的解集。

注意解集能不能带等号.（二）.绝对值不等式的解法（去绝对值号）1.|ax ＋b |≤c (c >0)⇔－c ≤ax ＋b ≤c .2..|ax ＋b |≥c (c >0)⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c .3.|f (x )|＞g (x )⇔ f (x )＜－g (x )或f (x )＞g (x )， |f (x )|＜g (x )⇔－g (x )＜f (x )＜g (x ).4. |f (x )|>| g (x )| ⇔22)()(x g x f > , |f (x )|<| g (x )| ⇔22)()(x g x f <5.|x －a |＋|x －b |≥c ，|x －a |＋|x －b |≤c (c >0)型不等式的解法 （零点分段讨论法）方法：设数轴上与a ，b 对应的点分别是A ，B ，以A ，B 为分界点，将数轴分为三个区间，在这三个区间上，绝对值不等式可以转化为不含绝对值的不等式，分别求解后再求并集.（三）.无理不等式（无理化有理）题型1⎪⎩⎪⎨⎧>⇒⎭⎬⎫≥≥⇔>)()(0)()0)(()()(x g x f x g x f x g x f 定义域型 题型2：⎩⎨⎧<≥⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥⇔>0)(0)()]([)(0)(0)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或型 题型3：⎪⎩⎪⎨⎧>>≥⇔<2)]([)(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f 型 三、随堂练习1解下列不等式：（1）(x-1)(x+4)(x-3)>0； (2)(1-2x)(x-1)(x+2)≥ 0 （3）0)3()1()2(32≤--+x x x2. （1）|1－2x |≤3.； （2）x ＋|2x －1|<3 （3）|x ＋2|＋|x －1|≤4.3.（1）125->-x x （2） 125>-x四、自主测评1.不等式|x －2|>x －2的解集是( )A.(－∞，2B.(－∞，＋∞)C.(2，＋∞)D.(－∞，2)∪(2，＋∞) 2.不等式|x |·(1－2x )>0的解集是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12B.(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，123.（1）0322322<--+-x x x x . （2）|x －1|＋|x －2|≥5。

解高次不等式
解高次不等式
一、解高次不等式的方法：
1、先化简：
首先先将不等式本身化简，如果能化简得到一个二次以内的不等式，就可以进行求解，如果不能，就需要进一步化简。

2、先分解：
如果不能进行化简，可以尝试用方程求解的方法做分解，将整个不等式分成多个不等式来求解，这样比较容易求解。

3、合并：
有时候，如果不等式的右边有多个项，可以将多个项合并，这样可以把高次不等式简化为低次不等式，从而较容易求解。

4、变形求解：
有时，不等式右边有多项时，可以利用变量变换，将不等式右边的多项变换成一个式子，就可以较容易求解。

二、实例演示
例题：已知a>0，求解不等式：
a^3-3a^2+2a≤0
解：将不等式化简，令f(a)=a^3-3a^2+2a，
f'(a)=3a^2-6a+2=3(a-1)(a-2)，
可以得出f(a)在a=1处取得最小值，f(1)=0，
即a^3-3a^2+2a=0，
所以a≤1时，不等式a^3-3a^2+2a≤0成立。